INSTITUTO TECNOLGICO DE LERMA INGENIERA EN ACUICULTURA 1 ESTADSTICA APLICADA BIL.J. ALFREDO SOLS ECHEVERRA UNIDAD IVESTADSTICA NO PARAMTRICA 1.1Diseos experimentales Lastcnicasestadsticasdeestimacindeparmetros,intervalosdeconfianzayprueba dehiptesisson,enconjunto,denominadasestadsticaparamtricaysonaplicadas bsicamenteavariablescontinuas.Estastcnicassebasanenespecificarunaformade distribucindelavariablealeatoriaydelosestadsticosderivadosdelosdatos.En estadsticaparamtricaseasumequelapoblacindelacuallamuestraesextradaes normaloaproximadamentenormal.Estapropiedadesnecesariaparaquelapruebade hiptesis sea vlida. Existensinembargootrosmtodosparaleloscuyosprocedimientosnoprecisanla estimacindeparmetrosnisuponerconocidaningunaleydeprobabilidadsubyacente enlapoblacindelaqueseextraelamuestra.Estassonlasdenominadastcnicasno paramtricasocontrastesdedistribucioneslibres.Lamayoradelosmtodosno paramtricosimplicanelanlisisdelrangodelosdatosporloquenoseutilizanlos valores de la muestra (Quevedo, 2006). Engeneral,losmtodosnoparamtricosespecificanhiptesisentrminosde distribuciones poblacionales en lugar de parmetros, como las medias ylas desviaciones estndar.Amenudo,lossupuestosparamtricossesustituyenporsuposicionesms generalesconrespectoalasdistribucionespoblaciones,ylaclasificacindelas observaciones se usa en lugar de medidas reales. Las investigaciones han demostrado que las pruebas estadsticas no paramtricas tienen casi la misma capacidad para detectar diferencias entre las poblaciones que los mtodos paramtricos,cuandosecumplelanormalidadyotrossupuestos.Podranser,ycon frecuencia lo son, ms efectivos para discernir las diferencias poblacionales cuando no se cumplenestossupuestos.Porestarazn,algunosespecialistasenestadsticaprefieren los procedimientos no paramtricos a los paramtricos (Mendenhall et al, 2008). Unadelasconsideracionespara determinarsiloapropiadoesunmtodoparamtricoo unmtodonoparamtricoeslaescalademedicinempleadaparagenerarlosdatos.Todoslosdatossongeneradosporunadelascuatroescalasdemedicin:nominal, ordinal, de intervalo o de razn.Por lo tanto los anlisis estadsticos se realizan con datos ya sea nominales, ordinales, de intervalo o de razn (Anderson et al, 2008). INSTITUTO TECNOLGICO DE LERMA INGENIERA EN ACUICULTURA 2 ESTADSTICA APLICADA BIL.J. ALFREDO SOLS ECHEVERRA Escala de medicinEjemplos Escala Nominal Los datos son etiquetas o categoras que se usanparadefinirunatributodeun elemento.Los datos nominales pueden ser numricos o no numricos. Elmercadoenelquesecotizaunaaccin (NYSE,NASDAQoAMEX)esundato nominal no numrico.El nmero de seguro socialdeunapersonaesundatonominal numrico. Escala Ordinal Losdatospuedenusarseparajerarquizaru ordenarlasobservaciones.Losdatos ordinalespuedensernumricosono numricos. Lasmedidaspequeas,medianasy grandesparadareltamaodeunobjeto sondatosordinalesnonumricos.Ellugar delosestudiantesenunaclase1,2,3, son datos ordinales numricos. Escala de IntervaloLosdatostienenlaspropiedadesdelos datos y los de intervalo entre observaciones seexpresanentrminosdeunaunidadde medicin fija. Los datos de intervalo tienen que ser numricos. Lasmedicionesdetemperaturasondatos deintervalo.Supongalatemperaturaen unlugaresde21Cyenotroesde4C.Estoslugaressepuedenjerarquizarde acuerdoconloscalurososqueson:el primero es ms caliente que el segundo.La unidad fija de medicin, 1C , permite decircun ms caliente es el primer lugar: 17C. Escala de RaznUnaescalademedicinesderaznsios datos tiene las propiedades de los datos de intervaloyelcociente(orazn)entredos medidastienesentido.Losdatosderazn tienen que ser numricos. Variablescomolaaltura,ladistancia,el pesoyeltiemposemidenconunaescala de razn.

