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5/23/2018 Unidad 1.pdf

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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL

FACULTAD DE INGENIERA ELCTRICA Y ELECTRNICA

PROGRAMA DE POSGRADO EN AUTOMATIZACIN Y

CONTROL INDUSTRIAL

MQUINAS ELCTRICAS

Dr. Hugo Arcos Martnez


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2MQUINAS ELCTRICASDR. HUGO ARCOS M.

Contenido

1. Revisin de Relaciones Fundamentales ................................................................... 41.1. Densidad de corriente y densidad de flujo: ........................................................ 41.2. Carga y corriente: ............................................................................................... 41.3. Fuerza causada por la induccin magntica: ..................................................... 51.4. Momento magntico: ......................................................................................... 51.5. Flujo magntico y densidad de flujo magntico: ............................................... 61.6. Intensidad de campo magntico: ........................................................................ 71.7. Fuerza electromotriz inducida e inductancia: .................................................... 9

2. Sistemas Magnticos .............................................................................................. 122.1. Circuitos Magnticos ....................................................................................... 122.2. Ferromagnetismo ............................................................................................. 152.3. Magnetizacin .................................................................................................. 162.4. Histresis .......................................................................................................... 202.5. Energa del campo magntico .......................................................................... 212.6. Prdidas por histresis...................................................................................... 222.7. Flujo alternado ................................................................................................. 252.8. Prdidas por corrientes parsitas (corrientes de remolino) .............................. 262.9. Prdidas en el ncleo ....................................................................................... 292.10. Corriente de excitacin en un inductor ........................................................ 302.11. Sistemas magnticos .................................................................................... 332.12. Circuitos Magnticos Complejos ................................................................. 352.13. Flujo magntico en el aire ............................................................................ 362.14. Efecto linealizante del entrehierro................................................................ 372.15. Inductancia y energa almacenada en un sistema magntico con entrehierro. 382.16. Circuito equivalente de un inductor ............................................................. 392.17. Sistemas Magnticos con ms de un bobinado ............................................ 432.18. Conversin de Energa ................................................................................. 45

3. Transformadores ..................................................................................................... 473.1. Transformador Ideal......................................................................................... 473.2. Modelo de un transformador de dos devanados .............................................. 48

3.2.1. Ecuaciones de concatenaciones de flujo ................................................... 483.2.2. Ecuaciones de Voltaje .............................................................................. 50

3.3. Aspectos de ingeniera en el anlisis de transformadores ................................ 523.3.1. Prueba de Cortocircuito ............................................................................ 533.3.2. Prueba de Circuito Abierto ....................................................................... 54


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3.4. Autotransformadores y transformadores multi-bobinado ................................ 553.4.1. Autotransformadores ................................................................................ 553.4.2. Transformadores Multi-bobinado ............................................................. 573.4.3. Transformadores en sistemas trifsicos .................................................... 58

3.5. Cantidades en por unidad ................................................................................. 593.5.1. Cambio de Bases de cantidades en por unidad ......................................... 623.5.2. Referencia de impedancias de un lado a otro del transformador trifsico.633.5.3. Ventajas de los clculos en por unidad. .................................................... 63


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1. Revisin de Relaciones FundamentalesEn lo que sigue se realiza una presentacin rpida de las principales relacionesmatemticas utilizadas en la modelacin de magnitudes elctricas y magnticas.

1.1. Densidad de corriente y densidad de flujo: Flujo magnticoescalar

B Densidad de flujo magnticovectori Corriente elctrica - escalar

J Densidad de corriente elctricavector

A

ABAdB .[Wb]. [1.1]

A

AdJi [A]. [1.2]

Figura 1.1. Lneas de induccin magnticaen una bobina recorrida por corriente

1.2. Carga y corriente:C.A dtiqdt

dqi [1.3]

NBvqF [1.4]


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1.3. Fuerza causada por la induccin magntica:

Figura 1.2. Direcciones de fuerza, velocidad y campo magntico sobre una partcula cargada y sobre unconductor que transporta corriente.

sinqvBF [1.5]

ilBFBdlidF

Bdt

dldqdF

[1.6]

1.4. Momento magntico:

Figura 1.3. Induccin magntica debida a Figura 1.4. Induccin magntica debida auna corriente en un conductor un lazo que lleva corriente

El momento magntico del lazo de corriente se define como:

Aipm . Am2 [1.7]


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Figura 1.5. Momento mecnico aplicado al lazo de corriente por el campo magntico

BpT m Nm [1.8]

1.5. Flujo magntico y densidad de flujo magntico:

Figura 1.6. Induccin magntica a travs de un camino cerrado

Figura 1.7. Ilustracin de la integral de superficie


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Si B es perpendicular a la superficie,

AB. Wb [1.9]

AB T o Wb/m2 [1.10]

Para una superficie cerrada se cumple:

0. A

dAB [1.11]

1.6.

Intensidad de campo magntico:

Figura 1.8. Fuerza magnetomotriz a travs de un camino cerrado

fuerza magnetomotriz asociada al camino cerrado [A]

321 III

c

dlB. [1.12]

permeabilidad absoluta [H/m]

0 constante magntica o permeabilidad absoluta del vaco

m

H

m

H 257.1104 70

r permeabilidad relativa 0. r


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NidlH

dlH

HB

dlB

c

c

c

.

.

[1.13]

Esta ltima expresin es la ley circuital de Ampere que tambin puede expresarse como:

Ac

dAJdlH .. [1.14]

Figura 1.9. Intensidad de campo magntico alrededor de un conductor que lleva corriente

Para el caso del conductor de la Figura 1.9, la aplicacin de la ley de Ampere conlleva ala siguiente expresin:

A/m2

2

r

iH

irH

[1.15]


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Figura 1.10. Ilustracin de la integral de superficie de la Ec. [1.14]

1.7. Fuerza electromotriz inducida e inductancia:El campo elctrico inducido en un conductor que se mueve a una velocidad vdentro deun campo magntico, cuya densidad de flujo magntico es B, est dado por:

BvEi [1.16]

Mientras que la fuerza electromotriz inducida en dicho conductor estar dada por lacomponente de Ei coincidente en direccin con el conductor, es decir:

lBvei [1.17]

Lo cual puede expresarse de forma diferencial como:

dlBvedlBvdlEde iii [1.18]

vdlBdlBvdlEi [1.19]

Considerando que:

dABdl

Se puede reescribir la Ec. [1.19] como:

dt

dddlE li

[1.20]

Lo que significa que, la fuerza electromotriz inducida en una porcin del conductor esigual al flujo magntico cortado por dicha porcin, dividido en el tiempo requerido paraque se produzca el corte.

Considerando un lazo conductor que se mueve dentro de un campo magntico yteniendo en cuenta la ley de Lenz se tiene que:


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dt

dedlE ii

[1.21]

Auto-induccin.-

Figura 1.11. Circuito magntico bsico

Para la bobina mostrada en la Figura 1.11, al variar la corriente en el circuito, apareceuna fuente de tensin inducida (fuerza electromotriz autoinducida) como producto de lavariacin del flujo magntico total concatenado por la bobina.

dt

diLiRV

dt

diL

dt

de

Li

N

i

[1.22]

Pudiendo deducirse las siguientes expresiones:

2

0

2

0

2

0

0

0

2

2

2

2

2

N

r

ANL

ir

AN

r

iNA

r

iNB

r

iNH

[1.23]

I nduccin mutua, I nductancia mutua:Al tener dos circuitos de corriente vecinos, anteun cambio en el campo magntico originado por el circuito 1 aparece en el circuito 2 un

voltaje inducido. Tambin ante un cambio en el campo magntico originado por elcircuito 2 aparece en el circuito 1 un voltaje inducido.


