Á l g e b r a l i n e a l

Todo Matemáticas

Volumen 10

Á l g e b r a L i n e a l

A l e j o G o n z á l e z C r i a d o Profesor Numerario de Matemáticas

2

Destinado a

El Fígaro autodidacta:

Todo aquel que albergue algún interés por las

Matemáticas y disfrute con su estudio.

Obra completa:

Formación básica,

Formación nivel medio

Formación nivel alto

© 𝐸𝑙 𝐴𝑢𝑡𝑜𝑟: 𝐴𝑙𝑒𝑗𝑜 𝐺𝑜𝑛𝑧á𝑙𝑒𝑧 𝐶𝑟𝑖𝑎𝑑𝑜

Figuras y gráficos del autor

Edita: El Autor

Primera edición

Editado en España

ISBN:

Depósito Legal:

Derechos reservados:

Prohibida toda reproducción, por cualquier medio, sin

autorización del autor

Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal

3

VOLUMEN 10

ÁLGEBRA LINEAL

Matrices y Determinantes, Sistemas lineales, Espacios vectoriales,

Aplicaciones lineales, Endomorfismos. Espacio afín, Espacio Euclídeo.

Transformaciones geométricas, Cambio de Sistema de referencia.

Movimientos, Rotación en el espacio.


5

ÍNDICE

Pág.

Tema 1 Matrices y Determinantes

21 1.1.- Matrices

21 1.2.- Operaciones básicas con matrices

24 1.3.- Producto de dos matrices. Ejemplos

27 1.4.- Traspuesta de una matriz A. Ejemplos

28 1.5.- Determinante de una matriz cuadrada.

Ejemplos

33 1.6.- Matriz adjunta y adjunto algebraico

de un elemento aij. Matriz adjunta de la matriz A

33 1.7.- Matriz inversa de la matriz A

Ejemplos

36 1.8.- Rango de una matriz

Ejemplos

39 1.9.- Aplicación del cálculo de determinantes al cálculo

del Rango. Ejemplos

45 Ejemplos/Actividades

Tema 2 SISTEMAS Lineales

53 2.1.- Conceptos básicos. Ejemplos

6

54 2.2.- Sistemas de ecuaciones lineales

56 2.3.- Clasificación de Sistemas según su compatibilidad.

Ejemplos

57 2.4.- Sistemas equivalentes.

Transformaciones que dejan invariante el conjunto

de soluciones. Ejemplos

60 2.5.- Tipos de Sistemas según el número de incógnitas, y

su resolución. Métodos

60 2.5.1.- Sistema lineal en x, y. Su resolución. Ejemplos

63 2.5.2.- Sistema con tres incógnitas: x,y,z . Resolución.

Métodos

69 Ejemplos/Actividades

Tema 3 Vectores, Espacios vectoriales

77 3.1- Vector libre: Generalización

78 3.2.- Operaciones básicas con vectores

Ejemplos: Los casos V2, V3

83 3.3.- Combinación lineal de vectores.

Dependencia e independencia lineal de vectores.

Sistema libre de vectores. Ejemplos resueltos

87 3.4.- Bases de un espacio vectorial.

Dimensión de un espacio vectorial


7

89 3.5.- Coordenadas de un vector en una base.

Cambio de base

94 3.5.- Subespacios vectoriales

97 Ejemplos/Actividades resueltos

Tema 4 Aplicación de Matrices al Análisis y

Resolución de Sistemas Lineales

105 4.1.- Generalidades sobre Sistemas Lineales

107 4.2.- Los Sistemas lineales y el Cálculo matricial

4.2.1.- Interpretación matricial de un Sistema lineal

Clasificación. Teorema de Rouché Fröbenius

111 4.2.2.- Análisis y Resolución de un Sistema lineal no

Homogéneo. Método de Crámer.

116 4.3.- Caso de Sistema Compatible indeterminado.

Aplicación del Método de Crámer

117 4.4.- Sistemas Homogéneos. Clasificación.

Base del Subespacio de soluciones.

121 Ejemplos / Actividades resueltas

Tema 5 Aplicaciones Lineales. Endomorfismos.

149 5.1.- Aplicación lineal. Núcleo e Imagen.

151 5.2.- Matriz asociada a una Aplicación lineal

8

153 5.3.- Caso de un Endomorfismo . Ejemplos

160 5.4.- Cambio de base y efecto en las coordenadas

Tema 6 Espacios Afines

169 6.1.- Espacio Afín

170 6.2.- Sistemas de referencia

170 6.2.1.- En el Plano. Cambio de Sistema de referencia

175 6.2.2.- En el Espacio. Cambio de Sistema de referencia

Ejemplos

Tema 7 Espacio Métrico asociado a un Espacio

vectorial. Espacio Euclídeo.

185 7.1.- Espacio Vectorial normado

189 7.2.- Norma Hermética en un Espacio vectorial sobre el

cuerpo de los complejos.

190 7.3.- Introducción al Concepto de Espacio Euclídeo

195 7.4.- Espacio Euclídeo ordinario

196 7.5.- Espacio Euclídeo cualquiera

199 7.6.- Concepto de ángulo en un Espacio euclídeo

200 7.7.- Ortogonalidad y normalización en un Espacio

Euclídeo cualquiera.


9

Tema 8 Transformaciones geométricas en el

Plano

205 8.0.- Conceptos básicos

206 8.1.- Traslación en el Plano: Traslación de un punto.

Traslación de una región del plano

208 8.2.- Giro con centro en un punto.

211 8.3.- Simetría central

212 8.4.- Simetría axial

213 8.5.- Movimiento en el plano

216 8.6.- Homotecia en el Plano

Tema 9 Transformaciones geométricas en el Espacio

221 9.0.- Conceptos básicos

222 9.1.- Traslación de un punto. Traslación de un sólido

223 9.2.- Simetría especular

226 9.3.- Giro cuyo eje es alguno de los ejes de coordenadas.

231 9.4.- Simetría axial en el Espacio

233 9.5.- Simetría Central en el Espacio

10

234 9.6.- Movimiento en el Espacio

235 9.7.- Homotecia en el Espacio

Tema 10 Cambio de Sistema de referencia

241 10.1.- Cambio de Sistema de referencia en el Plano

242 10.2.- Cambio de Sistema de referencia en el Espacio

10.2.1.- Traslación de un Sistema de referencia

243 10.2.2.- Giro del Sistema de referencia sobre uno de sus

ejes.

247 APÉNDICE 1 Suplemento: Sobre Transformaciones

en el Plano. Ejemplos

259 APÉNDICE 2 Suplemento: Sobre Transformaciones

en el Espacio. Ejemplos

275 PROBLEMAS: Resueltos ó Semi- Resueltos

A) De Espacios Vectoriales, Matrices y

Determinantes

280 B) Sistemas dependientes de algún parámetros

283 C) De Endomorfismos

289 D) De Espacios Afines y Espacios Euclídeos

298 E) De Espacios Afines y Espacios métricos

325 BIBLIOGRAFÍA

327 Notación y nomenclatura. Valores


11

Tema 1

Matrices y Determinantes


13

1.1.- Matrices

Llamamos “Matriz” a un conjunto de valores ordenados en filas y

columnas. Así, la matriz A

A =

a33 a32 a31

a23 a22 a21

a13 a12 a11

es una matriz con 3 filas y 3 columnas. Diremos que es de orden

3x3.

En la práctica los valores aij suelen ser enteros.

La matriz B

B =

b3 a33 a32 a31

b2 a23 a22 a21

b1 a13 a12 a11

es de orden 3x4 (3 filas y 4 columnas)

1.2.- Operaciones básicas con matrices

Suma A + B:

Se suman elemento a elemento: aij + bij, y por tanto han de ser

matrices del mismo orden. Las matrices A y B anteriores No

pueden ser sumadas.

14

Ejemplo: Sean las matrices A y B siguientes

A =

363

250

412

, B =

110

352

043

Su suma da como resultado la matriz C tal que cij = aij + bij:

C =

473

102

431

MATRIZ Cero:

Es la matriz cuyos elementos aij son todos cero: aij = 0, para todo

i, todo j.

La representamos por O.

MATRIZ Opuesta de A:

Es la que resulta de cambiar el signo a todos sus elementos. La

indicamos mediante –A.

La opuesta de A del ejemplo anterior es

363

250

412

La condición para serlo es que cumpla: A + (-A) = 0 (matriz cero)


15

RESTA de dos matrices:

Para hacer la resta A-B hacemos es A+(-B).

Equivale a sumar A con la opuesta de B.

Tomando A y B como en el ejemplo anterior

A =

363

250

412

, B =

110

352

043

A – B =

253

5102

455

PRODUCTO de una matriz por escalar (un valor real):

El producto c.A está definido así: Multiplica cada elemento aij de

la matriz por el valor c.

Ejemplo:

Dada la matriz A y un escalar a, el producto a.A da como

resultado la matriz C tal que cij= a.aij:

A =

363

250

412

, 3.A =

9189

6150

1236

16

GRUPO aditivo de las matrices Mnxm :

Sea Mnxm el conjunto de las matrices de orden nxm.

Las Operaciones antes definidas cumplen las siguientes

propiedades.

Para la SUMA:

Propiedades de las operaciones + y . (por escalar), dentro de

Mnxm:

Asociativa: A+ (B + C) = (A + B) + C

Conmutativa: A + B = B + A

Elemento neutro: Lo es la matriz cero

Simétrico(Opuesto): La opuesta de A es –A

Hasta aquí tenemos la estructura de grupo (Mnxm,+)

Distributiva del producto . por escalar (un valor real)

respecto de +:

c.(A + B) = c.A + c.B

1.3.- Producto de dos matrices:

Su definición es difícil de explicar. Lo mostramos mediante un

ejemplo.

Sean las matrices A de orden 3x2, B de orden 2x4:

A =

a32 a31

a22 a21

a12 a11

, B =

b24 b23 b22 b21

b14 b13 b12 b11

Si A es de orden n x k y B es de orden k x m, el producto A.B nos

da como resultado una matriz C, de orden n x m, cuyos elementos

cij se obtienen como sigue:


17

Primer fila de A con primer columna de B

c11 = a11.b11+a12.b21,

Primera fila de A con segunda columna de B

c12= a11.b12+a12.b22,

Primer fila de A con tercer columna de B

c13= a11.b13+a12.b23,

Primer fila de A con cuarta columna de B

c14= a11.b14+a12.b24

Hasta aquí hemos obtenido la primer fila de la matriz C.

Análogamente obtenemos la segunda, y siguientes, fila de C

c21= a21.b11+a22.b21,

c22= a21.b12+a22.b22,

c23= a21.b13+a22.b23,

c24= a21.b14+a22.b24

Tercer fila de C

c31= a31.b11+a32.b21,

c32= a31.b32+a12.b22,

c33= a31.b13+a32.b23,

c34= a31.b14+a32.b24

La matriz C resultante es la siguiente de orden 3x4

18

C =

34333231

24232221

14131211

cccc

cccc

cccc

En general, para que sea posible el producto A.B sus órdenes han

de ser de la forma n x k y k x m (número k de columnas de A

igual al número k de filas de B), y la matriz resultante es de orden

n x m.

Observa que el número de filas de B ha de coincidir con el

número de columnas de A.

No conmutatividad del producto A.B

Aunque sea posible realizar A.B y B.A, en general este producto

No es conmutativo.

Ejemplos:

a) A = (2 1 3−1 0 4−3 2 1

) , B = (3 1−1 04 2

) -- >

A.B = (17 813 7−7 − 1

) , B.A = No es posible

b) A = (2 1 3−1 0 4−3 2 1

) , B = (3 1 0−1 0 3 4 2 − 1

) -- >

A.B = (17 8 013 7 − 4−7 − 1 5

), B.A = (5 3 13−11 5 09 2 19

)

Este ejemplo muestra que no es conmutativo


19

1.4.- Traspuesta de una matriz A

Es la matriz que resulta de cambiar filas por columnas: La primer

fila pasa a ser primer columna; la segunda fila pasa a segunda

columna, y así con cada una de las filas de A. La designaremos

por At ó por A’.

El Producto y la Trasposición

Afirmación:

La traspuesta de un producto A.B coincide con el producto de las

traspuestas realizado en sentido contrario:

(A.B)t = B

t.A

t

Ejemplos:

a) A =

123

401

312

, At =

143

201

312

b) A = (3 − 21 5

), B = (−1 24 5

)

A.B = (−11 − 419 27

), (A.B)t = (

−11 19−4 27

)

At = (

3 1−2 5

), Bt = (

−1 42 5

)

Bt.A

t = (

−11 19−4 27

)

Se cumple en general (es decir, siempre) : (A.B)t = B

t.A

t

20

1.5.- Determinante de una matriz cuadrada

Su definición para el caso general es realmente difícil, e

inoportuno incluir aquí la Teoría de tensores que nos conducen

hasta la misma.

