unidad 1 conjuntos numericos

W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - C o n j u n t o s N u m é r i c o s

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UUNNIIDDAADD 11:: CCOONNJJUUNNTTOOSS NNUUMMÉÉRRIICCOOSS

En esta unidad se ofrece una información general sobre los diferentes conjuntos de números que se utilizaran en el desarrollo de este curso. Comencemos con un breve repaso de los conceptos básicos sobre teoría de conjuntos.

1.1 CONJUNTOS

Intuitivamente, un conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos, que pueden ser de distinta

naturaleza. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.

1.2 NOTACIÓN

Es usual denotar los conjuntos por letras mayúsculas A , B , X , Y . Los elementos de los conjuntos se representan por letras minúsculas a , b , x , y . Al definir un conjunto por medio de la enumeración de sus

elementos, se escriben sus elementos separados por comas y encerrados entre llaves { }. Esta notación es

llamada forma tabular de un conjunto, por ejemplo 10,7,3,1 A . Pero si se define un conjunto enunciando las

propiedades que deben tener sus elementos, entonces se emplea una letra, por lo general x , para representar un

elemento cualquiera, por ejemplo | es parxxB , lo cual se lee « B es el conjunto de los números x tales

que x es par». Se dice que esta es la forma de definición por comprensión o constructiva de un conjunto.

Si un objeto x es un elemento de un conjunto A , se escribe Ax . Lo cual se lee « x pertenece a A » o « x

está en A ». Si por el contrario un objeto x no es un elemento de un conjunto A , se escribe Ax . Lo cual se

lee « x no pertenece a A » o « x no está en A »

Empleando esta notación, los conjuntos del ejemplo anterior se pueden escribir como:

10,7,3,1 A

,,,, uoieaB

tierralaen habita que persona una es | xxC

Europaen esta y capital una es | x xxD

Son ejemplos de conjuntos los siguientes:

Los números: 1,3 7 y 10 Las vocales del alfabeto: a, e, i, o, u Las personas que habitan la tierra.

Las ciudades capitales de Europa.

Ejemplo No. 1

Ejemplo No. 2


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1.3 CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. Intuitivamente, un conjunto es finito si consta de un cierto número de

elementos distintos, es decir, si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar. Si no, el conjunto es infinito.

1.4 IGUALDAD DE CONJUNTOS

El conjunto A es igual al conjunto B si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada elemento que

pertenece a A pertenece también a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A . Se denota la igualdad de los conjuntos A y B por BA

1.5 CONJUNTO VACÍO

Un conjunto vacío es un conjunto que carece de elementos y se denota por .

1.6 SUBCONJUNTOS

Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B , entonces se dice que A es un

subconjunto de B . Lo anterior se denota por BA y se lee « A es subconjunto de B » o « A está contenido

en B »

Si 5,3,1 A y 1,2,3,4,5 B , entonces BA

Si años 200 tieney persona una es | xxxA , entonces A es un conjunto vacío según las

estadísticas demográficas conocidas. Es decir A

Si 5,4,3,2,1A y 5,4,3,2,1B , entonces BA

Si A es el conjunto de los días de la semana, entonces A es finito. Si par es | xxB , entonces B es infinito.

Si tierrala de ríoun es | xxC , entonces C es finito. Aunque es difícil contar los ríos del mundo.

Si par es | xxB , entonces B12 y B11 .

Ejemplo No. 3

Ejemplo No. 4

Ejemplo No. 5

Ejemplo No. 6

Ejemplo No. 7


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Observación:

En el caso de que A no sea subconjunto de B se denotara como BA

El conjunto vacío se considera subconjunto de todo conjunto.

Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si BA y AB

1.7 CONJUNTO UNIVERSAL

Es el conjunto que contiene a todos los conjuntos a los que se hace referencia y se denota por U .

1.8 CONJUNTOS DISJUNTOS

Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, es decir, si ningún elemento de A está en B y si ningún

elemento de B está en A , se dice que A y B son disjuntos.

1.9 OPERACIONES CON CONJUNTOS

1.9.1 Unión

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o que pertenecen a B o a ambos. La unión de

A y B se denota por BA y se lee « A unión B » o « A unido con B ».

En el siguiente diagrama de Venn se ilustra gráficamente como es BA .

Propiedades:

ABBA BAA y BAB

1.9.2 Intersección

La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los

elementos que pertenecen a A y que pertenecen a B . La intersección de A y

B se denota por BA y se lee « A intersección B » o « A interceptado

con B ». En el siguiente diagrama de Venn se ilustra gráficamente cómo es BA .