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11212 iM [1.24]Donde:

12: Flujo magntico concatenado con el circuito 2 cuando en l no circulacorriente (ver Figura 1.12).

M12: Inductancia mutua entre los circuito 1 y 2

Figura 1.12. Flujo concatenado mutuo

dt

di

Me

dt

diMe

2

211

1122

[1.25]

Si la permeabilidad es independiente de la intensidad de campo magntico H, se

cumple:

MMM 2112 [1.26]


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2. Sistemas Magnticos2.1. Circuitos Magnticos

Figura 2.1. Bobina enrollada sobre un toroide de madera

Ley de Ampere:

Ac

AdJldH

.. [2.1]

A/m2

A2

l

Ni

a

NiH

NiaH

[2.2]

Si el dimetro d de la seccin transversal del toroide es mucho ms pequeo que a,entoncesHcalculado con el radio medio ase puede usar como una buena aproximacindel valor promedio de la intensidad de campo en la seccin del toroide.

avav HB

0 T [2.3]

4

2dBav

Wb [2.4]

Fuerza magnetomotriz (fmm) en Ampere-vuelta

cA

ldHAdJNi

.. [2.5]


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020

2

422

a

da

BaH A [2.6]

Reluctancia del camino magntico (Ampere/Weber)

[2.7]

4/2

2

0 d

a

[2.8]

Resistencia en un circuito elctrico ][.

wire

wire

A

lR

Figura 2.2. Circuito magntico equivalente

Si en la Figura 2.1 vara la corriente, vara tambin y aplicando la ley de faraday parauna espira

dt

deturn

V [2.9]

Y para las N espiras de la bobina:

dt

d

dt

Nd

e

[2.10]

Con id

a

N

42

20

2

[2.11]

Se define la inductancia de la bobina como:

iL

[H] [2.12]

Por lo tanto:


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2NL [H] [2.13]

Para una bobina ideal sin resistencia se tiene:

dt

diLv

dt

dev

[2.14]

Considerando la resistencia de la bobina se tiene:

dt

diLRiv [2.15]

Figura 2.3. Diagrama para el Ejercicio 2.1

Ejercicio 2.1: La Figura 2.3 muestra una bobina enrollada sobre un toroide de plsticode seccin rectangular. La bobina tiene 200 vueltas de alambre de cobre redondo de

dimetro 3 mm.

a. Para una corriente de 50 A encuentre la densidad de flujo magntico en eldimetro medio de la bobina.

b. Encuentre la inductancia de la bobina asumiendo que la densidad de flujomagntico dentro de ella es uniforme e igual al valor calculado en a.

c. Determine el porcentaje de error cometido al haber asumido densidad de flujomagntico uniforme en la bobina.

d. Conociendo que la resistividad volumtrica del cobre es de 17.2 X 10 -9ohm.metro, determine los parmetros del circuito equivalente.


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2.2. Ferromagnetismo

Figura 2.4. Diagrama en corte de un toroide

La corriente i produce H y esta produce la densidad de flujo magntico B colineal conH.

Para ncleo = vaco HB0

T [2.16]

Para ncleo = aire [2.16] aumenta 0.4 partes por milln

Para ncleo = hierro, B y por lo tanto se incrementan notablemente para la mismacorriente.

Considerando un modelo simple del tomo: Ncleo rodeado de una nube de electrones,se tiene:

Figura 2.5. (a) Movimiento orbital de un electrn; (b) Spin de un electrn

pm0= momento magntico resultante a lo largo del eje de la rbita

pms= momento magntico de spin = 9.27 x 10-24

Ampere . metro2

pm0= o bien cero o bien un mltiplo de pms


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pm = momento magntico de un tomo

Figura 2.6. Dominios ferromagnticos. (a) Cuando no est aplicado un campo magntico.(b) Cuando si est aplicado un campo magntico

2.3. Magnetizacin

Figura 2.7. Curvas de magnetizacin.

Densidad de flujo magntico en el toroide ferromagntico

BBB 0 T [2.17]


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B0 : Para ncleo = vacoB : Adicional debido al ncleo ferromagntico

Para H = 1000 A/m;

B0 = 4x10-4 0.00125 T

De la Figura 2.7 para hierro fundido (cast iron), y para esa H

B = 0.513 T

Por lo queB = 0.512 T (500 XB0)

Momento magntico del tomo de hierro = 2.2 x (momento magntico bsico)= 2.2 x (9.27 x 10-24) A.m2

d = espacio entre tomos del hierrod = 2.27 x 10-10md2= rea ocupada por un tomo de hierro.

Momento magntico = corriente i fluyendo en un lazo de rea d2

2242A.m1027.92.2

Xdipm [2.18]

A103941027.2

1027.92.2 6202

24

i [2.19]

Intensidad de campo magntico equivalente debido al bobinado ficticio (d3= volumende un tomo):

A/m33

2

d

p

d

di

d

iH mequiv

[2.20]

Magnetizacin M = momento magntico por unidad de volumen de material

ferromagntico:

Mxima magnetizacin:

A/m1073.11027.2

10394 610

6

max

equivHM [2.21]

Induccin en el aire para ese Hequiv:

T18.21073.1104 67max0max

MBM [2.22]


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La saturacin completa corresponde a la magnetizacin Mmax (todos los momentosmagnticos alineados completamente con el campo exterior aplicado)

T00 MHBBB M [2.23]

De la Figura 2.7: si H = 3000 A/m; B(cast iron) = 0.76 Tesla


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Figura 2.9. Aproximacin a la curva de magnetizacin para

acero fundido (cast steel) indicada en la Figura 2.7

La aproximacin lineal indicada en la Figura 2.9 es vlida hasta valores de B 0.9 T

En el rango lineal aceptable, la curva B-H puede ser descrita por:

T0HB r [2.24]

r= permeabilidad relativa

Si H = 530 A/m, de la curva lineal se obtiene B = 0.9 TB0= 0H = 4x 10-7x 530 = 6.669.308 x 10-7

(B/ B0) = r= 1349.4

Ejercicio 2.2: La bobina de la Figuta 2.1 tiene 1000 vueltas. El toroide es de acero

fundido (cast steel), tiene un radio medio de 250 mm y una seccin transversal de

dimetro 25 mm. Emplee la curva B-H de la Figura 2.7 para determinar la

magnetizacin M y la permeabilidad relativa rcuando la corriente en la bobina es de1.2 Ampere.

Ejercicio 2.3: Para el sistema magntico del ejercicio 2.2, determine:

a. La corriente en la bobina para producir una densidad de flujo magntico de 1.2Tesla en el toroide.


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b. La permeabilidad relativa para una densidad de flujo magntico de 0.9 Tesla.c. La inductancia de la bobina usando la aproximacin lineal que pasa por el

punto de la curva correspondiente a B = 0.9 Tesla.

2.4. Histresis

Figura 2.10. Variacin de B con H

La variacin de H entre Hmaxy - Hmax y entre -Hmaxy +Hmaxdebe ser unidireccional.

Br = densidad de flujo magntico remanente o residual-Hc = Coercitividad o fuerza coercitiva


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Figura 2.11. Lazo de histresis B-H de la aleacindeltamax (50% Ni; 50% Fe)

2.5. Energa del campo magnticoSi se aplica tensin variable a la bobina de N espiras y de resistencia R bobinada sobreun toroide no ferromagntico (Figura 2.1), se tiene que los enlaces de flujo en cadainstante estn dados por:

Wb0ANB [2.25]

La fuerza electromotriz inducida es:

V0

dt

dBNA

dt

de

[2.26]

La ecuacin de voltaje estar dada por:

V0

dt

dB

NARiv [2.27]

Y la potencia instantnea en terminales de la bobina ser:

W02

dt

dBNAiRivip [2.28]

En el cual Ri2corresponde a disipacin de calor mientras que la potencia restante estarelacionada con el campo magntico.

