Métodos Numéricos - Cap 4: Solución de sistemas de ecuaciónes 9/4/2019
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Solución de Sistemas de Ecuaciones
Unidad 4
Métodos Numéricos – 1er Cuatrimestre de 2019
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
• Un número 𝛼 se dice raíz o cero de la ecuación f(x) si f () = 0 .
• Los métodos numéricos para encontrar una raíz de una ecuación f(x), generarán una sucesión 𝑥 con𝑛 = 1,2,3, … tal que lim
→𝑥 = 𝛼.
• El sistema de ecuaciones está formado por un conjunto de ecuaciones del tipo 𝑓 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 , con𝑖 = 1,2, … , 𝑚.
𝐹 = 𝑓 , 𝑓 , … , 𝑓
𝑋 = 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥
• Un vector 𝐴 = 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 se dice solución de un sistema de ecuaciones 𝐹 𝑋 si 𝐹 𝐴 = 0.
• Los métodos numéricos para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones 𝐹 𝑋 generarán unasucesión 𝑋 , 𝑛 = 1,2,3, … tal que lim
→𝑋 = 𝐴.
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Representación matricial para sistemas de ecuaciones
Criterios de aproximación para sistemas de ecuaciones
1er Criterio:
Dado un número 𝜀 > 0 y adecuadamente pequeño,que llamaremos tolerancia, podemos escoger comoaproximación a la raíz 𝛼 a un término 𝑥 de lasucesión mencionada, donde 𝑛 es el menor enteropositivo que satisface:
𝑓 𝑥 < 𝜀
2do Criterio:
Sea lim→
𝑥 = 𝛼 entonces dado 𝜀 > 0 ,
adecuadamente pequeño, ∃𝑛 tal que 𝑥 − 𝛼 <𝜀 .
El término 𝑥 de la sucesión mencionada puede serconsiderado una aproximación a la raíz, donde 𝑛 esel menor entero positivo que cumple la condición:
𝑥 − 𝑥 < 𝜀
En sistemas
Para una ecuación
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
𝐹 = 𝑓 , 𝑓 , … , 𝑓 𝑋 = 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥
𝐹 𝑋 < 𝜀 𝑋 − 𝑋 < 𝜀
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Normas vectoriales
Una norma vectorial es una función : ℝ → ℝ / 𝑋 → 𝑋 ,
y satisfice que ∀𝑋, 𝑌 ∈ ℝ , ∀𝛼 ∈ ℝ:
i. 𝑋 ≥ 0, 𝑋 = 0 ⇒ 𝑋 = 0
ii. 𝛼𝑋 = 𝛼 𝑋
iii. 𝑋 + 𝑌 ≤ 𝑋 + 𝑌
• Distancia asociada con la norma euclidiana: 𝑋 − 𝑌 = ∑ 𝑥 − 𝑦
• Distancia asociada con la norma suma: 𝑋 − 𝑌 = ∑ 𝑥 − 𝑦
• Distancia asociada con la norma del máximo: 𝑋 − 𝑌 = max 𝑥 − 𝑦
• Norma euclidiana (o norma 2):
𝑋 = 𝑥
• Norma suma (o norma 1):
𝑋 = 𝑥
• Norma del máximo (o norma ∞):𝑋 = max 𝑥
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Norma matricial inducida por la correspondiente norma vectorial :
𝐴 = max𝐴𝑋
𝑋 𝐴 ∈ ℝ ×
Entonces:
• 𝐴 = max
• 𝐴 = max .
Si 𝑋 = 1, 𝐴 = max ∑ 𝑎 norm(A,1)
• 𝐴 = max
Si 𝑋 = 1, 𝐴 = max ∑ 𝑎 norm(A,inf)
Normas matriciales
Una norma matricial es una función
: ℝ × → ℝ / 𝑋 → 𝑋 , y
satisfice que ∀𝑋, 𝑌 ∈ ℝ × , ∀𝛼 ∈ ℝ:
i. 𝑋 ≥ 0, 𝑋 ≥ 0 ⇒ 𝑋 = 0
ii. 𝛼𝑋 = 𝛼 𝑋
iii. 𝑋 + 𝑌 ≤ 𝑋 + 𝑌
Si 𝑚 = 𝑛: 𝑋 𝑌 ≤ 𝑋 𝑌
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Solución numérica de sistemas de ecuaciones linealesUn sistema de 𝑛 ecuaciones, con coeficientes reales en las 𝑛-incógnitas 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 se dice que es un sistemalineal si es de la forma:
𝐹 𝑋 =
𝑓 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 = 0
𝑓 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 = 0⋮
𝑓 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 = 0
con 𝑓 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 = 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 − 𝑏 donde 𝑎 ∈ ℝ y 𝑏 ∈ ℝ son contantes, ∀𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛.
Si 𝑋 = 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 , 𝐹 𝑋 = 0 y 𝑋 ∈ ℝ entonces 𝑋 es una solución real del sistema.
Un sistema de 𝑛 ecuaciones lineales puede escribirse de la forma:
𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 − 𝑏 = 0𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 − 𝑏 = 0
⋮𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 − 𝑏 = 0
con 𝑎 ∈ ℝ y 𝑏 ∈ ℝ, ∀𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛.
ó en la forma matricial equivalente 𝐴𝑋 = 𝑏 con:
𝐴 =
𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎
⋮𝑎
⋮𝑎 ⋯
⋮𝑎
, 𝑋 =
𝑥𝑥⋮
𝑥
, 𝑏 =
𝑏𝑏⋮
𝑏𝐴 es la matriz de coeficientes del sistema, el vector columna 𝑋 es el vector de incógnitas y 𝑏 es el vector de términos independientes.
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Consideraremos únicamente sistemas de ecuaciones lineales 𝐴𝑋 = 𝑏 con 𝐴 ∈ ℝ × que tengan solución única para cada vector 𝑏 ∈ ℝ , es decir, con 𝐴 invertible ⇒ 𝑋 = 𝐴 𝑏.
Matlab introduce una notación particular implementando los operadores \ y /. La solución a un sistema es expresada como:
X=A\b (con b vector columna) equivalente a inv(A)*b.óX=b/A (con b vector fila) equivalente a b*inv(A).
Emplea eliminación Gaussiana
Sistemas con solución única
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Se anula el determinante, matriz singular, no inversible.En Matlab:det(A)ans = 0
Si det 0 , no implica que la matriz singular, puede depender de los coeficientes de la matriz
X=b/AWarning: Matrix is singular toworking precision.X = Inf Inf Inf
Sistemas sin solución única
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos directos
Los métodos directos nos proporcionan una solución del sistema en un número finito de pasos.
Si usamos aritmética finita para los cálculos, obtendremos por lo general una solución aproximada,debido únicamente a los errores de redondeo, puesto que no hay errores de truncamiento o de fórmula.
Los métodos directos más usados tienen como base la eliminación de Gauss.
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
SustituciónSi la matriz A es triangular (superior o inferior) con todas sus componentes sobre la diagonal principal no-nulas.
