Una corrección de la ecuación a = v²/r

(y una refutación de los lemas de

Newton VI, VII, y VIII)

Por Miles Mathis

Menu 1. Introducción 2. La derivación de Newton 3. La solución actual 4. La variante de Feynman 5. Mi solución 6. Implicaciones

Introducción. La mayoría asume que las correcciones de Einstein a las ecuaciones de la gravedad de Newton completaron el necesario análisis del problema. Einstein afinó unas matemáticas que tuvieron muchísimo éxito, y ya no queda casi nada por hacer. Ese es el juicio actual. Por supuesto, continúa el trabajo sobre el mecanismo de la gravedad, pues todavía se desconoce por completo. Pero las matemáticas de la gravedad se consideran terminadas. Nadie trabaja en el campo de las ecuaciones de la Relatividad General porque se asume que son correctas. Este artículo mostrará que esa presunción no se puede mantener. He descubierto un error básico en las matemáticas de una de las ecuaciones fundamentales de Newton, La ecuación, y la derivación que llevó a Newton a ella, no se ha discutido en siglos. La ecuación se usa hoy en muchas teorías esotéricas, incluyendo la derivación el radio de Schwarzchild, la intensidad predicha de una onda gravitatoria, y demás. Se importa en esas derivaciones como un hecho conocido. Más aún, la ecuación se usa en la Relatividad General. Es una de las premisas básicas de varias partes de varios tensores. Mostraré que todos esas derivaciones y cálculos se ven fatalmente comprometidos por ella. La ecuación es a = v²/r. Todos aprendimos esta ecuación en el instituto, respecto al movimiento circular uniforme. Enuncia la relación entre una velocidad orbital y la aceleración centrípeta. La razón por la que la ecuación se usa tan a menudo en la física contemporánea es que también se asume que describe la relación, es su forma más simple, entre un cuerpo que orbita y la fuerza de la gravedad sentida por ese cuerpo. Es física básica, y apuesto a que nadie la ha analizado desde hace mucho tiempo. Desde luego, nadie ha tenido la perspicuidad, o las agallas, de cuestionarla en una clase de física de instituto. Para cuando un estudiante de física llega a la facultad, esas ecuaciones ya no son interesantes—son juguetes que ya se han quedado pequeños—y se usan cuando se necesitan, pero nunca se examinan de cerca. Los problemas que brotan como setas en varios campos me han llevado a examinar esta ecuación. No entraré en teoría en este artículo: baste decir que los conceptos

fundamentales de la gravedad me parecieron un poco atenuados en algunas zonas. Lo que era necesario, en mi opinión, no era más matemáticas esotéricas—como en la búsqueda de teorías de supercuerdas y cosas por el estilo—sino más bien un análisis detallado de las teorías y los conceptos en los que se apoyan las matemáticas gravitatorias, y especialmente el álgebra simple que subyace a la mayoría de las matemáticas avanzadas. Al hacer esto, he descubierto muchos errores que sólo podrían catalogarse como extraordinarios, creo. Este artículo trata sobre uno de ellos.

La derivación de Newton. Newton usó la ecuación a = v²/r para atar su famosa ecuación de la gravitación universal a la Tercera Ley de Kepler. Esto es, F = Gm1m2/r² se transforma en t²/r³ = 4π²/Gm2 simplemente asumiendo a = v²/r La derivación completa está en todos los libros de texto y no la repetiré aquí. Sólo la menciono para mostrar que a = v²/r ha sido una ecuación fundamental desde el principio. Newton mismo la trató casi como un axioma. "Demostró" la ecuación en una parte muy temprana de sus Principia (Sección 2, Proposición 4). Digo que "demostró" porque la ecuación se introduce realmente como un corolario, con sólo un boceto de una

demostración. El Corolario 1 no es más que una frase incrustada en un teorema. Este es el corolario 1, al completo: "Por lo tanto, como esos arcos son las velocidades de los cuerpos, las fuerzas centrípetas están en una proporción compuesta de una parte duplicada de las velocidades directamente, y de una parte simple del radio inversamente". En español actual, sería: "Como el arco describe la velocidad, la aceleración es el cuadrado de la velocidad partido por el radio". Newton podría contestar que su frase no contiene una implicación de igualdad exacta. Simplemente dijo que la fuerza era proporcional al inverso del radio. Por lo tanto, si la igualdad no es exacta, nunca existió el error. De hecho, en el párrafo anterior, ya dijo, "Esas fuerzas tienden a los centros de los círculos y son una a la otra como los versenos de los arcos menores descritos en tiempos iguales; es decir, como los cuadrados de los mismos arcos aplicados a los diámetros de los círculos." Leo esto para que se entienda que, de acuerdo con la geometría aplicada al problema, son los diámetros los que entran en la proporción, en primer lugar. Newton pasa de diámetros a radios diciendo simplemente, "como los diámetros son como los radios." Para mí, esto demuestra más allá de toda duda que está hablando en esta sección de relaciones proporcionales, no de igualdades. Tanto el radio como el diámetro son igualmente proporcionales, dado que la proporcionalidad no tiene en cuenta las magnitudes de primer orden. Si eres proporcional a 2x, eres proporcional a x.

La derivación actual de la ecuación nunca menciona el método de Newton que usaba el verseno, se supone que porque el conocimiento de los versenos ya no es común. Os puede ser que el método no se mencione porque es muy difícil asimilarlo. Mostraré que se acerca mucho más a la resolución del problema que la derivación actual. Esto no debería ser una sorpresa muy grande, considerando al autor.

Sin embargo, al apoyarse en los hombros de Newton, la ciencia moderna debería haber visto más lejos finalmente, o eso debería esperarse, dados los 300 años que ha tenido para perfeccionar su trabajo. En lugar de eso, parece que esos años sólo han servido para volverse miope, reemplazando una derivación con ligeras imperfecciones por una que es una vergüenza matemática. Como demuestro más abajo que la derivación actual fracasa estrepitosamente, creo que debo analizar también la derivación original de Newton, para mostrar que la ciencia, en última instancia, no ha caído en la ignominia de reemplazar una derivación correcta por una incorrecta. Tanto la de Newton como la actual tienen errores fundamentales al analizar el movimiento circular. Newton propone un cuerpo que se mueve desde A a B, se le aplica una fuerza que lo hace girar, y continúa hasta C. Tenía una velocidad constante para empezar, por lo tanto AB = Bc = BC. Newton postula que c es donde el cuerpo habría llegado sin la fuerza aplicada. Busca el tamaño y la dirección de la fuerza que gira al cuerpo de c a C. Asume que d es el vector de aceleración causado por esa fuerza, puesto que es la diferencia de las dos velocidades. En trigonometría, el verseno es simplemente la sección externa del radio, cuando el radio se ha cortado por una recta que viene del lado lejano del arco. Newton nunca dibuja esta recta en sus diagramas de los Principia, lo que resulta interesante. A Newton le gustaba ocultar sus matemáticas, por la razón que sea. Se asume que la razón era mantener a los competidores haciendo suposiciones, pero en este caso me parece que se trata de algo de ofuscación. Esconder buenas matemáticas puede ser un juego astuto de intriga y misterio para algunos, pero esconder malas matemáticas siempre es algo más pobre. Lo que Newton está escondiendo aquí podría estar más claro en el siglo XVII, pero ahora es muy arcano. El verseno tiende a cero muy rápido para ángulos muy pequeños, de modo que podría enfrentarse a la ecuación de la que se llama sagita o flecha: verseno = h²/2r donde h = rθ Newton propone que, en el límite, h = el arco. Y, dado que el verseno es proporcional a la fuerza centrípeta, la aceleración debe ser proporcional al arco²/2r. Más aún, dice, el arco es igual a la velocidad, así que a es proporcional a v²/2r. Pero, el verseno es sólo la mitad de la fuerza, dice [ver Proposición I, Corolario IV], así que la aceleración completa se convierte en a = v²/r. Puedes ver que la ecuación de la flecha es la clave para entender la derivación de Newton. Newton no revela nada de esto en los Principia, pero es la única manera de comprender sus comentarios sobre el verseno. Esa es la matemática oculta por Newton, tal cual. Está refinada de distintas maneras, una de las cuales es el uso del Lema VII. En el Lema VII, Newton afirma que en el límite (cuando el intervalo entre dos puntos tiende a cero), el arco, la cuerda y la tangente son todas iguales. Pero si esto es cierto, entonces tanto la diagonal como el verseno deben ser

