Geometría Diferencial - Unidad I

Fabián Levis - Julio C. BarrosDepartamento de Matemática - Facultad de CienciasExactas Físico-Químicas y Naturales - UniversidadNacional de Río Cuarto

Abstract

De la idea familiar de las funciones de valores reales y usandonociones del álgebra lineal se construirán objetos que serán lasherramientas básicas para la exploración de objetos geométricos.Dos conceptos fundamentales lo constituyen la idea de vector tan-gente y campo vectorial. Los conceptos de curva y función difer-nciable son generalizadas a la noción de mapeo. Se construyenoperaciones adecuadas de diferenciación para estos objetos como:derivada direcional de una función, velocidad de una curva, mapade derivadas de un mapeo. Todas estas operaciones se reducen aderivadas (ordinarias o parciales) de las funciones coordenadas.La idea de esta unidad es dotar de un conjunto de herramientasy uni�car la notación que utilizaremos.Temas: Espacio Euclídeo. Funcines Diferenciables. Vectores

tangentes. Espacio tangente. Campo vectorial. Derivadas direc-cionales. Curvas regulares. Parametrizaciones. 1-formas. Difer-encial de una función. Mapeos. Mapa de derivadas. Mapeoregular. Teorema de la función inversa.

1 El Cálculo en el espacio Euclídeo

De�nition 1 El espacio Euclídeo de 3 dimensiones R3, es el conjuntode todas las ternas ordenadas de números reales. Si denotamos por p =(p1; p2; p3) 2 R3 entonces, p es denominado un punto de R3.

Remark 2 Recordemos que si p = (p1; p2; p3) y q = (q1; q2; q3) son pun-tos de R3 de�nimos la suma como p+ q = (p1 + q1; p2 + q2; p3 + q3) y si� 2 R entonces, se de�ne �p = (�p1; �p2; �p3) . Con estas dos opera-ciones (R3;+;R; :) resulta un R-espacio vectorial con elemento neutrode la suma 0 = (0; 0; 0) .

1

En el Cálculo Diferencial se estudian las funciones diferenciables devalores reales en R3. Haremos un breve raconto de las nociones funda-mentales.

De�nition 3 Sean x1; x2; x3 las funciones de valores reales en R3 talesque para cada punto p = (p1; p2; p3), estas funciones cumplen, x1 (p) =p1; x2 (p) = p2; x3 (p) = p3 . Estas funciones se llaman funcionescoordenadas naturales de R3. De esta forma p = (p1; p2; p3) =(x1 (p) ; x2 (p) ; x3 (p)) para cada punto de R3.

De�nition 4 Se dice que f : U � R3 �! R es diferenciable en elabierto U , (C1 (U)) siempre que existen las derivadas parciales de f , detodos los órdenes y son continuas.

Remark 5 Recordemos que la diferenciación es siempre una operaciónlocal. Para calcular @f

@xi(p) es necesario conocer los valores de f en una

vecindad de p.

2 Vectores tangentes

De�nition 6 Un vector Tangente vp a R3 consiste en dos puntos deR3, su parte vectorial v y su punto de aplicación p.

x

5

31

4

2

2

1

3z

y

00

1

0

42

3

Vector tangente a R3

De�nition 7 Diremos que dos vectores tangentes son iguales, vp = wqsi y sólo si tienen la misma parte vectorial, v = w y el mismo punto deaplicación p = q.

2

Remark 8 Los vectores vp; wq con la misma parte vectorial pero conpuntos de aplicación distintos se llaman paralelos. Es importante recor-dar que vp; wq son vectores tangentes diferentes si p 6= q.

1

5

3 400

1

y

3

1

2z

4

20

2x

3

Vectores paralelos

De�nition 9 Sea p 2 R3, el conjunto Tp (R3) formado por todos losvectores que tienen a p como punto de aplicación se denomina EspacioTangente de R3en p.