Como 𝑎 ≠ 0, se puede despejar 𝑥 de la última ecuación y obtenemos:
Este método se denomina sustitución regresiva o hacia atrás. (Aproximadamente n2+n operaciones)
Si A es triangular inferior, se despeja 𝑥 de la primera ecuación. En este caso se denomina sustituciónprogresiva o hacia adelante.
𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎0 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎0⋮0
0 𝑎 ⋯⋮
0 0 ⋯
𝑎⋮
𝑎
𝑥𝑥𝑥⋮
𝑥
=
𝑏𝑏𝑏⋮
𝑏 𝑥 =𝑏
𝑎
𝑥 =𝑏 − ∑ 𝑎 𝑥
𝑎
𝑚 = 𝑛 − 1, … , 1
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Transformaciones elementales
Cualquiera de las siguientes operaciones aplicadas a la matriz ampliada produce un sistemas lineal equivalente:
• Intercambio: En el orden de las ecuaciones (filas), no altera el resultado. En el orden de las variables(columnas), altera el orden de las variables en el resultado.
• Escalado: Producto de la ecuación por constante no nula
• Sustitución: Suma de la ecuación más múltiplo de otra ecuación: 𝐸( )
= 𝐸 + 𝑐 ∗ 𝐸
Matriz ampliada: 𝐴|𝐵 =
𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑏𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑏
⋮𝑎
⋮𝑎 ⋯
⋮𝑎 𝑏
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Eliminación de GaussSi la matriz 𝐴 no es triangular, puede convertirse mediante el método de eliminación Gaussiana. El sistema 𝐴𝑋 = 𝐵 tiene la forma:
𝐸 :𝐸 :𝐸 :
⋮𝐸 :
𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎𝑎
⋮𝑎
𝑎 𝑎 ⋯⋮
𝑎 𝑎 ⋯
𝑎⋮
𝑎
𝑥𝑥𝑥⋮
𝑥
=
𝑏𝑏𝑏⋮
𝑏
Se elimina el coeficiente de 𝑥 en cada una de las ecuaciones 𝐸 , 𝐸 , … , 𝐸 para obtener un sistema equivalente 𝐴( )𝑋 = 𝐵( ), realizando las transformaciones elementales:
𝐸( )
:
𝐸( )
:
𝐸( )
:
⋮
𝐸( )
:
𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎0 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎0⋮0
0 𝑎 ⋯⋮
0 0 ⋯
𝑎⋮
𝑎
𝑥𝑥𝑥⋮
𝑥
=
𝑏𝑏𝑏⋮
𝑏
𝐸 − 𝐸 → 𝐸( )
𝑖 = 2,3, … , 𝑛
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Pivoteo
Si algún 𝑎 = 0 se deben intercambiar filas, si 𝑎 → 0 el intercambio de filas disminuye el error.
Operaciones aproximadas: 𝑛 + 𝑛 − 𝑛
Ejemplo:
𝐸 : 10𝑥 − 7𝑥 = 7𝐸 : −3𝑥 + 2𝑥 + 6𝑥 = 4𝐸 : 5𝑥 − 𝑥 + 5𝑥 = 6
Luego se elimina el coeficiente de 𝑥 en las ecuaciones 𝐸 , 𝐸 , … , 𝐸 y así sucesivamente hasta eliminar elcoeficiente de 𝑥 . En general:
pivote
multiplicador
Matriz ampliada: 𝐴|𝐵 =10 −7 0 7−35
2 6 4 −1 5 6
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
El coeficiente 10 de 𝑥 es el pivote –0.3 y 0.5 los multiplicadores
Ejemplo – Continuación:
Matriz ampliada:
pivote
multiplicador
El propósito de las estrategias de pivoteo parareducir errores es usar como “pivote” elelemento de mayor magnitud y, una vezcolocado en la diagonal principal, usarlo paraeliminar los restantes elementos de su columna(los que están por debajo de él).
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
El coeficiente 10 de 𝑥 es el pivote –0.3 y 0.5 los multiplicadores
Ejemplo – Continuación:
Matriz ampliada:
pivote
multiplicador
6.2*x3 = 6.2 x3 = 1. 2.5*x2 + (5)*(1) = 2.5 x2 = -1. 10*x1 + (-7)*(-1) = 7 x1 = 0.
Intercambio de filas
Pivote 2.5Multiplicador –0.04
Pivote 6.2
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Factorización LU
L contiene los multiplicadores utilizados en la eliminación,U la matriz final de coeficientes y P describe las permutaciones.LU = PA
AX = 𝒃𝟏 PAX = P 𝒃𝟏
LUX = P 𝒃𝟏
UX = L- 1 P 𝒃𝟏 = c Lc = P 𝒃𝟏
Los pasos a seguir son:Paso 1. Calcular P 𝒃𝟏 .Paso 2. Resolver c, en Lc = P𝒃𝟏 por sustitución progresiva.Paso 3. Resolver X, en UX = c por sustitución regresiva.
Multiplicadores
Pivotes
Siendo 𝒃𝟏 un nuevo término independiente
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Ejemplo: LU1er Ejemplo 2do Ejemplo con términos independientes cambiados
Lc=Pb, UX = c
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Otras posibilidades a partir del método de eliminación de Gauss
• Eliminación de Jordan: Se genera una matriz diagonal para eliminar la sustitución. Se eliminan elementos arribay abajo del pivote.
• Inversión de matrices: A partir de [A|B], con B matriz identidad, aplicando Jordan y escalado, se obtiene [I|B’]con B’ inversa de A.
• Determinante: A partir de la matriz triangulada det 𝐴 = −1 ∏ 𝑎 , con 𝑟 = número de intercambios de filas.
• Factorización LU: Permite reservar los parámetros de la eliminación de Gauss, para ser aplicados en la resoluciónde sistemas con igual matriz A.
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Funciones MATLAB
[L,U,P] = LU(A) Donde A puede ser una matriz rectangular
L es la matriz triangular inferior de LU con elementos 1 en la diagonalU es la matriz triangular superior de LUP es la matriz de permutaciones tal que P*A = L*U.
X=U\(L\b)
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
En los métodos iterativos o indirectos se parte de una aproximación inicial a la solución del sistema dado y se genera, a partirde dicha aproximación, una sucesión de vectores 𝑋 que deberían converger a la solución del sistema.
Son métodos que progresivamente van calculando aproximaciones a la solución de un problema.
Se repite un mismo proceso de mejora sobre una solución aproximada.
Se espera que la nueva solución sea más aproximada que la solución inicial.
El proceso se repite sobre esta nueva solución hasta que el resultado más reciente satisfaga ciertos requisitos.
A diferencia de los métodos directos, en los cuales se debe terminar el proceso para tener la respuesta, en los métodositerativos se puede suspender el proceso al término de una iteración y se obtiene una aproximación a la solución.
Además de los errores de redondeo, si se usa aritmética finita, habrá errores de truncamiento o de fórmula.
Los métodos iterativos más simples y conocidos están basados en Iteraciones de Punto Fijo.
