unidad 1
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Unidad 1: funciones límites o continuidad
Funciones: una función es el término usado para indicar la relación o
correspondencia entre 2 o más cantidades. Cuando una variable depende de
otra, decimos que hay una función. La variable que depende de otra se llama
variable dependiente y por lo tanto la otra se llama variable independiente.
Ejm: F(x)= y F(x)= x2-3x+2 F (y)=y2-3y+2
Dominio Rango a partir de una gráfica: Generalmente se
acostumbran hallar el dominio de una función a partir de métodos analíticos, las
cuales aunque preciso sea, pueden llevar impresitas dificultades algebraicas.
El dominio es el siempre el eje de las abscisas (eje de x) y el rango es el
eje de las coordenadas (eje de y) según el sistema de coordenadas (xy).
Tipos de funciones: con el propósito de establecer las bases para efectuar
el proceso de graficación se presenta la mixta de ciertas funciones
especificando en algunos casos sus principales características.
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Los tipos de funciones se clasifican en 2: algebraicas y trascendentes
1. Funciones Algebraicas: se tienen
A. Funciones constantes
B. Función lineal o a fin, polinómica de primer grado
C. Función potencial (cuadrático y cubica)
D. Función valor absoluto
E. Función radical
F. Función racionales
2. Funciones Trascendentes: se tienen
A. Funciones Exponenciales
B. Funciones Logarítmicas
C. Funciones Trigonométricas
D. Funciones Inversas
Límites: (Lim)
Sea F. una función definida de cada número de algún intervalo abierto
que contiene a (a) excepto posiblemente en el número de (a). el límite de F(x)
conforme a x se aproxima a (a) es “L” lo que se escribe como:
F(x)= cualquier función; L= cualquier número; X= variable; ->= tiende; a=
número real
La natación matemática de límite está referida al valor que toma una
función. Cuando su variable tiende a tomar el valor asignado.
Ejm:
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Variable: la variable puede acercarse al valor 1 tomando valores menores
que uno a la izquierda de este, por ejemplo podemos asignar los siguientes
valores.
X 0,1 0,3 0,5 0,8 0,9 0,99 0,999
F(x) 1,11 1,39 1,75 2,56 2,71 2,97 2,999
En este primer ensayo de valores observamos que en la medida X
tiende a 1 (x->1) (se aproximó a 1) F(x) tiende a tomar el valor de 3, esto ocurre
a la izquierda de uno. Consideramos valores de X que se toman a la derecha
de uno.
X 1,999 1,99 1,7 1,5 1,1 1,01 1,001
F(x) 6,98 6,94 5,58 4,75 3,31 3,03 3,03
Podemos observar en la tabla que a la medida tiende X a 1 por la
derecha.
En ambos casos concluimos que el valor que tiene como límite F(x)
cuando X se aproxima a 1 es 3. Simbólicamente se expresa:
Condiciones de Límite Laterales
Dada una función F(x) y calculamos el límite cuando X tiende a F(x), no
considerado exactamente el límite en (a) si no valores de X que se aproximan a
(a+) por la derecha es decir los valores que toma X>a. Expresemos ese límite
de la manera siguiente este límite puede existir o no.
Ejm:
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Caso 1: . En este ejemplo a 4(x>4), lo que nos conduce a
una raíz de índice par con una cantidad su radical menor que cero es decir (4-
x<0) y que las raíces de índice por solo existe 4-x es mayor a cero (4-x>0) por
lo que el límite ->
El límite lateral por la izquierda se expresa de la manera siguiente Lim
cuando x->a- F(x) significa que la x se aproxima a (a-) con valores menores es
decir x<a
Caso 2: considerando el ejemplo anterior tenemos que
este límite existe porque se cumple que para cualquier valor de x<4
con 4-x>o resulta un número real.
Existen 2 tipos de discontinuidad
1. Discontinuidad de primera especie: es cuando los límites laterales (por la
izquierda o por la derecha) por lo que existe 2 sud casos.
A. De tipo salto o esencial: en este caso no existe el límite y
los límites laterales son diferentes
B. De removible o Evitable: es cuando el límite existe
(Cuando no hay salto) y los límites laterales son iguales
2. Discontinuidad de segunda especie: ocurre cuando uno de los límites
laterales es infinito 2da especie -> ∞
Límites de funciones que presentan indeterminación
Tipo 1 Indeterminación de la forma dada F(x) y G (x)
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Se presentan 2 casos
Caso a. Se resuelve factorizando o aplicando productos notables del
numerador o denominador (hacer matemáticamente) y luego simplificar.
Caso b. En caso que aparezca expresiones radicales (raíces) tanto en el
numerador o denominador se debe aplicar la conjugada.
Tipo 2 indeterminaciones de la forma :
Se presenta solo 1 caso, se divide el numerador y el denominador por la mayor
potencia de la x
Tipo 3 indeterminación de la forma 0.∞; ∞.∞; ∞+- ∞
Existen 2 casos
Caso a. Efectuar las operaciones matemáticas, factorizar o hacer factor
común y luego simplificar
Caso b. En caso que aparezca expresiones radicales, aplicar la
conjugada