unid1 ed juan_abreu
DESCRIPTION
Trabajo de Estructuras Discretas... Juan Miguel Abreu RiveroTRANSCRIPT
![Page 1: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/1.jpg)
Juan Abreu 15.776.729
SAIA B
ESTRUCTURA DISCRETA
Tema:Cálculo Proposicional
![Page 2: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/2.jpg)
Proposición:
Es un enunciado cuyo contenido está sujeto a ser calificado como "verdadero“ (v) o "falso“ (f), pero no ambas cosas a la vez.
Toda proposición tiene una y solamente una alternativa: 1: Verdadero (v)0: Falso (f)
![Page 3: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/3.jpg)
Ejemplos: Los siguientes enunciados son proposiciones .
1) Palavecino es un municipio de Nueva Esparta (falso).2)El helio es un gas (verdadero).3)Todo universitario es exitoso (falso).
![Page 4: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/4.jpg)
Los siguientes enunciados no son proposiciones:
¿Qué día es hoy?. ¡Llegue!.
Ojalá que caigan moneditas de oro del cielo.
Las proposiciones se notarán con letras minúsculas p, q, r, s, t,.. entre otras.
![Page 5: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/5.jpg)
El valor lógico de una proposición lo denotaremos por VL, y el valor será 1 si la proposición es verdadera; y 0 si es falsa.
Ejemplos:
p: La Bilogía es una ciencia. VL(p)=1r: El día de las madres es el 17 de Junio.
VL(r)=0
![Page 6: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/6.jpg)
Operaciones Veritativas:
Los Conectivos u Operadores Lógicos son símbolos o conectivos que nos permiten construir otras proposiciones; o simplemente unir dos o más proposiciones, a partir de proposiciones dadas. Se le llama conectivos lógicos a los conectivos: y; o; o…o; si,.. Entonces; sí y sólo si; no ;
Ejemplo: p: La tierra se cultiva ; q: el mango es una fruta.
1)La tierra se cultiva y el mango es una fruta.
2)O la tierra se cultiva o el mango es una fruta.
3)La tierra se cultiva sí y sólo si el mango es una fruta.
![Page 7: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/7.jpg)
NOTA IMPORTANTE: Cuando una proposición no contiene conectivos lógicos diremos que es una proposición atómica o simple; y en el caso contrario, diremos que es una proposición molecular o compuesta.
Proposición atómica o simple:
1) Marte es u
2) El sol es una estrella
proposición molecular o compuesta:
1)Marte es un planeta y el sol es una estrella.
2)O Marte es un planeta o el sol es una estrella.
3)Marte es una estrella sí y sólo si el sol es una estrella.
![Page 8: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/8.jpg)
TABLA SIMBOLICA
![Page 9: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/9.jpg)
La negación
Sea p una proposición, la negación de p es otra proposición identificada por: ~ p, que se lee "no p", "no es cierto que p", "es falso que p", y cuyo valor lógico está dado por la siguiente tabla de verdad.
Ejemplo: p: Barcelona es un estado Oriental.
~ p: Es falso que Barcelona es un estado Oriental.
~ p: No es cierto que Barcelona sea un estado Oriental.
~ p: Barcelona no es un estado Oriental.
![Page 10: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/10.jpg)
LA CONJUNCIÓN
Sean p y q dos proposiciones. La conjunción de p y q es la proposición p ^ q, que se lee "p y q", y cuyo valor lógico está dado con la tabla o igualdad siguiente:
Ejemplo:
p: el negro primero peleo en Carabobo.
q: Bolívar murió en Colombia.
p ^ q: El Negro Primero peleó en Carabobo y Bolívar murió en Colombia.
Además, VL(p ^ q) = 1, ya que VL(p)= 1 y VL(q)= 1.
![Page 11: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/11.jpg)
LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA
Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es la proposición p v q, que se lee "p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla siguiente:
Ejemplo:
p: La estatua de la Simón Bolívar está en Cd. Bolívar
q: La estatua de Miranda está en Caracas.
p v q: La estatua de Simón Bolívar está en Cd. Bolívar o La estatua de Miranda está en Caracas.