Lamayorpartedelosmtodosestadsticosconocidoscomomtodosparamtricos requierendelusodedatosdelasescalasdeintervalooderazn.Conestosnivelesde medicin,tienensentidolasoperacionesaritmticasymedias,varianzas,desviacin estndar,etc.,puedencalcularse,interpretarseyusarseenelanlisis.Conlosdatos nominalesyordinalesnoesapropiadocalcularmedias,varianzasnidesviaciones estndar; por lo tanto, no pueden emplearse los mtodos paramtricos.La nica manera de analizar estos datos para obtener conclusiones estadsticas es emplear los mtodos no paramtricos. INSTITUTO TECNOLGICO DE LERMA INGENIERA EN ACUICULTURA 3 ESTADSTICA APLICADA BIL.J. ALFREDO SOLS ECHEVERRA Engeneralparaqueunmtodoestadsticoseclasifiquecomomtodonoparamtrico, debe satisfacer, por lo menos, una de las siguientes condiciones: 1.Ser un mtodo que pueda ser usado con datos nominales. 2.Ser un mtodo que pueda ser usado con datos ordinales. 3.Ser un mtodo que pueda ser usado con datos de intervalo o de razn cuando no seaposiblehacersuposicionesacercadelaformadeladistribucindela poblacin. Sielniveldemedicindelosdatosesdeintervalooderaznysilassuposiciones necesarias sobre la distribucin de probabilidades de la poblacin son apropiadas, con los mtodosparamtricosseobtienenprocedimientosestadsticosmspotentesyms refinados. Quevedo(2006)yLevinyRubin(2004),establecenlassiguientesventajasydesventajas de los mtodos no paramtricos: Ventajas:1.Estosmtodospuedenaplicarseaungrannmerodesituaciones,porqueno requierendelascondicionesdenormalidadrequeridasporsuscontrapartes paramtricas y son ms simples que su contraparte, los mtodos paramtricos.2.En contraste con los mtodos paramtricos, los mtodos no paramtricos pueden ser aplicados a datos no numricos. 3.Generalmente,esmssencilloderealizarlasyentenderlas.Lamayoradelas pruebasnoparamtricasnoexigeneltipodeclculolaboriosoamenudo necesario.4.Algunas veces ni siquiera se requiere un ordenamiento o clasificacin formal. Desventajas: 1.Losmtodosnoparamtricostiendendesperdiciaroignorarinformacin,porque losdatosnumricosexactosusualmentesereducenaformacualitativa.Por ejemplo,enunapruebanoparamtrica,digamosdepruebasdesignos,laprdida depesopordietistasseregistransimplementesignosnegativos.Conestemtodo de signos, la prdida de peso de una sola libra, recibe la misma representacin que la prdida de 50 libras. 2.Laspruebasnoparamtricasnotienenlaeficienciadelaspruebasparamtricas. Esto se debe a qu, con los mtodos no paramtricos, en las pruebas de hiptesis se necesita una fuerte evidencia, antes de que se pueda rechazar la hiptesis. INSTITUTO TECNOLGICO DE LERMA INGENIERA EN ACUICULTURA 4 ESTADSTICA APLICADA BIL.J. ALFREDO SOLS ECHEVERRA 4.2Prueba de Ji cuadradaLosdatosobtenidosenlostrabajosyexperimentosbiolgicossondedostipos principales.Enuntipocadaindividuosecaracterizaporunamedidaoalgunaotra especificacin cuantitativa.En el otro, cada individuo se coloca en una clase particular, y losresultadosseexpresancomofrecuenciasenlascualeslosindividuosseencuentran dentrodecadaclase.Enungrannmerodetrabajosbiolgicos,lashiptesisquems interesancomprobarnoestnrelacionadasconlacaracterizacincuantitativadelos individuos o de la muestras, sino con las probabilidades, y por tanto con las frecuencias de losindividuosuobservacionesquepertenecenadeterminadasclases,previamente