Remark 10 Así R3 tiene espacio tangente distinto en todos y cada unode sus puntos. Hay que observar que Tp (R3) es un espacio vectorial conlas operaciones, (v + w)p = vp +wp y (�v)p = �vp. Para la adición valela regla del paralelogramo con origen en p.

3

Regla del paralelogramo

Las operaciones antes citadas en cada espacio tangente Tp (R3) lohacen un espacio vectorial isomorfo a R3, pues la aplicación v �! vpes un isomor�smo de R3 en Tp (R3).

De�nition 11 Un campo vectorial V en R3 es una función que asignaa cada punto p 2 R3 un vector tangente V (p) 2 Tp (R3).

Remark 12 Es posible sumar dos campos vectoriales V y W . En cadapunto p se tiene que V (p) y W (p) están en el mismo espacio tangenteTp (R3) y por ende podemos sumarlos en la forma, (V +W ) (p) = V (p)+W (p). En forma análoga se puede extender la multiplicación por unescalar real.

De�nition 13 Si f es una función de valores reales en R3 y si V es uncampo vectorial en R3 entonces, se de�ne fV como el campo vectorialen R3 tal que (fV ) (p) = f (p)V (p) ,8p 2 R3.

De�nition 14 Sean U1; U2; U3 los campos vectoriales en R3 tales que,U1 (p) = (1; 0; 0)p ; U2 (p) = (0; 1; 0)p ; U3 (p) = (0; 0; 1)p para cada p 2R3. Denominaremos a U1; U2; U3 El campo natural de sistemas dereferencia en R3. Por lo tanto Ui; i = 1; 2; 3 es el campo vectorialunitario en la dirección positiva xi.

0.00.00.0

0.5

y

1.5

0.5

1.0z

0.5

x

2.0

1.01.5

2.01.0

1.5

2.0

Lemma 15 Si V es un campo vectorial en R3hay tres funciones de val-ores reales que se determinan de manera única, v1; v2; v3 en R3 talesque,

V = v1U1 + v2U2 + v3U3

4

Las funciones v1; v2; v3 se llaman coordenadas Euclideanas de V .Proof. Puesto que V es campo vectorial, asigna a cada punto p un vectortangente V (p) en p. De esta forma la parte vectorial de V (p) dependede p, por lo cual la expresamos como (v1 (p) ; v2 (p) ; v3 (p)). Observamosque esto de�ne a v1; v2; v3 como funciones de valores reales en R3. Porlo tanto se tiene,

V (p)= v1 (p) (1; 0; 0)p + v2 (p) (0; 1; 0)p + v3 (p) (0; 0; 1)p

=3Xi=1

vi (p)Ui (p)

Los campos vectoriales V y3Xi=1

viUi asumen los mismos valores en

cada punto. En consecuencia V =3Xi=1

viUi

Notation 16 La identidad de vectores tangentes (a1; a2; a3)p =3Xi=1

aiUi (p)

será de uso frecuente. También3Xi=1

viUi +3Xi=1

wiUi =3Xi=1

(vi + wi)Ui y

la multiplicación por una función f �

3Xi=1

viUi

!=

3Xi=1

f � viUi.

1.5

1.02.01.5

x

0.5

1.5

y1.0

2.0

0.00.0

1.0

0.5

0.5

z

0.0

2.0

Campo Vectorial

5

De�nition 17 Un campo vectorial es diferenciable cuando sus fun-ciones coordenedas Euclídeas lo son. De ahora en más cuando digamoscampo vectorial, entenderemos campo vectorial diferenciable.

3 Derivadas Direccionales

De�nition 18 Sea f : R3 �! R una función diferenciable y vp 2Tp (R3) entonces,

vp [f ] =d

dt(f (p+ tv))

����t=0

se llama la derivada de f con respecto a vp. El vector vp no es necesari-amente unitario.

Example 19 Sea f (x; y; z) = xy + cos (z) ; p = (1; 1; �) y v = (2; 1; 0).Entonces, d

dt(f (p+ tv)) = 3 + 4t y por lo tanto, vp [f ] = 3 .