Teniendo en cuenta el principal objetivo del presente trabajo, que

no es otro que la consecución de destrezas en el uso de

herramientas matemáticas útiles para resolver problemas, lo

tratamos de forma asequible al alumno, como suele hacerse en la

Enseñanza reglada.

Matriz 2x2:

A =

2221

1211

aa

aa

Su determinante es el valor: Det(A) = a11.a22 – a12.a21

Matriz 3x3:

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa


21

En una matriz cuadrada (cualquiera), llamamos “diagonal

principal” a la línea formada por los elementos: a11, a22, a33, ...

(de izquierda a derecha).

Llamamos “diagonal secundaria” a la línea formada por los

elementos: a13, a22, a31, ... (de derecha a izquierda)

Regla de Sarrus:

Para la matriz A de orden 3x3, su Determinante queda definido

así:

Det(A) =

[a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13] –

- [a13.a22.a31 + a12.a21.a33 + a23.a32.a11]

Observa en la figura cómo en el primer corchete incluye:

- Producto de los de la diagonal principal

- Más producto de los de la paralela por encima de esta diagonal

y el vértice opuesto,

- Más producto de los de la paralela por debajo de la diagonal y

el vértice opuesto.

Para el segundo corchete incluye:

22

- Producto de los de la diagonal secundaria

- Más producto de los de la paralela por encima de esta

diagonal y el vértice opuesto

- Más producto de los de la paralela por debajo de esta diagonal

y el vértice opuesto.

Este procedimiento lo llamamos “Regla de Sarrus”

Matrices de orden n > 3:

Para matrices de orden mayor que 3 necesitamos los conceptos

dados en el Apartado 1.6 (siguiente).

Como ejemplo lo aplicamos al caso de 4x4

Matriz 4x4:

A =

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

Antes algunos nuevos conceptos, que repetiremos en el punto 1.6.

Matriz Adjunta asociada a un elemento aij:

Llamamos “Adjunta asociada al elemento aij” (o adjunta de aij,

simplemente) a la matriz Aij que reulta de suprimir la fila i-ésima

y la columna j-ésima.

Adjunto asociado al elemento aij:

Llamamos “Adjunto de aij” al valor Det(Aij).


23

Adjunto algebraico asociado al elemento aij:

Llamamos “Adjunto algebraico de aij” al valor:

Aij = Adj(aij) = (-1)i+j

.Det(Aij)

Desarrollo por una fila ó por una columna:

Se puede demostrar, aunque no lo haremos aquí, que el valor de

su determinante puede ser obtenido mediante el siguiente proceso,

llamado “desarrollo por los elementos de una fila”, o bien

mediante “desarrollo por los elementos de una columna”. Este

desarrollo consiste en lo siguiente.

Suponiendo que desarrollamos por la primera fila, este proceso

consiste en lo siguiente:

Det(A) = a11.Adj(A11) + a12.Adj(A12) + a13.Adj(A13) +

+ a14.Adj(A14)

El resultado es el mismo cualquiera que sea la fila elegida, o

cualquiera que sea la columna elegida.

En la práctica, teniendo en cuenta que Adj(Aij) = (-1)i+j

. Det(Aij),

se aplica como sigue:

Det(A) = a11.Det(A11) - a12.Det(A12) + a13.Det(A13) –

- a14.Detj(A14)

Como las matrices Aij son de orden 3x3, calculando Det(Aij)

mediante la Regla de Sarrus podremos obtener el valor de Det(A),

siendo A de orden 4x4.

Si A fuese, por ejemplo, de orden 5x5, repetiríamos el proceso

anterior dos veces. En cada repetición conseguimos rebajar en

uno el orden del determinante que hemos de calcular.

24

Ejemplo:

Determinante de la matriz

A =

4015

1603

2140

0523

Si desarrollamos por los elementos de la primer fila tenemos

Det(A) = 3.det

401

160

214

-(-2).det

405

163

210

+5.det

415

103

240

-0.det(...) = 3.([95]-[12]) +2.([-5]-[72]) +

+ 5.([14]-[-48]) = 3.83 –2.77 +5.62 = 405

Matrices de orden n x n:

Aplicamos la técnica anterior de “desarrollo por los elementos de

una línea” hasta llegar a matrices Aij de orden 3x3. En este

momento aplicamos ‘Sarrus’


25

1.6.- Matriz Adjunta, Adjunto, Adjunto algebraico, asociados

a un elemento aij . Matriz adjunta asociada a la matriz A

Matriz Adjunta asociada al elemento aij:

‘Matriz adjunta asociada a aij’ es la matriz Aij que resulta de

suprimir la fila i-ésima y la columna j-ésima. La representamos

así:

Aij = Adj(aij)

Adjunto asociado al elemento aij:

‘Adjunto asociado a aij’ es el valor Det(Aij)

Adjunto algebraico asociado al elemento aij:

‘Adjunto algebraico asociado a aij’ es el valor (-1)i+j

.Det(Aij)

Matriz Adjunta asociada a la matriz A:

Es la que resulta de sustituir cada elemento aij por su Adjunto

algebraico. La designamos por

Adj(A)

Adj(A) = (𝐴11 𝐴12 𝐴13𝐴21 𝐴22 𝐴23𝐴31 𝐴32 𝐴33

), (Adj(A))t = (

𝐴11 𝐴21 𝐴31𝐴12 𝐴22 𝐴32𝐴13 𝐴23 𝐴33

)

1.7.- Matriz inversa de una matriz A cuadrada

Ha de ser una matriz cuadrada y con Det(A) ≠ 0.

Definición:

La inversa de A es otra matriz B tal que A.B = I.

I es la matriz unidad: “Los elementos de la diagonal principal son

1: aii = 1, y el resto son 0: aij = 0, si i ≠ j

26

Se puede demostrar que la matriz B obtenida como sigue cumple

la condición de ‘Inversa de A’:

B = 1

𝐷𝑒𝑡(𝐴) . (𝐴𝑑𝑗(𝐴))𝑡

B = 1

𝐷𝑒𝑡(𝐴) . (

𝐴11 𝐴21 𝐴31𝐴12 𝐴22 𝐴32𝐴13 𝐴23 𝐴33

)

At es la traspuesta de A, que también designamos por A’.

Es habitual designar la inversa de A mediante A-1

Conclusión:

Inversa de A = “ Adjunta de la traspuesta At, multiplicada

por el inverso del valor Det(A) ”

Al mismo resultado llegamos si hago lo siguiente:

Inversa de A = “ Traspuesta de Adjunta de A, multiplicada

por el inverso del valor Det(A) ”, esto es

A-1

= 1/Det(A).(Adj(A))t

Este puede resultar más práctico. En primer lugar obtengo la

Adjunta y después hago su traspuesta.

La Matriz inversa de A, cuadrada y con Det(A) ≠ 0, es única, del

mismo modo que en el conjunto R de los números reales el

‘inverso’ de un número real r, no nulo, es único.


27

Ejemplo:

a) Calcula la inversa de la matriz de orden 2x2

A =

45

13

Sol.: det(A) = 12-5 = 7

Adj(A) =

31

54, (Adj(A))’=

35

14, A

-1 =

7/37/5

7/17/4

Comprobación: Ha de cumplirse A.A-1

=

10

01

45

13.

7/37/5

7/17/4=

7/)125(7/)2020(

7/)33(7/)512(

=

10

01

b) Calcula la Adjunta de A. Después obtendrás su inversa.

A=

310

045

213

Sol.:

Adj(A) =

7108

391

51512

Hemos calculado los siguientes menores de orden 2:

28

(Ordenados de izq. a der. y de arriba a abajo)

31

04

,

30

05

,

10

45

31

21

,

30

23

,

10

13

04

21,

05

23

,

45

13

Aprovechando lo anterior el alumno obtendrá la inversa y hará la

comprobación.

1.8.- Rango de una Matriz A cualquiera

Para comprender mejor este apartado el alumno debe hacer una

lectura del Tema 3 dedicado a los vectores. Suponemos que así lo

hace.

Defi.:

Llamamos “Rango de A” al mayor número de filas (o columnas)

que, consideradas como vectores, formen un sistema linealmente

independiente (Sistema libre). Lo designamos por ran(A).

Se puede demostrar que el rango toma el mismo valor

considerando filas o considerando columnas, consideradas en los

dos casos como vectores.

En el siguiente Ejemplo utilizaremos las técnicas derivadas de los

conceptos de dependencia e independencia lineal de vectores que

acabamos de mencionar.


29

Ejemplo:

Halla el rango de A=

1035

2711

2403

0312

Sol.:

Compruebo que las dos primeras filas son l.i.:

a.(2,-1,3,0) + b.(3,0,-4,2) = (0,0,0,0), nos lleva al sistema

siguiente

2.a +3.b = 0

a + 0 = 0

3.a -4.b = 0

0 + 2.b= 0

de donde a = 0, b = 0 . Son l.i., por tanto ran(A) ≥ 2

Agrego la tercer fila

a.(2,-1,3,0) + b.(3,0,-4,2) + c.(1,1,-7,2) = (0,0,0,0)

nos lleva al sistema

2.a +3.b + c = 0

a + 0 +c = 0

3.a -4.b -7.c = 0

0 + 2b +2c = 0

de donde c = a, que llevándolo a las otras tengo

3.a +3.b = 0

4.a -4.b = 0

30

2.a + 2.b= 0

de donde b = -a , que llevándolo a las otras

4.a -4.a = 0

2.a + 2.a= 0

esto es 0.a = 0, y por tanto ‘a’ puede tomar cualquier valor real, y

por tanto pueden tomar valor No nulo.

Conclusión: El tercer vector es c.l. de los dos primeros, y por

tanto no lo tengo en cuenta.

A los dos primeros agrego el cuarto

a.(2,-1,3,0) + b.(3,0,-4,2) + c.(5,-3,0,1) = (0,0,0,0)

nos lleva a

2.a +3.b + 5.c = 0

a + 0 -3.c = 0

3.a -4.b + 0 = 0

0 + 2.b +c = 0

de donde c = -2.b, que llevo a las otras

2.a -7.b = 0

a + 6.b = 0

3.a -4.b + 0 = 0

de donde a = 6.b, que llevo a las otras

12.b -7.b = 0

6.b + 6.b = 0

18.b -4.b + 0 = 0


31

o bien

5.b = 0

0.b = 0

14.b = 0

de donde b = 0, a = 0, c = 0.

Conclusión: Son l.i. , y por tanto ran(A) ≥ 3

Puesto que he agotado el número de filas de la matriz puedo

concluir que ran(A) = 3.

1.9.- Aplicación del cálculo de determinantes al cálculo del

rango de A

Lo que sigue es una técnica muy útil que se aplica para

determinar el rango de una matriz cualquiera. Su justificación

entra dentro, una vez más, en el campo de los vectores,

concretamente los conceptos de dependencia e independencia

lineal, hasta el punto que también se utiliza en el análisis de la

dependencia e independencia lineal de vectores.

Mediante un caso concreto introducimos los nuevos conceptos

que se utilizan.

Dada la matriz A deseamos determinar su rango:

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Menor de orden k:

32

Suprimiendo en A alguna/s filas y alguna/s columnas, de modo

que lo que quede sea una matriz cuadrada de orden k, obtenemos

lo que llamamos ‘una Menor de orden k’.

Por ejemplo, suprimiendo la tercer fila y la tercer columna,

obtenemos el menor

2221

1211

aa

aa

Eliminando la segunda fila y la tercer columna obtengo la menor

(𝑎11 12𝑎31 𝑎32

)

Estas menores las podemos representar mediante:

-Cuando hemos suprimido fila y columna que pasan por a33,

tengo A33.

-En el segundo caso será A23, porque he suprimido fila y

columna que pasan por a23.

Esto sólo podemos hacerlo cuando suprimimos sólo una fila y una

columna.

Por ser estas matrices cuadradas podemos calcular su

determinante: Det(A33), Det(A23)

Si Det(A33) <> 0, significa que las dos filas de A implicadas en

esta menos son (como vectores) linealmente independientes. Lo

mismo podemos decir si consideramos ‘vector-columna’.

Del mismo modo, si Det(‘Menor de orden k’) <> 0, las k filas de

A implicadas en ella son vectores l.i., y lo mismo si consideramos

los vectores columna.