VL(pvq)=1, ya que VL(p)=1 y VL(q) = 0.
![Page 12: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/12.jpg)
LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
Sean p y q dos proposiciones. La disyunción exclusiva de p y q es la proposición pvq, que se lee "o p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla.
Ejemplo: p: 17 es un número primo; q: 17 es un número par
p v q: ó 17 es un número primo ó 17 es un número par.
VL(p v q) = 1, ya que VL(p) = 1 y VL(q) = 0.
![Page 13: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/13.jpg)
EL CONDICIONAL
Sean p y q dos proposiciones. El condicional con antecedente p y consecuente q es la proposición p →q, que se lee "si p, entonces q", y cuyo valor lógico está dado por la siguiente tabla:
Ejemplo:
Observe las proposiciones condicionales siguientes:
1. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera).
2. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Falsa).
![Page 14: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/14.jpg)
CONDICIONALES ASOCIADOS
Dado un condicional p→q podemos asociarles los siguientes condicionales:
1. Directo: p →q
2. Recíproco: q →p
3. Contrarrecíproco: ~ q → ~ p
4. Contrario: ~ p → ~ q
![Page 15: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/15.jpg)
Ejemplo
Escribir el recíproco, contrarrecíproco y contrario del siguiente condicional: Si 5 es primo entonces 7 es impar.
Solución
* Recíproco: Si 7 es impar entonces 5 es primo.
* Contrario: Si 5 no es primo entonces 7 no es impar.
* Contrarrecíproco: Si 7 no es impar entonces 5 no es primo.
![Page 16: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/16.jpg)
EL BICONDICIONAL
Sean p y q dos proposiciones. Se llama Bicondicional de p y q a la proposición p↔q, que se lee "p si sólo si q", o "p es condición necesaria y suficiente para q", y cuyo valor lógico es dado por la siguiente tabla.
La tabla nos dice que p↔q es verdadero cuando VL(p) = VL(q), y esa falsa cuando VL(p) ≠VL(q)
Ejemplo: p: 2 + 1 = 3 ; q: 2< 3
p↔q : 2 + 1 = 3 si y sólo si 2< 3
![Page 17: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/17.jpg)
Formas Proposicionales
A las nuevas expresiones que se obtienen al aplicar los conectivos lógicos a las variables proposicionales p, q, r, s, t, entre otros., se les llaman formas proposicionales, por ejemplo: t→ (q ^ ~ r) ~ [(p↔ s)^ (r↔ q)] son formas proposicionales y podemos decir, para ser más preciso que las variables proposicionales también son formas proposicionales.
![Page 18: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/18.jpg)
Tablas de Verdad de las Formas Proposicionales
Las tablas de verdad permiten determinar el valor de verdad de una proposición compuesta y depende de las proposiciones simples y de los operadores que contengan.
Las posibilidades de combinar valores de verdad dependen del número de proposiciones dadas.
Para una proposición (n = 1), tenemos 2 1 = 2 combinaciones
Para dos proposiciones (n = 2), tenemos 2 2 = 4 combinaciones
Para tres proposiciones (n = 3), tenemos 2 3 = 8 combinaciones
Para n proposiciones tenemos 2 n combinaciones
![Page 19: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/19.jpg)
Tautologías y Contradicciones
Proposición Tautológica o Tautología
Es aquella proposición molecular que es verdadera (es decir, todos los valores en su conectivo principal de su tabla de verdad son (1) independientemente de los valores de sus variables.
Ejemplo:
Probar que P v ~ P es una tautología
P v ~P 1 1 0 0 1 1
![Page 20: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/20.jpg)
CONTRADICCIÓN
Es aquella proposición molecular que siempre es falsa (es decir cuando los valores de su conectivo principal son todos 0) independientemente de los valores de sus variables proposicionales que la forman.
Por ejemplo, la proposición molecular del ejemplo siguiente es una contradicción, p ^ ~ p, para chequearlo recurrimos al método de las tablas de verdad.
