1

2

Una onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos

movimientos ondulatorios armónicos de igual amplitud y frecuencia que se

propagan en sentidos opuestos a través de un medio. Pero la onda

estacionaria NO ES una onda viajera, puesto que su ecuación no contiene

ningún término de la forma kx-t.

3

Por sencillez, tomaremos como ejemplo para ilustrar la formación de ondas

estacionarias el caso de una onda transversal que se propaga en el sentido de

izquierda a derecha () en una cuerda sujeta por sus extremos; esta onda

incide sobre el extremo derecho y se produce una onda reflejada que se

propaga en el sentido de derecha a izquierda (). La onda reflejada tiene

una diferencia de fase de radianes respecto a la incidente. La superposición

de las dos ondas, incidente y reflejada, da lugar, en ciertas condiciones, a

ondas estacionarias.

4

Ecuación de la onda incidente, sentido (): )cos(1 tkxAy

Cuando la onda viajera se refleja en un extremo, su fase cambia en radianes.

Ecuación de la onda reflejada, sentido (): )cos(2 tkxAy

)cos(sen)sen(cos)cos()cos(2 tkxAtkxAtkxAtkxAy

)cos(1 tkxAy

)cos(2 tkxAy

tkxAtkxA sensencoscos

tkxAtkxA sensencoscos

tkxAtkxAtkxAyyy sensen2)cos()cos(21 tkxAtkxAtkxAyyy sensen2)cos()cos(21

Cada punto de la cuerda vibra con un MAS de amplitud igual a 2A sen kx,

es decir, la amplitud depende de la posición del punto en la cuerda.

Tf

k

22

2

5

Como los puntos extremos de la cuerda

están fijos por hipótesis, la vibración en

ellos tiene que ser nula; es decir, si la

cuerda donde se propagan las ondas tiene

longitud L, en los extremos x = 0 y x = L

han de verificarse en cualquier instante las

condiciones siguientes:

¿Se producen ondas estacionarias en una cuerda

para cualquier par de ondas incidente y reflejada?NO!

00sen20

Ayx

0sen2

kLAyLx

nL

2

2

nL

,...3,2,1n

nkL

La condición L = n/2 quiere decir que aparecen ondas estacionarias sólo en

aquellos casos que cumplan el requisito de que la longitud de la cuerda sea un

múltiplo entero de la semilongitud de onda.

Esto significa que en una cuerda

de longitud L dada, sólo aparecen

ondas estacionarias para ciertas

frecuencias de vibración fn,

aquellas que cumplen la condición

n

n

vf

n

Ln

2

v = velocidad de propagación

6

En una onda estacionaria se distinguen los puntos nodales (o simplemente nodos),

que son aquellos puntos en que la amplitud es nula, es decir, posiciones donde no

hay vibración; los vientres o antinodos de la onda estacionaria, por el contrario, son

los puntos en donde la vibración se produce con la máxima amplitud posible.

La distancia entre dos nodos consecutivos es igual a media longitud de onda.

En efecto, un nodo cualquiera, situado en la posición xm, cumple la condición

0sen mkx mkxm 2

mxm donde m toma todos los valores

sucesivos m = 1, 2,..., n-1

La frecuencia más baja para la que se observan ondas estacionarias en una cuerda de

longitud L es la que corresponde a n = 1. Ésta se denomina frecuencia fundamental,

y cuando la cuerda vibra de este modo no se presentan nodos intermedios entre sus

dos extremos. La siguiente posibilidad, el caso n = 2, se llama segundo armónico, y

presenta un nodo intermedio. A continuación n = 3, tercer armónico, tiene dos nodos

intermedios.

Para el armónico n-ésimo, el número de nodos intermedios entre los extremos es n-1,

y su frecuencia y su longitud de onda son, respectivamente,

n

n

vf

n

Ln

2

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Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda

En una cuerda de densidad lineal (masa por unidad de longitud) sometida

a la tensión T , la velocidad de propagación de una onda viene dada por

Tv

Considerando además la relación entre la velocidad de propagación, la

frecuencia y la longitud de onda, puede demostrarse que las frecuencias para

las que se observarán ondas estacionarias en una cuerda están dadas por:

T

L

nfn

2

¿CÓMO SE MODIFICAN ESTAS VARIABLES EN UNA GUITARRA?

Mayor longitud(cuerda larga)

Menor frecuencia(sonido grave)

Mayor tensiónMayor frecuencia(sonido agudo)

Mayor masa de la cuerda

(grosor)

Menor frecuencia(sonido grave)

EJERCICIO

1.- En una cuerda de 21 cm se forma una onda con 4 nodos:

a) Dibuje la onda formada

b) ¿Cuanto vale su longitud de onda?

c) ¿Qué distancia existe entre nodo y nodo?

