Estadstica Aplicada a la Administracin

Unidad 1: Intervalos de Confianza

Sesiones 1, 2 y 3

De acuerdo con la Coffee Research Organization, el consumidor habitual de caf estadounidense bebe un promedio

de 3,1 tazas al da. Una muestra de 12 personas de la tercera edad indic las cantidades de caf medidas en tazas

consumidas cierto da en particular. Con un nivel de confianza de 0,05 , sugieren los datos de la muestra una

diferencia entre el promedio nacional y la media de la muestra tomada de las personas de la tercera edad?

Estimacin e Intervalos de Confianza

La American Restaurant Association recopil informacin sobre el nmero de comidas

que hacen los matrimonios fuera de casa cada semana. Una encuesta de 60 parejas

demostr que la cantidad media de comidas fuera de casa era de 2,76 por semana.

Defina un intervalo de confianza de 97% para la media de la poblacin.

Objetivos

1. Definir un Estimador Puntual.

2. Definir Nivel de Confianza.

3. Construir un Intervalo de Confianza para la

Media Poblacional cuando se conoce la

Desviacin Standard de la Poblacin.

4. Construir un Intervalo de Confianza para una

media poblacional cuando no se conoce la

Desviacin Standard de la Poblacin.

5. Construir un Intervalo de Confianza para una

proporcin de la poblacin.

6. Determinar el tamao de la Muestra para un

muestreo de atributos y variables.

Estadstica Inferencial

Conjunto de mtodos utilizados para saber algo

acerca de una poblacin, basndose en una

muestra.

Una poblacin es un conjunto de todos los

posibles individuos, objetos o medidas de

inters.

Una muestra es una porcin, o parte, de la

poblacin de inters.

A population is a collection of all possible individuals, objects,

or measurements of interest.

A sample is a portion, or part, of the population of interest

Estimadores Puntuales e Intervalos de Confianza de una Media.

El anlisis de los estimadores puntuales y los intervalos de confianza

comienza con el estudio del clculo de la media poblacional. Se

deben considerar dos casos:

Se conoce la desviacin standard de la poblacin (). Se desconoce la desviacin standard de la poblacin (). Eneste caso se sustituye la desviacin standard de la muestra (s) por la

desviacin standard de la poblacin ().

Estimacin Puntual y por Intervalos

Estimador Puntual Estadstico calculado a partir de informacinobtenida de la muestra y que se usa para estimar el parmetropoblacional.

Ejemplo:Los siguientes datos corresponden a una muestraaleatoria de las estaturas de jugadores de baloncesto deuna liga local. Vamos a realizar una estimacin puntual dela estatura promedio de los jugadores de baloncesto deesta liga.

1.95 2.15 1.83 2.04 2.02

1.80 1.85 2.05 1.99 1.95

Se calcula la media aritmtica de la muestra de 10

basquetbolistas:

Como es una estimacin puntual, se establece que la estatura

promedio de los jugadores de baloncesto de esta liga es

aproximadamente 1.96 metros.

= 1.96La media muestral, , constituye un estimador puntual de la media

poblacional ().

1.95 2.15 1.83 2.04 2.02 1.80 1.85 2.05 1.99 1.9519,63

10X

X

Intervalo de Confianza Un conjunto de valores formadoa partir de los datos muestrales, en el que hay una

determinada probabilidad de que se encuentre el parmetro. A

esta probabilidad se le conoce como el Nivel de Confianza.

Una estimacin de intervalo establece la amplitud en la

que quiz se encuentre un parmetro poblacional.

El intervalo dentro del cual se espera que est un

parmetro poblacional se llama intervalo de confianza.

Los dos intervalos de confianza que ms se usan son

95% y 99%.

Distribucin Z y t de student

Tambin se puede usar otros

niveles de confianza.

Error estndar de la media muestral

Es la desviacin Standard de la distribucin

muestral de medias mustrales.

Error standard

de la Media

Muestral

Desviacin Standard

Tamao de la muestra

Distribucin Muestral de la Media

Distribucin de probabilidad de todas las posibles medias

de las muestras de un determinado tamao muestra de la

poblacin.

Construccin de una Distribucin

Muestral de la Media

Tartus Industriales cuenta con siete empleados de

produccin ( a quienes se les considera la poblacin) que

se presentan en la siguiente tabla:

Empleado Ingresos por Hora

Joe $ 7,00

Sam $ 7,00

Sue $ 8,00

Bob $ 8,00

Jan $ 7,00

Art $ 8,00

Ted $ 9,00

Se pide:

1. Cul es la Media de la Poblacin?

2. Cul es la media de la distribucin Muestral de la Media?

3. Comente.

Solucin:

1.- Media de la poblacin:

7 7 8 8 7 8 97.71

7USD

X

N

2.- Media de la distribucin Muestral de la Media

Media

Muestra

# de Medias Probabilidad

$ 7,00 3 0,1429

$ 7,50 9 0,4285

$ 8,00 6 0,2857

$ 8,50 3 0,1429

21

7.00(3) 7.50(9) 8.00(6) 8.50(3) 1627.71

21 21x

Luego :

Comentario:

1. La media de la distribucin muestral de la Media ($ 7,71) es igual a

la Media de la poblacin.

2. La dispersin de la distribucin Muestral de la Medias es menor que

la dispersin de los valores de la poblacin. Las medias de las

muestras vara de $ 7,00 a $ 8,50, mientras que los valores de la

poblacin varan de $ 7,00 a $ 9,00.

3. Observe que mientras que se incrementa el tamao de la se reduce

la dispersin de la distribucin muestral de las medias.

Cmo se calcula un Intervalo de Confianza?

sX Z

n

Intervalo de Confianza para la Media Poblacional:

( 30)n

sX t

n

Intervalo de Confianza para una Proporcin

Proporcin : Fraccin, razn o porcentaje que indica

la parte de la muestra o poblacin que tiene una

caracterstica determinada.

Proporcin Muestral: Xp

n

Donde:

p = proporcin muestral

X= el # de xitos

n = el # de objetos muestrados

Intervalo de Confianza para una Proporcin

Poblacional :

pp Z

Error Standard de la Proporcin Muestral:

(1 )p

p p

n

Si se sabe que : p + q = 1

Luego: q = 1 - p

Finalmente se puede escribir as:

(1 )p Pp Z

N

Factor de correccin para Poblacin

Finita

Error standard de la Media Muestral, usando un factor de

correccin:

( )*

( 1)x

N n

Nn

Error Standard de la Proporcin Muestral, utilizando un factor

de correccin:

(1_ ) ( )*

( 1)p

p p N n

n N

When to Use the Z or t Distribution for

Confidence Interval Computation

Es normal la poblacin ?

Se conoce la desviacin Standard

de la poblacin? Es n 30 ?

Utilice una Distribucin Z

Utilice una prueba No

Paramtrica

Utilice una Distribucin Z

Utilice una

Distribucin t

SINO

NONO SI SI

Cmo determinar si se debe usar la

Distribucin Z t ?