En nuestro caso concreto, si Det(A33) <> 0, el rango de A es al

menos dos: ran(A) ≥ 2.


33

Llamamos “Menor de orden k” al determinante de la matriz

“Menor de orden k” obtenida antes.

Por lo tanto, el primer paso consiste en obtener un menor de

orden 2 no nulo. Si todos los posibles menores de orden 2 son

nulos, entonces

ran(A) = 1

Supongamos que ran(A) ≥ 2 porque hemos encontrado un menor

de orden 2 no nulo.

Comprobaremos si es rango ≥ 3.

Agregamos a las anteriores filas de la menos anterior una fila y

una columna para tener una menor de orden 3 (que incluya

aquella de orden 2 que resultó con Det <> 0).

Calculamos su determinante. Si Det <> 0 tenemos ran(A) ≥ 3. Si

Det = 0, rechazamos la columna agregada, manteniendo la fila, y

adjuntamos otra columna, calculando su determinante. Si este

resulta <> 0 tenemos ran(A) ≥ 3, si Det = 0, retiramos la columna

adjuntada y probamos agregando otra. Si agregando columnas de

esta forma, manteniendo la fila, y todos los menores de orden 3

son 0, significa que la fila agregada antes es combinación lineal

de las dos filas de A implicadas en la menor de orden 2 que dio

<> 0

Retiramos esa fila, agregamos otra (conviene seguir un orden) y

agregamos de nuevo una columna (también siguiendo un orden

para que el proceso de cálculo sea ordenado) y probamos

calculando su determinante. Continuamos como hemos descrito

antes. De esta forma obtengo la “mayor menor” cuyo

determinante sea no nulo.

Concluyendo:

34

ran(A) = ‘El orden de la mayor Menor con Det<>0’

Por ejemplo, en lo que veníamos explicando, si todas las menores

de orden 3 dan Det = 0, entonces ran(A) = 2. Si encuentro alguna

de orden 3 con Det. no nulo el rango es 3.

Abundamos en los detalles: Válido y muy útil para el análisis

con vectores.

Supongamos las dos primeras filas (en Anx4)

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

Si todas las menores posibles de orden 2 formadas con éstas dan

det = 0, significa que, entre sí, son l.d.. Significa que existe un

valor k tal que

(a11, a12, a13, a14) = k.(a21, a22, a23, a24)

Si alguna menor tiene det. no nulo, los dos vectores son l. i.

Rechazamos una de las dos, por ejemplo la segunda, y la

sustituimos por otra, la tercera de A, y volveremos a probar.

Si ya tenemos una de orden 2 con det <> 0, lo cual significa que

estas dos filas son l.i., agregando otra tenemos tres filas.

Supongamos son las tres primeras

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

Probamos con las menores de orden 3 hasta encontrar una, si

existiera, con det <> 0. En caso afirmativo, las tres filas son l.i.


35

entre sí, y ran(A) ≥ 3. Los tres vectores son l. i. entre sí. Si todas

dan det = 0, significa que las tres filas (como vectores) son

linealmente dependientes. Una de las tres, (en este caso la tercera,

pues las dos primeras eran linealmente independientes) es

combinación lineal de las otras dos:

(a31,a32,a33,a34) = k.(a11,a12,a13,a14) + h.(a21,a22,a23,a24)

Así continuaríamos.

Ejemplo: a) Halla el rango de A=

1035

2711

2403

0312

Sol.-

03

12 0, ran(A) >= 2, y las dos primeras filas son lin.

indep.

Orlamos agregando la tercer fila y tengo

2711

2403

0312

,

711

403

312

= [13]-[21-8]= 0

211

203

012

= [-2]-[-6+4] = -2+2 = 0

Rechazo la tercer fila y tomo la cuarta, y tengo

36

1035

2403

0312

,

035

403

312

= [20-27]-[24] 0

por tanto estas tres filas son lin. indep., y ran(A) >= 3. Como no

contiene más filas concluimos que ran(A) = 3.

b) Comprueba que el rango de la siguiente matriz es 2

A =

71580

1504

3542

1023

------------------


37

Ejemplos/Actividades

1.- Dadas las matrices A y B, realiza y comprueba las

operaciones:

A=

123

401

312

, B=

524

301

213

a) La resta A – B

b) El producto A.B, y B.A

Sol.: a) A - B =

407

100

501

b) A.B =

1717

22713

14817

c) B.A =

25149

0511

11111

2.- Realiza el producto A.B, siendo

A=

123

401

312, B=

24

01

13

38

Sol.: A.B =

17

713

817

3.- Calcula el determinante de la matriz A

A =

405

163

210

Sol.: Det(A) = -77

4.- Calcula el determinante de la matriz

A=

4015

1603

2140

0523

Sol.:

Consejo: Desarrollar por los elementos de la primer fila.

Det(A) = 405

5.- Calcula la adjunta de la matriz A.

A=

310

045

213


39

Sol.:

Adj(A) =

7108

391

51512

6.- Calcula la inversa de la matriz A

A=

45

13

Sol.: A-1

=

7/37/5

7/17/4

7.- Determina el rango de la matriz A

A=

1035

2711

2403

0312

Sol.: Ran(A) = 3

8.- Comprueba que el rango de la siguiente matriz es 2

A =

71580

1504

3542

1023

40

9.- Determinante de

A =

320

013

132

, B =

310

142

432

Sol.: 39, 36

10.- Rango de las matrices:

A =

641

641

302

043

, B =

11641

11641

11302

11043

Sol.: 2, 2

11.- Rango de las matrices:

A =

312

231

302

043

, B =

10312

13231

11302

11043

Sol.: 3, 4

12.- Transforma en matriz triangular

A =

320

013

132

-->

7800

3110

132


41

13.- Transforma en matriz triangular conservando el valor de su

determinante

A =

320

013

132

-->

11/3900

2/32/110

132

det(A) = 858/22

14.- Inversa de las siguientes matrices:

A =

310

142

432

-->

18/718/118/1

6/16/16/1

36/1936/536/13

15.- Inversa de la matriz

A=

230

342

753

-->

25/2225/925/6

25/2325/625/4

25/1325/1125/1

16.- Resuelve la siguiente ecuación matricial donde X es una

matriz

A.X + B = C

siendo A = (1 12 1

), B = (2 3 1−1 0 4

), C = (1 3 2−1 − 1 6

)

Sol.: X = A-1

.(C-B)

Determino A-1

por el método ‘Transformación de filas’

42

(1 12 1

| 1 00 1

) - 2ª=2ª-2.1ª = (1 10 − 1

|1 0−2 1

) -- >

1ª = 1ª+2ª = (1 00 − 1

|−1 1−2 1

) - 2ª = -2ª = (1 00 1

|−1 12 − 1

),

Por tanto A-1

= (−1 12 − 1

)

C – B = (−1 0 10 − 1 2

), X = (−1 12 − 1

). (−1 0 10 − 1 2

) =

= (1 − 1 1−2 1 0

)

1.16.- Resuelve la ecuación

det(A) = 7x – 1, donde

a) A = (𝑥 − 4 1 3 − 𝑥

), b) A = (𝑥 3 21 − 𝑥 02 0 1

)

Sol.: En los dos casos obtengo

det(A) = -x^2+4x-3

-x^2+4x-3 = 7x -1, x2 +3x +2 = 0 -- > x = -2, x = -1

$$$oOo$$$


43

Tema 2

Sistemas Lineales


45

2.1.- Conceptos básicos

Ecuación lineal en x:

Ecuación lineal en la variable x es aquella ecuación polinómica

de grado uno: a.x + b = 0. Coeficientes a, b racionales.

Su resolución es: x = -b/a

En general sería: p(x) = q(x), donde p y q sean de grado uno. Y

más general: R1(x) = R2(x), donde R1, R2 representan

expresiones de grado uno en x, pero que pueden llevar paréntesis

y fracciones numéricas.

Ejemplo:

2.(x + 2/3) + 5x = ¾ .x -5/2.(2x + 8)

Ecuaciones en varias variables (incógnitas):

Ecuación en varias variables es aquella en la que intervienen

varias variables: x, y, z, ... : R1(x,y,z,...) = R2(x,y,z,...), donde R1,

R2 representan expresiones racionales (fracciones) con

denominadores numéricos.

La Ecuación es polinómica si R1(x,y,z,...) y R2(x,y,z,...) son

polinomios en x, y, z, ...:

P(x,y,z,...) = q(x,y,z,...)

Esta ecuación es lineal si estos polinomios son de grado uno en

cada uno de sus términos.

Por ejemplo: axyz es de grado 3, axy es de grado 2, ax es de

grado uno, y lo mismo ay, az.

46

En el Vol. 2 se estudian los polinomios y las fracciones

algebraicas en general.

Ejemplo:

Ecuación lineal en varias variables

ax + by + cz + ... = a’x + b’y + c’z + ...

Cuando buscamos una solución de la ecuación, a las variables

x,y,z,… las llamamos ‘incógnitas’.

Solución de una ecuación R1(x,y,z,...) = R2(x,y,z,...):

Una solución es un lista de valores a, b, c, …, tal que al sustituir x

= a, y = b, z = c, … se cumple la igualdad entre los valores reales

obtenidos.

2.2.- Sistema de ecuaciones lineales:

NOTA:

Para comprender mejor estos apartados dedicados a los Sistemas

lineales el alumno debe hacer una lectura del Tema 3 dedicado a

los vectores.

Suponemos que lo hace.

Defi.:

Es un conjunto de ecuaciones lineales, en una ó varias variables:

x, y, z, ..., que han de satisfacerse simultáneamente.

Una solución del sistema es una lista de valores v1, v2, v3, ...,

uno por cada variable, tales que al sustituir en el sistema: x por


47

v1, y por v2, z por v3, ..., todas las igualdades se verifican

simultáneamente.

Un sistema puede admitir una sola solución, más de una solución,

ó ninguna solución.

Ejemplos:

1.-

{

3x − 2y + 4z = 12−𝑥 + 3𝑦 = −11 2𝑦 − 5𝑧 = −6

Comprueba que su solución es x = 2, y = -3, z=0

2.-

{

3𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 12−𝑥 + 3𝑦 = −11 2𝑦 − 5𝑧 = 2

Los valores x = 2, y = -3, z = 0, que sí verifican las dos primeras

ecuaciones, resulta que no satisfacen a la tercera.

El sistema es incompatible, no admite solución.

Forma general de un sistema:

El siguiente es un Sistema de n ecuaciones con m incógnitas:

bn anm.xm ... an3.x3 an2.x2 an1.x1

.........................................

b2 a2m.xm ... a23.x3 a22.x2 a21.x1

b1 a1m.xm ... a13.x3 a12.x2 a11.x1

48

2.3.- Clasificación de un Sistema según su compatibilidad

Al analizar un sistema llegaremos a alguno de los siguientes

resultados:

A) Que tenga alguna solución -- > Compatible, y después:

A1) Una sola solución -- > Compatible determinado

A2) Más de una solución -- > Compatible indeterminado.

En este caso se demostrará que admite infinitas

soluciones.

B) No admite solución -- > Incompatible.

Ejemplos:

a) El siguiente sistema tiene solución única, compruébalo.

Es compatible determinado

{

3x − 2y + 4z = 12−𝑥 + 3𝑦 = −11 2𝑦 − 5𝑧 = −6

Comprueba que su solución es x = 2, y = -3, z=0

b) El siguiente sistema no admite solución

{

3𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 12−𝑥 + 3𝑦 = −11 2𝑦 − 5𝑧 = 2

Los valores x = 2, y = -3, z = 0, que sí verifican las dos primeras

ecuaciones, resulta que no satisfacen a la tercera.


49

El sistema es incompatible.

c) El siguiente sistema es compatible e indeterminado. La

tercera ecuación es combinación lineal de las otras dos.

{

3𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 12−𝑥 + 3𝑦 = −11 2𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 1

Comprueba que x = 2, y = -3, z =0, es solución, y que también lo

es cualquier solución del sistema

{ 3x − 2y = 12 − 4z−𝑥 + 3𝑦 = −11

donde daremos un valor a z, y resolveremos después el sistema

resultante.

2.4.- Sistemas equivalentes.

Transformaciones de un sistema que dejan invariantes

el conjunto de sus soluciones

Defi.:

Dos Sistemas lineales son equivalentes si admiten el mismo

conjunto de soluciones.

Las siguientes transformaciones de un Sistema dejan

invariante el conjunto de soluciones:

a) Multiplico los dos miembros de una igualdad por un

escalar (valor real no nulo).