cero. De acuerdo con el Lema VII, todo tiende a cero o a la igualdad en el límite, lo que no es muy útil para calcular una solución. Ni la ecuación del verseno ni el teorema de Pitágoras se aplican cuando vamos al límite por la definición de Newton. Mostraré más abajo, con un análisis muy simple, que a la tangente se le debe permitir ser mayor que la cuerda en el límite; solo entonces se puede resolver el problema sin contradicción. Antes de que haga eso, es interesante hacer notar que Newton casi consigue la respuesta correcta, a pesar de algunos lemas defectuosos. El verseno nos dará la respuesta correcta, siempre que analicemos el intervalo correcto. El verseno se hace igual a a sólo si consideramos la longitud del arco de A hasta b. Newton estaba considerando la longitud del arco desde A hasta C. Debemos soltar la perpendicular desde b en lugar de C, para conseguir el verseno correcto. Si hacemos esto, de hecho encontramos que verseno = a en el límite. Una vez que hemos encontrado a de este modo, no hay necesidad de doblarlo, puesto que al hallar el verseno usamos el ángulo θ y la longitud del arco de A hasta b. Ese debe ser por tanto nuestro intervalo. Podrías decir que la única diferencia del método de Newton y mi corrección es que el halla la fuerza durante el intervalo de A hasta C, mientras que yo encuentro la fuerza desde A hasta b. Su fuerza es dos veces la mía, y su arco es dos veces el mío, por lo tanto todo debería quedar igual. Pero no es tan sencillo. Lo que hallamos mediante el método de Newton una vez que descubrimos d, es la fuerza necesaria para mover al cuerpo desde c a C a lo largo del intervalo de B a C. Estoy de acuerdo en que esta fuerza es: d = 2a = v²/r Newton luego extiende esa fuerza durante el intervalo de A a C, y tenemos nuestra ecuación actual. Obviamente, la fuerza para llevar el cuerpo de A a C es el doble de la fuerza que hace falta para llevarka de A a b. Si admito que a =v²/2r entonces debo aceptar que d = v²/r. Admito eso. Pero todavía hay un gran problema. Newton se ha ido al límite para hallar d. Yo he ido al límite para hallar a. Se supone que ambos deberíamos estar en la proporcion definitiva. He mostrado que, sin embargo, lo que él encuentra es la solución a lo largo de no uno sino dos intervalos. Él empieza la Proposición I con esto: "Pues supongamos el tiempo dividido en partes iguales, y en la primera parte de ese tiempo, dejemos al cuerpo por su fuerza innata describir la línea recta AB. En la segunda parte de ese tiempo, el mismo procederá directamente hasta c, a lo largo de la línea Bc igual a AB." Así que ha postulado dos intervalos de tiempo. No puedes postular dos intervalos de tiempo y luego postular que estás en el intervalo definitivo. El intervalo definitivo es el último intervalo de la serie. No se puede dividir más, por una variable temporal ni por otra cosa. Por lo tanto d = v²/r debe aplicarse a dos intervalos de tiempo. Es la fuerza que se requiere para mover al cuerpo dos veces la distancia del arco definitivo, por el propio razonamiento de Newton.

A lo mejor ya puedes ver que es mucho más lógico simplemente que sea Ab el intervalo definitivo, de modo que el arco Ab esté compuesto de los vectores AB y Bb. Entonces podemos resolver a usando tanto un verseno como el teorema de Pitágoras—que es lo que hago más abajo. En ambos casos hallamos que en el intervalo definitivo, a=v²/2r. Quiero remarcar una cosa antes de que sigamos. He citado a Newton arriba diciendo que el arco era la velocidad, como se derivaba de su método y de sus ecuaciones (que persisten hoy día). Esto quiere decir que la variable v en todas las ecuaciones finales se debe entender que representa la velocidad orbital. No es la velocidad tangencial. La velocidad tangencial se representa con un vector en línea recta a lo largo de la tangente. Eso significa que se mueve en esa dirección. Eso es lo que el vector representa. La velocidad tangencial no se curva, y no sigue la curva del arco. En el diagrama de arriba, la velocidad tangencial sobre el primer intervalo es AB y la velocidad orbital es Ab. Newton nos da la velocidad tangencial para empezar cuando nos da AB; después buscamos la velocidad orbital. La velocidad que sigue la curva del arco es la velocidad orbital, y es la variable de velocidad en la ecuación final de Newton a = v²/r. Históricamente, los físicos no han mantenido estas dos variables de velocidad separadas, pero debes aprender a hacerlo a medida que sigas los argumentos y los diagramas de este artículo. Las dos velocidades se han mezclado, y cuando vamos a ecuaciones modernas como v = rω, hay confusión acerca de qué v estamos tratando. Los libros de texto contemporáneos nos dicen que la v de esa ecuación es velocidad tangencial, pero no lo es. Es velocidad orbital. Analizando más el problema, demostraré que el arco no describe la velocidad—ni ninguna velocidad real—y que necesitamos una ecuación más para expresar a en términos de la velocidad tangencial. La velocidad tangencial y la velocidad orbital no son la misma cosa—aunque por el Lema VII de Newton se hayan tomado por la misma cosa a lo largo de la historia. La velocidad tangencial es la tangente y la orbital es el arco. El Lema VII dice que tienen la misma longitud en el límite. Demostraré que esto es falso. Más allá de eso, te pediré que consideres el hecho elemental de que un arco es una curva. Una curva no puede describir una velocidad, puesto que por definición la velocidad no puede curvarse. Una curva describe una aceleración, como todos sabemos. La velocidad orbital es una velocidad sólo durante el intervalo definitivo—donde se vuelve recta. Pero incluso ahí, no es la misma que la velocidad tangencial, como demostraré. También puede merecer la pena señalar que la ecuación lineal básica para la aceleración es v² = v0² + 2ar. Está en el capítulo primero de la mayoría de los libros de física. Me llevó varios años después de escribir este artículo recordar que se reduce a: v² = 2ar v² /2r = a Increíble, realmente, que nadie haya pensado en conectar esas dos ecuaciones.