Métodos Indirectos
Objetivo: que converja a la solución del sistema de ecuaciones 𝑋 = 𝑋( )
Valor Inicial:Fórmulas de Iteración
𝑋( ) 𝑋( ), 𝑋( ), … , 𝑋( )
Como es imposible hacer un número infinito de iteraciones, se hace un número finito de iteraciones hasta que se cumpla cierta condición
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Sea un sistema de ecuaciones 𝐴𝑋 = 𝑏, donde 𝐴 es no-singular. Dicho sistema se puede transformar en unsistema equivalente de la forma 𝑋 = 𝐵𝑋 + 𝑐 para alguna matriz 𝐵 y algún vector 𝑐.
Método de Jacobi
Matriz de iteración de Jacobi G(X)=BX+C entonces G(X)=X
𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 = 𝑏𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 = 𝑏
⋮𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 = 𝑏
𝑥 =𝑏 − 𝑎 𝑥 − ⋯ − 𝑎 𝑥
𝑎
𝑥 =𝑏 − 𝑎 𝑥 − ⋯ − 𝑎 𝑥
𝑎
𝑥 =𝑏 − 𝑎 𝑥 − ⋯ − 𝑎 𝑥
𝑎
𝑥 = −𝑎
𝑎𝑥 +
𝑏
𝑎
Sea:
𝐵 =
− 𝑖 ≠ 𝑗
0 𝑖 = 𝑗
y 𝑐 =
𝑋 = 𝐵𝑋 + 𝑐
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Fórmula de iteración del Método de Jacobi
Se construye la sucesión de vectores 𝑋( ) a partir de la fórmula de iteración 𝑋( ) = 𝐺 𝑋( ) = 𝐵𝑋( ) + 𝑐 y se esperaque converja a la única solución 𝑋 del sistema.
𝑥( )
=
𝑏 − ∑ 𝑎 𝑥( )
𝑎
Criterios de aproximación:
i) 𝑅( ) = 𝐴𝑋( ) − 𝑏 < 𝜀
ii) 𝑋( ) − 𝑋( ) < 𝜀
iii) ( ) ( )
( ) < 𝜀
Cotas para error de truncamiento:
i) 𝑋 − 𝑋( ) ≤ 𝐵 𝑋 − 𝑋 , 𝑘 ≥ 1
ii) 𝑋 − 𝑋( ) ≤ 𝑋 − 𝑋 , 𝑘 ≥ 1, 𝐵 < 1
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Convergencia del Método de JacobiDefinición: Una matriz 𝐴 es Estrictamente Diagonal Dominante (EDD) satisface: 𝑎 > ∑ 𝑎
Sea un sistema de ecuaciones 𝐴𝑋 = 𝑏, si 𝐴 es EDD entonces el método de Jacobi CONVERGE a una única solución.
𝑑𝑒𝑡 𝐵 − 𝜆𝐼 = Ecuación Característica de B
𝜌 𝐵 = 𝑚𝑎𝑥 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
𝜌 𝐵 < 1
𝜌 𝐵 ≥ 1 DIVERGE
CONVERGE
𝑋( ) = 𝐵𝑋( ) + 𝑐
𝐵 < 1 CONVERGE
𝐵 ≥ 1 No se puede asegurar la convergencia
Radio Espectral 𝜌 𝐵
Si 𝐴 es EDD entonces 𝐵 < 1 𝐵 depende de la reubicación de las filas
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Sea el sistema equivalente de la forma 𝑋 = 𝐵𝑋 + 𝑐:
𝑥𝑥𝑥
=0 −7 32 0 8
−5 2 0
𝑥𝑥𝑥
+2
−13
𝐵 − 𝜆𝐼 =−𝜆 −7 32 −𝜆 8
−5 2 −𝜆
𝑑𝑒𝑡 𝐵 − 𝜆𝐼 = −𝜆 𝜆 − 16 + 7 −2𝜆 + 40 + 3 4 − 5𝜆 = −𝜆 − 13𝜆 + 292
𝜌 𝐵 = max 5.983430269 , −2,991715 + 6,312771𝑖 , −2,991715 − 6,312771𝑖
El Método de Jacobi NO CONVERGE
−𝑥 − 7𝑥 + 3𝑥 = −22𝑥 − 𝑥 + 8𝑥 = 15𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 = 3
−1 −7 32 −1 85 −2 1
𝑥𝑥𝑥
=−213
𝐴
Forma matricial:
Se analiza si la matriz 𝐴 es EDD:
𝐴 =−1 −7 32 −1 85 −2 1
−1 ≯ −7 + 3
−1 ≯ 2 + 8
1 ≯ 5 + −2
𝐴 NO ES EDDNo se puede asegurar la convergencia. Se debe
analizar el radio espectral
Método de Jacobi - Ejemplo 1
𝜌 𝐵 = max 5.983430269 , 6.985802 = 6,985802 ≥ 1
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
−𝑥 − 7𝑥 + 3𝑥 = −22𝑥 − 𝑥 + 8𝑥 = 15𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 = 3
𝐴 NO ES EDD𝐴 =−1 −7 32 −1 85 −2 1
Intercambiando las filas obtenemos una matriz EDD:
𝑥𝑥𝑥
=
02
5−
1
5
−1
70
3
7
−1
4
1
80
𝑥𝑥𝑥
+
3
52
71
8
𝐵 = 𝑚𝑎𝑥3
5,4
7,3
8=
3
5< 1
De acuerdo al análisis de convergencia, el método iterativo de Jacobi converge a una única solución, cualquiera sea laaproximación inicial 𝑋( ).
5𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 = 3−𝑥 − 7𝑥 + 3𝑥 = −2
2𝑥 − 𝑥 + 8𝑥 = 1
𝐴 ES EDD ⇒ CONVERGE5 −2 1
−1 −7 32 −1 8
Sea el sistema equivalente de la forma 𝑋 = 𝐵𝑋 + 𝑐:
Método de Jacobi - Ejemplo 1
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Iterando con el método de Jacobi 𝑋( ) = 𝐵𝑋( ) + 𝑐, tomando como aproximación inicial 𝑋( ) = 0,0,0 y usando comocriterio de aproximación 𝑋( ) − 𝑋( ) < 10 , obtenemos:
𝑥( )
𝑥( )
𝑥( )
=
02
5−
1
5
−1
70
3
7
−1
4
1
80
𝑥( )
𝑥( )
𝑥( )
+
3
52
71
8
𝒌 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 Error
0 0 0 0
1 0.6 0.28571 0.125 0.67621
2 0.68928 0.25357 0.01071 0.14855
3 0.69929 0.19184 -0.01563 0.06786
4 0.67986 0.17912 -0.02584 0.02537
5 0.67682 0.17752 -0.02257 0.00474
6 0.67552 0.17935 -0.02201 0.00231
𝒌 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 Error
7 0.67614 0.17978 -0.02146 0.00093
8 0.67620 0.17992 -0.02156 0.00019
9 0.67621 0.17987 -0.02156 0.0001
10 0.67628 0.17986 -0.02159 0.00004
11 0.67626 0.17985 -0.02158 0.00001
12 0.67626 0.17986 -0.02158 < 𝟏𝟎 𝟓
Norma Euclidea:
𝒙𝒊(𝒌)
− 𝒙𝒊(𝒌 𝟏)
𝟐𝟑
𝒊 𝟏
Método de Jacobi - Ejemplo 1
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Método de Jacobi - Ejemplo 2
El método Jacobi no converge. Verificar intercambiando filas
No es E.D.D||BJ||=4 >1Radio espectral (BJ) , de la matriz de iteración BJ.r_espec = max(abs(eig(B))) ó r_espec = max(abs(roots(poly(B))))
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Método de Jacobi - Ejemplo 2
No es E.D.D||BJ||=8/3 >1 no se puede asegurar la convergencia, por lo tanto debemos encontrar el radio espectral (BJ). La ecuación característica es:
cuyas raíces son:
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Método de Jacobi - Ejemplo 2
De acuerdo al análisis de convergencia, el método iterativo de Jacobi converge a una única solución, cualquiera sea la aproximación inicial X(0) .
