un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
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Un primer curso de lógica informal
para la enseñanza media
Camilo Andrés Girón Patiño
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Bogotá, Colombia
2016
Un primer curso de lógica informal
para la enseñanza media
Camilo Andrés Girón Patiño
Trabajo final de maestría presentado como requisito parcial para optar al título de
Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Directora
Clara Helena Sánchez Botero
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Bogotá, Colombia
2016
Un hombre sabio no está gobernado por otros,
tampoco intenta gobernarlos; él prefiere que la
razón sola prevalezca.
--Jean de la Bruyère
Agradecimientos
Agradezco sinceramente a mi asesora del Trabajo Final de la Maestría en
Enseñanza de las Ciencias, la profesora Clara Helena Sánchez Botero por su
esfuerzo y dedicación. Sus conocimientos, sus orientaciones, su manera de
trabajar, su exigencia y su paciencia han sido fundamentales para mi formación.
Agradezco también la confianza y el apoyo inquebrantable por parte de mi madre,
que sin duda alguna a lo largo de mi vida me ha demostrado su amor, corrigiendo
mis faltas y celebrando mis triunfos.
Resumen y Abstract IX
Resumen
La ausencia de competencias argumentativas en los estudiantes de educación
media de la Institución Educativa Técnica La Sagrada Familia de la ciudad de
Ibagué evidenció la necesidad de crear un curso de lógica informal que se centre
en el estudio de los argumentos. Por este motivo se redactó un texto que sirve
como guía para estructurar dicho curso aportando el orden de los temas y el
contenido de los mismos, contando con una extensa cantidad de ejemplos de la
vida cotidiana, matemáticas y otras ciencias. El curso se implementó en la IE
Ciudad Luz con el nombre de desarrollo del pensamiento matemático, donde los
resultados fueron satisfactorios e invitan a continuar investigando esta área de
lógica.
Palabras clave: Argumento, lógica informal, argumento deductivo,
argumento inductivo, premisa, conclusión, analogía.
Abstract
The Lack of argumentative competences among high school students at the IET
La Sagrada Familia in Ibague city showed the need of creating a course on
informal logic focused in the study of argumentation. This is why it was written a
text to be used as a guide for the structuration of this course, showing the topics
and its contents involving a large amount of daily life examples, mathematics and
other sciences. The course was implemented at the IE Ciudad Luz under the
name “Development of mathematical thinking” having a very satisfactory outcome
which invites to go further in the research in this area of logics.
Keywords: Argument. Informal logics, deductive argument, inductive
argument, premise, conclusion, analogy.
Contenido XI
Contenido
Resumen ............................................................................................................. IX
Lista de ilustraciones ...................................................................................... XV
Lista de esquemas .......................................................................................... XVI
Lista de tablas .................................................................................................XVII
Lista de símbolos y abreviaturas ................................................................... XIX
Introducción ...................................................................................................... 21
1. Marco teórico ............................................................................................. 27
2. Marco metodológico .................................................................................. 41
3. Propuesta didáctica ................................................................................... 43
Introducción a la lógica informal para la enseñanza media ........................... 45
Introducción ...................................................................................................... 49
1. Argumentos y su identificación ................................................................ 51
1.1 Identificación de argumentos .......................................................................... 52
Ejercicios ............................................................................................................................... 57
1.2 Argumentos complejos y esquema de un argumento ................................. 59
Ejercicios ............................................................................................................................... 61
1.3 Tipos de argumentos ....................................................................................... 62
2. Conceptos básicos de lógica matemática ............................................... 69
2.1 Cálculo proposicional ...................................................................................... 71
Ejercicios ............................................................................................................................... 73
2.2 Formas de la proposición ................................................................................ 74
2.2.1 Proposiciones compuestas ....................................................................................... 74
Negación ........................................................................................................................... 74
Conjunción ........................................................................................................................ 76
Disyunción ......................................................................................................................... 79
Condicional ........................................................................................................................ 81
Bicondicional ..................................................................................................................... 84
Ejercicios ............................................................................................................................... 86
2.2.2 Proposiciones compuestas de compuestas (conectivo principal) ............................. 87
Ejercicios ............................................................................................................................... 93
2.2.3 Tautologías, contradicciones y contingencias .......................................................... 94
Implicación lógica .............................................................................................................. 96
Ejercicios ........................................................................................................................... 97
Equivalencia lógica ........................................................................................................... 98
Ejercicios ........................................................................................................................... 99
Negación de proposiciones compuestas ........................................................................... 99
Ejercicios ..............................................................................................................................107
3. Argumentos deductivos .......................................................................... 109
3.1 Argumentos deductivos válidos ................................................................... 110
3.1.1 Reglas de inferencia ................................................................................................112
Reglas de inferencia básicas ...........................................................................................112
Más reglas de equivalencia ..............................................................................................124
Ejercicios ..........................................................................................................................129
3.1.2 Prueba formal de validez .........................................................................................130
Ejercicios ..............................................................................................................................134
3.1.3 Razonamiento con cuantificadores ..........................................................................135
Negación de cuantificadores ............................................................................................136
Especificación universal (EU)...........................................................................................138
Generalización existencial (GE) .......................................................................................139
Ejercicios ..........................................................................................................................140
3.1.4 Falacias formales: Errores comunes de razonamiento ............................................142
Afirmación del consecuente .............................................................................................142
Negación del antecedente ...............................................................................................142
Errores en la negación de cuantificadores .......................................................................143
Ejercicios ..............................................................................................................................144
4. Argumentos inductivos ........................................................................... 145
4.1 Tipos de argumentos inductivos .................................................................. 146
4.1.1 Inducción por enumeración .....................................................................................146
4.1.2 Argumento estadístico .............................................................................................150
4.1.3 Inducción por analogía ............................................................................................153
Ejercicios ..............................................................................................................................156
4.2 Algunas ideas erróneas sobre los argumentos inductivos ...................... 158
4. Resultados de la aplicación de la propuesta ......................................... 161
5. Conclusiones y recomendaciones ......................................................... 163
5.1 Conclusiones .................................................................................................. 163
5.2 Recomendaciones .......................................................................................... 164
A. Anexo: Programa desarrollo del pensamiento matemático Institución
Educativa Técnica Ciudad Luz Grado 11 ...................................................... 165
B. Anexo: Prueba de inicio .......................................................................... 169
Contenido XIII
C. Anexo: Evaluación primer periodo 2016 ................................................ 171
D. Anexo: Calificaciones desarrollo del pensamiento matemático primer
periodo 2016 .................................................................................................... 172
E. Anexo: Fotografías .................................................................................. 174
Bibliografía ...................................................................................................... 175
Lista de ilustraciones XV
Lista de ilustraciones
Ilustración 1......................................................................................................... 64
Ilustración 2a Ilustración 2b ............................................................................. 64
Ilustración 4 Cuadrado de oposición ................................................................. 137
Lista de esquemas XVI
Lista de esquemas
Esquema 1 ......................................................................................................... 60
Esquema 2 ......................................................................................................... 60
Esquema 3 ......................................................................................................... 65
Esquema 4 ......................................................................................................... 67
Lista de tablas XVII
Lista de tablas
Tabla 1 Definición de negación ........................................................................... 75
Tabla 2 Definición de conjunción......................................................................... 76
Tabla 3 Definición de disyunción ......................................................................... 79
Tabla 4 Definición de condicional ........................................................................ 81
Tabla 5 Definición de bicondicional ..................................................................... 84
Tabla 6 Ejemplo de conectivo principal bicondicional .......................................... 88
Tabla 7 Ejemplo de conectivo principal disyunción ............................................. 88
Tabla 8 Ejemplo de conectivo principal conjunción ............................................. 89
Tabla 9 Ejemplo de conectivo principal bicondicional .......................................... 89
Tabla 10 Ejemplo de conectivo principal condicional .......................................... 90
Tabla 11 Ejemplo de tautología 1 ........................................................................ 91
Tabla 12 Ejemplo de proposicion compuesta de compuesta ............................... 92
Tabla 13 Ejemplo de contradicción 1 .................................................................. 92
Tabla 14 Ejemplo de tautología 2 ........................................................................ 94
Tabla 15 Ejemplo de contradicción 2 .................................................................. 95
Tabla 16 Ejemplo de contradicción 3 .................................................................. 95
Tabla 17 Ejemplo de contingencia 1 ................................................................... 96
Tabla 18 Ejemplo de implicación lógica 1 ............................................................ 96
Tabla 19 Ejemplo de implicación lógica 2 ............................................................ 97
Tabla 20 Ejemplo de no implicación lógica .......................................................... 97
Tabla 21 Ejemplo de equivalencia lógica 1 ......................................................... 98
Tabla 22 Ejemplo de equivalencia lógica 2 ......................................................... 98
Tabla 23 Ejemplo de no equivalencia lógica ....................................................... 98
Tabla 24 Negación de una negación ................................................................. 100
Tabla 25 Negación de una conjunción .............................................................. 101
Tabla 26 Negación de la conjunción ................................................................. 103
Tabla 27 Negación de una condicional ............................................................. 104
Tabla 28 Negación de la bicondicional .............................................................. 105
Tabla 29 Modus ponendo ponens ..................................................................... 112
Tabla 30 Modus tollendo tollens ........................................................................ 115
Tabla 31 Silogismo hipotético ........................................................................... 117
Tabla 32 Modus tollendo ponens ...................................................................... 120
Tabla 33 Dilema constructivo ............................................................................ 121
Tabla 34 Ejemplo de proposiciones categóricas ............................................... 136
Tabla 35 Negación proposiciones categóricas .................................................. 137
Tabla 36 Ejemplo de negación de proposiciones categóricas. .......................... 137
Lista de símbolos y abreviaturas XIX
Lista de símbolos y abreviaturas
Símbolos argumentativos
Símbolo Término
Pn Premisa
qn Conclusión secundaria
Q Conclusión principal
Símbolos lógicos
Símbolo Término
p, q, r,… Proposiciones simples
P, Q, R,… Proposiciones compuestas o simples
Negación
Conjunción
Disyunción
Condicional
Bicondicional
Introducción 21
Introducción
En mi primer semestre en la Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y
Naturales tomé el curso Razonamiento en ciencias orientado por los profesores
Clara Helena Sánchez, Gonzalo Serrano y Raúl Meléndez, y por primera vez
estudié lógica en un sentido más amplio que el de la lógica matemática aprendida
en mi pregrado de matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Los
temas de este curso me parecieron muy interesantes, también la forma como los
profesores los abordaban y los ejemplos que se daban. En este curso se trabajó
tanto el análisis formal como el análisis informal de argumentos de la vida
cotidiana; por esta razón comencé a llevar estos temas al aula de a los
estudiantes de grado 11° en la Institución Educativa Técnica La Sagrada Familia
en la ciudad de Ibagué. Como esperaba los estudiantes mostraron una reacción
positiva a ese pequeño acercamiento que se hizo al estudio de la lógica y el
razonamiento. En esta misma institución me asignaron a un practicante de
Licenciatura en Matemáticas de la Universidad del Tolima llamado Cristian Jair
Ayala, con el cual planteamos el proyecto para su práctica docente que se tituló
Enseñanza de la lógica en grado 10°, ¿Qué tan natural resultan las reglas básicas
de inferencia? y que actualmente se está llevando a cabo en la institución
educativa. Por lo anterior, decidí escoger el tema de la lógica para mi trabajo de
grado, porque en mi opinión hay muchos aspectos del curso de razonamiento en
ciencias que son muy relevantes para un estudiante de educación media, y que le
servirá para desarrollar su competencia argumentativa.
Los cursos de lógica siempre llevan implícito el objetivo de mejorar las
habilidades de razonamiento de los estudiantes, brindando herramientas
conceptuales para determinar la validez de argumentos y razonamientos en
22 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
lenguajes formales como la matemática1. En mi experiencia como docente de
educación media y evaluador de preguntas abiertas del examen Saber 11, este
objetivo no siempre se cumple dado que los cursos de lógica que se imparten en
la educación media no aportan herramientas conceptuales de fácil aplicabilidad a
la hora de analizar argumentos y razonamientos que se dan en la vida real o en
lenguajes naturales2.
Esta es una de las razones del nacimiento del pensamiento crítico y la lógica
informal que comenzó a desarrollarse en los Estados Unidos y Canadá en la
década de 1960. (Sánchez C. H., Lógica informal: Una alternativa para la
enseñanza de la lógica, 2006)
Ahora bien, analizando el caso específico de estudiantes de bachillerato, los
cursos de lógica están enfocados a enseñar cálculo proposicional y razonamiento
deductivo, el cual como ya se dijo se queda corto a la hora de analizar un
argumento de otra área de ciencias como por ejemplo biología o química.
Además, los textos escolares disponibles para el estudio de la lógica, como los
disponibles de editoriales Santillana3 o Voluntad4 presentan problemas
conceptuales en el primer caso, y en el segundo se centran solo en el desarrollo
de tablas de verdad. Ante la falta de alternativas de textos guías para enseñar
lógica en el bachillerato, se utilizan textos universitarios de introducción a la
lógica, como es el caso del Copi5 o la guía de Lógica matemática de la Unad6; el
1 (Sánchez C. H., Lógica informal: Una alternativa para la enseñanza de la lógica, 2006)
2 Un lenguaje natural es una lengua o idioma hablado o escrito de una determinada comunidad
con propósitos generales de comunicación. Por ejemplo, el español, el inglés o el chino son lenguajes naturales. 3 (Zagal Arreguin, 2013, pág. 173)
4 (Montero Corredor, 2015, págs. 18-20)
5 (Copi & Cohen, 2005)
6 (Acevedo González, 2011)
Introducción 23
primero es un excelente texto pero muy avanzado para la educación media y en
el segundo se presentan fallas conceptuales importantes7.
Si nos referimos a un lugar más específico como lo es la Institución Educativa
Técnica La Sagrada Familia de la ciudad de Ibagué, donde laboré durante dos
años y evidencié que dentro de su plan de estudio no existe para ningún grado el
estudio de la lógica matemática, se vuelve evidente la falta de competencias en el
análisis y evaluación de argumentos. Esta situación hace que en los estudiantes
sean notorias las limitaciones en su pensamiento crítico y en sus competencias
argumentativas; no es usual que se cuestionen o se pregunten el porqué de los
temas tratados en clase y en general el porqué de las cosas que suceden a diario
en su entorno.
Respecto a esto (González, 1999, pág. 3) dice que
Uno de los retos primordiales de la escuela es lograr que cada ciudadano
desarrolle y fortalezca sus competencias para absorber, procesar y re-
elaborar la información circulante en la multitud de canales.
De aquí nace la duda ¿existe algún área del conocimiento que se encargue de
ofrecer herramientas conceptuales para analizar y evaluar argumentos que se
presentan en lenguajes naturales como los empleados para pruebas no formales
en matemática escolar? La respuesta a esta pregunta es afirmativa y es la lógica
informal, un área que nace en la década de los 60 y como lo dice (Sánchez C. H.,
Lógica informal: Una alternativa para la enseñanza de la lógica, 2006), es la
combinación de una ciencia, la lógica, y un arte, la retórica. La lógica informal es
la forma de aplicar la lógica formal a escenarios cotidianos con lenguajes
naturales, es decir, puede aplicarse a todas las áreas del conocimiento, en
7 Esta afirmación se basa en la definición de argumento inductivo presentada en la cartilla de la
Unad y otros más que se hicieron evidentes en el análisis que se hizo de la misma (Véase por ejemplo página 96).
24 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
particular a las matemáticas, aportando de esta manera competencias
argumentativas a los estudiantes.
En Colombia, los cursos de lógica informal se trabajan actualmente con
estudiantes de pregrado. En la Universidad la Gran Colombia dada la necesidad
de mejorar las competencias argumentativas y el pensamiento crítico en los
futuros profesionales se incluye en el pensum de todas las carreras profesionales
un curso de lógica informal basado en el texto de (Sánchez & Fonseca González,
2008), Así mismo, el grupo Dialéctica y mos geometricus, de la Universidad
Nacional de Colombia, cuyo director es el profesor Gonzalo Serrano, ofreció un
curso de lógica informal (Sia, 2013) y ha desarrollado investigación en el área,
igualmente se ofrece un curso de lógica informal para los estudiantes de
odontología. Como se puede evidenciar en estas referencias, la enseñanza de la
lógica informal se dirige a niveles universitarios en Colombia, pero puede ser
también ofrecida a estudiantes de bachillerato como se ha hecho en México
(Harada, 2007) y España (Ruiz, 2012). Además, nos basamos en la experiencia
pedagógica del grupo de investigación Asociation for Symbolic Logic (ASL), que
propone
Todo estudiante de bachillerato debe diferenciar entre un argumento válido
y uno inválido,…Para estudiantes de edades entre 14-17 se debe enseñar
el uso explícito de nociones de lógica y técnicas de pruebas de validez de
argumentos deductivos en cursos de matemáticas que son un lugar natural
para la inclusión de dicho material.8
Surge de la situación planteada en los apartes anteriores la siguiente pregunta:
¿Cómo introducir algunos elementos de la lógica informal para que los
estudiantes de educación media mejoren sus competencias
argumentativas?
8 (Bakó, 2012)
Introducción 25
Para dar respuesta y aportar en las competencias argumentativas que exige el
Ministerio de Educación Nacional, me propuse estructurar un curso de lógica
informal dirigido a estudiantes de educación media, enfocado al análisis de
argumentos que se presentan en la vida cotidiana, como también en las áreas de
matemática y ciencias.
Debido a un traslado de colegio me vi obligado a realizar cambios de institución y
de estudiantes, pero continuó siendo viable la aplicación del proyecto en el aula
de clase durante el primer período académico del 2016. Debo decir que laboré en
la Institución Técnica Ciudad Luz en los meses comprendidos entre enero y
marzo del 2016, donde me encomendaron la tarea de crear el programa para un
nuevo curso llamado Desarrollo del pensamiento matemático9, dirigido a
estudiantes de grado 10 y 11 de la institución. El programa del curso fue
aprobado por las directivas, y al aplicar la prueba de inicio del curso10
me
encontré con que los estudiantes nunca habían estudiado algún tema de lógica, lo
que hizo preciso diseñar la guía y el curso desde lo más elemental. Durante este
tiempo que coincidió con el primer período académico se trabajó la primera parte
del curso y tomamos como resultados de la aplicación del trabajo las
calificaciones obtenidas por los estudiantes de grado 11 de dicha institución. En el
mes de abril de 2016 ingresé a trabajar como instructor del SENA en ciencias
básicas y dictar el curso de razonamiento cuantitativo para el programa de
tecnología en mecatrónica. Dado que las reglas del SENA no permiten cambios
en los temas a trabajar en clase se me hizo imposible aplicar los temas
propuestos.
Este trabajo fue elaborado con un sentido pedagógico para que cualquier docente
o estudiante lo pueda usar como guía en un primer curso de lógica informal para
la educación media y está estructurado de la siguiente manera:
9 Anexo: Programa desarrollo del pensamiento matemático Institución Educativa Técnica Ciudad
Luz Grado 11 10
Anexo: Prueba de inicio
26 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
En el primer capítulo se encuentra el marco teórico, que incluye aspectos
históricos epistemológicos y didácticos pertinentes. El segundo capítulo contiene
el marco metodológico. La propuesta didáctica se encuentra en el tercer capítulo;
se trata de una guía titulada “Introducción a la lógica informal para la enseñanza
media” que cuenta con cuatro secciones a saber: la primera sobre temas de
argumentos y su identificación; la segunda sobre conceptos básicos de lógica
matemática; la tercera sobre argumentos deductivos en la cual se aplican los
conocimientos de la sección anterior; y por último una sección donde se abordan
de manera básica los argumentos inductivos. En el capítulo cuatro se describe la
forma cómo se implementó y seguido se evaluaron los contenidos de la guía,
describiendo los resultados obtenidos. En el capítulo cinco se presentan las
conclusiones sobre la implementación de los contenidos y las recomendaciones
que van dirigidas a la conveniencia de estudiar lógica informal en la educación
media. El trabajo termina con cinco anexos que contienen: el anexo A, el
programa aprobado para el curso de Desarrollo del pensamiento matemático para
grado 11 en la Institución Educativa Técnica Ciudad Luz de Ibagué; el anexo B, la
prueba de inicio que se aplicó a los estudiantes de grado 11 de la Institución
Educativa Técnica Ciudad Luz de Ibagué; el anexo C, la evaluación aplicada a los
estudiantes de grado 11 de la Institución Educativa Técnica Ciudad Luz de
Ibagué, basada en los primeros contenidos del curso; el anexo D, la planilla de
calificaciones de los estudiantes; el anexo E, el cual contiene dos fotografías de
los estudiantes del curso.
Marco Teórico 27
1. Marco teórico
El Ministerio de Educación Nacional buscando mejorar y respondiendo a las
necesidades del país comenzó a aplicar estándares internacionales, planteando
objetivos que pretenden que la educación sea pertinente al contexto de nuestro
país y a su relación con el mundo de esta forma se establece la educación por
competencias.
Las competencias básicas se definen como la "capacidad de poner en
marcha de manera integrada aquellos conocimientos adquiridos y rasgos
de personalidad que permiten resolver situaciones diversas". Incluyen tanto
los saberes o conocimientos teóricos como las habilidades o conocimientos
prácticos o aplicativos y también las actitudes o compromisos personales.
Van más allá del "saber" y "saber hacer o aplicar" porque incluyen también
el "saber ser o estar". Implican el desarrollo de capacidades, no sólo la
adquisición de contenidos puntuales y descontextualizados, y suponen la
capacidad de usar funcionalmente los conocimientos y habilidades en
contextos diferentes para desarrollar acciones no programadas
previamente.11
En la Declaración mundial sobre educación para todos, llevada a cabo en
Jomtien, Tailandia, en marzo de 1990, el primer objetivo respecto a satisfacer las
necesidades básicas de aprendizaje, dice que la lectura, la escritura, la expresión
oral, el cálculo y la resolución de problemas, entre otras, son herramientas
11
Marquès Graells, P. (11 de junio de 2008). Conocimientosweb.net. Recuperado el 1 de Mayo de 2016, de http://www.conocimientosweb.net/portal/article1816.html
28 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
esenciales para el aprendizaje necesarias para que las personas podamos
desarrollar plenamente nuestras capacidades, vivir y trabajar con dignidad,
participar en el desarrollo y mejora de nuestra calidad de vida, tomar decisiones
fundamentales y continuar aprendiendo12.
Con respecto a estas competencias básicas, Antanas Mockus opina que
Un buen estudiante en lenguaje, ciencias y matemáticas no es
automáticamente un buen ciudadano. Sin embargo, su sensibilidad a lo
universal y a la fuerza del argumento puede ayudarle a serlo. Las
competencias son conocimiento hecho práctica; las más bellas son las
integradoras, pues combinan conocimiento, emoción y comunicación, y
ayudan a romper la supuesta dicotomía entre las razones y las
emociones.13
Dentro de las competencias básicas a las que se refiere Mockus para formar un
buen ciudadano está la competencia argumentativa, transversal a todas las áreas
ya que busca la habilidad de razonamiento en cuanto a la explicación de cómo las
diferentes partes de un proceso, se ordenan y se relacionan entre sí. Al
argumentar se busca el porqué de las cosas, se justifican las ideas, se dan
razones, se establecen los propios criterios, se interactúa con el saber14. Es decir,
que estas competencias argumentativas se refieren a que el estudiante debe
poder:
- Leer, comprender, interpretar y asumir una posición crítica frente a la lectura
del texto argumentativo.
- Leer e interpretar un artículo, editorial o texto científico, identificando el
argumento.
12
(UNESCO, 1990) 13
(Mockus, 2004) 14
(Ministerio de Educación Nacional , 2006)
Marco Teórico 29
- Resumir e identificar las ideas principales del texto.
- Argumentar con razones su postura frente al contenido del texto.
- Escribir sus puntos de vista frente al texto.
Sin embargo, aunque está establecido como una obligación institucional
desarrollar la competencia argumentativa, nos encontramos con que no se cuenta
con el espacio dentro de las áreas ni con la disposición de las directivas a dedicar
una asignatura para su estudio, además que, en particular, los libros de texto de
matemáticas no relacionan la lógica con contextos reales ni tampoco cumplen con
uno de sus objetivos que es desarrollar las competencias argumentativas.15
En cuanto a los aspectos históricos epistemológicos16 es necesario decir que la
importancia de la lógica como el arte de razonar correctamente ha sido
reconocida desde la antigüedad, lo que dio lugar al nacimiento de una disciplina
cuyo estudio se centra en los principios y métodos de hacer y reconocer
inferencias correctas.
Ahora bien, en los griegos se privilegió una de esas maneras de hacer
inferencias, la que se conoce como deducción, un modelo de razonamiento
científico en el que la verdad de las premisas hace necesaria la verdad de la
conclusión. Los pitagóricos obtuvieron la primera demostración contundente de
un teorema matemáticos como es la inconmensurabilidad de la diagonal de un
cuadrado con respecto a su lado, lo que hoy conocemos como la irracionalidad de
2. Igualmente demostraron el famosísimo teorema de Pitágoras: El cuadrado
construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de
los cuadrados construidos sobre los catetos.
15
(Rincón Hidalgo, 2006) 16
Esta sección está basada en la Notas de Clase de la profesora Clara Helena Sánchez para el curso de Razonamiento en Ciencias (2014).
30 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Las primeras teorías sobre el razonamiento fueron agrupadas por los alumnos de
Aristóteles en lo que hoy conocemos como el Órganon o instrumento de la
ciencia. Solo unos cinco siglos más tarde Alejandro de Afrodisias utilizó el término
lógica para los diferentes tratados del Órganon.17 La obra está compuesta por los
siguientes tratados:
1. Categorías (descripción de las categorías aristotélicas: entidad, cantidad,
cualidad, relación, lugar, tiempo, situación, estado, acción y pasión.
2. Sobre la interpretación (sobre el análisis gramático-semántico de los
enunciados)
3. Analíticos primeros (teoría del silogismo o de la demostración científica)
4. Analíticos segundos (sobre la prueba y la ciencia)
5. Tópicos (sobre la dialéctica aristotélica)
6. Sobre las refutaciones sofísticas (estudio de los razonamientos
desviados o falaciosos)
En los Analíticos Primeros y Segundos se encuentra la teoría aristotélica sobre la
demostración. Justamente los Primeros Analíticos se abren con la siguiente
afirmación:
Digamos primero sobre qué es la investigación ya qué corresponde,
aclarando que es sobre ciencia demostrativa; a continuación distingamos
qué es una proposición y qué es un término y qué un razonamiento, y cuál
es el razonamiento perfecto y cuál el imperfecto.
17
(Kneale & Kneale, 1980, pág. 23)
Marco Teórico 31
Igualmente encontramos la definición siguiente:
El razonamiento es un enunciado, en el que sentadas ciertas cosas, se
sigue necesariamente algo de lo ya establecido por el simple hecho de
darse esas cosas18.
La teoría del silogismo es el primer sistema formal que se conoce para abordar
el estudio de los argumentos deductivos. Daremos una idea muy general y
simplificada de la teoría.
Un silogismo es un argumento de tres proposiciones: dos premisas y una
conclusión; cada una de ellas debe tener una de las siguientes formas llamadas
proposiciones categóricas:
Todos los S son P Universal afirmativa
Ningún S es P Universal negativa
Algún S es P Particular afirmativa
Algún S no es P Particular negativa
Una proposición categórica es una proposición, que afirma o niega (cualidad) una
relación entre dos términos (clases), y cuantifica (cantidad) particular o
universalmente los términos de la misma. Por ello resultan cuatro las formas de
proposiciones categóricas. Las letras A, E, I, O respectivamente fueron asignadas
en la época medieval para aplicar ciertas reglas nemotécnicas, que permiten
recordar cuáles son los silogismos válidos.
Para que haya un silogismo válido es necesario que haya un término en común
en las premisas, llamado término medio, y la conclusión debe contener los dos
términos restantes. Llamaremos S al sujeto de la conclusión, P al predicado de la
18
Analíticos primeros, I, 1, 25
32 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
conclusión y M al término medio de las premisas. Los silogismos para ser
analizados deben ponerse en forma estándar, esto es, la premisa mayor, aquella
que tiene el predicado de la conclusión se coloca de primera, y la premisa menor,
la que tiene el sujeto de la conclusión va de segunda. De acuerdo con este orden
hay cuatro posibles maneras de establecer silogismos; estas maneras se llaman
figuras y son las siguientes:
Primera figura Segunda figura Tercera figura Cuarta figura MP PM MP PM SM SM MS MS SP SP SP SP
Damos algunas definiciones más para apreciar la teoría:
Un término en una proposición categórica está distribuido si la proposición se
refiere a todos los miembros de la clase designada por el término. Ejemplo: el
término sujeto (S) está distribuido en la Universal afirmativa, mientras que el
término predicado (P) no lo está.
El cuadrado de oposición
Se llaman proposiciones contradictorias las que no pueden ser
simultáneamente verdaderas, ni simultáneamente falsas. Proposiciones
contrarias las que no pueden ser simultáneamente verdaderas pero si pueden
ser simultáneamente falsas. Proposiciones subcontrarias las que pueden ser
simultáneamente verdaderas pero no pueden ser simultáneamente falsas. Y
proposiciones subalternas las que, si una de ellas es universal y verdadera la
otra es particular y también será verdadera. Para que esto se cumpla hay un
supuesto importante los términos nunca pueden ser vacíos.
Marco Teórico 33
El cuadrado de oposición ilustra la relación en que se encuentran estos cuatro
tipos de pares de proposiciones categóricas, y es, sin duda, uno de los
significativos aportes de la lógica aristotélica:
El trabajo de Aristóteles consistió en estudiar todas las posibles formas del
silogismo y determinar cuáles eran válidas y cuáles no, y obtuvo las siguientes
reglas:
1. El silogismo debe tener exactamente tres términos: menor, medio y mayor,
cada uno de los cuales debe tener el mismo sentido en todo el argumento.