La solución actual Newton nos proporcionó una demostración matemática que era a la vez escueta y densa, pero los libros de texto actuales nos ofrecen una derivación ligeramente más explícita. Lo que he copiado aquí es la derivación estándar de a = v²/r. He cogido los pasos de abajo de un libro de texto de facultad reciente. Esta es la derivación aceptada de a = v²/r : Sea v0 la velocidad tangencial inicial, como se muestra en la primera ilustración. Dado que v0 y v son ambas perpendiculares a r, los dos ángulos θ deben ser iguales; por lo tanto los triángulos mostrados son semejantes; por lo tanto a medida que t→0, Δv / v = Δl / r Δv = vΔl / r a = lim Δv / Δt t→0 = lim vΔl / rΔt t→0 Y como la velocidad, v, del objeto es lim Δl / Δt t→0 entonces: a = v²/r El libro dice, "Cuando Δt es muy pequeño, Δl y los ángulos son también muy pequeños, así que v será casi paralela a v0, y Δv será esencialmente perpendicular a ellos. Por lo tanto Δv apunta hacia el centro del círculo."

Los errores que hay aquí son muchos. Sin tener en cuenta la disposición conceptual y el cálculo por un momento, déjame atacar el problema más importante primero. En esta derivación el libro de texto asume que la variable v de la última ecuación es la misma que la v de la primera. Pero no lo es. En la primera línea de la derivación, la variable v representa la velocidad tangencial. Cuatro líneas más tarde se nos dice que: "la velocidad del objeto, v, es lim Δl / Δt " t→0 ¡Pero esa es la velocidad orbital! La variable v ha sido intercambiada. Puedes ver que v en su primer diagrama no es lim Δl/Δt, pues es la velocidad curvada de A a B: v es sólo una componente de esa velocidad; ¡v es una linea recta! Pero el libro sustituye una por la otra. Es decir, vΔl/rΔt se transforma mágicamente en v²/r. Pero si v ≠ lim Δl / Δt t→0 Entonces la sustitución debe fallar. Si falla, la derivación falla con ella. Un análisis más profundo de la situación nos muestra que v es la velocidad tangencial, Δl/Δt es la velocidad orbital, y que nunca serán iguales—en ningún intervalo, ni siquiera un intervalo infinitésimo. El libro necesita subíndices para diferenciar las dos, por ejemplo vt y vorb vorb = Δl/Δt pero vt ≠ Δl/Δt Así que la ecuación a = v²/r debería leerse a = vtvorb/r, si el libro está siguiendo su propio método en profundidad. v²/r ≠ vtvorb/r Finalmente está poco claro si v en la ecuación actual se aplica a la velocidad orbital o tangencial, dado que la derivación hace ambas suposiciones. Para aquellos que ya se sientan confusos, dejadme decirlo de un modo ligeramente diferente. Esta derivación moderna es un acto de prestidigitación. Como un mago renegado, desvelaré la magia para tí. Vuelve a la ilustración y date cuenta de que han etiquetado las dos velocidades tangenciales como v0 y v. ¿Por qué? Los dos vectores son velocidades tangenciales, sólo que están en posiciones diferentes. Pero es en la longitud o los valores numéricos de los vectores en lo que estamos interesados, no en sus posiciones. Los valores numéricos son los mismos, así que los vectores deberían etiquetarse del mismo modo. En valores, v0 = v, así que etiquetarlos de forma diferente es sólo un truco. Es este truco el que les permite aquí a los magos forzarte de v0 a v, y completar así esta demostración fraudulenta. Mira de nuevo a la ecuación: Δv / v = Δl / r Pregúntate, ¿No debería ser así?

Δv / v0 = Δl / r Ahí es donde se ha hecho el intercambio. Ahí es donde la mano es más rápida que el ojo. Como puedes ver, v0 se ha cambiado por v, de modo que el arco se define también como v, y los dos se ven iguales en esa página. Luego los magos pueden sustituir uno por el otro, y conseguir el resultado deseado. Sorprendente, en realidad, encontrar una trampa tan burda en matemáticas y físicas fundacionales. Pero hay más problemas aún. Date cuenta de que los magos se permiten hacer sustituciones en una ecuación de un límite. Estoy hablando de la ecuación: a = lim Δv / Δt t→0 Sustituyen Δv por v Δl / r ahí. Pero no puedes hacer eso, porque esas variables están capturadas por el signo del límite. Esa ecuación se lee: "El límite del cambio de v dividido por el cambio de t cuando t tiende a cero" No es lo mismo que simplemente el cambio de v dividido por el cambio de t. No se permite la sustitución. Después de la sustitución, tienes el límite de Δl donde antes tenías el límite de Δv. Para hacer la sustitución, tienes que asumir que las dos variables delta se acercan al límite de la misma forma, pero no puedes asumir eso. La razón concreta por la que no puedes asumirlo aquí es que las dos deltas no son equivalentes. Δl , como Δt, es un intervalo simple. Pero Δv es un cambio en la velocidad, que no es un intervalo simple. Un cambio en la velocidad ya es una aceleración, por definición, lo que significa que no es el mismo tipo de variable que Δl. En cálculo, tienes que derivar longitudes y velocidades y aceleraciones, normalmente con variables prima, pero aquí no tenemos nada de eso. Una aceleración parece una longitud aquí, sin diferencias en la notación. Y los problemas continúan. La parte (b) de la ilustración al completo es falsa. Δv ≠ v - v0, porque estas matemáticas se refieren a los valores, como ya dije. El valor numérico de v es el mismo que el valor numérico de v0, así que Δv aquí sólo puede ser cero. Un cuerpo en órbita no cambia el valor numérico de su velocidad. Tiene una velocidad constante. La diferencia entre v y v0 sólo un ángulo. Así que a resolver de este modo sólo puede llamársele perverso. Ni siquiera Newton intentó restar una tangente de la otra. Mira de nuevo su derivación. Analiza longitudes y velocidades y aceleración en el mismo intervalo, no en intervalos seguidos. El vector v no debería ser parte de este análisis, y usarlo para fabricar una demostración aquí es sólo matemáticas extravagantemente malas.