especificadas.Por lo que cuando se desea comprobar la significancia de la desviacin de una proporcin simpleentre dos frecuencias delo que espera segn la hiptesis, cuando se utilizan ms de dos frecuencias se emplea el estadstico ji-cuadrada (X2) (Bishop, 1966). SteelyTorrie(1995),definenalaX2comolasumadeloscuadradosdelasvariables independientes, normalmente distribuidas con medias y varianza 1. Reyes(1995),mencionaquelapruebadeX2esaplicableaunaseriedesituacionesen dondesehacenconteosyendondelosdatosnoobedecenaladistribucinnormaly constituyenloqueseconocecomoestadsticaparamtrica.Esmuycomntratarde probar si los valores observados experimentalmente (O) estn de acuerdo con los valores esperados (E) conforme a una teora determinada. Para determinar el grado deconcordancia senecesita un medio que permitaconocer los limitesdequenodebeexcederladiscrepanciaentrelosvaloresrealesobservadosylos valorestericoscalculadosoconocidos,paraquetantadiscrepanciapuedaconsiderarse comounjuegoexclusivodelazarynodebidoadiferenciasfundamentalesentrelos hechosrealesylashiptesisadoptadas.Contalobjeto,seemplealaX2,propuestapor Karl Pearson a principios de siglo (De la Loma, 1980). Quevedo (2006), menciona las siguientes propiedades de la distribucin de Ji- cuadrada: 1)LadistribucindeJi-cuadradanoessimtrica,comoladistribucinnormalola distribucin de t. Los valores de la Ji-cuadrada pueden ser de cero o positivos, pero no negativos. 2)LadistribucindeJi-cuadradaesunafamiliadecurvasyhayunadistribucin diferenteparacadanmerodegradosdelibertad,.Pero,amedidaqueel nmerodegradosdelibertadaumenta,ladistribucindelaJi-cuadradase aproxima a la distribucin normal. INSTITUTO TECNOLGICO DE LERMA INGENIERA EN ACUICULTURA 5 ESTADSTICA APLICADA BIL.J. ALFREDO SOLS ECHEVERRA 4.2.1 Pruebas de concordanciaBishop(1966),sealaqueeltipomssencilloenelcualseutilizalapruebadeX2es aquellaenlaqueunahiptesisparticularconduceaesperarquelosindividuosu observacionescaiganenunaseriedeclasesenunasfrecuenciasdeterminadas.Cuando serealizanobservaciones,estsproducenunaseriedefrecuenciasobservadas.El problemaradicaentoncesencompararlasignificanciadeunadesviacindadaentrelas frecuenciasobservadasyesperadas,esdecir,determinanlaprobabilidaddeobtenertal desviacin o una mayor, si la hiptesis es correcta. Lapruebadeji-cuadradapuedeutilizarsetambinparadecidirsiunadistribucinde probabilidadenparticular,comolabinomial,ladePoissonolanorma,eslaapropiada.Estaesunahabilidadimportante,porquecomo tomadoresdedecisionesqueutilizamos laestadstica,necesitamosescogerciertadistribucinenparticularpararepresentarla distribucindelosdatosquetengamosqueanalizar.Necesitamoslahabilidadpara cuestionarhastadondepodemosllegarconlassuposicionesdequepodemosusaruna distribucinprobabilidadantesdequedebamosconcluirqueesadistribucinyanose puedeaplicar.Lapruebadeji-cuadradanospermitehacernosestapreguntayprobarsi existediferenciasignificativaentreladistribucindefrecuenciasobservadasyuna distribucin de frecuencias tericas.De esta manera, podemos determinar la bondad de ajuste deuna distribucin terica(es decir, qu tan bien seajusta a la distribucin delos datosqueobservamos).Deestaformapodemosdeterminarsidebemoscreerquelos datos observados constituyen una muestra obtenida de los distribucin terica hipottica (Levin y Rubin, 2004). DistribucindeJIcuadrada(X2)convarios grados de libertad, en funcinf (X2) = [(X2)/(2-1) e-X2/2] / {2/2 [ - 2) / 2]!