Iterando con el método de Jacobi, tomando como aproximación inicial X(0) = [0,0,0]’ , y usando como criterio de aproximación ||X(k) – X(k-1)|| < 0.001 obtenemos:
X(1) = [-.5, 1.3333, 0]’, X(2) = [.16667, 1.8333, -.27778]’…X(15) = [.99798, 1.9990, -.99842]’ X(16)=[.99873, 1.9994, -.99901]’
Como k = 16 es el primer entero positivo para el cual ||X(k) – X(k-1)|| < 0.001 entonces XX(16) es solución al problema.
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Fórmula vectorial de iteración del Método de Jacobi
Sea el sistema de ecuaciones 𝐴𝑋 = 𝑏. La matriz 𝐴 puede descomponerse como:
𝐴 = 𝐷 + 𝐿 + 𝑈
𝐷: matriz diagonal de 𝐴𝐿: matriz triangular
estrictamente inferior de 𝐴𝑈: matriz triangular
estrictamente superior de 𝐴
𝐷 =5 0 00 −7 00 0 8
𝐿 =0 0 0
−1 0 02 −1 0
𝑈 =0 −2 10 0 30 0 0
𝐴 =5 −2 1
−1 −7 32 −1 8
Entonces: 𝐴𝑋 = 𝑏 ⇔ 𝐷 + 𝐿 + 𝑈 𝑋 = 𝑏 𝐷𝑋 + 𝐿 + 𝑈 𝑋 = 𝑏𝐷𝑋 = − 𝐿 + 𝑈 𝑋 + 𝑏𝑋 = −𝐷 𝐿 + 𝑈 𝑋 + 𝐷 𝑏
𝐵 𝑐
𝑋( ) = −𝐷 𝐿 + 𝑈 𝑋 + 𝐷 𝑏 , k = 1,2, …
Matlab:[B|c] = Bc = [ -diag(1./diag(A))*(tril(A,-1)+triu(A,1)) , diag(1./diag(A))*b ]B*X+c= X= [-diag(1./diag(A))*(tril(A,-1)+triu(A,1))*X+diag(1./diag(A))*b ]con b y X vectores columna
La fórmula vectorial de iteración es:
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Método de Gauss-SeidelUna mejora del método de Jacobi es obtener 𝑥
( ) utilizando los 𝑥( )
, 𝑥( )
, … , 𝑥( ) ya calculados, dado que son
mejores aproximaciones a la solución exacta.
Sea el valor inicial 𝑥( )
, 𝑥( )
, … , 𝑥( ) , aplicando el método de Jacobi se obtiene:
𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 = 𝑏𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 = 𝑏
⋮ 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 = 𝑏
𝑥( )
=𝑏 − 𝑎 𝑥
( )− ⋯ − 𝑎 𝑥
( )
𝑎
𝑥( )
=𝑏 − 𝑎 𝑥
( )− ⋯ − 𝑎 𝑥
( )
𝑎
Dado el sistema de ecuaciones:
Para la primera iteración se tiene que:
⋮
𝑥( )
=𝑏 − 𝑎 𝑥
( )− ⋯ − 𝑎 𝑥
( )
𝑎
𝑥( )
=
𝑏 − ∑ 𝑎 𝑥( )
𝑎
Fórmula de iteración:
VALORES INICIALES
𝑥( )
=𝑏 − 𝑎 𝑥
( )− ⋯ − 𝑎 𝑥
( )
𝑎
𝑥( )
=𝑏 − 𝑎 𝑥
( )− ⋯ − 𝑎 𝑥
( )
𝑎
𝑥( )
=𝑏 − 𝑎 𝑥
( )− ⋯ − 𝑎 𝑥
( )
𝑎
⋮
Métodos Numéricos – 1er Cuatrimestre de 2019
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
𝑥( )
=𝑏 − ∑ 𝑎 𝑥 − ∑ 𝑎 𝑥
𝑎
En general para la primera iteración:
𝑥( )
=𝑏 − 𝑎 𝑥
( )− ⋯ − 𝑎 𝑥
( )
𝑎
𝑥( )
=𝑏 − 𝑎 𝑥
( )− ⋯ − 𝑎 𝑥
( )
𝑎
𝑥( )
=𝑏 − 𝑎 𝑥
( )− ⋯ − 𝑎 𝑥
( )
𝑎
⋮
En general para la iteración 𝑘 + 1 :
𝑥( )
=𝑏 − ∑ 𝑎 𝑥 − ∑ 𝑎 𝑥
𝑎
El análisis de convergencia coincide con el del método de Jacobi, aunque suele converger más rápido.