2. El término medio debe estar distribuido por lo menos en una de las
premisas.
3. Si un término está distribuido en la conclusión lo debe estar en las
premisas.
4. La conclusión no debe contener el término medio.
5. De dos premisas afirmativas no se sigue ninguna conclusión negativa.
6. De dos premisas negativas no sale conclusión alguna.
7. La conclusión siempre sigue la parte más débil, entendiéndose por tal la
premisa particular o la negativa.
8. De dos premisas particulares no se sigue conclusión alguna.
34 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
De las 256 posibles formas posibles de silogismos resultaron válidos solamente
19 cuyos nombres son los siguientes que sirven como Reglas nemotécnicas:
1a. figura: Barbara, Celarent, Darii, Ferio.
2a. figura: Cesare, Camestres, Festino, Baroco.
4a. figura: Darapti, Felapton, Disamis, Datisi, Bocardo, Ferison.
5a. figura: Bamalip, Camenes, Dimatis, Fesapo, Fresison.
Sin embargo, en la misma época de Aristóteles otra corriente proponía una
manera diferente de validar un argumento. Se trata de la teoría de los esquemas
de inferencia de los estoicos, una teoría bastante cercana a la que hoy
conocemos como cálculo proposicional. Fue considerada hostil a las enseñanzas
de Aristóteles por algunos de sus alumnos, y quizás esta es la razón para que
haya primado en nuestra cultura la teoría del silogismo y la lógica estoica haya
sobrevivido apenas a través de unas pocas menciones en autores de la
antigüedad.
La teoría del silogismo, modelo de razonamiento deductivo, sobrevivió a los
embates del tiempo pero fue cuestionada en el siglo XVII por dos grandes
filósofos René Descartes (1596, 1650) y Roger Bacon (1561, 1626),19 como teoría
de obtención del conocimiento. Estos reconocidos filósofos pusieron sobre el
tapete la importancia de la inducción como método científico. Por deducción se
entendía el paso de lo general a lo particular y por inducción el paso de lo
particular a lo general. Aunque la inducción por generalización es aceptada por el
sentido común, surgen varias preguntas: ¿Cuántos casos positivos son
necesarios para “garantizar” la inducción? ¿Qué tan seguras son las conclusiones
inductivas? ¿Qué tan válidos son los argumentos inductivos? Para responder
estas preguntas a la lógica le compete establecer reglas para la inferencia
19
Véase por ejemplo, (Serrano, 2006)
Marco Teórico 35
inductiva comparables con las reglas de inferencia deductiva. Abordaremos en la
guía que ofrecemos unas primera herramientas para responder estas preguntas.
Los griegos inventaron además otras dos formas de argumentación racional, la
dialéctica y la retórica. La dialéctica, que tiene que ver con nuestras convicciones
y el debate de ideas, y la retórica con el propósito de convencer al interlocutor de
nuestras posiciones. Es importante anotar que no basta con conocer las reglas de
la lógica para razonar correctamente; también es bueno conocer cómo se
cometen errores en este sentido. En Aristóteles, igualmente, encontramos las
refutaciones sofísticas primer “catálogo” de posibles errores de razonamiento o
falacias.
Aunque, como hemos señalado, hasta mediados del siglo XIX se tuvo a la lógica
aristotélica como la lógica subyacente a la matemática, un somero análisis de los
Elementos de Euclides nos muestra que desde la época del mismo Aristóteles los
matemáticos no han razonado con silogismos. Se trata de un razonamiento
deductivo informal,20 que desde la antigüedad ha sido tomado como modelo para
las demás ciencias y para la misma filosofía. Con los Elementos de Euclides se
aprendía lógica a través del entendimiento de la demostración de sus
proposiciones. Es lo que se conoce como razonamiento al estilo geométrico. A
partir de unos principios aceptados como verdaderos se deducían otras verdades,
los teoremas. Este tipo de razonamiento se distinguía del razonamiento dialéctico
en el cual se dan razones para sustentar una tesis o refutar la de un contrario a
partir de opiniones compartidas o de autores que gozan de reconocido prestigio.
El modelo de razonamiento que se encuentra en los Elementos se privilegió en la
ciencia, la filosofía y especialmente en la matemática hasta la mitad del siglo XIX
en que varios matemáticos, al reflexionar sobre su forma de razonar, y gracias a
20
No hay motivos para pensar que alguna de las lógicas que devienen canónicas (teoría del silogismo o lógica megárico estoica) en ese medio (griegos antiguos) constituye la “lógica subayacente” de los Elementos. (Vega Reñon, 1990, pág. 367)
36 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
los avances del álgebra simbólica, propusieron una nueva teoría, la lógica
matemática como la lógica del quehacer matemático. Efectivamente George
Boole (1815, 1864) decide algebrizar las proposiciones categóricas de la teoría
del silogismo de Aristóteles y analizar los silogismos como si fueran sistemas de
ecuaciones algebraicas. Su obra titulada El análisis matemático de la lógica de
184721 marca para el desarrollo de la lógica un punto de corte con la teoría
tradicional. Otros matemáticos como Augustus De Morgan (1806, 1871), Ernst
Schroeder (1841, 1902), pero sobretodo Gottlob Frege (1848, 1925) darán forma
a lo que hoy conocemos como lógica matemática. Nacieron en la obra de Frege,
Begriffsschrift de 1882, el cálculo proposicional y el cálculo de predicados, las dos
ramas básicas de la hoy muy fructífera área de las matemáticas. El origen de los
estudios de Frege está en su inconformidad con la lógica aristotélica como la
lógica subyacente a la aritmética.
El cambio de paradigma22, en términos de Kuhn, de la lógica aristotélica a la
lógica matemática queda completamente claro en los años 1960 cuando los
textos más usados para la enseñanza de la lógica matemática como son los de
Mendelson23 o Enderton24 no tratan el tema de la lógica aristotélica. En ellos no
solo desapareció la teoría del silogismo, también desapareció el concepto de
argumento como tema central de la lógica. En estos textos los buenos
argumentos son los correctos, esto es los válidos con premisas consistentes,
importa la forma, no el contenido, ni quien, ni para quien fueron hechos; así se
excluye el concepto de argumento como herramienta de persuasión racional. 25
No entraremos en detalles sobre el contenido básico de la lógica matemática
pues es parte fundamental de la guía que ofrecemos a continuación.
21
(Boole, 1979) 22
(Gillies, 1995, págs. 265-305) 23
(Mendelson, 1997) 24
(Enderton, 2000) 25
(Johnson R. H., 1996, pág. 80)
Marco Teórico 37
En el siglo XX la lógica tendría un gran desarrollo con el trabajo de Bertrand
Rusell y Alfred North Whitehead titulado Principia mathematica, se logra gran
parte de la matemática a partir de la lógica. Pero también surgió el estudio de
nuevas teorías que son llamadas lógicas no clásicas las cuales aceptan lógicas
plurivalentes, lógicas paraconsistentes o lógicas modales. Pero en este siglo
también fue importante para la retórica dado que su estudio perdiera importancia
en el siglo XVII y volvió a surgir en la segunda mitad del siglo XX con el Tratado
de la argumentación. La nueva retórica de Perelman y Olbrechts. Es sobre esta
época donde nace la lógica informal como una de las corrientes de la llamada
teoría de la argumentación.26
Ahora bien, la lógica informal surgió como disciplina en la década de 1970 en
EE.UU. y Canadá como respuesta a la insatisfacción de los profesores con los
niveles de aprendizaje alcanzados por los estudiantes en cursos de lógica
matemática y simbólica. Debido a la naturaleza del campo de estudio, lenguajes y
sistemas formales, los estudiantes no mostraban interés por éste, dada la poca
utilidad práctica en la solución de problemas cotidianos. Un planteamiento relativo
a este punto se encuentra en (Fisher, 2000) citado por (Sánchez C. H., Lógica
informal: Una alternativa para la enseñanza de la lógica, 2006)
Este libro nace de mi experiencia enseñando lógica. Como muchos otros
yo esperaba que la enseñanza de la lógica ayudaría a mis estudiantes a
argumentar mejor y más lógicamente. Estudiantes que eran muy hábiles en
el manejo de técnicas lógicas encontraban que estas eran de poca ayuda
en el manejo de argumentos de la vida real. Las herramientas de la lógica -
formalización, tablas de verdad, diagramas de Venn, tabeaux semánticos,
etc. Justamente no parecían aplicarse de manera directa al razonamiento
que los estudiantes debían hacer en cursos distintos de la lógica.
26
(Rincón Hidalgo, 2006, págs. 4-8)
38 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
La lógica informal como lo dice (Sánchez C. H., Lógica informal: Una alternativa
para la enseñanza de la lógica, 2006) y lo clarifica conceptualmente (Harada,
2007) es la combinación de una ciencia como la lógica, con un arte como la
retórica contemporánea; se combina el rigor de la lógica matemática, con el que
se analiza la validez de un argumento deductivo con la habilidad de persuadir y
convencer a una persona o un auditorio. La retórica contemporánea tiene como
importantes teóricos a (Perelman, 1958) y (Kahane, 1970), quienes también
aportan razones políticas y sociales para el desarrollo de la lógica informal, como
lo comenta (Johnson R. , 2006), en el prefacio de (Kahane, 1970), libro que es
considerado el primer texto de lógica informal, en el cual se lee
El libro fue escrito en un contexto político y social en el que los estudiantes
universitarios estaban tomando posturas radicales, las cuales expresaron
por medio de protestas en las que exigían, entre otras cosas, que sus
cursos satisficieran sus necesidades como ciudadanos y este libro fue una
respuesta a dicha exigencia.
El objetivo de la lógica informal es el estudio de los argumentos, y como lo
expone (Harada, 2007), existen varias corrientes que se han diversificado a lo
largo del desarrollo de la lógica informal. La corriente que seguiremos es la
definida por (Johnson R. , 2006) que se cita en (Sánchez C. H., Lógica informal:
Una alternativa para la enseñanza de la lógica, 2006)
La lógica informal es aquella área de la lógica la cual intenta formular los
principios y estándares de la lógica que son necesarios para la evaluación
de argumentos.
Por tal motivo, en el marco teórico del trabajo se empieza definiendo que es un
argumento “un argumento es un segmento lingüístico de cierta complejidad en el
cual de una parte de él, las premisas, se sigue otra, la conclusión” (Sánchez C.
H., Argumentación, 2009, pág. 9). Los argumentos se dividen en válidos e
Marco Teórico 39
inválidos, cuando la conclusión se deriva lógicamente o desprende de las
premisas se trata de un argumento válido (García Restrepo, 2004, pág. 95).
En la propuesta didáctica se estudiaron dos tipos de argumentos, los deductivos y
los inductivos. En los argumentos deductivos es imposible que las premisas sean
verdaderas y la conclusión falsa las premisas apoyan totalmente la conclusión,
así que si aceptamos las premisas necesariamente debemos aceptar la
conclusión; los argumentos inductivos son aquellos en los que la conclusión no se
encuentra completamente contenida en las premisas, pero si parcialmente, es
decir que las premisas ofrecen un apoyo, pero no total a la conclusión de tal
forma que si aceptamos las premisas se dirá que su conclusión es probable (Copi
& Cohen, 2005, pág. 70). Para los argumentos inductivos se define la fuerza
inductiva. Un argumento es inductivamente fuerte si las premisas ofrecen razones
que hacen altamente improbable que siendo ellas verdaderas, la conclusión sea
falsa. Un argumento es inductivamente débil en caso contrario.
En matemáticas, al hacer una demostración se está haciendo un argumento
deductivamente válido en ciencias naturales el razonamiento inductivo prima
sobre el deductivo. Una ley general en física, por ejemplo, con frecuencia se
obtiene por medio de una generalización de casos concretos.
La lógica informal también incluye los argumentos abductivos, relacionados en
diversas ocasiones con la realización de conjeturas, tema que también abordan
las herramientas curriculares del Ministerio de Educación Nacional. Este tipo de
razonamiento está ligado a la realización de conjeturas y a los procesos
heurísticos que un ser humano realiza para plantearlas. El trabajo se realizó de tal
forma que la totalidad de los aspectos disciplinares se harán evidentes en el
desarrollo de la guía.
40 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Marco Metodológico 41
2. Marco metodológico
Dado que se evidenciaron problemas de razonamiento y argumentación en el
área de matemática en un grupo de estudiantes de educación media en la
Institución Educativa Técnica Ciudad Luz, y que el objetivo es diseñar un curso de
lógica informal y valorar su impacto, la investigación que se propone es del tipo
proyecto factible, que consiste en la investigación, elaboración y desarrollo de una
propuesta de un modelo operativo viable, para solucionar problemas,
requerimientos o necesidades de organizaciones o grupos sociales. Se refiere
este tipo de investigación a la formulación de programas, métodos o procesos.
Para desarrollar el trabajo según el marco de este tipo de investigación se
propuso dos etapas, la primera dirigida a identificar las falencias argumentativas
en los estudiantes y la segunda, dependiendo de los resultados de la indagación,
se tomó como punto de partida para realizar un análisis conceptual y didáctico de
los contenidos pertinentes para un curso de lógica informal y finalizó con el diseño
e implementación del mismo. El tema propuesto se adecuó a un diseño de
campo, dada la necesidad de recolectar información directamente de los
estudiantes, y a un diseño documental pues se fundamenta en el análisis de
referentes conceptuales y didácticos. Para la investigación se determinó que la
población de estudio la conformaran los estudiantes de educación media (grados
décimo y undécimo) de la Institución Educativa Ciudad Luz de la ciudad de
Ibagué. La muestra se constituyó con los estudiantes de los grados 11-1 y 11-2
de la institución educativa mencionada. El objetivo fue trabajar con estudiantes
que tienen una disposición hacia la matemática y nunca han estudiado temas de
lógica.
42 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
En esta investigación la variable es cualitativa y se refiere a las competencias
argumentativas de los estudiantes; estas competencias argumentativas son las
destrezas alcanzables por los estudiantes para analizar y evaluar argumentos.
Las técnicas utilizadas para desarrollar la investigación son el análisis de los
resultados de la prueba diagnóstica escrita y la observación directa para analizar
las respuestas y comentarios en una charla inicial con los estudiantes. Después
se hizo un análisis documental de la bibliografía que se adecuó a los resultados
arrojados por las herramientas diagnósticas. Por último se aplicó la técnica del
cuestionario para evaluar algunos contenidos vistos al aplicar el curso. Se diseñó
la prueba diagnóstica escrita de tal forma que se pudo identificar mediante
observación directa y de análisis de resultados escritos las competencias
argumentativas de los estudiantes, pero no se pudo aplicar debido a que al
momento de entregarla a los estudiantes ellos manifestaron que no conocían los
conceptos de proposición, premisas ni conclusiones. De acuerdo a estos
resultados, se escogió la bibliografía pertinente para hacer un análisis conceptual
y didáctico de los temas a desarrollar en el curso de lógica informal, y de esta
forma se establecieron los contenidos del curso. Con los contenidos ya definidos
se estructuraron las unidades del mismo guiándonos por trabajos ya realizados
en esta área. Se llevó a cabo el curso de lógica informal bajo el nombre de
Desarrollo del pensamiento matemático en la Institución Educativa Técnica
Ciudad Luz para los grupos de grado 11, y se aplicó una prueba escrita al final del
primer periodo para evaluar algunos temas del curso y hacer un análisis de los
resultados.
Propuesta Didáctica 43
3. Propuesta didáctica
La propuesta didáctica que se presenta es una guía que titulada Introducción a
la lógica informal para la enseñanza media. Es un texto estándar en el sentido
que se introduce un concepto, se dan ejemplos, se analizan y luego se proponen
ejercicios; se señalan igualmente los obstáculos epistemológicos de cada uno de
los conceptos que se van a trabajar y los errores usuales que cometen los
estudiantes. Los contenidos de la guía siguen un orden adecuado para alcanzar
la meta de mejorar las competencias argumentativas y generar el interés de los
estudiantes por el estudio de los argumentos.
La guía está compuesta de cuatro secciones. En la primera se hace un estudio de
los argumentos en general y algunas estrategias para identificarlos y distinguirlos
de otro tipo de textos. En la segunda parte se presentan conceptos básicos del
cálculo proposicional. En la tercer parte se estudian los argumentos deductivos
haciendo un recorrido por las reglas de inferencia y analizando la validez de un
argumento mediante el uso de esquemas deductivos. En esta sección igualmente
se hace una aproximación al manejo de cuantificadores y de las falacias formales,
y en la cuarta parte se abordan de manera muy incipiente el estudio de los
argumentos inductivos y algunos criterios para valorarlos. Cada sección cuenta
con un buen número ejemplos, el análisis cuidadoso de ellos y unos cuantos
ejercicios que le permitan al lector revisar cada uno de los temas tratados.
Debemos advertir al lector de este trabajo que muchos aspectos técnicos y
teóricos de la lógica matemática no se harán explícitos en la guía ya que se sale
por completo de los objetivos de la propuesta y del nivel de los estudiantes al cual
44 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
está dirigido. Por ejemplo, estrictamente hablando, la noción de validez de un
argumento deductivo es una noción semántica mientras que la noción de
derivación de una conclusión a partir de las premisas es una noción sintáctica.
Las leyes lógicas del cálculo proposicional son ciertas formas tautológicas que
pertenecen a la teoría, mientras que las reglas de inferencia son esquemas
argumentativos que pertenecen a la metateoría ya sea del cálculo proposicional o
de predicados. Los teoremas de completitud tanto del cálculo proposicional como
del cálculo de predicados nos garantizan que un argumento es válido si, y sólo si
la conclusión se deriva de las premisas a partir de las reglas de inferencia del
sistema, con lo cual están relacionadas las dos maneras de abordar la validez de
un argumento. En la guía no se hará clara esta distinción simplemente se pasa de
la una a la otra como se anotó; igualmente sucede con algunos aspectos teóricos
de los argumentos inductivos.
Propuesta Didáctica 45
Introducción a la lógica informal para la enseñanza media
Camilo Andrés Girón Patiño
Bogotá, Colombia
2016
46 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Propuesta Didáctica 47
Contenido
Introducción ...................................................................................................... 49
1. Argumentos y su identificación ................................................................ 51
1.1 Identificación de argumentos .......................................................................... 52
Ejercicios ............................................................................................................................... 57
1.2 Argumentos complejos y esquema de un argumento ................................. 59
Ejercicios ............................................................................................................................... 61
1.3 Tipos de argumentos ....................................................................................... 62
2. Conceptos básicos de lógica matemática ............................................... 69
2.1 Cálculo proposicional ...................................................................................... 71
Ejercicios ............................................................................................................................... 73
2.2 Formas de la proposición ................................................................................ 74
2.2.1 Proposiciones compuestas ....................................................................................... 74
Ejercicios ............................................................................................................................... 86
2.2.2 Proposiciones compuestas de compuestas (conectivo principal) ............................. 87
Ejercicios ............................................................................................................................... 93
2.2.3 Tautologías, contradicciones y contingencias ........................................................... 94
Ejercicios ............................................................................................................................... 97
Ejercicios ............................................................................................................................... 99
Ejercicios ............................................................................................................................. 107
3. Argumentos deductivos .......................................................................... 109
3.1 Argumentos deductivos válidos ................................................................... 110
3.1.1 Reglas de inferencia ............................................................................................... 112
Ejercicios ............................................................................................................................. 129
3.1.2 Prueba formal de validez ........................................................................................ 130
Ejercicios ............................................................................................................................. 134
3.1.3 Razonamiento con cuantificadores ......................................................................... 135
Ejercicios ............................................................................................................................. 140
Falacias formales: Errores comunes de razonamiento ........................................................ 142
Ejercicios ............................................................................................................................. 144
4. Argumentos inductivos ........................................................................... 145
4.1 Tipos de argumentos inductivos .................................................................. 146
4.1.1 Inducción por enumeración ..................................................................................... 146
4.1.2 Argumento estadístico ............................................................................................ 150
4.1.3 Inducción por analogía............................................................................................ 153
Ejercicios ............................................................................................................................. 156
4.2 Algunas ideas erróneas sobre los argumentos inductivos ...................... 158
48 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Introducción 49
Introducción
Cuando uno de sus oyentes dijo, “convénceme de que la lógica es útil”, el respondió: “¿Debo demostrarlo?” “Si” “Entonces, ¿no debo usar un argumento demostrativo?” Y cuando el otro se mostró de acuerdo, él le dijo, “¿Cómo sabrás que no te impongo simplemente la conclusión? Y puesto que su interlocutor no tuvo respuesta, le dijo “¿ves cómo tú mismo aceptas que la lógica es necesaria?, sin ella no podrías aprender siquiera si es o no necesaria”.
–DISCURSO DE EPICTETO Cuando hablamos de lógica imaginamos un mundo de reglas que nos orientan para expresar ideas de manera clara y concisa, que nos ayudan a mejorar nuestra capacidad de precisar los términos que usamos y desarrollar el potencial para elaborar buenos argumentos o analizarlos críticamente. Un país democrático como Colombia requiere de ciudadanos que piensen por sí mismos, que puedan sostener discusiones libremente sobre sus problemas y que decidan con base en el análisis y la evaluación de evidencias. Como afirma (Copi & Cohen, 2005, pág. 7)
A través del estudio de la lógica podemos adquirir no solamente la práctica en el arte de razonar sino también respeto por la razón, reforzando así y asegurando los valores de nuestra sociedad.
Para poder empezar a cumplir con este objetivo presentamos una selección de temas de lógica informal que son pertinentes no solo para mejorar las competencias argumentativas en los estudiantes de educación media, sino que también podrán acercarlos a este interesante mundo de la lógica. En el primer capítulo estudiamos los argumentos en general presentando una serie de pautas para identificarlos y así reconocer cuáles son las premisas y cuál su conclusión; esto se logrará con la presentación de un gran número de ejemplos y un análisis exhaustivo de cada uno. En el segundo capítulo estudiaremos conceptos básicos de lógica matemática, como es una introducción al cálculo proposicional, y una aproximación al manejo de cuantificadores.
50 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Realizaremos un recorrido por las reglas de inferencia y analizaremos la validez de un argumento mediante el uso de esquemas deductivos. En el tercer capítulo nos aproximaremos al estudio de los argumentos inductivos y algunos criterios para determinar su fuerza inductiva. Cada capítulo contará con un buen número de ejercicios que le permitan al lector revisar cada uno de los temas tratados.
Camilo Andrés Girón Patiño Egresado Universidad Nacional de Colombia
Bogotá, 2016
Argumentos y su Identificación 51
1. Argumentos y su identificación
Un argumento es una serie de proposiciones de las cuales unas sirven de base para sustentar otra; a las primeras se les llama premisas y a la segunda conclusión. Un argumento usualmente se representa de la forma P1, P2, P3,…, Pn / Q donde P1, P2, P3,…, Pn son las premisas y Q es la conclusión. Para adentrarnos en el estudio de los argumentos debemos definir algunos conceptos importantes antes de empezar. El primero de ellos es el de inferencia, que según Copi & Cohen, (2005) es el proceso por el cual se llega a una conclusión que se afirma sobre la base de una o más proposiciones aceptadas como punto inicial del proceso. Para determinar si una inferencia es correcta, el lógico examina las proposiciones que constituyen los puntos inicial y final de este proceso, así como la relación que existe entre ellos. Podemos decir que por cada inferencia hay un argumento y por cada argumento hay una inferencia este el eje central de nuestro trabajo.
La característica central de un argumento es el hecho de que permite pasar, por la sola reflexión, de la aceptación de unos enunciados a la aceptación de otros. Debemos notar que los argumentos son parte de la vida cotidiana, de la vida científica y académica, como también de la vida de un abogado o un filósofo. (Sánchez C. H., Argumentación, 2009, pág. 19)
Debemos completar la cita diciendo que los argumentos son parte de la vida de un comerciante, un periodista, un estudiante, de cualquier persona que desee sostener o criticar un punto de vista.
52 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
1.1 Identificación de argumentos
En el lenguaje natural la identificación de argumentos, es decir, determinar cuáles son las premisas y cuál la conclusión en ocasiones es un trabajo complejo debido a que usualmente en los argumentos no se sigue un orden estricto de premisas a conclusión; por este motivo se alienta al lector a leer con mucho cuidado y tener en cuenta las pautas que vamos a establecer. Existen expresiones específicas que nos indican que estamos en presencia de una conclusión estas las llamaremos indicadores de conclusión, y son una ayuda para determinar cuál es la conclusión. Algunos indicadores de conclusión son: Por lo tanto Por estas razones De ahí que Se sigue que Así Podemos inferir que Correspondientemente Concluyo que En consecuencia Lo cual muestra que Consecuentemente Lo cual significa que Como resultado Lo cual nos permite inferir que Por esta razón Lo cual apunta hacia la conclusión de que Entonces Se deduce que Implica que Luego En conclusión Indica que Del mismo modo existen otras expresiones que en algunos casos sirven para identificar las premisas de un argumento. Estas expresiones las llamaremos indicadores de premisas. Si nos encontramos cualquiera de ellas es señal frecuente que lo que sigue es la premisa de un argumento. Algunos indicadores de premisas son: Puesto que Como es indicado por Dado que La razón es que A causa de Por las siguientes razones Porque Se puede inferir de Pues Se puede derivar de Se sigue de Se puede deducir de Como muestra En vista de que En razón de Se deduce de Se infiere de De donde Con base en En tanto que Asumiendo que Como Considerando que
Argumentos y su identificación 53
Es importante anotar que a veces un texto que contiene un argumento no tiene explícitos los indicadores de conclusión o los indicadores de premisas, pero el contexto nos ayudará a decidir si se trata de un argumento o no. Para comenzar, estudiaremos los siguientes textos para determinar si son o no argumentos, y si lo son, identificaremos sus premisas y su conclusión: 1. Colombia es un país productor de petróleo. Por lo tanto, hay una certeza
matemática de que el país en su totalidad empeora con la baja del precio internacional del petróleo.27
Análisis: Este es el tipo más simple de argumento. Notemos que la frase por lo tanto nos indica que lo que sigue es la conclusión. Este argumento está compuesto por una premisa y su conclusión las cuales son:
P1: Colombia es un país productor de petróleo. Q: Hay una certeza matemática de que el país en su totalidad empeora con la
baja del precio internacional del petróleo. 2. No asistiré al partido, pues me siento cansado. Análisis: Este ejemplo es un argumento que de nuevo cuenta con una sola
premisa y la conclusión, pero notemos que en este caso la conclusión está primero que la premisa y la palabra pues indica que sigue una premisa.
P1: Me siento cansado. Q: No asistiré al partido. 3. “Ya he dicho, en anteriores ocasiones, que me gustaría ir a los Juegos
Olímpicos porque no pude estar en el pasado Mundial. Me estoy preparando en todos los aspectos, tanto física, futbolística y mentalmente”.28
Análisis: Este es un argumento donde Falcao da las razones de por qué quiere ir
a los Juegos Olímpicos y cómo se está preparando. Las premisas y la conclusión son
P1: No pude estar en el pasado Mundial.
27
(Jiménez, 2010) Debemos tener mucho cuidado con este tipo de expresiones, una certeza matemática es una consecuencia que necesariamente se debe aceptar si aceptamos el modelo matemático usado por el autor para justificar su conclusión. 28
El Tiempo. (1 de Abril de 2016). El Tiempo.Com. Recuperado el 13 de Abril de 2016, de 'Me estoy preparando para ir a los Juegos Olímpicos': http://www.eltiempo.com/deportes/futbol/radamel-falcao-confirmo-que-quiere-ir-a-los-juegos-olimpicos/16550979.
54 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
P2: Me estoy preparando en todos los aspectos, tanto física, futbolística y mentalmente para ir a los juegos Olímpicos.
Q: Me gustaría ir a los Juegos Olímpicos. 4. Don Ramón, personaje de la famosa serie El Chavo del 8, visitó Chile en 1982
y concedió una entrevista con una televisora local, en la que habló sobre su lado humano, su familia, sus proyectos, su relación con sus hermanos El loco, Valdés y Tin Tan; y con los otros integrantes de la serie, de El Chavo del 8.29
Análisis: El texto no es un argumento, es un texto informativo. 5. YouTube es el tercer sitio más popular en todo el mundo según el ranking de
Alexa30 por ello no sorprende a nadie que diariamente se suban millones de videos y cada vez surjan nuevas estrellas en esta plataforma.
Análisis: En este texto tenemos un argumento y la frase por ello nos indica que
se sigue la conclusión. Su premisa y su conclusión son: P1: YouTube es el tercer sitio más popular en todo el mundo según el ranking de
Alexa. Q: No sorprende a nadie que diariamente se suban millones de videos y cada vez
surjan nuevas estrellas en esta plataforma. A continuación, daremos otros ejemplos de textos donde se ilustran aspectos que se vuelven relevantes a la hora de identificar argumentos: 6. La cultura no te hace mejor persona, pero te hace más libre por lo tanto,
debes estudiar31. Análisis: Identificando las premisas y la conclusión obtenemos P1: La cultura no te hace mejor persona. P2: La cultura te hace más libre. Q: Debes estudiar. Un aspecto importante para tener en cuenta al identificar argumentos es el que aclaran Copi & Cohen, (2005, pág. 22): “Cuando se ofrecen razones en un esfuerzo por persuadirnos a realizar una acción determinada, se nos presenta algo que es, en efecto, un argumento aun cuando la conclusión se pueda
29
Redacción Espectáculos. (10 de Mayo de 2016). Prensa Libre. Recuperado el 13 de Mayo de 2016, de Prensa Libre.Com: http://www.prensalibre.com/vida/escenario/entrevista-a-don-ramon-deja-ver-su-lado-humano. 30
Alexa es una compañía de internet que se encarga de medir la cantidad de visitas que recibe un sitio web y los clasifica en un ranking. 31
Urbizu, E. (18 de 06 de 2012). La cultura no te hace mejor persona, pero si más libre. (M. Moreira, Entrevistador).
