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Unidad 4 – Polinomios PÁGINA 58
SOLUCIONES__________________________________________________________________
Sacar factor común.
a) b)
Evaluar un polinomio en un punto.
Dado el polinomio P(x) = x4 – x3 – x + 1, podemos asegurar que:
a) P(1) = 14 – 13 – 1 + 1 = 1 – 1 – 1 + 1 = 0 b) P(-1) = (-1) 4 – (-1) 3 – (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 + 1= 4 c) P(2) = 24 – 23 – 2 + 1 = 16 – 8 – 2 + 1 = 7 d) P(-2) = (-2) 4 – (-2) 3 – (-2) + 1 = 16 + 8 + 2 + 1= 27
Realizar operaciones sencillas con polinomios.
a)
b)
c)
d)
2 2 2 2 23 5 (2 3 ) 2( 5) 3 5 2 3 2 10 2 7 10x x x x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � � � �
2 2 3 2 2
2 3 2 2 3 2
(3 5 ) (2 4) ( 3) ( 2) 6 12 10 20 ( 2 3 6)6 12 10 20 2 3 6 10 15 11 6
x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � �� � � �
2
2 2 2
2(3 4) (2 3) (2 3) (6 8) (2 3) 2 312 18 16 24 2 3 10 24
x x x x x x x x x xx x x x x x x� � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � �
3 2 3 3 3 5 5 33 (2 ) 2 6 3 3 8x x x x x x x x x� � � � � � � � �
3 2 25 10 5 5 ( 2 1)x x x x x x� � � � � �3 6 3 ( 2)x x� � � �
92
PÁGINA 60
SOLUCIONES__________________________________________________________________
1.
MONOMIO COEFICIENTE PARTE LITERAL GRADO a) -3'4xy -3'4 xy 2 b) xy3 1 xy3 4c) 3x5 3 x5 5d) 5 5 x0 0
2. 3x2y2 ; -7xy3; x3y
3.a) b)
c) d)
3 3 3 32 5 4x yz x yz x yz x yz� � � � 3 2 3 6 35 3 (4 ) 60x x y xz x yz� � �
3 4 2 4 4 4 42 2 ( 2) 2x xy x y x y� � �3 3 3 2(18 ) : 6 3x yz xyz x�
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SOLUCIONES__________________________________________________________________
4.El grado del polinomio coincide con el del monomio de mayor grado, en este caso, el grado del polinomio P(x) es 7.
Los coeficientes del polinomio ordenados desde el monomio de mayor grado al del menor son: -3, 2, -3, 2, -1, -3
5.Si el polinomio es de grado 5 su término de mayor grado es x5.Si el coeficiente de grado 2 es -5, el sumando de grado 2 es -5x2.Y puesto que el término independiente es 3, el polinomio más sencillo que cumple las condiciones pedidas es: P(x) = x5 - 5x2 +3. A este polinomio le podemos añadir cualquier sumando de grado 4, 3 o de grado uno. Por ejemplo: P(x) = x5 + 4x4 – 2x3 - 5x2 + 9x +3.
6.Un polinomio es completo si tiene todos los términos de todos los grados.P(x, y) = x3 – 2x2y + 3xy2 -7y3 – x2 + xy – y2 + 3x – 6y +1
7.Dado el polinomio P(x) = -x4 + 3x3 + x2 – 2x – 2:
a) P(1) = -14 + 3.13 + 12 - 2.1 - 2 = -1 + 3 + 1 - 2 - 2 = -1 b) P(-1) = - (-1)4 + 3.(-1)3 + (-1)2 - 2.(-1) - 2 = -1 – 3 + 1 + 2 – 2 = -3 c) P(2) = -2 4 + 3.2 3 + 2 2 - 2. 2 - 2 = -16 + 24 + 4 – 4 - 2 = 6 d) P(-2) = - (-2) 4 + 3.(-2) 3 + (-2) 2 - 2.(-2) - 2 = -16 - 24 + 4 + 4 - 2 = -34 e) P(3) = -34 + 3.33 + 32 - 2.3 - 2 = -81 + 81 + 9 - 6 - 2 = 1 f) P(-3) = - (-3)4 + 3.(-3)3 + (-3)2 - 2.(-3) - 2 = -81 - 81 + 9 + 6 - 2 = -149
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SOLUCIONES__________________________________________________________________
8.Sean los polinomios: P(x) = x2 – 3x; Q(x) = -3x4 + 2x3 -3x2 ; y R(x) = 3x2 – 2x + 4. Entonces:
a)
b)
c)
9. a)
b)
c)
2 2 2 2 2( ) ( ) 3 (3 2 4) 3 3 2 4 2 4P x R x x x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � � �
4 3 2 2
6 5 4 5 4 3 4 3 2 6 5 4 3 2
( ) ( ) ( 3 2 3 ) (3 2 4)9 6 12 6 4 8 9 6 12 9 12 25 14 12
Q x R x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x� � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � �
4 3 2 2 2
4 3 2 4 3 2 3 2
3 2
( ) ( ) ( ) 3 2 3 ( 3 ) (3 2 4)3 2 3 (3 2 4 9 6 12 )9 7 12
Q x P x R x x x x x x x xx x x x x x x x xx x x
� � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � �
� � �
2 3 2 3 2 5 4 2 4 3 5 4 3
5 4 3 2 5 4 3 5 4 3 2
(3 2 ) ( 3 2) (2 3 5) ( 3 9 6 2 6 4 ) (2 3 5 )3 11 6 6 4 2 3 5 5 14 11 6 4x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � �
2 3 2 2 2
3 2 2 2 3 2
( 3 ) (2 3) (2 3) ( 4) 2 3 6 9 (2 8 3 12)2 3 6 9 2 8 3 12 2 5 2 12x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � �
4 3 2 2 3 2 4 3 2 4 4 3 4 3 23 2 3 (3 2 ) 2 (2 3 ) 3 2 9 6 4 6 7 4 9x x x x x x x x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � � � � �95
d)
10.Aplicando las igualdades notables
tenemos que:
a)
b)
c)
5 3 2 2 2 5 5 4 3 4 2 3
5 5 4 3 4 2 3 5 4 3
3 2 ( 3 2 ) (2 5 ) ( 3 2 ) 3 6 4 ( 6 4 15 10 )3 6 4 6 4 15 10 9 8 16 15
x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � �
2 2 2 2(2 3) (2 ) 2 (2 ) 3 3 4 12 9x x x x x� � � � � � � � �
2 2 2 2 2 2 4 3 2( 3 5 ) ( 3 ) 2 ( 3 ) (5 ) (5 ) 9 30 25x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � �
� �2 3 2 2 2 2 2 2 2 2
2 3 4 2 3 4 4 5 5 6 6 5 4 3
(2 ) (2 ) (2 ) (2 ) 2 (2 ) ( ) ( ) (2 )
(4 4 ) (2 ) 8 4 8 4 2 6 12 8
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x
� � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � �
2 2 2
2 2 2
( ) 2( ) 2a b a ab ba b a ab b� � � �
� � � �
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SOLUCIONES__________________________________________________________________
11.a) (3x4 - 2x3 - x + 5) : (-x2 + 3)
b) (5x5 - 3x3 + 2x - 5) : (x2 – 3x + 4)
c) (-6x6 + 19x5 - 47x4 + 61x3 - 68x2 + 42x - 5) : (-2x3 + 5x2 – 9x + 4)
d) (-14x6 + 10x5 - 44x4 + 49x3 - 48x2 + 43x - 23) : (-2x3 – 4x + 3)
2( ) 3 2 12( ) 7 41
C x x xR x x
� � � �� � �
3 2( ) 5 15 22 6( ) 68 29
C x x x xR x x
� � � �� �
3 2( ) 3 2 5 3( ) 5 7
C x x x xR x x
� � � �� � �
3 2
2
( ) 7 5 8 4( ) 3 11
C x x x xR x x x
� � � �
� � � �
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SOLUCIONES__________________________________________________________________
12.Aplicando las igualdades notables
tenemos que:
a) b)
c) d)
e) f)
13. a) b)
c) d)
2 2 2
2 2 2
2 2
( ) 2( ) 2( ) ( )
a b a ab ba b a ab ba b a b a b
� � � �
� � � �
� � � � �
2 2 2 2( 2) 2 2 2 4 4x x x x x� � � � � � � 2 2 2 2( 3) 2 3 3 6 9x x x x x� � � � � � �
2 2 2 2(2 1) (2 ) 2 (2 ) 1 4 4 1x x x x x� � � � � � � � 2 2 2(3 1) (3 1) (3 ) (1) 9 1x x x x� � � � � � �
2 2 2 2 2 2 4 2( 3) ( ) 2 ( ) 3 3 6 9x x x x x� � � � � � � � � � � �2 2 2
( 2 5) (2 5) (5 2 ) (5 2 )(5) (2 ) 25 4
x x x xx x
� � � � � � � � �
� � �
2 2 2 24 4 2 2 2 ( 2)x x x x x� � � � � � �
2 2 2 28 16 2 4 4 ( 4)x x x x x� � � � � � �
2 2 29 16 (3 ) 4 (3 4) (3 4)x x x x� � � � � � �
� �28 4 2 4 44 3 (2 ) 3 (2 3) (2 3)x x x x� � � � � � �
98
e) f)
14. a) b)
c) d)
� �26 3 3 3 2
3 2
4 20 25 2 2 2 5 5
(2 5)
x x x x
x
� � � � � � �
� �� �24 2 2 2 2
2 2
4 4 1 2 2 2 1 1
(2 1)
x x x x
x
� � � � � � �
� �
� �2 3 24 6 2 2 2 3x x x x x x� � � � � � � �4 2 2 4 3 2 2 312 6 15 3 4 2 5x y x y x y x y x y y x� � � � � �
� �2 23 2 10 3 2 10xy xy x yz xy y xz� � � � � � � � 2 2 2 2
2
2 ( 3) 4 ( 3) ( 3) ( 2 6 4 )( 3) (2 6 )x x x x x x x xx x x
� � � � � � � � � � � �
� � � �
99
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SOLUCIONES__________________________________________________________________
15.
a)2( ) 1
( ) 0C x x xR x
� � ��
b) 3 2( ) 4 9
( ) 12C x x x xR x
� � � � �� �
c)2( ) 1
( ) 1C x xR x
� ��
d) 2( ) 2 4
( ) 11C x x xR x
� � �� �
e)2( ) 3 8 17
( ) 34C x x xR x
� � �� �
f) 2( ) 2
( ) 0C x xR x
� ��
100
g)3 2( ) 1
( ) 0C x x xR x
� � ��
h) 6 5 4 3 2( ) 2 2 4 6 12 24
( ) 0C x x x x x x xR x
�� � � � � � ��
101
PÁGINA 66
SOLUCIONES__________________________________________________________________
16.Aplicando el Teorema del Resto se asegura que el resto de dividir P(x) = 3x4 – 2x3 + x2 – 3 entre (x + 1) es P(-1), es decir,
R(x) = P(-1) = 3(-1) 4 – 2(-1) 3 + (-1) 2 – 3 = 3 + 2 + 1 – 3 = 3
17.P(x) : (x + 1) = C(x) R(x) = 3
18. a) Las posibles raíces de P(x) = 3x3 – x2 – 8x – 4 son los divisores del término independiente, es decir, +1, -1, +2, -2, +4, -4.
P(-1) = 3. (-1)3 – (-1)2 – 8. (-1) – 4 = -3 – 1 + 8 – 4 = 0 P(2) = 3. 23 – 22 – 8.2 – 4 = 24 – 4 - 16 – 4 = 0
-1 y 2 son dos raíces de P(x) = 3x3 – x2 – 8x – 4.
b) Las posibles raíces de P(x) = 3x3 + 2x2 – 3x – 2 son los divisores del término independiente, es decir, +1, -1, +2, -2.
P(1) = 3.13 + 2.12 – 3.1 – 2 = 3 + 2 – 3 – 2 = 0 P(-1) = 3. (-1)3 + 2. (-1)2 – 3. (-1) – 2 = -3 + 2 + 3 – 2 = 0
1 y -1 son dos raíces de P(x) = 3x3 + 2x2 – 3x – 2.
c) Las posibles raíces de P(x) = 2x4 + 3x3 - 20x2 – 27x + 18 son los divisores del término independiente, es decir, +1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6, +9 y -9.
P(-2) = 2. (-2)4 + 3. (-2)3 – 20. (-2)2 – 27. (-2) + 18 = 32 – 24 – 80 + 54 + 18 = 0 P(3) = 2. 34 + 3.33 – 20.32 – 27.3 + 18 = 162 + 81 – 180 – 81 + 18 = 0
-2 y 3 son dos raíces de P(x) = 2x4 + 3x3 - 20x2 – 27x + 18.
102
d) Las posibles raíces de P(x) = 2x4 + 5x3 - 3x2 – 8x + 4 son los divisores del término independiente, es decir, +1, -1, +2, -2, +4, -4.
P(1) = 2.14 + 5.13 – 3.12 – 8.1 + 4 = 0 P(-2) = 2. (-2)4 + 5. (-2)3 – 3. (-2)2 – 8. (-2) + 4 = 32 – 40 -12 + 16 + 4 = 0
1 y -2 son dos raíces de P(x) = 2x4 + 5x3 - 3x2 – 8x + 4.
e) Las posibles raíces de P(x) = 2x4 + 5x3 - 5x2 – 5x + 3 son los divisores del término independiente, es decir, +1, -1, +2, -2, +3, -3.