Fórmula de iteración
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Métodos Numéricos - Cap 4: Solución de sistemas de ecuaciónes 9/4/2019
9
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
𝑥( )
=2
5𝑥
( )−
1
5𝑥 +
3
5
𝑥( )
= −1
7𝑥 +
3
7𝑥 +
2
7
𝑥( )
= −1
4𝑥 +
1
8𝑥 +
1
8
5𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 = 3−𝑥 − 7𝑥 + 3𝑥 = −2
2𝑥 − 𝑥 + 8𝑥 = 1
Sea el sistema:
𝑋( ) =
02
5−
1
5
0 −2
35
16
35
0 −3
28
3
28
𝑋( ) +
3
51
50
Despejando se obtiene:
Tomando como aproximación inicial 𝑋 0 = 0,0,0 y usando como criterio de aproximación 𝑋( ) − 𝑋( ) < 10 , seobtiene:
𝐵 = 𝑚𝑎𝑥3
5,18
35,
3
14=
3
5< 1 CONVERGE
𝒌 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 Error
0 0 0 0
1 0.6 0.2 0 0.63246
2 0.68 0.18857 -0.02143 0.08361
3 0.67971 0.17943 -0.0225 0.00921
4 0.67627 0.17946 -0.02164 0.00355
𝒌 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 Error
5 0.67611 0.17985 -0.02155 0.00043
6 0.67625 0.17987 -0.02158 0.00014
7 0.67626 0.17986 -0.02158 0.000014
8 0.67626 0.17986 -0.02158 < 𝟏𝟎 𝟓
Método de Gauss-Seidel - Ejemplo 1
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
𝒌 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 Error
0 0 0 0
1 0.6 0.28571 0.125 0.67621
2 0.68928 0.25357 0.01071 0.14855
3 0.69929 0.19184 -0.01563 0.06786
4 0.67986 0.17912 -0.02584 0.02537
5 0.67682 0.17752 -0.02257 0.00474
6 0.67552 0.17935 -0.02201 0.00231
7 0.67614 0.17978 -0.02146 0.00093
8 0.67620 0.17992 -0.02156 0.00019
9 0.67621 0.17987 -0.02156 0.0001
10 0.67628 0.17986 -0.02159 0.00004
11 0.67626 0.17985 -0.02158 0.00001
12 0.67626 0.17986 -0.02158 < 10
𝒌 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 Error
0 0 0 0
1 0.6 0.2 0 0.63246
2 0.68 0.18857 -0.02143 0.08361
3 0.67971 0.17943 -0.0225 0.00921
4 0.67627 0.17946 -0.02164 0.00355
5 0.67611 0.17985 -0.02155 0.00043
6 0.67625 0.17987 -0.02158 0.00014
7 0.67626 0.17986 -0.02158 0.000014
8 0.67626 0.17986 -0.02158 < 10
Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel
Comparación de los métodos
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Método de Gauss-Seidel - Ejemplo 2
||BG||= 3 >1
𝜌 𝐵 = 𝑚𝑎𝑥 0 , −1
2,
9
5=
9
5> 1
Entonces el método diverge
En este caso, como la matriz BG es triangular, los autovalores son los elementos de la diagonal.
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Método de Gauss-Seidel - Ejemplo 2
Como ||BG|| >1 no podemos asegurar la convergencia, pero (BG) = Max {0,1/2,5/9} <1 entonces el método de Gauss-Seidel converge a la única solución del sistema dado, cualquiera sea la aproximación inicial.
XX(13) = [.99898 ,1.9996 , -.99952] es solución al problema.
Intercambiando filas obtenemos:
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Métodos Numéricos - Cap 4: Solución de sistemas de ecuaciónes 9/4/2019
10
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Fórmula vectorial de iteración del Método de Gauss-Seidel
𝑥( )
=𝑏 − ∑ 𝑎 𝑥 − ∑ 𝑎 𝑥
𝑎Partiendo de la fórmula de iteración:
𝑎 𝑥( )
= 𝑏 − 𝑎 𝑥 − 𝑎 𝑥
𝑎 𝑥( )
+ 𝑎 𝑥 = −𝑎 𝑥 + 𝑏
𝑎 𝑥 = −𝑎 𝑥 + 𝑏
𝐴 = 𝐷 + 𝐿 + 𝑈
𝐷: matriz diagonal de 𝐴
𝐿: matriz triangular estrictamente inferior de 𝐴
𝑈: matriz triangular estrictamente superior de 𝐴
𝐷 + 𝐿 𝑋( ) = −𝑈 𝑋( ) + 𝑏
𝑋( ) = 𝐷 + 𝐿 −𝑈 𝑋 + 𝐷 + 𝐿 𝑏 , k = 1,2, …
Entonces:
Matlab:[B|c] = Bc=[tril(A)^-1*-triu(A,1) , (tril(A))^-1*b ]B*X+c= X=[tril(A)^-1*-triu(A,1)*X+(tril(A))^-1*b ]
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Para resolver sistemas de ecuaciones no lineales, se pueden aplicar los métodos abiertos aplicados a la resolución de ecuaciones no lineales:
• Punto fijo
• Newton-Raphson
siendo necesario hacer una transformación a variables vectorizadas.
Sistema de ecuaciones no lineales
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Método de punto fijo: Para resolución de ecuaciones teníamos: 𝑓 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝑔 𝑥
Para sistemas de ecuaciones no lineales: Sean 𝐹 = 𝑓 , 𝑓 , … , 𝑓 y 𝑋 = 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 .
𝐺 = 𝑔 , 𝑔 , … , 𝑔 donde: 𝑥 = 𝑔 𝑋 , 𝑥 = 𝑔 𝑋 , ..., 𝑥 = 𝑔 𝑋
𝐹 𝑋 = 0, 𝑋 = 𝐺 𝑋 ⇒ 𝑋 = 𝐺 𝑋
Condición de convergencia para resolución de ecuaciones: 𝑔′ 𝑥 < 1. Sabemos que: 𝛼 − 𝑥 ≤ 𝑥 − 𝑥
Para sistemas de ecuaciones no lineales:
+ + ⋯ + ≤ 𝐾 < 1 + + ⋯ + ≤ 𝐾 < 1 ….
En general, existe un único punto fijo, si: ≤ para 0 ≤ 𝐾 < 1, y 𝐴 − 𝑋 ≤ 𝑋 − 𝑋
Sistema de ecuaciones no lineales
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Para resolución de ecuaciones: Además, si 𝑔′ 𝑥 existe para todo 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 y 𝑔′ 𝑥 ≤ 𝐾 < 1 para todo 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , 𝐾 constante, entonces 𝑔 𝑥 tiene un único punto fijo 𝛼 en 𝑎, 𝑏 .
Para resolución de ecuaciones: Si 𝑔 𝑥 es una función continua en 𝑎, 𝑏 y 𝑔 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 para todo 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 ,entonces 𝑔 𝑥 tiene por lo menos un punto fijo en 𝑎, 𝑏 .
Para resolución de sistemas: Si 𝐷 = 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 ∈ ℝ ∕ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 , 𝑔 𝑋 continuas y𝐺 𝑋 ∈ 𝐷 para todo 𝑋 ∈ 𝐷, entonces 𝐺 𝑋 tiene por lo menos un punto fijo en 𝐷.
Para resolución de sistemas: Además, si existen las derivadas parciales continuas en 𝐷 y para todo 𝑋 ∈ 𝐷
≤ entonces 𝐺 𝑋 tiene un único punto fijo en D .
Teorema del punto fijo para sistemas de ecuaciones
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11
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Ejemplo 1
𝑥 + 𝑦 − 1 = 0
𝑥 − 𝑦 − 1 = 0
𝑥 + 𝑦 − 1 𝑥 − 𝑦 − 1
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
no converge
Ejemplo 1: Punto FijoSi 𝐷 = 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 ∈ ℝ ∕ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 , 𝑔 𝑋 continuas y 𝐺 𝑋 ∈ 𝐷 para todo 𝑋 ∈ 𝐷 ,entonces 𝐺 𝑋 tiene por lo menos un punto fijo en 𝐷.
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 − 1
𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑥 = −𝑦 + 1
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 − 1
𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑦 = 𝑥 − 1
𝐺 = −𝑦 + 1, 𝑥 − 1
𝑋 = 𝑥, 𝑦 𝐷 = −1.5,1.5𝐺 ∉ ℝ para todo 𝑋 ∈ 𝐷
Opción A:
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
no converge
Ejemplo 1: Punto FijoSi 𝐷 = 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 ∈ ℝ ∕ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 , 𝑔 𝑋 continuas y 𝐺 𝑋 ∈ 𝐷 para todo 𝑋 ∈ 𝐷 ,entonces 𝐺 𝑋 tiene por lo menos un punto fijo en 𝐷.
