UNIDAD 1TERMINOLOGÍA BÁSICA Y DIAGRAMA DE FLUJO

INGENIERÍA FINANCIERA(Matemáticas Financieras)

DEFINICIÓN

■ Es un conjunto de herramientas matemáticas que permite analizar

cuantitativamente la viabilidad o factibilidad económica y financiera de los

proyectos de inversión. También puede decirse que analiza el valor del dinero en el

tiempo t. (Cardenas, Rojas y Cardona, 2011).

■ La ingeniería económica es el punto medular de la toma de decisiones. Tales

decisiones implican los elementos básicos de flujos de efectivo, tiempo y tasas de

interés. (Blank y Tarkin, 2012)

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PAPEL DE LA INGENIERÍA ECONÓMICAEN LA TOMA DE DECISIONES

■ La ingeniería económica ayuda en la toma de decisiones que involucran dinero, el

cual llamaremos capital o fondos de capital. Este dinero, generalmente existe en

cantidades limitadas.

■ La decisión de dónde y como invertir este dinero esta motivado por un objetivo

principal que se llama agregar valor, y aquí debemos tener en cuenta los resultados

futuros que deseamos obtener.

■ La ingeniería económica implica formular, estimar y evaluar los resultados

económicos cuando existen alternativas disponibles para llevar a cabo un propósito

definido. Las técnicas matemáticas simplifican la evaluación económica de las

alternativas.

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CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Los conceptos fundamentales para abordar la ingeniería económica son, en su orden,

los siguientes:

1. Valor del dinero en el tiempo

2. Interés

3. Equivalencia

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1. Valor del dinero en el tiempo

El valor del dinero en el tiempo es el concepto más importante que se debe tener en

cuenta en la ingeniería económica.

Afirmaciones:

■ El valor del dinero en el tiempo explica el cambio de la cantidad de dinero en el

tiempo de los fondos que se poseen (invierten) o se deben (prestan). (Blank y

Tarkin, 2012)

■ El valor del dinero depende del momento en el tiempo en el que esté ubicado

(Meza, 2017).

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¿Es lo mismo recibir $1.000.000 hoy que dentro de un año?

La respuesta es NO, debido al concepto del valor del dinero en el tiempo. Para

entender porque NO tendremos en cuenta las siguientes razones:

1.1 Inflación

1.2 Costo de Oportunidad

1.3 Riesgo

1.4 Beneficio Económico

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1.1 Inflación

La inflación es el aumento generalizado enlos precios de los bienes y servicios de unaeconomía y se traduce en una pérdida delpoder adquisitivo del dinero. Por la existenciade la inflación en una economía, por el solohecho de que transcurra el tiempo el dinerova perdiendo poder de compra o poderadquisitivo. → IPC

Al final del año se recibirá el mismo$1.000.000 en pesos de bolsillo, pero de unmenor poder de compra, lo que nos indicaque no se recibe $1.000.000 sino un valormenor.

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1.2 Costo de Oportunidad

El costo de oportunidad es el ingreso al que serenuncia por tomar una decisión.

Ejemplo: Si una persona va al cine su costo deoportunidad esta representando en lo que deja dehacer en su lugar como trabajar, descansar, etc.Siempre enfrentamos costos de oportunidad.

Para el caso del $1.000.000 el costo de oportunidades la “oportunidad” que se tendría de invertir esedinero en algún negocio que entregara intereses quele permitan al dueño por lo menos, resarcirse delefecto de la inflación.

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El dueño del dinero al no recibir hoy el $1.000.000 esta asumiendo el riesgo

de perderlo.

--> DMG

1.3 Riesgo

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1.4 Beneficio Económico

Se supone que la persona que

va a usar el $1.000.000

durante el año va a recibir unos

beneficios para su uso. Por lo

tanto, es apenas justo que el

dueño del dinero participe de

los beneficios.

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Conclusiones

■ Una cantidad de dinero hoy vale más que la misma cantidad de dinero en el futuro.