}. INSTITUTO TECNOLGICO DE LERMA INGENIERA EN ACUICULTURA 6 ESTADSTICA APLICADA BIL.J. ALFREDO SOLS ECHEVERRA Reyes(1992),hacemencindelossiguientesejemplosdepruebasdeconcordancia simple: 1)En todos los animales la relacin de sexo es 1:1, esdecir, la mitad son hembras y la mitadsonmachos.Sienunmuestreodesexosen200animalesnohay100 hembrasy100machossino,porejemplo,hay110hembrasy90machos,al investigador le interesa probar si la falta de concordancia entre lo experimental y lo terico obedece a causas al azar o de muestreo, o si tales desviaciones obedecen a otras causas, esto es, sino cumplen la relacin 1:1. 2)EnlageneracinF2deunmonohbrido,larelacinfenotpicatericadebeser3:1.Siestarelacinnosemanifiesta,elgenetistadisponedelapruebadeX2,una herramienta estadstica para desechar o aceptar una hiptesis. 3) Enundihbrido,cuandoloscaracteressonindependientes,larelacinfenotpica debeser9:3:3:1;lasdesviacionesdeestarelacinpuedendebersealazar,ala casualidad, a errores de muestreo o al tamao de la muestra, pero tambin pueden deberse a que los genes no sean independientes y presenten ligamiento factorial y, por tanto, no se manifieste la relacin 9:3:3:1. 4)Las desviaciones entre lo experimentan y lo terico al arrojar monedas, dados, etc., se prueban mediante X2. La expresin matemtica del estadstico a utilizar es:nEOX con calcular puede se tambinEE OXiiii i||.|

\|== 2222: ;) ( Donde: O = Frecuencia observada E = Frecuencia esperadai = 1,...k (nmero de clases) El valor obtenido se busca en las tablas de X2 para (n-1) grados de libertad, donde: n = Nm. de clases de frecuencias esperadas o nm. de trminos de la suma Las hiptesis por probar seran:Ho:O = E ; hay concordancia HA: O = E; no hay concordancia Se rechazaHo si:X2 > X2 o (GL) Se acepta Ho si:X2 < X2 o(GL) Cuandoseaplicanadatosdiscretoslosresultadosparadistribucionescontinuasdeben hacerse ciertas correcciones.Para la X2 la correccin se conoce como correccin de Yates y consiste en: ( ) ( ) ( )kk kee oee oee ocorregida X2222 2121 1 25 . 0...5 . 0 5 . 0) ( + + + =INSTITUTO TECNOLGICO DE LERMA INGENIERA EN ACUICULTURA 7 ESTADSTICA APLICADA BIL.J. ALFREDO SOLS ECHEVERRA Engenerallacorreccinsehacesolamentecuandoelnmerodegradosdelibertades igual a uno.Enmuestras grandes seobtienen prcticamente los mismos resultados que la X2 no corregida, pero pueden aparecer dificultades en relacin conlos valores crticos.Para muestra pequeas, donde cada frecuenciaesperada se encuentra entre 5 y 10, quiz seamejorcompararlosvaloresdeX2corregidoynocorregido.Siambosvalores conducenalamismaconclusin,segnunahiptesis,talcomorechazarlaaelnivelde 0.05,raramentesepresentandificultades.Siseconducenaconclusionesdiferentes,se puedeobienincrementarlostamaosmuestralesosiestonoesposible,sepuede emplear mtodos de probabilidad exactos. LapruebadeX2puedeserempleadaparadeterminardequformadistribuciones tericas,talescomolanormal,binomial,dePoisson,etc.,seajustanalasdistribuciones empricas, es decir, aquellas que se obtienen de los datos muestrales (Spiegel, 1986). Ejemplo 10 Los siguientes datos son las cantidades de un organismo particular que se ha encontrado en 100 