El siguiente es un resultado conocido para funciones de varias vari-ables.

Lemma 20 Si vp = (v1; v2; v3)p 2 Tp (R3). Entonces,

vp [f ] =3Xi=1

vi@f

@xi(p) = rf (p) � v

Proof. Sea p = (p1; p2; p3) entonces p+tv = (p1 + tv1; p2 + tv2; p3 + tv3)y f (p+ tv) = f (p1 + tv1; p2 + tv2; p3 + tv3) de esta forma,

d

dt(f (p+ tv))=

3Xi=1

@f

@xi(p+ tv)

d

dt(pi + tvi)

=

3Xi=1

@f

@xi(p+ tv) vi

por lo tanto, vp [f ] =3Xi=1

vi@f@xi(p)

Theorem 21 Sean f; g : R3 �! R funciones diferenciables y vp; wp 2Tp (R3) y a; b 2 R entonces,

1) (avp + bwp) [f ] = avp [f ] + bwp [f ]

2) vp [af + bg] = avp [f ] + bvp [g]

6

3) vp [fg] = vp [f ] g (p) + f (p) vp [g]

Proof. Se pueden deducir las tres propiedades usando el Lema ante-rior. Vamos a demostrar la propiedad (3) y las otras dos se dejan comoEjercicio. Si v = (v1; v2; v3) entonces,

vp [fg] =3Xi=1

vi@ (fg)

@xi(p)

=3Xi=1

vi

�@f

@xi(p) g (p) + f (p)

@g

@xi(p)

�

=3Xi=1

�vi@f

@xi(p) g (p) + f (p) vi

@g

@xi(p)

�

=

3Xi=1

vi@f

@xi(p)

!g (p) + f (p)

3Xi=1

vi@g

@xi(p)

!= vp [f ] g (p) + f (p) vp [g]

De�nition 22 Sea V un campo vectorial y sea f una función, de�ni-mos,

V [f ] (p) = V (p) [f ]

es decir la derivada de f con respecto al vector tangente V (p) en p.

Remark 23 En particular si U1; U2; U3 son los campos vectoriales es-tandar del sistema de referencia en R3, se tiene que Ui [f ] = @f

@xi.

Corollary 24 Si V;W son campos vectoriales en R3 y f; g; h : R3 �! Rfunciones diferenciables entonces,

1) (fV + gW ) [h] = fV [h] + gW [h]

2) V [af + bg] = aV [f ] + bV [g]

3) V [fg] =V [f ] g + fV [g]

Proof. Es una consecuencia del teorema anterior, hay que tener cuidadoen la ubicación de los paréntesis. Por ejemplo probemos (3), las otrasdos propiedades quedan cono ejercicio. Por de�nición,

V [fg] (p)=V (p) [fg]

=V (p) [f ] g (p) + f (p)V (p) [g]

=V [f ] (p) g (p) + f (p)V [g] (p)

= (V [f ] g + fV [g]) (p)

7

Notation 25 De ahora en más v; w denotan vectores tangentes (se omiteel punto de aplicación) y p; q puntos en R3.

4 Curvas en R3

De�nition 26 Una curva en R3 es una función diferenciable,

� : I �! R3

de un intervalo abierto I en R3.

Example 27 La recta � : R �! R3, de�nida por

� (t) = p+ tq

pasa por p = � (0) y tiene dirección q.

y

2

2 12z

­6­8

­2

0­2

­4­2 00

4

4

2

10

8

x

6

6

8

4

8

6

Recta

Example 28 Si � : R �! R3, es de�nida por,

� (t) = (a cos t; a sin t; bt)

donde a > 0; b 6= 0. se llama Hélice circular.

8

­2

­0.5

­4

­1.0

­1.0

­0.50.0 0.0z

y

0

x0.5

2

0.51.0

4

1.0

Hélice circular

De�nition 29 Sea � : I �! R3 una curva con � = (�1; �2; �3). Paracada t 2 I, el vector velocidad de � en t, es el vector tangente,

�0 (t) =

�d�1dt(t) ;

d�2dt(t) ;

d�3dt(t)

��(t)

en el punto � (t) 2 R3.