50

b) Sumo ó resto a los dos miembros de una igualdad una

misma expresión lineal, constante ó con algunas de las

incógnitas que contiene el sistema.

Se utiliza continuamente, y es lo que llamamos

‘trasposición’ de términos de un miembro al otro.

c) A una de las ecuaciones le sumo ó resto, miembro a

miembro, una combinación lineal de las restantes

ecuaciones del sistema.

Se utiliza con frecuencia en Método de resolución.

Estas transformaciones dan como resultado un sistema

equivalente al inicial.

Ejemplo: Realizo un ejemplo demostrativo para el caso b)

Sea el sistema

{

𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 𝑏1𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 𝑏2𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 𝑏3

Supongamos que (a, b, c) es una solución

Sumo la expresión g(x, y, z) a los dos miembros de la segunda,

por ejemplo. Tengo

{

𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 𝑏1𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 + 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑏2

𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 𝑏3 + g(x,y,z)

Si sustituyo x = a, y = b, z = c en el sistema, la primera y tercera

se cumplen porque se cumplían en el sistema inicial, y la segunda

ecuación queda así:


51

𝑎21𝑎 + 𝑎22𝑏 + 𝑎23𝑐 + 𝑔(𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑏2 + 𝑔(𝑎, 𝑏, 𝑐)

que también se cumple, porque en los dos miembro tenemos el

mismo valor ‘añadido’ g(a,b,c)

En la práctica es habitual aplicarla para trasponer términos desde

un miembro al otro, así, tomando el mismo sistema

{

𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 𝑏1𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 𝑏2𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 𝑏3

si deseo pasar a32.y al miembro derecha, lo que hacemos en la

práctica es equivalente a ‘restar’ a32.y de los dos miembros

{

𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 𝑏1𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 𝑏2

𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 − 𝑎32𝑦 = 𝑏3 − 𝑎32𝑦

y en el miembro izquierda se eliminan entre sí, mientras que en el

de la derecha queda ‘pero cambiado de signo’.

Esta operación es muy frecuente y la llamamos:

Trasposición de un término al otro miembro: Podemos pasar

un término de un miembro al otro ‘cambiando su signo’, esto es,

lo eliminamos del primer miembro y lo hacemos presente en el

otro miembro con signo cambiado.

52

2.5.- Tipos de sistemas según el número de incógnitas, y su

resolución

2.5.1.- Sistema lineal en x, y

Está formado por dos ecuaciones de primer grado en x,y, tales

como:

f2 d.y c.x

f1 b.y a.x

MÉTODOS de resolución

Son tres los métodos que podemos aplicar a este tipo de sistemas,

sin utilizar matrices ni determinantes.

Método de Igualación:

Suponiendo que b y d no son nulos. Despejo ‘y’ de las dos

ecuaciones:

cx)/d-(f2y

ax)/b-(f1y

Igualando los dos miembros de la derecha podemos obtener el

valor de x, y después el valor de y.

Si b ó d es cero, necesariamente serán a y c no nulos, y

despejando x, después obtengo el valor de y, y después el de x.


53

Método de Sustitución:

Si b no es nulo despejo y: y = (f1-ax)/b, y sustituyéndolo en la

segunda: c.x + d.(f1-ax)/b = f2, de donde obtenemos el valor de

x, y después el valor de y.

Si b es cero será d no nulo y procedemos como antes pero con la

segunda ecuación.

También puedo despejar primero x y proceder de la misma forma.

Método de Reducción (o eliminación):

Suponiendo que a y c son no nulos. Multiplico la primera por c y

la segunda por a, resultando:

{(𝑐𝑎). 𝑥 + (𝑐𝑏). 𝑦 = 𝑐. 𝑓1(𝑎𝑐). 𝑥 + (𝑎𝑑). 𝑦 = 𝑎. 𝑓2

Si de la primera resto la segunda, y el resultado sustituye a la

segunda, tengo un sistema equivalente al dado y que tiene la

forma

{𝑎. 𝑥 + 𝑏. 𝑦 = 𝑓1 𝑑. 𝑦 = 𝑓2

De este despejo el valor de y, y llevándolo a la primera obtengo

después el valor de x.

Si a ó c es cero, los coeficientes b y d serán no nulos,

necesariamente. En este caso hacemos lo análogo para eliminar y

de una de las ecuaciones.

En lugar de lo anterior, y con el fin de que sirva de precedente

para cuando estemos en tres variables, puede resultar más

cómodo (sobre todo si sus coeficientes son valores elevados)

54

aplicarlo como sigue:

Partiendo del sistema

f2 d.y c.x

f1 b.y a.x

Calculo el mcm de a y c, sea m, y hago que el coeficiente de x en

las dos ecuaciones sea este valor m, para lo cual multiplico la

primera por k = m : a, y la segunda por h = m:c, que son enteros.

Tenemos así el sistema equivalente:

f2' d'.y m.x

f1' b'.y m.x

Ahora dejamos fija la primera ecuación y sustituimos la segunda

por la que resulta de hacer: ‘la segunda menos la primera’. Queda

el siguiente sistema equivalente al anterior, y por tanto

equivalente al inicial:

'f2' '.y d'

f1' b'.y m.x

Ejemplos:

a) Resuelve y comprueba que su solución es x = -2, y = 3

{5𝑥 − 3𝑦 + 19 = 0−3𝑥 + 4𝑦 − 18 = 0

Resuélvalo el alumno por los tres métodos.


55

b) Resuelve el siguiente

{

3

2. 𝑥 + 5𝑦 = 21

3𝑥 −2

3. 𝑦 − 10 = 0

Resuélvalo el alumno por los tres métodos, y compruebe que la

solución es x = 4, y = 3.

2.5.2.- Sistemas con tres incógnitas: x, y, z

Métodos de Resolución

Es un sistema de la forma:

b3 a33z a32y a31x

b2 a23z a22y a21x

b1 a13z a12y a11x

El hecho característico es que tiene tres incógnitas, no

necesariamente ha de tener tres ecuaciones, puede contener más o

menos.

Una solución es una terna de valores: (v1, v2, v3) tales que al

sustituir: x = v1, y = v2, z = v3, se verifican simultáneamente las

tres igualdades.

METODOS de resolución:

Sin hacer uso todavía de matrices y determinantes, son dos los

métodos prácticos para obtener sus posibles soluciones. No es

56

aplicable el método de igualación que sí aplicamos en el caso de

dos incógnitas.

METODO de Sustitución: (Despeje y sustitución)

Como en caso de dos variables, consiste en despejar una incógnita

de una de las ecuaciones y llevar esa expresión a las otras dos.

Llegamos así a un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas.

Después de hacer ‘arreglos’ llegamos a un sistema con dos

ecuaciones y dos incógnitas al que aplicamos de nuevo el

‘despeje y sustitución’, ó aplicando cualquiera de los allí

estudiados.

METODO de Reducción (o de Eliminación, o de Gauss):

Sea

b3 a33z a32y a31x

b2 a23z a22y a21x

b1 a13z a12y a11x

Suponiendo que los coeficientes de la tercera ecuación:

a31, a32, a33

son no nulos (necesariamente hay una ecuación con sus tres

coeficientes no nulos, de otro modo no sería sistema con tres

incógnitas), y que a21 de la segunda también es no nulo (si este

fuese nulo tomaríamos a22, ó a23).

Multiplico la segunda por el valor a31 y la tercera por el valor

a21, resultando:


57

b3.a21 (a33.a21)z (a32.a21)y (a31.a21)x

b2.a31 (a23.a31)z (a22.a31)y (a21.a31)x

b1 a13z a12y a11x

Ahora, dejando fija la segunda, sustituimos la tercera por lo que

resulte de hacer: ‘Tercera – segunda’, resultando el sistema:

b3' a33z' y a32'

b2 a23z a22y a21x

b1 a13z a12y a11x

Aplicamos ahora el proceso anterior a la primera y segunda para

eliminar la x de la segunda ecuación (suponiendo que lleva

término en x, si no lo lleva no tenemos nada que hacer):

Multiplico la primera por a21 y la segunda por a11, y, dejando

fija la primera, sustituyo la segunda por lo que resulta de hacer:

Segunda – primera’

Tenemos ya el siguiente sistema donde dos de las ecuaciones no

lleva x:

b3 a33z a32y

b2 a23z a22y

b1 a13z a12y a11x

Aplicamos ahora el proceso anterior a las ecuaciones segunda y

tercera para eliminar la incógnita ‘y’ de la tercera (suponiendo

que a32 <> 0, si lo es no tenemos nada que hacer):

58

Multiplico la segunda por a32 y la tercera por a22, y, dejando fija

la segunda, sustituyo la tercera por lo que resulta de hacer:

Tercera – segunda.

Obtengo finalmente el sistema

b3 a33z

b2 a23z a22y

b1 a13z a12y a11x

(Sistema escalonado de Gauss)

Hasta aquí el proceso también llamado ‘de Triangulación’

De aquí despejo el valor de z. Este valor lo llevo a la segunda y

de ésta despejo el valor de y. Llevo estos dos valores a la primera

y de ella despejo el valor de x. El sistema está resuelto.

NOTA:

Podemos aplicar el mcm de los coeficientes como indicamos en el

caso de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

MÉTODO de Reducción aplicado al caso general:

Este proceso de Reducción-Triangulación es aplicable a cualquier

sistema, llegando a un ‘Sistema Escalonado’.

Abundamos en su presentación con las siguientes notas:

Eliminar x1 de todas las ecuaciones menos de la primera.

Situamos en primera fila una ecuación que contenga x1.

Eliminar x2 de todas las ecuaciones que siguen a la

segunda, asegurándonos de que la segunda contenga x2


59

(en caso contrario colocamos una ecuación que sí la

contenga).

Eliminar x3 de todas las ecuaciones que siguen a la

tercera, asegurándonos de que la tercera contenga x3 (o

colocando otra …).

.........

Así sucesivamente hasta llegar a la penúltima, y eliminamos

x(n-1) de la n-ésima fila.

Tendremos así un sistema escalonado del que puedo despejar el

valor de xn, después de la penúltima puedo despejar x(n-1), y

subiendo consigo obtener el valor de todas las incógnitas, y así

obtenemos una solución del sistema.

Debemos estar atentos porque al final del proceso de

triangulación podemos tener tres cualquiera de las tres situaciones

siguientes:

a) El número de filas resultantes es igual al número de

incógnitas. En este caso la solución es única (Sistema

compatible determinado).

b) El número de filas resultantes es menor que el número de

incógnitas. En este caso, el exceso de incógnitas son

incógnitas libres (Sistema compatible indeterminado).

Tiene infinitas soluciones. Damos valor arbitrario a cada

una de las incógnitas libres, y sustituidos en el sistema

llegamos a un Sistema como en el caso a). Pero con

infinitas soluciones, ya que podemos asignar a las

incógnitas libres cualquier valor real.

60

c) El número de filas resultantes es mayor que el número de

incógnitas. En este caso tendremos alguna de estas dos

situaciones:

- Tengo alguna igualdad del tipo 0 = 0, lo cual significa

que esta ecuación era combinación lineal de las que le

preceden. Despreciamos estas igualdedes y

seguiremos analizando y resolviendo con las

igualdades restantes. Estaremos en alguno de los

casos a) ó b).

- Tengo alguna igualdad del tipo a = 0, donde a <> 0.

Esto significa ‘Incompatibilidad’. El Sistema no

admite solución.

-----------------


61

Ejemplos/Actividades:

El alumno observará que al aplicar el proceso de triangulación no

necesariamente seguimos el hilo como allí fue explicado, y es

que, como irá comprobando, podemos variarlo siempre que la

transformación realizada lleve a un Sistema equivalente.

1.- Resuelve el sistema por el método de Gauss

8323

72

5432

zyx

zyx

zyx

Sol.:

Elimino x de la segunda y tercera: Multiplico 2ª por 2, y

reemplazo la 2ª por la suma: 2ª + 1ª , las otras como están:

{

5432 zyx

198 zy

8323 zyx

Multiplico la 1ª por 3 y la 3ª por –2, y reemplazo la 3ª por la

suma: 3ª+1ª, las otras como están:

{

2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 5 −𝑦 + 8𝑧 = 19 −5𝑦 + 18𝑧 = −1

Cambio el signo a la segunda

62

{

2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 5 𝑦 − 8𝑧 = −19 −5𝑦 + 18𝑧 = −1

Elimino la y de la tercera:

Multiplico la 2ª por 5, y reemplazo la 3ª por la suma: 3ª+2ª, las

otras como están:

{2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 5

𝑦 − 8𝑧 = −19 −22𝑧 = −96

Resuelvo en cascada de abajo arriba:

z = 96/22 = 48/11

y = -19 +8.48/11 = 175/11

2x = 5 +3.175/11 –4.48/11 = 1/11.(55 +525 –192) =388/11,

x = 194/11

2.- Aplica el método de reducción al siguiente:

{2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 5 𝑥 + 𝑦 − 7𝑧 = 33𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = 8

Sol.:

Seguimos los mismos pasos que en el caso 1).

