Estimación e intervalos de confianza

Construir un intervalo de confianza para la media poblacional cuando se conoce la desviación estándar poblacional.

Nombre: Azucena Agüero Torres

Materia: Probabilidad y Estadística

Lic.: Édgar Gerardo Mata Ortiz

Grupo: “2”c.

Especialidad: Procesos Industriales de Área de Manufactura

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Estimaciones puntuales e intervalos de confianza Estimación puntual: Estadístico

calculado a partir de la información obtenida de la muestra y que se usa para estimar el parámetro poblacional.

Intervalo de confianza: Un conjunto de valores obtenido a partir de los datos muestrales, en el que hay una determinada probabilidad de que se encuentre el parámetro. A esta probabilidad se le conoce como el nivel de confianza.

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Estimación puntual y estimación por intervalos Los hechos que determinan la amplitud

de un intervalo de confianza son: El tamaño de la muestra, n La variabilidad de la población.

normalmente estimada por s. El nivel de confianza deseado.

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Estimación puntual y estimación por intervalos Si la desviación estándar de la población

es conocida o la muestra es mayor que 30 utilizamos la distribución z.

n

szX ±

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Punto e intervalo de estimación

Si la desviación estándar de la población es desconocida y la muestra es menor que 30 utilizamos la distribución t

n

stX ±

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Intervalo de estimación

Un intervalo de estimación establece el rango en el cual se encuentra el parámetro de población.

Un intervalo en el cual se espera que ocurra el parámetro de población se llama intervalo de confianza.

Los dos intervalos de confianza que son más utilizados son de 95% y 99%.

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Intervalo de estimación

Para un 95% de intervalo de confianza, aproximadamente 95% de los intervalos construidos igualmente contendrán el parámetro inicial. También el 95% de la muestra media para un tamaño de muestra específico se encontrará dentro del 1.96 de la desviación estándar de la media de la población.

Para el 99% de intervalo de confianza, 99% de la muestra media para un tamaño de muestra específico se encontrará dentro del 2.58 de la desviación estándar de la media de la población.

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Error estándar de la media muestral

es el símbolo para el error estándar de la media

muestral. es la desviación estándar de la población. n es la magnitud de la muestra.

σσ

x n=

σx

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σ

El error estándar de la media muestral es la desviación estándar de la distribución de las medias muestrales.

Se calcula como:

Error estándar de la media muestral

Si σ no es conocido y n >= 30, la desviación estándar de la muestra, designada s, se aproxima a la desviación estándar de la población.

La fórmula para la desviación estándar es:

n

ss x =

9

95% y 99% intervalos de confianza para µ El 95% y 99% intervalos de confianza:

95% CI para la media de la población es dada:

n

sX 96.1±

Xs

n±2 58.

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99% CI para la media de la población es dada como:

Construyendo intervalos generales de confianza para µ En general, un intervalo de confianza para

la media se calcula como:

n

szX ±

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Ejemplo 3 El director de una escuela de negocios

quiere estimar la cantidad media de horas que los estudiantes trabajan por semana. De una muestra de 49 estudiantes mostró una media de 24 horas con una desviación estándar de 4 horas. ¿Cuál es la media de la población?

El valor de la media de la población no es conocida. Nuestra mejor estimación de este valor es la muestra media de 24.0 horas. Este valor es llamado estimación puntual.

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Ejemplo 3 (Continuación)

Encuentre el intervalo de confianza con el 95% para la media de la población.

El rango límite de confianza es de 22.88 a 25.12.

12.100.2449

496.100.2496.1

±=

±=±n

sX

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Aproximadamente el 95% de los intervalos construidos incluyen el parámetro de población.

Intervalo de confianza para la proporción de la población El intervalo de confianza para la proporción

de la población se estima como:

n

ppzp

)1( −±

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Ejemplo 4 De una muestra de 500 ejecutivos que tienen

casa propia 175 revelaron planear vender sus casas y cambiarse a Arizona. Desarrolle un intervalo de confianza con el 98% para la proporción de ejecutivos que planean vender sus casas y cambiarse a Arizona.

0497.35. 500

)65)(.35(.33.235. ±=±

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Factor de correcciónde la población-finita La población que ha sido establecida en líneas

anteriores se dice que es finita. Para una población finita, donde el número total

de objetos es N y la magnitud de la muestra es n, el siguiente arreglo está hecho para los errores estándar de la media muestral y la proporción:

Error estándar de la media muestral:

σσ

x n

N n

N=

−−1

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Factor de correcciónde la población-finita

Este arreglo es llamado factor de corrección de la población-finita.

Si n/N < .05,el factor de corrección de la población-finita se ignora.

1)1(

−−−=

NnN

npp

pσ

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Error estándar de las proporciones de la muestra:

Ejemplo 5 Dada la información del Ejemplo 4, construya un

intervalo de confianza del 95% para la cantidad media de horas que los estudiantes trabajan por semana si tan sólo son 500 estudiantes en el campus.

Porque n/N = 49/500 = .098 el cual es mayor que 05, utilizamos el factor de corrección de la población-finita

0648.100.24)1500

49500)(

49

4(96.124 ±=

−−±

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Elección del tamaño de muestra apropiado Existen 3 factores que determinan el

tamaño de la muestra, ninguno de los cuales tiene relación con el tamaño de la población. Éstos son: El nivel de confianza deseado. El máximo error permisible. La variación en la población.

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Variación en la población

Donde: E es el error permisible, z es el valor-z correspondiente al nivel de confianza seleccionado, y s es la desviación de la muestra del estudio piloto.

2

•=E

szn

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Para encontrar el tamaño de la muestra para una variable:

Ejemplo 6 Un grupo de consumidores quiere estimar la

media del cargo mensual de energía de julio de una casa común dentro de $5 utilizando 99% de nivel de confianza. Basado en estudios similares, la desviación estándar se estima debe ser $20.00. ¿Cuántas muestras son requeridas?

1075

)20)(58.2(2

=

=n

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Tamaño de la muestrapara proporciones La fórmula para determinar el tamaño de la

muestra en el caso de una proporción es:

n p pZ

E= −

( )1

2

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Donde: p es la proporción estimada, basada en la experiencia anterior o de un estudio piloto, z es valor-z asociado con el grado de confianza seleccionado; E es el máximo error permisible que el investigador tolerará.

Ejemplo 7 Un club quiere estimar la proporción de

niños que tiene un perro como mascota. Si el club quisiera estimarlo dentro del 3% de la proporción de la población, ¿cuántos niños necesitarían contactar? Asuma 95% de nivel de confianza y que el club estima que un 30% de los niños tienen un perro como mascota. 897

03.

96.1)70)(.30(.

2

=

=n

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