Subconjuntos de un Conjunto

Sabemos que el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto finito A, es el conjunto potencia “ A2 ”, cuya cantidad de subconjuntos esta dada por, n2 , donde “n ” es el número de elementos que pertenecen al conjunto A.

Pero surge la pregunta, ¿Cómo se forma el conjunto potencia del conjunto A, cuando este tiene “n” elementos?

Para tratar de dar respuesta a esta pregunta, supongamos que el conjunto finito, A = {a1, a2,…, an} tiene “n” elementos, para formar el conjunto potencia 2A, asignaremos a cada subconjunto de A una cadena ordenada de “n” números binarios (0 y 1), indicando con el número “1” si el elemento forma parte de uno de los subconjuntos del conjunto potencia y el número “0” si el elemento no forma parte de dichos subconjuntos.

Por ejemplo la n-cadena ordenada de todos los ceros significa que el subconjunto es el conjunto vacío (es el conjunto que no tiene elementos), y la n-cadena ordenada de todos los unos es el mismo conjunto A, recordemos que A⊂φ y A A⊂ .

Es importante destacar que para toda n-cadena ordenada de números binarios, existe un único subconjunto del conjunto A, y viceversa. Por ende el conjunto potencia del conjunto A, tiene tanto elementos como n-cadena ordenada de números binarios podamos formar.

Luego surge una segunda pregunta, ¿Cuántas n-cadenas ordenadas de números binarios se pueden asignar a los subconjuntos que conforman el conjunto potencia del conjunto A?

Para construir las n-cadena de números binarios que asignaremos a cada subconjunto que esta en el conjunto potencia de A, emplearemos el siguiente procedimiento:

Para el primer elemento del conjunto A tenemos dos posibilidades (0 y 1), para el segundo elemento otras dos posibilidades, y así sucesivamente, hasta llegar al n-ésimo elemento de A, el cual tiene 2n posibilidades.

Dicho de otra manera, para el primer elemento de A los números binarios 0 y 1 se alternan de mitad en mitad del total de subconjuntos que es 2n.

Para el segundo elemento, los números binarios se alternan en la mitad de lo que se alternó en el primer elemento, y así sucesivamente hasta llegar al n-ésimo elemento en donde los números binarios se alternan de uno en uno.

El procedimiento anterior, se ilustra en el siguiente ejemplo:

Determine el conjunto potencia del conjunto A = {a,b,c,d,e}, el cual consta de cinco elementos.

El conjunto potencia de A, tiene 25 = 32 subconjuntos, pero para fines didácticos conviene elaborar una tabla, la cual consta de n +1 columnas, en primera fila colocamos los “n” elementos del conjunto A, y a los subconjuntos que formaremos utilizando la n-cadena ordenada de número binarios, dicha tabla consta de 2n +1, filas:

a b c d e Subconjuntos0 0 0 0 0 {}0 0 0 0 1 {e}0 0 0 1 0 {d}0 0 0 1 1 {d,e}0 0 1 0 0 {c}0 0 1 0 1 {c,e}0 0 1 1 0 {c,d}0 0 1 1 1 {c,d,e}0 1 0 0 0 {b}0 1 0 0 1 {b,e}0 1 0 1 0 {b,d}0 1 0 1 1 {b,d,e}0 1 1 0 0 {b,c}0 1 1 0 1 {b,c,e}0 1 1 1 0 {b,c,d}0 1 1 1 1 {b,c,d,e}1 0 0 0 0 {a}1 0 0 0 1 {a,e}1 0 0 1 0 {a,d}1 0 0 1 1 {a,d,e}1 0 1 0 0 {a,c}1 0 1 0 1 {a,c,e}1 0 1 1 0 {a,c,d}1 0 1 1 1 {a,c,d,e}1 1 0 0 0 {a,b}1 1 0 0 1 {a,b,e}1 1 0 1 0 {a,b,d}1 1 0 1 1 {a,b,d,e}1 1 1 0 0 {a,b,c}1 1 1 0 1 {a,b,c,e}1 1 1 1 0 {a,b,c,d}1 1 1 1 1 {a,b,c,d,e}

Elaborado por: Lic. Francisco Hernández M. Revisado por: Dr. Luís Gámez. Catedrático UNICA. Catedrático UNICA. Ing. Guillermo Roblero. Prof. de Electrónica, INTECNA.