Multiplico la 2ª por –2, y reemplazo la 2ª por la suma 2ª+1ª, las

otras como están:

{

2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 5 −5𝑦 + 18𝑧 = −13𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = 8


63

Multiplico la 1ª por 3 y la 3ª por –3, y reemplazo la 3ª por la

suma: 3ª+1ª, las otras como están:

{

2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 5 −5𝑦 + 18𝑧 = −1 −5𝑦 + 18𝑧 = −1

Cambio el signo a la tercera:

{

2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 5 −5𝑦 + 18𝑧 = −1 5𝑦 − 18𝑧 = 1

Reemplazo la 3ª por la suma 3ª+2ª, las otras como están:

{2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 5 −5𝑦 + 18𝑧 = −1 0 = 0

Quedan sólo dos ecuaciones (lin. indep.), y una de las incógnitas

es libre ( numero de inc. – nº de ecuac. = 3 – 2 = 1).

Tomo z como libre y escribo el sistema

{2𝑥 − 3𝑦 = 5 − 4𝑧

−5𝑦 = −1 − 18𝑧

Podré obtener infinitas soluciones dando valores a z.

z = 0 --> {2𝑥 − 3𝑦 = 5

−5𝑦 = −1

, que resuelvo como sabemos

z =1 --> {2𝑥 − 3𝑦 = 1

−5𝑦 = −19

, que resolvemos.

64

y así, si seguimos dando valores a z obtenemos tantas soluciones

como deseemos.

3.- Aplica el método de Reducción:

{

2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 5 𝑥 + 𝑦 − 7𝑧 = 33𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = 8 4𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 4

Sol.:

Eliminamos x de la 2ª, 3ª y 4ª, en el mismo paso, dejando fija la

primera.

Reemplazo la 2ª por: 2.2ª - 1ª

Reemplazo la 3ª por: 2.3ª -3.1ª

Reemplazo la 4ª por: 4ª -2.1ª

Resulta el sistema

{

2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 5 −5𝑦 + 18𝑧 = −1 −5𝑦 + 18𝑧 = −1 8𝑦 − 9𝑧 = −6

Elimino la ‘y’ de tercera y cuarta, dejando fijas 1ª y 2ª.

Reemplazo la 3ª por: 3ª -2ª

Reemplazo la 4ª por: 5.4ª + 8.2ª

Resulta el sistema

{

2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 5 −5𝑦 + 18𝑧 = −1 0 = 0

99𝑧 = −38


65

Escribo

{

2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 5 −5𝑦 + 18𝑧 = −1

99𝑧 = −38

Despejo de abajo arriba y obtengo sus valores.

Del Tema 2

1.- Resuelve el sistema por el método de Gauss

8323

72

5432

zyx

zyx

zyx

Sol.:

x = 194/11

y = 175/11

z = 48/11

2.- Aplica el método de reducción al siguiente:

8323

37

5432

zyx

zyx

zyx

Sol.:

x = 8 + 25z

y = 1/5.(1 + 18z)

z libre

3.- Determina un sistema escalonado equivalente al siguiente:

66

424

8323

37

5432

zyx

zyx

zyx

zyx

Sol.:

3899

1185

5432

z

zy

zyx

Despejo de abajo arriba y obtengo sus valores.

4.- Analiza y resuelve el Sistema

{3𝑥 + 2𝑦 − 5𝑧 = 6−𝑥 + 4𝑦 − 3𝑧 = 2−2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −2

Sol.: Ran(A) = 2, Ran(B) = 2 -- > Sistema compatible

indeterminado, una libre.

{

−𝑥 + 4𝑦 = 2 + 3𝑧

𝑦 =6

7+ 𝑧

z libre, z = 0 -- > y = 6/7, x = 10/7

z = 1 -- > y = 13/7, x = 17/7

$$$oOo$$$


67

Tema 3

Vectores, Espacios vectoriales


69

3.1- Vector libre: Generalización

Todo lo que sigue se considera sobre el cuerpo R de los números

reales, si bien, a efector prácticos, cuando indicamos valores

reales, serán en realidad valores racionales.

n-tuplas y Vectores:

Llamamos n-tupla a una lista de valores reales, colocada entre

paréntesis, (a1, a2, ..., an), donde ai son valores racionales. Esta

n-tupla representa un elemento del ‘producto Cartesiano’: Rn = R

x R x (n veces) x R. En los casos de R2 y R

3 representa un punto

del plano y del espacio, respectivamente.

Definiciones:

Vector libre

Llamamos ‘vector libre’ a cada una de las n-tuplas.

Escribiremos v = (a1, a2, ..., an) para representarlos.

Componentes de un vector

Llamamos ‘componentes del vector v’ a cada uno de los valores

ai, i= 1,2,3,..., n

OPUESTO de v:

Es el vector w = (-a1, -a2, ..., -an). Lo indicaremos por –v.

VECTOR cero: Es el vector O = (0, 0, ..., 0)

Enseguida veremos la importancia de estos dos tipos de vectores.

70

Defi.: Espacio vectorial

Designaremos por Vn al conjunto de todos los vectores v =

(a1,a2,...,an), ai∈R, i= 1,2,…,n.

Más adelante llegaremos a ‘Estructura de Espacio vectorial’, de

momento Vn es un conjunto sin estructura.

3.2.- OPERACIONES básicas con vectores

SUMA de vectores:

Sumamos componente a componente, así, si

v = (a1 ,a2, ..., an), w = (b1, b2, ..., bn)

su suma

v + w = (a1+b1, a2+b2, ..., an+bn)

PRODUCTO por un escalar (valor ‘a’ real)

El valor real ‘a’, que llamaremos ‘escalar’, multiplica a cada

componente, así:

a.v = a.(a1, a2, ..., an) = (a.a1, a.a2, ..., a.an)

El product lo designamos por . (punto)

Propiedades de la suma:

Asociativa: v1 + (v2+v3) = (v1+v2) + v3

Conmutativa: v1 + v2 = v2 + v1

Elemento neutro: Es un vector u tal que v + u = v para

todo v. Es único, y lo cumple el vector cero O = (0,0,...,0)

Elemento simétrico (Opuesto): Dado v existe otro vector u

tal que v + u = O. El vector u es único, y lo cumple

w = (-a1,-a2,...,-an)


71

Hasta aquí, Vn dotado de la suma, y que indicamos mediante

Vn(+), tiene una Estructura que llamamos Grupo. Por cumplir la

conmutativa decimos que es ‘grupo conmutativo’.

Además se cumple:

Distributiva del producto, ., respecto de +:

a.(v + w) = a.v + a.w

Decimos que Vn(+, .) tiene Estructura de Espacio Vectorial

(de dimensión n, como veremos).

Ejemplos: Los casos V2(+, .) y V3(+, .)

a) El Espacio vectorial V2 y su interpretación en el Plano

cartesiano

Dos puntos P1, Q1 fijan el segmento P1Q1, que si le dotamos de

una orientación recorriéndolo desde P1 hasta Q1 nos determina

un vector (fijo): 𝑃1𝑄1→ ; Si lo recorremos desde Q1 hasta P1

tenemos su ‘opuesto’: Q1P1->

72

Todos los vectores fijos cuyo segmento subyacente sea paralelo a

aquel y tengan la misma longitud y la misma orientación

constituyen una ‘clase’. Toda clase contiene un representante con

origen en O(0, 0), que designamos por v. Llamamos ‘vector

libre’ a esta clase de equivalencia.

En V2 tenemos las operaciones definidas más arriba en el caso

general, con lo cual tenemos la estructura V2(+, . R) de ‘Espacio

vectorial’.

En V2 todo sistema libre contiene a lo más dos vectores. Sus

bases contienen dos vectores. Su dimensión es 2.

La base más ‘simple’ es {(1, 0), (0, 1)}, y la llamamos ‘base

canónica’.

Volveremos sobre esto más adelante.


73

b) El Espacio V3 y su interpretación en el Espacio

tridimensional

Del mismo modo en el Espacio, dos puntos determinan un

segmento. Si le asignamos una orientación tenemos un vector PQ-

> . El vector QP

-> es su opuesto. Definimos el concepto de clase

como la familia de todos los equivalentes a PQ->

: Todos los que

tengan la misma orientación, además de que el segmento

subyacente tenga la misma longitud y sea paralelo al primero. A

esta clase la llamamos ‘vector libre’, y toda clase contiene un

representante con origen en O(0,0,0), al cual llamamos

‘representante canónico’.

Finalmente este representante canónico lo

representamos por v, siendo su expresión

v = (x1’-x1, y1’-y1, z1’-z1) = (a, b, c), donde:

a = x1’ – x1

b = y1’ – y1

c = z1’ – z1

74

El Espacio vectorial V3 es el constituido por los vectores libres,

como por ejemplo: v1, v2, v3, ...

Evidentemente, en V3 tenemos definidas las operaciones

descritas para el caso general, y tenemos la estructura V3(+, . R)

de ‘Espacio vectorial’.

En V3 un sistema libre contiene a lo más tres vectores. Todas sus

bases contienen tres vectores. Es de dimensión 3.

La base más sencilla es {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} y la

llamaremos ‘base canónica’.

Volveremos sobre esto más adelante.


75

3.3.- Combinación lineal de vectores.

Dependencia e independencia lineal de vectores. Sistema libre

El alumno debe prestar especial atención a las siguientes

definiciones.

Defi.: (Muy importantes)

Dados los vectores v1, v2, ..., vk, y los escalares (valores reales)

x1, x2, ..., xk, llamamos combinación lineal de los k vectores a la

expresión

x1.v1 + x2.v2 + ... + xk.vk (1)

Dados los vectores v1, v2, ..., vk, diremos que otro vector w es

“combinación lineal” de estos si existen escalares x1, x2, ..., xk

tales que se cumple

w = x1.v1 + x2.v2 + ... + xk.vk (2)

y diremos que w es “linealmente dependiente” de aquellos, y que

el conjunto de vectores

S = {v1, v2, . . . , vk,w}

es un ‘Sistema linealmente dependiente’ (l.d.)

Un conjunto S de vectores es ‘sistema l.d.’, siempre que

alguno de sus vectores se pueda expresar como combinación

lineal de los restantes.

De (2) se obtiene que

w – (x1.v1 + x2.v2 + ... + xk.vk) = 0 (3)

Si cambiamos los valores xi por yi = -xi, tenemos

w + y1.v1 + y2.v2 + ... + yk.vk = 0 (4)

76

Conclusión y aplicación práctica:

Un conjunto de vectores

S = {v1, v2, . . . , vm} (5)

es un ‘Sistema linealmente dependiente’ (o simplemente, ‘son

linealmente dependientes) si existen escalares x1, x2, ..., xm, no

todos cero, tales que

x1.v1 + x2.v2 + ... + xm.vm = 0 (vector cero)

(6)

En otro caso,

Si no existen dichos escalares cumpliendo (6), o que

necesariamente han de ser todos cero, decimos que forman

un ‘Sistema linealmente independiente’ (l. i.)

ó ‘Sistema libre’.

En la práctica se aplica esta última conclusión para analizar si un

conjunto de vectores es o no linealmente independiente.

Ejemplos:

a) Dados los vectores

v1 = (2,-3,0,1), v2 = (0,3,1,-4),

v3 = (1,0,-2,-1), v4 = (3,-2,1,0)

analiza si son o no l.i.

Sol.:

Planteamos la posibilidad de que existan escalares ki, i= 1,2,3,4

tales que

k1.v1 + k2.v2 + k3.v3 + k4.v4 = 0 (vector)


77

Esto nos lleva al siguiente sistema

{

2𝑘1 − 3𝑘2 + 𝑘4 = 0 3𝑘2 + 𝑘 − 4𝑘4 = 0𝑘1 − 2𝑘3 − 𝑘4 = 03𝑘1 − 2𝑘2 + 𝑘3 = 0

que resolveremos.

Elimino k1 de tercera y cuarta (la segunda no la contiene):

Sustituyo la tercera por ‘2.tercera – primera’; sustituyo cuarta por

‘2.cuarta – 3.primera’.