Remark 30 Observamos que el vector velocidad de una curva se expresaen términos de los campos naturales de referencia en la forma,

�0 (t) =3Xi=1

d�idt(t)Ui (� (t))

Example 31 1) En la recta �0 (t) = q�(t) . 2) En la hélice �0 (t) =(�a sin t; a cos t; b)�(t)

De�nition 32 Sean I; J intervalos abiertos en R, � : I �! R3 unacurva y h : J �! I una función diferenciable. Entonces la funcióncompuesta

� = � (h) : J �! R3

es una curva que llama Reparametrización de � por h.

Lemma 33 Si � es la reparametrización de � por h entonces,

�0 (s) =

�dh

ds

�(s)�0 (h (s))

9

Proof. Sea � = (�1; �2; �3), entonces � (s) = � (h (s)) = (�1 (h (s)) ; �2 (h (s)) ; �3 (h (s)))luego por de�nición,

�0 (s)=

�d�1dt(h (s))h0 (s) ;

d�2dt(h (s))h0 (s) ;

d�3dt(h (s))h0 (s)

�=h0 (s)

�d�1dt(h (s)) ;

d�2dt(h (s)) ;

d�3dt(h (s))

�=h0 (s)�0 (h (s))

=

�dh

ds

�(s)�0 (h (s))

Remark 34 Puesto que las velocidades son vestores tangentes, esto es,�0 (t) 2 T�(t) (R3) se puede tomar la derivada de una función con respectoa la velocidad. Tenemos el siguiente,

Lemma 35 Sea � : I �! R3 una curva y f una función diferenciableen R3. Entonces

�0 (t) [f ] =df (�)

dt(t)

Proof. Como �0 (t) =�d�1dt(t) ; d�2

dt(t) ; d�3

dt(t)��(t)

por el Lema (20),

�0 (t) [f ] =3Xi=1

@f@xi(� (t)) d�i

dt(t). Pero f (�) = f (�1; �2; �3) y al aplicar

la regra de la cadena nos da el mismo resultado. Luego �0 (t) [f ] =df(�)dt(t)

Remark 36 Por de�nición �0 (t) [f ] es la rapidez de variación de f alo largo de la recta que pasa por � (t) en la dirección �0 (t). Si �0 (t) 6= 0esta es la recta tangente a � en � (t). El Lema muestra que esta rapidezde variación es lo mismo que lo de f a lo largo de la curva �.

De�nition 37 Diremos que una curva � es Regular si �0 (t) 6= 0;8t 2I. Una curva con esta propiedad no presenta puntas ni esquinas.

Remark 38 Los siguientes comentarios para curvas de R2, se usaránen unidades posteriores, no se demuestran los hechos aquí citados. Sif : R2 �! R es una función diferenciable, de�nimos

C : f = a

es el conjunto de todos los puntos p 2 R2, tales que, f (p) = a. Silas derivadas parciales @f

@xy @f

@yno son simultáneamente cero (nunca)

en ningún punto de C entonces, C consta de una o más componentesseparadas a las que llamaremos curvas.

10

Example 39 C : x2+ y2 = 4 es la circunferencia de radio dos centradaen el origen.

­3 ­2 ­1 1 2 3

­3

­2

­1

1

2

3

x

y

Circunferencia

Example 40 C : x2 � y2 = 1 Hipérbola.

­4 ­2 2 4

­4

­2

2

4

x

y

Hipérbola

Remark 41 Toda curva C es la trayectoria de muchas curvas regulares� que se llaman parametrizaciones de C. Si C es una curva cerradaentonces, tiene una parmetrización periódica � : R �! C por ejemplo,

� (t) = (2 cos t; 2 sin t)

es una parametrización de la circunferencia de radio dos y centrada enel origen. Si C no es una curva cerrada (Arcos) entonces, toda parame-trización � : I �! C es uno a uno.