Si ,,,, dcbaA y gdbfB ,,, , entonces BA gfdcba ,,,,,

Si positivo númeroun es | xxA y negativo númeroun es | xxB , entonces A y B son

disjuntos.

En los estudios sobre población humana el conjunto U es el conformado por todas las personas del mundo.

BA

BA

Ejemplo No. 8

Ejemplo No. 9

Ejemplo No. 10


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Propiedades:

ABBA ABA y BBA Si A y B son disjuntos, entonces BA

1.9.3 Diferencia

La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los

elementos que pertenecen a A pero que no pertenecen a B . La diferencia de

A y B se denota por BA y se lee « A diferencia B » o « A menos B

». En el siguiente diagrama de Venn se ilustra gráficamente como es la diferencia de dos conjuntos.

Propiedades:

ABA Los conjuntos BA , BA y AB son mutuamente disjuntos.

1.9.4 Complemento

El complemento de un conjunto A es el conjunto formado por todos los elementos que no pertenecen a A , es decir la diferencia del conjunto universal

U y del conjunto A . El complemento de A se denota por CA y se lee

«complemento de A ». En el siguiente diagrama de Venn se ilustra

gráficamente como es el complemento de un conjunto.

Propiedades:

UAA C CU AACC

CAA UC CBABA

Si NU y par es| x xA ,8,6,4,2 , entonces impar es | xxAC ,7,5,3,1

Si dcbaA ,,, y gdbfB ,,, , entonces caBA ,

Si ,,,, dcbaA y gdbfB ,,, , entonces dbBA ,

BA

CA

Ejemplo No. 11

Ejemplo No. 12

Ejemplo No. 13


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1.10 CONJUNTOS NUMÉRICOS

1.10.1 El Conjunto de los Números Naturales

El primer conjunto de números que el hombre utilizó formalmente fue el conjunto de los números naturales, el cual

se simboliza y se define como:

,4,3,2,1 N

Nótese que este conjunto tiene como primer elemento el uno, pero no existe un último elemento. Por esta razón diremos que el conjunto de los números naturales es infinito.

1.10.2 El Conjunto de los Números Enteros

El conjunto de los números enteros, se simboliza y se define como:

,4 ,3 ,2 ,1 ,0 ,1,2,3,4, Z

El conjunto Z no tiene primer elemento ni último elemento, por lo que se dice que es un conjunto infinito y además se divide en tres subconjuntos:

Observación:

La anterior clasificación muestra que el cero no es un entero negativo ni positivo. ZZZ 0

NZ ZN

1.10.3 El Conjunto de los Números Racionales

El conjunto de los números racionales, se simboliza y se define como:

0con , ,| bZbZab

aQ

Donde ba

es el cociente, en el cual el numerador y denominador son números enteros, con el denominador diferente

de cero. Es decir, la división por cero está excluida (no está definida), eliminando la posibilidad de dividir por cero.

Observación:

Según la definición de Q , todo número entero es un número racional, es decir QZ

QZZ

QZZ

Todo número racional se puede representar por una expansión decimal periódica finita o por una expansión decimal infinita periódica (o simplemente por una expansión decimal periódica).

Z

,4,3,2,1 Z

0

,4,3,2,1 Z

Enteros negativos

Enteros positivos (los naturales)

El cero


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1.10.4 El Conjunto de los Números Irracionales

Los números con expansiones decimales infinitas no periódicas (aperiódicas) reciben el nombre de números irracionales. El conjunto de los números irracionales, se simboliza y se define como:

racional númeroun es no | xxI

Las representaciones decimales para números irracionales son siempre infinitas no periódicas, por ejemplo:

23730951,414213562

35897933.14159265 84590462.71828182e

El conjunto Q y el conjunto I son disjuntos, es decir IQ .

1.10.5 El Conjunto de los Números Reales

La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales determina un nuevo conjunto de números que se denomina el conjunto de los números reales, el cual se simboliza y se define como:

IQR

Observación:

RQ

RI

El conjunto de los números reales se puede colocar en correspondencia biunívoca (uno a uno) con los puntos de una recta l . Es decir, a cada número real se le hace corresponder un punto de la recta l y a cada punto de la recta l se le hace corresponder un número real, tal como se muestra en la figura:

La representación gráfica de los números sobre la recta real, implica un orden entre los números reales y la división en tres subconjuntos así:

l1 2 3 4

0123

2 33.2

5

23

5

A B

2

1

5.2

negativosrealesNúmeros positivosrealesNúmeros

ba

R

R

0

R

Reales negativos

Reales positivos

El cero


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1.10.6 El Conjunto de los Números Complejos

El conjunto de los números complejos, se simboliza y se define como:

| RbR,abiaC

El número a se denomina parte real, bi se denomina parte imaginaria e i se denomina unidad imaginaria, con

1i .