muestras de agua tomadas de un estanque. Nm. de organismos por muestra Frecuencia (O) 015 130 225 320 45 54 61 70 Probar la hiptesis de que los datos fueron extrados de una distribucin de Poisson.Ho: O = E;hay concordancia HA: O = E; no hay concordancia INSTITUTO TECNOLGICO DE LERMA INGENIERA EN ACUICULTURA 8 ESTADSTICA APLICADA BIL.J. ALFREDO SOLS ECHEVERRA Nm. de organismos por muestra Frecuencia Observada (O) Frecuencia relativa esperada Frecuencia esperada (E) 0150.15515.5 1300.28928.9 2250.27027.0 3200.16616.6 450.0808.0 540.033.0 610.008* 700.002*1.0 1000.100100 *Las frecuencias menores a 1 deben combinarse para evitar tener frecuenciasesperadas menores a 1.Los grados de libertad apropiados son 7-1= 6. Se aplica la ecuacin de Poisson: 86 . 1100186!) (= = = =ffxXefxx =+ ++=== == == =359 . 22 . 0) 2 . 0 0 (...9 . 28) 9 . 28 30 (5 . 15) 5 . 15 15 ( ) (002 . 0! 786 . 1..289 . 0! 186 . 1155 . 0! 086 . 12 2 227 86 . 1) 7 (1 86 . 1) 1 (0 86 . 1) 0 (ii iEE OXefefef GL= n-1= 7-1=6 X2 X205(7) 2.359 50 %) 808750217 Xj 155177115447 Ho: O = E; el porcentaje de eclosin es independiente de la temperatura HA: O = E; el porcentaje de eclosin depende de la temperatura 827 . 55447) 217 )( 115 (.2 ) 1 3 )( 1 2 ( ) 1 )( 1 ( ..794 . 1 447827 . 55) 50 (...073 . 91) 90 (753 . 79) 75 (753 . 79447) 230 )( 155 () )( (232 2 221122= == = == ||.|

\|+ + + = = =||.|

\|= =Fb a GLX FnEOXXX XFijij j iij X2 X205(2) 1.794 5 % Se aceptaHo el porcentaje de eclosin no depende de la temperatura. INSTITUTO TECNOLGICO DE LERMA INGENIERA EN ACUICULTURA 14 ESTADSTICA APLICADA BIL.J. ALFREDO SOLS ECHEVERRA Ejercicio 14 Enunexperimentoseanalizoelefectodelavacunacindeanimalesenlaboratorio contra una determinada enfermedad.Mediante un nivel de significancia del0.01 y 0.05, ensayarlahiptesisdequenohayadiferenciasentrelosgruposvacunadosyno vacunados, es decir, la vacunacin y esta enfermedad son independientes. Pasaronla enfermedadNopasaronla enfermedadVacunados 942 No vacunados 1728 Ejercicio 15 SeanalizelincrementodepesodepecesmachosyhembrasdeunaespeciedeTilapia conalimentoadiferentesporcentajesdeprotena.Losresultadossedanengramosde peso alcanzado durante un periodo de cultivo de 5 meses. Sexo Protena (%) 2025 3035 Machos340355385360 hembras320345370355

Determinarsielincrementodebiomasadependedelsexoadiferentesporcentajesde protena.Sea o = 0.01. INSTITUTO TECNOLGICO DE LERMA INGENIERA EN ACUICULTURA 15 ESTADSTICA APLICADA BIL.J. ALFREDO SOLS ECHEVERRA 4.3Prueba de Wilcoxon.Elcontraste deWilcoxoneslatcnicanoparamtricaparalelaal dela t deStudentpara muestrasapareadas.Igualmentedispondramosdenparejasdevalores(xi,yi)que podemosconsiderarcomounavariablemedidaencadasujetoendosmomentos diferentes. EltestdeWilcoxon,aligualquelosotroscontrastesnoparamtricospuederealizarse siemprequeloseasuhomlogoparamtrico,conelinconvenientedequeesteltimo detectadiferenciassignificativasenun95%decasosqueeldelatdeStudent.Sin embargoaveceslashiptesisnecesariasparaeltestparamtrico(normalidaddelas diferencias apareadas, di) no se verifican y es estrictamente necesario realizar el contraste quepresentamosaqu.Uncasomuyclarodenonormalidadescuandolosdatos pertenecen a una escala ordinal (Rodrguez, 2006). Se aplicada para determinar diferencias con tratamientos apareados.Los pasos en el procedimiento son: 1.Asignarrangosalasdiferenciasentrevalorespareadosenformaascendentesin considerar el signo. 2.Asignar a los rangos los signos de las diferencias originales. 3.Calcular la suma delos rangos positivos T+ y ladelos rangos negativosT-.Estas estn relacionadas por la ecuacin T+ + T- = n(n+1)/2.Se elije el valor menor entre T+ y T- llamndolo T.Slo hay que calcular la suma menor, si seve claro cul de ellas va a ser. 4. Comparar la suma obtenida en el paso 3 con el valor crtico. Muestra 1 (X1, j) Muestra 2 (X2, j) Diferencia (dj = X1,j X2, j) Rank de |d| Ranks con signos X1, 1 X2,1d1rjrj X1,2X2, 2+ - d2rj+ - rj X1,3X2, 3d3rjrj n1 n2 T+ = suma de rankeos con signo + T- = suma de rankeos con signo Tambin: T+ = n(n+1)/2 T- T- = n(n+1)/2 T+ Al testear HO: = 0 HA: 0 Se rechaza HO si T+ y T- , ambas > W(n)n= nmero de pares Al testear HO: = 0 HA: > 0 INSTITUTO TECNOLGICO DE LERMA INGENIERA EN ACUICULTURA 16 ESTADSTICA APLICADA BIL.J. ALFREDO SOLS ECHEVERRA Se rechazar HO si T+ > W1-, donde W1- es el percentil 1- de la distribucin exacta del estadstico, que ha sido tabulada. Si las hiptesis a testear fuesen HO: = 0 HA: < 0 Se rechazar HO si T+ W , donde W es el percentil de la distribucin exacta. TambinsepodradefinirT-comolasumadelosrangosdelosvaloresabsolutosdelas observaciones menores que 0 en la muestra original. Esta prueba tambin puede emplearse para una muestra nica, en la que se desee probar unahiptesisnulaacercadelamediana.Aquelvalorhipotticoserestadecada observacin y los valores resultantes se tratan como las instrucciones precedentes. Ejercicio 16 Enelcultivodelcamarnblanco(Penaeusvannamei)enjaulassumergidassealimentocon 2 dietas, una de ellas a base de harina de pescado y la otra a base de harina de cabeza decamarn,ambasconun25%deprotena.Dandolossiguientesresultadosen incrementos de peso (grs) por semana: Sea o= 0.05. SemanaIncremento con Harina de pescado (grs) Incremento con harina de cabeza de camarn (grs) 10.990.83 20.890.02 30.861.88 41.140.65 51.791.34 60.810.50 70.400.51 80.300.31 90.490.26 100.350.06 INSTITUTO TECNOLGICO DE LERMA INGENIERA EN ACUICULTURA 17 ESTADSTICA APLICADA BIL.J. ALFREDO SOLS ECHEVERRA Ejercicio 17 Se determino la talla promedio dela tortuga golfina (Lepidochelysolivacea) durante 10 aosenPuertoVicenteGuerrero,Gro.,midiendolaslongitudesdellargorectodel caparazn y la longitud curva del caparazn.Teniendo los siguientes resultados:Sea o= 0.05. Ao Largo recto del caparazn (cm) Long. curva del caparazn (cm) 198673.4262.20 198773.0063.90 198872.6068.00 198971.7768.18 199074.8971.10 199164.7069.20 199267.6064.20 199368.2364.82 199462.4564.80 199565.8368.66 INSTITUTO TECNOLGICO DE LERMA INGENIERA EN ACUICULTURA 18 ESTADSTICA APLICADA BIL.J. ALFREDO SOLS ECHEVERRA 4.4Prueba de Kruskal- Wallis LapruebadeKruskal-WalliseslaalternativanoparamtricaparalapruebadeFdel anlisis de varianza para un diseo completamente aleatorizado.Se usa para detectar las diferenciasenlugaresentremsdedosdistribucionespoblacionalesconbaseenel muestreo aleatorio independiente (Mendenhall et al, 2008). Si una serie de datos es colectada acorde a un diseo completamente al azar donde k 3, esposibleprobar noparamtricamenteladiferenciaentrelosgruposocategorasdeun factor,locualesposiblemediantelapruebadeKruskal-Wallis,frecuentemente denominadaANOVAporrangos.Dichoanlisispuedeserempleadoeninstanciasen dondeunANOVAparamtriconoesaplicable,esdecircuandolaskmuestrasno provienen de poblaciones distribuidas normalmente y/o se observa heterogeneidad entre varianzas.Comoenlasotraspruebasderangos,sesuponequetodaslaspoblaciones muestreadassoncontinuaseidnticas,exceptoposiblementeenlalocalizacin.La hiptesisenlapruebadeKruskal-Wallisparak3poblacionesseexpresacomosigue (Anderson et al, 2008): Ho: Todas las poblaciones son idnticas Ha: No todas las poblaciones son idnticas Deestemodo,estecontrasteeselquedebemosaplicarnecesariamentecuandonose cumple algunas de las condiciones que se necesitan para aplicar dicho mtodo. LapruebadeKruskal-Wallisesunavaliosaalternativaparaelanlisisdevarianzadeun criteriocuandoseviolanlossupuestosdenormalidadeigualdaddevarianzas (Mendenhalletal,2008).LapruebadeKruskal-Wallissepuedeusartantocondatos ordinales como con datos de intervalo o razn (Anderson et al, 2008). Aligualquelasdemstcnicasnoparamtricas,estaseapoyaenelusodelosrangos asignados a las observaciones. El procedimiento para aplicar la prueba es el siguiente:1.Asignar rangos a todas las observaciones de menor a mayor 2.Sumar los rangos para cada muestra3.Calcular el criterio de prueba y comparar con los valores tabulados. Grupo 1Grupo 2Grupo 3 X1, 1 X1, 2 X1, 3 X2, 1 X2, 2 X3, 3 X3, 1 X3, 2 X3, 3 n1 R1 n2 R2 n3 R3 r= ranking de menor a mayorN= n1+n2+n3 INSTITUTO TECNOLGICO DE LERMA INGENIERA EN ACUICULTURA 19 ESTADSTICA APLICADA BIL.J. ALFREDO SOLS ECHEVERRA

Datos con repeticin Si k< 5 utilizar distribucin H si k > 5 utiliza X2 H 0.05 n1, n2, n3 X2 0.05k-1 Hc o H > H crtica o X2 crtica rechazar Ho Ejemplo 14 Un entomlogo realizo un estudio de distribucin de una especie de insecto en un bosque yobtuvo5muestrasdeinsectosdecadaunadelostresdiferentestiposdevegetacin: hierbas, arbustos y rboles. Ho: la abundancia de insectos es la misma en los 3 tipos de vegetacin Ha: La abundancia de los insectos no es la misma en los 3 tipos de vegetacin Numero de insectos/m3 de follaje HierbasArbustosrboles 14.0 (15) 12.1 (14) 9.6 (12) 8.2 (10) 10.2 (13) 8.4 (11) 5.1 (2) 5.5 (4) 6.6 (7) 6.3 (6) 6.9 (8) 7.3 (9) 5.8 (5) 4.1 (1) 5.4 (3) n1 = 5 R1= 64 n2= 5 R2 = 30 n3 = 5 R3= 26 N = 5+5+5 = 15

H = 56.720 -48 H= 8.72 Hc H (0.05) 5,5,5 8.72 >5.78 Rechazar Ho INSTITUTO TECNOLGICO DE LERMA INGENIERA EN ACUICULTURA 20 ESTADSTICA APLICADA BIL.J. ALFREDO SOLS ECHEVERRA Ejemplo 18 En un estudiose obtuvieron 8 muestras deagua cada unode 4 estanques. El pH de cada muestra de agua fue medido. Los datos estn organizados en orden ascendente en cada estanque. = 0.05 Ho: El pH es el mismo en todas las muestras Ha: El pH no es el mismo en todas las muestras Estanque 1Estanque 2Estanque 3Estanque 4 7.68 (1) 7.69 (2) 7.70 (3.5) 7.70 (3.5) 7.72 (8) 7.73 (10) 7.73 (10) 7.76 (17) 7.71 (6) 7.73 (10) 7.74 (13.5) 7.74 (13.5) 7.78 (20) 7.78 (20) 7.80 (23.5) 7.81 (26) 7.74 (13.5) 7.75 (16) 7.77 (18) 7.78 (20) 7.80 (23.5) 7.81 (26) 7.84 (28) 7.71 (6) 7.71 (6) 7.74 (13.5) 7.79 (22) 7.81 (26) 7.85 (29) 7.87 (30) 7.91 (31) n1= 8 R1= 55 n2= 8 R2= 132.5 n3= 7 R3= 145 n4= 8 R4= 163.5 N= 8+8+7+8 = 31

H = 11.876

GL= k-1= 4-1=3 HcH0.05 (3) 11.943> 7.815Rechazar Ho