P(1) = 2.14 + 5.13 – 5.12 – 5.1 + 3 = 2 + 5 – 5 - 5 + 3 = 0 P(-1) = 2. (-1)4 + 5. (-1)3 – 5. (-1)2 – 5. (-1) + 3 = 2 – 5 – 5 + 5 + 3 = 0
1 y -1 son dos raíces de P(x) = 2x4 + 5x3 - 5x2 – 5x + 3.
f) Las posibles raíces de P(x) = 3x5 + x4 – 30x3 – 10x2 + 27x + 9 son los divisores del término independiente, es decir, +1, -1, +2, -2, +3, -3, +9 y -9.
P(1) = 3.15 + 14 – 30.13 – 10.12 + 27.1 + 9 = 3 + 1 – 30 – 10 + 27 + 9 = 0 P(-1) = 3. (-1)5 + (-1)4 – 30. (-1)3 – 10. (-1)2 + 27. (-1) + 9 = -3 + 1 + 30 – 10 - 27 + 9 = 0
1 y -1 son dos raíces de P(x) = 3x5 + x4 – 30x3 – 10x2 + 27x + 9.
103
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SOLUCIONES__________________________________________________________________
19. a) P(x) = x3 – 3x2 + 3x – 1. Aplicamos Ruffini intentando dividir por los divisores del término independiente, en nuestro caso 1 y -1.
P(x) = x3 – 3x2 + 3x – 1 = (x – 1)3.
b) P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6 Aplicamos Ruffini intentando dividir por los divisores del término independiente, en nuestro caso 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6 y -6.
� � � � � �3 2( ) 2 7 6 1 2 2 3P x x x x x x x� � � � � � � � � �
104
c) P(x) = x3 + 5x2 + 8x + 4.
Aplicamos Ruffini intentando dividir por los divisores del término independiente, en nuestro caso 1, -1, 2, -2, 4, -4.
� � � �23 2( ) 5 8 4 1 2P x x x x x x� � � � � � � �
d) P(x) = 3x4 + 6x3 – 12x2 – 24x.
Sacamos factor común 3x, de manera que obtenemos: 3 2( ) 3 ( 6 12 8)P x x x x x� � � � �Aplicamos Ruffini i sobre el polinomio que obtenemos al sacar factor común, intentando dividir por los divisores del término independiente, en nuestro caso 1, -1, 2, -2, 4, -4, +8 y -8.
El resto de raíces del polinomio no son números enteros, así que resolvemos la ecuación de segundo grado:
2 8 4 04 3
x x
x
� � �
�� �
Por lo tanto, al factorizar el polinomio inicial obtenemos:
( ) 3 ( 2) ( 4 3) ( 4 3)P x x x x x� � � � � � � � �
e) P(x) = x4 – 1
Si aplicamos las igualdades notables que hemos visto en epígrafes anteriores tenemos que: � � � � � � � �� �4 2 2 2( ) 1 1 1 1 1 1P x x x x x x x� � � � � � � � � � �
Observación: El factor (x2 + 1) no tiene raíces reales.
105
f) P(x) = 3x5 – 3x4 – 6x2 – 12xSacamos factor común 3x, de manera que obtenemos: 4 3( ) 3 ( 2 4)P x x x x x� � � � �Aplicamos Ruffini sobre el polinomio que obtenemos al sacar factor común, intentando dividir por los divisores del término independiente, en nuestro caso 1, -1, 2, -2, 4 y -4.
Por lo tanto, al factorizar el polinomio inicial obtenemos: 2( ) 3 ( 1) ( 2) ( 2)P x x x x x� � � � � � �
Observación: El factor (x2 + 2) no tiene raíces reales.
106
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SOLUCIONES__________________________________________________________________
20.2
2
3 2 2 2
2
2 2
3 2
( 4) ( 2) ( 2)a) 22 ( 2)
4 4 (2 1) (2 1)b)( 1) ( 1)
4 12 9 (2 3) 2 3c)2 7 15 (2 3) ( 5) 5
x x x x x xx x x xx x x x x x
x x x x xx x x x
x x x x x x
� � � � � �� � �
� � �
� � � � �� �
� � � �
� � � �� �
� � � � � �
21.Para reducir a común denominador tenemos que factorizar cada uno de los polinomios del denominador y calcular su mínimo común múltiplo:
2
2
2
2
2 3 2 2
3 3 3
3 3 1, , 3 3 33 ( 3)( 3, 3, 3 ) ( 3) ( 3)
3 ( 3) ( 3) ( 1) ( 3), , ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3)
3 9 6 9 4 3, , 9 9 9
x xx x x xx x x xmcm x x x x x x x
x x x x x xx x x x x x x x xx x x x x x xx x x x x x
� �� � �� � � �
� � � � � � � �
� � � � � � � �� � � � � � � � � � � �
� � � � �� � �
107
PÁGINA 69
SOLUCIONES__________________________________________________________________
22.
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 ( 2) ( 2)a)2 2 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)4 4 ( 4 4) 4 4 4 4 8( 2) ( 2) 4 4
x x x xx x x x x xx x x x x x x x x
x x x x
� � � �� � � �
� � � � � � � �
� � � � � � � � � �� �
� � � � �
2
2 2 22 1 ( 3) 2 1 1b)
3 9 9 9x x x x x x x
x x x x� � � � � � �
� � �� � � �
2 2 2 21 1 1 1 1 ( 1) 1 1c)
1 1 1 1 1 1x x
x x x x x x� � � � �
� � � � �� � � � � �
2
21 (1 )d)
3 1 ( 3) ( 1) 4 3x x x x x x
x x x x x x� � � � �
� � �� � � � � � �
2
24 2 2 (4 2 ) ( 2) ( 2) 4 2e) :
2 4 ( 2) ( 2)x x x x x x x
x x x x x x� � � � � � � �
� �� � � � � �
f) 2 2 2
21 6 9 1 ( 3) 1 ( 3) 3 1f)
3 3x x x x x x x x
x x x x x x x� � � � � � � �
� � � � � �� �
108
PÁGINA 72
109
SOLUCIONES__________________________________________________________________
Polinomios.
23.
a) 3 3 3 3 3 3 33 8 20 3 92 54 4 4 4 4
x y x y x y x y x y x y x y� � � � � � �
b) 2 2 2 5 2 35(2 ) ( 3 ) 56
xy x yz x yz x y z � � � � �� � �
c) 2 4 3 4 2 3
3 3 23 ( ) 5 3 5 3 5a a b a b a b a b a a
ab ab b� � � � �
� �� �
d) 2 3 4 3 2 2
2 23 ( 2 ) 6 3
4 4 2xy x y x y x y
x y x y� �
� �
24.Un polinomio completo es aquel que tiene términos en todos los grados. Así:
P(x,y) = 4x4 – 5x3y + 3x2y2 + xy3 – 2y4 + 4x3 – x2y + 4xy2 – xy2 + 2y3 + + 2x2 – xy – 5y2 – 2x – y + 13.
