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Métodos Numéricos - Cap 4: Solución de sistemas de ecuaciónes 9/4/2019

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Solución de Sistemas de Ecuaciones

Unidad 4

Métodos Numéricos – 1er Cuatrimestre de 2019

Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones

• Un número 𝛼 se dice raíz o cero de la ecuación f(x) si f () = 0 .

• Los métodos numéricos para encontrar una raíz de una ecuación f(x), generarán una sucesión 𝑥 con𝑛 = 1,2,3, … tal que lim

→𝑥 = 𝛼.

• El sistema de ecuaciones está formado por un conjunto de ecuaciones del tipo 𝑓 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 , con𝑖 = 1,2, … , 𝑚.

𝐹 = 𝑓 , 𝑓 , … , 𝑓

𝑋 = 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥

• Un vector 𝐴 = 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 se dice solución de un sistema de ecuaciones 𝐹 𝑋 si 𝐹 𝐴 = 0.

• Los métodos numéricos para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones 𝐹 𝑋 generarán unasucesión 𝑋 , 𝑛 = 1,2,3, … tal que lim

→𝑋 = 𝐴.


Representación matricial para sistemas de ecuaciones

Criterios de aproximación para sistemas de ecuaciones

1er Criterio:

Dado un número 𝜀 > 0 y adecuadamente pequeño,que llamaremos tolerancia, podemos escoger comoaproximación a la raíz 𝛼 a un término 𝑥 de lasucesión mencionada, donde 𝑛 es el menor enteropositivo que satisface:

𝑓 𝑥 < 𝜀

2do Criterio:

Sea lim→

𝑥 = 𝛼 entonces dado 𝜀 > 0 ,

adecuadamente pequeño, ∃𝑛 tal que 𝑥 − 𝛼 <𝜀 .

El término 𝑥 de la sucesión mencionada puede serconsiderado una aproximación a la raíz, donde 𝑛 esel menor entero positivo que cumple la condición:

𝑥 − 𝑥 < 𝜀

En sistemas

Para una ecuación


𝐹 = 𝑓 , 𝑓 , … , 𝑓 𝑋 = 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥

𝐹 𝑋 < 𝜀 𝑋 − 𝑋 < 𝜀



Normas vectoriales

Una norma vectorial es una función : ℝ → ℝ / 𝑋 → 𝑋 ,

y satisfice que ∀𝑋, 𝑌 ∈ ℝ , ∀𝛼 ∈ ℝ:

i. 𝑋 ≥ 0, 𝑋 = 0 ⇒ 𝑋 = 0

ii. 𝛼𝑋 = 𝛼 𝑋

iii. 𝑋 + 𝑌 ≤ 𝑋 + 𝑌

• Distancia asociada con la norma euclidiana: 𝑋 − 𝑌 = ∑ 𝑥 − 𝑦

• Distancia asociada con la norma suma: 𝑋 − 𝑌 = ∑ 𝑥 − 𝑦

• Distancia asociada con la norma del máximo: 𝑋 − 𝑌 = max 𝑥 − 𝑦

• Norma euclidiana (o norma 2):

𝑋 = 𝑥

• Norma suma (o norma 1):

𝑋 = 𝑥

• Norma del máximo (o norma ∞):𝑋 = max 𝑥



2


Norma matricial inducida por la correspondiente norma vectorial :

𝐴 = max𝐴𝑋

𝑋 𝐴 ∈ ℝ ×

Entonces:

• 𝐴 = max

• 𝐴 = max .

Si 𝑋 = 1, 𝐴 = max ∑ 𝑎 norm(A,1)

• 𝐴 = max

Si 𝑋 = 1, 𝐴 = max ∑ 𝑎 norm(A,inf)

Normas matriciales

Una norma matricial es una función

: ℝ × → ℝ / 𝑋 → 𝑋 , y

satisfice que ∀𝑋, 𝑌 ∈ ℝ × , ∀𝛼 ∈ ℝ:

i. 𝑋 ≥ 0, 𝑋 ≥ 0 ⇒ 𝑋 = 0

ii. 𝛼𝑋 = 𝛼 𝑋

iii. 𝑋 + 𝑌 ≤ 𝑋 + 𝑌

Si 𝑚 = 𝑛: 𝑋 𝑌 ≤ 𝑋 𝑌



Solución numérica de sistemas de ecuaciones linealesUn sistema de 𝑛 ecuaciones, con coeficientes reales en las 𝑛-incógnitas 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 se dice que es un sistemalineal si es de la forma:

𝐹 𝑋 =

𝑓 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 = 0

𝑓 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 = 0⋮

𝑓 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 = 0

con 𝑓 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 = 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 − 𝑏 donde 𝑎 ∈ ℝ y 𝑏 ∈ ℝ son contantes, ∀𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛.

Si 𝑋 = 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 , 𝐹 𝑋 = 0 y 𝑋 ∈ ℝ entonces 𝑋 es una solución real del sistema.

Un sistema de 𝑛 ecuaciones lineales puede escribirse de la forma:

𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 − 𝑏 = 0𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 − 𝑏 = 0

⋮𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 − 𝑏 = 0

con 𝑎 ∈ ℝ y 𝑏 ∈ ℝ, ∀𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛.

ó en la forma matricial equivalente 𝐴𝑋 = 𝑏 con:

𝐴 =

𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎

⋮𝑎

⋮𝑎 ⋯

⋮𝑎

, 𝑋 =

𝑥𝑥⋮

𝑥

, 𝑏 =

𝑏𝑏⋮

𝑏𝐴 es la matriz de coeficientes del sistema, el vector columna 𝑋 es el vector de incógnitas y 𝑏 es el vector de términos independientes.



Consideraremos únicamente sistemas de ecuaciones lineales 𝐴𝑋 = 𝑏 con 𝐴 ∈ ℝ × que tengan solución única para cada vector 𝑏 ∈ ℝ , es decir, con 𝐴 invertible ⇒ 𝑋 = 𝐴 𝑏.

Matlab introduce una notación particular implementando los operadores \ y /. La solución a un sistema es expresada como:

X=A\b (con b vector columna) equivalente a inv(A)*b.óX=b/A (con b vector fila) equivalente a b*inv(A).

Emplea eliminación Gaussiana

Sistemas con solución única



Se anula el determinante, matriz singular, no inversible.En Matlab:det(A)ans = 0

Si det 0 , no implica que la matriz singular, puede depender de los coeficientes de la matriz

X=b/AWarning: Matrix is singular toworking precision.X = Inf Inf Inf

Sistemas sin solución única



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Métodos directos

Los métodos directos nos proporcionan una solución del sistema en un número finito de pasos.

Si usamos aritmética finita para los cálculos, obtendremos por lo general una solución aproximada,debido únicamente a los errores de redondeo, puesto que no hay errores de truncamiento o de fórmula.