La variante de Feynman Algunos dirán que simplemente he cogido un mal ejemplo de la demostración de un mal libro de texto. Para responder a esto, proporcionaré una demostración completamente diferente de un libro completamente diferente. Criticaré una demostración de Richard Feynman. Se nos dice que Feynman es famoso por explicar problemas difíciles de forma clara y concisa. Tomaré la demostración de Six Not-so-easy Pieces. Feynman modifica un poco el problema por buenas razones. Eso no sacará de nuestro camino, quizás. Postula una velocidad a lo largo de una curva, no necesariamente un círculo. Como puedes ver en sus diagramas, la velocidad tangencial varía y eso nos da dos componentes de aceleración. [En el primer diagrama, puedes ignorar los pequeños vectores r y el origen o: no influyen en el problema. Y Feynman ha dibujado el vector de Δv en el lugar equivocado a propósito. No le voy a llamar la atención por eso. Lo "corrige" en el segundo diagrama. Le voy a llamar a la atención por esa corrección.] Dice, "La aceleración tangente al camino es por supuesto simplemente el cambio en la longitud del vector." Estoy de acuerdo. Pero señalo que en un movimiento circular uniforme esta componente de la aceleración siempre será cero, porque la longitud del vector no varía. Luego Feynman calcula la otra componente, la aceleración a ángulos rectos de la curva. Puedes ver la descomposición en su segunda ilustración. Esta ilustración aclara algunos de los puntos que quedaron difusos en la ilustración del libro de texto. Puedes ver, en primer lugar, que el ángulo recto formado por Δv┴ es donde intersecta a v2, no a v1. Luego dice que Δv┴ = vΔθ, donde "v es la magnitud de la velocidad." No especifica qué velocidad, pero está claro que se refiere a v1 porque es la hipotenusa. Esa es la única forma en que le ecuación parece funcionar, de un vistazo. Pero ya tenemos problemas serios.

Δv┴ = vθ es una ecuación falsa. Espero que puedas ver que debería ser Δv┴ = v·senθ Hay más. Digamos que la aceleración tangencial resulta ser cero a lo largo de este intervalo de la curva. Volveríamos entonces al movimiento circular. Mantenemos el segundo diagrama de Feynman pero perdemos Δv║. Pero puedes ver que eso hace que sea v2 más corto que v1. El triángulo de Feynman debe ser un triangulo rectángulo para que su última ecuación funcione. Pero las longitudes no cuadran. v2 - Δv║ ≠ v1 . Eso significa que para calcular una aceleración perpendicular, debe tener una aceleración paralela negativa. Imposible lógicamente. Feynman se mete en más problemas aún. El el siguiente paso el hace que sea a┴ = v┴/Δt. Eso debería ser a┴ = v·senθ┴/Δt. Pero para conseguir Δθ/Δt, dice, si "en cualquierm instante la curva se aproxima por un círculo de radio r, entonces en un tiempo Δt, la distancia s es por supuesto vΔt donde v es la velocidad." Eso nos daría: Δθ = vΔt/r Δθ/Δt = v/r a┴ = v2/r Espero que puedas ver que cometió exactamente el mismo "error" que cometió en ese paso en el libro de texto. Debes volver a su primera ilustración para encontrar s. Una vez que la encuentres ves que s se curva: s es una distancia a lo largo de un arco. Él dice que: s = vΔt Pero eso sencillamente no es cierto. Ya ha definido v commo la magnitud de v1. Por lo tanto vΔt describe una longitud en línea recta a lo largo de ese primer vector v1—no una longitud a lo largo de la curva. Ha confundido la velocidad tangencial con la velocidad orbital. Sus variables se han intercambiado del mismo modo que se hizo en el libro de texto. Y tampoco nos dice qué representa v en la ecuación final. Un lector no puede saberlo, porque la ha definido de las dos formas. Más aún, ha ocultado arriba un paso previo a Δθ = vΔt/r . Necesita una ecuación para la longitud de arco s, que sería: Δθ/2π = s/2πr Δθ = s/r Date cuenta de que no es lo mismo que senθ = s/r, por lo que la sustitución falla. Recuerda que teníamos arriba Δv┴ = v·senθ. Puedes ver por qué Feynman omitió ese paso. No quería que sufriera ningún escrutinio. Además, la ecuación Δθ = s/r sólo funciona si se mide en radianes. Pero Feynman no puede medir el ángulo en radianes y esperar encontrar una solución de este modo. Quiere una velocidad medida en m/s no en rad/s. Fíjate también en la extraña notación para el ángulo. un ángulo se representa simplemente por una variable, no por una variable delta. Es decir, θ en vez de Δθ. Un

ángulo ya se entiende como un cambio en la dirección: la delta es superflua. Pero en estas derivaciones, tanto Feynman como el libro de texto usan la notación delta. ¿Por qué? Para que la derivación parezca funcionar. Para engañar al ojo. Trompe-l'œil. Esa delta hace que la variable parezca más de lo que es. Como una mistificación. La vez por primera vez y te dices, "¿Qué siginifica?¿Δθ?¿Significa algo más que θ?No lo sé, pero quizás Feynman lo sabe. Esta demostración tiene que funcionar, porque ya sé que a = v²/r, así que es mejor hacer como que entiendo lo que está pasando." El problema, como ves ahora, es que nadie sabe lo que está pasando aquí. La demostración es una tapadera. Y finalmente, ten en cuenta que Feynman simplemete ha hecho una copia de la ridícula ilustración del libro de texto. Específicamente, dibuja pegado v2 al lado final del arco. Nos avisa con una facilidad sospechosa de que la suma de vectores funciona "sólo cuando las colas de los vectores están en el mismo lugar" así que mueve la cola de v2 hacia la de v1. Lo que se olvida de avisarnos es que esa suma de vectores funciona solo cuando los vectores están en el mismo invervalo. Importar un vector así como así de un intervalo posterior sólo porque lo necesitas para manipular una ecuación no es mejor que dibujar vectores sin cola o con tres cabezas. La demostración de Feynman falla. Falla en al menos tres sitios en una derivación de media página. No estoy seguro de qué pensar de esto, francamente. Sinceramente, no sé si él y todos los demás son incapaces de seguir sencillos pasos de geometría de instituto o si hay una conspiración para ocultar estos errores. Resulta increíble que las mejores mentes del siglo XX no pudieran ver estos errores. Esta secuencia de pasos en el libro de Feynman está tan obviamente trucada que sólo puede significar que se hizo a propósito, creo yo. Puedes pensar que la ecuación de la longitud de arco se obvió porque todos la saben de memoria. Yo creo que se ocultó para ayudar a ocultar la sustitución inadecuada de senθ por Δθ. Si Feynman y otros como él no pueden ver esos errores, es una muy mala señal. Si pueden, es una muy mala señal, porque significa que somos víctimas de alguna especie de sofisma Jesuita—se nos miente por nuestro propio bien. Debemos creer que la ciencia no es otro castillo de naipes, para no salir corriendo y gritando en mitad de la noche. Por lo tanto debemos tomarnos estas derivaciones absurdas como pruebas de fe. Credo quia adsurdum. Sospecho que esta derivación se usa símplemente porque la usó Newton, y nunca hemos sido capaces de mejorarla. Lleva a los valores experimentales correctos, así que ¿A quién le importa si está llena de rotos?