W0

dt

dBNAipB [2.29]


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Sustituyendo la expresin H = Ni/l, resulta la expresin alternativa

W0

dt

dBAlHpB [2.30]

Con:

pB> 0 el flujo de energa se da hacia el campo magntico dentro de la bobina

pB< 0 liberacin de energa desde el campo magntico de la bobina

Si B0= 0 la energa del campo magntico es tambin cero.

WB= energa en el campo magntico

Si la densidad de flujo magntico aumenta, la energa del campo se expresa como:

J2

........

0

2

0

0

0

0

0

0

0

00

BlAdB

BlAdBHlAdtpW

BB

BB [2.31]

A.l = volumen del espacio encerrado por la bobinawB= densidad de energa almacenada en el campo magntico

3

0

2

0

0

0

0

0 J/m2

10

BdB

Bw

B

B [2.32]

Figura 2.12. Lazo B-H para un material no magntico

2.6. Prdidas por histresisRepresentando la parte de la curva B-H para B creciente como:

A/mBfH i [2.33]


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Para un incremento de B desde B1a B2(Figura 2.13 (a)), se requiere un aumento de laenerga por unidad de volumen en el campo magntico.

De igual manera, la parte de la curva B-H para B decreciente puede expresarse como:

A/mBfH d [2.34]

Y para un decremento de B desde B2a B1(Figura 2.13 (b)), se requiere una disminucinde la energa por unidad de volumen en el campo magntico.

Figura 2.13. Curvas B-H de un material ferromagntico

3

2

1

J/m.B

B

Bincr dBHw [2.35]

31

2

J/m.B

B

Bdecr dBHw [2.36]

Energa por unidad de volumen adquirida (+) y liberada (-) por el campo magntico alvariar H:

Figura 2.14. Variacin de B con H


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De +Hmaxa cero : -ambDe cero a - Hmax : +bcdnDe -Hmax a cero : -dneDe cero a + Hmax : +efam

Las prdidas de energa por unidad de volumen = bcdn + efam ambdne = rea dellazo de histresis = prdidas por histresis = f(Bmax)Para los materiales magnticos empleados en las mquinas elctricas:

rea del lazo de histresis = k (Bmax)n con 1.5 < n < 2.5 [2.37]

Con k y n constantes empricas.

Para f ciclos de magnetizacin por segundo, la energa disipada por segundo a causa dela histresis es directamente proporcional a f.

Para el toroide, la potencia disipada por histresis est dada por:

W nhh BfKP [2.38]

Kh = constante dependiente del material ferromagntico y de las dimensiones deltoroide.

Ejercicio 4: La Figura 2.15 muestra un lazo B-H para un tipo de acero elctrico

laminado. Determine aproximadamente las prdidas por histresis por ciclo en un

toroide de 300 mm de dimetro medio y de seccin transversal 50mm x 50 mm.

Figura 2.15. Lazo B-H para acero elctrico M-36


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2.7. Flujo alternado

Figura 2.16. Inductor excitado con corriente alterna(bobina de N espiras y parmetros R, Lncleo ferromagntico)

ie = corriente alterna de excitacin, es tal que en el ncleo el flujo magntico varasinusoidalmente

Wbsin t [2.39]

Fuerza electromotriz inducida:

Vcos tNdt

dNeL

[2.40]

Relacin en valores eficaces:

V2 fNNEL [2.41]

f = frecuencia del voltaje aplicado

Si R es pequea, entonces:

VLev [2.42]

Wb2 fN

V

[2.43]

La relacin aproximada de la Ec. [2.43] expresa que si se aplica al inductor unadiferencia de potencial sinusoidal, se establece un flujo magntico sinusoidal que induceuna fuerza electromotriz que es igual a la diferencia de potencial aplicada.

Las propiedades del material ferromagntico y la configuracin del ncleo determinancul es la corriente de excitacin requerida para producir el flujo magntico.


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2.8. Prdidas por corrientes parsitas (corrientes de remolino)

Figura 2.17. Bobina sobre un toroide ferromagntico

Ncleo = material FerromagticoA, l seccin transversal y longitud media del toroideB, H uniformes en la seccin transversal del toroideie = corriente de excitacin = enlaces de flujo en la bobina

b WNAB [2.44]

AN

Hlie [2.45]

Figura 2.18. Lazo -iepara el sistema de la Figura 2.17.


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Si se aumenta la frecuencia de iemanteniendo Bmaxy por tanto , el lazo de histresis sevuelve ms ancho. Este efecto se debe a las corrientes inducidas en el ncleoferromagntico que es tambin un conductor de electricidad.

Figura 2.19. Corrientes parsitas en el toroide cuando iedecrece(i = corriente parsita inducida).

Efectos:

Desmagnetizacin de la parte central del ncleo Flujo magntico forzado hacia la superficie del ncleo y prdidas Ri2 en el

ncleo.

Para disminuir las prdidas por corrientes parsitas:

Usar como ncleo material magntico de alta resistividad Dividir la seccin transversal del ncleo en pequeas superficies y aislarlas entre

s.

Figura 2.20.Ncleo toroidal laminado

Como B es uniforme, en cada lmina vale:

Wbn

Bha [2.46]

fem inducida en la periferia de cada lmina:


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Vdt

dB

n

ha

dt

de

[2.47]

Resistencia de un camino de resistividad , longitud 2h y seccin al/2n:

2

2

nal

hkR [2.48]

K tiene en cuenta que los caminos en lminas interiores tendrn menor fem que aquellosque estn situados ms cerca de la superficie del toroide.Potencia de prdidas cuando B vara en el tiempo:

W4

2

2

222

dt

dB

n

ah

hnk

la

R

ep

[2.49]

Para todo el ncleo de n lminas:

W4

2

2

2

lahdt

dB

nk

apcore

[2.50]

Y las prdidas por unidad de volumen son:

3

2

2

2

W/m4

dt

dB

nk

a

lah

pcore

[2.51]

Para una densidad de flujo alterna sinusoidal:

Tsin tBB [2.52]

T/s2cos2cos ftBftBdt

dB [2.53]

W/kgoW/m 32fdBKP ee [2.54]

Donde:

d = a/n = espesor de la laminacin

Ke = constante dependiente del material y de las dimensiones del ncleo


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2.9. Prdidas en el ncleopc(W/kg) = prdidas por histresis + prdidas por corrientes parsitas

= g(d,f,Bmax)

Figura 2.21. Prdidas en el ncleo para dos tipos de acero elctrico laminadode espesor d = 0.635 mm.

Figura 2.22. Prdidas en el ncleo para tres espesores del acero laminado M-36


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Figura 2.23. Prdidas en el ncleo para el acero laminado M-36de espesor 0.356 mm.

2.10. Corriente de excitacin en un inductorDebido a la relacin no lineal entre B y H en el material ferromagntico, al aplicar alinductor una tensin sinusoidal, la corriente que ste toma es no sinusoidal.