Argumentos y su identificación 55
expresar como una orden o un imperativo”. En este contexto las órdenes tienen el mismo sentido de una proposición, aunque es una orden, la proposición nos persuade con razones que pueden ser válidas para que la llevemos a cabo, así que ignorando la diferencia somos capaces de reconocer ambos tipos de expresiones y determinar cuándo se trata de un argumento y cuando no. 7. El psicólogo José Elías, pionero en risoterapia en España, puso de manifiesto
que la risa fortalece el corazón, ya que cuando nos reímos movemos 420 músculos de nuestro cuerpo y entre ellos el músculo del corazón. Además, la risa reduce la presión arterial, aumenta el calibre de los vasos sanguíneos y favorece la respiración puesto que se aumenta al máximo la ventilación.32
8. La risa fortalece nuestro corazón, por lo tanto la risa mejora nuestra calidad de
vida y nuestra salud y tiene efectos positivos tanto físicos como psicológicos. Análisis: En este caso estudiemos los ejemplos 7 y 8 en conjunto ya que en
ocasiones una proposición en un argumento es una conclusión, mientras que en otro argumento la misma proposición es una premisa. Explicitemos primero las premisas y la conclusión del ejemplo 7:
P1: Cuando nos reímos movemos 420 músculos de nuestro cuerpo y entre ellos el
músculo del corazón. P2: La risa reduce la presión arterial, aumenta el calibre de los vasos sanguíneos
y favorece la respiración puesto que se aumenta al máximo la ventilación. Q: La risa fortalece el corazón.
Ahora explicitemos las premisas y la conclusión ejemplo 8: P1: La risa fortalece nuestro corazón Q: La risa mejora nuestra calidad de vida y nuestra salud y tiene efectos positivos tanto físicos como psicológicos. Como podemos ver la conclusión Q del ejemplo 7 es una premisa del argumento del ejemplo 8. Es de aclarar que una proposición por sí misma, de manera aislada e independiente pueda ser considerada una premisa o una conclusión. La proposición debe ser soporte para una conclusión para ser una premisa, y es una conclusión cuando está en un argumento y se fundamenta en otras proposiciones del argumento (Copi & Cohen, 2005, págs. 23-24). Todo esto es para explicar que premisa y conclusión son términos relativos, es decir, dependiendo del contexto puede ser premisa o conclusión.
32
Álvaro Fariñas, A. (13 de Mayo de 2012). La Mente es Maravillosa. Recuperado el 11 de Marzo de 2016, de https://lamenteesmaravillosa.com/la-risa-lenguaje-del-alma/
56 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
9. Las paradojas sorprenden, impresionan, llaman la atención, provocan emociones profundas, motivan a la mejor comprensión de los conceptos físicos. En particular las paradojas físicas ayudan de manera efectiva a despertar el interés de los estudiantes a los temas de física, estas hacen más atractiva y recreativa las clases, dándole mayor intensidad y agudeza especial, eliminan el aburrimiento y fastidio.
33
Análisis: Identificando las premisas y la conclusión tenemos que P1: Las paradojas sorprenden, impresionan, llaman la atención, provocan
emociones profundas, motivan a la mejor comprensión de los conceptos físicos.
P2: Las paradojas hacen más atractiva y recreativa las clases, dándole mayor intensidad y agudeza especial, eliminan el aburrimiento y fastidio.
Q: Las paradojas físicas ayudan de manera efectiva a despertar el interés de los estudiantes a los temas de física.
Otro aspecto que debemos tener en cuenta es que las conclusiones no tienen que estar al principio o al final del argumento ya en un anterior ejemplo la conclusión está en medio de las premisas. La conclusión Q está sustentada por las premisas, estén donde estén en el argumento.
33
(Reshetkov, 2011, pág. 13)
Argumentos y su identificación 57
Ejercicios
En cada uno de los siguientes textos determine si es un argumento o no; en caso de que lo sea, identifique las premisas y la conclusión. a. La Secretaría de Gobierno decretó que a partir de hoy al mediodía y hasta la
media noche del domingo, se prohíbe a los motociclistas el tránsito con máscaras, caretas, antifaces o elementos que cubran u oculten la cara y que pueda generar la vinculación de personas en hurtos y rapto de menores sin ser identificados.34
b. Supongamos que 2+2=5. Entonces, restando 3 a ambos lados obtenemos que 1=2. Como el Papa y yo somos dos personas y 1=2, entonces el Papa y yo somos uno. Por tanto, yo soy el Papa.35
c. Todos los múltiplos de 81 son múltiplos de 27. Todos los múltiplos de 27 son múltiplos de 9 y todos los múltiplos de 9 son múltiplos de 3. 243 es múltiplo de 81. Luego, 243 es múltiplo de 3.
d. Cuando Gregor Samsa se despertó una mañana después de un sueño intranquilo, se encontró sobre su cama convertido en un monstruoso insecto. Estaba tumbado sobre su espalda dura, y en forma de caparazón y, al levantar un poco la cabeza, veía un vientre abombado, parduzco, dividido por partes duras en forma de arco, sobre cuya protuberancia apenas podía mantenerse el cobertor, a punto ya de resbalar al suelo.36
e. Las cifras de DANE sobre desempleo en Colombia no son correctas. La verdad es que la muestra se toma en 380 municipios de los 1.103 que tiene el país. Eso equivale al 34 por ciento de Colombia. Siempre se incluyen capitales y áreas rurales. El resto se va rotando cada mes en diferentes departamentos. Nunca se miden las regiones selváticas del sur ni las vastas llanuras orientales. 37
34
Redacción Ibagué. (31 de Octubre de 2014). Toque de queda a menores y restricciones para celebración de Halloween. Recuperado el 27 de Enero de 2016, de El Nuevo Día: http://www.elnuevodia.com.co/nuevodia/tolima/ibague/236857-toque-de-queda-a-menores-y-restricciones-para-celebracion-de-halloween. 35
^Diamond^. (12 de Noviembre de 2013). Si partimos de algo falso podemos demostrar cualquier cosa. Recuperado el 2016 de Febrero de 18, de Gaussianos.Com: http://gaussianos.com/si-partimos-de-algo-falso-podemos-demostrar-cualquier-cosa/ 36
Kafka, F. (1952). La Metamorfosis. Buenos Aires: Editorial Losada. 37
Gossaín, J. (16 de Julio de 2014). La verdad sobre el DANE y las cifras de desempleo. Recuperado el 26 de Abril de 2016, de El Tiempo.Com: http://www.eltiempo.com/economia/indicadores/cronica-de-juan-gossain-la-verdad- sobre-el-dane-y-las-cifras-de-desempleo-/14255077
58 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
f. Al fin se encendió la señal verde y los coches arrancaron bruscamente, pero enseguida se advirtió que no todos habían arrancado. El primero de la fila de en medio está parado, tendrá un problema mecánico, se le habrá soltado el cable del acelerador, o se le agarrotó la palanca de la caja de velocidades, o una avería en el sistema hidráulico, un bloqueo de frenos, un fallo en el circuito eléctrico, a no ser que, simplemente, se haya quedado sin gasolina, no sería la primera vez que esto ocurre. El nuevo grupo de peatones que se está formando en las aceras ve al conductor inmovilizado braceando tras el parabrisas mientras los de los coches de atrás tocan frenéticos el claxon. Algunos conductores han saltado ya a la calzada, dispuestos a empujar al automóvil averiado hacia donde no moleste. Golpean impacientemente los cristales cerrados. El hombre que está dentro vuelve hacia ellos la cabeza, hacia un lado, hacia el otro, se ve que grita algo, por los movimientos de la boca se nota que repite una palabra, una no, dos, así es realmente, como sabremos cuando alguien, al fin, logre abrir una puerta, Estoy ciego.38
g. Al acordarnos de la fuerte depreciación del peso desde el 2015, de la mayor inflación en lo corrido de este año, de las continuas alzas de las tasas de interés, etc., vemos que al fin y al cabo con el billete de 100 mil estamos hablando de un equivalente a 33 dólares.39
h. Las aseguradoras en Colombia están realizando malas prácticas. Las quejas por malas prácticas del primer trimestre del 2016 superan en un 50,4 por ciento a las reportadas en igual período del 2015. Además lo que muestran las estadísticas de la Superfinanciera es que el número de reclamaciones de ese período supera el de cada uno de los cuatro trimestres del año pasado.40
i. El fenómeno Juego de Tronos supone la culminación del sinuoso camino que ha tenido que recorrer el autor en el medio televisivo, en el que entró a mediados de los ochenta para colaborar en la resurrección de La dimensión desconocida. Antes de su destino de oro en la HBO, el Martin televisivo brilló en La bella y la bestia, serie en la que pudo ejercer de cosupervisor de producción. ¿El secreto de Martin? Que todo lector reconozca a sus personajes como sus iguales, que todo aficionado a las mitologías de género reconozca en él a uno de los suyos: un iniciado, un verdadero cómplice.
41
38
Saramago, J. (2003). Ensayo sobre la ceguera. Buenos Aires: Editorial Sol90. 39
Moreno Alemay, P. (4 de Mayo de 2016). Reflexiones sobre el nuevo billete de 33 dólares. Recuperado el 7 de mayo de 2016, de El iempo.Com:http://www.eltiempo.com/economia/finanzas-personales/el-billete-de-100-mil-equivale-a-33-dolares/16581582 40
García M., C. (18 de Mayo de 2016). Las 11 malas prácticas con los compradores de seguros en el país. Recuperado el 18 de Mayo de 2016, de El Tiempo.Com: http://www.eltiempo.com/ economía/finanzas-personales/malas-practicas-de-las- aseguradoras/16595879 41
Costa, J. (24 de Abril de 2016). La humana fantasía del creador de ‘Juego de tronos’. Recuperado el 11 de Mayo de 2016, de El País: http://cultura.elpais.com/cultura/2016/04/22/ actualidad/1461336628_523142.html
Argumentos y su identificación 59
1.2 Argumentos complejos y esquema de un argumento
Después de identificar un argumento, es decir, identificar cuáles son las premisas y su conclusión, procedemos a extraer la estructura de un argumento complejo; esto es un texto que contiene varios argumentos, donde uno de ellos se denomina el argumento central y los demás dan soporte a algunas de sus premisas. Un ejemplo de esto lo constituyen los ejemplos 7 y 8 de la identificación de argumentos, en donde el primer argumento sirve como soporte a la premisa del segundo. Con el objetivo de facilitar el análisis de los argumentos complejos recomendamos tener en cuenta los siguientes pasos42: 1. Identifique la conclusión central del argumento y las premisas que la soportan. 2. Identifique si las premisas tienen soporte dentro del argumento principal y
conforman argumentos secundarios. Señale las premisas secundarias. 3. Use flechas para indicar las relaciones de premisa-conclusión.
Realicemos ejemplos para ilustrar este análisis, en los cuales identificaremos las premisas, las conclusiones secundarias y la conclusión principal; seguido expondremos la estructura del argumento complejo mediante un esquema.
1. A primera vista, parece verosímil decir que puesto que se pueden dar razones para explicar aquellas conductas que usualmente llamamos “irracionales”, aun este comportamiento es, después de todo, racional, pero a un nivel inconsciente. Lo cual nos lleva a la conclusión de que Freud ha mostrado que el comportamiento irracional es “realmente” racional, y que por tanto, somos más racionales de lo que usualmente suponemos.
Lo primero que debemos aclarar es que seguiremos usando la notación para los argumentos, es decir, las premisas se notaran con Pn, las conclusiones secundarias con qn y la conclusión principal con Q.
Análisis: P1: Se pueden dar razones para explicar aquellas conductas que usualmente
llamamos “irracionales”. P2: Aun este comportamiento es, después de todo, racional, pero a un nivel
inconsciente. q1: Freud ha mostrado que el comportamiento irracional es “realmente” racional. Q: Somos más racionales de lo que usualmente suponemos.
42
(Sánchez C. H., Argumentación, 2009, pág. 53)
60 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
(P1) (P2)
(q1)
(Q) Esquema 1
2. Casi todos los anuncios que vemos están obviamente diseñados, en una o en otra forma, para engañar al cliente, las letras que los anunciantes no quieren que veamos son muy pequeñas; sus enunciados están escritos de forma confusa. Es obvio para cualquiera que el producto no se está presentando de una forma científica y equilibrada. Por lo tanto, en los negocios comerciales, hay una falta de honestidad.
Análisis: P1: Las letras que los anunciantes no quieren que veamos son muy pequeñas. P2: Sus enunciados están escritos de forma confusa. q1: Casi todos los anuncios que vemos están obviamente diseñados, en una o en
otra forma, para engañar al cliente. q2: El producto no se está presentando de una forma científica y equilibrada. Q: En los negocios comerciales, hay una falta de honestidad.
(P1) (P2)
(q1)
(q2)
(Q) Esquema 2
Argumentos y su identificación 61
Ejercicios
En cada uno de los siguientes textos argumentativos (argumentos complejos) identifique las premisas y la conclusión principal, enúncielos usando la notación sugerida y realice el esquema. a. Las declaraciones de “Raúl Reyes” en las cuales señala que los secuestrados
en poder de las Farc pueden esperar el mismo tiempo que deberán pagar sus condenas los guerrilleros por los cuales serán intercambiados, y las recientes opiniones del Alto Comisionado de Paz, Luis Carlos Restrepo de las cuales parece derivarse que el Gobierno no tiene claro si el Acuerdo Humanitario se debe hacer antes o durante el proceso de paz, que ha propuesto el presidente Uribe, prueba claramente que todavía las partes que debían celebrar el acuerdo no saben, exactamente, en que consiste ni para qué sirve el derecho internacional humanitario.43
b. Demasiado influidos por la ideología marxista, según la cual la economía determina el comportamiento de los seres humanos (dime cuanto tienes y te diré que piensas); demasiado influidos por las psicología freudiana, según la cual nuestras pulsiones sexuales o los traumas infantiles determinan nuestra forma de ser (dime con quien te acuestas o no te acuestas y te diré quién eres); demasiado influidos por la psicología evolutiva, según la cual nuestro comportamiento se debe al pasado remoto de nuestra especie (dime si eres un mamífero macho o hembra y te diré que buscas y porque); demasiado influidos por todo esto, nos olvidamos de una vieja teoría antropológica según la cual el clima influencia de un modo determinante nuestra conducta, la manera de ser de la gente, e influye también en las relaciones de su intelecto y en su estado de ánimo en general: dime en que clima te educaste y en que clima vives, y te diré algunas cosas interesantes sobre ti, ¿Por qué son puntuales los alemanes y en las paradas de bus dice exactamente la hora y el minuto en el que pasara el próximo servicio público? ¿Por qué en general los teutones no hacen esperar a los amigos parados en la esquina? ¿Será que son rígidos y cuadriculados por falta de sexo? La explicación es más simple: dejar un amigo esperando un rato, en una calle de Cartagena, provoca como mucho que se cambie de acera para evitar el sol. Pero si estoy en el norte de Alemania y es otoño, invierno o primavera, y llueve y hace frio, no saber cuándo llegara el bus puede ser una experiencia aterradora (e incluso mortal, si a eso vamos). Y si el amigo no es puntual, en esas condiciones atmosféricas, al llegar lo recibiremos con piedras en la mano.44
43
Samper Pizano, E. (8 de Septiembre de 2006). ¿Para cuándo el intercambio? Recuperado el 8 de Mayo de 2016, de El Tiempo.Com: http://www.eltiempo.com/archivo/documento/MAM-2198665. 44
Abad, H. (4 de Septiembre de 2006). Clima y carácter. Recuperado el 11 de Mayo de 2016, de Soho.Com: http://www.soho.com.co/home-blogs/entrada-blog/clima-y-caracter/13495
62 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
c. Lo primero que hice fue infundir a Semión tanto valor, que llegó a prometer al
zar que conquistaría el mundo entero. Entonces, el zar lo nombró general en jefe de su ejército y lo envió a luchar contra el soberano de la India. Los ejércitos se encontraban ya uno frente a otro. Aquella noche humedecí la pólvora en el campamento de Semión y luego fui al campamento del soberano indio y le hice soldados de paja. Al ver que por doquier avanzaban soldados de paja, las tropas de Semión tuvieron miedo. Entonces, éste ordenó que se hiciera fuego; pero ni los cañones ni los fusiles dispararon. Esto hundió a Semión. Le han quitado sus bienes y se disponen a fusilarlo mañana.45
d. Los hipocondriacos usan los síntomas de enfermedades para decir a las demás personas que algo está funcionando mal en su vida. Así, el hipocondriaco está pidiendo a otros una consideración especial: atención, simpatía y apoyo. Esta interpretación sugiere que si uno pone a un hipocondriaco en una isla desierta, desaparecerán sus síntomas.46
1.3 Tipos de argumentos
Existen diferentes tipos de argumentos: deductivos, inductivos y abductivos, en este trabajo nos encargaremos de estudiar los deductivos y los inductivos. Los argumentos deductivos son válidos e inválidos. En los argumentos válidos es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa las premisas apoyan totalmente la conclusión, así que si aceptamos las premisas necesariamente debemos aceptar la conclusión. Los argumentos inductivos son aquellos en los que la conclusión no se encuentra completamente contenida en las premisas, pero sí parcialmente, es decir que las premisas ofrecen un apoyo parcial pero no total a la conclusión, de tal forma que si aceptamos las premisas se dirá que su conclusión es probable. Los argumentos abductivos son aquellos en los que a partir de una descripción de un hecho o fenómeno, ofrece una hipótesis que explica las posibles razones del hecho mediante las premisas en otras palabras, es como razonamos cuando hacemos conjeturas.47 La lógica informal no sólo se centra en el estudio de los argumentos deductivos, ya que nuestra capacidad de razonar y nuestra actividad argumentativa no sólo es deductiva. En los lenguajes naturales los calificativos de válido e inválido
45
Tolstoi, L. (1960). Iván el imbécil. Barcelona: Casa Editorial Maucci. 46
Harvard Medical School Health Letter. (1986). The problem of overweight. N° 11, 7. 47
(Nepomuceno Fernández, 2004)
Argumentos y su identificación 63
requieren matices, pero en la lógica tienen un sentido preciso y es lo que vamos a tratar en esta guía. Podemos hablar de argumentos buenos y malos en virtud de su eficiencia, y que su examen no solo depende de su validez, sino también de otros factores, por ejemplo, entre los válidos encontramos varios argumentos que son inútiles, triviales, así como entre los inválidos hay argumentos muy valiosos desde el punto de vista de su efectividad. Esta manera de considerar los argumentos ya no parece excluyente y nos permite clasificarlos ahora en buenos y malos, algo similar a la clasificación de los argumentos inductivos en fuertes y débiles, según se pueda valorar la fuerza con que las premisas obligan a la conclusión, es decir, el grado de asentimiento que el interlocutor otorgue a las premisas. (Sánchez C. H., Argumentación, 2009, pág. 44) Para hacer una correcta evaluación de argumentos se propone el procedimiento expuesto por (Johnson R. H., 1996, pág. 37), que comprende seis pasos: 1. Identificación de premisas y conclusión. 2. Eliminación de material extraño. 3. Visualización de la estructura. 4. Explicitación (dotación) de las premisas implícitas. 5. Aclaración del significado. 6. La evaluación y la crítica. Para explicar estos pasos empezaremos hablando de la eliminación de material irrelevante para soportar la conclusión, pero que le dan contexto a las premisas para hacer más claro su apoyo a la conclusión. Como lo estudiamos anteriormente, la visualización de la estructura consiste en esquematizar en un diagrama las premisas y la conclusión del argumento. En cuanto a la explicitación de las premisas implícitas, las premisas son aceptadas o son plausibles en razón de otras premisas que no se explicitan en el intercambio argumentativo. Serán más plausibles las premisas que estén en concordancia con nuestras convicciones; sin embargo, es frecuente que asintamos a premisas sin percatarnos de que en algún momento puedan entrar en conflicto con otras más básicas. Por eso es importante el ejercicio de explicitar las premisas escondidas o supuestas, pues así se ponen sobre la mesa las razones por las que asentimos las premisas y ganamos control en la coherencia del argumento, así como también ganamos conciencia de nuestras convicciones y sus defectos.48 En el caso de las demostraciones matemáticas, los argumentos están llenos de premisas implícitas debido a que es muy difícil en una sola demostración hacer
48
(Sánchez C. H., Argumentación, 2009, pág. 45)
64 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
explicitas todas y cada uno de los teoremas que se usan para llegar a la conclusión, ya que usualmente están dentro del contexto de una teoría que define los supuestos desde el principio. Cuando exista alguna palabra o frase que pueda tener un significado ambiguo en un argumento debemos analizar el contexto de las premisas y determinar a qué se refiere exactamente. Analicemos el siguiente ejemplo de un argumento en matemáticas tomado de (Sánchez C. H., Lógica informal: Una alternativa para la enseñanza de la lógica, 2006) que pretende “demostrar” el famoso teorema de Pitágoras: Dado un triángulo rectángulo ABC, con ángulo recto en C, el cuadrado sobre la hipotenusa AC es la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos AB y BC.
Ilustración 1
Consideremos dos cuadrados iguales divididos como se ve en las ilustraciones 2a y 2b.
Ilustración 2a Ilustración 2b
En la primera vemos cuatro triángulos iguales al original y un cuadrado al centro, el formado por las hipotenusas de los cuatro triángulos. En la segunda vemos nuevamente los cuatro triángulos y dos cuadrados menores, los formados por los catetos. Ahora bien Si a cosas iguales le restamos cosas iguales obtenemos cosas iguales. Y así al restar los cuatro triángulos en las ilustraciones resulta que el cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Argumentos y su identificación 65
Análisis: 1. Podemos darnos cuenta que este argumento cuenta con varias premisas que
sirven de soporte a la conclusión, pero también que hay algunas que están implícitas. Empecemos por identificar las premisas y la conclusión principal.
Premisas:
P1: Los cuadrados de las ilustraciones 2a y 2b son iguales. P2: El primer cuadrado tiene cuatro triángulos iguales al original. P3: El primer cuadrado tiene un cuadrado en el centro formado con las hipotenusas de los triángulos. P4: El segundo cuadrado tiene cuatro triángulos iguales al original. P5: El segundo cuadrado tiene dos cuadrados menores, uno con lado igual al del cateto menor del triángulo original y el otro con lado igual al del cateto mayor del triángulo original. P6: Si a cosas iguales restamos cosas iguales obtenemos cosas iguales.
Conclusión:
Q: EL cuadrado sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados sobre los catetos del triángulo.
2. Ahora vamos a explicitar las premisas que están implícitas en el texto y que
son las que nos dan soporte para afirmar que los cuadrados de las ilustraciones 2a y 2b son iguales.
P7: La medida del lado del segundo cuadrado es igual a la suma de las medidas de los catetos del triángulo original.
3. La estructura del argumento es: (P7)
(P1) (P2) (P3) (P4) (P5) (P6)
(Q) Esquema 3
66 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
4. En este ejemplo es indispensable tener claros cada uno de los conceptos involucrados, como son:
- Triángulo rectángulo: Es un triángulo que tiene un ángulo recto. - Hipotenusa: Es el lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo. - Catetos: Son los lados que forman el ángulo recto del triángulo rectángulo.
Como podemos ver, hay toda una teoría detrás de una demostración en este caso se trata de una geometría elemental e intuitiva.
5. Esta es una buena demostración para niveles muy elementales de
matemática, es decir, es un buen argumento si consideramos el público al que está dirigido. No es una demostración formal y sería un mal argumento para un público compuesto por matemáticos.
Ahora estudiemos un argumento inductivo: Para transitar por la ciudad es mejor manejar una moto que un carro. En primer lugar muchas veces se transita más rápido entre el trafico dado que en la moto se puede andar entre los carros, hay mayor capacidad para variar de ruta y son más agiles para maniobrar ante los obstáculos, en segundo lugar casi siempre se parquea fácilmente ya que puedes hacerlo encima de las ceras, enfrente de cualquier puerta sin incomodar y no se debe ser un experto maniobrando la moto para parquearla en cualquier espacio. En tercero, su mantenimiento es más barato para algunos modelos ya que los repuestos de muchas motos tienen precios bajos, consumen menos combustible y no siempre tienes que pagar parqueadero. Análisis: 1. Al analizar el argumento nos encontramos efectivamente con que las premisas
prestan apoyo a la conclusión pero no totalmente, es decir, que si las premisas son verdaderas cabe la posibilidad que la conclusión sea falsa. Las premisas y la conclusión principal son: Premisas: P1: La moto puede andar entre los carros. P2: Hay mayor capacidad para variar de ruta en una moto que un carro. P3: Las motos son más agiles para maniobrar entre los obstáculos que un carro. P4: Las motos se pueden parquear encima de las aceras. P5: Las motos se pueden parquear dentro de una casa sin incomodar. P6: No se debe ser un experto maniobrando la moto para parquearla en cualquier espacio. P7: Los repuestos de muchas motos tienen precios bajos.
Argumentos y su identificación 67
P8: Las motos consumen menos combustible que un carro. P9: No siempre tiene que pagar parqueadero. P10: Muchas veces se circula más rápido entre el tráfico que los carros. P11: Casi siempre una moto se parquea fácilmente. P12: El mantenimiento de una moto es más barato en algunos modelos que el de un carro.
Conclusión:
Q: Para ir por la ciudad es mejor una moto que un carro.
2. En este argumento no hay premisas implícitas. 3. La estructura del argumento es:
(P1) (P2) (P3) (P4) (P5) (P6) (P7) (P8) (P9)
(P10) (P11) (P12)
(Q) Esquema 4
4. En este ejemplo no se hace necesario aclarar el significado de ninguna
palabra. 5. Resulta ser un argumento fuerte, pero se usan premisas que van en contra de
las normas de tránsito lo que hace que el argumento sea inconveniente.
68 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Conceptos Básicos de Lógica Matemática 69
2. Conceptos básicos de lógica matemática
De la gran variedad de aspectos que son objeto de estudio en la evaluación de un argumento, en este capítulo nos encargaremos del aspecto formal. El análisis formal de un argumento puede ser hecho efectivamente con los recursos que nos brinda la lógica simbólica. Por un lado, los símbolos lógicos facilitan la tarea de abstraer la estructura de los enunciados que componen un argumento, debido a que los argumentos presentes en los lenguajes naturales, en particular en español, son difíciles de evaluar por varios factores como el carácter impreciso y equívoco de las palabras que se usan; la ambigüedad de su construcción; los confusos giros dialécticos que suelen contener y las distracciones debidas a los significados emotivos que se pueden expresar. La lógica matemática establece un lenguaje artificial, libre de esos defectos, en el cual se pueden expresar y enunciar argumentos. Por otro lado, los conceptos y los métodos que la lógica simbólica proporciona permiten determinar si la conclusión de un argumento realmente es una consecuencia lógica de las premisas, esto es, si el argumento es válido o no lo es. Dependiendo del tipo de argumento se hace el análisis formal. Aquí importa la forma del argumento que depende de la forma de las premisas y la conclusión. En el análisis formal de argumentos lo primero es determinar qué tipo de argumento es, lo cual se efectúa analizando la forma a fin de determinar si el argumento es deductivo o inductivo, y segundo, se orienta a exhibir la forma de las premisas y la conclusión del argumento que se analiza. Para entender lo que es la forma de un argumento, citaremos a (Cohen & Nagel, 1934):
El lector seguramente tuvo oportunidad de llenar algún formulario, ya sea una solicitud de inscripción a la Universidad, un cheque, un contrato, etc. Un formulario de un contrato en blanco, por ejemplo, aún no es un contrato, pero cuando se completa, sí lo es. Si otro ejemplar del mismo formulario es completado con otros datos, será un nuevo contrato pero con la misma forma que el anterior.
La lógica formal nos provee herramientas para hallar las formas constituyentes de los argumentos a través de un lenguaje de símbolos. Una de las tantas ventajas que tiene el uso de este sistema de símbolos propuesto por la lógica matemática es descrito por (Ceolin, 2001, pág. 108)
70 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Si bien los lógicos sostienen distintas opiniones respecto de la relación existente entre el lenguaje ordinario y el lenguaje artificial que propone la lógica, creemos que la utilidad de dichos lenguajes artificiales es innegable: al representar un enunciado mediante el simbolismo lógico, obtenemos otra expresión que tiene el mismo significado cognoscitivo que la original (las mismas condiciones de verdad), pero cuya estructura gramatical es más clara y controlable. Las decisiones que se tomen respecto, por ejemplo, a la corrección de una forma de razonamiento serán entonces más sistemáticas, y luego bastará con transferir los resultados obtenidos a los razonamientos originales.
Otro autor que apoya las bondades de la lógica matemática es (Copi & Cohen, 2005, pág. 322) cuando afirma que:
Un valor adicional de los símbolos especiales de la lógica es la ayuda que proporcionan en el uso actual y la manipulación de enunciados y de argumentos. Aquí, la situación es comparable a la que se consiguió con el reemplazo de los números romanos por la notación arábiga. Todos nosotros sabemos que los numerales arábigos son más claros y fáciles de comprender que los viejos números romanos a los que desplazaron. Pero la superioridad real de los numerales arábigos se revela solamente en el cálculo. Cualquier estudiante puede fácilmente multiplicar 113 por 9. Pero multiplicar CXIII por IX es una labor más complicada y la dificultad se incrementa a medida que se consideran números mayores. De igual manera la extracción de inferencias y la evaluación de argumentos se facilitan considerablemente por la adopción de una notación lógica pertinente.
Con ayuda del simbolismo, podemos hacer transiciones en el razonamiento casi mecánicamente por medio de la vista, que de otra forma tendríamos que realizar apelando a facultades superiores del cerebro, afirma Whitehead, citado en Copi & Cohen (2005, pág.322) Empezaremos por estudiar el cálculo proposicional, un primer capítulo dentro de la lógica matemática que estudia el modo en que se vinculan los enunciados sin tener en cuenta la estructura interna de cada uno de ellos (Walton , 2006, pág. 59).
Conceptos básicos de lógica matemática 71
2.1 Cálculo proposicional
Entre todos los enunciados posibles en un lenguaje natural, vamos a definir el que estudia el cálculo proposicional, al cual se le llama proposición. Definición: Una proposición es un enunciado con sentido completo en un lenguaje determinado del cual se puede afirmar que es verdadero o falso. . Consideraremos solo dos valores de verdad para las proposiciones, verdadero (V) y falso (F). Con la definición dada, podemos decir que las preguntas, las órdenes, las exclamaciones, los consejos, las súplicas, las peticiones, las prohibiciones, los deseos, las dudas, los juicios de valor y otros tipos de expresiones no son proposiciones. Sólo las proposiciones se pueden afirmar; las preguntas se pueden responder, las órdenes se pueden dar, los consejos se pueden dar o recibir, uno presenta una súplica, las peticiones se hacen, los deseos se expresan, las dudas se generan o se tienen, las prohibiciones se hacen, un juicio de valor es subjetivo y las exclamaciones expresan emociones, pero de ninguna de ellas se puede afirmar que es verdadera o falsa. A continuación analizaremos algunos ejemplos. Ejemplos:
1. Está lloviendo en Bogotá. Análisis: El enunciado es una proposición ya que puede ser verificable fácilmente si es verdadero o falso. 2. Los perros son mamíferos. Análisis: Es una proposición de la biología. 3. La célula es la unidad anatómica de la materia viva. Análisis: Es una proposición de la biología. 4. ¿Si estudio paso el examen? Análisis: No es proposición por ser una pregunta. 5. El cabello de esa mujer es hermoso. Análisis: No es proposición por ser un juicio de valor. 6. Me gustaría que James Rodríguez anote gol en el partido.
72 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Análisis: No es proposición ya que expresa el deseo de una persona. 7. X+Y=2. Análisis: No es una proposición ya que no podemos dar un valor de verdad, pues no sabemos que valores pueden tener X e Y. 8. ¡Cómo es posible esto! Análisis: No es proposición al ser una exclamación. 9. Debes comportarte bien. Análisis: No es proposición al ser un consejo. 10. El triángulo ABC tiene un ángulo recto. Análisis: Es una proposición al ser una propiedad verificable en cualquier triángulo. 11. 2+1=3. Análisis: Es una proposición de la aritmética. 12. ¿Será el Real Madrid el próximo campeón de la Liga Española? Análisis: No es una proposición ya que es una pregunta o también puede ser una duda. 13. Colombia es el mejor lugar para vivir. Análisis: No es una proposición al ser un juicio de valor. 14. Colombia tiene dos mares. Análisis: Es una proposición de geografía. 15. El próximo rector de la Universidad Nacional será una mujer. Análisis: Es una proposición.
Conceptos básicos de lógica matemática 73
Ejercicios
Determine si el enunciado es una proposición o no. Justifique su respuesta. a. Los Simpsons sólo tienen 13 temporadas.
b. David Guetta es un intérprete de rock.
c. Metallica es la mejor banda de metal del mundo.
d. Atlético Nacional ganó la copa libertadores en el año 1989.
e. ¡Por Dios, qué acabas de hacer!
f. La propiedad conmutativa de la multiplicación es válida en los números
enteros.
g. Si haces la tarea te irá muy bien.
h. Soldado avisado no muere en guerra.
i. Espero que mi parcial sea perfecto.
j. John Snow pertenece a la casa de los Stark.
k. ¿Estás de acuerdo con mi opinión?
l. Miss Mundo es la mujer más bonita del planeta.
m. Señora, ¿Me podría ayudar a abrir la puerta?
n. Los ornitorrincos son réptiles.
74 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
2.2 Formas de la proposición
El cálculo proposicional estudia la forma de las proposiciones y su comportamiento con respecto a su valor de verdad. Pueden ser simples o atómicas y compuestas. Las proposiciones compuestas son aquellas en las que hay dos o más proposiciones y tienen conectivos lógicos que los ligan; las proposiciones simples o atómicas son aquellas que no son compuestas por ejemplo, “Carlos juega futbol” es una proposición simple, en cambio, “Carlos juega futbol y baloncesto” es una proposición compuesta por Carlos juega futbol y Carlos juega baloncesto. Las proposiciones en general, pueden ser simples o compuestas, y a las proposiciones simples las simbolizaremos con letras minúsculas p, q, r, s, t, u, v, etc. El cálculo proposicional clasifica las proposiciones compuestas en cinco tipos según sea: una negación, una conjunción, una disyunción, una condicional y una bicondicional. La verdad de las proposiciones simples NO depende de la lógica depende de sí lo que se dice se “corresponde” con la realidad. En cambio, la verdad de las proposiciones compuestas sí depende de los valores de verdad de las proposiciones simples que las componen.
2.2.1 Proposiciones compuestas
A continuación daremos la definición formal de cada uno de los tipos de proposición compuesta con su respectiva simbolización y tabla de verdad, señalaremos las formas frecuentes en que los encontramos en los lenguajes naturales daremos ejemplos ilustrativos y mostraremos algunos aspectos a tener en cuenta al simbolizar enunciados del lenguaje natural.
Negación
La negación la reconocemos en español con la palabra no en el contenido de una proposición, pero este no es el único indicador también estamos ante una negación cuando encontramos expresiones como es falso que, no es el caso que, no es cierto que, no se cumple que, no se tiene que, acompañando una
proposición. Dada una proposición P, simbolizamos su negación por P. Definición: La negación de una proposición tiene el valor de verdad opuesto al de la proposición dada. Es decir, si la proposición P es verdadera, entonces su
negación P es falsa de la misma forma, si P es falsa, entonces su negación P es verdadera.
Conceptos básicos de lógica matemática 75
En la siguiente tabla se resume la definición anterior.
p p
V F
F V
Tabla 1 Definición de negación
Los siguientes ejemplos son negaciones que pueden simbolizarse como p. Lo importante es reconocer la proposición simple p. Analizaremos además el valor
de verdad de p, dado el valor de verdad de la proposición simple p. 1. Santos no es el presidente de Colombia.
p: Santos es el presidente de Colombia. Análisis: Como en la actualidad el presidente de Colombia es Juan Manuel
Santos, la proposición p es verdadera y su negación p es falsa.
2. 2+24.
q: 2+24.
Análisis: como q: 2+2=4 es verdadero, su negación q es falsa. Hay que
resaltar que en matemáticas una igualdad se niega usando el símbolo 3. No es el caso que los nazis hayan invadido Rusia.
p: Los nazis invadieron Rusia. Análisis: Es sabido que los nazis no pudieron invadir Rusia en gran parte
gracias al invierno que los detuvo, por lo tanto p es falso y su negación p es verdadera.
4. Es falso que el Deportes Tolima haya ganado la Copa Libertadores.
q: Deportes Tolima ganó la Copa Libertadores. Análisis: Deportes Tolima nunca ha ganado la Copa Libertadores, por lo tanto
q es falsa y su negación q es verdadera. 5. La selección Colombia no ganó el mundial de Brasil 2014.
p: La selección Colombia ganó el mundial de Brasil 2014. Análisis: p es una proposición que varios colombianos hubiéramos querido
que fuera verdadera, pero en realidad p es falsa, por lo tanto su negación p es verdadera.
6. No es cierto que los planetas giren alrededor del sol con trayectoria circular.
q: Los planetas giren alrededor del sol con trayectoria circular.
76 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Análisis: Los planetas giran alrededor del sol describiendo una órbita elíptica como lo describen matemáticamente las leyes de Kepler, por lo tanto q es
falsa y su negación q es verdadera. 7. Es falso que la evolución de las especies sólo se da por adaptación.
p: La evolución de las especies sólo se da por adaptación. Análisis: La evolución de las especies no solo se da por adaptación también influye fuertemente otros factores como los hábitos, la ecología, etc. De
acuerdo a esto la proposición p es falsa y su negación p es verdadera. 8. El número natural 3 no es un número impar.
q: El número natural 3 es número impar. Análisis: El número natural 3 es un número impar esto significa que q es
verdadera y su negación q es falsa. Comentario: hay una creencia bastante generalizada de asociar negación con falsedad. Con varios de los ejemplos se observa que esa creencia es injustificada.
Conjunción
La conjunción gramatical es una proposición compuesta de la forma P y Q que
establece relación o enlace directo entre dos enunciados, y se simboliza por PQ. Sin embargo, en lógica se define por el valor de verdad que toma dependiendo de los valores de P y de Q, sin tener en cuenta la posible relación intrínseca que hay entre ellas. Es importante anotar que no sólo la palabra y nos indica que estamos ante una conjunción también lo es cuando aparecen las expresiones, pero, mientras que, también, sin embargo, más aún. Definición: La conjunción de dos proposiciones es verdadera siempre y cuando las partes que la componen sean ambas verdaderas. Si alguna de las partes es falsa, o ambas son falsas, entonces la conjunción es falsa. La siguiente tabla resume la definición dada.
P Q PQ
V V V
V F F
F V F
F F F
Tabla 2 Definición de conjunción
Conceptos básicos de lógica matemática 77
Los siguientes ejemplos son conjunciones de las cuales vamos a identificar las proposiciones simples que la componen. Analizaremos además el valor de verdad de la conjunción, dados los valores de verdad de las proposiciones simples. 1. Bacca es jugador del Milán y de la selección Colombia.
P: Bacca es jugador del Milán Q: Bacca es jugador de la selección Colombia.
Análisis: Como sabemos, Bacca es actualmente delantero del equipo italiano Milán y también está convocado a la selección Colombia, por lo tanto P y Q son ambas verdaderas, y la proposición compuesta es verdadera.
Comentario: al identificar las partes simples de una proposición compuesta y especificarlas para la simbolización, cada una de ellas debe tener sujeto y predicado para que sea una proposición con sentido completo. 2. Mi perrita Pepa pone huevos y amamanta a sus crías.
P: Mi perrita Pepa huevos. Q: Mi perrita Pepa amamanta a sus crías.
Análisis: Los perros no ponen huevos, pero sí amamantan a sus crías, por lo tanto P es verdadera y Q es falsa, de manera que la proposición compuesta es falsa.
3. Estados Unidos financia la lucha contra la droga, sin embargo es el mayor
consumidor de estupefacientes. P: Estados Unidos financia la lucha contra la droga Q: Estados Unidos es el mayor consumidor de estupefacientes.
Análisis: El gobierno de EE.UU. financia programas en países como Colombia para luchar contra la producción de drogas; por otro lado, en países consumidores Escocia se lleva el primer lugar en consumo de drogas49, es decir que, P es verdadera y Q es falsa, por lo tanto la proposición compuesta es falsa.
4. En Bogotá los días son soleados aunque hace frio.
P: En Bogotá los días son soleados. Q: En Bogotá hace frio.
Análisis: En Bogotá, dependiendo de la fecha, el clima puede ser de un día soleado o no de la misma forma no todos los días hace frio por lo tanto hacemos el análisis de todas las posibles combinaciones del clima de un día;
49
Revista Semana. (11 de 07 de 2014). Estos son los países que más drogas consumen. Recuperado el 23 de Marzo de 2016, de Semana.Com: http://www.semana.com/vida-moderna/articulo/informe-de-la-onu-revela-consumo-de-drogas-en-el-mundo/395174-3
78 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
la tabla nos dice que la proposición compuesta es verdadera el día en que el clima sea soleado y haga frio en cualquier otro caso la proposición compuesta será falsa.
5. Juana sacó buenas notas en matemáticas y Pedro compró la lotería.
P: Juana sacó buenas notas en matemáticas. Q: Pedro compró la lotería.
Análisis: De nuevo nos encontramos con un ejemplo donde el valor de verdad de las proposiciones varía dependiendo del valor de verdad de cada proposición.
Notas: 1. Un aspecto que debemos tener en cuenta en la conjunción es que el orden de
las proposiciones P y Q no afecta el valor de verdad de la proposición compuesta; por ejemplo si es verdad que “Pedro juega futbol y baloncesto”; también lo es que “Pedro juega baloncesto y futbol” en símbolos lógicos tiene
el mismo significado P Q que
Q P. 2. No siempre la palabra “y” indica que estamos en presencia de una conjunción,
por ejemplo el enunciado “Pedro y Juan son contemporáneos” no es una conjunción debido a que este enunciado se puede expresar como “Pedro es contemporáneo de Juan”, que es una proposición simple.
3. La lógica no tiene en cuenta el aspecto temporal de las proposiciones, que en
la vida cotidiana puede ser presente, pasado o futuro. Por ejemplo una cosa es afirmar que María tuvo un hijo y se casó, a afirmar que María se casó y tuvo un hijo. En lógica el valor de verdad depende únicamente de los valores de P y Q, y no de la forma en que se desarrollaron los acontecimientos en la vida real
.
Conceptos básicos de lógica matemática 79
Disyunción
Definición: La disyunción es una proposición compuesta de la forma P o Q, y se
simboliza P Q. La disyunción de dos proposiciones es verdadera cuando una o ambas proposiciones son verdaderas, y es falsa solamente cuando ambas partes son falsas. La siguiente tabla resume la definición dada.
P Q P Q
V V V
V F V
F V V
F F F
Tabla 3 Definición de disyunción Los siguientes ejemplos son disyunciones, es decir todas ellas tiene la forma P
Q. En lo que sigue vamos a identificar las proposiciones simples que la componen, y después determinaremos el valor de verdad de la disyunción según sea el valor de verdad de las proposiciones simples. 1. En la Universidad Nacional de Colombia puedes estudiar matemáticas o
estadística. P: En la Universidad Nacional de Colombia puedes estudiar matemáticas Q: En la Universidad Nacional de Colombia puedes estudiar estadística.
Análisis: La Universidad Nacional admite la doble titulación y es posible estudiar las dos carreras al tiempo en este caso la proposición compuesta es verdadera.
2. Las fiestas de San Pedro las disfrutaré en Ibagué o en Neiva. P: Las fiestas de San Pedro las disfrutaré en Ibagué. Q: Las fiestas de San Pedro las disfrutaré en Neiva.
Análisis: En este ejemplo se hace uso de la disyunción debido a que es posible que vaya a una de las dos ciudades, o un día esté en Ibagué y al día siguiente en Neiva; o posiblemente no esté en ninguna de las dos ciudades. Por tal motivo, dependiendo del contexto hay un valor de verdad diferente para esta proposición compuesta.
3. En una encuesta los datos cuantitativos a recolectar son discretos o continuos.
P: En una encuesta los datos cuantitativos a recolectar son discretos. Q: En una encuesta los datos cuantitativos a recolectar son continuos.
Análisis: En este caso de nuevo el valor de verdad depende de la encuesta que estemos realizando; existe la posibilidad de que en la misma encuesta los datos cuantitativos sean discretos y continuos, como por ejemplo en una
80 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
encuesta de datos personales la cantidad de hijos es un dato discreto mientras que la estatura es un dato continuo.
4. El universo fue creado por Dios o fue el resultado del Big Bang.
P: El universo fue creado por Dios. Q: El universo fue el resultado del Big Bang
Análisis: En este caso los valores de verdad para cada proposición dependen de la forma de pensar de cada persona entonces, hacemos el estudio de todos los casos posibles. La única combinación donde la proposición compuesta es falsa es cuando las dos proposiciones simples son falsas, para reflexionar pensemos la siguiente pregunta, ¿conoce a alguien que piense que Dios creó el universo es falso y que el universo es resultado del Big Bang también es falso?
5. Don Ramón le pegó a Kiko o al Chavo del 8.
P: Don Ramón le pegó a Kiko. Q: Don Ramón le pegó al Chavo del 8.
Análisis: Como recordamos en la serie El Chavo del 8, Don Ramón le pegaba a los dos personajes, es decir que las dos proposiciones son verdaderas, por lo tanto la proposición compuesta es verdadera.
Prestemos especial atención al siguiente ejemplo: 6. El 30 de diciembre estaré de vacaciones en El Cabo de la Vela ó en la Feria
de Cali. P: En el mes de diciembre estaré de vacaciones en El Cabo de la Vela. Q: En el mes de diciembre estaré de vacaciones en la Feria de Cali.
Análisis: Este es el caso de una disyunción exclusiva. No es posible estar en dos sitios al mismo tiempo. Sin embargo, la lógica no lo considera un nuevo conectivo, simplemente lo expresa diciendo que P o Q y no (P y Q).
Nota: En la disyunción tampoco importa el orden de las proposiciones que la componen para determinar su valor de verdad. Tampoco es necesaria una relación intrínseca entre las dos proposiciones que forman la disyunción, por ejemplo el enunciado “El cielo es azul o el Papa es hombre” es una disyunción, y claramente no hay relación alguna de contexto entre ellas. Además, es verdadera.
Conceptos básicos de lógica matemática 81
Condicional
Definición: Una condicional es una proposición compuesta que tiene la forma si P entonces Q, donde P se llama el antecedente y Q el consecuente de la condicional. La condicional es falsa sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso en los demás casos es verdadera. La condicional se
simboliza P Q, y la siguiente tabla resume la definición dada.
P Q P Q
V V V
V F F
F V V
F F V
Tabla 4 Definición de condicional No siempre encontramos la condicional en la forma estándar “si P entonces Q” las siguientes expresiones nos indican que estamos ante un condicional:
I. Q si P. II. P es condición suficiente para Q. III. Q es condición necesaria para P. IV. P solo si Q. V. si P, Q.
VI. siempre que P, Q. VII. Cuando P sucede Q. VIII. Q dado P IX. P supone Q
Para saber cuál es el antecedente y cuál es el consecuente, es conveniente
expresar la condicional en la forma P Q. Comentario: es muy importante tener clara la forma condicional de una proposición ya que a todo argumento P1, P2, P3,…, Pn /Q se le puede asociar la condicional si P1 y P2 y P3 y… Pn entonces Q, lo cual tendrá relevancia especial al determinar si el argumento es válido ó no. A continuación daremos ejemplos de condicionales todas ellas se pueden
simbolizar como P Q. Para ello identificaremos las proposiciones simples, transformaremos la condicional a la forma estándar, es decir, si P entonces Q, lo cual nos permite identificar claramente el antecedente y el consecuente respectivo. Por último, analizaremos su valor de verdad según sea el valor de verdad de las proposiciones simples que la componen.
82 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
1. Falcao jugará en la selección Colombia si juega de forma continua en el Mónaco.
P: Falcao juega de forma continua en el Mónaco. Q: Falcao jugará en la selección Colombia.
Forma estándar: Si Falcao juega de forma continua en el Mónaco entonces jugará en la selección Colombia. Análisis: En este caso la proposición compuesta solo será falsa cuando Falcao tenga continuidad en su club y no sea convocado a la selección.
2. Que la función f sea diferenciable en x=a es condición suficiente para que f
sea continua en x=a.
P: La función f es diferenciable en x=a. Q: f es continua en x=a.
Forma estándar: Si f es diferenciable en x=a entonces f es continua en x=a. Análisis: La condicional sólo será falsa cuando f sea diferenciable en x=a y f no sea continua en x=a situación que no es posible ya que al ser p una condición suficiente para q y p es verdadero, no es posible que q sea falsa.
3. Financiaremos la Nasa sólo si hay vida en Marte.
P: Financian la nasa Q: Hay vida en Marte
Forma estándar: Si financian la Nasa entonces encontraron vida en Marte. Análisis: En este caso el antecedente es verdadero mientras que el consecuente es falso, por lo tanto la proposición compuesta es falsa.
4. Si me gano la lotería, me compro un Mercedes Benz.
P: Gano la lotería. Q: Compro un Mercedes Benz.
Forma estándar: Si gano la lotería entonces compro un Mercedes Benz. Análisis: La proposición solo será falsa si ganara la lotería, pero no comprara el Mercedes Benz.
5. Siempre que la función f sea biyectiva, f tendrá función inversa.
P: La función f es una función biyectiva. Q: La función f tiene función inversa.
Conceptos básicos de lógica matemática 83
Forma estándar: Si f es una función biyectiva entonces f tendrá función inversa. Análisis: En este ejemplo tenemos un teorema matemático que ya se ha demostrado y siempre va a ser verdadero, eso significa que la posibilidad de que P sea verdadera y Q falsa nunca se da.
6. Cuando Carlos paga su hipoteca sucede que Colombia gana el partido.
P: Carlos paga su hipoteca Q: Colombia gana el partido
Forma estándar: Si Carlos paga su hipoteca entonces Colombia gana el partido. Análisis: Este ejemplo nos muestra que para que haya un condicional no es necesario que las dos proposiciones tengan relación alguna. Será falso cuando Carlos pague su hipoteca y Colombia no gane el partido.
7. Cuando se sufre un accidente cerebro vascular habrá pérdida del movimiento
de algunos músculos del cuerpo.
P: Se sufre un accidente cerebro vascular. Q: habrá pérdida de movimiento de algunos músculos del cuerpo.
Forma estándar: Si se sufre un accidente cerebro vascular entonces habrá pérdida de movimiento en algunos músculos del cuerpo. Análisis: Este ejemplo muestra un caso especial donde no hay explícita una frase que nos sugiera que hay una condicional, pero el contexto nos ayuda a interpretar que si pasa P entonces sucederá Q.
Nota: Observemos que cuando transformamos las condicionales a la forma estándar, cambiamos el tiempo del verbo en el enunciado esto significa que para efectos de nuestro curso se hace una abstracción total del tiempo, como se anotó anteriormente.
84 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Bicondicional
Definición: La bicondicional es una proposición de la forma Psi, y sólo si Q. Esta proposición compuesta es verdadera cuando los valores de verdad de las partes que la componen sean simultáneamente verdaderos o simultáneamente falsos, y falsa en caso contrario. Estamos en presencia de una bicondicional cuando encontramos las expresiones siempre y cuando, condición necesaria y
suficiente, si, y sólo sí. La bicondicional se denota PQ y la siguiente tabla resume la definición dada.
P Q PQ
V V V
V F F
F V F
F F V
Tabla 5 Definición de bicondicional En los siguientes ejemplos estudiaremos bicondicionales identificando las proposiciones simples que la componen, y determinando el valor de verdad de la bicondicional dados los valores de verdad de las proposiciones simples. 1. El número 10 es par si, y soló si es múltiplo de dos.
P: El número 10 es par. Q: 10 es múltiplo de dos.
Análisis: Todo número par tiene la forma 2k, para k un número entero. En este caso 10=2(5) es decir, que 10 es un número par. De este mismo modo podemos ver que 10 es múltiplo de dos, por lo tanto la bicondicional es verdadera.
2. Pedro será el presidente de Colombia siempre y cuando gane las elecciones.
P: Pedro será el presidente de Colombia. Q: Pedro gana las elecciones.
Análisis: En un sistema democrático el puesto de presidente se otorga a la persona que en las elecciones obtiene la mayoría de votos por ese motivo la doble condicional será verdadera cuando Pedro sea el presidente de Colombia y haya ganado las elecciones, o cuando no haya ganado las elecciones y no sea el presidente de Colombia.
3. La marcha de los soldados sobre un puente puede derrumbar el puente si, y
sólo si, el ritmo de la marcha coincide con la frecuencia natural del puente. P: La marcha de los soldados sobre un puente puede derrumbar el puente.
Q: El ritmo de marcha de los soldados coincide con la frecuencia natural del puente. Análisis: De nuevo estamos ante un ejemplo donde la proposición P es una condición necesaria y suficiente para la proposición Q, lo que implica que la
Conceptos básicos de lógica matemática 85
proposición compuesta sea verdadera cuando los valores de verdad de P y Q sean iguales.
4. El nuevo Papa se elige si, y sólo si, el Papa actual muere.
P: Un nuevo Papa se elige. Q: El Papa actual muere.
Análisis: En esta bicondicional tenemos un tema conocido, donde hasta el 2013 era imposible elegir un nuevo Papa si el actual no había muerto. Como se eligió el Papa Francisco sin que hubiera muerto el Papa Ratzinger, hoy esa proposición es falsa.
5. La Tierra es redonda si, y sólo si, el sol es una estrella.
P: La Tierra es redonda Q: El sol es una estrella
Análisis: En este ejemplo mostramos que no debe haber una relación causal o directa entre las dos proposiciones para que la proposición compuesta sea una bicondicional. No hay ninguna relación que nos indique que la Tierra es redonda porque el sol es una estrella y que el sol es una estrella porque la Tierra es redonda. Ahora, haciendo el estudio del valor de verdad de la bicondicional en este caso será verdadero ya que P y Q son verdaderas.
6. 3+1=6 si, y sólo si 1+1=3.
P: 3+1=6. Q: 1+1=3.
Análisis: En este ejemplo las dos proposiciones son falsas, así que la proposición compuesta será verdadera.
En resumen: Los conectivos lógicos tienen un significado constante y preciso, y los conectivos se definen por medio de su comportamiento con respecto a la verdad. En general están asociados a términos lógicos utilizados en el lenguaje natural para coordinar oraciones. Usualmente los encontramos cuando aparecen las expresiones no, y, o, si entonces, si y solo sí, pero hay otras expresiones en español que nos indican la presencia de una de ellas.
86 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Ejercicios
En las siguientes proposiciones compuestas identifique las proposiciones simples que la componen, determine su forma y su valor de verdad de acuerdo al valor de verdad de las proposiciones simples que la componen. 1. Los diálogos de paz con las Farc se llevan a cabo en la Habana o en San
Vicente del Caguán.
2. Si 2+2=5 entonces yo soy el Papa.
3. Homero Simpson trabaja en la planta nuclear y toma cerveza en el bar de Moe.
4. Votar en las elecciones es condición necesaria y suficiente para recibir el certificado electoral.
5. Si un triángulo es equilátero entonces es equiángulo.
6. Shakira es colombiana o es española.
7. Plutón no es un planeta del sistema solar.
8. Cuando sube el precio del petróleo baja el precio del dólar
9. Rosa Elvira Celis facilitó su asesinato o la culpa recae sobre el sindicado.
10. El DANE da un reporte de desempleo cada final de mes o cada fin de año.
11. Goku es un sayayin pero tiene un corazón humano.
12. El próximo campeón del futbol colombiano es Millonarios o Nacional.
13. En una nación libre los individuos deben ejercer sus derechos y cuando se los intimida esa nación ya no es libre.
Conceptos básicos de lógica matemática 87
2.2.2 Proposiciones compuestas de compuestas (conectivo principal)
En muchas ocasiones nos encontraremos con proposiciones compuestas de varias proposiciones, ya sean simples o compuestas, y varios conectivos que las ligan. En este caso debemos identificar cuál es el conectivo principal. En el lenguaje natural escrito, los signos de puntuación son claves para identificar el conectivo principal. Cuando se simboliza, los paréntesis nos permiten identificar el conectivo principal, de la misma forma como se usan los paréntesis al desarrollar operaciones matemáticas. Para evaluar el valor de verdad de una proposición compuesta de compuestas se utilizan las tablas de verdad. Estas son tablas que definen el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada una de las combinaciones posibles de valores de verdad de las proposiciones simples que la conforman. Los valores de verdad son los que se le asocian a cada proposición simple, es decir una proposición podrá ser verdadera (V) o falsa (F); en las tablas de verdad se organizan todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones que forman la proposición compuesta. Si hay n proposiciones simples, hay 2n posibilidades de combinar sus valores de verdad. Los signos auxiliares como los paréntesis “(,)”; los corchetes “[,]” y las llaves “{,}” indican el alcance de cada conectivo lógico, y es de ayuda para hacer un correcto análisis del valor de verdad de las proposiciones compuestas de compuestas. Debemos entender que al simbolizar una expresión no hacemos otra cosa que mostrar su estructura lógica, los signos de puntuación, y los signos auxiliares juegan un papel primordial, pues garantiza la no ambigüedad en las expresiones. Por último, debemos saber que existe una jerarquía de conectivos en caso de una
ambigüedad, y es la siguiente: , , , , . Con algunos ejemplos de proposiciones compuestas de compuestas, ilustraremos dónde identificaremos el procedimiento para simbolizarlas de tal manera que quede claramente identificado el conectivo principal identificando las proposiciones simples que la componen. Después se construirá su respectiva tabla de verdad. 1. Se elige un nuevo papa si, y sólo si, el papa muere o renuncia a su puesto.
Las proposiciones simples son:
P: Se elige un nuevo Papa. Q: El Papa muere. R: El Papa renuncia a su puesto.
88 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
La proposición se simboliza como PQR) y el conectivo principal es, por tanto, la bicondicional. Como hay tres proposiciones simples hay 2x2x2 = 23 = 8 posibilidades de combinar los valores de verdad. Así, su tabla de verdad es:
P Q R Q R P (Q R)
V V V V V
V V F V V
V F V V V
V F F F F
F V V V F
F V F V F
F F V V F
F F F F V
Tabla 6 Ejemplo de conectivo principal bicondicional 1. Me voy para la casa y estudio o veo el partido.
Las proposiciones simples son: P: Voy para la casa. Q: Estudio. R: Veo el partido.
En este caso encontramos una ambigüedad que es solucionada si le colocamos una coma (,) por ejemplo: Me voy para la casa y estudio, o veo el partido lo cual
se simboliza (P Q) R, y significa que el conectivo principal es la disyunción. Mientras que si cambia el lugar de la coma y entendemos la afirmación como Me
voy para la casa y, estudio o veo el partido se simboliza P(QR) y resulta que el conectivo principal es una conjunción. Estudiemos las tablas de verdad de cada caso para entender las diferencias.
P Q R P Q (P Q) R
V V V V V
V V F V V
V F V F V
V F F F F
F V V F V
F V F F F
F F V F V
F F F F F
Tabla 7 Ejemplo de conectivo principal disyunción
Conceptos básicos de lógica matemática 89
P Q R Q R P (Q R)
V V V V V
V V F V V
V F V V V
V F F F F
F V V V F
F V F V F
F F V V F
F F F F F
Tabla 8 Ejemplo de conectivo principal conjunción
Análisis: Al cambiar el lugar del paréntesis cambió el sentido de la frase lo cual se refleja en las tablas de verdad que son diferentes.
2. Vamos a montar bicicleta y a nadar en el rio, siempre y cuando, esté haciendo sol o no este lloviendo. Las proposiciones simples son:
P: Vamos a montar bicicleta. Q: Vamos a nadar en el rio. R: Está haciendo sol. S: Está lloviendo.
En este ejemplo tenemos cuatro proposiciones simples, se simboliza como
(P Q) (R S) con lo cual el conectivo principal es una bicondicional y su tabla de verdad tiene 2x2x2x2 = 16 posibles combinaciones de valores de verdad:
P Q R S S P Q R S P QR S)
V V V V F V V V
V V V F V V V V
V V F V F V F F
V V F F V V V V
V F V V F F V F
V F V F V F V F
V F F V F F F V
V F F F V F V F
F V V V F F V F
F V V F V F V F
F V F V F F F V
F V F F V F V F
F F V V F F V F
F F V F V F V F
F F F V F F F V
F F F F V F V F
Tabla 9 Ejemplo de conectivo principal bicondicional
90 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
3. Cuando juega la selección Colombia, Juan toma cerveza y no trabaja.
Las proposiciones simples son: P: Juega la selección Colombia. Q: Juan toma cerveza. R: Juan trabaja.
En este ejemplo tenemos tres proposiciones simples, se simboliza como P ( Q
R) con lo cual el conectivo principal es una bicondicional y su tabla de verdad tiene 2x2x2 = 8 posibles combinaciones de valores de verdad:
P Q R R Q R P Q R)
V V V F F F
V V F V V V
V F V F F F
V F F V F F
F V V F F V
F V F V V V
F F V F F V
F F F V F V
Tabla 10 Ejemplo de conectivo principal condicional
Análisis: En este ejemplo vemos algo interesante, y es que en la primera fila de la tabla todas las proposiciones simples son verdaderas pero el valor de verdad de la proposición es falso. 4. Si Pablo va al cine lleva a una amiga, y si la amiga va, entonces lleva al
hermanito. Entonces como Pablo va al cine, el hermanito de la amiga también va. Las proposiciones simples son: P: Pablo va al cine. Q: La amiga de Pablo va al cine. R: El hermanito de la amiga va al cine.
En este ejemplo tenemos cuatro proposiciones simples y se simboliza como
P QQ R) P] R con lo cual el conectivo principal es una bicondicional y su tabla de verdad tiene 2x2x2 = 8 posibles combinaciones de valores de verdad:
Conceptos básicos de lógica matemática 91
P Q R P Q Q R P Q Q
R)
P Q Q R)
P]
P QQ R) P]
R
V V V V V V V V
V V F V F F F V
V F V F V F F V
V F F F V F F V
F V V V V V F V
F V F V F F F V
F F V V V V F V
F F F V V V F V
Tabla 11 Ejemplo de tautología 1 Análisis: Como podemos ver por el resultado de la tabla de verdad, este es un caso especial donde el resultado de la condicional siempre será verdadera sin importar el valor de verdad de los valores de verdad de sus partes simples. 5. El acusado ha sido condenado a 20 años de prisión, esto debido a que se
pudo probar que no estaba en su casa a la hora y fecha del delito además tenía problemas con la víctima y sus huellas se encontraban en el lugar del asesinato.
Las proposiciones simples son: P: El acusado ha sido condenado a 20 años de prisión. Q: El acusado estaba en su casa a la hora y fecha del delito. R: El acusado tenía problemas con la víctima. S: La huellas del acusado se encontraron en el lugar del asesinato.
En este ejemplo tenemos cuatro proposiciones simples, se simboliza como
QRSP con lo cual el conectivo principal es una bicondicional y su tabla de verdad tiene 2x2x2x2 = 16 posibles combinaciones de valores de verdad:
92 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
P Q R S Q QR QRS QRSP
V V V V F F F V
V V V F F F F V
V V F V F F F V
V V F F F F F V
V F V V V V V V
V F V F V V F V
V F F V V F F V
V F F F V F F V
F V V V F F F V
F V V F F F F V
F V F V F F F V
F V F F F F F V
F F V V V V V F
F F V F V V F V
F F F V V F F V
F F F F V F F V
Tabla 12 Ejemplo de proposicion compuesta de compuesta 6. El barbero se puede afeitar si, y sólo si, el barbero no se puede afeitar.
Las proposiciones simples son: P: El barbero se puede afeitar.
En este ejemplo tenemos una proposición simple y se simboliza como P P con lo cual el conectivo principal es una bicondicional y su tabla de verdad tiene 2x2 = 4 posibles combinaciones de valores de verdad:
P P P P
V F F
F V F
Tabla 13 Ejemplo de contradicción 1
Análisis: En este ejemplo nos encontramos con un resultado particular y especial donde sin importar los valores de verdad de la proposición simple, la proposición compuesta siempre es falsa.
Conceptos básicos de lógica matemática 93
Ejercicios
1. En las siguientes proposiciones compuestas identifique las proposiciones que la componen, simbolícelas y determine el conectivo principal. 1. Si las personas son totalmente racionales, entonces, o bien todos los actos
humanos se pueden predecir con seguridad o el universo es esencialmente determinista.
2. Si juan se gana la lotería comprará carro o comprará casa, y volverá a la universidad.
3. Si los jóvenes escuchan la música de moda, entonces las emisoras son las que definen las tendencias o el mercado musical está restringido para los artistas que no suenan en radio.
4. Pedro viajará a Roma si no le sale el viaje a España o viajará a Londres y le dan sus cesantías.
5. Si el asesino anda suelto puede volver a atacar, o quedó herido y se está recuperando.
6. Si Grecia fortalece sus instituciones democráticas, entonces Hungría seguirá una política más independiente.
7. Arabia Saudí compra otros quinientos aviones y, Jordania pide ayuda norteamericana o Irán eleva el precio del petróleo.
8. Si Silvestre Dangond se presenta en el concierto, o bien compro la boleta VIP, o compro la boleta general si, y sólo si voy con un acompañante.
9. No es el caso que, Bacca sea jugador del Milán de Italia o Ibargüen juegue en Atlético Nacional.
10. Si estudias matemáticas en el colegio podrás realizar operaciones aritméticas rápidamente y resolver problemas cotidianos.
2. Haga la tabla de verdad de cada una de las formas de las proposiciones del
ejercicio anterior.
3. En las siguientes secuencias de símbolos coloque adecuadamente los paréntesis para que sea: i) una negación, ii) una conjunción, iii) una condicional, iv) una disyunción, v) una bicondicional.
a. P Q R S T
94 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
b. P Q R S T U
c. P Q R S T
d. P Q R S T U
e. P Q R S T
2.2.3 Tautologías, contradicciones y contingencias
Haciendo un estudio detenido en los ejemplos de la sección anterior, podemos encontrar tres casos en los resultados de los valores de verdad de las proposiciones compuestas de compuestas:
I. La proposición siempre es verdadera. II. La proposición a veces es verdadera y a veces es falsa. III. La proposición siempre es falsa.
Este tipo de proposiciones se denominan respectivamente como tautologías, contingencias y contradicciones. Definición: Las tautologías son proposiciones compuestas que siempre van a ser verdaderas independientemente del valor de verdad de las proposiciones que la componen. En la sección anterior vimos que la proposición
[(PQ)(QR)P]R es siempre verdadera este es un ejemplo de tautología. Veamos otro ejemplo de una tautología. 1. Juan canta o llora, o, ni canta ni llora.
Análisis: P: Juan canta Q: Juan llora
La proposición se simboliza (P Q) (P Q)
P Q P Q P Q P Q (P Q) (P Q)
V V F F V F V
V F F V V F V
F V V F V F V
F F V V F V V
Tabla 14 Ejemplo de tautología 2
Conceptos básicos de lógica matemática 95
La proposición resulta ser una tautología. Definición: Las contradicciones son proposiciones compuestas que siempre van a ser falsas independiente del valor de verdad de las proposiciones que la
componen. Por ejemplo, la proposición P P es una contradicción construyendo su tabla de verdad lo podemos verificar.
P P P P
V F F
F V F
Tabla 15 Ejemplo de contradicción 2 La proposición compuesta siempre será falsa y por lo tanto es una contradicción.
Otra contradicción es la proposición P P su tabla de verdad50 nos dice que efectivamente se trata de una contradicción. 2. Otro ejemplo de contradicción es el siguiente.
Juan canta o llora, pero ni canta ni llora.
Análisis: P: Juan canta Q: Juan llora
La proposición se simboliza (P Q) (P Q)
P Q P Q P Q P Q (P Q) (P Q)
V V F F V F F
V F F V V F F
F V V F V F F
F F V V F V F
Tabla 16 Ejemplo de contradicción 3 La proposición resulta ser una contradicción. Definición: Las contingencias son proposiciones compuestas cuyos valores de verdad pueden ser verdaderos o falsos, es decir, en algunos casos es verdadera
y en otros falsos. La proposición [(Q R) S] P es una contingencia dado que en su tabla de verdad51 podemos observar que sólo hay un caso en que sea falsa en todos los demás es verdadera.
50
Tabla 13 51
Tabla 12
96 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
3. Si Juan canta o llora, entonces ni canta ni llora.
Análisis: P: Juan canta Q: Juan llora
La proposición se simboliza (P Q) (P Q)
P Q P Q P Q P Q (P Q) (P Q)
V V F F V F F
V F F V V F F
F V V F V F F
F F V V F V V
Tabla 17 Ejemplo de contingencia 1 La proposición resulta ser una contingencia.
Implicación lógica
Entre las múltiples tautologías que existen nos vamos a centrar en dos tipos: aquellas en que el conectivo principal es una condicional que llamaremos implicación lógica, y aquellas en que el conectivo principal es una bicondicional que llamaremos equivalencia lógica. El papel que estas desempeñan en el análisis de argumentos es fundamental como se verá más adelante.
Definición: En el caso en que una condicional P Q sea una tautología, decimos
que P implica lógicamente a Q y lo notamos PQ.
1. Observe la tabla de (P Q)P Q).
P Q P Q P Q (P Q)P Q)
V V V V V
V F F V V
F V F V V
F F F F V
Tabla 18 Ejemplo de implicación lógica 1
Como vemos, el resultado es una tautología. Podemos afirmar que (P Q) P
Q)
Conceptos básicos de lógica matemática 97
2. Estudiemos si [(P Q)P] Q. Efectivamente, [(P Q) P]Q] es una tautología como se comprueba en la tabla.
P Q P Q (P Q) P [(P Q) P]Q
V V V V V
V F F F V
F V V V V
F F V F V
Tabla 19 Ejemplo de implicación lógica 2
3. Observe la tabla de [(P Q) Q]P.
P Q P Q (P Q) Q [(P Q) Q]P
V V V V V
V F F F V
F V V V F
F F V F V
Tabla 20 Ejemplo de no implicación lógica Como la tabla de la proposición compuesta no es una tautología, entonces no es una implicación lógica.
Ejercicios
Mediante tablas de verdad determine si las formas proposicionales dadas son implicaciones lógicas o no.
a. ( P Q) (Q P )
b. ( P Q ) ( P Q )
c. ( P Q ) ( P Q )
d. {[( P Q ) S )] ( P R )} ( Q S )
e. [( Q R )P] P Q)R P)]
98 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Equivalencia lógica
Definición: Dos proposiciones P, Q son lógicamente equivalentes, lo cual se nota
PQ, si, y sólo si, la bicondicional PQ es una tautología. En este caso, las tablas de verdad de P y Q son iguales.
1. (P Q) (P Q), pues la tabla de verdad de (P Q)P Q) es una tautología. En efecto
P Q P P Q P Q (P Q)P Q)
V V F V V V
V F F F F V
F V V V V V
F F V V V V
Tabla 21 Ejemplo de equivalencia lógica 1
2. [P Q R)] [(P Q) R]. En efecto, P Q R) (P Q) R es una tautología como se observa en la siguiente tabla.
P Q R Q R P Q R) P Q (P Q) R [P Q R)] [ (P Q) R]
V V V V V V V V
V V F F F V F V
V F V V V F V V
V F F V V F V V
F V V V V F V V
F V F F V F V V
F F V V V F V V
F F F V V F V V
Tabla 22 Ejemplo de equivalencia lógica 2
3. La proposición (P Q) (Q P) no es una equivalencia lógica. Estudiemos su tabla de verdad.
P Q P Q Q P (P Q) (Q P)
V V V V V
V F F V F
F V V F F
F F V V V
Tabla 23 Ejemplo de no equivalencia lógica
Efectivamente la tabla de la proposición compuesta no es una tautología, por lo tanto no es una equivalencia lógica.
Conceptos básicos de lógica matemática 99
Ejercicios
Mediante tablas de verdad determine si las siguientes formas proposicionales son equivalencias lógicas o no.
a. ( Q P )( P Q )
b. (P Q) [ P ( P Q ) ]
c. P [ P Q ]
d. [( P Q ) R ][ P (Q R )]
e. [(PQ)(QR)][(PR) Q]
Negación de proposiciones compuestas
Empezaremos estudiando las negaciones de las proposiciones compuestas debido a la ambigüedad que está presente en el español con respecto a la negación. En mi experiencia docente y como lo señala (Sánchez C. H., Argumentación, 2009, pág. 68) hay dificultad en los estudiantes para reconocer cuándo una proposición compuesta es la negación de otra, por ello dedicamos esta sección a revisar cuidadosamente cómo se obtiene la negación de una determinada forma proposicional en cada uno de los tipos de proposición compuesta que hemos venido estudiando.
Negación de una negación – Doble negación
Consideremos los siguientes ejemplos:
1. No es el caso que Colombia no tenga problemas de desnutrición.
Análisis:
En esta proposición estamos negando que Colombia no tenga problemas de desnutrición, pero esta a su vez niega que Colombia tenga problemas de desnutrición. Al simbolizar la proposición compuesta dada encontramos la
forma P), donde claramente
P: Colombia tiene problemas de desnutrición.
100 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
2. No es cierto que Juan no vaya al cine.
Análisis: De nuevo en esta proposición se está negando la negación de una proposición, es decir, estamos negando que Juan no vaya al cine, pero está a su vez está negando que Juan vaya al cine. Luego al simbolizarla obtenemos
la forma Q). Los ejemplos anteriores tienen la misma forma. Estudiando la siguiente tabla de
verdad nos permite concluir que PP.
P P P) PP
V F V V
F V F V
Tabla 24 Negación de una negación
Esta equivalencia tiene nombre propio: Doble negación (DN), y es una ley de la lógica clásica.
Ejemplos: 1. Afirmar que Juan va al cine.
Es equivalente afirmar que No es cierto que Juan no vaya al cine.
2. No se cumple que los números naturales no sean infinitos. Es equivalente a decir que los números naturales son infinitos.
3. No es cierto que el azúcar no afecte la salud de los diabéticos. Es equivalente a decir que el azúcar afecta la salud de los diabéticos.
Nota: En español debemos prestar mucha atención a la doble negación, porque existen expresiones donde usamos adverbios como nunca, jamás, y expresiones indefinidas como nadie, nada, ninguno, al ir pospuestos al verbo, este debe ir necesariamente precedida del adverbio no. Por ejemplo no voy nunca al teatro; no vino nadie a clase; no lo haré jamás; no lo sabe nadie; no tiene sentido nada de lo que dice, no lo perdonaría ni su padre. La concurrencia de esas dos “negaciones” no anula el sentido negativo del enunciado, sino que lo refuerza.52 Por eso la reflexión de cómo se niega en el lenguaje ordinario tiene algunas
52
Real Academia Española. (s.f.). Doble negación: no vino nadie, no hice nada, no tengo ninguna. Recuperado el 28 de 03 de 2016, de Real Academia Española: http://www.rae.es/consultas/doble-negacion-no-vino-nadie-no-hice-nada-no-tengo-ninguna.
Conceptos básicos de lógica matemática 101
diferencias de la ley de la doble negación que debe ser aplicado cuando hacemos análisis lógico formal de una proposición o de un argumento.
Negación de una Conjunción
Cuando nos encontramos con expresiones como no es cierto que, James Rodríguez sea jugador del Real Madrid y dueño del equipo Real Tolima estamos frente a tres posibilidades, la primera que James ni sea jugador del Real Madrid ni sea dueño del equipo Real Tolima la segunda, que James es jugador del Real Madrid pero no dueño del equipo Real Tolima y la tercera que James no sea jugador del Real Madrid pero sí dueño del equipo Real Tolima. De esta manera resulta que la negación de la conjunción P y Q es No P o no Q. Simbólicamente,
esto es P Q )P Q), como se comprueba en la tabla siguiente
P Q P Q P Q P Q P Q ) P Q )P Q)
V V F F F V F V
V F F V V F V V
F V V F V F V V
F F V V V F V V
Tabla 25 Negación de una conjunción
Ejemplos: 1. No es el caso que García Márquez sea de Bogotá y haya ganado el Premio
Nobel de Literatura.
P: García Márquez es de Bogotá. Q: García Márquez ganó el Premio Nobel de Literatura.
La proposición se simboliza P Q).
Luego su forma equivalente es P Q, que al traducirla al español dice lo siguiente: García Márquez no es de Bogotá o no ganó el Premio Nobel de Literatura.
2. O no se ganan los partidos o no se juega bien
P: Se ganan los partidos. Q: Se juega bien.
La proposición se simboliza P Q
Luego su forma equivalente es P Q), que al traducirla al español dice lo siguiente: es falso que, se ganan los partidos y se juega bien.
102 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
3. No es cierto que, Pedro llegue a tiempo a la cita y no lo puedan atender.
P: Pedro llega temprano a la cita. Q: A Pedro lo pueden atender.
La proposición se simboliza P Q)
Luego su forma equivalente es P Q), que al traducirla al español dice lo siguiente: Pedro no llega a tiempo a la cita o no lo pueden no atender. Y si usamos doble negación encontramos la forma equivalente: Pedro no llega a tiempo a la cita o lo pueden atender.
4. No se cumple que, un triángulo tenga dos ángulos rectos y la suma de sus
ángulos sea diferente a un ángulo llano.
P: Un triángulo tiene dos ángulos rectos. Q: La suma de los ángulos de un triángulo es diferente a un ángulo llano.
La proposición se simboliza P Q)
Luego su forma equivalente es P Q, que al traducirla al español dice lo siguiente: Un triángulo no tiene dos ángulos rectos o la suma de sus ángulos es igual a un ángulo llano.
Observe que la expresión “diferente” tiene el mismo sentido que la expresión “no es igual” 5. No es el caso que, Colombia sea el mayor exportador de café del mundo y
que tenga autosuficiencia petrolera.
P: Colombia es el mayor exportador de café del mundo. Q: Colombia tiene autosuficiencia petrolera.
La proposición se simboliza P Q)
Luego su forma equivalente es P Q, que al traducirla al español dice lo siguiente: Colombia no es el mayor exportador de café del mundo o no tiene autosuficiencia petrolera.
Negación de una Disyunción
Cuando se niega una disyunción lo que estamos haciendo es afirmando que ninguna de las alternativas se da. Esto significa que al afirmar que no es el caso que, P o Q, es equivalente lógicamente a que ni P ni Q. Simbólicamente se
representa como P Q) P Q), como se comprueba en la tabla
Conceptos básicos de lógica matemática 103
P Q P Q P Q P Q P Q ) P Q )P Q)
V V F F F V F V
V F F V F V F V
F V V F F V F V
F F V V V F V V
Tabla 26 Negación de la conjunción
Ejemplos: 1. No se cumple que, Juan esté casado con María o con Andrea.
P: Juan está casado con María. Q: Juan está casado con Andrea.
La proposición se simboliza P Q ).
Luego su forma equivalente es P Q, que al traducirla al español dice lo siguiente: Ni Juan está casado con María ni con Andrea.
2. Ni Juan Pablo Montoya ganó un campeonato de Fórmula Uno ni Nairo
Quintana ganó el Tour de Francia.
P: Juan Pablo Montoya ganó un campeonato de Fórmula Uno. Q: Nairo Quintana ganó el Tour de Francia.
La proposición se simboliza P Q.
Luego su forma equivalente es P Q), que al traducirla al español dice lo siguiente: No es el caso que, Juan Pablo Montoya ganara un campeonato de fórmula uno o que Nairo Quintana ganara el Tour de Francia.
3. No es cierto que, los escenarios deportivos para los Juegos Nacionales 2015
se construyeron en Ibagué o los contratistas respondieron por la demoras en las obras.
P: Los escenarios deportivos para los Juegos Nacionales 2015 se construyeron en Ibagué. Q: Los contratistas respondieron por la demoras en las obras.
La proposición se simboliza P Q).
Luego su forma equivalente es P Q, que al traducirla al español dice lo siguiente: Ni los escenarios deportivos para los juegos nacionales 2015 se construyeron en Ibagué, ni los contratistas respondieron por la demoras en las obras.
104 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Negación de una condicional
Recordemos que la condicional sólo es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, así que su contradictoria será verdadera solamente cuando se afirme el antecedente y se niegue el consecuente. De acuerdo con esto tenemos que al negar, si P entonces Q, estamos afirmando P y no Q.
Simbólicamente se expresa ( P Q ) P Q ) como se puede comprobar en la siguiente tabla.
P Q Q P Q ( P Q ) P Q ( P Q ) P Q )
V V F V F F V
V F V F V V V
F V F V F F V
F F V V F F V
Tabla 27 Negación de una condicional
Ejemplos: 1. No es el caso que, Pedro es estudiante de la Universidad Nacional de
Colombia si estudia geología. P: Pedro estudia geología. Q: Pedro es estudiante de la Universidad Nacional de Colombia.
La proposición se simboliza ( P Q ).
Luego su forma equivalente es P Q, que al traducirla al español dice lo siguiente: Pedro estudia geología pero no en la Universidad Nacional de Colombia.
2. No se cumple que, siempre que el determinante de la matriz A es igual a 0, la
matriz A no tiene inversa.
P: El determinante de la matriz A es igual a 0. Q: la matriz A tiene inversa.
La proposición se simboliza ( P Q ).
Luego su forma equivalente es P Q), y al aplicar la doble negación se
tiene P Q) que al traducirla al español dice lo siguiente: el determinante de la matriz A es igual a 0 y la matriz A tiene inversa.
3. Juan es culpable de corrupción y no cumplirá 15 años de cárcel.
P: Juan es culpable de corrupción. Q: Juan cumplirá 15 años de cárcel.
Conceptos básicos de lógica matemática 105
La proposición se simboliza P Q.
Luego su forma equivalente es P Q, que al traducirla al español dice lo siguiente: No es el caso que si Juan es culpable de corrupción, entonces cumplirá 15 años de cárcel.
Nota: Debemos recordar que la condicional tiene muchas formas en el lenguaje natural como en el lenguaje matemático, pero todas se pueden transformar a la forma estándar si P entonces Q, por ese motivo todos los ejemplos se trabajaron con esta estructura.
Negación de la bicondicional
Recordemos que P si, y solo si, Q es equivalente a la conjunción entre, P entonces Q y Q entonces P. Por lo tanto su negación estará dada por P y no P, o,
Q y no P. Simbólicamente se representa P Q) ( P Q) ( Q P)]
P Q P Q PQ QP (PQ)(QP)] PQ PQ) PQ)(PQ)(QP)]
V V F F F F F V F V
V F F V V F V F V V
F V V F F V V F V V
F F V V F F F V F V
Tabla 28 Negación de la bicondicional
El resultado de la tabla de verdad es una tautología, por lo tanto es una equivalencia lógica. Ejemplos: 1. No es el caso que, la figura X sea un cuadrilátero si, y sólo si X tiene cuatro
lados.
P: La figura X es un cuadrilátero. Q: La figura X tiene cuatro lados.
La proposición se simboliza PQ).
Luego su forma equivalente es (PQ) (QP), que al traducirla al español dice lo siguiente: La figura X es un cuadrilátero y no tiene cuatro lados, o, la figura X tiene cuatro lados y no es un cuadrilátero.
106 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
2. Guardiola es el técnico del Manchester City y no es el técnico del Barcelona, o Guardiola es técnico del Barcelona pero no es técnico del Manchester City.
P: Guardiola es el técnico del Manchester City. Q: Guardiola es técnico del Barcelona.
La proposición se simboliza (PQ) (QP).
Luego su forma equivalente es PQ), que al traducirla al español dice lo siguiente: No es cierto que, Guardiola sea el técnico del Manchester City si, y sólo si es el técnico del Barcelona.
Conceptos básicos de lógica matemática 107
Ejercicios
1. En cada una de las siguientes proposiciones compuestas determine si es una tautología, una contradicción o una contingencia. Analice el caso de las tautologías para determinar si se trata de una implicación o una equivalencia lógica. a. Si las corridas de toros son una tradición colombiana, debemos abrir la plaza
de toros. Sin embargo si las corridas de toro no son una tradición colombiana, debemos cerrar la plaza de toros.
b. Los Red Hot Chilli Peppers interpretan “Californication” y Nirvana interpreta “Smells Like Teen Spirit”. Por lo tanto, Los Red Hot Chilli Peppers interpretan “Californication” o Pearl Jam no interpreta “Jeremy”.
c. Si Messi gana la Champions League entonces ganará el balón de oro, si, y sólo si Messi no gana el balón de oro y gana la Champions League.
d. Los soldados nazis fueron culpables de crímenes de guerra o fueron órdenes de sus superiores, y los altos mandos dijeron que no fueron órdenes suyas sí, y sólo si no es el caso que, si los soldados nazis fueron culpables de crímenes de guerra entonces fueron ordenes de sus superiores.
e. Naruto será el próximo Hokage o no cumplirá su sueño; pero si Naruto es el próximo Hokage, entonces Tsunade se habrá retirado o habrá muerto.
2. Determine si las fórmulas dadas son implicaciones lógicas o no y justifique su
respuesta.
a. ( P Q) (Q P )
b. ( P Q ) ( P Q )
c. ( P P ) ( Q Q )
d. {[( P Q ) ( R S )] ( P R )} ( Q S )
e. P ( Q R )
3. Determine si las fórmulas dadas son equivalencias lógicas o no y justifique su respuesta.
a. ( P Q )( Q P )
b. P [ P ( P Q ) ]
108 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
c. P [ P ( Q Q )]
d. [( P Q ) R ][ P ( Q R )]
e. [(PQ)(QP)][(PQ)(PQ)]
4. Realice la negación de las siguientes proposiciones compuestas de tal manera que no empiecen con la expresión no es el caso que. a. Si el equipo de Edgar Rentería gana la temporada regular de las Grandes
Ligas de Béisbol (MLB), él será reconocido como el jugador más valioso de la temporada.
b. La probabilidad de que salga 1 al lanzar un dado es igual a 1/6 si, y sólo si la probabilidad de que salga 5 es de 1/6.
c. Adele ganó un premio Grammy y un premio Emmy.
d. Nairo Quintana correrá el Tour de Francia o la Vuelta a España.
e. Mariana Pajon ganará medalla de oro en los Olímpicos si, y sólo si se recupera de la lesión.
f. Mario Alberto Yepes no es el técnico del Deportivo Cali.
g. Si estudias en el SENA te gradúas como técnico.
h. El triángulo X es triangulo rectángulo o es triangulo acutángulo.
i. James Rodríguez no juega en el Real Madrid.
j. Michael Jordan jugó para los Bulls de Chicago y para los Wizards de Washington.
k. Kurt Cobain fue el vocalista de Nirvana y de Pearl Jeam.
l. Vicente Fernández se retirará de los escenarios si, y sólo si se le acaba la voz.
m. Si y=3x+2 es la ecuación de la recta L entonces L pasa por el punto (0,2).
Argumentos Deductivos 109
3. Argumentos deductivos
Muchas de las creencias que la humanidad ha tenido en el pasado han sufrido transformaciones, y también muchas han sido totalmente abandonadas. De manera similar, las creencias que una persona alberga, en algún momento determinado sufren modificaciones en el transcurso de su vida. Muchas creencias se modifican por la adquisición de un conocimiento más amplio o más profundo. Pero ocurre con frecuencia que una creencia sea abandonada si la razón muestra que es falsa, o si después de una reflexión se sugiere que es una creencia sin fundamento. En cualquier caso, nuestras creencias van perdiendo ese valor de verdad, puesto que sólo creemos lo que consideramos verdadero. Vale la pena resaltar que el solo hecho de creer en una afirmación no la vuelve verdadera ni razonable; es ahí donde se vuelve importante contar con pruebas que sustenten nuestras afirmaciones, pues solo en ese caso se justifica que creamos en ellas. Por el contrario, si no tenemos razones suficientes para creer lo que afirmamos, entonces nuestra creencia es un prejuicio. Al contrario de los prejuicios, una creencia razonable es una afirmación bien formada. Las afirmaciones pueden ser fundamentadas mediante argumentos. Como ya lo hemos señalado, un argumento es una inferencia o una cadena de inferencias cuyo objetivo es presentar razones que dan sustento a una determinada afirmación. Los argumentos deductivos permiten probar concluyentemente una afirmación, pues, en este tipo de razonamiento la conclusión se infiere de manera lógicamente necesaria a partir de las premisas. Los argumentos deductivos válidos son aquellos donde es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa las premisas apoyan totalmente la conclusión, así que si aceptamos las premisas necesariamente debemos aceptar la conclusión. En este capítulo estudiaremos algunas reglas de inferencia lógica para determinar si la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas. Las reglas de inferencia son ciertos tipos de argumentos válidos que nos garantizan que si las premisas son verdaderas, necesariamente la conclusión lo es. Con ejemplos de la vida cotidiana y algunos de la matemática, ilustraremos su manejo. Por último, haremos una aproximación al razonamiento con cuantificadores y los errores lógicos más comunes que se cometen.
110 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Así como uno puede sentirse seguro de que una cadena es resistente cuando cada eslabón por separado es de buen material y se enlaza sólidamente con los dos eslabones vecinos, así también podemos estar seguros de la exactitud del razonamiento cuando su materia es buena, esto es, cuando no hay en él elementos dudosos y cuando la forma consiste en una concatenación de verdades que no dejan grietas.
– Gottfried Leibniz.
3.1 Argumentos deductivos válidos
Definición: Un argumento P1, P2, P3,…. Pn / Q es deductivamente válido si es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Al determinar que un argumento es válido estamos admitiendo que si las premisas son verdaderas, necesariamente la conclusión también lo es. Lo que garantiza que un argumento sea válido es su forma. Efectivamente como a todo argumento P1, P2, P3,…. Pn / Q le podemos asociar una condicional
P1P2P3…Pn Q, si probamos que esa condicional asociada es una
tautología, hemos probado que P1P2P3…Pn Q, que es lo que buscamos para que el argumento sea válido. Ilustremos esto con ejemplos: 1. Si Nacional gana el partido contra Rosario Central clasifica a la semifinal de la
Copa Libertadores 2016. Nacional venció a Rosario Central. Por lo tanto, Nacional clasificó a la semifinal de la Copa Libertadores 2016.
El argumento tiene la forma P Q, P / Q, que como lo vimos anteriormente, la condicional asociada es una tautología. Por lo tanto, las premisas implican lógicamente a la conclusión. 2. El sol es una estrella; por lo tanto, la Tierra tiene un satélite natural. En este argumento, la premisa “El sol es una estrella” no implica lógicamente la conclusión “la Tierra tiene un satélite natural”. En otras palabras, de la premisa “El sol es una estrella” no existe una relación lógica que implique que “la Tierra tiene un satélite natural”. Pero ¿por qué? La forma del argumento es P/Q, su condicional asociada es
P Q, y como sabemos por la definición de condicional, no siempre es una tautología.
Argumentos deductivos 111
Ahora veamos ejemplos de argumentos deductivos válidos. 3. Si Colombia gana el partido contra EE.UU. clasificará a los Juegos Olímpicos
2016. Si clasifica a los Juegos Olímpicos 2016 viajare a Brasil. Por lo tanto, si Colombia gana el partido contra EE.UU. viajaré a Brasil.
4. Si Juan realiza correctamente su trabajo, entonces el jefe dirá que Juan es un
empleado eficiente. Si el jefe dice que Juan es un empleado eficiente, entonces le dará una bonificación. Juan realiza su trabajo correctamente, entonces recibirá una bonificación.
Los dos argumentos anteriores tienen la misma forma, simbólicamente es
PQ, QR, P / R, cuya condicional asociada es una tautología, por lo cual sin importar el contenido de las proposiciones P, Q y R esta forma de argumento será válida, es decir, es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Estudiemos el ejemplo de un argumento inválido. 5. Si Ana se gana la lotería viajará a Europa. Ana viajó a Europa. Por lo tanto,
Ana se ganó la lotería.
Este argumento tiene la forma PQ, Q /P y la condicional asociada es
[(PQ)Q]P, la cual como ya vimos en la sección de implicación lógica no es una tautología. Por lo tanto, las premisas no implican lógicamente la conclusión y el argumento es inválido.
Como podemos ver, este análisis no es complicado pero si dispendioso, sobre todo cuando se trata de un argumento con muchas proposiciones. Con respecto a esto (Sánchez C. H., Argumentación, 2009, pág. 68) nos dice que cuando argumentamos, lo que hacemos es ir mostrando cómo las premisas se van relacionando hasta llegar a la conclusión. Las reglas de inferencia son justamente esas formas de relacionamiento que nos garantizan la validez de un argumento, son enunciados normativos o imperativos que nos permiten pasar de las premisas a la conclusión. Su validez depende de la ley lógica que la soporta. Son indispensables en un ejercicio de deducción que no solo está al alcance de los profesionales en matemática, sino también de cualquier persona que se quiera interesar por el mundo de los argumentos deductivos.
112 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
3.1.1 Reglas de inferencia
Una regla de inferencia es un esquema argumentativo que nos permite analizar o construir inferencias válidas. Debe estar basada en la implicación lógica de la conclusión a partir de las premisas. A continuación, presentamos las reglas de inferencia más utilizadas.
Reglas de inferencia básicas
Modus ponendo ponens (MP)
1. Si María llega temprano es contratada como secretaria. María llegó temprano. Luego María fue contratada como secretaria.
Análisis:
La forma del argumento es P Q, P / Q, y su condicional asociada es
[(P Q) P] Q con P: María llega temprano. Q: María es contratada como secretaria
2. Si Shakira se presenta en Bogotá, compraré boletas. Shakira se presentará en
Bogotá. Por lo tanto, compraré boletas.
Análisis:
La forma del argumento es P Q, P /Q, y su condicional asociada es
[(P Q) P] Q con P: Shakira se presenta en Bogotá. Q: Compro boletas para el concierto.
Podemos ver que los dos argumentos tienen la misma forma P Q, P /Q. Comprobemos que la tabla de verdad de la condicional asociada es una tautología, y por tanto el argumento es válido y diremos que la conclusión se deduce de las premisas.
P Q P Q (P Q) P [(P Q) P] Q
V V V V V
V F F F V
F V V V V
F F V F V
Tabla 29 Modus ponendo ponens
Esa forma de los ejemplos anteriores recibe el nombre de Modus ponendo ponens, que notaremos simplemente como (MP) y dice lo siguiente:
Argumentos deductivos 113
Si se afirma una condicional y si afirmo su antecedente, se sigue como conclusión el consecuente.
Es decir, si tenemos como premisas una proposición de la forma P Q, y la otra premisa es P, podemos concluir Q. Se representa simbólicamente por medio del siguiente esquema deductivo:
P Q P _____ Q
Estudiemos otros ejemplos: 1. Si los alimentos transgénicos pueden producir alergias o algún otro tipo de
trastornos, entonces es conveniente evitarlos y consumir sólo alimentos orgánicos. Está probado que los alimentos transgénicos pueden producir alergia o algún otro tipo de trastornos. De modo que es conveniente evitarlos y consumir sólo alimentos orgánicos. Análisis:
La forma del argumento es (R1R2) S1 S2), (R1R2 ) /S1 S2), donde R1: Los alimentos transgénicos pueden producir alergias. R2: Los alimentos transgénicos pueden producir algún otro tipo de trastorno. S1: Es conveniente evitar los transgénicos. S2: Es conveniente consumir solo alimentos orgánicos. Si llamamos
P1: R1R2
Q: S1 S2
El argumento tendrá la forma P1 Q, P1 /Q Como tiene la forma de Modus ponendo ponens podemos afirmar que la conclusión se deduce de las premisas. Además, podemos ver que las premisas y la conclusión pueden ser proposiciones compuestas.
2. Si no se llega a un acuerdo entre el sindicato y las directivas de la empresa
habrá un paro indefinido. No hubo acuerdo entre las partes, entonces habrá paro indefinido.
Análisis:
La forma del argumento es (P Q), P / Q, donde P: Se llegó a un acuerdo entre el sindicato y las directivas de la empresa. Q: Hay paro indefinido.
114 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Si llamamos
P1: P
El argumento tendrá la forma P1 Q, P1 /Q Como tiene la forma de Modus ponendo ponens podemos afirmar que la conclusión se deduce de las premisas. Es importante resaltar que mientras que se afirme el antecedente como una premisa no importa si es una negación siempre la conclusión será el consecuente de la condicional.
3. Si la función f es diferenciable en x=a, entonces f es continua en x=a. La
función f es diferenciable en x=a, entonces f es continua en x=a.
Análisis:
La forma del argumento es (P Q), P Q, donde P: La función f es diferenciable en x=a. Q: La función f es continua en x=a. Como tiene la forma de Modus ponendo ponens podemos afirmar que la conclusión se deduce de las premisas.
4. Si Santos es elegido presidente, entonces habrá dialogo de paz con las
FARC. Santos fue elegido presidente, entonces habrá dialogo de paz con las FARC.
Análisis: Proponemos como ejercicio para el lector identificar las proposiciones, la forma de las premisas, y determinar si se trata de un argumento válido.
Modus tollendo tollens (TT)
1. El precio del dólar sube cuando el precio internacional del barril de petróleo baja. El precio internacional del barril de petróleo no bajo, entonces el precio del dólar no subió.
Análisis:
La forma del argumento es (P Q), Q /P, y su condicional asociada es
[(P Q) Q] Q P con P: El precio del dólar subió. Q: El precio internacional del barril de petróleo bajó.
2. El perro ladra cuando la persona que llega es un desconocido pero el perro no ladro; por lo tanto, la persona que llegó no es un desconocido.
Argumentos deductivos 115
Análisis:
La forma del argumento es (P Q), Q /P, y su condicional asociada es
[(P Q) Q] Q P con P: La persona que llega es un desconocido. Q: El perro ladra.
Como podemos ver, los dos argumentos tienen la misma forma (P Q), Q /
P. Comprobemos mediante la tabla de verdad que la condicional asociada
[(P Q) Q] P es una tautología, y por tanto el argumento es válido y la conclusión se deduce de las premisas.
P Q P Q P Q (P Q) Q [(P Q) Q] P
V V F F V F V
V F F V F F V
F V V F V F V
F F V V V V V
Tabla 30 Modus tollendo tollens
La forma de los ejemplos anteriores recibe el nombre de Modus tollendo tollens que notaremos simplemente como (TT) y dice lo siguiente: Si se afirma una condicional y se niega el consecuente, se sigue como conclusión la negación del antecedente. Es decir, si se tiene como premisa la proposición p entonces q, y la premisa no q, podemos concluir que no p. En el lenguaje de símbolos se representa por medio del siguiente esquema deductivo:
P Q
Q _____
P Ejemplos: 1. Si no obtienes buenas notas entonces no vas a la fiesta. Fuiste a la fiesta,
entonces obtuviste buenas notas.
Análisis:
La forma del argumento es (P Q), Q P, donde P: Obtuvo buenas notas. Q: Vas a la fiesta.
P1: P
Q1:Q
116 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
y por doble negación tenemos que
Q1:Q
El argumento tendrá la forma (P1 Q1), Q1 / P1 Como tiene la forma Tollendo tollens, podemos afirmar que la conclusión se deduce de las premisas. 4. Si el determinante de la matriz A no es igual a cero entonces la matriz A tiene
inversa. La matriz A no tiene inversa, por lo tanto el determinante de la matriz A es igual a cero.
Análisis:
La forma del argumento es P Q, Q P, donde P: El determinante de la matriz A es igual a cero. Q: La matriz A tiene inversa.
Si llamamos
P1:P
Y por doble negación tenemos que
P1:P
El argumento tendrá la forma (P1 Q), Q / P1 Como tiene la forma Tollendo tollens, podemos afirmar que la conclusión se deduce de las premisas. 5. 4 no es un número primo; pues si 4 es un número primo, entonces es divisible
únicamente por sí mismo y por 1. Pero no es cierto que, 4 sea divisible únicamente por sí mismo y por 1.
Análisis:
La forma del argumento es PQ1 Q2),Q1 Q2) / P, donde P: 4 es un número primo. Q1: 4 es divisible por sí mismo. Q2: 4 es divisible por 1.
Si llamamos
Q: Q1 Q2
El argumento tendrá la forma (P Q), Q / P Como tiene la forma Tollendo tollens, podemos afirmar que la conclusión se deduce de las premisas.
Argumentos deductivos 117
Silogismo hipotético (SH)
1. Si el Barcelona gana el partido contra el Real Madrid, entonces se corona campeón de la Liga de España; si Barcelona es campeón de la Liga Española, entonces jugará la Champions League. Luego, si el Barcelona le gana el partido al Real Madrid, jugará la Champions League.
Análisis:
La forma del argumento es P Q, Q R / P R, y su condicional asociada es
[(P Q) (Q R)] (P R) donde P: El Barcelona gana el partido contra el Real Madrid. Q: El Barcelona se corona campeón de la Liga de España. R: El Barcelona jugará la Champions League.
2. Si obtengo un puntaje de 320 en el Icfes estudiaré en la Universidad de los
Andes. Si estudio en la Universidad de los Andes me mudaré a Bogotá. Luego, si saco un puntaje de 320, me mudaré a Bogotá.
Análisis:
La forma del argumento es P Q, Q R / P R, y su condicional asociada es
[(P Q) (Q R)] (P R) donde P: Obtuve un puntaje de 320 en el Icfes. Q: Estudio en la Universidad de los Andes. R: Me mudo a Bogotá.
Como podemos ver, los dos argumentos tienen la misma forma
P Q, Q R / P R. Comprobemos mediante la tabla de verdad que la
condicional asociada [(P Q) (Q R)] P R) es una tautología, y por tanto el argumento es válido y la conclusión se deduce de las premisas. P Q R PQ QR PR (P Q)(Q R) [(P Q) (Q R)] P R)
V V V V V V V V
V V F V F F F V
V F V F V V F V
V F F F V F F V
F V V V V V V V
F V F V F V F V
F F V V V V V V
F F F V V V V V
Tabla 31 Silogismo hipotético
118 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Esa forma de los ejemplos anteriores recibe el nombre de silogismo hipotético que notaremos simplemente como (SH) y dice lo siguiente: Si afirma una condicional de la forma si P entonces Q, y otra de la forma si Q entonces R se sigue como conclusión una condicional de la forma si P entonces R. En lenguaje de símbolos se representa por medio del siguiente esquema deductivo:
P Q
Q R _____
P R Ejemplos: 1. Si Juan llega tarde entonces no le programan la cirugía. Si Juan llega tarde el
médico no lo atiende, y si el médico no lo atiende no le programan la cirugía.
Análisis: En este argumento es claro que la conclusión es la primera expresión y que el resto son las premisas y al expresar el argumento en la forma estándar, esto
es, premisas y conclusión, la forma del argumento tiene la forma P Q Q
R /P R, donde P: Juan llega tarde. Q: El médico atiende a Juan. R: Le programan la cirugía a Juan.
Si llamamos
Q1: Q
R1: R
El argumento tendrá la forma P Q1, Q1 R1 / P R1 Como tiene la forma de silogismo hipotético podemos afirmar que la conclusión se deduce de las premisas. 2. Si no ahorramos energía habrá una sobrecarga en el sistema eléctrico; si hay
una sobrecarga en el sistema eléctrico habrán cortes de energía programados. Entonces si no ahorramos energía habrán apagones programados.
Argumentos deductivos 119
Análisis:
La forma del argumento es P Q, Q R / P R, donde P: ahorramos energía Q: hay una sobrecarga en el sistema eléctrico R: hay cortes de energía programados.
Si llamamos
P1: P
El argumento tendrá la forma P1 Q, Q R / P1 R Como tiene la forma de silogismo hipotético podemos afirmar que la conclusión se deduce de las premisas. 3. Si el agua se hiela, entonces sus moléculas forman cristales. Si las moléculas
forman cristales, entonces el agua aumenta de volumen. Por lo tanto, si el agua se hiela, entonces aumenta de volumen.
Análisis:
La forma del argumento tiene la forma P Q, Q R / P R, donde P: El agua se hiela. Q: Las moléculas del agua forman cristales. R: El agua aumenta de volumen.
Como tiene la forma de silogismo hipotético podemos, afirmar que la conclusión se deduce de las premisas.
Modus tollendo ponens (TP)
1. Ahorramos energía o hay cortes de energía programados; no hay cortes de energía programados. Luego ahorramos energía.
Análisis:
La forma del argumento es P Q, Q P, y su condicional asociada es
[(P Q) Q] P donde P: Ahorramos energía. Q: Hay cortes de energía programados.
2. O bien el oxígeno del tubo se combinó con el filamento para producir un óxido,
o bien se evaporó completamente. El oxígeno del tubo no se evaporó totalmente. Por tanto, el oxígeno del tubo se combinó con filamento para producir un óxido.
120 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Análisis:
La forma del argumento es P Q, Q P, y su condicional asociada es
[(P Q) Q] P donde P: El oxígeno del tubo se combinó con el filamento para producir un óxido. Q: El oxígeno del tubo se evaporó.
Como podemos ver, los dos argumentos tienen la misma forma P Q, Q P. Comprobemos mediante la tabla de verdad que la condicional asociada
[(P Q) Q] P es una tautología y por tanto, el argumento es válido y la conclusión se deduce de las premisas.
P Q Q P Q (P Q) Q [(P Q) Q] P
V V F V F V
V F V V V V
F V F V F V
F F V F F V
Tabla 32 Modus tollendo ponens
La forma de los ejemplos anteriores recibe el nombre de modus tollendo ponens que notaremos simplemente como (TP) y dice lo siguiente: Si afirmamos una disyunción y la negación de alguna de sus partes, se sigue como conclusión la otra parte. Es decir, si se tiene como premisa la proposición P o Q y la premisa no P, podemos concluir Q. o lo que es lo mismo, si tenemos una alternativa y por alguna circunstancia no se da una de las posibilidades, nos queda la otra. Simbólicamente se representa por medio del esquema deductivo:
P Q P Q
P Q _____ _____ Q P
Ejemplos: 1. El número natural 5 es par o es impar; 5 no es múltiplo de dos. Luego 5 es
impar.
Análisis:
La forma del argumento es P Q, P Q, donde P: El número natural n es par. Q: El número natural n es impar.
Como tiene la forma de modus tollendo ponens podemos afirmar que la conclusión se deduce de las premisas. En este caso la segunda premisa no nos
Argumentos deductivos 121
dice explícitamente que 5 no sea par, que textualmente es la negación de P pero, recordemos que ser par es equivalente a ser múltiplo de dos, por ese motivo no ser múltiplo de dos es equivalente a no ser par. No todos los argumentos deductivos tienen explícitamente las proposiciones de tal forma que se apliquen las reglas de inferencia inmediatamente, pero sí hay proposiciones que son equivalentes a proposiciones sobre las cuales sí se puede aplicar dichas reglas de inferencia, y de esta forma mostrar la validez de un argumento.
Dilema constructivo (DC) o silogismo disyuntivo (SD)
1. El jardinero o la esposa mataron al señor Gómez. Si fue el jardinero, el chofer estuvo implicado. Pero si fue la esposa, la señora del servicio es cómplice. Por lo tanto, el chofer estuvo implicado o la señora del servicio fue cómplice del asesinato.
Análisis:
La forma del argumento es PR, P Q,R S / QS y su condicional
asociada es {[(PR) (P Q)]R S) } (QS) donde P: El jardinero mató al señor Gómez. R: La esposa mató al señor Gómez. Q: El chofer estuvo implicado en el asesinato. S: La señora del servicio es cómplice del asesinato.
Comprobemos mediante la tabla de verdad que la condicional
(PR)(PQ)RS) (QS) asociada es una tautología y por tanto el argumento es válido y la conclusión se deduce de las premisas.
P Q R S PR PQ RS QS (PR)(PQ) (PR)(PQ)RS) (PR)(PQ)RS
) (QS)
V V V V V V V V V V V
V V V F V V F V V F V
V V F V V V V V V V V
V V F F V V V V V V V
V F V V V F V V F F V
V F V F V F F F F F V
V F F V V F V V F F V
V F F F V F V F F F V
F V V V V V V V V V V
F V V F V V F V V F V
F V F V F V V V F F V
F V F F F V V V F F V
F F V V V V V V V V V
F F V F V V F F V F V
F F F V F V V V F F V
F F F F F V V F F F V
Tabla 33 Dilema constructivo
122 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Esa forma de los ejemplos anteriores recibe el nombre de dilema constructivo que notaremos simplemente como (DC) y dice lo siguiente: Si afirmamos dos condicionales y la disyunción de sus antecedentes, se sigue como conclusión la disyunción de sus consecuentes. Es decir, si se tienen como premisa las proposiciones de la forma P entonces Q, R entonces S, y P o R, podemos concluir Q o S. Se representa simbólicamente por medio del siguiente esquema deductivo:
P Q
R S
PR _____
QS Ejemplo: 2. Según la leyenda, el califa Omar, al llegar a la Biblioteca de Alejandría hacia el
año 640, se planteó el siguiente dilema: O los libros de la Biblioteca contienen las enseñanzas del Corán o no las tienen. Si las tienen son innecesarios y se deben quemar. Y si no las tienen son nocivos y deben ser quemados. Por lo tanto, los libros de la Biblioteca deben ser quemados. Así que los mandó quemar53.
Análisis:
La forma del argumento es PP, P QP R QR P: Los libros de la Biblioteca contienen las enseñanzas del Corán. Q: Los libros son innecesarios y se deben quemar. R: Los libros son nocivos y se deben quemar.
Y si llamamos
P1: P
El argumento tendrá la forma P P1, P QP1 R QR Como el argumento tiene la forma de dilema constructivo podemos afirmar que la conclusión se deduce de las premisas.
53
(Sánchez C. H., Argumentación, 2009, pág. 74)
Argumentos deductivos 123
Simplificación (S)
Si afirmamos una conjunción entonces podemos concluir cualquiera de sus partes, es decir, si tenemos como premisa la proposición p y q, podemos concluir tanto p como q. En lenguaje de símbolos se representa por medio del siguiente esquema deductivo:
P Q P Q ____ ____ P Q
Ejemplos: 1. El acusado ha sido sentenciado a tres años de prisión y a realizar trabajo
social. Luego el acusado fue sentenciado a realizar trabajo social. 2. Está haciendo sol pero no está haciendo calor. Luego no está haciendo calor.
Esta regla de inferencia es muy sencilla por eso dejaremos al lector su análisis.
Conjunción (C)
Si afirmamos dos proposiciones, podemos unirlas mediante una conjunción, es decir, si tenemos como premisas la proposición p y la proposición q, podemos concluir que p y q. En lenguaje de símbolos se representa por medio del siguiente esquema deductivo:
P Q __
PQ
Adición (A)
Si tenemos una proposición verdadera P, puedo adicionarle cualquier otra proposición Q mediante la disyunción. En lenguaje de símbolos se representa por medio del siguiente esquema deductivo:
P ___
P Q
124 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Ejemplos: 1. Colombia jugó el mundial de futbol en 2014, luego Colombia jugó el mundial
2014 o jugó la copa América 2013. 2. Bart Simpson es de piel amarilla. Luego Bart Simpson es de piel amarilla o
Lisa Simpson es amarilla.
Más reglas de equivalencia
La lógica formal cuenta con una gran cantidad de leyes, algunas de las cuales expresan una equivalencia lógica entre pares de proposiciones. Esas leyes lógicas, usadas como reglas de inferencia, permiten reemplazar una proposición por su equivalente en cada razonamiento. Hacemos notar que la equivalencia
lógica es una relación simétrica entre proposiciones esto quiere decir que si PQ
también se tiene que QP, por lo cual las siguientes reglas de inferencia irán siempre en pares, tendrán el mismo nombre y en cada caso haremos explicitas la equivalencia lógica que garantiza la validez de la regla.
Relación entre la condicional y la disyunción (DCO)
Esta regla consiste en que una condicional es equivalente lógicamente a la conjunción de, la negación del antecedente y el consecuente, En lenguaje de símbolos se representa por medio del siguiente esquema deductivo:
PQ PQ ____ _____
PQ PQ Ejemplos: 1. Si Pedro está viajando a Europa entonces consiguió el pasaporte. Es
equivalente a afirmar que Pedro no está viajando a Europa o consiguió su pasaporte.
2. María está jugando con carros entonces será una gran mecánica. Es
equivalente a decir que María no está jugando con carros o será una gran mecánica.
Relación entre bicondicional y la condicional (DB)
Esta regla afirma que, un bicondicional entre dos proposiciones equivale a la conjunción de dos condicionales: uno que tiene como antecedente la primera proposición y como consecuente la segunda; y otro que tiene como antecedente
Argumentos deductivos 125
la segunda proposición y como consecuente la primera. En lenguaje de símbolos se representa por medio del siguiente esquema deductivo:
PQ (PQ)QP) ______ ____________
(PQ)QP) PQ De la anterior regla podemos deducir otras dos relaciones, estas son:
PQ PQ ______ ______
PQ QP Ejemplos: 1. María se graduó si, y sólo si aprobó el trabajo de grado. Luego, si María se
graduó entonces aprobó el trabajo de grado y, si María aprobó el trabajo de grado entonces se graduó.
2. Pedro jugará futbol si, y sólo si no está haciendo sol. Luego si no está haciendo sol, Pedro jugará futbol.
Distribución y reducción (RD)
Esta regla nos dice que podemos distribuir una conjunción con respecto a una disyunción, y que podemos distribuir una disyunción con respecto a una conjunción. En lenguaje de símbolos se representan por medio de los siguientes esquemas deductivos:
PQR) (PQ)PR) ____________ ____________
(PQ)PR) PQR)
PQR) (PQ)PR) ____________ ____________
(PQ)PR) PQR) Ejemplos: 1. Vendré a almorzar, y comeré un par de manzanas o un durazno. Es
equivalente a afirmar que vendré a almorzar y comeré un par de manzanas, o vendré a almorzar y comeré un durazno.
126 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
2. Juan perdona las ofensas, o bien simula olvidarlas y es rencoroso. Es equivalente a afirmas que Juan perdona las ofensas o simula olvidarlas, y Juan perdona las ofensas o es rencoroso.
Conmutación (RC)
Los estudiantes están familiarizados con esta regla ya que es análoga a la propiedad conmutativa de la multiplicación que dice que el orden de los factores no altera el producto. En relación con la lógica esta regla nos dice que el orden en que se formulen la conjunción o la disyunción, no altera lo que se afirma. Es decir, que la conjunción de las proposiciones P y Q es equivalente lógicamente a la conjunción de las proposiciones Q y P. De manera análoga sucede que con disyunción entre las proposiciones P y Q es equivalente a la disyunción entre Q y P. En lenguaje de símbolos se representan por medio de los siguientes esquemas deductivos:
PQ QP _____ ______
(QP) PQ
PQ QP ______ _____
QP PQ Nota: Si bien las leyes de conmutación se cumplen para la conjunción y la disyunción, estas son válidas para cualquier conectiva lógica, con excepción de la condicional.
Contrarecíproca (RT)
Esta regla nos permite algo parecido a la conmutación para la condicional, pues nos dice que si P entonces Q, es equivalente lógicamente a que si no Q entonces no P. En lenguaje de símbolos se representa por medio del siguiente esquema deductivo:
PQ QP ________ _______
QP PQ
Argumentos deductivos 127
Ejemplos: 1. Si por un punto exterior a una recta pasa una sola paralela, entonces la suma
de los ángulos internos de un triángulo es igual a 90°. Es equivalente a afirmar que si la suma de los ángulos internos de un triángulo no es igual a 90°, entonces por un punto exterior a una recta no pasa una paralela.
2. Si llueve entonces me pongo un saco. Es equivalente a afirmar que si no me
pongo un saco entonces no llovió.
Idempotencia (RI)
Esta regla nos dice que la disyunción o la conjunción de una misma proposición P es equivalente lógicamente a la proposición P. En lenguaje de símbolos se representan por medio de los siguientes esquemas deductivos:
PP P ____ ___
P PP
PP P ____ ___
P PP Ejemplos: 1. Llueve y llueve es equivalente a afirmar que llueve. 2. Hace sol o hace sol es equivalente a afirmar que hace sol. A continuación enunciaremos como reglas de inferencia las equivalencias lógicas de las negaciones de proposiciones compuestas.
Negación de una negación (DN)
Esta regla consiste en que la negación de la negación de la proposición p, es p, De acá tenemos dos reglas de inferencia que reciben el nombre de doble negación. En el esquema deductivo esto es:
P P ___ ___
P P
128 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Negación de una conjunción (NC)
La negación de la conjunción P y Q es no P o no Q. Esto significa que no, p y q,
es equivalente a no p, o no q. Simbólicamente esto es PQ)PQ). Su esquema deductivo es:
PQ) PQ ______ ______
PQ PQ)
Negación de una disyunción (ND)
Al afirmar que no es el caso que, P o Q, es equivalente a afirmar que ni p ni q.
Simbólicamente se representa como PQ)PQ y su esquema deductivo es:
PQ) PQ ______ _______
PQ PQ)
Negación de una condicional (NCD)
Esta regla consiste en que el negar, P entonces Q, es equivalente a afirmar P y
no Q. Simbólicamente se representa como (PQ) PQ) y su esquema inductivo es:
(PQ) ________
PQ
Negación de la bicondicional (NB)
Recordemos que P si, y solo si, Q es equivalente a la conjunción entre P entonces Q y Q entonces P, así que vamos a hacer uso de las reglas anteriormente definidas para encontrar a que es equivalente la negación de la bicondicional. El esquema deductivo es:
PQ) _______________
(PQ) (QP)
Esta regla se conoce como Ley de De Morgan para la conjunción. Esta regla se conoce como Ley de De Morgan para la disyunción.
Argumentos deductivos 129
Ejercicios
1. Con cada una de las siguientes proposiciones compuestas identifique su forma, niéguelas y escriba en lenguaje natural dicha negación. a. No es el caso que Falcao haya jugado el mundial de futbol Brasil 2014.
b. El Chavo del 8 se come una torta de jamón o pastel de cumpleaños.
c. Si Bart Simpson monta patineta, entonces tendrá problemas con la policía.
d. El ultimate frisbee se parece al futbol americano y al baloncesto.
2. Señale la regla de inferencia utilizada en cada uno de los siguientes argumentos
para hacer que el argumento deductivo sea válido. a. Pedro cursa 10° o 11°. Pedro no cursa 11°. Por lo tanto Pedro cursa 10°.
b. Si no me gano la lotería, no me voy de viaje por Suramérica. Me fui de viaje a
Suramérica. Luego gane la lotería.
c. No es el caso que Camilo estudie o trabaje. Por lo tanto Camilo ni estudia ni trabaja.
d. No es el caso que la banda Dead no toque death metal. Por lo tanto la banda Dead toca death metal.
e. Si se logra la igualdad de oportunidades, entonces las personas que antes tenían desventajas recibirán ahora oportunidades especiales. Si esas personas reciben oportunidades especiales, entonces tendrán un trato preferencial. Si algunas personas reciben un trato preferencial, entonces no se lograra la igualdad de oportunidades. Por lo tanto, la igualdad de oportunidades no se logrará.
f. Si aumenta el precio de la gasolina se subirá el costo de los alimentos. El precio de la gasolina subió. Por lo tanto subirá el costo de los alimentos.
g. Si Millonarios gana el campeonato de futbol colombiano asistirá a la Copa Libertadores. Si Santa Fe queda de primero en la reclasificación del futbol colombiano asistirá a la Copa Suramericana. Millonarios gano el campeonato de futbol colombiano o Santa Fe quedo primero en la reclasificación del futbol colombiano. Por lo tanto Millonarios asistirá a la Copa Libertadores o Santa Fe asistirá a la Copa Suramericana.
130 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
3.1.2 Prueba formal de validez
Como ya lo dijimos antes, resulta poco eficiente comprobar la validez de un argumento mediante el uso tablas de verdad por ese motivo estudiamos las reglas de inferencia que aplicadas de forma correcta nos garantizan la validez de un argumento. Para empezar y como lo señalan (Ceolin, 2001, pág. 148), este método se fundamenta en la idea de que, para probar que un argumento es válido, es suficiente con señalar cuál es la regla de inferencia que lo justifica. Nos apoyaremos para su explicación en un esquema deductivo como el usado por (Copi & Cohen, 2005, pág. 372) que combina varias reglas de inferencia y consiste en escribir las premisas y las proposiciones que se siguen de ellas en la misma columna, y colocando en otra columna, a la derecha de cada enunciado, su “justificación”, esto es, las razones que damos para incluirlo en la prueba. Es conveniente escribir primero todas las premisas, si todas las premisas de la columna están numeradas, la justificación de cada nuevo renglón consiste en aplicar las reglas de inferencias a los números correspondientes a las premisas o las conclusiones parciales. Siguiendo estos pasos podremos determinar la validez de argumentos deductivos de una manera óptima y menos mecánica. Para aplicar las reglas de inferencia, la estrategia es la siguiente: 1. Identificar las proposiciones simples del argumento. 2. Identificar las premisas y su forma. 3. Identificar la conclusión y su forma. 4. Expresar el argumento en forma estándar: P1, P2,…, Pn / Q 5. Aplicar las reglas de inferencia sobre las premisas hasta llegar a la conclusión. Estudiemos los siguientes argumentos. 1. Los extraterrestres son reales o son fruto de la imaginación, pero si fueran
reales habrían dejado evidencias convincentes de su existencia, y no existen tales evidencias. Por lo tanto los extraterrestres son fruto de la imaginación.
Análisis: 1. Identificación de las proposiciones simples:
P: Los extraterrestres son reales.
S: Los extraterrestres son fruto de la imaginación. R: Hay pruebas convincentes de su existencia.
Argumentos deductivos 131
2. Identificar las premisas, su forma y expresarlo en forma estándar:
P1: PS
P2: PR
P3:R _______ Q: S
Esquema deductivo:
1) PS P1
2) PR P2
3) R P3
4) P TT en 2 y 3 _____ S SD entre 1 y 4
Por lo tanto, la conclusión se deduce lógicamente de las premisas. 2. Si Napoleón usurpó un poder que no le correspondía por derecho, Napoleón
debe ser condenado. O Napoleón fue un monarca legítimo, o usurpó un poder que no le correspondía por derecho. Napoleón no fue monarca legítimo. Luego, Napoleón debe ser condenado.
Análisis: 1. Identificación de las proposiciones simples:
P: Napoleón usurpó un poder que no le correspondía por derecho. S: Napoleón debe ser condenado. R: Napoleón fue un monarca legítimo.
2. Identificar las premisas, su forma y expresarlo en forma estándar:
P1: P S
P2: R P
P3: R _______ Q: S
132 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Esquema deductivo:
1) P Q P1
2) R P P2
3) R P3 4) P SD entre 2 y 3 ______ S MP entre 1 y 4 Por lo tanto, la conclusión se deduce lógicamente de las premisas. 3. Si la ciudadanía romana hubiera tenido garantías de las libertades civiles, los
ciudadanos romanos habrían gozado de libertad religiosa. Si los ciudadanos romanos hubieran gozado de libertad religiosa, entonces no se habría perseguido a los primeros cristianos. Pero los primeros cristianos fueron perseguidos. Por consiguiente, a la ciudadanía romana no se le pudo haber garantizado los derechos civiles.
Análisis: 1. Identificación de las proposiciones simples:
P: La ciudadanía romana tenía garantías de las libertades civiles. Q: Los ciudadanos romanos gozaron de libertad religiosa. R: Los primeros cristianos fueron perseguidos.
2. Identificar las premisas, su forma y expresarlo en forma estándar:
P1: P Q
P2: Q R P3: R
___________
Q: P Esquema deductivo:
1) P Q P1
2) Q R P2 3) R P3
4) Q TT en 2 y 3 _____
P TT en 1 y 4 Por lo tanto, la conclusión se deduce lógicamente de las premisas.
Argumentos deductivos 133
4. Si las leyes son buenas y su cumplimiento es estricto, disminuirá el delito. Si el cumplimiento estricto de la ley hace disminuir el delito, entonces nuestro problema es de carácter práctico. Las leyes son buenas, luego nuestro problema es de carácter práctico.
Análisis: 1. Identificación de las proposiciones simples:
P: Las leyes son buenas. Q: El cumplimiento de las leyes es estricto. R: Disminuye el delito. S: Nuestro problema es de carácter práctico.
2. Identificar las premisas, su forma y expresarlo en forma estándar:
P1: (PQ)R
P2: (QR)S P3: P _____________ Q: S
Esquema deductivo:
1) (PQ)R P1
2) (QR)S P2 3) P P3
4) P(QR) RE en 1
5) QR MP en 3 y 4 ________
S MP en 2 y 5 Por lo tanto, la conclusión se deduce lógicamente de las premisas.
134 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Ejercicios
En cada uno de los siguientes argumentos la conclusión de deduce de las premisas. Construya el esquema deductivo de cada uno de ellos y señale las reglas de inferencia utilizadas para hacer que el argumento deductivo sea válido.
a. Carlos llegó tarde a la universidad en bus o en Transmilenio. Si tomó el bus o
condujo su propio carro, llegó tarde a clase. Carlos no llegó tarde a clase. Por lo tanto, llegó en Transmilenio.
b. Si Pepe es buen cantante, entonces tiene buena voz y no desafina. Si tiene buena voz y no desafina, entonces lo contratarán para el concierto del fin de semana. Pero no lo contratarán para esa obra musical. Por lo tanto, no es un buen cantante.
c. Pedro y José son influyentes. Si José es influyente, María obtendrá el empleo. Por lo tanto, María o Melissa obtendrán el empleo.
d. Carlos es fanático del ultimate frisbee y Camilo es fanático del baloncesto. Si Camilo es fanático del baloncesto, entrenará todos los días. Camilo comprará unos tenis Jordan. Por lo tanto Camilo entrenará todos los días y comprara unos tenis Jordan.
e. Si Don Ramón le pega a Kiko entonces Doña Florinda le pegara a él. Si Doña Florinda le pega a Don Ramón, Kiko le dirá chusma, chusma a Don Ramón. Don Ramón le pego a Kiko. Por lo tanto, Kiko le dijo a Don Ramón chusma, chusma.
f. Si Messi no gana el Balón de oro, lo ganará Cristiano Ronaldo o no lo ganará James Rodríguez. Si Cristiano Ronaldo gana el Balón de oro o James Rodríguez no lo gana, entonces Cristiano Ronaldo protagonizará un comercial de gaseosas. Si Benzema protagoniza el comercial de gaseosas, entonces Cristiano Ronaldo no lo hará. Benzema protagoniza el comercial de gaseosas. Por lo tanto Messi gano el Balón de oro.
g. En el rock al parque se presentarán Sepultura y Napalm Death. Si se presenta Sepultura o Aborted, entonces el pogo que se forma será numeroso. Por lo tanto, Sepultura se presentará en el Rock al parque y el pogo que se forma será numeroso.
h. Si hay corrida de toros en la plaza, los animalistas harán protesta. Si hay corrida de toros en la plaza y los animalistas hacen protesta, entonces se producirá un enfrentamiento durante la corrida. No es el caso que, haya corrida de toros en la plaza de toros y haya un enfrentamiento durante la corrida.
Argumentos deductivos 135
3.1.3 Razonamiento con cuantificadores
En los lenguajes naturales como el español tenemos varias expresiones que nos indican cuántos individuos de un universo, determinado por el contexto, tienen una cierta propiedad. Usualmente se usan palabras como todos, ninguno, algunos, casi todos, casi ninguno, un poco más de cinco, muchos, pocos, etc. Algunas de estas expresiones nos dicen exactamente de cuantos estamos hablando, pero la mayoría apenas nos dan una idea aproximada. Por ejemplo: a. Todos los hombres son mortales. b. Ningún menor de edad debe fumar cigarrillo. c. Algunas mujeres son médicas. d. La mayoría de hombres solteros no tienen hijos. e. Por lo menos el 20% de los colombianos viven en la región pacífica. f. Exactamente hay cuatro celulares en oferta. g. A lo más tendré ocho días de vacaciones. Sin embargo, algunas proposiciones en las que explícitamente no está presente un cuantificador están realmente cuantificadas. Por ejemplo, cuando decimos que los perros son mamíferos, estamos diciendo que todo animal que sea un perro, es mamífero, o de forma más sencilla, que todos los perros son mamíferos. En español la palabra solamente hace referencia a un cuantificador, cuando afirmamos que solamente los mayores de edad pueden tomar licor, estamos diciendo que todos los que beben licor son mayores de edad. La lógica para su estudio escoge dos cuantificadores: todos y algunos. Algunos quiere decir por lo menos uno. Así que en los ejemplos dados al inicio de esta sección los últimos cinco se deben clasificar de forma genérica como Algunos A son B. En el segundo ejemplo encontramos la forma ningún A es B, que podemos reemplazar por la forma Todos los A no son B. Las proposiciones universales son aquellas que tienen el cuantificador “todos”, llamado también cuantificador universal. La lógica deductiva las reduce a las siguientes formas: - Todo A es B: Para todo individuo del universo, si ese individuo tiene la
propiedad A entonces tiene la propiedad B. - Ningún A es B: Para todo individuo del universo, si el individuo tiene la
propiedad A entonces no tiene la propiedad B.
136 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Las proposiciones particulares son aquellas que tienen el cuantificador “algunos”, también llamado cuantificador existencial. La lógica las reduce a las siguientes formas: - Algunos A son B: Existen individuos del universo que tienen la propiedad A y
la propiedad B. - Algunos A no son B: Existen individuos del universo que tienen la propiedad
A y no tienen la propiedad B. La siguiente tabla está separada en tres columnas de tal forma que la primera enuncia la forma en lenguaje natural, la segunda hace explicito el cuantificador y la tercera es la forma lógica en la cual se hace explicito el universo del discurso.
Los ibaguereños son colombianos.
Todos los ibaguereños son colombianos.
Todas las personas, si son ibaguereñas, son colombianos.
Hay niños que están desnutridos en Colombia.
Algunos niños están desnutridos en Colombia.
Algunos niños son colombianos y están desnutridos.
Existen números naturales que son primos.
Algunos números naturales son primos.
Algunos números son naturales y son primos
El perro es un animal noble.
Todos los perros son animales nobles.
Todos los animales, si son perros, son nobles.
Ningún humano vive sin oxígeno.
Todos los humanos no viven sin oxígeno.
Todos los animales, si son humanos, no viven sin oxígeno.
Solamente los jueces pueden dictar sentencias.
Todas los que dictan sentencias son jueces.
Todas las personas que dictan sentencias son jueces.
Tabla 34 Ejemplo de proposiciones categóricas
Negación de cuantificadores
Si como vimos anteriormente para negar adecuadamente en el caso de las proposiciones compuestas hay que tener mucho cuidado, con mayor razón hay que hacerlo al negar proposiciones con cuantificadores. En la lógica de Aristóteles las cuatro formas básicas de proposiciones con cuantificadores las llamó proposiciones categóricas, las cuales en la Edad Media los lógicos denominaron con las letras A, E, I, O, respectivamente. En un cuadrado que se llama cuadrado de oposición representaron de manera visual cual es la negación de cada una de ellas.
Argumentos deductivos 137
A E
I O Ilustración 3 Cuadrado de oposición
En el siguiente cuadro hacemos explicito las cuatro proposiciones categóricas con su respectiva negación (contradictoria).
Proposición categórica Negación
Todos los A son B Algunos A no son B
Ningún A es B Algunos A son B
Algunos A son B Ningún A es B
Algunos A no son B Todos los A son B
Tabla 35 Negación proposiciones categóricas Ejemplos: Proposición categórica Negación
Todos los hombres son mortales. Algunos hombres no son mortales.
Ningún colombiano es rico. Algunos colombianos son ricos.
Hay personas que son agresivas. Ninguna persona es agresiva.
Solamente los socios pueden ingresar al club.
Algunas personas que son socias no pueden ingresar al club.
Algunos niños en Colombia no comen bien.
Todos los niños en Colombia no comen bien.
Todos los BMW son rápidos. Algunos autos son BMW y no son rápidos.
Tabla 36 Ejemplo de negación de proposiciones categóricas. Las proposiciones categóricas pueden tener formas mucho más complejas que las dadas en los ejemplos, pues pueden tener conectivos en su interior, o pueden ser una proposición compuesta que contengan cuantificadores. Nota: Recordemos que toda proposición tiene un valor de verdad y que su negación tiene el valor opuesto. Así que si por ejemplo afirmamos que, todos los hombres son mortales, lo cual evidentemente es verdadero, su negación, algunos hombres no son mortales, es falsa. O si afirmamos que, ningún colombiano es honesto, lo cual es falso, su negación, algunos colombianos son honestos es verdadera.
138 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Ejemplos: En el análisis de los ejemplos que siguen es conveniente tener en cuenta que en ocasiones es necesario combinar las reglas de la negación de los cuantificadores con las reglas de la negación de las proposiciones compuestas. 1. Algunos sociólogos son ricos y famosos.
Negación: Ningún sociólogo es rico y famoso. Análisis: La forma de la proposición original es Algunos A son B y C. Su negación es Ningún A es B y C.
2. Todos los ornitorrincos son mamíferos y ovíparos.
Negación: Algunos ornitorrincos no son mamíferos o no son rumiantes.
Análisis: La forma de la proposición es Todos los A son B y C, su negación es de la forma Algunos A no son (B y C) utilizando la forma equivalente de la negación de la conjunción, resulta en Algunos A no son B o no son C.
3. Todo número natural es primo o es producto de primos.
Negación: Algún número natural no es son primos ni es producto de primos.
Análisis: La forma de la proposición es Todos los A son B o C, su negación es de la forma Algunos A no son (B o C), la cual, utilizando la forma equivalente de la negación de la disyunción, resulta en Algunos A no son B y no son C.
4. Todo candidato al Concejo Municipal que no consiga el umbral no será
elegido. Negación: Algunos candidatos no conseguirán el umbral y serán elegidos.
Análisis: La forma de la proposición es Todos los A, si no son B entonces no son C. Su negación es Algunos A no se cumple que, si no son B entonces no son C, utilizando la forma equivalente de la negación de una condicional y la doble negación resulta en Algunos A no son B y son C.
Especificación universal (EU)
1. Todos los estudiantes de la Universidad Nacional pasaron el examen de admisión. Juan es estudiante de la Universidad Nacional, luego Juan pasó el examen de admisión.
2. Todos los perros son juguetones. Mi mascota Candy es un perro, luego Candy
es juguetón.
Argumentos deductivos 139
Los dos argumentos anteriores comparten el siguiente esquema:
Todos los A son B a es A Luego a es B.
Ejemplos:
3. Todos los colombianos son honrados. Pedro es colombiano, luego Pedro es
honrado. 4. Todos los estudiantes aprobaron el curso. Juan es estudiante del curso, luego
Juan aprobó el curso.
Generalización existencial (GE)
1. Juan Manuel Santos es presidente de Colombia. Luego alguna persona es presidente de Colombia.
2. James Rodríguez es jugador del Real Madrid. Luego algún colombiano es
jugador del Real Madrid Los anteriores ejemplos comparten el siguiente esquema: a es A Luego, algún x es A. Si sabemos que un individuo determinado a de un cierto universo U tiene una propiedad A, podemos concluir válidamente que Algunos x de U tienen la propiedad A. Esto es, que si c es un individuo de U y c tiene la propiedad A, podemos afirmar que Algunos x de U tienen la propiedad A. Ejemplos:
3. Gabriel García Márquez ganó el premio Nobel, luego algún colombiano ganó
el premio Nobel. 4. La función valor absoluto de x es continua y no diferenciable, luego algunas
funciones son continuas y no diferenciables.
140 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Ejercicios
1. Complete la siguiente tabla de acuerdo a las indicaciones dadas en los ejemplos anteriores.
Proposición universal Explicitación del cuantificador
Forma lógica
Algunos colombianos son analfabetos.
El gato es un animal solitario.
Ningún equipo de futbol colombiano ha ganado el mundial de clubes.
Solamente los policías pueden hacer capturas.
Existen triángulos que son equiláteros.
Todos los planetas del Sistema solar giran alrededor del sol.
2. Halle la negación de cada una de las siguientes proposiciones:
a. Si alguien comete un crimen, algún detective tendrá que investigar el caso.
b. Todos los estudiantes de la clase juegan futbol o ultimate frisbee.
c. Todos los estudiantes de 11° irán a la fiesta prom, y algunos se quedarán
festejando hasta el amanecer.
d. No todos los estudiantes de grado 11° son disciplinados.
e. Si ningún estudiante asistió a la clase, todos tendrán una falla.
f. Algunos hinchas de Nacional son violentos.
g. Algunos políticos no son honestos.
h. Ningún estudiante de 11° es estudiante universitario.
i. Todos los médicos son inteligentes.
j. Algunos temas de matemáticas no son difíciles.
3. Aplique la especificación universal o la generalización existencial según sea el caso para dar una conclusión válida.
Argumentos deductivos 141
a. Mariana Pajon ganó el mundial de bicicross (BMX). Luego …
b. Todos los números impares tienen la forma n=2k+1, con k natural.
9 es un número impar. Luego…
c. Diego Milanés es un físico colombiano que trabajó en El Gran Colisionador de Hadrones, luego …
d. Neil Armstrong fue el primer ser humano en pisar la Luna, luego …
e. Todos los matemáticos tienen la letra fea. Camilo es matemático, luego…
f. Todos los tolimenses son flojos. María es tolimense, luego…
g. Falcao García fue el primer futbolista colombiano en jugar en el Manchester United, luego…
h. Todos los bachilleres colombianos presentaron el ICFES. Carlos es un bachiller colombiano, luego…
i. María Isabel Urrutia ganó una medalla de Oro en los juegos Olimpicos, luego…
j. Todos los vehículos BMW tienen excelentes motores. La X3 es una camioneta BMW, luego…
142 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
3.1.4 Falacias formales: Errores comunes de razonamiento
Se le llama falacia a un argumento que tiene la apariencia de ser válido y no lo es. Veremos algunas de las que se cometen con mayor frecuencia y damos razones por las cuales se cree se cometen.
Afirmación del consecuente
Observa los siguientes ejemplos: 1. Si Laura consigue un préstamo del banco, compra un carro. Laura compró
carro. Luego, hizo un préstamo en el banco.
2. Cuando el precio internacional del petróleo sube, el precio del dólar baja. El precio del dólar bajó. Por lo tanto, el precio internacional del petróleo sube.
Los anteriores argumentos tienen la forma PQ, Q /P y la condicional asociada
es [(PQ)Q]P, la cual como ya vimos anteriormente no es una tautología, por lo tanto el argumento es inválido. Este argumento es una falacia que cometemos al no pensar que Laura pudo comprar el carro gracias tal vez a una herencia o un préstamo familiar. En el caso de la baja en el precio del dólar tal vez puede deberse a planes del gobierno para frenar la inflación en el país, por ejemplo. Así que, del hecho que Laura haya comprado carro no se puede deducir que el banco le haya prestado el dinero como tampoco se puede deducir que el precio del dólar haya bajado, se deba al alza del precio internacional del petróleo.
Negación del antecedente
Observa los siguientes ejemplos: 1. Si Camilo maneja con exceso de velocidad sufrirá un accidente de tránsito.
Camilo no maneja con exceso de velocidad, luego Camilo no sufrirá un accidente de tránsito.
2. Si Carlos viaja a EEUU comprará un par de tenis Jordan. Carlos no viajó a EEUU, luego Carlos no compró un par de tenis Jordan.
Los anteriores argumentos tienen la forma PQ, P /Q y la condicional
asociada es [(PQ)P]Q. Invitamos al lector a que desarrolle la tabla de verdad y compruebe que efectivamente no es una tautología. Como en el anterior tipo de falacia podemos hacer la misma reflexión, es posible que Camilo haya sufrido un accidente de tránsito por causas diferentes a manejar con exceso de velocidad, tal vez un carro lo haya chocado o pasó por una carretera mojada y perdió el control del vehículo. De manera similar, así Carlos no haya viajado a los Estados Unidos, puede haber encontrado una tienda
Argumentos deductivos 143
especializada en Colombia que vende ese tipo de tenis. Esta falacia se comete comúnmente debido al uso erróneo de la condicional como si fuera una equivalencia de proposiciones.
Errores en la negación de cuantificadores
¿Cómo negarías que todas las personas son honestas?, o ¿Cómo negarías que ninguna persona comete errores? Quizás lo harías de la siguiente manera: Ninguna persona es honesta y Todo el mundo comete errores. Este es uno de los errores que comentemos con mayor frecuencia. Pensar de esa manera es ubicarse en posiciones extremas, ya que sabemos que hay tanto personas honestas como personas deshonestas. Así que si aplicamos el cuadrado de los opuestos resolvemos el error respondiendo a las preguntas con: Algunas personas son deshonestas y Algunas personas cometen errores. Otro ejemplo muy común en un salón de clase es cuando el profesor les dice que todos estaban haciendo desorden, lo niegan diciendo que todos estaban ordenados. Y así como estos ejemplos hay muchas más situaciones que se presentan a diario donde cometemos errores al negar los cuantificadores por este motivo invito a los estudiantes a una profunda reflexión para no seguir cometiendo este tipo de errores que, aunque se presentan con mucha frecuencia, no lo convierte en un argumento válido.
144 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Ejercicios
1. En cada uno de los siguientes argumentos señale cuál tipo de falacia es y proponga premisas y una conclusión que haga válido el argumento. a. Si Juan es detallista con María, ella será su novia. Juan no es detallista con
María, luego María no será la novia de Juan.
b. Si estudias mucho te irá muy bien en los exámenes. Te fue bien en los exámenes, luego estudiaste mucho.
c. Si Camilo se abriga bien no le dará gripa. Camilo no se abrigó bien, luego le dio gripa.
d. Si Ana estudia lógica informal, no cometerá errores argumentativos. Ana no cometió errores argumentativos, luego Ana estudió lógica informal.
2. En cada uno de los siguientes enunciados determine si se ha negado
correctamente o no las proposiciones categóricas en caso que se esté negando mal, escriba la forma correcta. a. – Muchachos, todos estaban tirando papeles.
– No profesor, ninguno estaba tirando papeles.
b. – Amiga, todos los hombres son iguales. – No amiga, algunos son diferentes.
c. – Ninguna persona es violenta por naturaleza. – ¡Qué va!, Todos somos violentos por naturaleza.
d. – Todas las temporadas de Juego de tronos son buenísimas. – No me parece algunas no son buenas.
Argumentos Inductivos| 145
4. Argumentos inductivos
Los argumentos inductivos son muy importantes para establecer creencias o expectativas referentes a todo lo que queda más allá de la observación que podamos realizar. En la vida cotidiana no podríamos guiarnos en nuestro medio si no utilizáramos argumentos inductivos. Por ejemplo, cuando le prestamos dinero a un amigo porque todas las veces anteriores en las cuales le prestamos dinero nos devolvió el dinero prestado; sin embargo no tenemos certeza de que la próxima vez también nos va a devolver el dinero podría tener algún problema y no hacerlo. De la misma forma, todas las veces que tuvimos calor y tomamos un baño, logramos refrescarnos inferimos que cuando estemos con mucho calor podemos refrescarnos de la misma manera. Nos sorprenderíamos mucho si al abrir la puerta del auto no encontráramos el asiento del conductor, de acuerdo a nuestra experiencia el asiento del conductor siempre se encuentra en el interior del auto, imagínese que como cosa rara un día alguien abrió su carro y lo desmanteló llevándose precisamente el asiento del conductor. Un argumento inductivo es un argumento inválido54 en el cual la evidencia que aportan sus premisas supuestas todas verdaderas, hacen altamente probable que su conclusión sea verdadera. La fuerza inductiva de un argumento (contraparte de la validez deductiva) está dada por el grado de probabilidad que tiene la veracidad de la conclusión, en el caso de que todas las premisas de un argumento inductivo sean verdaderas. La fuerza inductiva no proviene únicamente de la forma del argumento (como en el caso de la validez) sino de la fuerza de la evidencia que contienen sus premisas y del grado de probabilidad de verdad de la conclusión. La fuerza de los argumentos inductivos se puede evaluar matemáticamente, y el área que se encarga de esto es la estadística. La estadística nos brinda herramientas conceptuales para analizar este tipo de argumentos. En ciencias
54
Esta afirmación se sustenta en la definición de argumento válido, dado que al haber la posibilidad que siendo las premisas verdaderas y la conclusión falsa, estamos ante un argumento inválido.
146 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
naturales como la física o la química, la forma de comprobar si el argumento es fuerte, o débil, es por medio de experimentos.
4.1 Tipos de argumentos inductivos
4.1.1 Inducción por enumeración
Los argumentos inductivos por enumeración son aquellos donde las premisas nos dan información sobre un conjunto de observaciones que se hacen sobre individuos de cierto universo, y en las que se detecta cierta regularidad. Veamos un ejemplo: 1. Juan tomó la medicina A y se curó del dolor de cabeza.
María tomó la medicina A y se curó del dolor de cabeza. Pedro tomó la medicina A y se curó del dolor de cabeza. Por lo tanto, la medicina A sirve para curar el dolor de cabeza.
Un argumento inductivo por enumeración se representa esquemáticamente de la siguiente forma: Se tiene un universo U, y una propiedad F que tienen algunos individuos X1, X2,…, Xn de U. Esto es: X1 es F X2 es F X3 es F … Xn es F Por lo tanto, todo X es F La pregunta que debemos hacernos es: Si el universo es muy grande, ¿con cuántos individuos inferimos la generalización? Veamos otro ejemplo: 2. María compró licor en la tienda de Pedro y se intoxicó.
Pablo compró licor en la tienda de Pedro y se intoxicó. Luego, no compraré licor en tienda de Pedro.
En una situación como esta no serían necesarios más casos para poder inferir la generalización de la conclusión. Estudiaremos otros ejemplos y proponemos que usted opine si le parece que la conclusión es correcta o no.
Argumentos inductivos 147
Universo U: murciélagos. Propiedad: Ser negro. 3. El murciélago a es negro.
El murciélago b es negro. El murciélago c es negro. … El murciélago z es negro Luego, todos los murciélagos son negros.
Universo U: metales. Propiedad: Dilatarse en el calor. 4. El metal a se dilató en el calor.
El metal b se dilató en el calor. El metal c se dilató en el calor. … Luego, el calor dilata los metales.
En los próximos ejemplos se observan dos propiedades de los individuos de un cierto universo. Universo U: Compañeros de trabajo Propiedades: Ser paisa y ser amable. 5. Pedro es paisa y es amable.
Juan es paisa y es amable. Liliana es paisa y es amable. Luego, el próximo paisa que me encuentre será amable.
Universo U: Estudiantes de grado 11 Propiedades: Tener el uniforme completo y usar gafas. 6. Camilo del grado 11 tiene el uniforme completo y usa gafas.
José del grado 11 tiene el uniforme completo y usa gafas. María del grado 11 tiene el uniforme completo y usa gafas. Ana del grado 11 tiene el uniforme completo y usa gafas. Luego, los estudiantes de grado 11 tienen el uniforme completo y usan gafas.
Universo: Personas con gripa. Propiedades: Se curan tomando aspirina y aguadepanela caliente. 7. Pedro se cura de la gripa tomando una aspirina y aguadepanela caliente.
Carlos se cura de la gripa tomando una aspirina y aguadepanela caliente. Nancy se cura de la gripa tomando una aspirina y aguadepanela caliente. Yeimi se cura de la gripa tomando una aspirina y aguadepanela caliente.
148 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Luego, cualquier persona que tenga gripa debe tomar una aspirina y aguadepanela caliente para curarse.
En los argumentos inductivos por enumeración entre más individuos de la población se hayan observado que cumplen la propiedad o propiedades, mayor será la fuerza inductiva que tendrá el argumento. Por ese motivo, el argumento del ejemplo 6 tiene una fuerza inductiva mayor que el argumento del ejemplo 7, ya que el universo del ejemplo 6 es mucho más pequeño que el universo del ejemplo 7. También cabe destacar que en el argumento del ejemplo 5 la conclusión no es una afirmación sobre todos los compañeros de trabajo que son paisas, sino que se hace la afirmación sobre un individuo que aún no se ha observado. Estudiemos con detenimiento el siguiente ejemplo matemático: 1. Los números triangulares son aquellos que se pueden distribuir de tal manera
que forman un triángulo. Veamos los primeros números triangulares y la manera como se construyen:
1 1 T1
3 1+2 T2
6 1+2+3 T3
10 1+2+3+4 T4 … N 1+2+3+4+…+n Tn 1, 3, 6, 10, 15, 21,…, N Esta sucesión nos permite ir obteniendo los números triangulares a partir del anterior. Pero no nos permite saber fácilmente si un determinado número es triangular o no. Si queremos saber si un número es triangular podríamos seguir construyendo la sucesión hasta alcanzar el número o un número cercano, pero resulta ser una tarea muy difícil para números muy grandes. Realicemos la siguiente construcción: A cada triangulo le vamos a unir un triángulo igual al original opuesto de forma invertida, es decir
R1=1 R2=6 R3=12
Los puntos representan el triángulo original y las estrellas representan al triángulo original opuesto de forma invertida.
Argumentos inductivos 149
Los dos triángulos forman un rectángulo que tiene de altura n y base n+1, donde n es el número de puntos de la base del triángulo original. Recordemos que el área de un rectángulo es base por altura, lo que significa que el tamaño de cada rectángulo Rn=n(n+1). Pero si observamos con detenimiento los números triangulares corresponden a la mitad del tamaño de los rectángulos asociados, es decir:
𝑇1 =𝑅1
2=
1(1+1)
2= 1
𝑇2 =𝑅2
2=
2(2+1)
2=
2(3)
2=
6
2= 3
𝑇3 =𝑅3
2=
3(3+1)
2=
3(4)
2=
12
2= 6
…
𝑇𝑛 =𝑅𝑛2=n(n + 1)
2
Esto significa que cualquier número triangular tiene la formula 𝑇𝑛 =n(n+1)
2, pero
resulta que por la forma como se construyeron los números triangulares tenemos que
𝑇𝑛 = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯+ n. De lo anterior podemos hacer la siguiente conjetura, al inferir por generalización por enumeración que: Todo número triangular cumple la siguiente igualdad.
𝑇𝑛 = 1 + 2 + 3 + 4 +⋯+ n =n(n + 1)
2
Formalmente en matemáticas, el resultado anterior hay que demostrarlo rigurosamente, lo cual se escapa al nivel de esta guía; en física y en química los resultados se obtienen mediante la realización de experimentos y la comprobación de sus resultados. Lo anterior es para señalar que cada ciencia tiene su manera de hacer generalizaciones y su forma de comprobarlas. Veamos otro ejemplo de inducción por enumeración en matemáticas. Consideremos la sucesión 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,… Podemos asegurar que el siguiente número es el 55. No es difícil darse cuenta que cada número es el resultado de la suma de los dos anteriores. El esquema de este argumento inductivo por enumeración es:
150 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
2+3=5 3+5=8 5+8=13 8+13=21 13+21=34 Luego, el próximo número es 21+34=55
4.1.2 Argumento estadístico
En la actualidad, los medios de comunicación nos bombardean con información estadística un ejemplo en particular es la televisión donde a diario los noticieros hacen una encuesta muy sencilla sobre el tema del día, por ejemplo, Noticias Caracol tiene un espacio llamado Urna Virtual de allí tomamos como ejemplo los siguientes resultados a diferentes preguntas sobre el sistema de salud de Colombia55:
Febrero 1 ¿Ha tenido problemas a la hora de pedir un servicio de salud? Sí 85.93% No 14.07% Total votos: 9235 Marzo 5 ¿Cree usted que la nueva reforma a la salud mejorará la calidad del servicio? Sí 18,77% No 81,23% Total votos: 2.868 Junio 19 ¿Cree usted que la reforma a la salud lo beneficiará? Sí 12.84% No 87.16% Total votos 5.221 Septiembre 4 ¿Ha tenido que interponer tutelas para exigir servicios del sistema de salud? Sí 55.64% No 44.36% Total votos: 4.955
55
Caracol Noticias. (2013)¿Qué han opinado los colombianos sobre la reforma a la salud en 2013? Marzo 20, 2016, de Caracolnoticias.com Sitio web: http://www.noticiascaracol.com/ salud/que-han-opinado-los-colombianos-sobre-la-reforma-la-salud-en-2013
Argumentos inductivos 151
Octubre 17 ¿Conoce usted la reforma a la salud que hace curso en el Congreso? Sí 3,6% No 96,4% Total Votos: 5.885
¿Cuáles conclusiones se podrían inferir de los resultados de esta encuesta? En la primera pregunta es bastante claro que un gran número de colombianos tienen problemas para pedir un servicio de salud. De la segunda igualmente se puede concluir que la mayoría de los colombianos no creen en la reforma a la salud. Los resultados de estas encuestas se deben analizar cuidadosamente. Evidentemente, el universo estudiado es de los colombianos. En segundo lugar, la información dada esta basada en un determinado número de colombianos que respondieron la encuesta; ese número es significativamente menor al total de los colombianos. Tercero, la encuesta la responde quien quiera responderla. Luego nuestra pregunta es ¿Qué tanta fuerza inductiva tienen esas encuestas? Es muy posible que los resultados varíen si una empresa hace las mismas preguntas con las herramientas estadísticas adecuadas para el caso. Esas herramientas le exigen: Primero determinar la población para la cual se quiere saber su opinión. Segundo, como la población es muy grande se debe hallar lo que se conoce como muestra representativa, conformada por un cierto número de individuos de la población a los cuales se les harán las preguntas. La selección de esa muestra representativa, la cual debe ser técnicamente escogida. Y la empresa debe además dar el margen de error que tienen los resultados presentados. Naturalmente se sale totalmente del ámbito de esta guía, el adentrarnos en los aspectos técnicos de lo que se conoce como inferencia estadística como se dijo oportunamente queremos es hacer conciencia y hacer unos llamados de alerta para que los estudiantes de enseñanza media tengan presentes como tomar ese tipo de encuestas, o propagandas que cada día nos llegan con los medios de comunicación. Estudiemos algunos ejemplos muy sencillos de argumentos de tipo estadístico basados en información obtenida en los medios de comunicación se trata de opinar si esos argumentos son fuertes o débiles desde el punto de visa inductivo: 1. La mayor parte de tierra cultivable en el eje cafetero se usa para sembrar
café.56 Juan tiene tierra cultivable en el Quindío. Luego, Juan siembra café.
56
DANE. (2012). El Espectador. Recuperado el 12 de Marzo de 2016, de http://www.semana.com/especiales/los-10-mas/economia/productos-sembrados.html
152 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
2. EL 64% de trabajadores sindicalizados pertenecen a la CUT57 (Central Unitaria de Trabajadores). Mercedes es una trabajadora sindicalizada. Luego, Mercedes pertenece a la CUT.
3. El 90% de los maestros en el año 1991 estaban nombrados en propiedad
58.
Sebastián era maestro en el año 1991. Por lo tanto, Sebastián debía estar nombrado en propiedad.
4. El 1% de los niños en Bogotá sufre de desnutrición y de estos el 27,3% tienen
madres sin educación formal59. Pedro es un niño que vive en Bogotá y su madre estudió el bachillerato. Luego, es poco probable que Pedro sufra de desnutrición.
5. La mayoría de jugadores de la Liga de Baloncesto Profesional de los EE UU
(NBA) usan tenis Nike Zoom Hyperfuse60. Kobe Bryant es jugador de la NBA y tiene contrato con Nike para publicitar sus modelos de tenis61. Luego, Kobe Bryant usa tenis Nike Zoom Hyperfuse.
En resumen los anteriores ejemplos son un tipo especial de argumento inductivo por enumeración llamado argumento estadístico. En ellos se extrajeron conclusiones sobre miembros de una población a partir de una premisa que contiene datos sobre el porcentaje de individuos de la población que cumplen con una determinada característica. Se considera que este porcentaje debe superar al 50% para que el argumento sea fuerte, pero aun así, la conclusión debe enunciarse en términos de posiblemente, probablemente, es razonable concluir que, para dar más fuerza al argumento. No obstante, si el porcentaje está muy cerca de ese 50%, por ejemplo un 55%, hay razones para considerar que aunque fuerte, según el estándar, la conclusión es poco confiable. Son frecuentes los casos en que no se puede ser preciso sobre el porcentaje exacto en las premisas, por lo que estos argumentos a menudo se formulan con expresiones como la mayoría de, muchos, pocos, o casi ninguno.
57
Castaño, J. V. (2012). Panorama del sindicalismo en Colombia. Bogotá: Fescol. pág. 3 58
NULLVALUE. (3 de Octubre de 1991). Por fin se sabe cuántos maestros tiene Colombia. El Tiempo. 59
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Argumentos inductivos 153
Retomando el análisis de los argumentos estadísticos expuestos, podemos afirmar que el ejemplo 3 tiene más fuerza inductiva que el ejemplo 2 en efecto, el ejemplo 3 habla de un 90%, mientras que el ejemplo 2 habla de un 64%. Pero no en todos los casos sólo nos debemos fijar en el porcentaje es el caso del ejemplo 7, donde Pedro es un individuo de la población que cumple con las dos propiedades que describe el estudio y que mediante un cálculo sencillo obtenemos que solo 0,273% de los niños con las características de Pedro sufren de desnutrición por lo tanto, es más acertado concluir que es poco probable que Pedro sufra de desnutrición, ya que hay un 99,727% de probabilidad de que no la sufra, un porcentaje muy cercano a cien, lo que hace lo hace un argumento muy fuerte, para resaltar que aunque es muy pequeña la probabilidad de que Pedro sufra de desnutrición, puede darse el caso. Por último, en los ejemplos 1 y 5, las premisas no nos dicen explícitamente cuál es el porcentaje en que se cumple la propiedad, pero la segunda premisa nos aporta información relevante para comparar cuál de los dos argumentos tiene mayor fuerza, ya que es más relevante tener un contrato comercial con una marca de tenis y por ese motivo usarlos para jugar, que simplemente el hecho de tener tierras cultivables implique necesariamente cultivar café.
4.1.3 Inducción por analogía
Los argumentos por analogía son los argumentos inductivos más usados en la vida cotidiana por ejemplo, cuando nos piden recomendar un libro para leer y recomendamos escoger La Hojarasca porque lo escribió Gabriel García Márquez, dado que es el autor de libros como Cien años de soledad, Crónica de una muerte anunciada o El coronel no tiene quien le escriba que son reconocidos por muchos como buenos libros. Estamos haciendo un argumento por analogía. Los argumentos por analogía se fundamentan en la existencia de relaciones de semejanza entre entidades diferentes. Mediante el uso de las analogías se pretende prever lo que presumiblemente ocurrirá en el futuro, con base en experiencias o en conocimientos anteriores y comparar situaciones con otra semejante, e inferir que lo sucedido en la primera ha de darse también en la segunda. Podemos decir que un argumento por analogía parte de la similitud de dos o más objetos o situaciones, para concluir que tienen otras propiedades en común, como por ejemplo cuando conocemos que una vecina presentaba síntomas como dolor severo de cabeza, dolor en las articulaciones, salpullido en el cuerpo, vómito y diarrea, y fue diagnosticada con zika. En esa misma semana alguien de nuestra familia presenta exactamente los mismos síntomas, además de estar en una zona donde se han presentado varios casos de la misma enfermedad que como se sabe es transmitida por un mosquito, así que pensamos que nuestro
154 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
familiar también tiene zika y debe seguir el mismo tratamiento que le dieron a la vecina. Pero, ¿qué estructura tienen los argumentos por analogía? Utilizaremos las letras F1, F2,…, Fn para representar las propiedades semejantes que constituyen la base de un argumento por analogía. Con la letra a1, a2,…, an señalamos las entidades que sirven de punto de partida para la inferencia. La letra b denota la entidad a la que se refiere la conclusión y, usaremos la letra G para representar la nueva propiedad que se da en la conclusión. Teniendo en cuenta esto vamos a formular la estructura de un argumento por analogía de la siguiente manera:
a1, a2,…, an y b tienen las propiedades F1, F2,…, Fn. a1, a2,…, an tienen la propiedad G. Luego, b tiene también la propiedad G.
Volviendo al ejemplo de los libros de Gabriel García Márquez, tenemos que el argumento por analogía se estructura de la siguiente manera Las entidades a comparar son:
a1: Cien años de soledad. a2: Crónica de una muerte anunciada. a3: El coronel no tiene quien le escriba. b: La Hojarasca.
Tienen dos propiedades en común:
F1: Son libros. F2: Fueron escritos por Gabriel García Márquez.
Luego, Cien años de soledad, Crónica de una muerte anunciada o El coronel no tiene quien le escriba, tienen la propiedad:
G: Son reconocidos como buenos libros. La conclusión afirma que el libro que aún no hemos leído (b) La Hojarasca, también será un buen libro, es decir, poseerá la propiedad G. A continuación se propondrán dos criterios para determinar la fuerza inductiva de los argumentos por analogía presentados en ((Sánchez C. H., Argumentación, 2009, pág. 110), que en nuestra opinión son los más relevantes.
I. Las propiedades semejantes en las entidades que se comparan deben ser relevantes (significativas) para la propiedad que se infiere en la conclusión.
Esto significa que entre más fuerte es la relación existente entre las propiedades de las entidades y la propiedad que se infiere en la conclusión, hace más fuerte el
Argumentos inductivos 155
argumento por analogía. Veamos el siguiente ejemplo para entender mejor esta regla. a. La moto de Carlos es una Tenere 250 que es Yamaha, tiene una potencia de
20 caballos de fuerza, pesa 151 kilos, es monocilíndrica, full inyección y consume un galón de gasolina por cada 100 kilómetros. La moto de Camilo es una Tenere 250 que es Yamaha, tiene una potencia de 20 caballos de fuerza, pesa 151 kilos, es monocilíndrica, full inyección. Luego, la moto de Camilo consume un galón de gasolina por cada 100 kilómetros.
b. La moto de Carlos es una Tenere 250 que es Yamaha, azul, de rines grises, con luces HID, tiene un GPS Garmin y consume un galón de gasolina por cada 100 kilómetros. La moto de Camilo es una Tenere 250 que es Yamaha, azul, de rines grises, con luces HID, tiene un GPS Garmin. Luego, la moto de Camilo consumirá un galón por cada 100 kilómetros.
No hay que ser un conocedor de motos para determinar que el primer argumento es más fuerte que el segundo, ya que las propiedades del primer ejemplo se refieren a características mecánicas de la moto que intervienen directamente en el consumo de la máquina, mientras que las propiedades del segundo ejemplo son características físicas de la moto, que no tienen ninguna relevancia (importancia) en el consumo de gasolina de una máquina. Con este ejemplo mostramos que no sólo es importante la forma del argumento, sino que también resulta importante el conocimiento previo sobre el tema para hacer una mejor evaluación, pero esto no resulta indispensable.
II. Se debe considerar la mayor cantidad posible de propiedades relevantes. Cuantas más propiedades tengamos en cuenta para establecer la semejanza entre las distintas entidades, mayor fuerza inductiva tendrá el argumento por analogía. Retomando el argumento de las motos, notemos que en el primer ejemplo se tienen seis propiedades semejantes entre la moto de Carlos y la de Camilo las cuales son:
F1: Modelo Tenere 250 F2: Marca Yamaha F3: Potencia de 20 caballos de fuerza F4: Peso de 151 kilos. F5: Cantidad de cilindros. F6: Sistema de alimentación del motor full inyección.
Pero consideremos más propiedades relevantes, como por ejemplo:
156 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
F7: Motor tipo 4 tiempos F8: Cilindraje de 149 cc F9: Medida de llanta delantera 80/90 F10: Aceleración que no sobrepasa las 6 mil revoluciones por minuto.
Estas nuevas propiedades también son relevantes a la hora de determinar el consumo de combustible de un vehículo, y si contamos con ellas hacemos que el argumento tenga aún más fuerza inductiva. Para finalizar, debemos decir que la evaluación de argumentos inductivos en especial los argumentos por analogía, es bastante compleja debido a que en ocasiones se debe incorporar mucha información implícita en el argumento, lo que resulta en analizar largos párrafos, y en muchas ocasiones esa información es solo de conocimiento de gente experta en el área, como por ejemplo el caso del consumo de combustible de la moto de Camilo. Sin embargo, las pautas nos ayudan a poder hacer un buen análisis.
Ejercicios
1. Complete los siguientes argumentos inductivos por enumeración agregando una conclusión que haga el argumento inductivamente fuerte y otra que lo haga inductivamente débil. Si considera necesario agregar o quitar alguna premisa para cumplir el objetivo, hágalo. a. La tasa de desempleo en Colombia para el mes de marzo de 2015 fue de
8,9%. José es un ciudadano colombiano en edad para trabajar. Por lo tanto…
b. Goku es sayayin y puede convertirse en súper sayayin.
Vegeta es sayayin y puede convertirse en súper sayayin. Gohan es sayayin y puede convertirse en súper sayayin. Trunks es sayayin y puede convertirse en súper sayayin. Goten es sayayin y puede convertirse en súper sayayin. Broly es sayayin y puede convertirse en súper sayayin. Por lo tanto…
c. La mayoría de políticos en Colombia han sido acusados o se presume que
han cometido robo al patrimonio público. Uribe es un político colombiano. Por lo tanto…
d. El índice de deserción de la educación en Colombia es del 45,3%, siendo más
alto al finalizar el primer semestre; esto debido a la falta de dinero para continuar, la mala elección de carrera, a la mala preparación académica con la que llegan los estudiantes a la universidad, etc.
Argumentos inductivos 157
Federico es un joven colombiano que termino su primer semestre. Por lo tanto…
2. En cada uno de los siguientes argumentos por analogía, determine explícitamente
la estructura del argumento y evalué su fuerza inductiva. a. Era de suponerse que Vegeta pudiera convertirse en súper sayayin. Goku y
Vegeta son de raza sayayin, los dos vienen de familias guerreras, los dos entrenan cada día para ser más fuertes, y Goku se puede convertir en súper sayayin.
b. Cada vez que un personaje de la serie Juego de tronos se vuelve protagonista
es asesinado. Para empezar Ned Stark es protagonista de la primera temporada y muere al final de la misma, Robb Stark al querer vengar la muerte de su padre comienza a ganar terreno por la lucha del trono de hierro, pero en la tercera temporada muere junto a su madre, protagonista también de la lucha contra los Lannister. En la temporada cuatro murió el rey Joffrey, conocido por todos como un sádico y malévolo rey, protagonista de la historia por ser el rey de los siete reinos. Es de suponer que ahora siendo John Snow uno de los últimos de la casa Stark, y habiendo sido nombrado Lord Comandante recibió un protagonismo que nunca había tenido. Es de suponer que John Snow morirá pronto.
c. Uno puede pedir que todo sea definido, más de lo que uno puede pedir que un químico descomponga todas las sustancias. Lo que es simple no se puede descomponer, y lo que es lógicamente simple no se puede definir propiamente.
d. Así como el fondo de un recipiente con agua recibe una mayor presión por el
peso del agua cuando está lleno que cuando esta medio vacío, y mientras mayor es la profundidad que alcanza el agua más grande es la presión, así mismo los lugares altos de la Tierra, tales como las cimas de las montañas, reciben menos presión que las tierras bajas, por el peso de la masa del aire. Esto se debe a que hay más aire sobre las tierras bajas que sobre las altas, pues el aire a los lados de las montañas presiona sobre la base pero no sobre la cima, estando una abajo y otra arriba.
e. Marte tiene propiedades similares a las de la tierra es un planeta, está en el
sistema solar, es cuasi esférico además hay registros que evidencian que existió agua. Entonces es de suponer que existió agua en marte.
f. El matrimonio se encuentra en el mismo estado que la Iglesia: ambos se han
tornado funcionalmente caducos, conforme sus predicadores se encargan de enunciar un resurgimiento realizarlo con entusiasmo se convierte en un día de horror. Y así como Dios ha sido declarado muerto muy a menudo pero tiene
158 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
esta manera furtiva de resucitarse, así todo aquel que descredita el matrimonio, terminará casado.
4.2 Algunas ideas erróneas sobre los argumentos inductivos
Empezaremos resaltando la idea errónea usada por algunos autores entre ellos (Copi & Cohen, 2005, págs. 70-71), quien dice que cada argumento supone la afirmación de que sus premisas proporcionan razones o fundamentos para establecer la verdad de su conclusión pero, solamente un argumento deductivo tiene la pretensión de que sus premisas proporcionan fundamentos concluyentes para su conclusión. Un argumento inductivo tiene una pretensión muy diferente: no que sus premisas sean fundamentos para la verdad de su conclusión, sino solamente que sus premisas proporcionen cierto apoyo a su conclusión. Con respecto a esta distinción entre inducción y deducción, (Sánchez C. H., Argumentación, 2009, pág. 97) hace la siguiente observación. Esta forma de distinguir la inducción de la deducción hace hincapié en aspectos psicológicos y no lógicos; alude a las intenciones de quien argumenta para establecer la distinción. Pero si algún sujeto tuviera la pretensión de que las premisas del argumento de Pérez dan un fundamento concluyente a su conclusión, entonces deberíamos considerar que se trata de un argumento deductivo. Si en otro momento el mismo u otro sujeto afirma que dicho argumento lo que pretende es dar cierto apoyo a la conclusión, entonces deberíamos considerar que se trata de una inducción. Entonces, siguiendo este criterio, los argumentos quedan a la intención del argumentador, y estas intenciones no pueden establecer la diferencia entre argumentos inductivos y deductivos. La segunda idea errónea, y en mi opinión la más difundida, es que cuando hablamos de un argumento inductivo queremos ir de premisas particulares a una conclusión que generalice, pero a pesar de lo difundida que está esa idea, hay que rechazarla. Existen muchos argumentos inductivos cuyas premisas van de lo general a lo particular por ejemplo:
Todos los elefantes observados tienen cuernos de marfil. Luego el próximo elefante que observemos tendrá cuernos de marfil.
Este argumento cuenta con una premisa que es general y la conclusión que es particular, lo que hace muy improbable que la premisa sea verdadera y su conclusión falsa y estamos tratando con un argumento inductivo, ya que la conclusión no es necesariamente verdadera si la premisa lo es; puede que todos los elefantes que se han observados tengan cuernos de marfil, pero nada nos garantiza que el próximo ejemplar que veamos también los tenga.
Argumentos inductivos 159
Otro ejemplo de esto son los llamados silogismos inductivos (Comesaña, 2001, pág. 32), los cuales en general tienen la siguiente estructura: El X por ciento (o la mayoría, o muchos) de los Y es F. A es Y. Por lo tanto, A es F. Un ejemplo de un silogismo inductivo es: 1. La mayoría de los astrónomos son despistados. Pablo es astrónomo. Por lo tanto, Pablo es despistado. 2. La mayoría de los ibaguereños sale de fiesta a la zona de Mirolindo. María es ibaguereña.
Luego, María sale de fiesta a la zona de Mirolindo.
La conclusión de los silogismos inductivos, como se ve en estos ejemplos, suele ser una proposición particular. Pero esto no siempre es así en el siguiente ejemplo de una premisa general llegamos a una conclusión general. La mayoría de los mamíferos tienen al menos dos extremidades inferiores. Los perros son mamíferos.
Por lo tanto, los perros tienen al menos dos extremidades inferiores. Dado que existen argumentos inductivos que van de lo general a lo particular, o de lo general a lo general, no podemos trazar una distinción apelando a la cantidad de los enunciados que cumplen la función de premisas y de conclusión en un argumento. Los argumentos, como lo vimos en el caso de los deductivos, tienen diferentes formas de ser evaluados.
160 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Resultados 161
4. Resultados de la aplicación de la propuesta
Para empezar, se debe señalar que la prueba diagnóstica no se aplicó debido a
que al entregarla a los estudiantes ellos manifestaron que no sabían el significado
de los términos premisa o conclusión, y por lo tanto no podían desarrollar el
contenido de la prueba.
Los resultados de la primera parte del curso se midieron con base con las
calificaciones62 obtenidas durante el primer período académico del año 2016 por
los estudiantes de los salones 11-1 y 11-2 de la IE Ciudad Luz de Ibagué en el
curso de Desarrollo del Pensamiento Matemático. El colegio tiene un sistema de
calificación por competencias que tienen los siguientes valores de la nota:
- Hacer 50%
- Saber 30%
- Ser 20%.
De acuerdo con este criterio, las actividades por competencias se asignaron de la
siguiente forma:
- Notas de talleres en clase 50%.
- Nota evaluación 30%
- Asistencia, puntualidad y compromiso con la clase 20%.
62
Anexo D: Anexo: Calificaciones desarrollo del pensamiento matemático primer periodo 2016
162 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
El colegio, dentro de su pacto de convivencia, establece que un estudiante
aprueba con una calificación de tres con cero (3,0) sobre cinco (5.0) 63.
Con base en estas aclaraciones, se describen los resultados obtenidos.
1. Del total de 59 estudiantes de los dos grupos, sólo cuatro no aprobaron el primer
período del curso, es decir, el 6,77%. Cabe decir que entre los que no aprobaron
el curso se encuentra un estudiante que no asistió pero que aún se encontraba
matriculado.
2. El total de estudiantes que reprobó el primer período del curso están en el grupo
11-2.
3. El promedio de las notas de los estudiantes de los dos grupos fue de 3,9.
4. El promedio de la calificación de la evaluación en los dos grupos fue de 3,5,
donde 17 de los 54 estudiantes reprobó la evaluación, es decir, el 31%.
5. El promedio de la calificación de los talleres en clase en los dos grupos fue de
4,1, donde 5 personas reprobaron esta calificación, es decir, el 9,2%.
63
Pacto de convivencia IE Ciudad Luz de Ibagué, Sobre evaluación y promoción, Pág. 37.
Conclusiones y recomendaciones 163
5. Conclusiones y recomendaciones
5.1 Conclusiones
A pesar de que la competencia argumentativa es transversal a todas las áreas, en
los contenidos de los programas escolares consultados no se aborda el estudio y
el desarrollo de la competencia argumentativa. Esto me hace pensar que existe
un desinterés de parte de los profesores y los directivos de las instituciones de
educación básica y media en la creación de competencias argumentativas en los
colegios colombianos; este es el caso, en la Institución Educativa Técnica Ciudad
Luz y en la Institución Educativa Técnica La Sagrada Familia, ambas de la ciudad
de Ibagué, lo cual Esto se evidenció por la imposibilidad de hacer la prueba
diagnóstica porque los estudiantes no contaban con ningún conocimiento previo
sobre lógica y argumentación.
Por otro lado, los resultados del curso son satisfactorios, lo que sugiere que los
contenidos seleccionados, la forma como se abordan los temas y sobretodo el
uso de ejemplos de la vida real, fueron una estrategia pedagógica acertada. Se
evidenció no sólo en las notas, también el interés que generaba el estudio de los
argumentos y la lógica en el desarrollo de las clases.
Las notas desarrolladas para este curso cumplieron con las expectativas de servir
de texto guía para un curso de lógica informal, como lo fue el que se impartió en
la Institución Educativa Técnica Ciudad Luz Ibagué. Con respecto a esto, al
revisar textos como (Montero Corredor, 2015) y (Zagal Arreguin, 2013) que se
usan para el estudio de la lógica y los argumentos en la educación media debo
164 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
señalar que no hay textos en Colombia adecuados para desarrollar las
competencias argumentativas por ello nos arriesgamos con nuestra propuesta.
5.2 Recomendaciones
La competencia argumentativa es una competencia ciudadana que al
desarrollarse lleva al estudiante a ser un ciudadano crítico que está en capacidad
de analizar y evaluar los argumentos que se le presentan haciéndolo competente
para sostener discusiones libremente sobre sus problemas y que decida con base
en el análisis y la evaluación de evidencias; por este motivo debe hacerse énfasis
en su enseñanza y desarrollo en todos los colegios de Colombia. Una buena
manera de lograr esto es mediante el estudio de la lógica informal que no solo
desarrolla la competencia argumentativa sino que ayuda a eliminar el paradigma
de que la lógica es solo el desarrollo de tablas de verdad; pero también plantea
un cambio de la matemática operacional de la educación media a una matemática
reflexiva, acercando al estudiante a entender la matemática como una ciencia
donde sus resultados se sustentan en demostraciones que son argumentos
deductivamente válidos, los cuales ya está en capacidad de realizarles un primer
análisis. Este es el caso de los estudiantes que deciden hacer su pregrado en
matemáticas o estadística, quienes tendrían algunas herramientas conceptuales
para hacer el análisis de argumentos deductivos lo que facilita la transición del
colegio a la universidad.
La estrategia pedagógica de relacionar un tema tan abstracto como la lógica con
escenarios de la vida cotidiana, invita a reflexionar sobre la necesidad de
esforzarnos más como docentes para encontrar los contenidos pertinentes a las
necesidades de nuestros estudiantes y relacionarlos de forma acertada con su
entorno, así esto nos lleve más tiempo y más esfuerzo.
A. Anexo: Programa desarrollo del pensamiento matemático Institución Educativa Técnica Ciudad Luz Grado 11
166 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
Anexo Programa Desarrollo del Pensamiento Matemático IE Ciudad Luz
Grado 11
167
168 Un primer curso de lógica informal para la enseñanza media
B. Anexo: Prueba de inicio
C. Anexo: Evaluación primer periodo 2016
D. Anexo: Calificaciones desarrollo del pensamiento matemático primer periodo 2016
Anexo: Calificaciones desarrollo del pensamiento matemático 173
E. Anexo: Fotografías
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