Mi solución. Hemos visto tres derivaciones erróneas diferentes, del gusto nada menos que de Newton y Feynman (aunque probablemente no debería poner a Newton y a Feynman en la misma frase). No criticaré la derivación de Huygens aquí, porque la considero equivalente a la de Newton. Él, como Newton, mostró correctamente la proporcionalidad de la aceleración, el radio y la "velocidad". Pero no mostró incuestionablemente la igualdad. Lo haré yo ahora, mediante un método muy transparente. [He dibujado v flotando así sólo para reflejar la ilustración del libro de texto, para mostrar lo absurdo que es realmente. En mi solución, ese vector es supérfluo.] En mi dibujo, se forma un triángulo rectángulo con el radio, la velocidad tangencial, y Δv añadido a otro radio. No importa lo corto o largo que hagas el vector de la velocidad tangencial al que pertenece el triángulo rectángulo. Ten en cuenta también que en mi ilustración Δv siempre apunta al centro del círculo. No apunta al centro sólo cuando t o Δv o el arco d es cero. Apunta al centro tanto si v0 es muy largo como si es infinitesimal. Ahora todo lo que necesitamos es el teorema de Pitágoras. v0² + r² = (Δv + r)² Δv² = v0² - 2Δv·r Δv = a = ±(1/2)(√4r² + 4v0²] - 2r) Si asumimos un movimiento positivo alrededor del círculo, se reduce a: a = √ v0² + r²] - r En primer lugar, ten en cuenta que Δv = a. Ese vector es la aceleración centrípeta. Ese es el número que estamos buscando. He seguido el ejemplo del libro y de Feynman al posponer

una descripción de lo que representa Δv. Hasta ahora. Pero está claro que Δv no es un vector de velocidad. Es un vector de aceleración. Por supuesto tan sólo la forma nos delata la diferencia. Un vector delta v no es lo mismo que un vector v. Un vector delta v es un vector de aceleración, claramente. Feynman y el libro de texto asumen que es la diferencia entre una velocidad tangencial y la siguiente: una diferencia de velocidades es una aceleración. Pero he mostrado que el vector aceleración Δv se puede calcular a partir de una sola velocidad tangencial, dado el radio. Es la diferencia entre la velocidad tangencial y la velocidad orbital, medidas a lo largo del mismo intervalo. De este modo mi análisis es un reflejo del de Newton, que decía lo mismo. Mira donde Newton define la longitud d como la diferencia entre la velocidad tangencial y la velocidad orbital, medidas durante el mismo intervalo. Mi ilustración también refleja la suya, como puedes ver. Símplemente dale la vuelta a su ilustración y su d es mi Δv. La única diferencia es que yo apunto mi vector al centro del círculo. Alguno dirá, "Eso no funcionará. Necesitas derivar. Neceistas encontrar tus valores en un dt. Tal como está, obtendrás un valor diferente dependiendo de si resuelves para Δt = 1, Δt = 5, o Δt = dt. Un cambio en la longitud de tu vector v0 cambiará la longitud de vector a." No, no la cambiará: v0 es una constante en el caso que estás planteando. Si estás variando los tiempos para hacer que v0 cambie en longitud, estás hablando de un círculo dado en particular. No estás hablando de cualquier círculo. Por lo tanto si incrementas el Δt de uno a cinco, por ejemplo, también estás incrementando la distancia a lo largo del vector: por lo tanto la velocidad sigue siendo la misma. Un vector velocidad más corto es ese caso no es una velocidad diferente; es la misma velocidad medida en un tiempo más corto. Si haces el cambio de Δt = 5 a dt, y el triángulo se hace más pequeño, el valor v0 no se hace más pequeño. Recuerda, la velocidad es x/t. La longitud del vector sólo expresa la x, pero siempre hay una t involucrada. No necesitamos derivar, porque la derivación nos daría un cambio en ese vector. Necesitaríamos considerar el vector Δv una velocidad, y estaríamos calculando un cambio en esa velocidad, una ΔΔv, durante un intervalo infinitesimal dt. No sólo es innecesario hacerlo, es absurdo. Si el vector fuera una velocidad, no cambiaría en ningún intervalo, ya fuera grande o un pequeño dt. Por lo tanto a ≠ dv/dt y a ≠ Δv/dt. Esas ecuaciones sólo nos llevarían a a = 0. Δv ya es un diferencial—es la diferencia entre dos velocidades—por lo tanto sería redundante derivarlo[diferenciarlo]. El teorema de Pitágoras funciona en cualquier t, incluso en dt. Pero no hay un límite aquí, puesto que el valor de a es el mismo si lo calculas en cualquier intervalo real (un triángulo mayor) o uno cercano a cero (un triángulo pequeño). Piénsalo de esta manera: la ecuación a = dv/dt describe un ritmo de cambio entre v y t. Si v no cambia a medida que t cambia, entonces v es una constante. La derivada de una constante es cero. Por lo tanto no tiene sentido derivar una velocidad constante, ni siquiera si se etiqueta como Δv.

Podrías decir, "OK, pero ¿Todo eso es legal? ¿Puedes combinar diferentes vectores en una suma de vectores? ¿No hay alguna regla acerca de mezclar vectores de acelaroción y velocidad?" Sí, hay reglas. La longitud del vector sólo representa su valor numérico: esa es la razón por la que debes hacer un seguimiento cuidadoso de los ángulos. Pero nadie ha tenido nunca ningún problema con la forma en que los vectores de distancia y velocidad se combinaron en este problema, históricamente. El radio del círculo obviamente no es una velocidad; es una distancia. Pero tanto el libro de texto como Feynman usan los vectores del radio y la velocidad como valores que se pueden poner en la misma ecuación. Si puedes hacer eso, ¿Por qué no usar también los vectores de aceleración? La respuesta es, puedes hacerlo, y Newton, el libro de texto y Feynman lo hacen también. Simplemente no te llaman la atención sobre eso. Resuelven este problema sin siquiera definir sus variables. El truco es, aparentemente, no definir nada: entonces todos lo aceptarán sin preguntar. Pero el vector Δv de Feynman también debe ser un vector de aceleración, como el mío. ¿Por qué crees que está etiquetado con una delta? Una delta v es una aceleración. El vectore no tiene sentido como velocidad, ni en su diagrama ni en el mío. Si Feynman lo hubiera definido como un vector de velocidad, entonces date cuenta de que ese vector no cambia de longitud en todo el círculo—si el movimiento es circular. Si no hay cambio en el vector velocidad, entonces a┴ debe ser cero. Ni la velocidad orbital ni la velocidad tangencial (ni el vector Δv) cambian de magnitud en ningún intervalo, así que calcular cualquier cambio en cualquier v, o una a que fuera un cambio en v, sólo nos daría de resultado el número 0. El número que hemos conseguido siempre en la ecuación a = v²/r para a solo puede significar el vector de aceleración que acabo de hallar. Feynman dice que a┴ = Δv┴/Δt. Pero Δv┴ siempre es el mismo en un movimiento circular uniforme, por definición. Es una constante en su diagrama y en el mío. Por lo tanto, en su ecuación a = 0. Y hemos visto incluso otra forma en la que ha trucado su demostración. Para que esa ecuación funcione, v┴ tendría que ser un vector de velocidad. De otro modo la forma de la ecuación no tiene sentido. En el diagrama vectorial etiqueta la velocidad tangencial como v1. Luego etiqueta la velocidad perpendicular como Δv┴. Una es una variable y otra es una variable delta. ¿Por qué razón? Son tipos equivalentes de vectores de acuerdo con esta ecuación. Si eso es así, entonces Δv┴ debería ser etiquetada simplemente v┴. Lo hace para confundir conceptos. Necesita un númerp para Δv┴ para ponerlo en esta ecuación: a┴ = Δv┴/Δt. Y consigue un número. Eso parece implicar que la ecuación proporcionará un número distinto de cero para a┴. Pero por su notación, lo que realmente necesita para hacer que la ecuación sea una ecuación real es esto: a┴ = ΔΔv┴/Δt. Necesitamos un cambio en su variable de velocidad—que etiquetó como Δv┴ sin razón alguna. Un cambio en su velocidad perpendicular entonces se leería como ΔΔv┴. Pero ΔΔv┴ = 0. Si Feynman admitiera que Δv┴ es un vector aceleración para empezar, entonces podría responder que su ecuación no funciona de ese modo tampoco. a┴ = Δv┴/Δt es falso, puesto que tendrías entonces a┴ = a┴/Δt. El resto de sus sustituciones también se tuercen si define Δv┴ como un vector aceleración. Pero debe ser o uno o lo otro. O es un

vector aceleración o es un vector velocidad, pero he mostrado que de ninguna de las dos formas funciona su demostración. Podrías decir que mi Δv es una constante también. Sí, es una aceleración constante. Pero no es cero, pues nunca la he derivado. Como demostración final de que mi análisis de a = Δv es correcto, vuelve al principio de la demostración de Feynman. Recuerda que dijo, "La aceleración tangente al camino es por supuesto simplemente el cambio en la longitud del vector." ¡Ajá! Ahí no hay derivadas ni divisiones del cambio de la longitud del vector entre un Δt. Si traduces esa cita en una ecuación matemática, se lee a║ = Δv. Eso es todo. Si la aceleración tangente al camino se calcula así, ¿Por qué la aceleración perpendicular se debe calcular de forma retorcida? La respuesta es: no se debe. Se calcula exactamente de la misma manera. Además, con la aceleración tangente de su ejemplo, puedes derivar si quieres: no importa siempre que uses la variable de velocidad correcta. Si derivas la v1 de su diagrama (no Δv║), obtienes a║. También obtienes Δv║, puesto que a║ = Δv║. En otras palabras: a║ = dv1/dt = Δv║ ≠ dΔv║/dt y del mismo modo a┴ ≠ dΔv┴/dt No puedes derivar Δv┴ para calcular a┴, porque Δv┴ no cambia con el tiempo. Y no puedes usar los otros trucos de Feynman, pues he mostrado que son trucos sucios. Alguien podría percatarse de que mi ecuación da la notación incorrecta para una aceleración. Sí, eso es cierto. Al aplicar el teorema de Pitágoras a las longitudes de los vectores, perdía su notación completa. Sólo encontré la longitud del vector aceleración, o lo que es lo mismo, su valor numérico. Sin embargo, mostraré debajo que esto no es crucial. También mostraré que la notación de la ecuación actual es incorrecta. Como queja final, alguien podría darse cuenta de que el vector Δv no se curva: ¿Cómo puede ser una aceleración? Un diagrama vectorial es una simplificación conceptual. La longitud de los vectores representan las Δx y la dirección representa la dirección, pero no se puede mostrar nada sobre el cambio en el tiempo. Se sobreentiende que el mismo cambio de tiempo subyace en todos los vectores. Todos los vectores del diagrama existen durante el mismo intervalo de tiempo. Pero la variable t se ignora por completo. Si pones un vector aceleración en un diagrama, ocurre lo mismo. La variable t se ignora. Pero si tienes una aceleración y se ignora la variable t, entonces el vector no se curva. Parece un vector velocidad. Una aceleración se curva en un gráfico x, t porque estás pintando x sobre t. En estas ilustraciones no estás pintando sobre t, estás ignorando t. Por lo tanto, es posible tener un vector aceleración que no se curve en una ilustración. No es posible tener una curva que no sea una aceleración, pero es posible tener una aceleración que no sea una curva.

Además, hemos aceptado durante siglos que la aceleración centrípeta apunta al centro del círculo en cada instante. Cada vez que se dibuja en los libros de texto se dibuja como un vector en línea recta. Si la historia lo ha dibujado como un vector en línea recta, a mí no se me debería reprochar. Lo siguiente a tener en cuenta es que mi nueva ecuación lleva a unas proporciones muy similares a la ecuación actual entre a, r y v0. Si crees que mi ecuación parece completamente diferente de la ecuación actual, te conmino a ponerle algunos números. Sí, da valores diferentes en casi todas las situaciones, pero esos valores cambian casi precisamente de la misma forma que la ecuación actual. Quiere decir que a medida que r y v0 cambian, el valor de a incrementa o disminuye al mismo ritmo que en la ecuación actual. Te recomiendo que compruebes la ecuación antes de que la rechaces sin trámite. Ahora volvamos a mi demostración. Mi última ecuación es la relación entre la aceleración y la velocidad tangencial. ¿Y si queremos la velocidad orbital? A medida que t→0, d→b y el triángulo formado por v0, Δv y b se aproxima a ser un triángulo rectángulo, con el ángulo recto en B. Puedes ver en mi ilustración que el ángulo en B es obtuso. Pero a medida que el arco d se acorta, el ángulo disminuye, alcanzando un límite en 90º. En ese caso, b² + Δv² = v0² A medida que t→0, b se convierte en el vector de velocidad orbital vorb, que es lo que buscamos. vorb² + Δv² = v0² De arriba, v0² + r² = (Δv + r)² Así que por sustitución: vorb² + Δv² + r² = Δv² + 2Δv·r + r² 2Δv·r = vorb² Δv = vorb²/2r a = vorb²/2r Δv = √[v0² + r²] - r = vorb²/2r vorb = √[2r√[ v0² + r²] - 2r²] Como alguien podrá haberse dado cuenta, acabo de resolver el problema usando la misma idea de Newton de la proporción definitiva. He aplicado el teorema de Pitágoras sobre el último intervalo de la serie—un intervalo que no es cero. Lo trato como un