𝐺 = −𝑥 + 1, 𝑦 + 1
𝑋 = 𝑥, 𝑦 𝐷 = −1.5,1.5𝐺 ∉ ℝ para todo 𝑋 ∈ 𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 − 1
𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑦 = −𝑥 + 1
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 − 1
𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑥 = 𝑦 + 1
Opción B:
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
dg1/dy = diff('sqrt(-y^2+1)','y')dg1/dy = -1/(-y^2+1)^(1/2)*y
dg1/dx = diff('sqrt(-y^2+1)',‘x')dg1/dx = 0
Analizando en -1.5≤ x,y ≤1.5dg1/dy + dg1/dx n en [-1,1]dg1/dy + dg1/dx < 1 en [-0.7,0.7]
dg2/dx = diff('sqrt(x^2-1)','x')dg2/dx = 1/(x^2-1)^(1/2)*x
dg2/dy = diff('sqrt(x^2-1)',‘y')dg2/dy= 0
Analizando en -1.5≤ x,y ≤1.5dg2/dy + dg2/dx n en [-1,1]dg2/dy + dg2/dx > 1 en [-1.5,-1] y [1,1.5]
no converge
Ejemplo 1: Punto Fijo
Opción A:𝑥 + 𝑦 − 1 = 0
𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 ⇒
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 − 1
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 − 1𝐹 =
𝑥 + 𝑦 − 1
𝑥 − 𝑦 − 1𝑋 = 𝑥 𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 ⇒
𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑥 = −𝑦 + 1
𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑦 = 𝑥 − 1⇒ 𝐺 = −𝑦 + 1, 𝑥 − 1
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Métodos Numéricos - Cap 4: Solución de sistemas de ecuaciónes 9/4/2019
12
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
dg1/dx = diff('sqrt(-x^2+1)',‘x')dg1/dx = -1/(-x^2+1)^(1/2)*x
dg1/dy = diff('sqrt(-x^2+1)',‘y')dg1/dy = 0
Analizando en -1.5≤ x,y ≤1.5dg1/dy + dg1/dx n ó >1
dg2/dy = diff('sqrt(y^2+1)',‘y')dg2/dy = 1/(y^2+1)^(1/2)*y
dg2/dx = diff('sqrt(y^2+1)',‘x')dg2/dx= 0
Analizando en -1.5≤ x,y ≤1.5dg2/dy + dg2/dx < 1
no converge
Verificar en un intervalo menor, por ej:
[-0.7,0.7]
Ejemplo 1: Punto Fijo
Opción B: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 ⇒
𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑦 = −𝑥 + 1
𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑥 = 𝑦 + 1⇒ 𝐺 = −𝑥 + 1, 𝑦 + 1
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Para 0 ≤ 𝑥, 𝑦 ≤ 1.5:
0 ≤𝑥 + 𝑦 + 8
10≤ 1.25 ≤ 1.5
0 ≤𝑥𝑦 + 𝑥 + 8
10≤ 1.287 ≤ 1.5
𝐺 𝑋 ∈ 𝐷 para todo 𝑋 ∈ 𝐷 entonces 𝐺 𝑋tiene por lo menos un punto fijo en 𝐷.
>> ezplot('x^2-10*x+y^2+8',[-10,10])>> ezplot('x*y^2-10*y+x+8',[-10,10])
Ejemplo 2: Punto Fijo
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 10𝑥 + 𝑦 + 8
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 + 𝑥 − 10𝑦 + 8 ⇒
𝑥 − 10𝑥 + 𝑦 + 8 = 0
𝑥𝑦 + 𝑥 − 10𝑦 + 8 = 0
𝑥 =𝑥 + 𝑦 + 8
10= 𝑔 𝑥, 𝑦
𝑦 =𝑥𝑦 + 𝑥 + 8
10= 𝑔 𝑥, 𝑦
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
dg1/dx=diff('(x^2+y^2+8)/10','x')dg1/dx =1/5*x
dg1/dy=diff('(x^2+y^2+8)/10','y')dg1/dy =1/5*y
dg2/dx=diff('(x*y^2+x+8)/10','x')dg2/dx =1/10*y^2+1/10 =(y^2+1)/10
dg2/dy=diff('(x*y^2+x+8)/10','y')dg2/dy =1/5*x*y
Máx. para 0 ≤ x,y ≤1.5
dg1/dx = x/5 = 0.3
dg1/dy = y/5 = 0.3
dg2/dx = (y^2+1)/10 = 0.325
dg2/dy = x*y/5 = 0.45
converge
Ejemplo 2: Punto Fijo
𝑥, 𝑦 ≤ =,
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
>> X=[0.5,0.5]>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]X = 0.8500 0.8625>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]X = 0.9466 0.9482>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]X = 0.9795 0.9798>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]X = 0.9919 0.9920>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]X = 0.9968 0.9968
>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]X = 0.9987 0.9987>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]X = 0.9995 0.9995>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]X = 0.9998 0.9998>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]X = 0.9999 0.9999>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]X = 1.0000 1.0000
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Sistema de ecuaciones no lineales
Método de Newton: Para resolución de ecuaciones teníamos: 𝑥 = 𝑥 −
Para sistemas de ecuaciones no lineales: Sean 𝐹 = 𝑓 , 𝑓 , … , 𝑓 y 𝑋 = 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 .
𝐹 𝑋 = 0 ⇒ 𝑋 = 𝑋 − 𝐽 𝐹 𝑋 , 𝑋 ∗ 𝐹 𝑋 con: 𝐽 𝐹 𝑋 , 𝑋 ≠ 0
donde el Jacobiano es:
𝐽 𝐹, 𝑋 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
En Matlab, el jacobiano se determina de la siguiente manera: (toolbox symbolic)syms var1 var2 .....Jacobian ([f1,f2,...],[var1,var2,.....])
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
syms x yJ=Jacobian ([‘x^2+y^2-1, x^2-y^2-1’],[x,y])
Va convergiendo
Ejemplo 1: Newton
𝑋 = 𝑋 − 𝐽 𝐹 𝑋 , 𝑋 ∗ 𝐹 𝑋
𝑋 = 𝑥 𝑦𝑥 + 𝑦 − 1 = 0
𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 ⇒
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 − 1
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 − 1
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Ejemplo 2: Newton
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
syms x y>>F=[x^2-10*x+y^2+8;x*y^2-10*y+x+8]F =x^2-10*x+y^2+8x*y^2-10*y+x+8>> X=[x;y]X =xy>> N=X-jacobian(F)\F % o N=X-F/jacobian(F)‘ con F y X vector filaN =x-(-40+5*y^2+7*x*y-8*y-10*x^2*y+x^3*y+50*x-5*x^2)/(-y^3-y+2*x^2*y-10*x*y-10*x+50)y-1/2*(-88+x^2-20*x*y+100*y+16*x-9*y^2+y^2*x^2-y^4)/(-y^3-y+2*x^2*y-10*x*y-10*x+50)
Ejemplo 2: Newton – Empleando Matlab
>>X=subs(N,[x;y],[0.5;0.5])X =
0.93770.9392
>> X=subs(N,[x;y],X)X =
0.99870.9984
>> X=subs(N,[x;y],X)X =
1.00001.0000
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14
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Xk+1 = Xk – J-1 (F(xk), xk) * F(xk) Xk+1 - Xk = – J-1 (F(xk), xk) * F(xk)
J (F(xk), xk) *(Xk+1 - Xk ) = –F(xk)
Si Zk+1 = (Xk+1 - Xk ) J (F(xk), xk) *Zk+1 = –F(xk) con |Zk+1|<
Se evita invertir el Jacobiano en cada iteración
Método de Newton Simplificado – Ejemplo 2
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
• No es fácil encontrar buenos valores iniciales.Conocer el problema.