25.P(x) = -x3 – 2x2 + x – 3.
a) P(1) = -13 – 2.12 + 1 – 3 = -1 – 2 +1 – 3 = -5. b) P(-1) = -(-1)3 – 2.(-1)2 + (-1) – 3 = 1 – 2 – 1 – 3 = -5. c) P(-2) = -(-2)3 – 2.(-2)2 + (-2) – 3 = 8 – 8 – 2 – 3 = -5. d) P(2) = -23 – 2.22 + 2 – 3 = -8 – 8 + 2 – 3 = -11. e) P(-3) = -(-3)3 – 2. (-3)2 + (-3) – 3 = 27 – 18 – 3 – 3 = 3
26.Si el coeficiente líder es cuatro y el polinomio es de grado 5, entonces el término de mayor grado es : 4x5.
Si el coeficiente de grado dos es uno, entonces, el sumando de grado dos es x2.Como el polinomio no tiene término en grado tres y su término independiente es -3, entonces, el polinomio más sencillo que cumple estas condiciones es:
P(x) = 4x5 + x2 -3.
Podríamos añadirle cualquier término de grado 4, perno nunca de tercer grado.
Operaciones con polinomios.
27. a) (3x3 – 5x2 + 3x) + (2x3 + 3x2 ) – (5x3 – 4x2 + 3x ) = 2x2
2 3 2 3 2
3 2 3 2 3 2
b) 2 ( 5 3) (3 1)( 3) 2 10 6 (3 8 3 )2 10 6 3 8 3 5 18 3
x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x
� � � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � �
110
c) 2 2 3 2 3 2(2 1) (3 ) 5 (2 3) 7 2 3 10 15 2 17 18x x x x x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � � �
3 2 3 4 3 2 3
4 3 2 3 4 3 2
d) 4 (2 3 ) ( 2) 15 5 6 2 4 (2 7 6 ) 15 5 6 24 2 7 6 15 5 6 2 2 2 6 21 6
x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � �
28.
2 2 2
2 2 2
a) ( ) ( ) ( ) ( 5 2) (3 2 ) (3 1)2 3 2 3 1 4 3P x Q x R x x x x x x xx x x x x x
� � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � �
2 2 2 3 2
2 3 2 3 2
b) ( ) ( ) ( ) (3 2 ) ( 5 2) (2 3) 3 2 ( 2 7 15 10)3 2 2 7 15 10 2 10 13 10
Q x P x S x x x x x x x x x x xx x x x x x x x
� � � � � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � �
2 2 2
4 3 2 3 2
4 3 2
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5 2) (3 1) (3 2 ) (2 3)3 16 12 7 1 (6 13 6 )3 10 1
P x R x Q x S x x x x x x x xx x x x x x xx x x x
� � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � �
� � � � � �
29.5 4 3 2 2 3 2a) ( 3 11 4 21 26 10) : (3 5 3) 2 3 4
( ) 3 2x x x x x x x x x x
R x x� � � � � � � � � � � � �� � �
5 4 3 2 2 3 2 5b) ( 12 18 8 27 6 11) : ( 6 3 2) 2 2 33
( ) 53
x x x x x x x x x x
xR x
� � � � � � � � � � � � �
� �
7 5 3 3 4 2
2
c) ( 6 40 2 5) : ( 5) 6 30 40( ) 5 152 205
x x x x x x x xR x x x
� � � � � � � � � � �
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30.� �
� �
2 2 2 2 3 2 3 3 4 2 3 3 3 2 4
4 2 3 2 4 2 2 2 3
(2 ) ( 3 2 ) 3 2 5 6 4 2 6 15
4 2 15 4 2 15
x y xy x y xy x xy x y x y x y x y x y
x y x y x y x y x y y
� � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � �
Identidades notables. Factor común.
31.Dadas las siguientes igualdades notables:
111
2 2 2
2 2 2
2 2
( ) 2( ) 2( ) ( )
a b a ab ba b a ab ba b a b a b
� � � �
� � � �
� � � � �
a) 2 2( 4) 8 16x x x� � � � b) 2 2( 5) 10 25x x x� � � �
c) 3 2 6 3( 3) 6 9x x x� � � � d) 2(3 7) (3 7) 9 49x x x� � � � �
2
e) ( 3) ( 3) (3 ) (3 )9
x x x xx
� � � � � � � � �
� � 2 2 2
f) ( 3) (3 ) (3 ) (3 )(3 ) (9 6 ) 6 9x x x x
x x x x x� � � �� � � � �
�� � �� � � �� � �
32.a) 2 2(2 3) 4 12 9x x x� � � � b) 2 2( 2 5) 4 20 25x x x� � � � �c) 2 3 2 4 5 6(3 ) 9 6x x x x x� � � �d) 2 2( 5 6) 25 60 36x x x� � � � �e) 2 2( 3 5) 9 30 25x x x� � � � �
2 2 2f) ( 3 2) (3 2) (3 2) (9 12 4) 9 12 4x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � �2 2 2 2 4 2g) (3 2 ) (2 3 ) (3 2 ) (3 2 ) 9 4x x x x x x x x x x� � � � � � � � �2 2 2 2 4 2h) (2 5 ) ( 5 2 ) (2 5 ) (2 5 ) 4 25x x x x x x x x x x� � � � � � � � � �
33.