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Figura 2.24. Forma de onda de la corriente de excitacin en un inductor

Figura 2.25. Componentes fundamental y tercera armnica de la corriente de excitacin


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Expresin de la corriente de excitacin:

A...531 eeee iiii [2.55]

Figura 2.26. Diagrama fasorial de lascomponentes fundamentales de v, e ie

Icrepresenta una corriente icen fase con v y de variacin sinusoidal que tiene en cuentalas prdidas en el ncleo. Im1representa una corriente im1sinusoidal en fase con , quenecesariamente es sinusoidal pues se cumple:

V

dt

dv

[2.56]

El valor eficaz de la corriente de excitacin estar dado por:

A...252

3

2

1 eeee IIII [2.57]

Figura 2.27. Circuito equivalente de un inductorpara frecuencia fundamental

En el circuito de la Figura 2.27, se ignora la resistencia de la bobina y las componentesarmnicas de la corriente de excitacin; Xm= reactancia de magnetizacin y en Rc se

producen las prdidas en el ncleo).


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2.11. Sistemas magnticos

Figura 2.28. Toroide de hierro parcialmente bobinado

Para una operacin no cercana a la saturacin, B (fuera del toroide) 0.Si a >> d, B es uniforme en A y tambin lo es H por la presencia del ncleo de hierro.

Aplicando la ley de Ampere y dado que H = constante:

A/m2 l

Ni

a

NI

H [2.58]

Con H, de la curva B-H se obtiene B. Con B y las dimensiones del ncleo surge :

WbBA [2.59]

Figura 2.29.Ncleo no toroidal


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Si la operacin est alejada de la saturacin, el flujo de dispersin (leakage flux) esdespreciable comparado con (flujo en el ncleo).

Si el estado del ncleo para una corriente particular en la bobina puede ser descrito

mediante la relacin lineal:

T0HB r [2.60]

Entonces el flujo magntico en el ncleo es:

Wb00l

ANiHA rr

[2.61]

Y dado que la fmm F=N.i A, resulta:

A/Wb0A

l

r

[2.62]

Figura 2.30. Sistema magntico de dos materiales diferentes (ejercicio 5)


35/64



Ejercicio 2.5: En el sistema magntico mostrado en la Figura 2.30, desprecie el flujo

magntico de dispersin y emplee la curva de magnetizacin de la Figura 2.7 para

determinar:

a. La corriente requerida para producir un flujo total de = 0.25 x 10-3Wb.b.

La reluctancia del camino de flujo completoc. La permeabilidad relativa rpara cada material bajo las condiciones dadas.

d. La reluctancia de cada parte del sistema magntico.2.12. Circuitos Magnticos Complejos

Se analizan con los mtodos aplicados a los circuitos elctricos siempre que el lazo dehistresis sea angosto para que pueda ser representado satisfactoriamente por la curva demagnetizacin. Cuando la curva de magnetizacin puede ser representada por una lnearecta, entonces vale:

0rH

B [2.63]

Con rconstante, con lo que el circuito magntico equivalente es lineal.

Ejercicio 2.6: En el sistema magntico mostrado en la Figura 2.31, determine las

densidades de flujo B1, B2y B3en las tres ramas del circuito cuando la corriente en la

bobina es 0.5 A.

Figura 2.31. Circuito magntico ejercicio 2.6


36/64



2.13. Flujo magntico en el aire

Figura 2.32. Sistema magntico ejercicio 7(dimensiones en mm.)

B en el centro de una bobina circular de N vueltas estrechamente empaquetada dedimetro d (Figura 2.32 (a)) es:

T0

d

NiB

[2.64]

Para N = 1000; i = 1.5 A; y d = 175 mm, se tiene:

T1077.1010175

5.110104 33

37

B

Una ms alta densidad de flujo puede ser producida en el aire con la misma bobina y lamisma corriente empleando un material ferromagntico.

Ejercicio 2.7: La bobina de 1000 vueltas discutida en el prrafo precedente est

colocada en un ncleo ferromagntico que tiene un entrehierro como se muestra en la

Figura 2.32 (b). Si la corriente en la bobina es nuevamente 1.5 A y la permeabilidadrelativa del ncleo es 1450, determine:

a. Que parte de la fmm total es requerida para vencer la reluctancia delentrehierro.

b. La densidad de flujo producida en el entrehierro.c. La relacin entre la densidad de flujo en el entrehierro y la densidad de flujo

producida en el centro de la bobina cuando esta ausente el ncleo.

d. Las intensidades de campo magntico en el ncleo y en el entrehierro.El flujo de dispersin y el efecto de bordes en el entrehierro pueden ser despreciados.


37/64



2.14. Efecto linealizante del entrehierroSi en el Ejercicio 2.7 (Figura 2.32) se emplea el verdadero lazo de histresis B-H delmaterial para determinar el flujo magntico producido por el sistema se tiene:

AA

ai

aaii lHlH [2.65]

El lazo de histresis B-H del ncleo (Figura 2.33 (a)) y la recta del entrehierro (B=0H)se pasan a las coordenadas (, fmm) multiplicando:

B por la seccin transversal (del ncleo; del entrehierro) H por la longitud (del camino de en el ncleo, del camino de en el

entrehierro)

Figura 2.33. Lazos -fmm para el sistema de la Figura 2.32.

Variando entre los lmites -4.205 x 10-3< < 4.205 x 10-3se obtiene la relacin -fmm para el sistema magntico completo segn se observa en la Figura 2.33 .

Como una aproximacin vlida para el hierro operando alejado de la saturacin se tieneque:

Se considera al hierro ideal (r = ; y Ri 0): Se usa como caractersticamagntica para todo el sistema la indicada en la Figura 2.33 (b). Aqu se comete un

error de alrededor del 12%.


38/64



Si la reluctancia del ncleo ferromagntico es pequea pero es una porcin significativade la reluctancia total del sistema, entonces se reemplaza el lazo de histresis por unalnea recta de pendiente 1/Rique pasa por el punto correspondiente a los valores de pico(4.205 x 10-3, 162) en la Figura 2.33 (b). El error cometido al ignorar histresis y nolinealidad es pequeo. Para el sistema en conjunto la relacin -fmm es ahora una lnea

recta de pendiente 1/(Ri+Ra).

2.15. Inductancia y energa almacenada en un sistema magnticocon entrehierro.

Se asume que la relacin -fmm es lineal; por tanto la inductancia es constante e iguala:

H22

N

Ni

N

i

N

i

L

[2.66]

La energa almacenada en el campo magntico es:

J21 2LiWB [2.67]

Ejercicio 2.8: La Figura 2.34 muestra una seccin transversal de un sistema magntico

de una mquina de corriente continua tomada. En cada uno de los cuatro polos del

estator hay una bobina de 500 vueltas, y como todas las bobinas estn conectadas en

serie, todas llevan la misma corriente. Los polos del estator estn hechos de muchas

lminas de material M-36 de 0.356 mm de espesor. Las dimensiones de cada polo son

100 mm en direccin radial, 90 mm de arco de circunferencia y 110 mm en direccinaxial. El rotor es tambin de acero laminado y tiene 200 mm de dimetro. El yugo del

estator que es de hierro fundido, tiene 460 mm de dimetro medio y una seccin

transversal de 150 mm x 60 mm. El entrehierro tiene una longitud de 1.5 mm.

Considerando despreciables el flujo de dispersin y el efecto de bordes en el

entrehierro, encuentre:

a. El circuito magntico equivalente para el sistema.b. Empleando las curvas de la Figura 2.7 determine la corriente necesaria en

la bobina para producir B = 1.0 Tesla en el entrehierro.

c. Los enlaces de flujo totales del campo en las bobinas.d. La inductancia del circuito de campo completo.e. La energa almacenada en el sistema magntico.

f. La energa almacenada en el entrehierro.


39/64



Figura 2.34. Sistema magntico de la mquina de corriente continua del ejercicio 2.8.