intervalo real, no como un intervalo místico infinitesimal, ni como un intervalo "evanescente"(en palabras de Newton). Es un intervalo normal* y no hay nada que impida que uno pueda usar el teorema de Pitágoras en ese intervalo. Remarcaré de nuevo que en el límite, el ángulo en B (entre b y Δv) es 90º, pero v0 ≠ vorb. Para que v0 sea igual que b, el ángulo en B deberría ser mayor de 90º. Tendría que ser ligeramente agudo. Pero eso implica un intervalo de tiempo negativo. B por lo tanto no puede superar 90º. 90º es el límite. Y cuando el ángulo está en 90º, v0 > vorb. Ahora puedes ver que esta solución se presenta como una refutación del Lema VII de Newton. Newton afirma que en el límite, el arco, la tangente y la cuerda son todas iguales. Yo acabo de mostrar que en el límite el arco y la cuerda se aproximan a la igualdad, pero que la tangente sigue siendo mayor a ambos. Newton aplicó su límite en el ángulo equivocado. Lo aplicó al ángulo θ de mi ilustración de arriba, llevando el ángulo a cero. He mostrado que el límite debe aplicarse primero al ángulo B. Ese ángulo llega al límite en 90º antes de que θ llegue a cero. Por lo tanto, θ nunca llega a cero, y la tangente nunca se iguala al arco o la cuerda. Por eso la aceleración nunca se hace cero (no el verseno, para aquellos que lleven la cuenta). Si θ se hiciera cero no podríamos calcular la aceleración. Newton afirma que BC está compusto de (es la suma vectorial de) Bc y cC, en la primera ilustración de arriba. Si esto es cierto, entonces la velocidad tangencial y la velocidad orbital no pueden ser equivalentes. Eso haría que BC y Bc fueran equivalentes en el límite. Eso no puede ser, porque haría nulo cC en el límite. Pero cC es un vector aceleración. No puedes hacer cero ese vector en el límite y luego afirmar que lo calculas. El arco y la tangente no pueden ser iguales. La velocidad orbital y la velocidad tangencial nunca son iguales. Si el Lema VII es falso, los lemas VI y VIII deben ser falsos también, pues ambos conciernen a llevar el ángulo θ a cero. He mostrado que θ no es cero en el límite. Me ayuda pensarlo de esta manera, cuando estoy trabajando en el intervalo definitivo: no podemos llevar cantidades a cero, pues entonces nuestras variables empiezan a desaparecer. No llevamos B hasta A, o dejamos que θ sea cero. Estamos en el último intervalo de una serie; no estamos en cero. Hasta el último intervalo debe tener dimensiones, no importa lo pequeñas que sean. Algún tiempo debe pasar; alguna distancia se debe recorrer. Buscamos las dimensiones al final de ese primer intervalo, no al principio del primer intervalo. El principio del primer intervalo es cero. El final del primer intervalo no lo es. Al principio del primer intervalo, sen θ = 0. Al final del primer intervalo, sen θ = Δv/v0 ≠ 0. Esto se entiende hoy día de forma general, de una forma u otra. Lo que no se entiende, aparentemente, es que esto condena no sólo a los lemas VI, VII y VIII sino a todas las derivaciones actuales del movimiento circular y de a = v²/r.. Los fundamentos del cálculo se han reconstruido desde el tiempo de Newton, pero muchas de las hipótesis de Newton han permanecido grabadas en los viejos muros. Nunca han sido examinadas minuciosamente.

El movimiento circular es, en el fondo, un problema de ritmos de cambio. Tenemos dos cambios ocurriendo al mismo tiempo. Mientras el cuerpo se mueve en línea recta, también está siendo acelerado hacia un punto central. Pero un problema de ritmos de cambio implica cambios. Los cambios ocurren sólo durante intervalos definidos. Si llevamos nuestras variables a cero no podemos resolver, pues los cambies se han hecho todos cero y por lo tanto las proporciones se han hecho cero. Las fuerzas tampoco pueden actuar sobre intervalos de tiempo cero. No existen las fuerzas instantáneas, por definición física. Una fuerza debe actuar durante un intervalo. La definición de la energía cinética, en relación a la fuerza, lo deja claro. Una fuerza debe actuar durante algún intervalo de tiempo o distancia para hacer trabajo, trabajo que es la transferencia e igualdad de la energía cinética. Lo mismo se aplica a la aceleración, aunque nunce se aclara en las definiciones actuales. Una fuerza debe mover a un cuerpo durante algún intervalo de tiempo o distancia para imprimir una aceleración. No hay fuerza en un punto o instante. Cada fuerza y cada aceleración debe actuar durante algún período de tiempo. Eso es lo que Newton no comprehendió completamente y lo que la física y el cálculo actuales no pueden comprehender. He resuelto este problema usando la idea de Newton de la proporción definitiva, pues refleja el concepto actual del cálculo de muchas maneras. He corregido el Lema VII, pero no ha afectado a mi capacidad de usar el concepto histórico de límite. En mi opinión, este concepto del límite todavía es excesivamente enrevesado. Hay un método incluso más fácil para la solución de cualquier curva, sin usar límites o series "infinitas". Sin embargo para usar ese método hace falta conocer mi artículo de los fundamentos del cálculo, conocimiento que no puedo dar por sabido en este artículo. Creo que mis argumentos aquí están bastante claros en la forma presente, haciendo innecesario incluir ese método en este artículo.

Implicaciones. Hemos visto que no importa la velocidad a la que asignes v en la ecuación final—sea orbital o tangencial— a ≠ v²/r. Podrías preguntar, "Bien, ¿Cuál es? ¿Cuál de tus nuevas ecuaciones propones como sustitución de a = v²/r?" Ten en cuenta que un factor en esta decisión podría proporcionarlo el mismo Newton, puesto que en la demostración que he mencionado al principio para derivar la tercera ley de Kepler a partir de su ecuación de la gravedad, usa este paso: v = 2πr/t donde t es el período de la órbita, y 2πr es la circunferencia de la órbita. Está claro que esta v es la velocidad orbital. Para que su derivación funcione, la v de la ecuación a = v²/r debe ser la velocidad orbital. Y de acuerdo con sus cálculos, mi corrección no afectaría a su derivación de la ley de Kepler. Sólo cambia la constante: t²/r³ = 2π²/G·M en lugar de 4π²/G·M Sin embargo, eso nos lleva al vergonzoso final de esta ignominiosa historia de meteduras de pata. No sólo está claro ahora que Δv no es una velocidad, vorb tampoco es una velocidad. La velocidad orbital de Newton no es una velocidad. Esto no debería sorprender, puesto que una velocidad no puede curvarse. Cada tipo de cálculo nos dice eso. La historia del movimiento circular al completo nos lo dice. Una curva es una aceleración. La "velocidad" orbital es un movimiento complejo compuesto de velocidad tangencial y aceleración centrípeta. Feynman y el libro de texto deberían haber sabido esto, pues es una de las conclusiones del problema completo, pero por alguna razón siguieron llamándole velocidad y tratándola como una velocidad en la derivación de a. La derivaron como una velocidad; la metieron en las ecuaciones de aceleración como una velocidad; usaron notación de velocidades. Por alguna razón actuaron como si la velocidad orbital fuera conocida, y estábamos derivando la aceleración a partir de ella. Actuaron de esta forma porque tenían un número para ella de la ecuación de arriba, v = 2πr/t. Era fácil para ellos calcularla: las "velocidades" orbitales son la cosa más fácil de calcular en el cielo a partir de datos visuales. Por lo tanto pensaban que la entendían. Pero no la entendían, como está claro viendo estas derivaciones erróneas. Newton no la entendía tampoco, pues sustituye v²/r por a como si v fuera una velocidad. En la demostración de Kepler hace que sea: m·a = m·v²/r. Eso parece muy familiar, de forma peligrosa, si no sabes que v es en realidad una aceleración. Podría llevarnos a problemas desastrosos de energía cinética que equivalen a este. No hay razón para que sigamos etiquetando la velocidad orbital como velocidad.