Por lo tanto, cantidades de dinero ubicadas en fechas diferentes no son

comparables.

■ Con el transcurrir del tiempo el dinero conserva su valor nominal más no su poder

adquisitivo. En otras palabras, el valor del dinero se mide por su poder adquisitivo y

no por su valor nominal.

■ Ejemplo: ¿De que sirve prestar hoy $1.000.000 hoy y recibir $5.000.000 dentro de

un año si con este último valor se compra una cantidad menor que lo que se

compraba hace un año con $1.000.000? Simplemente se ha perdido dinero

porque lo que se recibe tiene menor poder adquisitivo que lo que se prestó.

Considerar que se obtuvo una utilidad de $4.000.000 durante un año es una

“ilusión inflacionaria”

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Toda operación financiera esta constituida por ingresos y egresos ubicados en fechas

diferentes, y por lo tanto los valores no se pueden comparar. Para poder hacerlo

necesariamente tenemos que convertirlos en pesos del mismo poder adquisitivo, lo cual se

logra ubicándolos en la misma fecha

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■ Como conclusión y por las implicaciones financieras que esto representa, el

financiero debe tener presente el momento en el que suceden los hechos

económicos ya que una misma unidad monetaria colocadas en diferentes fechas

desde el punto de vista financiero, es un valor diferente. Así, cuando decimos que

hoy cancelamos $500.000 y dentro de un mes cancelamos otros $500.000 no

podemos decir que hemos cancelado $1.000.000.

■ Si la opción que se tiene es no recibir $1.000.000 hoy, sino recibirlos dentro de un

año, se aceptaría la oferta siempre y cuando se reconociera sobre el $1.000.000

de hoy una cantidad adicional, por ejemplo, $200.000

HOY (P) DENTRO DE UN AÑO (F)

$1.000.000 $1.200.000

■ La cantidad adicional corresponde al valor de los intereses (I) por utilizar$1.000.000 durante un año. Este cambio en la cantidad de dinero en un tiempodeterminado es lo que se llama valor del dinero en el tiempo, el cual se manifiesta através de los intereses.

2. Interés

El interés es el arriendo que se paga por usar un dinero tomado en préstamo durante

un tiempo determinado.

El interés es la manifestación del valor del dinero en el tiempo.

El interés es el precio del dinero cuando se utiliza como capital, y éste debe tener una

retribución como ocurre con todos los recursos. Ejemplo: Se trabaja a cambio de un

salario

El interés se paga cuando una persona u organización pide dinero prestado (obtiene un préstamo) y paga unacantidad mayor.

El interés se gana cuando una persona u organización ahorra, invierte o presta dinero y recibe una cantidadmayor.

Préstamo

Pago

+ InteresesPrestatario Inversionista

Préstamo

Pago

+ Intereses

Interés pagado durante el período del prestamista Interés ganado durante el período por el inversionista

Formula de Interés

■ Si se presta una cantidad de dinero (P) y después de un tiempo se recibe una

cantidad mayor (F), la variación del valor del dinero de P a F se llama valor del

dinero en el tiempo, y la diferencia entre F y P es el valor del interés (I)

I = F - P

■ La diferencia entre el valor futuro (F) y el valor presente (P) se llama interés (I).

Ejemplo

■ Cersei Lannister solicita un préstamo de $10.000 al Banco de Hierro el 1 de mayode 20XX y debe pagar un total de $10.700 exactamente un año después.Determine el valor del interés. (Ejercicio 1, Taller Unidad 1)

Cantidad de dinero que se presta: P

Cantidad de dinero que se paga: F

Entonces:

I = F – P

I = $10.700 - $10.000

I = $700

■ Si se depositan en una cuenta de ahorros $500.000 y después de 1 año se tiene un

saldo de $580.000, calcular el valor de los intereses. (Ejercicio 2, Taller Unidad 1)

■ TEÓRICAMENTE, ¿EN QUE SI DEFERENCIAN ESTOS DOS EJERCICIOS?

Tasa de Interés

Definición:

La tasa de interés es un indicador expresado como porcentaje que mide el valor de los

intereses.

La tasa de interés es el precio del dinero o el importe del arriendo del dinero.

𝑖 =I

PDonde:

i = Tasa de interés

I = Valor del Interés

P = Valor presente, cantidad de dinero prestada, valor original.

■ La tasa de interés se expresa en forma de porcentaje para un período de tiempo

determinado.

■ La unidad de tiempo de la tasa de interés recibe el nombre de período de intereses.

■ El período de intereses más común para fijar una tasa de interés es de un año.

■ Es posible considerar períodos más cortos, como por ejemplo 1% mensual, 2%

bimensual, 3% trimestral, etc.

■ Siempre debe mencionarse el período; cuando no se menciona, por ejemplo 8.5%

se SUPONE que es por un período de un año.

■ Al desarrollar la ecuación de tasa de interés el resultado será un DECIMAL que se

multiplica por 100 para llevarlo a porcentaje. En forma inversa, cuando la tasa de

interés expresada como porcentaje se utiliza en cualquier ecuación matemática se

hace necesario convertirla a un número decimal.

Tenga en cuenta con la Tasa de Interés

𝑖 =I

P𝑥 100%

Ejercicio 3

Tasa de Interés

Una tasa de interés el 3% mensual, al emplearla en cualquier ecuación se debe

expresar como 0.03, que resulta de dividir 3 sobre 100. (3/100)

■ Cersei Lanister solicita un préstamo de $10.000 al Banco de Hierro y el 1 de mayo de 20XX y debepagar un total de $10.700 exactamente un año después. Determine la tasa de interés. (Ejercicio4)

I = F – P

I = $10.700 - $10.000

I = $700

𝑖 =I

P𝑥 100%

■ Si se depositan en una cuenta de ahorros $500.000 y después de 1 año se tiene

un saldo de $580.000, calcular la tasa de interés. (Ejercicio 5)

𝑖 =$700

$10.000𝑥 100% = 7% Anual

Una tasa de interés al emplearla en

cualquier ecuación se debe expresar

como decimal

Se deposita en una entidad financiera la suma de $1.000.000 y al cabo de 1 mes seretira $1.030.000. Calcular el valor de los intereses y la tasa de interés ganada.

Tasa de Interés

P = $1.000.000 F = $1.030.000

La tasa de interés (i) es igual a la relación entre los intereses (I) el valor depositado (P).

I = F – P

I = $1.030.000 - $1.000.000

I = $30.000

La diferencia entre valor futuro (F) y valor presente (P) es el valor de los intereses (I).

𝑖 =I

𝑃𝑖 =

$30.000

$1.000.000= 0.03

La tasa de interés obtenida está expresada como decimal, por lo tanto, tenemos que

convertirla en porcentaje multiplicando el resultado por 100. La tasa de interés, en

esta caso es igual 3% mensual.

Ej. 7

■ La tasa de interés expresada como porcentaje debe estar SIEMPRE acompañada

del período de liquidación de los intereses, ya que por sí sola no indica nada. Son

comunes las expresiones de presté mi dinero al 4% mensual, indicando que recibo

$4 mensuales por cada $100 que presto.

■ Si digo que recibo sobre mi dinero un rendimiento del 20% anual, significa que me

están pagando ANUALMENTE $20 pesos por cada $100 invertidos y/o prestados.

De la ecuación de la tasa de interés despejamos el valor de (I), quedando la siguiente

expresión matemática que calcula para un período el valor de los intereses cuando se

conoce el valor prestado o invertido (P) y la tasa de interés (i)

Tasa de Interés

I = P x i

■ Juanito tiene la idea de solicitarle a su padre un préstamo de $20.000 durante unaño para comprar un nuevo juguete. El padre le dice que se los presta con uninterés del 9%. Calcule el valor del interés (I) y la cantidad total que se debedespués de un año (F).

Tasa de Interés

I = P x i

I = $20.000 x 0,09

I = $1.800

La cantidad total a pagar después de un año es la siguiente

$20.000 + $1.800 = $21.800

La cantidad total a pagar también se calcula de la siguiente forma:

Cantidad a pagar (deuda) = P (1 + i) = $20.000 (1,09) = $21.800.

■ ¿Cuál será el valor de los intereses devengados trimestralmente, si deposito

durante tres meses $2.500.000 en una entidad que me reconoce una tasa de

interés del 8% trimestral?. ¿Cuánto me van a pagar?

Tasa de Interés

■ Las tasas de interés representan dos cosas: Una tasa de retorno llamada real más

la tasa esperada de inflación. La tasa de retorno permite al inversionista comprar

más de lo que hubiese podido comprar antes de la inversión, mientras que la tasa

de inflación eleva la tasa real de la tasa del mercado que empleamos a diario.

Ej. 10

3. Equivalencia

La equivalencia económica es una combinación del valor del dinero en el tiempo y la

tasa de interés para determinar las diferentes cantidades de dinero en momentos

distintos y que tienen el mismo valor económico

En otras palabras, dos cantidades ubicadas en diferentes fechas son equivalentes,

aunque no iguales, si producen el mismo resultado económico. Esto es, $100 de hoy

son equivalentes a $140 dentro de un año si la tasa de interés es del 40% anual. Un

valor presente (P) es equivalente a un valor futuro (F) si el valor futuro cubre el valor

presente más los intereses a la tasa exigida por el inversionista.

Como conclusión podemos decir que si para un inversionista es indiferente en términos económicos recibir hoy $100 que $140 dentro de un año, estos dos valores son equivalentes financieramente para el.

El concepto de equivalencia es relativo dado que las expectativas de rendimiento deldinero de cada persona es diferente. Para X persona, $100 de hoy pueden serequivalentes a $140 dentro de un año, pero para Y pueden no ser dado que susexpectativas de rendimiento puede ser mayores (o menores).

Cuando un ahorrador presta su dinero a una entidad financiera a través de una cuentade ahorros o un CDT, a una determinada tasa de interés, esta aplicando el criterio deequivalencia porque esta aceptando entregar una cantidad (P) para recibir después deun tiempo una cantidad acumulada (F); para este ahorrador (P) y (F) son valoresequivalentes

3. Equivalencia

■ A una tasa de interés del 6%, $100 (Tiempo (Valor)presente – P - ) equivalen a $106

un año después. (Futuro)

Valor Futuro = P + (P x i)

Valor Futuro = $100 + $100 (0,06) = $106

Importante: Las dos sumas de dinero son equivalentes entre sí y solo sí solo cuando la

tasa de interés es del 6% anual. Si la tasa de intereses fuera superior o inferior, $100

de hoy no equivaldrían a $106 un año después.

■ Con la misma lógica se calcula la equivalencia para años

anteriores.

$100 equivalen a $94.34 hace un año

$100 / 1.06 = $94.34 de hace un año con i = 6%

A una tasa del 6%, $94.34 hace un año, $100 hoy y $106 dentro de un año equivalen

a lo mismo

F = P (1 + i)

F = P

(1 + i)

Ejemplo:

Los fabricantes de baterías de respaldo para sistemas de cómputo las entregan a

distribuidores de baterías + a través de distribuidores particulares. En general, las

baterías se almacenan un año y se agrega un 5% anual al costo para cubrir el cargo del

manejo de inventario para el dueño del contrato de distribución. Supongamos que

usted es el dueño de una tienda de baterías +. Realice los cálculos necesarios con una

tasa de interés de 5% anual para demostrar cuáles de las siguientes declaraciones,

referentes a los costos de las baterías, son verdaderos y cuáles son falsas

A. a. La cantidad de $98 hoy equivale a un costo de $105.60 un año después.

B. El costo de $200 de una batería para camión hace un año equivale a $205 ahora.

C. Un costo de $38 ahora equivale a $39.90 un año después.

D. Un costo de $3.000 ahora es equivalente a $2.887,14 hace un año.

Ej. 12

TERMINOLOGÍA Y SIMBOLOS

Los ejercicios que se desarrollarán de Ingeniería Económica utilizarán la siguiente terminología:

P Valor o cantidad que representa una suma presente de dinero. También se denota comotiempo presente o tiempo 0 (cero). También se puede llamar valor presente (VP) o valorpresente neto (VPN).