2.16. Circuito equivalente de un inductorEn un inductor ideal se cumple:

El campo elctrico producido por el bobinado es despreciable La resistencia del bobinado es despreciable Todo el flujo magntico est confinado en el ncleo ferromagntico La permeabilidad relativa del material del ncleo es constante Las prdidas en el ncleo son despreciables

Se aplica v a un bobinado de N espiras y fluye ie. La fmm Nieproduce y se establecenenlaces de flujo . Si v vara aparece una fuente de tensin inducida y como R=0, setiene que:

Vdt

dev [2.68]

Como r= constante :

WbeLi [2.69]


40/64



Vdt

diLv e [2.70]

Si v es una funcin sinusoidal del tiempo con = frecuencia angular:

VeLe IjXILjEV [2.71]

Figura 2.35. Circuito equivalente del inductor (a) Ideal; (b) con resistencia

Figura 2.36. Circuito equivalente del inductor conresistencia en el bobinado y prdidas en el ncleo

En un inductor real se cumple que:

Resistencia en el bobinado Prdidas en el ncleo Naturaleza no toroidal del bobinado

En este caso se divide en dos componentes, una correspondiente a magnetizacin yotra correspondiente a dispersin (ver Figura 2.37):


41/64



Wblm [2.72]

R(ncleo)


42/64



Figura 2.38. Circuito equivalente del inductorincluyendo enlaces de flujo de dispersin

Para el circuito equivalente presentado en la Figura 2.38 se asume que:

El campo elctrico producido por el bobinado es despreciable La resistencia del bobinado se representa concentrada en un terminal El flujo magntico se divide en dos partes:

o Flujo principal confinado al ncleo ferromagntico y al entrehierroo Flujo de dispersin que es producido en un camino de aire que rodea a la

bobina

Ejercicio 2.9. A la bobina de 2000 vueltas de un inductor con entrehierro en el ncleo,

como la mostrada en la Figura 2.37, se le ha medido una resistencia de 17.5 . Para

una corriente en la bobina de 0.7 A, una bobina de bsqueda ubicada sobre el ncleo

inmediatamente adyacente al entrehierro indica un flujo de 4.8 x 10 -3Wb, mientras que

otra bobina de bsqueda bobinada encima de la bobina del inductor indica un flujo de

5.4 x 10-3Wb.

Asumiendo que las prdidas en el ncleo de este inductor son despreciables, dibuje uncircuito equivalente y determine sus parmetros.


43/64



2.17. Sistemas Magnticos con ms de un bobinado

Figura 2.39. Sistema magntico y su circuito equivalente

0

0

22121

1211

spgp

pgps

[2.80]

Con:

g

g

p

p

p

s

ss

A

gA

l

A

l

0

pg AA sigpequeo

Dividiendo las expresiones de la Ec. [2.80] para N1 y derivando con respecto al tiempose tiene:

0

0

122

2

1

21

2

1

2

1

2

1

11211

1

2

1

2

1

2

1

2111

2

1

11

dt

NiNd

Ndt

dN

NNNdt

dN

dt

dN

dt

di

dt

di

NNNdt

dN

dt

dN

Ndt

dN

spgp

pgps

[2.81]

Considerando las siguientes equivalencias:


44/64



2

1

1

22'

2

111

1

NL

N

iNi

dt

dNv

s

s

2

1

2

1

22

2

1'

2

1

1

NL

NL

dt

dN

N

Nv

p

p

g

g

[2.82]

Se tiene que:

0112

0121

'

2'21

'2

1

1'

211

dtdiv

Lvv

LLdtdi

dt

divv

LLv

L

sgp

gps

[2.83]

Los flujos concatenados por cada uno de los dos bobinados pueden ser expresadoscomo:

'

2

'

221212221212

'

2

'

121112121111

iLiLiLiL

iLiLiLiL

[2.84]

Resolviendo el sistema de Ecs. [2.84] [2.80] pueden ser determinadas lasautoinductancias e inductancias mutuas del bobinado 1 como:

gps

gps

gps

s

i

gpssgp

i

NNiN

i

N

iL

N

i

iN

iL

24

2

2

24

2

22

2122

2

1

2

01

12

2

1

1

11

1

01

11

1

2

[2.85]


45/64



2.18. Conversin de Energa

Figura 2.40. Rel y su curva vs. i.

El balance de flujo de energa para un periodo dt con un movimiento dx se expresacomo:

fdWfdxeidt [2.86]entrada Salida Cambio enelctrica = Mecnica + energa del campo

fdxiddWf [2.87]

Si x = x0 El flujo en el ncleo y la armadura se incrementan con la corrientede excitacin

El flujo correspondiente a una corriente de excitacin es mayor cuando lareluctancia del entrehierro es ms pequea, es decir cuando x < x0.

La energa usada para magnetizar el rel desde la no excitacin hasta (i0, 0) conx fijo se almacena como energa de campo dada por el rea sombreada (verFigura 2.40 (b)).

La curva vs. i es una funcin de x, de aqu que Wfpuede expresarse como unafuncin de y x y su diferencial puede expresarse como:

dxx

Wd

WxdW

ff

f

, [2.88]

Igualando a la Ec. [2.87] se tiene:


46/64



x

Wf

Wi

f

f

[2.89]

El rea rayada de la Figura 2.40 (b) es referida como coenerga y puede ser expresadacomo:

),(' xWiW ff [2.90]

fdxiddiiddW

xdWiddW

f

ff

'

',

fdxdidWf ' [2.91]

dxx

Wdi

i

WxidW

ff

f

''

' , [2.92]

x

Wf

i

W

f

f

'

'

[2.93]


47/64



3. Transformadores3.1. Transformador Ideal

El transformador ideal es aquel en el que no se consideran:

Prdidas en el cobre de los bobinados Prdidas en el ncleo Flujos dispersos Reluctancia del ncleo

Con la reluctancia del ncleo despreciada, la fuerza magnetomotriz necesaria paramagnetizarlo es cero.

Para dos bobinados ubicados en un mismo ncleo cuyas fuerzas magnetomotrices seadicionan (Figura 3.12.a) se tiene:

1

2

2

12211 o0

N

N

i

iiNiN

[3.1]

Por otra parte se tiene que la relacin de los voltajes inducidos esta dada por:

2

1

2

1

2

1

N

N

dtdN

dtdN

e

e

m

m

[3.2]

Considerando que todas las prdidas son despreciables se obtiene:

22

1

22

2

2111 ie

N

iN

N

eNie

[3.3]

Figura 3.12. Transformador Ideal


48/64



En simulaciones y anlisis, los elementos y variables de un lado del transformadorpueden ser referidos al otro lado mediante las relaciones de voltaje y corrientepreviamente establecidas.

La impedancia Z2(Figura 3.12 c) se vera del lado primario como:

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

22

1

2

21

1

11 Z

N

N

i

e

N

N

iN

N

N

eN

i

eZ

[3.4]

3.2. Modelo de un transformador de dos devanados3.2.1. Ecuaciones de concatenaciones de flujo

El flujo concatenado por cada bobinado puede ser expresado como:

ml 11 [3.5]

ml 22 [3.6]

Donde:21 y ll flujos dispersos de los bobinados 1 y 2

m flujo mutuo establecido por la fuerza magnetomotriz de los dos

devanados

El flujo concatenado del devanado 1 se define como:

mlNN 11111 [3.7]

El flujo disperso 1l es creado por la mmf del bobinado 1, N1i1 sobre un camino depermiancia efectivaPl1.

El flujo mutuo m es creado por la mmf combinada 2211 iNiN en el camino depermiancia mutua Pm.

De aqu que las concatenaciones de flujo del bobinado 1 pueden expresarse como:

2211211211

221111111

iPNNiPNPN

PiNiNPiNN

mml

ml

2121111 iLiL [3.8]


49/64



Similarmente el flujo concatenado del bobinado 2 se expresa como:

1212222222

221122222

iPNNiPNPN

PiNiNPiNN

mml

ml

1212222 iLiL [3.9]

Las Ecs. [3.8] y [3.9] son las ecuaciones de flujo concatenado para dos bobinadosmagnticamente acoplados.

L11y L22son autoinductancias de los bobinadosL12y L21son inductancias mutuas entre bobinados

La autoinductancia del bobinado 1 puede expresarse como la suma de una inductanciade dispersinLl1y una componente de magnetizacinLm1. As:

11

2

11

2

1

1

111

1

01

112

mlmlmli LLPNPN

i

N

iL

[3.10]

Donde: mm PiN 111

Para el bobinado 2 se tiene:

22

2

22

2

2

2

222

2

02

221

mlmlmli LLPNPN

i

N

iL

[3.11]

Con: mm PiN 222

Por otra parte:

1

2

1

2

1

12222

2

222 mmmm LNN

NLNPN

iNL

[3.12]


50/64



1

1

2

221

1

2

1

2

2

2

2

1

11

1

1

11

1

mm

mm

mm

mm

LN

NiN

LN

N

N

i

N

iL

i

NL

'2112

1

2112111 iiLi

N

NiLNN mmmmm

[3.13]

3.2.2. Ecuaciones de VoltajeDe la Ec. [3.8], el voltaje inducido en el bobinado 1 est dado por:

dt

diL

dt

diL

dt

de 212

111

11

[3.14]

dt

iNNidL

dt

diLe

dt

diL

N

N

dt

diL

dt

diLe

ml

mml

21211

111

21

1

211

111

'211

111 ii

dt

dL

dt

diLe ml

[3.15]

Similarmente, el voltaje inducido en el bobinado 2 es:

212

12

222 iiN

N

dt

dLdt

diLe ml

[3.16]

Mismo que para referirlo al primario es multiplicado por N1/N2

''

'

21222

2

12

2

2

2

1

2

2

1

212

2

2

12

22

2

12

2

1

iidt

dL

N

N

dt

diL

N

Ne

iN

Ni

dt

d

N

NL

dt

diL

N

Ne

N

N

ml

ml


51/64



'

'''

2112

22 iidt

dL

dt

diLe ml

[3.17]

El voltaje en terminales del bobinado 1 esta dado por:

'211

11111111 ii

dt

dL

dt

diLrieriv ml

[3.18]

Mientras que el voltaje en terminales del bobinado 2 referido al 1 es:

''22

2

2

12

1

22

2

12 er

N

Ni

N

Nv

N

Nv

'

'''''

2112

2222 iidtdL

dtdiLriv ml

[3.19]

Las Ecs. [3.18] y [3.19] sugieren un circuito equivalente como el presentado en laFigura 3.13.

Figura 3.13. Circuito equivalente de un transformador de dos devanados.

Ejercicio 3.1: Un transformador 60Hz, 50 kVA, 2400/240-V es usado para bajar el

voltaje de una lnea de transmisin a un sistema de distribucin domstico.

a. Que impedancia de carga conectada a los terminales del devanado de bajovoltaje causa que el transformador llegue a su plena carga?

b. Cual es el valor de esta impedancia referida al lado de alto voltaje deltransformador?

c. Cual es la corriente en el devanado de alto voltaje?Ejercicio 3.2: Un transformador monofsico 20kVA, 2200/220V, 60Hz, tiene los

siguientes parmetros para su circuito equivalente, referidos al lado de alto voltaje del

transformador.

R1= 2.51 R2 = 3.11


52/64



Xl1= 10.9 Xl2 = 10.9

Xm= 25100

El transformador esta alimentando una carga de 15kVA a 220V y factor de potencia0.85 en retraso.

Determine el voltaje requerido en los terminales de alto voltaje para mantener unvoltaje nominal en la carga.

3.3. Aspectos de ingeniera en el anlisis de transformadoresCon la finalidad de simplificar la realizacin de clculos a menudo se utilizanvariaciones a los circuitos equivalentes como las que se muestran en la Figura 3.14.

Figura 3.14. Aproximaciones del circuito equivalente de un transformador de dos devanados

Figura (a): La impedancia de magnetizacin es ubicada hacia los terminales delprimario y los elementos de la rama en serie se concentran en equivalentesReqyXeq.

Figura (b): La impedancia de magnetizacin es ubicada hacia los terminales delsecundario y los elementos de la rama en serie se concentran enequivalentesReqyXeq.

Figura (c): Se desprecia la corriente de magnetizacin y los elementos de la rama enserie se concentran en equivalentesReqyXeq.

Figura (d): Para transformadores de alta potencia la resistencia en serie es despreciableen comparacin con la reactancia serie y el transformador quedarepresentado nicamente por la reactancia equivalente en serieXeq.

Ejercicio 3.3: El transformador del Ejemplo 2, es usado para bajar el voltaje en el

terminal de carga de un alimentador cuya impedancia es 0.3 + j 1.6 ohm. El voltaje Vs

en el terminal de envo del alimentador es de 2300 V. Encuentre el voltaje en losterminales del secundario del transformador cuando la carga conectada alanza la


53/64



corriente nominal y su factor de potencia es 0.8 en retraso. Desprecie la cada de

voltaje en el transformador y en el alimentador causada por la corriente de excitacin.

3.3.1. Prueba de Cortocircuito Permite obtener la impedancia equivalenteReq+ j Xeq. Por conveniencia el lado de alto voltaje es utilizado para la realizacin de la

prueba en tanto que el lado de bajo voltaje se cortocircuita.

Tpicamente un voltaje del 10 al 15% del voltaje nominal aplicado en el lado dealto voltaje permite alcanzar corriente nominal en el secundario.

Figura 3.15 (a) presenta circuito equivalente del transformador al aplicar uncortocircuito en el secundario.

El ramal serie del secundario queda en paralelo con el ramal de magnetizacin ydebido a que este ltimo posee una impedancia muy alta, se puede aproximar laimpedancia equivalente paralela a la impedancia del ramal serie.

Figura 3.15. Circuitos equivalentes en prueba de cortocircuito.

En la Figura 3.15 (b) se utiliza la aproximacin de considerar al ramal demagnetizacin ubicada en los terminales del secundario.

Se evidencia el hecho de que es posible despreciar el ramal de magnetizacinque en este caso queda cortocircuitado.

La impedancia de cortocircuito Zc se puede aproximar a la impedanciaequivalenteReq+ j Xeq.

En la prueba de cortocircuito se miden las siguientes magnitudes rms:o Voltaje aplicado Vsco Corriente de cortocircuitoIsco Potencia de cortocircuitoPsc.

Con estas medidas se obtiene:


54/64



22

2

scscsceq

sc

scsceq

sc

scsceq

RZXX

I

PRR

I

VZZ

[3.20]

Dadas las simplificaciones establecidas y en caso de necesitarse representar de formaseparada los ramales serie del primario y el secundario se puede establecer queR1= R2= Req/2 yXl1= Xl2 =Xeq/2 .

3.3.2. Prueba de Circuito Abierto Generalmente realizada desde los terminales de bajo voltaje del transformador

busca determinar los valores de los elementos del ramal de magnetizacin.

La prueba se realiza a condiciones nominales de tensin para asegurar que lareactancia de magnetizacin sea determinada de forma real.

La Figura 3.16 (a) muestra el circuito equivalente convencional para la pruebade circuito abierto, es evidente el hecho de que la corriente de cortocircuitocircula exclusivamente a travs del ramal serie del lado en el cual se aplica elvoltaje y del ramal de magnetizacin.