• No es posible graficar superficies multidimensionales (n>2).Reducción de ecuaciones.Partición del sistema de ecuaciones.
Dificultades en la solución de sistemas de ecuaciones no lineales
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Ventajas:
• Más eficientes que los directos para sistemas de orden muy alto.
• Más simples de programar.
• Pueden encontrarse aproximaciones a la solución.
• Son menos sensibles a los errores de redondeo (importante en sistemas mal condicionados).
Desventajas:
• Si se tienen varios sistemas que comparten la matriz de coeficientes, esto no representará ahorro decalculo, ya que por cada vector a la derecha de A tendrá que aplicarse el método.
• Aunque la convergencia esté asegurada puede ser lenta (En Gauss no es predecible).
• No se obtiene ni det(A) ni A-1
Métodos indirectos o iterativos
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Matrices ralas
Las matrices asociadas con los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en densas y ralas.
Las matrices densas tienen pocos elementos nulos y su orden es relativamente pequeño (≤ 100). Pararesolver sistemas con matrices densas pueden ser utilizados los métodos directos.
Las matrices ralas tienen pocos elementos no nulos y surgen, por ejemplo, al resolver ecuacionesdiferenciales por métodos de diferencias finitas; su orden puede ser muy grande. Para resolver sistemascon matrices ralas son recomendados los métodos iterativos.
Matlab, de todos modos, posee funciones para trabajar con matrices ralas (consideradas un tipo de dato)y particularmente para resolver sistemas de ecuaciones con métodos directos. ( luinc, cholinc ).
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Métodos Numéricos - Cap 4: Solución de sistemas de ecuaciónes 9/4/2019
15
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Condicionamiento del sistema
El hecho de que las computadoras pueden representar sólo un número finito de números reales y de forma aproximada, tiene
una consecuencia inmediata en el cálculo numérico. Aún cuando un algoritmo haya sido diseñado teóricamente para producir
la respuesta exacta a un problema, su implementación es una computadora rara vez producirá tal respuesta. La cuestión
entonces radica en saber cuándo se puede confiar en una respuesta obtenida.
Los algoritmos en los que se puede confiar son algoritmos ESTABLES, es decir, son aquellos que producen una respuesta casi
exacta cuando se aplican a datos que son casi exactos.
Otros sistemas de ecuaciones lineales son extremadamente sensibles a los errores de redondeo que puedan producirse en el
proceso de resolución. En algunos casos esto podría arreglarse mediante el uso de estrategias de pivoteo. En otros casos, ni
siquiera el uso de esas técnicas consiguen llevar a una resolución precisa. Estamos frente a los sistemas MAL
CONDICIONADOS.
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Condicionamiento del sistema
En el cálculo numérico, los errores están siempre presentes. Hay errores de muy diversas procedencias, principalmente:
• Errores en las mediciones o en las estimaciones previas (posiblemente grandes: a menudo los datos en ingeniería oeconomía son conocidos con pocos dígitos).
• Errores en la forma en que las computadoras almacenan los números (32 o 64 bits, según sea simple o doble precisión, porlo tanto se producen errores de redondeo).
• Errores como resultado de cálculos anteriores si, por ejemplo, los datos proceden de soluciones numéricas a problemasprevios.
Hay problemas que son especialmente sensibles a estos tipos de errores. El estudio de cómo éstos afectan a las respuestascalculadas pertenece a una disciplina denominada “Teoría de la Perturbación”. En ella se pretende estimar cuanto puedecambiar la solución de un problema cuando los datos de partida son modificados ligeramente.
El objetivo del “Análisis Numérico” es diseñar algoritmos que sean lo más insensibles posible a los errores, es decir, generaralgoritmos ESTABLES.
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
0 1 2 3 4 50
1
2
3
4
5
-1/2*x+y=1
-x+2*y=2 ∞ soluciones
0 1 2 3 4 50
1
2
3
4
5
-1/2*x+y=1
-2.3/5*x+y=1.1
Mal condicionado
Condicionamiento del sistema
0 1 2 3 4 50
1
2
3
4
5
-1/2*x+y=1
-1/2*x+y=1/2 Sin solución
0 1 2 3 4 50
1
2
3
4
5
-1/2*x+y=1
3*x+2*y=18
Solución únicaBien condicionado
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Si 𝑋 es solución exacta de un sistema lineal 𝐴𝑋 = 𝑏, 𝐴 invertible, 𝑏 ≠ 0, y 𝑋 es una solución aproximada dedicho sistema, entonces 𝑒 = 𝑋 − 𝑋 es el vector error de 𝑋 (desconocido) y 𝑅 = 𝐴𝑋 − 𝑏 es el vector errorresidual, el cual mide hasta dónde la solución aproximada 𝑋 satisface el sistema.
Si 𝑅 = 0 entonces 𝑋 = 𝑋 . Por lo tanto, 𝑒 = 0.
𝑋 tal que 𝐴𝑋 = 𝑅 + 𝑏 y 𝑋 es solución de una perturbación del sistema 𝐴𝑋 = 𝑏.
Si 𝑹 es “pequeño” entonces 𝒆 también es “pequeño”?
Condicionamiento del sistema
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Métodos Numéricos - Cap 4: Solución de sistemas de ecuaciónes 9/4/2019
16
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Ejemplos: Sea 𝑋 =𝑥𝑦
1)𝑥 + 𝑦 = 2
10,05𝑥 + 10𝑦 = 21𝑋 =
20−18
Un coeficiente perturbado en aproximadamente 0,5%:
𝑥 + 𝑦 = 210,1𝑥 + 10𝑦 = 21
𝑋 =10−8
Cambio relativo de aproximadamente el 50% en la solución.
𝑅 = 𝐴𝑋 − 𝑏 =1 1
10,05 1010−8
−2
21=
220,5
−2
21=
0−0,5
𝑒 = 𝑚𝑎𝑥 −10 , 10 = 10
𝑅 = 𝑚𝑎𝑥 0 , −0,5 = 0,5
Sistemas mal condicionados
𝑒 = 𝑋 − 𝑋 =−1010
El error en la solución es “grande” y el error residual es “pequeño”.