Obtengo

{

2𝑘1 − 3𝑘2 + 𝑘4 = 0 3𝑘2 + 𝑘 − 4𝑘4 = 0

3𝑘2 − 4𝑘3 − 3𝑘4 = 0 5𝑘2 + 2𝑘3 − 3𝑘4 = 0

Elimino k2 de la tercera y cuarta: Sustituyo la tercera por ‘tercera

– segunda’; sustituyo la cuarta por ‘3.cuarta – 5.segunda’.

Obtengo

{

2𝑘1 − 3𝑘2 + 𝑘4 = 0 3𝑘2 + 𝑘 − 4𝑘4 = 0 −5𝑘3 + 3𝑘4 = 0 𝑘3 + 11𝑘4 = 0

Elimino k3 de la cuarta: Sustituyo la cuarta por ‘5.cuarta +

tercera’.

Obtengo

{

2𝑘1 − 3𝑘2 + 𝑘4 = 0 3𝑘2 + 𝑘3 − 4𝑘4 = 0 −5𝑘3 + 3𝑘4 = 0 58𝑘4 = 0

78

De la cuarta obtengo que, necesariamente ha de ser k4 = 0.

Subiendo a la tercera obtengo que, necesariamente k3 = 0.

Lo llevo a la segunda y obtengo k2 = 0, y de la primera k1 = 0.

Aquella igualdad nos ha llevado a que todos los escalares ki han

de ser cero.

Los vectores constituyen un sistema libre. En realidad, como

veremos después, constituyen una base de V4.

b) Analiza si los siguientes vectores de V3 son o no l.i. Si

fuesen l.d. obtener la relación de dependencia.

v1 = (3,2,-1), v2 = (1,4,-7), v3 = (1,-1,3)

Sol.: Como en el anterior, planteo

k1.v1 + k2.v2 + k3.v3 = 0

{3𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3 = 02𝑘1 + 4𝑘2 − 𝑘3 = 0−𝑘1 − 7𝑘2 + 3𝑘3 = 0

Despejo k1 de la tercera: k1 = -7k2 + 3k3

y lo llevo a las dos primeras

{3. (−7𝑘2 + 3𝑘3) + 𝑘2 + 𝑘3 = 02. (−7𝑘2 + 3𝑘3) + 4𝑘2 − 𝑘3 = 0

{20𝑘2 + 10𝑘3 = 0

−10𝑘2 + 5𝑘3 = 0

De la primera despejo k3: k3 = 2k2, y lo llevo a la tercera


79

10k2 + 10k2 = 0, 0.k2 = 0,

lo cual significa que k2 puede tomar cualquier valor, es incógnita

libre. Mantenemos k2 con el significado de un ‘valor real

concreto’ y lo llevamos para obtener k1, k3.

Tengo: k3 = 2.k2

k1 = -7.k2 + 6.k2 -> k1 = -k2

Son linealmente dependientes, y una de las relaciones de

dependencia es la siguiente:

k2.v1 + k2.v2 + 2k2.v3 = 0, de donde,

v1 + v2 + 2.v3 = 0 (relación de dependencia)

De esta puedo despejar cualquiera de los tres vectores y

expresarlo como combinación lineal de los otros dos.

3.4.- BASE de un espacio vectorial. Dimensión de

un Espacio vectorial

Supongamos un espacio vectorial cualquiera que designamos por

V, sin especificar cómo son sus n-tuplas.

Defi.: Sistema generador de V:

Llamamos ‘Sistema generador’ de V a cualquier subconjunto S = {𝑣1, 𝑣2,… , 𝑣𝑚} de vectores de V que cumpla lo siguiente:

“Cualquier otro vector w de V se puede expresar como

combinación lineal de los vectores de S:

w = k1.v1 + k2.v2 + ... + km.vm, ki valores reales

80

Bases de V

Llamamos base de V a cualquier subconjunto S = {𝑣1, 𝑣2,… , 𝑣𝑚} que sea ‘Sistema generador’ y además sea un ‘Sistema libre’.

Para cualquier vector w de V existen escalares ki tales que

w = k1.v1 + ... + km.vm.

Se puede probar fácilmente que esta expresión es única.

Supongamos ahora que V = Vn, caso de las n-tuplas propiamente

nombradas, ya que contienen n componentes.

Se demuestra que para que S = {𝑣1, 𝑣2,… , 𝑣𝑚} sea sistema

generador ha de ser m ≥ n.

Por otro lado también se puede demostrar que si m > n, entonces

S no será sistema libre.

Conclusión:

Una base cualquiera de Vn contiene exactamente n vectores.

Decimos que este Espacio vectorial es de ‘Dimensión n’.

NOTA:

No procede desarrollar aquí la demostración de las anteriores

afirmaciones.

Resumen:

a) La condición necesaria y suficiente para que B = {𝑣1, 𝑣2,… , 𝑣𝑚} sea una base de Vn es que m = n, que sea

sistema generador, y que estos n vectores sean

linealmente independientes (sistema libre).


81

b) Este tipo de Espacios vectoriales, Vn = {𝑛 − 𝑡𝑢𝑝𝑙𝑎𝑠}, admite infinitas bases distintas, y todas contienen el

mismo número n de vectores.

Sobre Dimendsión de un espacio vectorial

Lo que afirmamos más arriba es válido para cualquier espacio

vectorial V que admita algún Sistema generador finito. En este

caso todas sus bases contienen el mismo número de vectores, y

este es un número finito. Para estos espacios vectoriales:

‘Llamamos dimensión de V al número n de vectores que contiene

cualquiera de sus bases.

Ejemplos:

a) Todo espacio vectorial del tipo Vn = {𝑛 − 𝑡𝑢𝑝𝑙𝑎𝑠 (𝑎1, 𝑎2,… , 𝑎𝑛), 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎𝑘𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛 𝑅}, tiene dimensión n

b) V2 ≡ R2 tiene dimensión 2

c) V3 ≡ R3 es de dimensión 3

Observa que, como conjunto de n-tuplas es Vn = Rn

Existen Espacios vectoriales que no admiten un sistema finito que

sea generador del espacio. Por ejemplo el conjunto de todos los

polinomios en x, V = {p(x) ; R}.

3.5.- Coordenadas en una base. Cambio de base

Respecto de una base B = {e1, e2, …, en } las

coordenadas de un vector v son los coeficientes de la expresión de

v en esta base:

v = x1.e1 + x2.e2 + … + xn.en

82

y las representamos en la forma v = (x1, x2, … , xn)

Cambio de base en En y efecto sobre las coordenadas de un

vector

Razonamos tomando E3 porque el seguimiento que hacemos es el

mismo para cualquier otro caso.

Sean dos bases B = {e1, e2, e3}, donde v = (x1, x2, x3), y B’ =

{v1, v2, v3}, donde v = (y1, y2, y3).

Supongo expresados los vectores ei de la primera base en

función de la nueva

ei = ai1.v1 + ai2.v2 + ai3.v3

que determina una matriz A cuyas filas sean las coordenadas de

cada ei = (ai1, ai2, ai3)

A = (𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

)

Para un vector v tengo

v = y1.v1 + y2.v2 + y3.v3 en B’

v = x1.(a11.v1 + a12.v2 + a13.v3) + x2.(a21.v1 + … ) +

+ x3.(a31.v1 + a32.v2 + a33.v3) =

= (a11.x1 + a21.x2 + a31.x3).v1 + (a12.x1 + a22.x2 + a32.x3).v2

+ (a13.x1 + a23.x2 + a33.x3).v3 , en la base B’


83

Teniendo en cuenta que la expresión de v en una misma base es

única, ha de cumplirse

y1 = a11.x1 + a21.x2 + a31.x3

y2 = a12.x1 + a22.x2 + a32.x3

y3 = a13.x1 + a23.x2 + a33.x3

que puedo expresar matricialmente así

(y1, y2, y3) = (x1, x2, x3). (𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

)

Llamamos matriz del cambio a la matriz A.

Las filas de A son las coordenadas de los vectores de la primera

base B expresados en la nueva, base B’.

Abreviadamente escribimos: y = x.A

Puedo despejar x = y.A-1

Otra forma:

Suponemos los vectores vi de la nueva base expresados en la

primera base B:

vi = ai1.e1 + ai2.e2 + ai3.e3

Determinando una matriz A’ = (𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

)

84

Tengo

v = y1.v1 + y2.v2 + y3.v3 = y1.(a11.e1 + a12.e2 +

+ a13.e3) + y2.(a21.e1 + a22.e2 + a23.e3) + y3.(a31.e1 +

+ a32.e2 + a33.e3) =

= (y1.a11 + y2.a21 + y3.a31).e1 + (y1.a12 + y2.a22 + y3.a32).e2

+ (y1.a13 + y2.a23 + y3.a33).e3,

y teniendo en cuenta que

v = x1.e1 + x2.e2 + x3.e3,

llego a que

(x1, x2, x3) = (y1.a11 + y2.a21 + y3.a31, y1.a12 + y2.a22 +

y3.a32, y1.a13 + y2.a23 + y3.a33),

y matricialmente

(x1,x2,x3) = (y1,y2,y3).(𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

)

Abreviadamente x = y.A’

Observa que A’ = A-1

, donde A es la obtenida en el proceso

anterior.

Las filas son las componentes de los vectores de la nueva base B’

expresados en la primera, base B.

Ejemplo:

Sea la base de vectores en V3 : B = {e1,e2,e3}, y la base B’

relacionada con la primera así:


85

{𝑣1 = (1,0,2)

𝑣2 = (0,1,2)𝑣3 = (1,2,0)

-> A = (1 0 20 1 21 2 0

)

Sea w = (3,1,2) respecto de la segunda base {v1,v2,v3}.

Sus componentes respecto de la primera son

w = (5,5,8)

Una comprobación:

w = (3,1,2) = (respecto de S’) =

= 3.v1 + v2 + 2.v3 =

= 3.(e1+2e3) +(e2+2e3) +2.(e1+2e2) =

= 5.e1 +5.e2 +8.e3 -> (5, 5, 8) respecto de S.

Obtengo la inversa de A:

Det(A) = -6; Adj(A) = (−4 2 − 14 − 2 − 2−2 − 2 1

) ->

A-1

= −1

6 (−4 4 − 22 − 2 − 2−1 − 2 1

)

El alumno comprobará que A.A-1

= (1 0 00 1 00 0 1

)

86

Componentes de w respecto de la base B’, siendo w = (5,5,8)

respecto de B:

(y1,y2,y3) = (x1,x2,x3).A-1

w = −1

6 . ( −18,−6,−12) = (3,1,2)

como esperábamos.

3.6.- Subespacios vectoriales

Con el fin de que el alumno capte cuanto antes su significado

comienzo refiriéndome a un caso práctico, de sumo interés en

geometría.

A) En Geometría (Volumen 4) se estudian los vectores fijos,

y vectores libres, en el espacio tridimensional.

Si tenemos dos vectores v1, v2, l.i., sobre un plano, videntemente

el vector

w = a.v1 + b.v2

también está sobre el plano.

Siendo más precisos en el lenguaje matemático, decimos que v1,

v2 generan el ‘subespacio director’ del referido plano dentro del

espacio R3.

Cualquier otro vector

w = a.v1 + b.v2

donde a, b recorren R, pertenece a este subespacio director, y

{v1, v2} es uno de los posibles sistemas generadores.


87

B) Sea Vn un espacio vectorial de dimensión n, y k vectores

v1, v2, ..., vk, con k < n.

Consideramos ahora el subconjuto

S = {m1. v1 + m2. v2 +⋯+mk. vk, donde mi recorren R}

Este subconjunto tiene la siguiente característica-propiedad:

Si w1, w2 están en S, también está w1 + w2, y también está

k.w1, cualquiera sea k de R.

Podemos resumirlas en una sola:

Si w1, w2, están en S, también está cualquier vector de la

forma

w = k1.w1 + k2.w2, k1, k2 recorriendo R

La comprobación puede realizarla el alumno: w1 y w2 es

combinación lineal de aquellos, has de comprobar que también lo

es w1 + w2.

Defi.:

Llamamos ‘Subespacio vectorial’ de Vn a cualquier subconjunto S

de vectores de Vn que cumpla esta condición:

Para todo par de vectores w1, w2 de S, y todo par de

escalares k1, k2, el vector

k1.w1 + k2.w2

también está en S.

Evidentemente S contiene el vector 0, basta hacer k1 = 0, k2 = 0.

88

En realidad, un subespacio vectorial es ‘una estructura de espacio

vectorial’ dentro de un Espacio vectorial más amplio.

Base de un Subespacio vectorial:

Si los vectores w1, w2, ..., wk

constituyen un Sistema generador de S, y además son linealmente

independientes entre sí, entonces constituyen una base de S.

Ejemplos:

a) Si en V3 tomamos los vectores v1, v2 lin. ind., el

conjunto

S= {a.v1 + b.v2; a,b R}

es un subespacio vectorial de dimensión 2 dentro de V3.

Decimos que S es el subespacio generado por v1, v2.

b) En V3 sea S el subespacio vectorial generado por los

vectores

v1 = (2,-1,3), v2 = (0,-2,1), v3 = (4,-8,9)

Deseamos obtener una base para S

Sol.- De estos tres vectores he de extraer un conjunto que sea

sistema libre.

Tomo v1 y v2 y compruebo si son l.i.

k1.v1 + k2.v2 = (0,0,0) -> {2𝑘1 = 0

−𝑘1 − 2𝑘2 = 03𝑘1 + 𝑘2 = 0

Necesariamente k1 = 0; esto me lleva a que k2 = 0. Son l.i.

Agregamos el vector v3


89

k1.v1 + k2.v2 + k3.v3 = (0,0,0) ->

{2𝑘1 + 4𝑘3 = 0

−𝑘1 − 2𝑘2 − 8𝑘3 = 03𝑘1 + 𝑘2 + 9𝑘3 = 0

De la primera k1 = -2k3, que llevo a las otras

{2𝑘3 − 2𝑘2 − 8𝑘3 = 0−6𝑘3 + 𝑘2 + 9𝑘3 = 0

{2𝑘2 − 6𝑘3 = 0𝑘2 + 3𝑘3 = 0

Tengo k2 = -3k3, que llevo a la primera:

6k3 -6k3 = 0 -> 0.k3 = 0, lo cual indica que k3 es ‘incógnita

libre’.

Los tres son l.d. entre sí. Una base es {v1, v2}.

Ejemplos/Actividades resueltas

1.- Comprueba si los tres vectores siguientes constituyen una base

de V3.

v1 = (2,3,-1), v2 = (-3,0,4), v3 = (0,-2,5)

Sol.- Haga el análisis el alumno.

Sí forman base.

2.- Del conjunto de vectores dado extrae una base de V3, si fuese

posible.

v1 = (2,3,-1), v2 = (-3,0,4),

v3 = (1,6, 2), v4 = (-2,-3,1), v5 = (0,-2, 3)

Sol.- Hágalo el alumno

90

Los vectores v1, v2, v5 forman base.

3.- Comprueba que la tercera y cuarta filas del cuadro siguiente

(matriz A) son combinación lineal de la primera y segunda, y

obtener la expresión correspondiente:

A =

71580

1504

3542

1023

Sol.- Haga el análisis el alumno.

La respuesta es

v3 = 2.v1 + v2, v4 = 2.v2 + v3

4.- En V3, extrae una base del sub. vect. generado por los

vectores

v1 = (2,3,-1), v2 = (-3,0,4),

v3 = (1,-3, -3), v4 = (4,-3,-7),

Sol.: Hágalo el alumno

Resultado: Sólo dos de los cuatro vectores son l.i. Tomando

v1, v2 que son l.i., éstos generan un subespacio de dim = 2.

5.- En V4, extrae una base del subespacio vectorial generado por

las columnas del siguiente cuadro (matriz A):


91

A =

71580

1504

3542

1023

Sol.- Lo analizo aplicando los determinantes.

La menor (3 − 2−2 4

) tiene det = 12-4 = 8; esto significa que las

dos primeras columnas son l.i.

Me quedo con ellas y amplío agregando la tercera.

La menor (3 − 2 0−2 4 54 0 5

) tiene det = [60-40-0]-[0+20+0] =

[20] – [20] = 0.

Tengo que probar con el siguiente, que consiste en retirar la tercer

fila y agregar la cuarta, manteniendo la tercer columna.

La menor (3 − 2 0−2 4 50 8 15

) tiene det = [180-0-0]-[0+60+120] =

= [180] – [180] = 0;

Puesto que no quedan más filas para seguir probando, podemos

concluir que la tercer columna es combinación lineal de las dos

primeras.

Retiro la tercer columna y agrego la cuarta.

La menor (3 − 2 1

−2 4 − 34 0 − 1

) tiene det = [-12+24+0]-[16-4+0] =

[12] – [12] = 0;

Retiro la tercer fila y agrego la cuarta

92

La menor (3 − 2 1

−2 4 − 3 0 8 − 7

) tiene det = [-84+0-16]-[0-28-72] =

[-100] – [-100] = 0;

Por lo tanto también la cuarta columna es c.l. de primera y

segunda.

Conclusión:

El subespacio generado es de dimensión dos, y las columnas

primera y segunda constituyen una base de este subespacio.

-------------

Del Tema 3

1.- Comprueba si los tres vectores siguientes constituyen una base

de V3.

v1 = (2,3,-1), v2 = (-3,0,4), v3 = (0,-2,5)

Sol.-

Sí forman base.

2.- Del conjunto de vectores dado extrae una base de V3, si fuese

posible.

v1 = (2,3,-1), v2 = (-3,0,4),

v3 = (1,6, 2), v4 = (-2,-3,1), v5 = (0,-2, 3)

Sol.-

Los vectores v1, v2, v5 forman base.

3.- Comprueba que la tercera y cuarta filas de A son combinación

lineal de primera y segunda, y obtener la expresión

correspondiente, siendo


93

A =

71580

1504

3542

1023

y concluye que ran(A) = 2.

Sol.- Se cumplen las relaciones

v3 = 2.v1 + v2, v4 = 2.v2 + v3

4.- En V3, extrae una base del subespacio vectorial generado por

los vectores

v1 = (2,3,-1), v2 = (-3,0,4),

v3 = (1,-3, -3), v4 = (4,-3,-7),

Sol.: Los vectores v1, v2 son lin. ind.. Generan un sub. de

dim = 2.

5.- En V4, extrae una base del subespacio generado por las

columnas de la matriz A

A =

71580

1504

3542

1023

Sol.: Generan un subespacio de dim. 2, ya que la matriz tiene

rango 2.

Las dos primeras columnas deben ser l. indep., compruébalo.

$$$oOo$$$


95

Tema 4

Aplicación de Matrices y Vectores al Análisis

y Resolución de Sistemas Lineales


97

4.1.- Sistemas lineales y Cálculo matricial

Todo lo que sigue es generalizable al caso de m ecuaciones con n

incógnitas.

Con el fin de que resulte asequible al alumno no iniciado,

desarrollaremos la explicación tomando prototipos de sistemas

de 3x3, y de 4x4.

Dado un sistema

b3 a33z a32y a31x

b2 a23z a22y a21x

b1 a13z a12y a11x

podemos extraer dos matrices llamadas:

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa, (Matriz de coeficientes)

B =

3333231

2232221

1131211

baaa

baaa

baaa

, (Matriz ampliada)

La primera es la ‘matriz formada por los coeficientes de las

incógnitas’; la segunda incluye además la columna formada por

los términos independientes.

En ocasiones designaremos los términos independientes así: a14

≡ -b1, a24 ≡ -b2, a34 ≡ -b3,

quedando igual a 0 el miembro derecha de cada igualdad.

98

Las columnas de una matriz pueden ser interpretadas como

vectores, y en el caso de A tenemos los vectores:

v1= (a11, a21, a31)

v2= (a12, a22, a32)

v3= (a13, a23, a33)

y de la matriz B obtenemos los vectores

w1= (a11, a21, a31)

w2= (a12, a22, a32)

w3= (a13, a23, a33)

w4 = (a14, a24, a34), ó w4 = (b1, b2, b3)

Debemos fijarnos en el significado del vector w4, que está

formado por los términos independientes.

NOTA:

También podemos tomar vector-fila, y así lo haremos cuando sea

preciso y más conveniente.

El sistema ahora puede ser expresado de la siguiente forma:

(𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

) . (𝑥𝑦𝑧) = (

𝑏1𝑏2𝑏3)

El análisis del sistema se hará después utilizando estas dos

matrices, como veremos.


99

4.2.- Los Sistemas lineales y el Cálculo matricial

4.2.1.- Interpretación matricial de un Sistema lineal

Clasificación. Teorema de Rouché Fröbenius

Evidentemente es r(A) <= r(B), ya que A está incluida en B.

Además, ó r(B) = r(A) ó será r(B) = r(A) + 1, ya que al pasar de

A a B lo que hago es agregar una columna.

b3 a33.x3 a32.x2 a31.x1

b2 a23.x3 a22.x2 a21.x1

b1 a13.x3 a12.x2 a11.x1

Supongamos que k1, k2, k3 es una solución del sistema, entonces

tengo (con la notación del punto anterior):

w4 = k1.w1 + k2.w2 + k3.w3,

y por tanto r(B) <= r(A), y por lo dicho antes podemos concluir

que

r(B) = r(A), en Sistema compatible

Recíproco:

Repetimos que r(B) >= r(A), y que no puede ocurrir r(B) < r(A).

Si r(B) = r(A) será porque la columna w4 es combinación lineal

de las columnas de A, y por tanto existen valores k1, k2, k3 tales

que

w4 = k1.w1 + k2.w2 + k3.w3,

Conclusión:

a) Condición necesaria y suficiente para que el Sistema sea

compatible es que r(B) = r(A).

100

b) Además, si los vectores w1, w2, w3 son l. i., equivalente

a que r(A) = ‘número de incógnitas’, entonces la

expresión de w4 como combinación lineal de estos

vectores es única, y el Sistema es determinado:

Si r(B) = r(A) = número de columnas de A = número de

incógnitas, el Sistema es Compatible determinado (solución

única).

c) Supongamos que r(B) = r(A) < número de columnas.

En este caso, el sistema de vectores w1, w2, w3 no es libre, existe

relación de dependencia entre ellos, podemos suponer que w1, w2

son l. i., y que

w3 = z1.w1 + z2.w2 , columna de A

w4 = y1.w1 + y2.w2 , columna de B

Estas expresiones son únicas, por ser w1, w2 linealmente

independientes.

En esta situación, si x1, x2, x3 es una solución del sistema, tengo

w4 = x1.w1 + x2.w2 + x3.w3 =

x1.w1 + x2.w2 + x3.(z1.w1 +z2.w2) =

(agrupando …. )

= (x1 +x3.z1).w1 + (x2 +x3.z2).w2

Como aquella expresión de w4 es única, ha de cumplirse que

y1= x1 +x3.z1,

y2= x2 +x3.z2


101

de donde

x1= y1 –x3.z1

x2= y2 –x3.z2

Aquí vemos que los valores x1, x2 dependen del valor x3.

Recíprocamente, veamos si la terna de valores

x1 = y1 –c.z1, x2 = y2 –c.z2, x3 = c

es una solución del sistema, donde c es un valor cualquiera, y los

valores y1, y2 son los mismos de antes (expresión de w4)

Tenemos

x1.w1 + x2.w2 + c.w3 =

(y1-c.z1).w1 + (y2-c.z2)w2 + c.w3 =

y1.w1 + y2.w2 + c.w3 –c.(z1.w1 +z2.w2) =

(teniendo en cuenta la expresión de w3)

= y1.w1 + y2.w2 + c.w3 –c.w3 = y1.w1 + y2.w2 = w4

Por tanto aquella terna sí es una solución.

Ha quedado demostrado que los valores x1, x2 de una solución

del Sistema dependen del valor c dado arbitrariamente a la

incógnita x3. Diremos que x3 es un incógnita libre.

Incógnitas libres:

Decimos que x3 es ‘incógnita libre’, a la que podemos asignar

cualquier valor c real, y por este motivo el Sistema admite

infinitas soluciones:

Los valores x1, x2 de cada solución dependerán del valor c dado a

x3, siendo su relación la siguiente:

102

x1 = y1 –z1.x3, x2 = y2 –z2.x3,

donde y1, y1 son los coeficientes de la expresión de w4 como

combinación lineal de w1, w2:

w4 = y1.w1 + y2.w2 , columna de B

y z1, z2 son los coeficientes de la expresión de w3:

w3 = z1.w1 + z2.w2 , columna de A correspondiente a x3.

El mismo proceso seguiríamos si el sistema tuviese n incógnitas

(n columnas de A): w1, w2, ..., wn, y sólo k de ellas fuesen l. i.

(ran(A)= k). Entonces tendría n-k incógnitas libres.