1.10.7 Diagrama Lineal de los conjuntos Numéricos

En el siguiente diagrama también se observa la manera como se encuentran organizados y estructurados todos los

números reales:

1.11 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS REALES

Propiedades de la adición Propiedad conmutativa: Si Ra y Rb , entonces abba

Propiedad asociativa: Si Ra , Rb y Rc , entonces cbacba

Elemento neutro: Para todo Ra existe el numero R0 tal que aaa 00

Inverso aditivo: Para todo Ra existe el numero Ra tal que 0 aaaa

Propiedades de la multiplicación

Propiedad conmutativa: Si Ra y Rb , entonces abba

Propiedad asociativa: Si Ra , Rb y Rc , entonces cbacba

Elemento neutro: Para todo Ra existe el numero R1 tal que aaa 11

Inverso multiplicativo: Para todo Ra , con 0a existe el numero Ra1 tal que 111 aa

aa

Números complejos

Números reales

Números racionales Números irracionales

Números enteros

El cero Números naturales Enteros negativos


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Propiedad distributiva

Si Ra , Rb y Rc , entonces cabacba

Propiedad del doble negativo

Para cualquier número real a , se tiene que aa

Propiedad de la resta de números reales

baba

Productos donde interviene el cero

Para todo número real a se cumple que 000 aa

Si 0ab , entonces 0a o 0b

Propiedades de los cocientes

1

ba

b

aba

Si d

c

b

a entonces bcad

b

a

b

a

b

a

b

ca

b

c

b

a

bd

bcad

d

c

b

a

bd

ac

d

c

b

a

bc

ad

c

d

b

a

d

c

b

a

bc

ad

dc

ba

1. Dados los conjuntos 023| 2 xxxA , 1,3 B y 1,2 C ¿Cuáles son iguales?

2. Si 62| xxA y 3b ¿es Ab ?

3. Si ,, zyxB . Diga cuales de las afirmaciones siguientes son correctas:

a. Bx

b. By

c. Bz

d. Bz

4. Exprese los siguientes conjuntos de forma tabular: a. 01| xNxA b. 32| xQxB

Actividad No. 1


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c. 3| 2 xQxC

d. 01| 2 xRxD

e. 04| 2 xZxE

f. 01| 2 xCxF

5. Cuáles de los siguientes conjuntos son finitos y cuales infinitos:

a. par es | xx

b. ,99,100,2,3,1

c. humanoser un es | xx

d. ,2,3,1

6. Cuáles de los siguientes conjuntos son vacíos:

a. | xxxA

b. 88| xxB

c. inmortal humanoser un es | xxC

d. 32| xxxD

7. Si ,, zyxA , ¿Cuántos subconjuntos hay en A y cuáles son?

8. Sea 9,8,7,6,5,4,3,2,1U , 4,3,2,1A y 8,6,4,2B , determine BA , BA , BA , AB , CA y CB .

9. Indique cuál de los siguientes enunciados son falsos o verdaderos:

a. N7 d. Q6 g. N3 8

b. CQ2 e. Z21 h. R2

c. Z4 f. C5 i. R 4

1. ¿Porque no existe elemento neutro para la adición en el conjunto de los Números Naturales?

2. ¿Cuáles operaciones son cerradas en el conjunto de los Números Naturales?

3. ¿Existe elemento neutro para la multiplicación en el conjunto de los Números Naturales? Si existe, ¿Cuál es?

4. ¿Existen los inversos aditivos y multiplicativos en el conjunto de los Números Naturales?

5. ¿Tiene la ecuación 35 x alguna solución en el conjunto de los Números Naturales? Justifique.

6. ¿Tiene la ecuación 72 x alguna solución en el conjunto de los Números Enteros? Justifique.

7. ¿Tiene la ecuación 022 x alguna solución en el conjunto de los Números Racionales? Justifique.

8. ¿Si 710| xNxA entonces A ? ¿Por qué?

9. Conteste Falso o Verdadero, pero cuando conteste Falso dé un contraejemplo:

a. Todo número real es racional. b. Todo número entero es un racional. c. Todo número entero es natural. d. Todo número racional es entero. e. Todo número entero es irracional. f. Todo número real es complejo. g. Todo número complejo es real.

Actividad No. 2

unidad 1 conjuntos numericos

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