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Tlamati Sabiduría Volumen 7 Número Especial 1, Septiembre 2016

3er. Encuentro de Jóvenes en la Investigación de Bachillerato-CONACYT

Acapulco, Guerrero 22-24 de Septiembre 2016

Memorias

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Una experiencia de aprendizaje del significado de los exponentes no naturales

Yesica Janet Guerrero Cirilo (Becaria)

[email protected]

Unidad Académica Preparatoria No. 14, Universidad Autónoma de Guerrero.

Gustavo Martínez Sierra (Asesor)

[email protected]

Unidad Académica de Matemáticas, Universidad Autónoma de Guerrero.

INTRODUCCIÓN

Un experimento de enseñanza consiste en una secuencia de episodios de enseñanza en el

que los participantes son normalmente un investigador-docente, uno o más alumnos y uno o más

investigadores-observadores. La duración del experimento puede ser variable, la característica

principal de un experimento de enseñanza es la ruptura de la diferenciación entre docente e

investigador, motivada por el propósito de los investigadores de experimentar de primera mano el

aprendizaje y razonamiento de los alumnos. (Steffe, & Thompson, 2000)

Durante mi estancia en este verano llevé a cabo varios diseños de experimentos de

enseñanzas los cuales se muestran a continuación:

*El significado de los exponentes no naturales.

*El significado de los números complejos.

*Características de las funciones polinómicas y sus raíces con Geogebra.

*La construcción gráfica de la función seno en Geogebra.

Cabe mencionar que todos los experimentos mencionados anteriormente son producto de

investigaciones en matemática educativa en el nivel medio superior; sin embargo, presentaré

solamente uno de ellos, cuyo tema es: “el significado de los exponentes no naturales”.

mailto:[email protected]

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Memorias del 3er Encuentro de Jóvenes en la Investigación de Bachillerato-CONACYT


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Yo escogí este experimento para la presentación de mi informe porque siento que el

experimento se debe dar a conocer a todos los estudiantes y aunque se enfoca más en aquellos

estudiantes que están a nivel bachillerato aclaro que es de mucha utilidad para cualquier nivel de

estudio, quiero compartir con mis demás compañeros lo útil que resulta ser este experimento para

nuestro aprendizaje, tal vez muchos se crean expertos en el tema de los exponentes y no le tomen

importancia a esto, pero cometen un gran error porque el experimento es bastante útil y nos deja

un conocimiento impresionante ya que nos permite comprender mejor el tema explicándonos la

razón de cada uno de los procedimientos que se llevan a cabo durante las actividades de

potenciación.

En este informe hablaré de mi experiencia al trabajar con este experimento de enseñanza y

sobre mi razonamiento como estudiante de nivel medio superior al realizar y concluir las

actividades. Para mí este experimento de enseñanza fue muy productivo porque las actividades que

contenía eran muy entretenidas e interesantes, fue una experiencia positiva ya que gracias a las

actividades del experimento logré conocer más a fondo sobre el tema de los exponentes y mi forma

de razonar fue progresando cada vez más conforme realizaba las actividades, cuando veía un

problema de potenciación ya no me centraba solamente en resolverlo y ya, sino más bien me

centraba en dar respuestas y justificaciones de mi procedimiento al realizar dicho problema, y esto

me fue ayudando mucho porque una vez que encontraba esas respuestas lograba comprender con

más facilidad las siguientes actividades ya que ya tenía una idea de dónde iba a partir para continuar

con esas actividades.

JUSTIFICACIÓN

Martínez-Sierra (2002) en diversos niveles escolares, pero particularmente en nivel

secundario (alumnos de 12-15 años) y en medio superior (alumnos de 15-18) podemos encontrar

argumentos como los siguientes de los estudiantes al momento de ser cuestionados con igualdades

que involucran a exponentes, en especial a exponentes no naturales:

I) 20 = 0 ya que “el 2 no se multiplica ninguna vez y queda nada”

II) 20 = 2 ya que “el 2 no se multiplica ninguna vez por lo que queda un 2”

III) 2−3 = (−2)(−2)(−2) = −8

IV) 2−4 = −16 ya que “24 = 16 y se le pone un signo”.