Ejemplo: Probar que p ^ ~ p es una contradicción
p Ù ~ p1 0 00 0 1
![Page 21: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/21.jpg)
LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Leyes Idempotentes1.1. p ^ p =p 1.2. p v p = p
2.Leyes Asociativas 2.1. (P v q) v r =p v (q v r) 2.2. (P ^ q) ^r = p ^(q ^ r)3. Leyes Conmutativas 3.1. P ^q = q ^p 3.2. P v q = q v p 4. Leyes Distributivas 4.1. P v ( q ^ r ) = ( p v q ) ^ (p v r) 4.2. P ^ ( q v r ) = ( p ^q ) v (p ^ r)5. Leyes de Identidad 5.1. P v F =P 5.2. P ^ F = F5.3. P v V = V 5.4. P ^ V =P
![Page 22: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/22.jpg)
6. Leyes de Complementación
6.1. P v ~ P = V (tercio excluido) 6.2. P ^ ~ P = F (contradicción)6.3. ~ ~ P = P (doble negación) 6.4. ~ V = F, ~ F = V
Otras Equivalencias Notables
a. p→ q = ~ p v q (Ley del condicional)
b. p↔ q = (p→ q) ^ (q→ p) (Ley del bicondicional)
c. p v q = ( p ^ ~ q ) v ( q ^ ~ p ) (Ley de disyunción exclusiva)
d. p→ q = ~ q→ ~ p (Ley del contrarrecíproco)
e. p ^ q = ~ ( ~ p v ~ q )
f. (p v q ) → r ) = ( p → r ) ^ (q → r ) (Ley de demostración por casos)
g. g. (p→ q) = (p ^ ~ q →F) (Ley de reducción al absurdo)
![Page 23: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/23.jpg)
IMPORTANTE
Una de las grandes utilidades de las leyes dadas anteriormente es que nos permiten simplificar proposiciones. El procedimiento de probar que una proposición es equivalente a otra usando las leyes del álgebra proposicional, es llamada prueba deductiva.
![Page 24: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/24.jpg)
Ejemplo
Probar deductivamente la ley de exportación
( p ^ q ) → r ) = ( p → (q → r )
Solución
( p ^ q ) → r = ~ ( p ^ q ) v r ( Ley condicional )
= (~ p v ~ q) v r ( Ley de De Morgan)
= ~ p v (~ q v r ) ( Ley asociativa )
= ~ p v (q → r) ( Ley condicional)
= p → (q → r) ( Ley condicional)
![Page 25: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/25.jpg)
CIRCUITOS LÓGICOS
Los circuitos lógicos o redes de conmutación los podemos identificar con una forma proposicional. Es decir, dada una forma proposicional, podemos asociarle un circuito; o dado un circuito podemos asociarle la forma proposicional correspondiente. Además, usando las leyes del álgebra proposicional podemos simplificar los circuitos en otros más sencillos, pero que cumplen la misma función que el original.
![Page 26: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/26.jpg)
Veamos los siguientes interruptores en conexión:
La conexión en serie: p^q
La conexión en paralelo: p v q
![Page 27: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/27.jpg)
Ejemplo
Construir el circuito correspondiente a la siguiente expresión:
(p ^ q) v [( p ^ r) v ~ s)]
Solución:
![Page 28: Unid1 ed juan_abreu](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062706/557b07fad8b42a79308b552e/html5/thumbnails/28.jpg)
Ejemplo: Simplificar el siguiente circuito:
(p v q)^ (~ p v q)^ (~ p v ~ q)
= [(p v q)^ (~ p v q)] ^ (~ p v ~ q)
= [(p ^ ~ p) v q] ^ (~ p v ~ q)
= [F v q] ^ (~ p v ~ q)
= q ^ (~ p v ~ q)
= ( q ^ ~ p) v (q ^ ~ q)
= ( q ^ ~ p) v F
= ( q ^ ~ p) ; esto es equivalente a: