U N I D A D 6 :V A R I A B L E A L E AT O R I A Y D I S T R I B U C I Ó N N O R M A L

• Cada experimento aleatorio tiene asociado un espacio muestral .

• Los eventos incluidos en ese espacio muestral no son números, en general.

• Por ejemplo si el experimento es efectuar un análisis de sangre para saber si se

está enfermo, los posibles resultados son = {sano, enfermo}

• Estos resultados, como ven, no son números, sin embargo podemos asignarles

valores números y así obtener una variable llamada VARIABLE ALEATORIA.

• Es variable porque los números (resultados) varían y es aleatoria porque su

valor depende de un experimento aleatorio.

VARIABLE ALEATORIA

EJEMPLO

• Consideremos el experimento aleatorio “arrojar dos monedas

equilibradas y observar la secuencia de caras y cruces obtenidas”

• El espacio muestral asociado a este experimento es:

= {CARA-CARA ; CARA-CRUZ ; CRUZ-CARA ; CRUZ-CRUZ}

• Son entonces 4 eventos igualmente posibles.

• Ahora vamos a definir la variable aleatoria X de la siguiente manera:

X = “cantidad de caras obtenidas”

• Entonces ahora, al evento CARA-CARA le asignaremos el número

2, pues hay dos caras, al evento CARA – CRUZ el número 1 y así

sucesivamente.

VARIABLE ALEATORIA

CC

CX

XC

XX

0

1

2

R

VARIABLE ALEATORIA

• Por lo tanto podemos definir a la variable aleatoria como

la asignación de números reales a los eventos de un

experimento aleatorio, su símbolo será X oY.

• Una variable aleatoria puede ser discreta o continua.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

• Una vez que hemos definido la variable aleatoria X, vamos a asignarle a cada valor su respectiva probabilidad, por ejemplo ¿Cuál es la probabilidad de que X sea igual a 2? Esto significa la probabilidad de obtener dos caras, es decir

P(X = 2) = P(CARA-CARA) = ¼ = 0,25

• Haciendo lo mismo para cada valor de X tendremos

X P(X)

0 1/4

1 1/2

2 1/4

1

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Ésta tabla representa una distribución de probabilidad, como ven, la suma de las

probabilidad es igual a 1. Esa propiedad se llama Ley de cierre.

Es una distribución de probabilidad porque la probabilidad 1 se “distribuye” entre

todos los valores de X

EJEMPLO

Inasistencias 0 1 2 3 4 5

Cantidad alumnos 14 7 3 2 1 1 28

Frec. relativa 0,50 0,25 0,11 0,07 0,04 0,04 1

Inasistencias (X) 0 1 2 3 4 5

P(X) 0,50 0,25 0,11 0,07 0,04 0,04 1

P(tener dos inasistencias)

P(tener a lo sumo una falta)

P(asistencia perfecta)

P(al menos tres faltas)

P(al menos una falta)

ESPERANZA MATEMÁTICA• Así como en la unidad 2 y 3 hemos calculado medidas de resumen

para las variables estudiadas también podemos obtenerlas para una

variable aleatoria.

• Las medidas de resumen de una variable aleatoria X podemos

sintetizarlas en una medida de posición llamada ESPERANZA

MATEMÁTICA y una de dispersión llamada VARIANZA.

• La esperanza es el valor esperado de una variable aleatoria, es la

media de la variable, su fórmula es

𝜇 = 𝐸 𝑥 =

𝑖=1

𝑛

𝑥 ∙ 𝑝(𝑥)

EJEMPLO CASO MONEDAS

X P(X)

0 1/4

1 1/2

2 1/4

1

EJEMPLO CASO INASISTENCIAS

Inasistencias (X) 0 1 2 3 4 5

P(X) 0,50 0,25 0,11 0,07 0,04 0,04 1

VARIANZA

•𝜎2 = 𝑉 𝑥 = 𝐸[𝑥 − 𝐸 𝑥 ]2 fórmula teórica

•𝜎2 = 𝑉 𝑥 = 𝐸 𝑥2 − [𝐸(𝑥)]2 fórmula de trabajo

EJEMPLO

Monedas

Inasistencias

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

•Un variable aleatoria es continua cuando puede

tomar infinitos valores en un intervalo

cualquiera

UNA DISTRIBUCIÓN ESPECIAL

•Muchas variables aleatorias continuas siguen un

comportamiento cuya gráfica es similar a la

siguiente

0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00 90,00 100,00

puntaje

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35fr

ecuencia

rela

tiva

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

• Esta distribución tiene la característica de ser simétrica y si además

cumple con otras condiciones existe un modelo matemático que

representa a esta distribución y se denomina DISTRIBUCIÓN

NORMAL

DISTRIBUCIÓN NORMAL

• Esta curva representa una distribución de probabilidad y cumple con las

siguientes características:

1. La variable aleatoria X es continua.

2. El campo de variación de X es de −∞ 𝑎 ∞

3. El área total bajo la curva es 1.

4. La curva es simétrica, esto significa que la media, mediana y modo coinciden

en el mismo valor.

5. Sus parámetros son y

0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00 90,00 100,00 110,00

Variable

0,00

0,01

0,02

0,03

De

nsid

ad

Función de densidad

Esta curva es el modelo ideal, y

responde a la expresión matemática

𝑓 𝑥 =1

𝜎 2𝜋𝑒−12𝑥−𝜇𝜎

2

68,27%

95,45%

99,73%

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR

• Es la distribución normal cuyos parámetros son

• = 0

• = 1

-4,00 -3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00

Variable

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400D

en

sid

ad

CÁLCULO DE PROBABILIDAD EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

-4,00 -3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00

Variable

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400D

en

sid

ad

Normal(0,1): p(evento)=0,1075

-4,00 -3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00

Variable

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400D

en

sid

ad

Normal(0,1): p(evento)=0,9821

-4,00 -3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00

Variable

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400D

en

sid

ad

Normal(0,1): p(evento)=0,1361