a)2
21 2 15 5 25
x x x � � � �� � �
b)2
23 92 4 62 4
x x x � � � �� � �
c)2
3 6 4 22 1 4 1 13 4 9 3 6
x x x x x � � � �� � �
d)2
3 3 3 3 92 2 2 2 4x x x x x � � � � � � � � � �� � � � � � � �
� � � �
e)2
23 95 15 252 4
x x x � � � � �� � �
2
3 3 3 6 4 2 6 4 23 3 3 9 9 9 9f) 3 3 3 9 94 4 4 16 2 16 2
x x x x x x x x x x x x � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �
34.a) 2 2 2 2( 1) ( 2) ( 2) 2 1 4 2 2 3x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � �b) 2 2 2 2 2 2(3 1) (2 5) (2 5) 9 6 1 (4 25) 9 6 1 4 25 5 6 26x x x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � � � � � �
2 2 2 2 2 2 2c) (2 3) ( 3 2 ) ( 1) (2 3) (2 3) ( 1) (4 9) ( 2 1) 4 9 2 1 3 2 10x x x x x x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
112
2 2 2 2 2 2 2 2 2d) ( 2) (2 1) ( 1) ( 1) 4 4 (4 4 1) ( 1) 4 4 4 4 1 1 4 8 4x x x x x x x x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �2 2 2 2 4
3 2 4 4 3 2
e) 3 (2 5) (2 5) (1 ) 3 (4 25) (1 2 )3 4 25 1 2 4 2 28 1
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x
� � � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � �2 2 2 2 2 2 4 3 2 4 2
2 4 3 2 4 2 4 3 2
f) (3 1) ( 5 3 ) ( 2 ) (2 ) 9 6 1 (25 30 9 ) (4 )9 6 1 25 30 9 4 29 30 6 1
x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x
� � � � � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � �
35.a) 2 26 9 ( 3)x x x� � � � c) 4 2 2 24 4 ( 2)x x x� � � �b) 2 210 25 ( 5)x x x� � � � d) 2 24 4 1 (2 1)x x x� � � �
36.a) 2 9 ( 3) ( 3)x x x� � � � � d) 281 4 (9 2 ) (9 2 )x x x� � � � �b) 2 26 9 ( 3)x x x� � � � e) 4 2 2 22 1 ( 1)x x x� � � �c) 4 2 29 ( 3) ( 3)x x x� � � � � f) 4 3 2 2 2 2 29 30 25 (9 30 25) (3 5)x x x x x x x x� � � � � � � � �
37.a) 2 3 23 6 12 3 ( 1 2 4 )x x x x x x� � � � � � � � b) 2 3 4 3 2 3 22 4 8 2 ( 2 4 )ab a b a b ab b a a b� � � � � �c) 3 2 22 4 8 2 ( 2 4)x x x x x x� � � � � � d) 3 2 2 3 3 2 2 36 3 9 3 (2 3 )x y x yz xy z xy x y xz y z� � � � � �
113
PÁGINA 73
114
SOLUCIONES__________________________________________________________________
38.2 2 2 2a) 2 ( 2) 6 ( 2) 8 ( 2) 2 ( 2) ( 1 3 6 4) 2 ( 2) (3 6 3)a a a a a a a a a a a a a a� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
2 22 ( 1) 1 1 1b) ( 1) ( 1) (2 ( 1)) ( 1) ( 2)5 5 5 5x x x x x x x x x� �
� � � � � � � � � � � � � � �
c) 4 ( 3 ) 8 ( 3 ) 3 ( 3 ) ( 3 ) ( 4 8 3 )a b a a b b a b a b a b� � � � � � � � � � � � � � �2 2 2 2 2d) 5 ( 1) 5 ( 1) 5 ( 1) ( 1)x x x x x� � � � � � � � � �
e) 2 ( ) 4 ( ) 4 ( ) 2 ( ) ( 2 2)b a b a a b a b a b b a� � � � � � � � � � � � � �
Regla de Ruffini.
39.
a)4 3 2( ) 1
( ) 2C x x x x xR x
� � � � �� �
b) 3 2( ) 2 2 4 11
( ) 18C x x x x xR x
� � � � ��
c)4( ) 2 3 2
( ) 4C x x xR x
� � � �� �
d) 3 2( ) 3 2
( ) 2C x x x xR x
� � ��
e)4 3 2( ) 2
( ) 2C x x x x xR x
� � � � � �� �
f) 5 4 3 2( ) 2 2 2 5 9 9
( ) 9C x x x x x xR x
� � � � � ��
115
g)6 2( ) 6 3 2
( ) 0C x x x xR x
� � ��
h) 5 3( ) 3 6 2
( ) 0C x x x xR x
�� � ��
40.Si la división (2x5 + 4x4 – 3x3 – 4x2 + x + a) : (x + 2) tiene que ser exacta, entonces su resto es 0, y por tanto, (x + 2) tiene que ser factor del polinomio dividendo P(x), por lo tanto, P(-2) = 0. (Teorema del resto)
P(-2) = 2·(-2)5 + 4·(-2)4 – 3·(-2)3 – 4·(-2)2 + (-2) + a = 0 -64 + 64 + 24 – 16 – 2 + a = 0 6 + a = 0 a = -6
Raíces de un polinomio. Teorema del resto
41.Aplicando el Teorema del resto podemos asegurar que el resto de dividir un polinomio P(x) entre x – a, es el valor numérico de P(x) cuando x toma el valor a, es decir, P(a).
Por lo tanto:
a) R(x) = P(1) = 15 – 1 = 0 b) R(x) = P(2) =25 – 2·(2)3 + 3·2 – 4 = 32 – 16 +6 – 4 = 6 c) R(x) = P(-3) =-2·(-3)5 – 6·(-3)4 + 3·(-3)2 + 7·(-3) – 10 = 27 – 21 – 10 = -4 d) R(x) = P(-2) =3·(-2)4 + 5·(-2)4 – 4·(-2)2 – 4·(-2) + 2 = 48 – 40 – 16 + 8 + 2 = 2
42.a) R(x) = P(-1) = -(-1)5 + 3·(-1) = 1 – 3 = -2 b) R(x) = P(-1) = 2· (-1)6 – 3·(-1)3 + 4·(-1)2 = 2 + 3 + 4 = 9 c) R(x) = P(3) =6·(3)7 – 18·(3)6 – 3·(3)3 + 7·(3)2 + 6·3 = 0 d) R(x) = P(5) =-3·(5)6 + 15·(5)5 + 6·(5)4 –30·(5)3 – 2·(5)2 + 10·5 = 0
116
43.Si el resto de la división P(x) : (x – a) es cero, entonces (x – a) es un factor en la factorización de P(x), y por tanto, por el teorema del resto, P(a) = 0.
a) (x4 + 2x3 – 3x + a) : (x + 2) P(-2) = (-2)4 + 2·(-2)3 – 3·(-2) + a = 0 16 – 16 + 6 + a = 0 a = -6
b) (2x5 + ax4 – 3x3 – x2 – x) : (x + 1) P(-1) = 2·(-1)5 + a·(-1)4 – 3·(-1)3 – (-1)2 – (-1) = 0 -2 + a + 3 – 1 + 1 = 0
a = -1
44. (ax5 – 7x3 + 5x2 + 4x – 4) : (x – 2) P(2) = a·25 – 7·23 + 5·22 + 4·2 – 4 = 0 32a – 56 + 20 + 8 – 4 = 0 32a = 32
a = 1
45.Si el resto de la división (-x5 + 3x4 + ax3 + 9x2 + 2x – 7) : (x – 3) es -1, entonces, por el teorema del resto podemos asegurar que P(3) = -1
P(3) = -35 + 3·34 + a·33 + 9·32 + 2·3 – 7 = -1 -243 + 243 + 27a + 27 + 6 – 7 = -1 27a = -27
a = -1
46. P(x) = -x4 + ax3 – 4x2 + 2x – 4. P(-2) = -(-2)4 + a·(-2)3 – 4·(-2)2 + 2·(-2) – 4 = 0 -16 – 8a – 16 – 4 – 4 = 0
a = 5
47. a) Las posibles raíces de P(x) = 2x3 – x2 – 13x – 6 son los divisores del término independiente, es decir, +1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6.
P(-1) = 2·(-2)3 – (-2)2 – 13·(-2) – 6 = 0 P(3) = 2·33 – 32 – 13·3 – 6 = 0
En este caso, -1 y 3 son dos raíces de P(x) = 2x3 – x2 – 13x – 6.
b) Las posibles raíces de P(x) = 5x3 – x2 – 14x – 8 son los divisores del término independiente, es decir, +1, -1, +2, -2, +4, -4, +8, -8.
P(-1) = 5·(-1)3 – (-1)2 – 14·(-1) – 8 = 0 P(2) = 5·23 – 22 – 14·2 – 8 = 0
117
En este caso, -1 y 2 son dos raíces de P(x) = 5x3 – x2 – 14x – 8.
c) Las posibles raíces de P(x) = 2x4 – x3 – 6x2 – x + 2 son los divisores del término independiente, es decir, +1, -1, +2, -2.
P(-1) = 2·(-1)4 – (-1) 3 – 6·(-1)2 – (-1) + 2 = 0 P(2) = 2·24 – 2 3 – 6·22 – 2 + 2 = 0
En este caso, -1 y 2 son dos raíces de P(x) = 2x4 – x3 – 6x2 – x + 2.
d) Las posibles raíces de P(x) = x4 + 4x3 + 4x2 + 4x + 3 son los divisores del término independiente, es decir, +1, -1, +2, -2, +3 y -3.
P(-1) = (-1)4 + 4·(-1)3 + 4·(-1)2 + 4·(-1) + 3 = 0 P(-3) = (-3)4 + 4·(-3)3 + 4·(-3)2 + 4·(-3) + 3 = 0
En este caso, -1 y -3 son dos raíces de P(x) = x4 + 4x3 + 4x2 + 4x + 3.
48. Si el polinomio tiene como raíz doble -2, entonces, uno de sus factores es (x + 2)2. Si 1 es otra de sus raíces, otro de sus factores es (x – 1).
Con estos dos factores ya tenemos el polinomio base que buscamos:
P(x) = (x – 1) ·(x + 2)2 = x3 + x2 + 2x – 4.
Otro polinomio que cumpla las mismas propiedades sería:
P(x) = 2·(x – 1)·(x + 2)2 = 2x3 + 2x2 + 4x – 8.
49.Por el Teorema Fundamental del Álgebra, el número de raíces de un polinomio contadas con su multiplicidad, es decir, el número de veces que se repiten, coinciden con su grado. Por lo tanto, ningún polinomio de grado 4 puede tener 6 raíces diferentes, a lo sumo tendrá 4.
50.Si el polinomio tiene una raíz doble en -1, uno de sus factores es (x + 1)2. Las otras dos raíces, puesto que debe ser de grado 4, pueden ser cualquier número entero.
P(x) = (x – a) · (x – b) · (x + 1)2
Por ejemplo: P(x) = x·(x – 1)·(x + 1)2 = x4 + x3 – x2 – 4x.
118
51.Si el polinomio es de grado 3 y P(-1) = P(2) = P(-3) = 0, entonces sus raíces son -1, 2 y -3 y por tanto, los tres factores del polinomio son: (x + 1) , (x – 2) y (x +3), y así, el polinomio es de la forma:
P(x) = a·(x + 1)·(x – 2)·(x + 3) = a(x3 + 2x2 – 5x - 6) Por otra parte P(-2) = 18, por tanto: P(-2) = a·(-2 + 1)·(-2 – 2)·(-2 + 3) = 4a = 18;
18 94 2
a � �
El polinomio que buscamos es 3 2 3 29 9 45( ) ( 2 5 6) 9 182 2 2
P x x x x x x x� � � � � � � � �
52.Supongamos que -1 es la raíz doble del polinomio, entonces el factor asociado es (x + 1)2.Y supongamos también que las otras dos raíces son 0 y 2, luego, el polinomio es: P(x) = x(x – 2) (x + 1)2
Factorización de polinomios.
53. a) 4 2 2 28 16 ( 4)x x x� � � � b) 4 2 2 216 8 1 (4 1)x x x� � � � c) 4 2 2 216 72 81 (4 9)x x x� � � �
54. a) 3 2 2 22 ( 2 1) ( 1)x x x x x x x x� � � � � � � � � b) 3 2 2 22 ( 2 1) ( 1)x x x x x x x x� � � � � � � � � c) 5 3 4 2 2 23 54 243 3 ( 18 81) 3 ( 9)x x x x x x x x� � � � � � � � � d) 5 3 4 2 2 2162 36 2 2 (81 18 1) 3 (3 1)x x x x x x x x� � � � � � � � �
55.
a) Aplicando Ruffini tenemos que:
3 22 13 6 ( 2) ( 3) (2 1)x x x x x x� � � � � � � � �
119
b) Aplicando Ruffini obtenemos:
3 25 14 8 ( 1) ( 2) (5 4)x x x x x x� � � � � � � � �
c) Por Ruffini sabemos que:
4 3 2 22 6 2 ( 1) ( 2) (2 1)x x x x x x x� � � � � � � � � �
120
d) Aplicando Ruffini sabemos que:
3 2 33 3 1 ( 1)x x x x� � � � �
56.El máximo común divisor de dos polinomios es el polinomio formado por los factores comunes elevados al menor exponente.
El mínimo común múltiplo es el producto de los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
a) 2
3 2
4 3 2
( ) 4 ( 2) ( 2)( ) 4 7 10 ( 2) ( 1) ( 5)
( ( ), ( )) 2( ( ), ( )) ( 2) ( 2) ( 1) ( 5) 6 24 20
P x x x xQ x x x x x x xmcd P x Q x xmcm P x Q x x x x x x x x x
� � � � � �
� � � � � � � � � �� �
� � � � � � � � � � � � �
b) 3 2 2
3 2 2
2
2 2 4 3 2
( ) 8 12 ( 2) ( 3)( ) 2 9 18 ( 2) ( 3)
( ( ), ( )) ( 2) ( 3) 6( ( ), ( )) ( 2) ( 3) 2 11 12 36
S x x x x x xR x x x x x xmcd S x R x x x x xmcm S x R x x x x x x x
� � � � � � � �
� � � � � � � �
� � � � � � �
� � � � � � � � �
121
c) 2
2
2
4 3 2
( ) 1 ( 1) ( 1)( ) 3 2 ( 1) ( 2)( ) 2 3 ( 1) ( 3)
( ( ), ( ), ( )) 1( ( ), ( ), ( )) ( 1) ( 1) ( 2) ( 3) 7 6
T x x x xU x x x x xV x x x x xmcd T x U x V x xmcm T x U x V x x x x x x x x x
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57. a) Como es polinomio de grado cuatro con término independiente, lo único que podemos hacer es aplicar Ruffini:
Resolvemos la ecuación de segundo grado para obtener las dos raíces que quedan:
2
1
2
3 2 03 9 8
212
x x
x
xx
� � �
� � ��
� �� �
Por lo tanto, la factorización del polinomio es: 4 3 2 35 9 7 2 ( 1) ( 2)x x x x x x� � � � � � � �
b) Aplicamos Ruffini sobre el polinomio inicial para obtener la primera raíz:
3 2 26 12 8 ( 2) ( 4 4)x x x x x x� � � � � � � �
Por las igualdades notables conseguimos la raíz doble que nos falta: 2. 3 2 36 12 8 ( 2)x x x x� � � � �
c) Sacamos factor común x y aplicamos Ruffini sobre un polinomio de grado 4: 5 4 4 2 4 3 2 22 9 9 3 (2 9 9 3) ( 1) ( 3) ( 1)x x x x x x x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � � � � � �
Resolvemos la ecuación de segundo grado y conseguimos así todas las raíces necesarias: 5 4 3 2 4 3 2 22 9 9 3 (2 9 9 3) ( 1) ( 3) (2 1)x x x x x x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � � � � �
122
Sacamos factor común x2 y aplicamos Ruffini sobre un polinomio de grado 4: 6 5 4 3 2 2 4 3 2 2 25 7 5 6 ( 5 7 5 6) ( 2) ( 3) ( 1)x x x x x x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � � � � �
El factor de segundo grado no tiene raíces enteras, luego la factorización del polinomio estaría terminada.
123
PÁGINA 74
124
SOLUCIONES__________________________________________________________________
Fracciones algebraicas.
58.
2 21 1 1a)1 ( 1) ( 1) ( 1)
x x x x xx x x x x x x x
� � � �� � � �
� � � � � � �
2 3 2 3 3 2 3 2
2 2 2 2 2 22 1 2 ( 1) ( 2) 2 2 2 2 2b)
2 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x� � � � � � � � � �
� � � � � �� � � � � � � � � � �
� � � �� � � �
2
2
2 1 6 2 16 14 5c)2 1 2 1 2 1 2 1 4 1
x x x xx x x xx x x x x
� � � � � �� � �
� � � � � �
2 2 2 2
2 21 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 2 1) 2 1 2 2d)
1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 ( 1)x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � �
� � � � � �� � � � � � � � � � � �
2
2 2 22 1 4 2 (2 1) (2 ) (4 2) (2 ) 6 3 6e) 2 2 4 4 4x x x x x x x x
x x x x x� � � � � � � � � �� � � �
� � � � �3 2 4 4 3 2
3 3 3 3 35 1 2 1 5 1 2 2 5 1f) x x x x x x x x x xx
x x x x x x� � � � � � � �
� � � � � �
59.2 2
2 3 3 3 3 32 3 4 2 3 4 2 3 4a) x x x xx x x x x x x
� �� � � � � �
3 2 3 2
2 3 3 3 3 31 3 1 2 2 6 1 2 2 6 1b)
2 2 4 4 4 4 4x x x x x x x
x x x x x x x� � � � �
� � � � � �
60.2 2
2 2 21 2 2a)
2 2 2 2x x x x x
x x x x x x x x� � �
� � � �� � � �
2 2 2
24 3 1 ( 4) (2 1) (2 1) (3 1) 2 7 4 (6 1) 4 8 3b)
2 1 2 1 (2 1) (2 1) (2 1) (2 1) (2 1) (2 1) 4 1x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � � � �
� � � � �� � � � � � � � � � � �
� � � �2 2
2 2 2
2 3 32 3 12 9c) 3 3 9 9 9
x x xx x x xx x x x x
� � �� � �� � � �
� � � � �
2 2 2
2 2 2 23 3 1 ( 3) 3 1 4 3 1d) x x x x x x x
x x x x x� � � � � � �
� � � �
125
61.2
2 22 5 2 5 ( 1) 5 5 2a)
1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1x x x x x
x x x x x x x� � � � �
� � � �� � � � � � � � �
2 2 23 1 2 5 3 (3 1) 2 5 2 14 3b) 2 1 6 3 3 (2 1) 3 (2 1) 6 3x x x x x x x xx x x x x� � � � � � � �� � � �
� � � � � � �
21 1 2 3 2 3 6c)
2 3 2 3 (2 3) (2 3) (2 3) (2 3) 4 9x x
x x x x x x x� �
� � � �� � � � � � � � �
2
2 2 2 22 1 ( 2) ( 2) 1 3d) 2 4 ( 4) ( 4) 4
x x x xx x x x x� � � � �
� � � �� � � � �
� �2 3 15 3 1 5 7 7e) 2 6 3 2 6 2 6 2 6
xx x x xx x x x x
� �� � � �� � � �
� � � � �
2 2
2 2 2 23 2 3 2 3 2f)
1x x x x x x
x x x x x x x x x� � � �
� � � �� � � � �
62. 2 2
21 1 ( 1) ( 1) 2 1a)
1 ( 1)x x x x x x x
x x x x x x� � � � � � � �
� � �� � � �
2 2 21 2 ( 1) ( 2) 2b)1 ( 1) ( 1) ( 1)
x x x x xx x x x x x x x� � � � � �
� � �� � � � � � � �
2 2
2 22 1 1 (2 1) ( 3) 2 7 3c) :
3 6 9 ( 3)x x x x x
x x x x x x x� � � � � �
� �� � � � �
2 2 2d) :5 3 5 3 2x x x
x x x� � �
�� � �
2 23 (3 ) ( ) ( )e) 6 2 ( ) 2 (3 ) 2
a b a b a b a b a b a bb a a b a b a b� � � � � � � �
� � � �� � � � � � �
63.2 2
22 2
1 1 1 1 ( 1) ( 1)a) : : ( 1)( 1)
x x x x x xx xx x x x x x x x
� � � � � � � � � � � �� � � � � � �
126
2 2 2
2 22 6 6 6 (6 ) ( 4) (6 ) ( 4)b) : :
3 4 3 4 3 ( 6) 3( 6)x x x x x x x x x
x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �
3 2 3
2 4 3 34 3 ( 1) ( 3) ( 3)c)
1 5 ( 1) ( 1) ( 5) ( 1) ( 5)x x x x x x x
x x x x x x x x x� � � � � � �
� � �� � � � � � � � � � �
2 2
2 2 2 2 2 21 1 ( 1) ( 2) ( 1) ( 2)d) : :
2 2 4 ( 2) ( 2) 44 4 ( 2) ( 2) 4:
( 1) ( 2) ( 2) ( 1) ( 2) ( 2) ( 1) ( 2) ( 2) ( 1) ( 1) ( 1)
x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
x x xx x x x x x x x x x x x x x
� � � � � � � � � � � � � �� �� � � � � � � � � � � �� � � � � � �
� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
64.3 2 2
2 6 5 4 3 2 3 2 22 6 4 5 6 2 ( 1) ( 2) ( 2) ( 3) 2( 2) ( 3)
4 4 5 7 3 ( 2) ( 1) ( 3) ( 2) ( 1) ( 3)x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � � �
� � �� � � � � � � � � � � � � � � � �
65.2
2 25 3 3 1 5 (1 2 ) 3 (1 2 ) 3 1 2 (8 1) (1 2 ) 2 (8 1) (1 2 ): :
1 2 1 2 4 4 1 (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) (3 1) (1 2 ) (3 1)x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� � � � � � � � � � � � � � � � �
66.2 2 3 2
3 3 2 2 2 4 3 22 5 4 2 5 (3 1) ( 2) ( 2) 5 (3 1) 15 4 4a) :4 2 3 1 4 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 2 4 8
x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � �
� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �
2
2 2 23 1 2 1 ( 3) ( 2) ( 1) (2 1) ( 2) 3 3 3b) 2 4 2 4 4
x x x x x x x x x xx x x x x� � � � � � � � � � � � � �
� � � �� � � � �
2 3 2
2 2 2 2 3 21 3 2 ( 1) ( 2) ( 2) ( 3) ( 2) 2 ( 2) 2 4 18 10c) 2 2 4 4 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 2 4 8
x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �
67.
2 2
2
( 1) 11( 1) ( 2 1) 2 1( 1) ( 1)1 1
( 1) ( 1)1 1
x x xxx x x x xx xx x
x x x x x x xx x
� � � �� � � � � � �� � �� � � � �
� � � � �� �
127
PÁGINA 75
128
SOLUCIONES__________________________________________________________________
68.El área de un cuadrado es A = l2 Si el lado del cuadrado grande mide 50cm, entonces su área será: A1= 502 =2500cm2
Cada uno de los cuadrados de las esquinas tienen un área de A2 = x2, por lo tanto, el área de nuestra caja es A = A1 – 4A2 = 2500 – 4x2 cm2
El volumen de un paralelepípedo de base cuadrada es V = h·l2, en nuestro caso:V = x·(2500 – 4x2) = 2500x – 4x3 cm3
69.La longitud de la circunferencia es L = 2�r. En nuestro caso el radio de la circunferencia es la mitad del lado del cuadrado, por tanto, su longitud es L = 2�r = �x unidades.
En el caso del área, la definimos como A = �r2 = �2
4x u2.
70.Definamos x como la edad de mi hija e y, mi edad, entonces:
‘’La edad de mi hija es la mitad de la que yo tenía hace siete años…’’ 72
yx ��
‘’… y mi hija tendrá 23 dentro de 6 años.’’ 6 23x � �
71.
El área del triángulo rosa es: 1 2 2t
bh xyA � � u2
El área del triángulo morado es: 2
(2 1) 22 2 2 2t
bh x y xy y yA xy� � �� � � � � u2
Así, el área total es1 2
32 2 2t txy y xy yA A xy �
� � � � � u2
72. a) La primera condición nos dice que el polinomio es divisible entre x – 2, por lo tanto, podemos escribir nuestro polinomio de la forma: P(x) = Q(x)·(x – 2) b) Con la segunda propiedad nos aseguramos que otro de los factores es (x + 1), es decir, nuestro polinomio quedaría: P(x) = R(x)·(x – 2) ·(x + 1) c) La tercera condición nos conduce a aplicar el teorema del resto: P(-5) = -3
Así: P(-5) = R(x)·(-5 – 2) ·(-5 + 1) = 28·R(x) = -3; R(x) = 328
�
Y uno de los polinomios que cumpliría las tres condiciones sería: 23( ) ( 2)28
P x x x� � � �
Puesto que no nos están diciendo cuál sería el grado del polinomio no podemos asegurar que exista una solución única.
129
1.3 2 2 3 3 2
4 3 4 3 2 4 3 2
a) 2 3 2 3 2 3 5 3 3b) 2 3 2 3 2 ( 3 ) 2 2 4
x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x� � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � �
2.3 2
3 2
3 2
3 2
( ) 3 2a) ( 2) ( 2) 3 ( 2) ( 2) 2 24b) (1) (1) 3 (1) (1) 2 3c) ( 1) ( 1) 3 ( 1) ( 1) 2 7
P x x x xPPP
� � � � �
� � � � � � � � � � �
� � � � � � �
� � � � � � � � � � �
3.3 2 2 3 3 2
4 3 4 3 2 4 3 2
a) 2 3 2 3 2 3 5 3 3b) 2 3 2 3 2 ( 3 ) 2 2 4
x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x� � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � �
4.4 2 2 22 1 ( 1)x x x� � � �
5.� � � �
� � � �2
2
2 2
2
4 1 14 1 4 5 1a) 1 1 1 1 12 3 ( 2) 3 ( 2) 4 2 4b) 2 2 ( 2) ( 2) 4
x x xx x xx x x x x
x x x x x x xx x x x x
� � � � � �� � �
� � � � � �
� � � � � � �� � �
� � � � � �
6.
4 3 2 3 4 3 4 3 2a) ( ) ( ) 2 ( ) ( 5 4 3 2) (3 2) ( 2 6 ) 3 2 4 3P x Q x R x x x x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � � � �
4 3 4 3 2 3 4 3 2b) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( 3 ) ( 5 4 3 2) (3 2) 2 5 4 3R x P x Q x R x P x Q x x x x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � � � �� � � �4 3 2 2 3 4 3
6 5 4 3 2 7 6 4 3
7 6 5 4 3 2
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5 4 3 2) (3 2) (3 2) ( 3 )3 15 10 19 2 6 4 ( 3 9 2 6 )3 6 15 12 25 2 6 4
P x S x Q x R x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x
� � � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � �
� � � � � � �
7.6 5 4 3 2 2 4 3( ) : ( ) (12 17 18 6 19 26 6) : (3 2 3) 4 3 5 3
( ) 5 3P x Q x x x x x x x x x x x xR x x
� � � � � � � � � � � � �� �
130
8.
5 2 4 3 2( ) : ( ) (2 3 ) : ( 1) 2 2 2 5 6( ) 6
P x Q x x x x x x x x xR x
� � � � � � � � �� �
9.
5 4 3 2 2( ) 2 7 3 17 5 6 ( 1) ( 2) ( 3) (2 1)P x x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � �
10. El polinomio que buscamos es de la forma P(x) = k·(x – 1)2 ·(x + 2) Si el resto de la división entre (x + 3) es 9, entonces, aplicando el Teorema del Resto podemos
asegurar que P(-3) = k·(-3 – 1)2 ·(-3 + 2) = 9; k = 916
�
Así, nuestro polinomio será: 39( ) ( 4 2)16
P x x x� � � �
131
PÁGINA 76
SOLUCIONES__________________________________________________________________
a)En este caso, el terreno disponible coincide con el área del arco de circunferencia de radio 15 m descrito en la figura.
2 23 67515 m4 4
A ��� �
b) Tenemos que calcular el área de los tres cuartos de la circunferencia grande (A1), y los dos cuartos que quedan en las esquinas (A2).
2 21
2
2 22
3 30 675 m4 725 m1 10 50 m4
AA
A
� ��
� �
�� � �� ���� ���
132
c) En este caso, volvemos a calcular el área de los tres cuartos de la circunferencia grande (A1), y la del sector circular de radio 3 m y amplitud � � 30º (A2).
Observación: Como el triángulo es equilátero, sus ángulos miden 60º, luego la amplitud de nuestro sector es de 90º - 60º = 30º.
2 21
2
2 22
3 8 48 m 1604 m30 16 310 m
360 3
AA
A
� ��
� �
�� � �� ���� ���
133