5 1-Formas

De�nition 42 Una 1-forma � en R3 es una función de valores realesen el conjunto de todos los vectores tangentes a R3, tal que � es linealen cada punto, es decir,

� (av + bw)= a� (v) + b� (w)

8a; b 2R; 8v; w 2 Tp�R3�

11

Remark 43 Para cada vector tangente v a R3, una 1-forma �, de�neun número real � (v) y para cada p 2 R3, la función,

�p : Tp�R3��! R

es lineal. En consecuencia en cada punto p, �p es un elemento del espa-cio dual de Tp (R3). En este sentido el concepto de 1-forma es el dualde los campos vectoriales.

De�nition 44 La suma de las 1-formas � y se de�ne como,

(�+ ) (v) = � (v) + (v) ; 8v 2 Tp�R3�

Si f : R3 �! R y � es una 1-forma entonces, f� es la 1-forma tal que,

(f�) (vp) = f (p)� (vp) ; 8vp 2 Tp�R3�

De�nition 45 Hay una forma de valuar una 1-forma � en un campovectorial V , para obtener una función � (V ) de valores reales,

� (V ) (p) = � (V (p))

Esta es una 1-forma que manda campos vectoriales en funciones de val-ores reales. Si � (V ) es diferenciable siempre que V lo es, decimos que� es diferenciable.

Remark 46 Se puede ver que � (V ) es lineal tanto en � como en V esdecir,

� (fV + gW )= f� (V ) + g� (W )

(f�+ g ) (V )= f� (V ) + g (V )

Donde f; g , funciones, �; son 1-formas y V campo vectorial.

De�nition 47 Si f : R3 �! R es diferenciable, la diferencial df def es la 1-forma tal que,

df (vp) = vp [f ] ; 8vp 2 Tp�R3�

Example 48 Las diferenciales dx1; dx2; dx3 de las funciones coorde-nadas naturales son

dxi (vp) = vp [xi] =Xj

vj@xi@xj

(p) =Xj

vj�ij = vi

Por lo tanto el valor de dxi en un vector tangente vp, es la coordenadai-ésima vi de su parte vectorial y no depende del punto de aplicación.

12

Example 49 Sea = f1dx1+ f2dx2+ f3dx3 es una 1-forma cuyo valoren un vector tangente vp es,

(vp) =�X

fidxi

�(vp) =

Xfi (p) dxi (v) =

Xfi (p) vi

Remark 50 Recordar que,

dxi (Uj) = �ij

Lemma 51 Si � es una 1-forma en R3 entonces, � =X

ifidxi donde

fi = � (Ui). Estas funciones f1; f2; f3 se llaman las funciones coorde-nadas.

Proof. Por de�nición de una 1-forma es una función de vectores tan-gentes, por lo tanto � y

Xifidxi son iguales si y sólo si tienen el

mismo valor en cada vector tangente vp =Xi

viUi (p). Hemos visto

que�X

fidxi

�(vp) =

Xfi (p) vi. Por otra parte

� (vp) = �

Xi

viUi (p)

!=Xi

vi� (Ui (p)) =X

vifi (p)

puesto que, fi = � (Ui). De esta forma � =X

ifidxi

Corollary 52 Si f : R3 �! R es diferenciable entonces,

df =Xi

@f

@xidxi

Proof. Puesto que Xi

@f

@xidxi

!(vp) =

Xi

@f

@xi(p) vi = vp [f ] = df (vp) ; 8vp 2 Tp

�R3�

entonces, df =X

i

@f@xidxi

Remark 53 Se deduce en forma inmediata que, d (f + g) = df + dg

Lemma 54 Si f; g : R3 �! R son diferenciables entonces,

d (fg) = gdf + fdg

13

Proof.

d (fg)=Xi

@ (fg)

@xidxi =

Xi

�g@f

@xi+ f

@g

@xi

�dxi

= gXi

@f

@xidxi + f

Xi

@g

@xidxi = gdf + fdg

Donde se ha usado el corolario anterior.