V) 232 = 2(

3

2) = 3

Tlamati Sabiduría Volumen 7 Número Especial 1, 2016

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Tales razonamientos tienen la particularidad de que, a pesar de ser coherentes, llevan a

respuestas que no están de acuerdo con lo aceptado dentro del corpus algebraico de conocimientos

matemáticos.

Objetivos

Generales

1.-Que los estudiantes del verano conozcan y experimenten estrategias de enseñanza-

aprendizaje que son producto de la investigación en Matemática Educativa.

2.-Que los estudiantes del verano desarrollen su razonamiento matemático.

Específicos del experimento

1.-Que el estudiante construya de manera aritmético-algebraico la ley de los exponentes para el

producto y a través de un razonamiento parecido al siguiente: si se quiere que 20 ∗ 22 =

20+2 = 22 se debe convenir matemáticamente que 20 = 1 (Antonio y Martínez-Sierra

2005, Martínez- Sierra 2010).

2.-Que el estudiante bajo el mismo producto del razonamiento anterior llegue a convenir

matemáticamente a los exponentes: negativos y fraccionarios.

Metodología

A continuación, se muestran las actividades del experimento como nos fueron entregadas,

lo que se esperaba en cada una de ellas y el resultado que obtuve al trabajarlas de manera individual

o en equipo.

Las actividades comenzaron con un cuestionario individual con el objetivo de conocer los

conocimientos previos que teníamos sobre exponentes como el

valor de: 23, 20, 212. 2−3 entre otras.

Esta actividad la resolví con la idea de que nos estaban

evaluando y la parte que más se me complicó fue donde nos

pedían que justificáramos nuestra respuesta.



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El método que se empleó durante las actividades del tema de potenciación fue el analítico

ya que es el que nos permite analizar cada una de las partes de este tema, es decir; nos permite

desintegrar el tema en cada una de sus partes y estudiar a todas ellas para así poder comprender

con mayor facilidad las actividades posteriores de potenciación. Durante las actividades sólo nos

dejaron utilizar una calculadora sencilla para realizar algunas multiplicaciones como el llenado de

la tabla 2.

La metodología para trabajar con potencias consistió en cuatro etapas, en la que cada una

de ellas tiene su propio objetivo:

Primera etapa: Recordar, Familiarizar y Objetivizar

Actividad 1. El objetivo de estas actividades es recordar y familiarizar el concepto de los

exponentes naturales como multiplicación reiterada y los elementos de la notación exponencial

como lo son el exponente y la base. Esto a través del llenado de una tabla hasta la décima potencia

de dos, clasificada en: exponentes, notación exponencial, valor de la potencia y nombre de la

potencia. Así mismo objetivizará de manera verbal el nombre de las potencias, es decir, hacer de

las potencias objetos. En el siguiente cuadro se presenta la actividad 1.

Empezamos trabajando de manera individual con potencias de base 2, con la intención de

hacernos recordar esas actividades y si en su defecto no recordábamos nada, por lo menos querían

que nos familiarizáramos con esas actividades. Después nos reunimos en equipo para expresar

nuestras opiniones y en equipo empezamos a construir las leyes de los exponentes, fuimos viendo


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el tema cada vez más a fondo para así poder hacer nuestras comparaciones y ver de qué manera

podríamos emplear nuestros resultados en el transcurso de nuestro aprendizaje.

Actividad 2. El objetivo de esta actividad es que el estudiante se percate al realizar

multiplicaciones con potencias de dos, el resultado es otra potencia de dos; aquí también

objetivizará las potencias de manera verbal y observará que hay una cierta regularidad: la ley de

los exponentes para el producto, además que todos son múltiplos de dos (es aquí donde encuentra



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la

manera de resolver aritméticamente y de manera intuitiva algebraicamente la ley). En este cuadro

presentamos a la actividad 2.

Segunda etapa: Construir

Actividad 3. Con esta actividad se les recuerda a los estudiantes que existe una ley delos

exponentes para el producto y que es la que encontró en la actividad anterior tratando de que

reflexione con respecto a la primera etapa. En el siguiente recuadro se muestra la actividad 3.