EJERCICIOS

1.- Una cuerda que contiene una onda estacionaria tiene una longitud total de 120 cm. Si presenta 5 nodos, ¿a cuánto equivale su longitud de onda?

a) 5 cm b) 12 cm c) 15 cm d) 30 cm e) 60 cm

2.- ¿Cuál de las siguientes longitudes de onda no corresponde a unaonda estacionaria que se genera en una cuerda tensada de 120 cmde longitud?

a) 20 cm b) 24 cm c) 30 cm d) 55 cm e) 60 cm

3.- La figura muestra una onda estacionaria. Si la frecuencia de lafuente que la genera es de 15Hz y la distancia entre nodos es de 60cm. ¿Cuál es la rapidez de propagación en [cm/s] de la onda?

a) 60 b) 120 c) 1800 d) 15 e) 900

4.- En una onda estacionaria la distancia entre nodos es de 1,5[m]. Si la onda vibra con una frecuencia de 15 [Hz] y posee 4nodos. La rapidez de propagación de la onda es:

a) 15 m/s b) 6 m/s c) 60 m/s d) 45 m/s e) 1,5 m/s

5.- Al salir a recreo, tres niños juegan a saltar la cuerda. Dosde los niños hacen girar la cuerda con una frecuencia de 0,4Hz, de tal forma que vista de frente, como se muestra en lafigura, parece una onda estacionaria. ¿Cuál sería la longitud deonda de esta aparente onda estacionaria

a) 2,4 m b) 3 m c) 4,8 m d) 6 m e) 12 m

4.- En una onda estacionaria la distancia entre nodos es de 1,5[m]. Si la onda vibra con una frecuencia de 15 [Hz] y posee 4nodos. La rapidez de propagación de la onda es:

a) 15 m/s b) 6 m/s c) 60 m/s d) 45 m/s e) 1,5 m/s

5.- Al salir a recreo, tres niños juegan a saltar la cuerda. Dosde los niños hacen girar la cuerda con una frecuencia de 0,4Hz, de tal forma que vista de frente, como se muestra en lafigura, parece una onda estacionaria. ¿Cuál sería la longitud deonda de esta aparente onda estacionaria

a) 2,4 m b) 3 m c) 4,8 m d) 6 m e) 12 m

EJERCICIOS

1.- Una cuerda de 60 cm de longitud y 0,45 gr de masa estásometida a una tensión de 15 N

a) ¿Cuál es la densidad lineal de esta cuerda en [gr/cm] y[Kg/m]

b) ¿Cuál es la frecuencia del sonido que está emitiendo,suponiendo que vibre en el primer armónico?

c) ¿Cuál es la frecuencia del sonido que está emitiendo,suponiendo que vibre en el segundo armónico? ¿y a su 5ºarmónico?

2.- Una cuerda de largo 7 m y masa 28 kg está sometida a unatensión de 64 N. Si ésta se pone a vibrar en el sexto armónico.Calcule la rapidez, la frecuencia y la longitud de onda.

3.- Suponiendo que una cuerda de un piano emite una nota do, de512 Hz. Para que esa cuerda emita la nota “do” de la octavasuperior:

a) Al variar solo su longitud, ¿deberá aumentar o disminuir?¿Cuántas veces?

b) Al variar solo la tensión, esta tensión ¿deberá aumentar odisminuir? ¿Cuántas veces?

4.- Una cuerda de 90 cm, fija en ambos extremos, se hace vibrarde modo que la onda estacionaria formada tiene 4 nodos y unafrecuencia de 300 Hz

a) ¿en que modo de vibración se encuentra?

b) ¿Cuál es la longitud de onda en dicho modo de vibración?

c) ¿Qué distancia existe entre nodo y nodo consecutivo? ¿y entrenodo y antinodo consecutivo?

5.- Una cuerda fija en ambos extremos se encuentra en su quintomodo de vibración con una frecuencia de 120 Hz

a) ¿Cuántos nodos y antinodos se producen en dicho modo devibración?

b) ¿Cuál es la frecuencia fundamental de la cuerda?

6.-Una onda estacionaria tiene una longitud total de 40 [m]. Siella tiene 5 nodos. ¿Cuanto vale su longitud de onda

7.- En una onda estacionaria la distancia entre nodos es de 1,5[m]. Si la onda vibra con una frecuencia de 15 [Hz] y posee 4nodos. Determina:

a) la longitud de onda

b) la velocidad de propagación

c) el largo de la cuerda

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