Lemma 55 Sean f : R3 �! R y h : R �! R diferenciables tal que,h (f) : R3 �! R es diferenciable entonces,

d (h (f)) = h0 (f) df

Proof.

d (h (f))=Xi

@ (h (f))

@xidxi =

Xi

h0 (f)@f

@xidxi

=h0 (f)Xi

@f

@xidxi = h0 (f) df

Example 56 Si f (x; y; z) = x3z2 + sin (xy) entonces su diferencial es

df =3x2dxz2 + x32zdz + y cos (xy) dx+ x cos (xy) dy

=�3x2z2 + y cos (xy)

�dx+ x cos (xy) dy + 2x3zdz

Si p = (p1; p2; p3) y vp = (v1; v2; v3) entonces,

vp [f ] = df (vp) =Xi

@f

@xivi

=�3p21p

23 + p2 cos (p1p2)

�v1 + p1 cos (p1p2) v2 + 2p

31p3v3

6 Mapeos

De�nition 57 Dada una función F : Rn �! Rm denotemos por f1; :::; fmlas funciones en Rn de valores reales tales que,

F (p) = ( f1 (p) ; :::; fm (p)) ; 8p 2 Rn

Estas funciones se llaman coordenadas Euclideanas de F y escribi-mos F = ( f1; :::; fm). La función F es diferenciable siempre que cadafi lo sea. Una función F : Rn �! Rm diferenciable se denominaMapeode Rn en Rm.

14

Remark 58 Observar que fi = xi (F ) donde xi son las funciones coor-denadas.

De�nition 59 Si � : I �! Rn es una curva en Rn y F : Rn �! Rm esun mapeo entonces,

� = F (�) : I �! Rm

es una curva en Rm.

Example 60 Sean F : R2 �! R2 de�nida por F (u; v) = (u2 � v2; 2uv)y � : [0; 2�] �! R2, � (t) = (r cos t; r sin t) entonces,

� (t) = F (� (t)) =�r2 cos 2t; r2 sin 2t

�

­4 ­2 2 4

­4

­2

2

4

x

y

Curvas � y � = F (�)

De�nition 61 Sea F : Rn �! Rm un Mapeo. Si v 2 Tp (Rn) es unvector tangente a Rn en p, sea F� (v) la velocidad inicial de la curva� (t) = F (p+ tv) en Rm. Es decir,

�0 (0) = F� (v) =d

dtF (p+ tv)

����t=0

La función resultante F� que lleva vectores tangentes de Rn a vectorestangentes de Rm se llama Mapa de Derivadas.

Remark 62 La posición inicial en t = 0 de la curva t ! F (p+ tv)es F (p), por lo tanto el punto de aplicación de su velocidad inicial esF (p). Luego F� transforma un vector tangente a Rn en p en un vectortangente a Rm en F (p).

Example 63 Por ejemplo si F (u; v) = (u2 � v2; 2uv) ; p = (p1; p2) yv = (v1; v2) entonces,

�0 (0) = F� (v) =d

dtF (p+ tv)

����t=0

= 2 (p1v1 � p2v2; p2v1 + p1v2)

15

Theorem 64 Sea F : Rn �! Rm un Mapeo, F = ( f1; :::; fm). Siv 2 Tp (Rn) entonces,

F� (v) = (v [ f1] ; :::; v [fm])F (p)

Proof. Sea v 2 Tp (Rn) ; � (t) = F (p+ tv) = ( f1 (p+ tv) ; :::; fm (p+ tv)),por de�nicion �0 (0) = F� (v),

�0 (0)=

�d f1 (p+ tv)

dt

����t=0

; :::;d fm (p+ tv)

dt

����t=0

��(0)

=(v [ f1] ; :::; v [fm])F (p)

Remark 65 Para cada punto p 2 Rn, el mapa de derivadas F� da lugara la función,

F�;p : Tp (Rn) �! TF (p) (Rm)

Llamado el Mapa de Derivadas de F en el punto p.