F Cantidad de dinero en un tiempo futuro. Es una suma futura después de n periodos.También recibe el nombre de valor futuro (VF).

A Representa una suma de dinero periódica e igual correspondiente a la cuota de unaanualidad. También se denomina Valor Anual (VA).

I Representa el valor de los intereses

i Tasa de interés o tasa de retorno por período.

n Número de períodos de interés

t Tiempo, expresado en períodos: Años, meses, días, etc.

G Variación de una cuota con respecto a la anterior. Proviene de la palabra gradiente.

Los problemas de ingeniería económica deben

contener por lo menos cuatro (4) de los

símbolos y para su solución se deben conocer

por lo menos tres (3) de ellos.

Ejemplo

Juan obtuvo un préstamo de $5.000 para amueblar su nueva casa. Puede pagarlo en

cualquiera de las dos formas que se describen a continuación. Determine los símbolos

de ingeniería económica

a. Cinco pagos anuales con una tasa de interés del 5% anual.

b. Un pago dentro de 3 años con un interés del 7% anual.

Ej. 14, 15, 16

FLUJOS DE EFECTIVO: ESTIMACIÓN Y DIAGRAMACIÓN

Para resolver los problemas de matemáticas financieras, el primer paso y quizás el más

importante es la construcción correcta del flujo de efectivo (flujo de caja), porque

además de mostrar claramente el problema nos indica las fórmulas que se deben

utilizar.

Los flujos de entrada de efectivo (Ingresos) son las recepciones, ganancias, ingresos,

ahorros generados por los proyectos y actividades de negocios. Un signo positivo o más

indica un flujo de entrada de efectivo.

Los flujos de salida de efectivo (Egresos) son los costos, desembolsos, gastos e

impuestos ocasionados por los proyectos y actividades de un negocio. Un signo

negativo o menos indica un flujo de salida de efectivo.

FLUJOS DE EFECTIVO: ESTIMACIÓN Y DIAGRAMACIÓN

■ Todas las operaciones financieras se caracterizan por tener ingresos y egresos.

Estos valores se pueden registrar sobre una RECTA que mida el tiempo de duración

de la OPERACIÓN FINANCIERA.

■ Por sentido común se ha adoptado señalar los ingresos con una fecha hacia arriba

y los egresos con una flecha hacia abajo.

Flu

jo d

e E

fecti

vo

+

-

Tiempo

Ingreso

Egreso

Los flujos de efectivo se pueden construir desde dos puntos de vista: Desde el prestamista o desde el prestatario.

Ejemplo:

El señor Pedro Picapiedra deposita en una entidad financiera el 1 de enero de 2016 la

suma de $1.000.000 y después de 6 meses retira una cantidad de $1.075.000.

Construir el flujo de caja.

Este problema puede ser analizado desde los dos puntos de vista: El flujo de caja para

el prestamista (Sr. Picapiedra) y para el prestatario (entidad financiera).

Punto de Vista del Prestamista

$1.000.000

$1.075.000

1 de Enero de 2016

1 de Julio de 2016

• El momento en que el señor Picapiedra deposita el dinero se denomina el presente o

momento cero.

• El valor del depósito inicial se conoce como valor presente, o simplemente P.

• El segmento de recta representa el tiempo de la operación financiera (n). En este caso

la operación financiera tiene una duración de 6 meses.

• El valor del dinero retirado después de los 6 meses se denomina valor futuro o

simplemente F.

Punto de Vista del Prestatario

$1.000.000

$1.075.0001 de Enero de 2016

1 de Julio de 2016