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Ejemplos: Sea 𝑋 =𝑥𝑦
2) 4,1𝑥 + 2,8𝑦 = 4,19,7𝑥 + 6,6𝑦 = 9,7
𝑋 =10
Una perturbación de aproximadamente 0,2% en el término independiente:
4,1𝑥 + 2,8𝑦 = 4,119,7𝑥 + 6,6𝑦 = 9,7
𝑋 =0,340,97
Cambio relativo de aproximadamente 66% en la solución.
𝑅 = 𝐴𝑋 − 𝑏 =4,1 2,89,7 6,6
0,340,97
−4,19,7
=4,119,7
−4,19,7
=0,01
0
𝑒 = 𝑚𝑎𝑥 0,34 , 0,97 = 0,97
𝑅 = 𝑚𝑎𝑥 0,1 , 0 = 0,01
Sistemas mal condicionados
El error en la solución es “grande” y el error residual es “pequeño”.
𝑒 = 𝑋 − 𝑋 =0,660,97
Se puede probar que si es “pequeño” entonces es “pequeño” si se satisface la condición 𝐴 𝐴 ≈ 1
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Ejemplos: Sea 𝑋 =𝑥𝑦
3)4𝑥 + 5𝑦 = 14
10𝑥 + 6𝑦 = 22𝑋 =
12
Un coeficiente perturbado en aproximadamente 11%:
4,5𝑥 + 5𝑦 = 1410𝑥 + 6𝑦 = 22
𝑋 =1,13041,7826
Cambio relativo de aproximadamente el 15% en la solución.
𝑅 = 𝐴𝑋 − 𝑏 =4 5
10 6
1,13041,7826
−1422
=13,434621,9996
−1422
=−0,5654−0,0004
𝑒 = 𝑚𝑎𝑥 0,1304 , −0,2174 = 0,2174
𝑅 = 𝑚𝑎𝑥 −0,5654 , −0,0004 = 0,5654
Sistemas bien condicionados
𝑒 = 𝑋 − 𝑋 =0,1304
−0,2174
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Número de condiciónEl número resultante de 𝐴 𝐴 se llama número de condición de la matriz no-singular 𝐴 relativo a unanorma matricial y se denota por 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 .
𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 ≥ 1, cualquiera sea la norma matricial inducida.
𝐼 = 𝐴𝐴 , 𝐼 ≤ 𝐴 𝐴 𝑦 𝐼 = max 𝐼𝑋
𝑋= max
𝑋
𝑋= 1
Si 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 ≈ 1 entonces 𝐴 está bien condicionada, es decir, el sistema 𝐴𝑋 = 𝑏 está bien condicionado.
Si 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 ≫ 1 entonces 𝐴 está mal condicionada, es posible que 𝐴 tenga un mal comportamiento, en elsentido que un error residual relativo pequeño puede corresponder a una solución aproximada mala. Elsistema 𝐴𝑋 = 𝑏 está mal condicionado.
Por ejemplo, para el ejemplo 1 desarrollado anteriormente se tiene que:
𝐶𝑜𝑛𝑑1 1
10,05 10=
1 110,05 10
−200 20201 −20
= 20,05 ∗ 221 = 4431,05 ≫ 1
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Métodos Numéricos - Cap 4: Solución de sistemas de ecuaciónes 9/4/2019
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Relación residuo-error solución
La relación entre y es:
𝑅
𝑏∗
1
𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴≤
𝑒
𝑋≤
𝑅
𝑏∗ 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴
𝑒 = 𝑚𝑎𝑥 −10 , 10 = 10
𝑅 = 𝑚𝑎𝑥 0 , −0,5 = 0,5
𝐶𝑜𝑛𝑑1 1
10,05 10=
1 110,05 10
−200 20201 −20
= 20,05 ∗ 221 = 4431,05
𝑥 + 𝑦 = 210,05𝑥 + 10𝑦 = 21
𝑋 =20
−18 𝑋 =
10−8
0,5
21∗
1
4431,05≤
𝑋 − 𝑋
𝑋≤
0,5
21∗ 4431,05 ⇒ 5,37 ∗ 10 ≤
𝑋 − 𝑋
𝑋≤ 105,50
Para el ejemplo 1:
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Relación residuo-error solución
La relación entre y es:
𝑅
𝑏∗
1
𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴≤
𝑒
𝑋≤
𝑅
𝑏∗ 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴
𝐶𝑜𝑛𝑑4,1 2,89,7 6,6
= 2249,4
4,1𝑥 + 2,8𝑦 = 4,19,7𝑥 + 6,6𝑦 = 9,7
𝑋 =10
𝑋 =0,340,97
0,01
9,7∗
1
2249,4≤
𝑋 − 𝑋
𝑋≤
0,01
9,7∗ 2249,4 ⇒ 4,5831 ∗ 10 ≤
𝑋 − 𝑋
𝑋≤ 2,2494
Para el ejemplo 2:
𝑒 = 𝑚𝑎𝑥 0,34 , 0,97 = 0,97
𝑅 = 𝑚𝑎𝑥 0,1 , 0 = 0,01
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Relación residuo-error solución
La relación entre y es:
𝑅
𝑏∗
1
𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴≤
𝑒
𝑋≤
𝑅
𝑏∗ 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴
𝐶𝑜𝑛𝑑4 5
10 6= 6,6575
4𝑥 + 5𝑦 = 1410𝑥 + 6𝑦 = 22
𝑋 =12
𝑋 =1,13041,7826
0,2174
22∗
1
6,6575≤
𝑋 − 𝑋
𝑋≤
0,2174
22∗ 6,6575 ⇒ 0,0039 ≤
𝑋 − 𝑋
𝑋≤ 0,0257
Para el ejemplo 3:
𝑒 = 𝑚𝑎𝑥 0,1304 , −0,2174 = 0,2174
𝑅 = 𝑚𝑎𝑥 −0,5654 , −0,0004 = 0,5654
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Cota del error relativoDado un sistema 𝐴𝑋 = 𝑏, si 𝛿𝐴 y 𝛿𝑏 denotan perturbaciones en 𝐴 y 𝑏 respectivamente, se puede establecer unacota para el error relativo en términos de las perturbaciones relativas y el número de condición de 𝐴.
Si 𝑋 es la solución exacta de 𝐴𝑋 = 𝑏 y 𝑋 es la solución exacta del sistema perturbado 𝐴 + 𝛿𝐴 𝑋 = 𝑏 + 𝛿𝑏.
Si 𝐴 es no-singular, 𝛿𝐴 < , lo que asegura que 𝐴 + 𝛿𝐴 es invertible y que 1 − 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 > 0.
Por lo tanto:𝑋 − 𝑋
𝑋≤
𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴
1 − 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴𝛿𝐴𝐴
𝛿𝑏
𝑏+
𝛿𝐴
𝐴
Para el ejemplo 2:
𝛿𝐴 = 0 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 ∗𝛿𝑏
𝑏= 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 ∗
0,01
9,7= 2249,4 ∗ 0,001 = 2,2494 ≥
𝑋 − 𝑋
𝑋
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