unidad 4: comportamiento transitorio en dc
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UNIDAD 4: Comportamiento transitorio en DC
Tema 4.1.
Circuitos de primer orden
1
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Elementos pasivos: Condensador
Elemento que almacena energía en forma de carga eléctrica, proporcional a la tensión entre sus extremos.
Compuesto por dos placas conductoras separadas por un material aislante.
C = capacidad
Unidades: Faradios [F]
1F=1C/1V
𝑞 = 𝐶 ∙ 𝑉𝐴𝐵
𝑖 𝑡 = 𝐶𝑑𝑣𝐴𝐵(𝑡)
𝑑𝑡
𝑣𝐴𝐵 𝑡 = 𝑣𝐴𝐵 𝑡0 +1
𝐶 𝑖 𝑡 𝑑𝑡𝑡
𝑡0
C
A B
I
C
2
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Comportamiento de C en continua
En corriente continua (y régimen permanente) las tensiones e intensidades del circuito son constantes.
En un condensador, i(t) = C∙dvAB(t)/dt = C∙0 = 0
i(t)=0 -> El condensador equivale a un circuito abierto.
Para estudiar un circuito en corriente continua y régimen permanente, se sustituyen los condensadores por circuitos abiertos:
+
- 5V
2KΩ
6KΩ 5mF +
- 5V
2KΩ
6KΩ
3
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Tipos de condensadores
4
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¿Dónde hay condensadores?
Flash
Vehículo eléctrico
Equipo corrección factor potencia Circuito electrónico
5
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Elementos pasivos: Bobina
Elemento que almacena energía magnética.
Compuesto por un hilo conductor devanado en forma helicoidal.
L = inductancia.
Unidades: Henrios [H].
𝑣𝐴𝐵 𝑡 = 𝐿𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
𝑖 𝑡 = 𝑖 𝑡0 +1
𝐿 𝑣𝐴𝐵 𝑡 𝑑𝑡𝑡
𝑡0
L
A B
I
L
I
6
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Comportamiento de L en continua
En corriente continua (y régimen permanente) las tensiones e intensidades del circuito son constantes.
En una bobina, vAB(t) = L∙di(t)/dt = L∙0 = 0
vAB(t)=0 -> La bobina equivale a un cortocircuito.
Para estudiar un circuito en corriente continua y régimen permanente, se sustituyen las bobinas por cortocircuitos :
+
- 5V 6KΩ +
- 5V
10mH
6KΩ
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Tipos de bobinas
8
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¿Dónde hay bobinas?
Ferrita (interferencias)
Transformador
Circuito electrónico
Cocina inducción
Motor eléctrico
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Principio de dualidad
Bobinas y condensadores son elementos duales.
Su modelo matemático coincide con sólo cambiar C por L y V por I: Condensador: i(t) = C∙dv(t)/dt
Bobina: v(t) = L∙di(t)/dt
En DC, un condensador es un circuito abierto.
En DC, una bobina es un cortocircuito.
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Asociación de bobinas en serie
Elementos en serie:
Dos elementos en serie comparten un nodo al que no llega ningún otro elemento.
Por todos los elementos conectados en serie circula la misma corriente.
Elemento equivalente: se puede sustituir por el conjunto de los elementos en serie.
L1 L2 A B C
Leq A C
Las inductancias en serie se suman.
Leq = L1 + L2
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Asociación de bobinas en paralelo
Elementos en paralelo:
Dos elementos en paralelo están conectados a dos nodos comunes.
En todos los elementos conectados en paralelo cae la misma tensión.
A
L1 L2
B
Leq
A
B
𝟏
𝐋𝐞𝐪=𝟏
𝐋𝟏+𝟏
𝐋𝟐
Los inversos de las inductancias en paralelo se suman.
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Asociación de condensadores en serie
Elementos en serie:
Dos elementos en serie comparten un nodo al que no llega ningún otro elemento.
Por todos los elementos conectados en serie circula la misma corriente.
Elemento equivalente: se puede sustituir por el conjunto de los elementos en serie.
C1 C2 A B C
Ceq A C
Los inversos de las capacidades en serie se suman.
𝟏
𝐂𝐞𝐪=𝟏
𝐂𝟏+𝟏
𝐂𝟐
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Asociación de condensadores en paralelo
Elementos en paralelo:
Dos elementos en paralelo están conectados a dos nodos comunes.
En todos los elementos conectados en paralelo cae la misma tensión.
Las capacidades en paralelo se suman.
C1 C2
A
B
Ceq
A
B
Ceq = C1 + C2
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Régimen permanente vs. transitorio
Régimen permanente o estacionario: es la respuesta de un circuito para tiempos que tienden a ∞.
Régimen permanente en DC: las tensiones y corrientes son constantes.
Régimen permanente en AC: las tensiones y corrientes son funciones cosenoidales.
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Régimen permanente vs. transitorio
Régimen transitorio: es la respuesta de un circuito para tiempos pequeños.
Sólo estudiaremos Régimen transitorio en DC.
