intervalos de confianza unidad 3
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Estadística
Josué Gilberto Álvarez Muñiz
Carrera: Procesos industriales área manufacturaProfesor: Lic. Edgar Mata Ortiz Materia: Estadística
Intervalos de Confianza
Inferencia Estadística
Intervalos de Confianza
Métodos de estimación:
Estimación puntual: utilización de datos de la muestra para calcular un solo número
Estimación de intervalo:
Intervalos de Confianza
Métodos de estimación:
Estimación puntual:
utilización de datos de la muestra para calcular un solo número para estimar el parámetro de interés.
Estimación de intervalo:
ofrece un intervalo de valores razonables dentro del cual se pretende que esté el parámetro de interés, en este caso la media poblacional, con un cierto grado de confianza
Intervalos de Confianza
Muestreo aleatorio
MUESTRA
(x1, x2,…..,xn)
ESTIMADORES
(Estadísticos)
ESTIMACIONES
(Valores concretos)
Inferencias
PARÁMETROSPOBLACIÓN
Descripción
Intervalos de confianza
nxi
1
2
nX i
_
X
ESTIMADORES
ESTIMACIONES
S2
Valores concretos
Ejemplo: distribución de tallas de neonatos
Valores desconocidos de
los parámetros media y
variancia de la talla de la
población
Estimadores
Muestra
Estimación puntual de
Estimación puntual de
2
nxi 1
2
nX i
52;52;51;48;46
505
5252514946x
5,615
5052.......504622
2s 2
Intervalos de confianza bilaterales: construcción
Dada una variable aleatoria X con media
y desviación estándar ,
el teorema del límite central afirma que posee una distribución normal estándar si X :
- se encuentra distribuida normalmente,
- no se encuentra distribuida normalmente y nsea suficientemente grande
n
xZ
que posee
Para una variable normal estándar, 95% de las observaciones se ubican entre -1,96 y +1,96.
En otras palabras, la probabilidad de que Z tome un valor entre -1,96 y +1,96 es:
95,096,196,1 ZP
Al sustituir el valor de Z:
95,096,1/
96,1n
xP
Multiplicamos los tres términos de la desigualdad por el error estándar
Por tanto,
n
95,096,196,1n
xn
P
Restamos de cada término de tal manera que:
Multiplicamos por -1, invirtiendo el sentido de la desigualdad:
95,096,196,1 xn
xn
P
95,096,196,1 xn
xn
P
Al reordenar términos:
La ya no se localiza en el centro de la desigualdad; en lugar de eso, la afirmación de probabilística indica algo sobre
95,096,196,1n
xn
xP
x
Al reordenar términos:
95,096,196,1n
xn
xP
Intervalos de Confianza
Importante:
Cuando las muestras aleatorias son cada vez más grandes, la variabilidad de X se torna más pequeño.
Sin embargo la variabilidad inherente de la población estudiada, medida por , siempre se encuentra presente.
Ejemplo :Distribución de los niveles de colesterol en sangre de todos los varones que son hipertensos y que fuman.
◦ Esta distribución es: aproximadamente normal, con una media desconocida: = ?,
y una desviación estándar = 46 mg / 100 ml.
Interesa calcular el nivel medio de colesterol en sangre.
Antes de elegir una muestra aleatoria, la probabilidad de que el intervalo
contenga la verdadera media poblacional es de = 0,95.
))
4696.1,
4696.1(
nX
nX
Intervalos de Confianza
En el caso de tomar una muestra tamaño 12 de la población de fumadores hipertensos y que además poseen un nivel medio de colesterol en sangre de x = 217 mg / 100 ml.
El intervalo de confianza es de 95% para es
)243,191(
)12
4696.1217,
12
4696.1217(
o
Este intervalo contiene el valor de 211 mg /100 ml, el nivel medio de colesterol en la sangre de todos los hombres de 20 a 74 años de edad sin importar si son hipertensos o fumadores.
Se está 95 % seguro de que los límites 191 y 243 cubren la verdadera media .
Interpretación 1
Interpretación 2: en términos de frecuencia.
Si se tomaran 100 muestras aleatorias de tamaño 12 de esta población y utilizaran cada muestra para construir un intervalo de confianza de 95 %, se espera que en promedio 95 de los intervalos cubrieran la verdadera media poblacional = 211 y 5 no.
Intervalos de Confianza
Este procedimiento se expresa gráficamente de la siguiente forma:
Intervalos de Confianza
La única cantidad que varia de muestra es X. Todos tiene la misma amplitud. Cada intervalo de confianza que no contenga
el valor verdadero de se encuentra marcado con un punto, 5 intervalos están dentro de esta categoría
Interpretación del gráfico:
Intervalos de Confianza
Con la misma muestra de 12 hipertensos, se encuentra que los límites son
)251,183(
)12
4658.2217,
12
4658.2217(
o
Para calcular un intervalo de confianza
de 99% para .
Interpretación:
Un 99% de confianza de este intervalo cubre el verdadero nivel medio de colesterol en sangre de la población.
La amplitud de intervalo de confianza de 99% es de 251-183=68 mg/ 100 ml.
Este intervalo es más amplio que el correspondiente intervalo de confianza de 95%.
Intervalos de Confianza
Reflexionando en el sentido del tamaño muestral:
¿Qué dimensiones debe tener una muestra para que la amplitud del
intervalo se reduzca a solo 20 mg/100 ml?
Consideraciones:
Ya que el intervalo se centra en la media de muestreo x=217 mg/ 100 ml, interesa el tamaño de la muestra necesario para generar el intervalo (217-10, 217+10)
ó
(207, 227)
Para determinar el tamaño n que se requiere de la muestra, se debe resolver la ecuación
8.140
10
)46(58.210
n
Se necesita una muestra de 141 hombres para reducir la amplitud del intervalo de confianza de 99% a 20 mg/100 ml.
Aunque la media de muestreo de 217 mg/100 ml se ubica en el centro del intervalo, no desempeña ningún papel en la determinación de su amplitud; la amplitud es función de , n y el nivel de confianza.