Actividad 3a, 3b y 3c. Para recalcar y construir la noción de la ley del producto tanto

aritmético como algebraico el estudiante llenará una tabla (Actividad 3a) de multiplicaciones de

potencias de dos, expresadas de manera verbal, es aquí donde esperamos que se dé cuenta de que

al multiplicar las potencias expresadas verbalmente el resultado es la suma de sus órdenes (por

ejemplo la segunda potencia por la tercera potencia es la quinta potencia) y le pediremos que

exprese tanto aritmético como algebraico a ley (Actividad 3b y 3c) . En esta situación consideramos

que el aspecto aritmético consiste por ejemplo, en usar (4) (8)=32, mientras 2² * 2³ = 2⁵ = 32 la

entendemos como un uso algebraico. En este cuadro mostraremos la actividad 3a), 3b) y 3c)


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Tercera etapa: Profundizar

Actividad 4. En esta actividad le mencionamos al estudiante la propiedad que ha encontrado

y las dos maneras en que puede resolverse. En el siguiente cuadro se muestra la actividad 4.

Actividad 5. Con esta actividad se pretende profundizar esta propiedad resolviendovarios

ejercicios, donde esperamos que se dé cuenta que resolviendo de las dos maneras llega al mismo



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resultado (esta es nuestra herramienta para dar cuenta del carácter convencional de 20 ). El

siguiente cuadro muestra la actividad 5.

Cuarta etapa: Confrontar y convenir

Actividad 6. Se le pregunta cuánto vale 2⁰ para determinar cuál es su conocimiento previo

de este objeto matemático, antes de pasar a la siguiente actividad. Por las investigaciones

consultadas sabemos que es muy probable que los estudiantes contestarán 2⁰ = 0 o que 2⁰ = 2, por

el manejo que se le da en los libros y en las aulas escolares a estos objetos matemáticos y por la

influencia del concepto de los exponentes naturales. El siguiente cuadro muestra la actividad 6.

Actividad 7. Estas actividades dependen de la respuesta del estudiante que haya dado en la

actividad anterior, aquí confrontará su conocimiento de 2⁰ con la ley del producto de exponentes

resolviendo de las dos maneras. Si su respuesta es 1. Observará que llega al mismo resultado

resolviendo de las dos maneras y si no tendrá que convenir cuánto tiene que valer 2⁰ para obtener

el mismo resultado (es aquí donde el alumno podría darse cuenta del carácter convencional de

porqué 2⁰ debe ser igual a 1). El siguiente cuadro muestra la actividad 7.


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Actividad 8. Por último, se le pregunta por segunda vez cuánto vale 2⁰ después de haber

analizado la actividad anterior. El siguiente cuadro muestra la pregunta de la actividad 9.

Una vez terminadas estas actividades con el exponente cero, se comenzó a trabajar con

exponentes negativos y posteriormente con exponentes fraccionarios, basándonos en las dos

maneras para calcular el producto de dos potencias de dos para convenir su valor.

Exponentes negativos:



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Exponentes fraccionarios:



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Conclusiones

Cuando me presenté en mi primer día del verano nos dieron una breve explicación de lo

que se hace en Matemática Educativa, y después empezamos a trabajar con el diseño de los

exponentes. Debo admitir que al principio yo esperaba o al menos creía que íbamos a estar haciendo

ejercicios de la manera que siempre lo hacíamos en nuestra unidad académica sin embargo aquí

me llevé con una gran sorpresa porque resulta que en este experimento la metodología era muy

diferente, yo estaba acostumbrada a que siempre antes de una actividad el profesor nos explicara

el procedimiento o al menos nos diera el tema pero ahora no fue de esa manera, simplemente nos

dieron unas actividades y empezamos a resolverlas como le entendíamos, sin embargo esto fue

muy productivo para mí, ya que me ayudó a ver mi forma de razonamiento durante las actividades

y analizar qué era lo que debía de cambiar para mejorar mi forma de aprendizaje, entonces me di

cuenta que era precisamente mi forma de razonamiento lo que debía de cambiar para tener mejores

resultados porque era ahí donde estaba el problema que me impedía resolver las actividad

correctamente, me di cuenta que mi razonamiento era muy simple, común e insuficiente para poder

comprender un problema de potenciación más a fondo y considero mi razonamiento de esa manera

porque siempre durante las actividades no me he interesado en la razón de su procedimiento sino

que simplemente me intereso en resolverla y no preguntar por qué se tiene que realizar de esa

manera y no en otra siempre me conformaba con entenderle a las actividades y con este

experimento pude cambiar un poco mi forma de razonamiento porque durante las actividades me

iba dando cuenta que si yo hubiera conocido un poco más de la parte teórica de las potencias estoy

segura que lo práctico me hubiera resultado más sencillo y lo digo porque en el desarrollo de este

experimento trabajé de esa forma y todo fue más sencillo.