Los métodos directos más usados tienen como base la eliminación de Gauss.



SustituciónSi la matriz A es triangular (superior o inferior) con todas sus componentes sobre la diagonal principal no-nulas.

Como 𝑎 ≠ 0, se puede despejar 𝑥 de la última ecuación y obtenemos:

Este método se denomina sustitución regresiva o hacia atrás. (Aproximadamente n2+n operaciones)

Si A es triangular inferior, se despeja 𝑥 de la primera ecuación. En este caso se denomina sustituciónprogresiva o hacia adelante.

𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎0 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎0⋮0

0 𝑎 ⋯⋮

0 0 ⋯

𝑎⋮

𝑎

𝑥𝑥𝑥⋮

𝑥

=

𝑏𝑏𝑏⋮

𝑏 𝑥 =𝑏

𝑎

𝑥 =𝑏 − ∑ 𝑎 𝑥

𝑎

𝑚 = 𝑛 − 1, … , 1



Transformaciones elementales

Cualquiera de las siguientes operaciones aplicadas a la matriz ampliada produce un sistemas lineal equivalente:

• Intercambio: En el orden de las ecuaciones (filas), no altera el resultado. En el orden de las variables(columnas), altera el orden de las variables en el resultado.

• Escalado: Producto de la ecuación por constante no nula

• Sustitución: Suma de la ecuación más múltiplo de otra ecuación: 𝐸( )

= 𝐸 + 𝑐 ∗ 𝐸

Matriz ampliada: 𝐴|𝐵 =

𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑏𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑏

⋮𝑎

⋮𝑎 ⋯

⋮𝑎 𝑏



Eliminación de GaussSi la matriz 𝐴 no es triangular, puede convertirse mediante el método de eliminación Gaussiana. El sistema 𝐴𝑋 = 𝐵 tiene la forma:

𝐸 :𝐸 :𝐸 :

⋮𝐸 :

𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎𝑎

⋮𝑎

𝑎 𝑎 ⋯⋮

𝑎 𝑎 ⋯

𝑎⋮

𝑎

𝑥𝑥𝑥⋮

𝑥

=

𝑏𝑏𝑏⋮

𝑏

Se elimina el coeficiente de 𝑥 en cada una de las ecuaciones 𝐸 , 𝐸 , … , 𝐸 para obtener un sistema equivalente 𝐴( )𝑋 = 𝐵( ), realizando las transformaciones elementales:

𝐸( )

:

𝐸( )

:

𝐸( )

:

⋮

𝐸( )

:

𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎0 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎0⋮0

0 𝑎 ⋯⋮

0 0 ⋯

𝑎⋮

𝑎

𝑥𝑥𝑥⋮

𝑥

=

𝑏𝑏𝑏⋮

𝑏

𝐸 − 𝐸 → 𝐸( )

𝑖 = 2,3, … , 𝑛



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Pivoteo

Si algún 𝑎 = 0 se deben intercambiar filas, si 𝑎 → 0 el intercambio de filas disminuye el error.

Operaciones aproximadas: 𝑛 + 𝑛 − 𝑛

Ejemplo:

𝐸 : 10𝑥 − 7𝑥 = 7𝐸 : −3𝑥 + 2𝑥 + 6𝑥 = 4𝐸 : 5𝑥 − 𝑥 + 5𝑥 = 6

Luego se elimina el coeficiente de 𝑥 en las ecuaciones 𝐸 , 𝐸 , … , 𝐸 y así sucesivamente hasta eliminar elcoeficiente de 𝑥 . En general:

pivote

multiplicador

Matriz ampliada: 𝐴|𝐵 =10 −7 0 7−35

2 6 4 −1 5 6



El coeficiente 10 de 𝑥 es el pivote –0.3 y 0.5 los multiplicadores

Ejemplo – Continuación:

Matriz ampliada:

pivote

multiplicador

El propósito de las estrategias de pivoteo parareducir errores es usar como “pivote” elelemento de mayor magnitud y, una vezcolocado en la diagonal principal, usarlo paraeliminar los restantes elementos de su columna(los que están por debajo de él).



El coeficiente 10 de 𝑥 es el pivote –0.3 y 0.5 los multiplicadores

Ejemplo – Continuación:

Matriz ampliada:

pivote

multiplicador

6.2*x3 = 6.2 x3 = 1. 2.5*x2 + (5)*(1) = 2.5 x2 = -1. 10*x1 + (-7)*(-1) = 7 x1 = 0.

Intercambio de filas

Pivote 2.5Multiplicador –0.04

Pivote 6.2



Factorización LU

L contiene los multiplicadores utilizados en la eliminación,U la matriz final de coeficientes y P describe las permutaciones.LU = PA

AX = 𝒃𝟏 PAX = P 𝒃𝟏

LUX = P 𝒃𝟏

UX = L- 1 P 𝒃𝟏 = c Lc = P 𝒃𝟏

Los pasos a seguir son:Paso 1. Calcular P 𝒃𝟏 .Paso 2. Resolver c, en Lc = P𝒃𝟏 por sustitución progresiva.Paso 3. Resolver X, en UX = c por sustitución regresiva.

Multiplicadores

Pivotes

Siendo 𝒃𝟏 un nuevo término independiente



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Ejemplo: LU1er Ejemplo 2do Ejemplo con términos independientes cambiados

Lc=Pb, UX = c



Otras posibilidades a partir del método de eliminación de Gauss

• Eliminación de Jordan: Se genera una matriz diagonal para eliminar la sustitución. Se eliminan elementos arribay abajo del pivote.

• Inversión de matrices: A partir de [A|B], con B matriz identidad, aplicando Jordan y escalado, se obtiene [I|B’]con B’ inversa de A.

• Determinante: A partir de la matriz triangulada det 𝐴 = −1 ∏ 𝑎 , con 𝑟 = número de intercambios de filas.

• Factorización LU: Permite reservar los parámetros de la eliminación de Gauss, para ser aplicados en la resoluciónde sistemas con igual matriz A.



Funciones MATLAB

[L,U,P] = LU(A) Donde A puede ser una matriz rectangular

L es la matriz triangular inferior de LU con elementos 1 en la diagonalU es la matriz triangular superior de LUP es la matriz de permutaciones tal que P*A = L*U.

X=U\(L\b)



En los métodos iterativos o indirectos se parte de una aproximación inicial a la solución del sistema dado y se genera, a partirde dicha aproximación, una sucesión de vectores 𝑋 que deberían converger a la solución del sistema.

Son métodos que progresivamente van calculando aproximaciones a la solución de un problema.

Se repite un mismo proceso de mejora sobre una solución aproximada.

Se espera que la nueva solución sea más aproximada que la solución inicial.

El proceso se repite sobre esta nueva solución hasta que el resultado más reciente satisfaga ciertos requisitos.

A diferencia de los métodos directos, en los cuales se debe terminar el proceso para tener la respuesta, en los métodositerativos se puede suspender el proceso al término de una iteración y se obtiene una aproximación a la solución.

Además de los errores de redondeo, si se usa aritmética finita, habrá errores de truncamiento o de fórmula.

Los métodos iterativos más simples y conocidos están basados en Iteraciones de Punto Fijo.

Métodos Indirectos

Objetivo: que converja a la solución del sistema de ecuaciones 𝑋 = 𝑋( )

Valor Inicial:Fórmulas de Iteración

𝑋( ) 𝑋( ), 𝑋( ), … , 𝑋( )

Como es imposible hacer un número infinito de iteraciones, se hace un número finito de iteraciones hasta que se cumpla cierta condición



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Sea un sistema de ecuaciones 𝐴𝑋 = 𝑏, donde 𝐴 es no-singular. Dicho sistema se puede transformar en unsistema equivalente de la forma 𝑋 = 𝐵𝑋 + 𝑐 para alguna matriz 𝐵 y algún vector 𝑐.

Método de Jacobi

Matriz de iteración de Jacobi G(X)=BX+C entonces G(X)=X

𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 = 𝑏𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 = 𝑏

⋮𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 = 𝑏

𝑥 =𝑏 − 𝑎 𝑥 − ⋯ − 𝑎 𝑥

𝑎

𝑥 =𝑏 − 𝑎 𝑥 − ⋯ − 𝑎 𝑥

𝑎

𝑥 =𝑏 − 𝑎 𝑥 − ⋯ − 𝑎 𝑥

𝑎

𝑥 = −𝑎

𝑎𝑥 +

𝑏

𝑎

Sea:

𝐵 =

− 𝑖 ≠ 𝑗

0 𝑖 = 𝑗

y 𝑐 =

𝑋 = 𝐵𝑋 + 𝑐



Fórmula de iteración del Método de Jacobi

Se construye la sucesión de vectores 𝑋( ) a partir de la fórmula de iteración 𝑋( ) = 𝐺 𝑋( ) = 𝐵𝑋( ) + 𝑐 y se esperaque converja a la única solución 𝑋 del sistema.

𝑥( )

=

𝑏 − ∑ 𝑎 𝑥( )

𝑎

Criterios de aproximación:

i) 𝑅( ) = 𝐴𝑋( ) − 𝑏 < 𝜀

ii) 𝑋( ) − 𝑋( ) < 𝜀

iii) ( ) ( )

( ) < 𝜀

Cotas para error de truncamiento:

i) 𝑋 − 𝑋( ) ≤ 𝐵 𝑋 − 𝑋 , 𝑘 ≥ 1

ii) 𝑋 − 𝑋( ) ≤ 𝑋 − 𝑋 , 𝑘 ≥ 1, 𝐵 < 1



Convergencia del Método de JacobiDefinición: Una matriz 𝐴 es Estrictamente Diagonal Dominante (EDD) satisface: 𝑎 > ∑ 𝑎

Sea un sistema de ecuaciones 𝐴𝑋 = 𝑏, si 𝐴 es EDD entonces el método de Jacobi CONVERGE a una única solución.

𝑑𝑒𝑡 𝐵 − 𝜆𝐼 = Ecuación Característica de B

𝜌 𝐵 = 𝑚𝑎𝑥 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎

𝜌 𝐵 < 1

𝜌 𝐵 ≥ 1 DIVERGE

CONVERGE

𝑋( ) = 𝐵𝑋( ) + 𝑐

𝐵 < 1 CONVERGE

𝐵 ≥ 1 No se puede asegurar la convergencia

Radio Espectral 𝜌 𝐵

Si 𝐴 es EDD entonces 𝐵 < 1 𝐵 depende de la reubicación de las filas



Sea el sistema equivalente de la forma 𝑋 = 𝐵𝑋 + 𝑐:

𝑥𝑥𝑥

=0 −7 32 0 8

−5 2 0

𝑥𝑥𝑥

+2

−13

𝐵 − 𝜆𝐼 =−𝜆 −7 32 −𝜆 8

−5 2 −𝜆

𝑑𝑒𝑡 𝐵 − 𝜆𝐼 = −𝜆 𝜆 − 16 + 7 −2𝜆 + 40 + 3 4 − 5𝜆 = −𝜆 − 13𝜆 + 292

𝜌 𝐵 = max 5.983430269 , −2,991715 + 6,312771𝑖 , −2,991715 − 6,312771𝑖

El Método de Jacobi NO CONVERGE

−𝑥 − 7𝑥 + 3𝑥 = −22𝑥 − 𝑥 + 8𝑥 = 15𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 = 3

−1 −7 32 −1 85 −2 1

𝑥𝑥𝑥

=−213

𝐴

Forma matricial:

Se analiza si la matriz 𝐴 es EDD:

𝐴 =−1 −7 32 −1 85 −2 1

−1 ≯ −7 + 3

−1 ≯ 2 + 8

1 ≯ 5 + −2

𝐴 NO ES EDDNo se puede asegurar la convergencia. Se debe

analizar el radio espectral

Método de Jacobi - Ejemplo 1

𝜌 𝐵 = max 5.983430269 , 6.985802 = 6,985802 ≥ 1



7


−𝑥 − 7𝑥 + 3𝑥 = −22𝑥 − 𝑥 + 8𝑥 = 15𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 = 3

𝐴 NO ES EDD𝐴 =−1 −7 32 −1 85 −2 1

Intercambiando las filas obtenemos una matriz EDD:

𝑥𝑥𝑥

=

02

5−

1

5

−1

70

3

7

−1

4

1

80

𝑥𝑥𝑥

+

3

52

71

8

𝐵 = 𝑚𝑎𝑥3

5,4

7,3

8=

3

5< 1

De acuerdo al análisis de convergencia, el método iterativo de Jacobi converge a una única solución, cualquiera sea laaproximación inicial 𝑋( ).

5𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 = 3−𝑥 − 7𝑥 + 3𝑥 = −2

2𝑥 − 𝑥 + 8𝑥 = 1

𝐴 ES EDD ⇒ CONVERGE5 −2 1

−1 −7 32 −1 8

Sea el sistema equivalente de la forma 𝑋 = 𝐵𝑋 + 𝑐:




Iterando con el método de Jacobi 𝑋( ) = 𝐵𝑋( ) + 𝑐, tomando como aproximación inicial 𝑋( ) = 0,0,0 y usando comocriterio de aproximación 𝑋( ) − 𝑋( ) < 10 , obtenemos:

𝑥( )

𝑥( )

𝑥( )

=

02

5−

1

5

−1

70

3

7

−1

4

1

80

𝑥( )

𝑥( )

𝑥( )

+

3

52

71

8

𝒌 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 Error

0 0 0 0

1 0.6 0.28571 0.125 0.67621

2 0.68928 0.25357 0.01071 0.14855

3 0.69929 0.19184 -0.01563 0.06786

4 0.67986 0.17912 -0.02584 0.02537

5 0.67682 0.17752 -0.02257 0.00474

6 0.67552 0.17935 -0.02201 0.00231


7 0.67614 0.17978 -0.02146 0.00093

8 0.67620 0.17992 -0.02156 0.00019

9 0.67621 0.17987 -0.02156 0.0001

10 0.67628 0.17986 -0.02159 0.00004

11 0.67626 0.17985 -0.02158 0.00001

12 0.67626 0.17986 -0.02158 < 𝟏𝟎 𝟓

Norma Euclidea:

𝒙𝒊(𝒌)

− 𝒙𝒊(𝒌 𝟏)

𝟐𝟑

𝒊 𝟏





El método Jacobi no converge. Verificar intercambiando filas

No es E.D.D||BJ||=4 >1Radio espectral (BJ) , de la matriz de iteración BJ.r_espec = max(abs(eig(B))) ó r_espec = max(abs(roots(poly(B))))




No es E.D.D||BJ||=8/3 >1 no se puede asegurar la convergencia, por lo tanto debemos encontrar el radio espectral (BJ). La ecuación característica es:

cuyas raíces son:



8



De acuerdo al análisis de convergencia, el método iterativo de Jacobi converge a una única solución, cualquiera sea la aproximación inicial X(0) .

Iterando con el método de Jacobi, tomando como aproximación inicial X(0) = [0,0,0]’ , y usando como criterio de aproximación ||X(k) – X(k-1)|| < 0.001 obtenemos:

X(1) = [-.5, 1.3333, 0]’, X(2) = [.16667, 1.8333, -.27778]’…X(15) = [.99798, 1.9990, -.99842]’ X(16)=[.99873, 1.9994, -.99901]’

Como k = 16 es el primer entero positivo para el cual ||X(k) – X(k-1)|| < 0.001 entonces XX(16) es solución al problema.



Fórmula vectorial de iteración del Método de Jacobi

Sea el sistema de ecuaciones 𝐴𝑋 = 𝑏. La matriz 𝐴 puede descomponerse como:

𝐴 = 𝐷 + 𝐿 + 𝑈

𝐷: matriz diagonal de 𝐴𝐿: matriz triangular

estrictamente inferior de 𝐴𝑈: matriz triangular

estrictamente superior de 𝐴

𝐷 =5 0 00 −7 00 0 8

𝐿 =0 0 0

−1 0 02 −1 0

𝑈 =0 −2 10 0 30 0 0

𝐴 =5 −2 1

−1 −7 32 −1 8

Entonces: 𝐴𝑋 = 𝑏 ⇔ 𝐷 + 𝐿 + 𝑈 𝑋 = 𝑏 𝐷𝑋 + 𝐿 + 𝑈 𝑋 = 𝑏𝐷𝑋 = − 𝐿 + 𝑈 𝑋 + 𝑏𝑋 = −𝐷 𝐿 + 𝑈 𝑋 + 𝐷 𝑏

𝐵 𝑐

𝑋( ) = −𝐷 𝐿 + 𝑈 𝑋 + 𝐷 𝑏 , k = 1,2, …

Matlab:[B|c] = Bc = [ -diag(1./diag(A))*(tril(A,-1)+triu(A,1)) , diag(1./diag(A))*b ]B*X+c= X= [-diag(1./diag(A))*(tril(A,-1)+triu(A,1))*X+diag(1./diag(A))*b ]con b y X vectores columna

La fórmula vectorial de iteración es:



Método de Gauss-SeidelUna mejora del método de Jacobi es obtener 𝑥

( ) utilizando los 𝑥( )

, 𝑥( )

, … , 𝑥( ) ya calculados, dado que son

mejores aproximaciones a la solución exacta.

Sea el valor inicial 𝑥( )

, 𝑥( )

, … , 𝑥( ) , aplicando el método de Jacobi se obtiene:

𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 = 𝑏𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 = 𝑏

⋮ 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 = 𝑏

𝑥( )

=𝑏 − 𝑎 𝑥

( )− ⋯ − 𝑎 𝑥

( )

𝑎

𝑥( )

=𝑏 − 𝑎 𝑥

( )− ⋯ − 𝑎 𝑥

( )

𝑎

Dado el sistema de ecuaciones:

Para la primera iteración se tiene que:

⋮

𝑥( )

=𝑏 − 𝑎 𝑥

( )− ⋯ − 𝑎 𝑥

( )

𝑎

𝑥( )

=

𝑏 − ∑ 𝑎 𝑥( )

𝑎

Fórmula de iteración:

VALORES INICIALES

𝑥( )

=𝑏 − 𝑎 𝑥

( )− ⋯ − 𝑎 𝑥

( )

𝑎

𝑥( )

=𝑏 − 𝑎 𝑥

( )− ⋯ − 𝑎 𝑥

( )

𝑎

𝑥( )

=𝑏 − 𝑎 𝑥

( )− ⋯ − 𝑎 𝑥

( )

𝑎

⋮



𝑥( )

=𝑏 − ∑ 𝑎 𝑥 − ∑ 𝑎 𝑥

𝑎

En general para la primera iteración:

𝑥( )

=𝑏 − 𝑎 𝑥

( )− ⋯ − 𝑎 𝑥

( )

𝑎

𝑥( )

=𝑏 − 𝑎 𝑥

( )− ⋯ − 𝑎 𝑥

( )

𝑎

𝑥( )

=𝑏 − 𝑎 𝑥

( )− ⋯ − 𝑎 𝑥

( )

𝑎

⋮

En general para la iteración 𝑘 + 1 :

𝑥( )

=𝑏 − ∑ 𝑎 𝑥 − ∑ 𝑎 𝑥

𝑎

El análisis de convergencia coincide con el del método de Jacobi, aunque suele converger más rápido.

Fórmula de iteración



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𝑥( )

=2

5𝑥

( )−

1

5𝑥 +

3

5

𝑥( )

= −1

7𝑥 +

3

7𝑥 +

2

7

𝑥( )

= −1

4𝑥 +

1

8𝑥 +

1

8

5𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 = 3−𝑥 − 7𝑥 + 3𝑥 = −2

2𝑥 − 𝑥 + 8𝑥 = 1

Sea el sistema:

𝑋( ) =

02

5−

1

5

0 −2

35

16

35

0 −3

28

3

28

𝑋( ) +

3

51

50

Despejando se obtiene:

Tomando como aproximación inicial 𝑋 0 = 0,0,0 y usando como criterio de aproximación 𝑋( ) − 𝑋( ) < 10 , seobtiene:

𝐵 = 𝑚𝑎𝑥3

5,18

35,

3

14=

3

5< 1 CONVERGE


0 0 0 0

1 0.6 0.2 0 0.63246

2 0.68 0.18857 -0.02143 0.08361

3 0.67971 0.17943 -0.0225 0.00921

4 0.67627 0.17946 -0.02164 0.00355


5 0.67611 0.17985 -0.02155 0.00043

6 0.67625 0.17987 -0.02158 0.00014

7 0.67626 0.17986 -0.02158 0.000014

8 0.67626 0.17986 -0.02158 < 𝟏𝟎 𝟓

Método de Gauss-Seidel - Ejemplo 1




0 0 0 0

1 0.6 0.28571 0.125 0.67621

2 0.68928 0.25357 0.01071 0.14855

3 0.69929 0.19184 -0.01563 0.06786

4 0.67986 0.17912 -0.02584 0.02537

5 0.67682 0.17752 -0.02257 0.00474

6 0.67552 0.17935 -0.02201 0.00231

7 0.67614 0.17978 -0.02146 0.00093

8 0.67620 0.17992 -0.02156 0.00019

9 0.67621 0.17987 -0.02156 0.0001

10 0.67628 0.17986 -0.02159 0.00004

11 0.67626 0.17985 -0.02158 0.00001

12 0.67626 0.17986 -0.02158 < 10


0 0 0 0

1 0.6 0.2 0 0.63246

2 0.68 0.18857 -0.02143 0.08361

3 0.67971 0.17943 -0.0225 0.00921

4 0.67627 0.17946 -0.02164 0.00355

5 0.67611 0.17985 -0.02155 0.00043

6 0.67625 0.17987 -0.02158 0.00014

7 0.67626 0.17986 -0.02158 0.000014

8 0.67626 0.17986 -0.02158 < 10

Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel

Comparación de los métodos




||BG||= 3 >1

𝜌 𝐵 = 𝑚𝑎𝑥 0 , −1

2,

9

5=

9

5> 1

Entonces el método diverge

En este caso, como la matriz BG es triangular, los autovalores son los elementos de la diagonal.




Como ||BG|| >1 no podemos asegurar la convergencia, pero (BG) = Max {0,1/2,5/9} <1 entonces el método de Gauss-Seidel converge a la única solución del sistema dado, cualquiera sea la aproximación inicial.

XX(13) = [.99898 ,1.9996 , -.99952] es solución al problema.

Intercambiando filas obtenemos:



10


Fórmula vectorial de iteración del Método de Gauss-Seidel

𝑥( )

=𝑏 − ∑ 𝑎 𝑥 − ∑ 𝑎 𝑥

𝑎Partiendo de la fórmula de iteración:

𝑎 𝑥( )

= 𝑏 − 𝑎 𝑥 − 𝑎 𝑥

𝑎 𝑥( )

+ 𝑎 𝑥 = −𝑎 𝑥 + 𝑏

𝑎 𝑥 = −𝑎 𝑥 + 𝑏

𝐴 = 𝐷 + 𝐿 + 𝑈

𝐷: matriz diagonal de 𝐴

𝐿: matriz triangular estrictamente inferior de 𝐴

𝑈: matriz triangular estrictamente superior de 𝐴

𝐷 + 𝐿 𝑋( ) = −𝑈 𝑋( ) + 𝑏

𝑋( ) = 𝐷 + 𝐿 −𝑈 𝑋 + 𝐷 + 𝐿 𝑏 , k = 1,2, …

Entonces:

Matlab:[B|c] = Bc=[tril(A)^-1*-triu(A,1) , (tril(A))^-1*b ]B*X+c= X=[tril(A)^-1*-triu(A,1)*X+(tril(A))^-1*b ]



Para resolver sistemas de ecuaciones no lineales, se pueden aplicar los métodos abiertos aplicados a la resolución de ecuaciones no lineales:

• Punto fijo

• Newton-Raphson

siendo necesario hacer una transformación a variables vectorizadas.

Sistema de ecuaciones no lineales



Método de punto fijo: Para resolución de ecuaciones teníamos: 𝑓 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝑔 𝑥

Para sistemas de ecuaciones no lineales: Sean 𝐹 = 𝑓 , 𝑓 , … , 𝑓 y 𝑋 = 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 .

𝐺 = 𝑔 , 𝑔 , … , 𝑔 donde: 𝑥 = 𝑔 𝑋 , 𝑥 = 𝑔 𝑋 , ..., 𝑥 = 𝑔 𝑋

𝐹 𝑋 = 0, 𝑋 = 𝐺 𝑋 ⇒ 𝑋 = 𝐺 𝑋

Condición de convergencia para resolución de ecuaciones: 𝑔′ 𝑥 < 1. Sabemos que: 𝛼 − 𝑥 ≤ 𝑥 − 𝑥

Para sistemas de ecuaciones no lineales:

+ + ⋯ + ≤ 𝐾 < 1 + + ⋯ + ≤ 𝐾 < 1 ….

En general, existe un único punto fijo, si: ≤ para 0 ≤ 𝐾 < 1, y 𝐴 − 𝑋 ≤ 𝑋 − 𝑋




Para resolución de ecuaciones: Además, si 𝑔′ 𝑥 existe para todo 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 y 𝑔′ 𝑥 ≤ 𝐾 < 1 para todo 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , 𝐾 constante, entonces 𝑔 𝑥 tiene un único punto fijo 𝛼 en 𝑎, 𝑏 .

Para resolución de ecuaciones: Si 𝑔 𝑥 es una función continua en 𝑎, 𝑏 y 𝑔 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 para todo 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 ,entonces 𝑔 𝑥 tiene por lo menos un punto fijo en 𝑎, 𝑏 .

Para resolución de sistemas: Si 𝐷 = 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 ∈ ℝ ∕ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 , 𝑔 𝑋 continuas y𝐺 𝑋 ∈ 𝐷 para todo 𝑋 ∈ 𝐷, entonces 𝐺 𝑋 tiene por lo menos un punto fijo en 𝐷.

Para resolución de sistemas: Además, si existen las derivadas parciales continuas en 𝐷 y para todo 𝑋 ∈ 𝐷

≤ entonces 𝐺 𝑋 tiene un único punto fijo en D .

Teorema del punto fijo para sistemas de ecuaciones



11


Ejemplo 1

𝑥 + 𝑦 − 1 = 0

𝑥 − 𝑦 − 1 = 0

𝑥 + 𝑦 − 1 𝑥 − 𝑦 − 1



no converge

Ejemplo 1: Punto FijoSi 𝐷 = 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 ∈ ℝ ∕ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 , 𝑔 𝑋 continuas y 𝐺 𝑋 ∈ 𝐷 para todo 𝑋 ∈ 𝐷 ,entonces 𝐺 𝑋 tiene por lo menos un punto fijo en 𝐷.