Corollary 66 Sea F : Rn �! Rm un Mapeo entonces, F�;p es unatransformación lineal.

Remark 67 Al ser F�;p una transformación lineal podemos calcular sumatriz asociada respecto del par de bases naturales (en los respectivos es-pacios), fUi (p)g1�i�n para Tp (Rn) y

�Ui (F (p))

1�i�m para TF (p) (Rm).

Esta Matriz se denomina Matriz Jacobiana de F en p.

Corollary 68 Si F : Rn �! Rm es un Mapeo, F = ( f1; :::; fm) en-tonces,

F� (Uj (p)) =

mXi=1

@fi@xj

(p)Ui (F (p)) ; 1 � j � n

Por lo tanto la matriz Jacobiana de F en p es,

JF (p)=

�@fi@xj

(p)

�

JF (p)=

0@ @f1@x1(p) @f1

@x2(p) ::: @f1

@xn(p)

::: ::: ::: ::@fm@x1

(p) @fm@x2

(p) ::: @fm@xn

(p)

1A

16

Proof. Puesto que Uj (p) [fi] = @fi@xj(p) entonces,

F� (Uj (p))= (Uj (p) [ f1] ; :::; Uj (p) [fm])F (p)

=

�@f1@xj

(p) ; :::;@fm@xj

(p)

�F (p)

=

mXi=1

@fi@xj

(p)Ui (F (p))

Notation 69 Usaremos la siguiente notación:

F� (Uj) =mXi=1

@fi@xj

Ui

Donde Uj y@fi@xj

se evaluan en p y Ui se evalua en F (p).

Example 70 Si F : R2 �! R2 está de�nida por F (u; v) = (u2 � v2; 2uv)entonces,

JF =

�2u�2v2v 2u

�Si p = (p1; p2) entonces,

JF (p) =

�2p1�2p22p2 2p1

�Theorem 71 Sea F : Rn �! Rm un Mapeo. Si � = F (�) es la imagende la curva � : I �! Rn. Entonces,

�0 = F� (�0)

Esto nos dice que F� conserva las velocidades de las curvas.

Proof. Si F = ( f1; :::; fm) entonces, � = F (�) = ( f1 (�) ; :::; fm (�))por lo tanto, las funciones coordenadas de � son �i = fi (�), puesto que�0 es un vector tangente de Rn tenemos,

F� (�0 (t)) = (�0 (t) [ f1] ; :::; �

0 (t) [fm])F (�0(t))

Por otro lado, �0 (t) [ fi] =dfi(�)dt

(t) = d�idt(t) por lo cual,

F� (�0 (t)) =

�d�1dt(t) ; :::;

d�mdt

(t)

�F (�0(t))=�(t)

de esta forma obtenemos:

F� (�0 (t)) = �0 (t)

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De�nition 72 Un Mapeo F : Rn �! Rm es Regular cuando para cadap 2 Rn, F�;p es uno a uno (inyectivo).

Proposition 73 Son equivalentes las siguientes a�rmaciones:

1) F�;p es uno a uno.

2) F� (vp) = 0 , vp = 0

3) La matriz Jacobiana de F en p tiene rango n:

De�nition 74 Si un Mapeo tiene Mapeo inverso se llama Difeomor-�smo.

Remark 75 Un difeomor�smo es una aplicación diferenciable uno auno y sobre. Pero un Mapeo que sea uno a uno y sobre no necesariamentees un difeomor�smo.

Remark 76 Podemos hablar de difeomor�smos que están de�nidos so-bre un conjunto abierto de Rn. Enuncimos el siguiente teorema (sindemostración).

Theorem 77 Teorema de la Funci�on Inversa : Sea F : Rn �! Rmun Mapeo tal que F�;p es uno a uno en p. Entonces existe un conjuntoabierto U � Rn que contiene a p tal que, F jU es un difeomor�smo sobreun conjunto abiero N � Rm.

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