Un lector bien podría preguntar cómo este descubrimiento puede ser conmensurable con la física aplicada y la ingeniería actuales. Tenemos multitud de evidencia empírica de que la histórica ecuación es cierta. Newton estaba intentando derivar una ecuación que ya sabía que era cierta a partir de los datos que tenía a mano. Por lo tanto la ecuación histórica a = v²/r se trata de una derivación de la relación entre la aceleración centrípeta y 2πr/t. Tenemos la necesidad de esta relación y podemos hacer uso de esta relación en cálculos físicos, a pesar del hecho de que el segundo valor no es una velocidad. Por conveniencia, la hemos etiquetado como velocidad y hemos seguido con nuestros asuntos. Esas dos ecuaciones funcionan juntas, porque son correctas una relativa a la otra. Eso quiere decir, si a = v²/r, entonces v = 2πr/t. Pero el hecho es que ninguna de ellas es cierta por su cuenta. La aceleración orbital es realmente: aorb= 2√2πr/t y la relación es a┴ = aorb²/2r. Lo que esto quiere decir es que nuestras ecuaciones actuales son simplemente heurística directa. Las usamos todas simplemente debido al hecho de que es fácil para nosotros medir 2πr/t. Ese es nuestro dato básico, dato que nos gusta y siempre nos ha gustado, y si 2πr/t es una velocidad, una aceleración, o ninguna de las anteriores, nunca nos ha importado realmente. Newton estaba intentando desarrollar una ecuación que contuviera ese dato, y lo hizo. Desarrolló una ecuación cierta que relaciona a y 2πr/t. Desafortunadamente, etiquetó 2πr/t como la velocidad orbital, y no es la velocidad orbital. Ni tampoco es la aceleración orbital. Es sólo una relación entre dos variables y una constante. Como Newton derivó una ecuación cierta, no ha importado demasiado (en la mayoría de las situaciones) que sus asignaciones de variables fueran descuidadas. Siempre que recordemos que la variable v de la ecuación a = v²/r es igual a 2πr/t, no nos podemos equivocar. Pero no siempre hemos recordado esto, como mostraré con Bohr y la mecánica cuántica. He mostrado que el círculo describe no una velocidad, sino una aceleración orbital. Esta aceleración es la suma vectorial de la velocidad tangencial y la aceleración centrípeta. Para hallarla usamos la ecuación a┴ = aorb²/2r Usando esta ecuación, hallamos que: (2πr/t)²/r = aorb²/2r aorb = 2(√2)πr/t a + r = √(v0² + r²) a² + 2a·r = v0² v0 = a√[1 + (2r/a)]

Esta es otra nueva ecuación muy útil para la velocidad tangencial. Nos permitirá calcular velocidades y energías que nos han esquivado hasta ahora, como la energía de un fotón emitido por un electrón en órbita. La respusta a la pregunta, "¿Cuál de mis ecuaciones debe reemplazar la actual?" es por lo tanto la primera: a = √ [v0² + r²] - r Si queremos una ecuación que relacione la velocidad de un objeto en órbita con su aceleración centrípeta, debemos usar esta ecuación, puesto que es la única ecuación con una verdadera variable de velocidad en ella. Esto funciona de otras formas tambien, pues las proporciones de las variables de esa ecuación se mantienen igual que la ecuación histórica, mientras que no se mantienen en la ecuación a = aorb²/2r. Lo que nos lleva a otro problema. Puedes ver que la física nunca ha tenido una forma de medir la velocidad tangencial. La "velocidad orbital" se puede calcular fácilmente como la circunferencia partida por el tiempo de una revolución. Pero la velocidad tangencial se debe calcular. Puedes calcularla usando mis nuevas ecuaciones, pero antes de este artículo no había ecuación que diera la velocidad tangencial a partir de la velocidad orbital. Ni Feynman ni ninguno de los libros de texto siquiera eran claros diferenciando una de otra. Asumo que esto significa que nadie tenía clara la diferencia. [Ten en cuenta que Newton tampoco podía calcular una a partir de la otra, pues de acuerdo con el Lema VII eran la misma cosa.] Tanto los científicos teóricos como los ingenieros deberían entender que tales equivocaciones llevan al final a la ruina. A corto plazo pueden llevar a fallos ingenieriles sencillos, lo que ya es bastante malo. Pero a largo plazo siempre llevan a callejones sin salida de la teoría, pues una ecuación chapucera es el camino más seguro de todos los posibles para la detención del progreso científico. Una ecuación correcta es casi infinitamente expandible, pues su impedancia es cero. Los futuros científicos pueden desarrollarla en todas las direcciones posibles. Pero una ecuación falsa o imprecisa puede detener este desarrollo de forma indefinida, cosa de la que tenemos amplias pruebas. Etiquetar incorrectamente las variables no es un fracaso para la semántica o la metafísica. Es un fracaso para la ciencia misma. Todo esto son noticias muy importantes, y supongo que estarás de acuerdo. Lo que lo hace incluso más importante es que mostraré en artículos siguientes que está lejos de ser la única ecuación básica que contiene errores fatales. Al poner a la física bajo el microscopio, he descubierto que el álgebra y el cálculo poco cuidadosos expuestos arriba es la norma, no la excepción: podría decirse que es pandémico. Infecta todas las ramas, incluyendo los niveles superiores. Los científicos modernos se han demostrado a sí mismo más interesados en hacer malabares con matrices complejas y otras matemáticas

avanzadas que en dominar la álgebra de bachillerato. Que es precisamente por lo que tales errores en las derivaciones se han perpetuado durante tanto tiempo. Queda mucho trabajo por hacer en física básica, a pesar de las arrogantes proclamas de muchos de que el campo ya está casi completo. En mi opinión, el trabajo más inmediato e importante que hay que hacer está en el análisis conceptual—combinar las masas de trabajo teórico y matemático que ya se ha hecho, y hacerlas consistentes. Esto se conseguirá, no con matemáticas supuestamente avanzadas, en la que los conceptos originales se pierden; ni con teorías científicas esotéricas y vanguardistas, en las que la producción de paradojas se convierten en medallas al mérito; sino con álgebra simple, en la que los conceptos se mantienen cerca de la superficie en todo momento. He encabezado mi ataque con este impactante y corto artículo porque se que sólo con un asalto frontal hay alguna esperanza de provocar una brecha en los muros de la ciencia. Las sutilezas filosóficas siempre se pueden desechar como arbitrarias o subjetivas o metafísicas, pero espero que sea imposible ignorar las matemáticas simples. He descubierto ya otras demostraciones matemáticas de que la ecuación actual es errónea, pues he mostrado en mi artículo del virial[Por traducir] que el 2 de la ecuación 2K = -V es un producto de esta errónea ecuación. Se nos dice que la energía potencial en el virial es dos veces la energía cinética, pero eso siempre fue ilógico. Al corregir la ecuación a = v²/r, puedo corregir ka ecuación 2K = - V, haciéndola K = -V. Esto no sólo hace lógico al virial, también confirma mi corrección de este artículo. Las dos ecuaciones corregidas se confirman entre ellas. Para más acerca de este problema, ve a mi artículo más reciente sobre π[Por traducir], y mi artículo más reciente sobre a = v²/r[Por traducir].

*** FIN DEL ARTICULO ***

NOTA DEL TRADUCTOR : Miles saco 2 artículos mas relacionados a estos temas :

http://milesmathis.com/avr2.html (TITULO: Clarification of the equation a = v2/r)

http://milesmathis.com/avr3.pdf (TITULO: “A Fudged Proof of a=v2/r on Youtube”)