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 − 1

𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑥 = −𝑦 + 1

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 − 1

𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑦 = 𝑥 − 1

𝐺 = −𝑦 + 1, 𝑥 − 1

𝑋 = 𝑥, 𝑦 𝐷 = −1.5,1.5𝐺 ∉ ℝ para todo 𝑋 ∈ 𝐷

Opción A:



no converge

Ejemplo 1: Punto FijoSi 𝐷 = 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 ∈ ℝ ∕ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 , 𝑔 𝑋 continuas y 𝐺 𝑋 ∈ 𝐷 para todo 𝑋 ∈ 𝐷 ,entonces 𝐺 𝑋 tiene por lo menos un punto fijo en 𝐷.

𝐺 = −𝑥 + 1, 𝑦 + 1

𝑋 = 𝑥, 𝑦 𝐷 = −1.5,1.5𝐺 ∉ ℝ para todo 𝑋 ∈ 𝐷

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 − 1

𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑦 = −𝑥 + 1

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 − 1

𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑥 = 𝑦 + 1

Opción B:



dg1/dy = diff('sqrt(-y^2+1)','y')dg1/dy = -1/(-y^2+1)^(1/2)*y

dg1/dx = diff('sqrt(-y^2+1)',‘x')dg1/dx = 0

Analizando en -1.5≤ x,y ≤1.5dg1/dy + dg1/dx n en [-1,1]dg1/dy + dg1/dx < 1 en [-0.7,0.7]

dg2/dx = diff('sqrt(x^2-1)','x')dg2/dx = 1/(x^2-1)^(1/2)*x

dg2/dy = diff('sqrt(x^2-1)',‘y')dg2/dy= 0

Analizando en -1.5≤ x,y ≤1.5dg2/dy + dg2/dx n en [-1,1]dg2/dy + dg2/dx > 1 en [-1.5,-1] y [1,1.5]

no converge

Ejemplo 1: Punto Fijo

Opción A:𝑥 + 𝑦 − 1 = 0

𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 ⇒

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 − 1

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 − 1𝐹 =

𝑥 + 𝑦 − 1

𝑥 − 𝑦 − 1𝑋 = 𝑥 𝑦

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 ⇒

𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑥 = −𝑦 + 1

𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑦 = 𝑥 − 1⇒ 𝐺 = −𝑦 + 1, 𝑥 − 1



12


dg1/dx = diff('sqrt(-x^2+1)',‘x')dg1/dx = -1/(-x^2+1)^(1/2)*x

dg1/dy = diff('sqrt(-x^2+1)',‘y')dg1/dy = 0

Analizando en -1.5≤ x,y ≤1.5dg1/dy + dg1/dx n ó >1

dg2/dy = diff('sqrt(y^2+1)',‘y')dg2/dy = 1/(y^2+1)^(1/2)*y

dg2/dx = diff('sqrt(y^2+1)',‘x')dg2/dx= 0

Analizando en -1.5≤ x,y ≤1.5dg2/dy + dg2/dx < 1

no converge

Verificar en un intervalo menor, por ej:

[-0.7,0.7]


Opción B: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 ⇒

𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑦 = −𝑥 + 1

𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑥 = 𝑦 + 1⇒ 𝐺 = −𝑥 + 1, 𝑦 + 1



Para 0 ≤ 𝑥, 𝑦 ≤ 1.5:

0 ≤𝑥 + 𝑦 + 8

10≤ 1.25 ≤ 1.5

0 ≤𝑥𝑦 + 𝑥 + 8

10≤ 1.287 ≤ 1.5

𝐺 𝑋 ∈ 𝐷 para todo 𝑋 ∈ 𝐷 entonces 𝐺 𝑋tiene por lo menos un punto fijo en 𝐷.

>> ezplot('x^2-10*x+y^2+8',[-10,10])>> ezplot('x*y^2-10*y+x+8',[-10,10])


𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 10𝑥 + 𝑦 + 8

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 + 𝑥 − 10𝑦 + 8 ⇒

𝑥 − 10𝑥 + 𝑦 + 8 = 0

𝑥𝑦 + 𝑥 − 10𝑦 + 8 = 0

𝑥 =𝑥 + 𝑦 + 8

10= 𝑔 𝑥, 𝑦

𝑦 =𝑥𝑦 + 𝑥 + 8

10= 𝑔 𝑥, 𝑦



dg1/dx=diff('(x^2+y^2+8)/10','x')dg1/dx =1/5*x

dg1/dy=diff('(x^2+y^2+8)/10','y')dg1/dy =1/5*y

dg2/dx=diff('(x*y^2+x+8)/10','x')dg2/dx =1/10*y^2+1/10 =(y^2+1)/10

dg2/dy=diff('(x*y^2+x+8)/10','y')dg2/dy =1/5*x*y

Máx. para 0 ≤ x,y ≤1.5

dg1/dx = x/5 = 0.3

dg1/dy = y/5 = 0.3

dg2/dx = (y^2+1)/10 = 0.325

dg2/dy = x*y/5 = 0.45

converge


𝑥, 𝑦 ≤ =,



>> X=[0.5,0.5]>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]X = 0.8500 0.8625>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]X = 0.9466 0.9482>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]X = 0.9795 0.9798>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]X = 0.9919 0.9920>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]X = 0.9968 0.9968

>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]X = 0.9987 0.9987>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]X = 0.9995 0.9995>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]X = 0.9998 0.9998>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]X = 0.9999 0.9999>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]X = 1.0000 1.0000



13



Método de Newton: Para resolución de ecuaciones teníamos: 𝑥 = 𝑥 −

Para sistemas de ecuaciones no lineales: Sean 𝐹 = 𝑓 , 𝑓 , … , 𝑓 y 𝑋 = 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 .

𝐹 𝑋 = 0 ⇒ 𝑋 = 𝑋 − 𝐽 𝐹 𝑋 , 𝑋 ∗ 𝐹 𝑋 con: 𝐽 𝐹 𝑋 , 𝑋 ≠ 0

donde el Jacobiano es:

𝐽 𝐹, 𝑋 =

𝜕𝑓

𝜕𝑥

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑓

𝜕𝑥

𝜕𝑓

𝜕𝑥

En Matlab, el jacobiano se determina de la siguiente manera: (toolbox symbolic)syms var1 var2 .....Jacobian ([f1,f2,...],[var1,var2,.....])



syms x yJ=Jacobian ([‘x^2+y^2-1, x^2-y^2-1’],[x,y])

Va convergiendo

Ejemplo 1: Newton

𝑋 = 𝑋 − 𝐽 𝐹 𝑋 , 𝑋 ∗ 𝐹 𝑋

𝑋 = 𝑥 𝑦𝑥 + 𝑦 − 1 = 0

𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 ⇒

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 − 1

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 − 1



Ejemplo 2: Newton



syms x y>>F=[x^2-10*x+y^2+8;x*y^2-10*y+x+8]F =x^2-10*x+y^2+8x*y^2-10*y+x+8>> X=[x;y]X =xy>> N=X-jacobian(F)\F % o N=X-F/jacobian(F)‘ con F y X vector filaN =x-(-40+5*y^2+7*x*y-8*y-10*x^2*y+x^3*y+50*x-5*x^2)/(-y^3-y+2*x^2*y-10*x*y-10*x+50)y-1/2*(-88+x^2-20*x*y+100*y+16*x-9*y^2+y^2*x^2-y^4)/(-y^3-y+2*x^2*y-10*x*y-10*x+50)

Ejemplo 2: Newton – Empleando Matlab

>>X=subs(N,[x;y],[0.5;0.5])X =

0.93770.9392

>> X=subs(N,[x;y],X)X =

0.99870.9984

>> X=subs(N,[x;y],X)X =

1.00001.0000



14


Xk+1 = Xk – J-1 (F(xk), xk) * F(xk) Xk+1 - Xk = – J-1 (F(xk), xk) * F(xk)

J (F(xk), xk) *(Xk+1 - Xk ) = –F(xk)

Si Zk+1 = (Xk+1 - Xk ) J (F(xk), xk) *Zk+1 = –F(xk) con |Zk+1|<

Se evita invertir el Jacobiano en cada iteración

Método de Newton Simplificado – Ejemplo 2



• No es fácil encontrar buenos valores iniciales.Conocer el problema.

• No es posible graficar superficies multidimensionales (n>2).Reducción de ecuaciones.Partición del sistema de ecuaciones.

Dificultades en la solución de sistemas de ecuaciones no lineales



Ventajas:

• Más eficientes que los directos para sistemas de orden muy alto.

• Más simples de programar.

• Pueden encontrarse aproximaciones a la solución.

• Son menos sensibles a los errores de redondeo (importante en sistemas mal condicionados).

Desventajas:

• Si se tienen varios sistemas que comparten la matriz de coeficientes, esto no representará ahorro decalculo, ya que por cada vector a la derecha de A tendrá que aplicarse el método.

• Aunque la convergencia esté asegurada puede ser lenta (En Gauss no es predecible).

• No se obtiene ni det(A) ni A-1

Métodos indirectos o iterativos



Matrices ralas

Las matrices asociadas con los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en densas y ralas.

Las matrices densas tienen pocos elementos nulos y su orden es relativamente pequeño (≤ 100). Pararesolver sistemas con matrices densas pueden ser utilizados los métodos directos.

Las matrices ralas tienen pocos elementos no nulos y surgen, por ejemplo, al resolver ecuacionesdiferenciales por métodos de diferencias finitas; su orden puede ser muy grande. Para resolver sistemascon matrices ralas son recomendados los métodos iterativos.

Matlab, de todos modos, posee funciones para trabajar con matrices ralas (consideradas un tipo de dato)y particularmente para resolver sistemas de ecuaciones con métodos directos. ( luinc, cholinc ).



15


Condicionamiento del sistema

El hecho de que las computadoras pueden representar sólo un número finito de números reales y de forma aproximada, tiene

una consecuencia inmediata en el cálculo numérico. Aún cuando un algoritmo haya sido diseñado teóricamente para producir

la respuesta exacta a un problema, su implementación es una computadora rara vez producirá tal respuesta. La cuestión

entonces radica en saber cuándo se puede confiar en una respuesta obtenida.

Los algoritmos en los que se puede confiar son algoritmos ESTABLES, es decir, son aquellos que producen una respuesta casi

exacta cuando se aplican a datos que son casi exactos.

Otros sistemas de ecuaciones lineales son extremadamente sensibles a los errores de redondeo que puedan producirse en el

proceso de resolución. En algunos casos esto podría arreglarse mediante el uso de estrategias de pivoteo. En otros casos, ni

siquiera el uso de esas técnicas consiguen llevar a una resolución precisa. Estamos frente a los sistemas MAL

CONDICIONADOS.




En el cálculo numérico, los errores están siempre presentes. Hay errores de muy diversas procedencias, principalmente:

• Errores en las mediciones o en las estimaciones previas (posiblemente grandes: a menudo los datos en ingeniería oeconomía son conocidos con pocos dígitos).

• Errores en la forma en que las computadoras almacenan los números (32 o 64 bits, según sea simple o doble precisión, porlo tanto se producen errores de redondeo).

• Errores como resultado de cálculos anteriores si, por ejemplo, los datos proceden de soluciones numéricas a problemasprevios.

Hay problemas que son especialmente sensibles a estos tipos de errores. El estudio de cómo éstos afectan a las respuestascalculadas pertenece a una disciplina denominada “Teoría de la Perturbación”. En ella se pretende estimar cuanto puedecambiar la solución de un problema cuando los datos de partida son modificados ligeramente.

El objetivo del “Análisis Numérico” es diseñar algoritmos que sean lo más insensibles posible a los errores, es decir, generaralgoritmos ESTABLES.



0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

-1/2*x+y=1

-x+2*y=2 ∞ soluciones

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

-1/2*x+y=1

-2.3/5*x+y=1.1

Mal condicionado


0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

-1/2*x+y=1

-1/2*x+y=1/2 Sin solución

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

-1/2*x+y=1

3*x+2*y=18

Solución únicaBien condicionado



Si 𝑋 es solución exacta de un sistema lineal 𝐴𝑋 = 𝑏, 𝐴 invertible, 𝑏 ≠ 0, y 𝑋 es una solución aproximada dedicho sistema, entonces 𝑒 = 𝑋 − 𝑋 es el vector error de 𝑋 (desconocido) y 𝑅 = 𝐴𝑋 − 𝑏 es el vector errorresidual, el cual mide hasta dónde la solución aproximada 𝑋 satisface el sistema.

Si 𝑅 = 0 entonces 𝑋 = 𝑋 . Por lo tanto, 𝑒 = 0.

𝑋 tal que 𝐴𝑋 = 𝑅 + 𝑏 y 𝑋 es solución de una perturbación del sistema 𝐴𝑋 = 𝑏.

Si 𝑹 es “pequeño” entonces 𝒆 también es “pequeño”?




16


Ejemplos: Sea 𝑋 =𝑥𝑦

1)𝑥 + 𝑦 = 2

10,05𝑥 + 10𝑦 = 21𝑋 =

20−18

Un coeficiente perturbado en aproximadamente 0,5%:

𝑥 + 𝑦 = 210,1𝑥 + 10𝑦 = 21

𝑋 =10−8

Cambio relativo de aproximadamente el 50% en la solución.

𝑅 = 𝐴𝑋 − 𝑏 =1 1

10,05 1010−8

−2

21=

220,5

−2

21=

0−0,5

𝑒 = 𝑚𝑎𝑥 −10 , 10 = 10

𝑅 = 𝑚𝑎𝑥 0 , −0,5 = 0,5

Sistemas mal condicionados

𝑒 = 𝑋 − 𝑋 =−1010

El error en la solución es “grande” y el error residual es “pequeño”.