Dos tipos de circuitos:
Circuitos de primer orden
Circuitos de segundo orden
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Circuitos de primer orden Características
Su comportamiento se representa por una ecuación diferencial de primer orden.
Los circuitos de primer orden se pueden reducir a:
+
-
R
L VS
CIRCUITO RL
Is
R C
CIRCUITO RC
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Circuitos de primer orden Características
Cualquier circuito con una sola bobina o un solo condensador es un circuito de primer orden, basta hacer los equivalentes de Thevenin o Norton para el resto del circuito:
L ? C ?
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Circuitos de primer orden Características
Si hay varias bobinas o varios condensadores pero se pueden reducir a un solo elemento por agrupaciones serie o paralelo estamos en el mismo caso.
Si en el circuito hay simultáneamente bobinas y condensadores, el circuito NO es de primer orden.
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Ecuación diferencial de primer orden Circuitos RL y RC
Ecuación de malla:
−Vs + VR + VL=0
−VS + i · R + Ldi
dt= 0
di
dt+R
L· i =
VSL
Ecuación de nodo:
−IS + i1 + i2=0
−IS +v
R+ C
dv
dt= 0
dv
dt+1
RC· v =
ISC
+
-
R
L VS
CIRCUITO RL
i
Solución: i(t)
Is
R
C
CIRCUITO RC
i1 i2
v
Solución: v(t)
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Ecuación diferencial de primer orden
Ecuación de malla:
−Vs + VR + VL=0
−VS + i · R + Ldi
dt= 0
di
dt+R
L· i =
VSL
Ecuación de nodo:
−IS + i1 + i2=0
−IS +v
R+ C
dv
dt= 0
dv
dt+1
RC· v =
ISC
dx(t)
dt+ 𝑎 · x(t) = 𝑏
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN
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Ecuación diferencial de primer orden Solución general
Ecuación diferencial:
dx(t)
dt+ 𝑎 · x(t) = 𝑏
Solución:
x t =𝑏
𝑎+ 𝑘 · e−𝑎t
o a, b, k son constantes
o x(t) es la variable; para el circuito RL es la corriente de malla i(t) y para el circuito RC es la tensión de nodo v(t).
o el valor de k se obtiene aplicando condiciones iniciales:
x 0 =𝑏
𝑎+ 𝑘
𝑘 = x 0 −𝑏
𝑎
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Ecuación diferencial de primer orden Circuito RL
Ecuación diferencial: di
dt+R
L· i =
VSL
Solución:
i t =VSR+ k · e−
RLt
o VS, R, L son datos del circuito
o i(t) es la corriente de malla del circuito RL
o el valor de k se obtiene aplicando condiciones iniciales:
k = i 0 −VSR
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Ecuación diferencial de primer orden Circuito RC
Ecuación diferencial: dv
dt+1
RC· v =
ISC
Solución:
v t = IS · R + k · e−1RCt
o VS, R, C son datos del circuito
o v(t) es la tensión de nodo del circuito RC
o el valor de k se obtiene aplicando condiciones iniciales:
k = v 0 − IS · R
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Ecuación diferencial de primer orden Representación gráfica de x(t)
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• En el gráfico, la constante de tiempo τ es el instante de tiempo en que la pendiente en el origen corta a la asíntota del valor final de x(t).
• En el circuito RL, τ=L/R, y en el circuito RC, τ=RC. Las unidades de τ son segundos.
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Métodos de resolución de problemas
Método de la ecuación diferencial o método de reducción.
Método paso por paso
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Método de la ecuación diferencial
Caso: circuitos con bobinas
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+
-
R
L VS
CIRCUITO RL
i
di
dt+R
L· i =
VSL
i t =VSR+ k · e−
RLt
• el valor de k se obtiene
aplicando C.I.:
k = i 0 −VSR
1) Reducir a: 2) Encontrar i(t):
3) Calcular el valor solicitado a partir del dato de i(t)
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Método de la ecuación diferencial
Caso: circuitos con condensadores
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dv
dt+1
RC· v =
ISC
v t = IS · R + k · e−1RCt
• el valor de k se obtiene
aplicando C.I.: k = v 0 − IS · R
1) Reducir a: 2) Encontrar v(t):
Is
R
C
CIRCUITO RC
i1 i2
v
3) Calcular el valor solicitado a partir del dato de v(t)
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Método de la ecuación diferencial ¿Por qué se trabaja con i(t) para las bobinas y con v(t)
para los condensadores?
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Porque es más fácil aplicar C.I.
En las bobinas, la i no varía bruscamente:
i(0-)=i(0+) v(0-)≠v(0+)
En los condensadores, la v no varía bruscamente:
v(0-)=v(0+) i(0-)≠i(0+)
0- = antes del cambio 0+ = después del cambio
t t
i(t) v(t)
t t
v(t) i(t)
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Método de la ecuación diferencial Ejemplo (1)
El interruptor ha estado en la posición 1 por largo tiempo, en t=0 el interruptor se mueve a la posición 2. Calculad la corriente i(t) por la resistencia R2, para t>0.
VS=12V, R1=6kΩ, R2=3kΩ, C=100μF
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