Como mencioné anteriormente yo tenía la idea de resolver problemas como lo hacía en la

escuela, pensaba que nos iban a poner problemas de cálculo o por lo menos temas que veríamos en

el quinto semestre pero con la idea de que nos iban a calificar y la rutina diaria de cómo se trabajaba

en matemáticas, pero en matemática educativa lo que se trata de hacer es ayudar al estudiante

explicándole el porqué de algo, para que de ahí él empiece a analizar el problema y llegar a una

conclusión; es decir, en matemática educativa nos explican por qué 20=1 mientras que en las clases

de matemáticas básicas o complicadas simplemente el profesor nos dice que 20=1 pero no nos da

la razón de porqué tiene que ser de esa manera y es ahí donde muchos estudiantes se confunden y

empiezan a tener problemas porque ellos ya tienen la idea de que cualquier número multiplicado



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por cero da cero, entonces ellos no logran entender y empiezan a relacionar ambas cosas:

multiplicación de dos números con potenciación, la matemática educativa resuelve esos conflictos

del estudiante para apoyarlo a razonar de la manera adecuada. Aunque yo esperaba lo mismo de

siempre me alegra haber intentado algo diferente, porque ahora estoy segura de que puedo entender

mejor los problemas y creo que este experimento es muy productivo para el aprendizaje del

estudiante.

Razonamiento en equipo.

Llegué a la conclusión de que comprendemos mejor las cosas si sabemos la razón de porqué

se hacen de esa manera, que necesitamos estudiar por completo algo para poder manejarlo en su

totalidad. Aprendí que es más fácil resolver cualquier tipo de potencias; es decir, potencias con

exponentes naturales, negativos, fraccionarios entre otros, siempre; si conozco las leyes de los

exponentes y sé por qué esas leyes tienen que ser de esa manera y no de otra, esto último es muy

importante porque gracias al experimento yo pude darme cuenta que una vez establecida cierta ley

siempre tiene que dar resultado para actividades de ese tipo ya que si establecemos otra ley

alteraríamos todo el resultado.

Experimenté estrategias de enseñanza-aprendizaje que eran producto de la investigación en

Matemática Educativa.

Logré construir la ley de los exponentes para el producto. Siento que logré todos los

objetivos, tal vez no de la manera en que se lo esperaba, pero para mí ya es un gran avance ya que

llevo un nuevo conocimiento del cual mis compañeros no tienen ni idea o no se interesan por ello,

pero no saben que es muy útil para el transcurso de su estudio.

En fin, concluyo que este experimento de enseñanza se debe de compartir con los

estudiantes porque, así como me ha ayudado mucho a mí para mejorar mi forma de razonamiento


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en el aprendizaje de las matemáticas puede ayudar mucho más a los demás, es un experimento muy

eficiente y de gran ayuda para los estudiantes.

Referencias bibliográficas

Antonio, R. y Martínez-Sierra, G. (2005). Una alternativa para la construcción aritmética-

algebraica de las convenciones matemáticas presentes en los exponentes. En J. Lezama, M.

Sánchez y G. Molina (Eds). Acta latinoamericana de Matemática Educativa 18(pp.445-450).

México: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A.C. ISBN:9/0-99/1-00-X.

Martínez-Sierra (2002). Explicación Sistémica de Fenómenos Didácticos ligados a las

Convenciones Matemáticas. Revista Latinoamericana de Matemática Educativa, 5(1), 45-78.

Martínez-Sierra, G. (2010). Los estudios sobre los procesos de convención matemática: una síntesis

metódica sobre la naturaleza de sus resultados. Revista Latinoaericana de Investigación en

Matemática Educativa, 13 (4), 269-282.

Steffe, L. P., & Thompson, P. W. (2000). Teaching experiment methodology: Underlying

principles and essential elements. In R. Lesh & A. E. Kelly (Eds.), Research design in mathematics

and science education (pp. 267-307). Hillsdale, NJ: Erlbaum

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