LaZocvista desde el lado de realizacin de la prueba es:

mc

mclloc

jXR

jXRjXRZjXRZ

)(1111 [3.21]

Figura 3.16. Circuitos equivalentes en prueba de circuito abierto.

Debido a que la impedancia de la rama de magnetizacin es considerablementemayor, la cada de voltaje en el ramal serie es tpicamente despreciada,establecindose la siguiente aproximacin:

mc

mc

oc jXR

jXR

ZZ

)( [3.22]


55/64



Esta aproximacin es equivalente a considerar el circuito de la Figura 3.16 (b) enla que se ha trasladado el ramal de magnetizacin hacia los terminales en los quese aplica la tensin para la prueba.

En la prueba de circuito abierto se miden las siguientes magnitudes rms:o Voltaje aplicado Voco CorrienteIoco PotenciaPoc.

Con estas medidas se obtiene:

22

2

11

1

c

m

oc

oc

oc

occ

RZ

X

I

V

Z

P

VR

[3.23]

Al requerirse mayor exactitud en estas ltimas ecuaciones se deber considerarla utilizacin de los valores deR1yXl1obtenidos en la prueba de cortocircuito.

Ejercicio 3.4: Con los instrumentos ubicados en el lado de alto voltaje y con el lado de

bajo voltaje en corto circuito, se obtienen las siguientes mediciones para un

transformador de 50 kVA 2400/240 V: 48 V, 20.8 A y 617 W. Una prueba de circuitoabierto con el lado de bajo voltaje energizado da las siguientes lecturas: 240 V, 5.41 A

y 186 W. Determine la eficiencia y la regulacin de voltaje a carga nominal con factor

de potencia de 0.8 en retraso.

Para el clculo de la regulacin de voltaje considere que esta se define como el cambio

en el voltaje del terminal del lado de la carga, desde una condicin de vaco a una

condicin de plena carga expresada en porcentaje con respecto al valor de voltaje a

plena carga.

3.4. Autotransformadores y transformadores multi-bobinado3.4.1.Autotransformadoreso En la Figura 3.17 se presentan los esquemas de un transformador comn y de un

autotransformador.

o Para el caso del autotransformador el bobinado bc es comn a los circuitosprimario y secundario.


56/64



Figura 3.17. Conexin de un transformador (a) y de un autotransformador (b)

o Ventajas del Autotransformador (relaciones cercanas a 1:1):o Menores reactancias de dispersino Menores prdidaso Corriente de excitacin ms bajao Menores costos

o Desventajas:o No existe aislamiento elctrico entre los bobinados primario y

secundario.o El bobinado ab debe estar provisto con aislamiento que permita soportar

un mayor nivel de tensin operativa.

Ejrcicio 3.5: El transformador del Ejercicio 3.4 es conectado como un

autotransformador como se muestra en la Figura 3.18 (a), en la cual ab es el bobinado

de 240 V y bc es el bobinado de 2400 V. Se asume que el bobinado de 240 V tiene el

suficiente aislamiento para soportar el voltaje de 2640 V con respecto a tierra al que es

sometido.

a. Calcule los voltajes nominales VHy Vxde los lados de alto y bajo voltaje delautotransformador.

b. Calcule la potencia aparente nominal del autotransformador en kVAc. Con los datos de prdidas del Ejemplo 4 calcule la eficiencia a plena carga

para el autotransformador cuando alimenta una carga nominal con factor depotencia de 0.8 en atraso.


57/64



Figura 3.18. Conexin autotransformador Ejercicio 3.5

La significativa diferencia en la potencia que puede manejar elautotransformador se debe a que no toda la potencia tiene que ser transformada atravs del campo magntico (ver Figura 3.18 (b)).

La corriente nominal que soportan los bobinados es la misma que la que seregistra para condiciones nominales operando como transformador.

La eficiencia es mayor para conexin como autotransformador debido a que laprdidas son aquellas que corresponden a la transformacin en el campomagntico del ncleo.

3.4.2. Transformadores Multi-bobinado

Son soluciones ms eficientes y menos costosas que la de tener variostransformadores de dos devanados.

Son de amplia aplicacin en sistemas de potencia y en aplicaciones deelectrnicafuentes DC multivoltaje.

En sistemas de potencia generalmente los transformadores poseen un terciarioque es generalmente usado para alimentar sistemas auxiliares de la subestacin.Este terciario tambin es utilizado para la conexin de capacitores ocondensadores sincrnicos con la finalidad de proveer regulacin de voltaje alsistema.

El terciario de un transformador trifsico conectado en delta provee un caminode baja impedancia para la componente de tercera armnica de la corriente deexcitacin, esto permite reducir la presencia de armnicos de voltaje en elsistema.


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3.4.3. Transformadores en sistemas trifsicos

Tres transformadores monofsicos pueden ser conectados para formar un bancotrifsico en cualquiera de las cuatro formas mostradas en la Figura 3.19.

Figura 3.19.Conexiones de Transformadores Trifsicos

La conexin Y-DELTA es comunmente usada para reducir voltaje desde alta amedia tensin.

La conexin DELTA-Y es en cambio utilizada para elevar tensin con la Y en ellado de transmisin de alto voltaje.

La conexin DELTA-DELTA tiene la ventaja que uno de los transformadoresmonofsicos puede ser removido para reparaciones o mantenimiento mientraslos otros dos mantienen operativo el sistema con una potencia reducida al 58 %,esta conexin es conocida como delta abierto.

La conexin Y-Y es poco utilizada debido a la presencia de armnicos porcorriente de exitacin.

La alternativa a tener tres transformadores monofsicos es la de un nicotransformador trifsico cuyo montaje se realiza en un ncleo magntico comn.Las ventajes del transformador trifsico en comparacin con el banco detransformadores monofsicos son los menores costos, menor peso, menorrequerimiento de espacio; y, mayor eficiencia.

Los clculos de sistemas trifsicos se realizan considerando balance de fases ypor tanto se utiliza un circuito equivalente monofsico nico con el que seobtendrn las condiciones de las tres fases. Es conveniente llevar a cabo los


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clculos en un transformador monofciso base considerando conexin Y yvoltajes de fase.

Para el tratamiento de transformadores conectados en Y-DELTA y DELTA Ytodas las cantidades pueden ser referidas al lado de la y para la realizacin de

clculos.

En el caso de conexines DELTA-DELTA en serie con lneas de transmisin, esconveniente reemplazar las impedancias conectadas en DELTA deltransformador por un equivalente de impedancias conectadas en Y.

ZZY3

1 [3.24]

Ejercicio 3.6: Tres transformadores monofsicos 50kVA 2400:240 V de caractersticas

similares al transformador del ejemplo 4, son conectados en Y-DELTA para formar un

banco de 150 kVA que se utiliza para bajar el voltaje en el terminal de carga de unalimentador cuya impedancia es 0.15 + j 1 /fase. El voltaje en los terminales de envo

del alimentador es de 4160 V lnea a lnea. En el secundario del transformador se

encuentra conectada una carga balanceada a travs de un alimentador cuya

impedancia es 0.0005 + j 0.0020 /fase. Encuentre el voltaje de lnea en los terminalesde la carga cuando sta se encuentra operando a corriente nominal a un factor de

potencia de 0.8 en atraso.

3.5. Cantidades en por unidad Las lneas de transmisin de potencia se operan a niveles en los que el kilovoltio

(kV) es la unidad ms conveniente

Debido a que se transmite una gran cantidad de potencia, los trminos comunesson los kilovatios o megavatios y los kilo-voltamperios o mega-voltamperios.