2) 4,1𝑥 + 2,8𝑦 = 4,19,7𝑥 + 6,6𝑦 = 9,7

𝑋 =10

Una perturbación de aproximadamente 0,2% en el término independiente:

4,1𝑥 + 2,8𝑦 = 4,119,7𝑥 + 6,6𝑦 = 9,7

𝑋 =0,340,97

Cambio relativo de aproximadamente 66% en la solución.

𝑅 = 𝐴𝑋 − 𝑏 =4,1 2,89,7 6,6

0,340,97

−4,19,7

=4,119,7

−4,19,7

=0,01

0

𝑒 = 𝑚𝑎𝑥 0,34 , 0,97 = 0,97

𝑅 = 𝑚𝑎𝑥 0,1 , 0 = 0,01

Sistemas mal condicionados

El error en la solución es “grande” y el error residual es “pequeño”.

𝑒 = 𝑋 − 𝑋 =0,660,97

Se puede probar que si es “pequeño” entonces es “pequeño” si se satisface la condición 𝐴 𝐴 ≈ 1




3)4𝑥 + 5𝑦 = 14

10𝑥 + 6𝑦 = 22𝑋 =

12

Un coeficiente perturbado en aproximadamente 11%:

4,5𝑥 + 5𝑦 = 1410𝑥 + 6𝑦 = 22

𝑋 =1,13041,7826

Cambio relativo de aproximadamente el 15% en la solución.

𝑅 = 𝐴𝑋 − 𝑏 =4 5

10 6

1,13041,7826

−1422

=13,434621,9996

−1422

=−0,5654−0,0004

𝑒 = 𝑚𝑎𝑥 0,1304 , −0,2174 = 0,2174

𝑅 = 𝑚𝑎𝑥 −0,5654 , −0,0004 = 0,5654

Sistemas bien condicionados

𝑒 = 𝑋 − 𝑋 =0,1304

−0,2174



Número de condiciónEl número resultante de 𝐴 𝐴 se llama número de condición de la matriz no-singular 𝐴 relativo a unanorma matricial y se denota por 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 .

𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 ≥ 1, cualquiera sea la norma matricial inducida.

𝐼 = 𝐴𝐴 , 𝐼 ≤ 𝐴 𝐴 𝑦 𝐼 = max 𝐼𝑋

𝑋= max

𝑋

𝑋= 1

Si 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 ≈ 1 entonces 𝐴 está bien condicionada, es decir, el sistema 𝐴𝑋 = 𝑏 está bien condicionado.

Si 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 ≫ 1 entonces 𝐴 está mal condicionada, es posible que 𝐴 tenga un mal comportamiento, en elsentido que un error residual relativo pequeño puede corresponder a una solución aproximada mala. Elsistema 𝐴𝑋 = 𝑏 está mal condicionado.

Por ejemplo, para el ejemplo 1 desarrollado anteriormente se tiene que:

𝐶𝑜𝑛𝑑1 1

10,05 10=

1 110,05 10

−200 20201 −20

= 20,05 ∗ 221 = 4431,05 ≫ 1



17


Relación residuo-error solución

La relación entre y es:

𝑅

𝑏∗

1

𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴≤

𝑒

𝑋≤

𝑅

𝑏∗ 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴

𝑒 = 𝑚𝑎𝑥 −10 , 10 = 10

𝑅 = 𝑚𝑎𝑥 0 , −0,5 = 0,5

𝐶𝑜𝑛𝑑1 1

10,05 10=

1 110,05 10

−200 20201 −20

= 20,05 ∗ 221 = 4431,05

𝑥 + 𝑦 = 210,05𝑥 + 10𝑦 = 21

𝑋 =20

−18 𝑋 =

10−8

0,5

21∗

1

4431,05≤

𝑋 − 𝑋

𝑋≤

0,5

21∗ 4431,05 ⇒ 5,37 ∗ 10 ≤

𝑋 − 𝑋

𝑋≤ 105,50

Para el ejemplo 1:





𝑅

𝑏∗

1


𝑒

𝑋≤

𝑅


𝐶𝑜𝑛𝑑4,1 2,89,7 6,6

= 2249,4

4,1𝑥 + 2,8𝑦 = 4,19,7𝑥 + 6,6𝑦 = 9,7

𝑋 =10

𝑋 =0,340,97

0,01

9,7∗

1

2249,4≤

𝑋 − 𝑋

𝑋≤

0,01

9,7∗ 2249,4 ⇒ 4,5831 ∗ 10 ≤

𝑋 − 𝑋

𝑋≤ 2,2494

Para el ejemplo 2:

𝑒 = 𝑚𝑎𝑥 0,34 , 0,97 = 0,97

𝑅 = 𝑚𝑎𝑥 0,1 , 0 = 0,01





𝑅

𝑏∗

1


𝑒

𝑋≤

𝑅


𝐶𝑜𝑛𝑑4 5

10 6= 6,6575

4𝑥 + 5𝑦 = 1410𝑥 + 6𝑦 = 22

𝑋 =12

𝑋 =1,13041,7826

0,2174

22∗

1

6,6575≤

𝑋 − 𝑋

𝑋≤

0,2174

22∗ 6,6575 ⇒ 0,0039 ≤

𝑋 − 𝑋

𝑋≤ 0,0257

Para el ejemplo 3:

𝑒 = 𝑚𝑎𝑥 0,1304 , −0,2174 = 0,2174

𝑅 = 𝑚𝑎𝑥 −0,5654 , −0,0004 = 0,5654



Cota del error relativoDado un sistema 𝐴𝑋 = 𝑏, si 𝛿𝐴 y 𝛿𝑏 denotan perturbaciones en 𝐴 y 𝑏 respectivamente, se puede establecer unacota para el error relativo en términos de las perturbaciones relativas y el número de condición de 𝐴.

Si 𝑋 es la solución exacta de 𝐴𝑋 = 𝑏 y 𝑋 es la solución exacta del sistema perturbado 𝐴 + 𝛿𝐴 𝑋 = 𝑏 + 𝛿𝑏.

Si 𝐴 es no-singular, 𝛿𝐴 < , lo que asegura que 𝐴 + 𝛿𝐴 es invertible y que 1 − 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 > 0.

Por lo tanto:𝑋 − 𝑋

𝑋≤

𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴

1 − 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴𝛿𝐴𝐴

𝛿𝑏

𝑏+

𝛿𝐴

𝐴

Para el ejemplo 2:

𝛿𝐴 = 0 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 ∗𝛿𝑏

𝑏= 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 ∗

0,01

9,7= 2249,4 ∗ 0,001 = 2,2494 ≥

𝑋 − 𝑋

𝑋


unidad 4 - clase - soluciÃ³n de sistemas de ecuaciones - 2019a - 4... · 2019-04-09 · author:...

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