Estas cantidades, al igual que los amperios y los ohmios, se expresanfrecuentemente en por ciento o en por unidad de un valor base o de referencia.

Si se selecciona una base de voltaje de 120 kV, los voltajes de 108, 120 y 126kV equivaldrn a 0.90, 1.00 y 1.05 en por unidad o a 90, 100 y 105%,respectivamente.

El valor en por unidad de cualquier cantidad se define como la relacin de lacantidad a su base.

La relacin en por ciento es 100 veces el valor en por unidad. El mtodo en por unidad tiene una ventaja sobre el porcentual: el producto de

dos cantidades expresadas en por unidad se expresa tambin en por unidad,mientras que el producto de dos cantidades dadas en por ciento se debe dividirentre 100 para obtener el resultado en por ciento.


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El voltaje, la corriente, la potencia aparente y la impedancia estn relacionadosde tal manera que la seleccin de los valores base para cualquiera dos de ellosdetermina la base de los dos restantes.

o Si se especifican los valores base de corriente y de voltaje, se puedendeterminar las bases de impedancia y de potencia.

o La impedancia base es aquella que tiene una cada de voltaje igual a ladel voltaje base, cuando la corriente que fluye a travs de ella es igual ala del valor base de corriente.

o La potencia base en sistemas monofsicos son el producto del voltajebase en kilovoltios y de la corriente base en amperios.

Por lo general la potencia base en mega-voltamperios y el voltaje base enkilovoltios son las cantidades seleccionadas para especificar las bases.

Para sistemas monofsicos o trifsicos, donde el trmino corriente se refiere acorriente de lnea, el de voltaje se refiere a voltaje fase-neutro y el de potencia serefiere a la potencia aparente por fase, las siguientes frmulas relacionan lasdiferentes cantidades:

basekV

basekVAAI

fn

base 1][ [3.25]

][

][

AI

baseVZ

base

fn

base [3.26]

basekVA

xbasekVZ

fn

base

1

2 1000)(][ [3.27]

baseMVA

basekVZ

fn

base

1

2)(][ [3.28]

basekVAbasekW 11 [3.29]

baseMVAbaseMW 11 [3.30]

][

][

base

realpu

Z

ZZ [3.31]

El valor en por unidad de un voltaje fase - neutro sobre el voltaje base fase -neutro es igual a1 valor en por unidad del voltaje fase - fase en el mismo puntosobre el voltaje base fase - fase, siempre que el sistema est balanceado.

La potencia aparente trifsica es tres veces la potencia aparente monofsica, y lapotencia base trifsica es tres veces la base de potencia base monofsica.


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Por lo tanto, el valor en por unidad de potencia trifsica sobre la base depotencia trifsica es idntico a1 valor en por unidad de potencia monofsicasobre la base de potencia monofsica.

Por ejemplo:

kVbasekV

kVAbasekVA

kVbasekV

kVAbasekVA

fn

ff

2.693

120

100003

30000

120

30000

1

3

A menos que algo diferente se especifique, un valor dado de voltaje base en unsistema trifsico es un voltaje fase - fase, y un valor dado de potencia base es elvalor trifsico total. En este caso la corriente y la impedancia base se calculancomo:

basexkV

basekVAAI

ff

base3

][ 3 [3.32]

3

1000)3(][

3

2

basekVA

basekVZ

ff

base

[3.33]

basekVA

basekVZ

ff

base

3

21000)(][ [3.34]

baseMVA

basekVZ

ff

base

3

2)(][ [3.35]

De esta forma queda establecido que se deben usar:o Voltaje fase-fase con potencia trifsica (Ecs. [3.34] y [3.35])o Voltaje fase-neutro con potencia monofsica (Ecs. [3.27] y [3.28])

Ejercicio 3.7: El voltaje en terminales de una carga conectada en Y que consiste de tres

impedancias iguales de 20 /30 es de 4.4 kV. La impedancia de cada una de las tres

lneas que conectan la carga a las barras de una subestacin es de ZL= 1.4 /75 .Encuentre los voltajes fase - fase en las barras de la subestacin. Trabaje en por

unidad sobre una base de 4.4 kV, 127 A.


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3.5.1. Cambio de Bases de cantidades en por unidad Con frecuencia las impedancias en por unidad de los componentes del sistema se

encuentran expresadas sobre sus propias bases, mismas que generalmente sondiferentes a la base seleccionada para el clculo.

Es entonces necesario convertir las impedancias en por unidad de una base aotra, ya que para los clculos todas las impedancias de un sistema deben estarexpresadas sobre la misma impedancia base.

2

base

baserealpu

V

xSZZ

[3.36]

base

nuevabase

nuevabase

basepunuevapu

S

S

V

VZZ

2

2

[3.37]

Ejercicio 3.8. Un transformador monofsico tiene valores nominales de 110/440 V y 2.5

kVA. La reactancia de dispersin medida desde el lado de bajo voltaje es de 0.06 .

Determine la reactancia de dispersin en por unidad.

Ejercicio 3.9. Tres partes de un sistema elctrico monofsico se designan como A, B y

C y estn conectadas entre s a travs de transformadores, como se muestra en la

Figura 20. Los transformadores tienen los siguientes valores nominales:

A-B 10 000 kVA, 13.8/138 kV, reactancia de dispersin 10% B-C 10 000 kVA, 138/69 kV, reactancia de dispersin 8%

Encuentre la impedancia en por unidad de una carga resistiva de 300 en el circuito

C, referida a los circuitos C, B y A, si en el circuito B las bases se seleccionan como

10000 kVA y 138 kV. Dibuje el diagrama de impedancias sin tomar en cuenta la

corriente de magnetizacin, las resistencias de los transformadores y las impedancias

de las lneas.

Figura 3.19.Diagrama Ejemplo 9.

La base de potencia debe ser la misma en todas las partes del sistema y laseleccin del voltaje de base en una parte determina los voltajes base asignadosa las dems partes del sistema en correspondencia con la relacin vueltas de los

transformadores.


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3.5.2. Referencia de impedancias de un lado a otro del transformadortrifsico.

La carga en el secundario consiste en impedancias balanceadas ZL, conectadas en Y.

3.5.3. Ventajas de los clculos en por unidad. Los valores en por unidad de las impedancias determinados en la porcin del

sistema donde se encuentran, son iguales a aquellos vistos desde cualquier otra

parte del sistema. La gran ventaja de usar valores en por unidad es que no se requieren clculospara referir una impedancia de un lado del transformador al otro.


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Temas a recordar:

Se elige el voltaje base y potencia base en una parte del sistema. Se entiende quelos valores base para sistemas trifsicos son voltajes lnea a lnea y potencia

trifsica. Para las otras partes del sistema, esto es, para los otros lados del transformador,

se determinan los voltajes base de cada parte de acuerdo con las relaciones delos voltajes lnea a lnea de los transformadores. La potencia base ser la mismaen todo el sistema. Es de ayuda sealar los diferentes voltajes base de cada partedel sistema sobre el diagrama unifilar.

Generalmente, la informacin disponible sobre la impedancia de lostransformadores trifsicos est en por unidad o por ciento sobre la base de susvalores nominales.

Para un banco trifsico conformado por transformadores monofsicos, el valornominal de potencia trifsica es igual a tres veces el valor nominal de potenciamonofsica. La impedancia en por unidad de la unidad trifsica es la misma quela de los transformadores monofsicos.

Se debe cambiar de base (Ec. [131]), la impedancia en por unidad de unelemento que tiene bases diferentes a las que se han seleccionado.

unidad 1.pdf

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