NOTA:

En la práctica no se suelen tener en cuenta las

expresiones anteriores de w3 y w4, sino que ‘damos valores a las

incógnitas libres’, los sustituimos en el sistema y resolvemos.

Clasificación de los Sistemas lineales:

El razonamiento anterior es la justificación (o Demostración, si se

prefiere) del llamado Teorema de Rouché-Fröbenius que sigue.

Teorema de Rouché-Fröbenius

Supongamos un sistema con n incógnitas

A) Si ran(B) = ran(A) -- > Sistema compatible (que admite

solución)

A1) Si ran(A) = n -- > Solución única (Sistema

compatible determinado)

A2) Si ran(A) < n -- > Infinitas soluciones (Sistema


103

compatible Indeterminado) y

Núm. incóg. libres = n – ran(A)

B) Si ran(B) > ran(A) -- > Sistema incompatible (No admite

solución)

NOTA:

Los sistemas tratados en este apartado contienen la columna de

términos independientes que suponemos no todos nulos, y los

llamamos Sistemas No Homogéneos, en contraste con los

Sistemas Homogéneos que veremos a continuación.

4.2.2.- Análisis y Resolución de un Sistema lineal cualquiera

no homogéneo. Método de Crámer

En primer lugar debemos analizar el sistema para determinar si es

o no compatible, y si es o no determinado. Para ello calculamos el

rango de las matrices A y B.

Por lo que vimos en el punto 4.3 (Teorema de Rouché-

Fröbenius), procedemos como sigue.

Sea n el número de incógnitas = número de columnas de A, y m

el número de ecuaciones = filas de A.

Casos:

A) Si r(A) = r(B), el sistema es compatible.

Además, cuando sea compatible puede ocurrir:

-Si r(A) = n, entonces tiene solución única (determinado)

104

En este caso: Si n < m, entonces el Sistema contiene

‘ecuaciones superfluas’ (redundantes). Sólo n de las

ecuaciones son l.i. Depuramos el Sistema para quedarnos

con n ecuaciones l.i. Esto lo conseguimos operando con

las filas de A como si se tratase de vectores, extrayendo el

mayor número de estas que sean l.i. Este número

coincidirá con n.

-Si r(A) < n, entonces contiene k = n - r(A) incógnitas

libres. El Sistema admite infinitas soluciones,

constituyendo un Suespacio vectorial.

B) Si r(A) < r(B), el Sistema es incompatible, no admite

solución,

y lo abandonamos por irresoluble.

Veremos ejemplos más adelante al practicar los métodos de

resolución, haciendo el análisis previo del sistema.

NOTA:

Muy importante es el Método de resolución llamado ‘de Crámer’

aplicable a los sistemas compatibles determinados. Veremos

cómo puede ser aplicado también al caso de Sistema compatible

indeterminado. Este método reemplaza en importancia al Método

de reducción ya conocido.

Resolución: Método de Crámer

Supongamos que el sistema es compatible determinado. La Regla

de Crámer (que demostramos más adelante) nos dice que el valor

de las incógnitas podemos obtenerlas como sigue.

Dado un sistema compatible determinado (r(B) = r(A) = n)


105

3.33.32.31

2.23.22.21

1.13.12.11

bzayaxa

bzayaxa

bzayaxa

tomo su matriz A y calculo su determinante D = Det(A).

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Método de Crámer:

Para obtener el valor de las incógnitas procedemos como sigue:

Tomo la matriz Ax obtenida al sustituir en A la columna de los

coeficientes de x por la columna de términos independientes

Ax =

33323

23222

13121

aab

aab

aab, y calculo Det(Ax)

Entonces x1 = 𝐷𝑒𝑡(𝐴𝑥)

𝐷

Tomo Ay sustituyendo la segunda columna (coeficientes de y)

por la de términos independientes

Ay =

33331

23221

13111

aba

aba

aba, entonces x2 =

𝐷𝑒𝑡(𝐴𝑦)

𝐷

Análogamente para obtener x3

106

Az =

33231

22221

11211

baa

baa

baa, x3 =

𝐷𝑒𝑡(𝐴𝑧)

𝐷

Demostración:

NOTA:

El alumno puede prescindir de la presente demostración. Sin

embargo interesa que quede recogida en el presente trabajo.

Suponiendo que la terna (x1, x2, x3) es una solución, escribo X=

(x1, x2, x3) y B = (b1, b2, b3), y operando (por el convenio de

‘vector columna’), tengo el producto de matrices:

A.X = B , de donde X = A-1

.B

Recordamos que A-1

= 1

𝐷 . (𝐴𝑑𝑗(𝐴))𝑡

Designamos Aij = adj(aij), (no confundir con Adj(A)),

y teniendo en cuenta que

Adj(A) = (𝐴11 𝐴12 𝐴13𝐴21 𝐴22 𝐴23𝐴31 𝐴32 𝐴33

)

Entonces

3

2

1

x

x

x= 1/D.

332313

322212

312111

AAA

AAA

AAA.

3

2

1

b

b

b

de donde


107

x1 = 1/D.[A11.b1 + A21.b2 + A31.b3] =

= 1/D.[b1.A11 + b2.A21 + b3.A31] =

(El segundo corchete contiene precisamente el cálculo del

determinante de la matriz Ax, desarrollando por la primer

columna)

= 1/D. Det

33323

23222

13121

aab

aab

aab =

𝐷𝑒𝑡(𝐴𝑥)

𝐷

x2 = 1/D.[A12.b1 + A22.b2 + A32.b3] =

= 1/D.[b1.A12 + b2.A22 + b3.A32] =

(Como en la anterior, ahora es el det. de la matriz Ay,

desarrollado por la segunda columna)

= 1/D. Det

33331

23221

13111

aba

aba

aba =

𝐷𝑒𝑡(𝐴𝑦)

𝐷

De la misma forma

x3 = 1/D.[A13.b1 + A23.b2 + A33.b3] = 𝐷𝑒𝑡(𝐴𝑧)

𝐷

Lo anterior, con el mismo razonamiento, es válido y aplicable a

cualquier Sistema compatible determinado.

Más adelante veremos cómo proceder en el caso de un Sistema

compatible indeterminado.

NOTA: Por supuesto, si n < m, se supone que hemos desechado

108

aquellas ecuaciones que sean superfluas, seleccionando n

ecuaciones l.i., y reescribiendo la matriz A. Para ello basta tomar

n filas de A que sean l.i. entre sí.

4.3.- Caso de Sistema compatible indeterminado.

Resolución por Crámer

PASOS A SEGUIR

Primero:

En primer lugar, si k = r(A), seleccionamos k ecuaciones l.i.

Esto lo conseguimos al calcular el rango de A, aplicando la

técnica del vector-fila.

Segundo:

Ya sabemos el número de incógnitas libres:

h = n - k

Dos opciones:

a) Damos un valor a cada una de las incógnitas libres y, (se

suelen tomar las de más a la derecha en el sistema), y haciendo

los cálculos pasamos el valor resultante al miembro derecha

(como término independiente). Llegamos a un nuevo sistema

compatible y determinado, con matrices que llamaremos A’ y B’,

y con un número de incógnitas k = r(A’).

Resolvemos y listo.

b) Pasamos los términos de las incógnitas libres al miembro

derecha como parámetros y lo tratamos como si fuesen valores

conocidos, formando una única columna de términos

independientes. A la izquierda tendremos k incógnitas, y la matriz

A’ de los coeficientes tendrá r(A’) = k. La matriz B’ contiene la


109

columna derecha formada por valores y parámetros. Podemos

aplicar Crámer al nuevo sistema con matrices A’ y B’, quedando

las soluciones expresadas en función de los parámetros (que

coinciden con las incógnitas libres).

4.4.- Sistemas Homogéneos. Clasificación.

Base del Subespacio de soluciones.

Llamamos Sistema homogéneo a los de la forma

0.33.32.31

0.23.22.21

0.13.12.11

zayaxa

zayaxa

zayaxa

cuyos términos independientes son todos cero.

Evidentemente admiten la solución x = 0, y = 0, z = 0, que

llamamos “solución trivial”. Puede o no admitir otras soluciones

no triviales, y ese es el objeto de su análisis y estudio.

No lleva matriz ampliada, evidentemente.

Consideremos la matriz A de sus coeficientes

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Si ran(A) = número de columnas, entonces los vectores

v1= (a11,a21,a31), v2 = (a12,a22,a32), v3 = (a13,a23,a33)

son linealmente independientes, y los únicos valores que hacen

x.w1 + y.w2 + z.w3 = 0,

110

son x = 0,y = 0,z = 0. Solución (0,0,0), llamada “Solución

trivial”.

Supongamos que admite una solución no trivial (x1, x2, x3):

x = x1, y = x2, z = x3, entonces

x1.w1 + x2.w2 + x3.w3 = 0,

de donde, si x3 <> 0, puedo despejar w3 como combinación

lineal de w1 y w2:

w3 = y1.w1 + y2.w2,

y por tanto ran(A) < número de columnas.

Si x3 = 0, será x1 ó x2 no nulo, y repetimos el razonamiento.

Recíprocamente, si r(A) < número de columnas, entonces alguna

columna de A es combinación lineal de las otras. Supongamos

que lo es la tercera:

w3 = y1.w1 + y2.w2, donde algún yi es no nulo. Entonces

y1.w1 + y2.w2 + (-1).w3 = 0,

y por tanto tengo una solución distinta de la trivial:

x = y1, y = y2, z = -1.

Resumen, Clasificación (Sistema homogéneo):

El razonamiento anterior justifica ( o demuestra) el siguiente:

Teorema de Rouché-Fröbenius (para sistemas homogéneos)

Para un Sistema homogéneo cualquiera con n incógnitas.


111

A) Si ran(A) = número de incógnitas, entonces sólo admite la

solución trivial (x1 = 0, x2 = 0, ...., xn = 0)

B) Si r(A) < número de incógnitas, entonces admite además

solución distinta de la trivial.

Este caso admite infinitas soluciones distintas de la trivial y éstas

constituyen un subespacio vectorial de dimensión = número de

incógnitas menos ran(A) = núm. de incóg. libres.

Afirmamos que:

Si admite una solución no trivial entonces admite infinitas. El

conjunto S de todas sus soluciones es un Subespacio vectorial.

En efecto, si x1, x2, x3 es una solución no trivial veamos que

también lo es

a) z1 = c.x1, z2 = c.x2, z3 = c.x3,

donde c es arbitrario.

Tenemos

x1.w1 + x2.w2 + x3.w3 = 0,

c.(x1.w1 + x2.w2 + x3.w3) = 0

cx1.w1 + cx2.w2 + cx3.w3 = 0

z1.w1 + z2.w2 + z3.w3 = 0

b) Si x1, x2, x3 es solución, y z1, z2, z3 es otra solución,

entonces

y1 = x1+z1, y2 = x2+z2, y3 = x3+z3 también lo es:

(x1+z1).w1 + (x2+z2).w2 + (x3+z3).w3 = ….

112

........ = 0 + 0 = 0

La dimensión de este Subespacio de soluciones coincide con el

número de incógnitas libres:

dim(S) = (número de incógnitas del sistema) – r(A)

Base del Subespacio S de las soluciones:

Para obtener una base de S procedemos del siguiente modo.

Sea m = n – r(A) el número de incógnitas libres.

Damos a la primera incógnita libre el valor 1 y el valor cero a las

restantes; obtengo así el vector w1. Damos el valor 1 a la segunda

incógnita libre y 0 a las restantes; obtengo el vector w2.

Repetimos de forma análoga con las siguientes incógnitas libres.

Al final, por la forma de obtenerlos, los vectores w1, w2, …, wm

son l.i. y constituyen una base del Subespacio vectorial de las

soluciones.

---------------


113

Ejemplos/Actividades: Resueltos

1.- Analiza y resuelve, si es posible, el siguiente sistema

{

2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 5 2𝑦 + 𝑧 = −3−3𝑥 + 5𝑦 = 2

Sol.-

Matriz de coeficientes: A = (2 − 1 3 0 2 1 −3 5 0

)

Rango de A: Det(A) = Por Sarrus = 11, por tanto r(A) = 3

Matriz ampliada: B = (2 − 1 3 5 0 2 1 − 3−3 5 0 2

)

Rango de B: Necesariamente es r(B) = 3

Sistema compatible determinado.

Resuelvo por Crámer: (Aplicamos Regla de Sarrus)

Ax = (5 − 1 3 −3 2 1 2 5 0

), det(Ax) = -84, por tanto x = -84/11

Ay = (2 5 3 0 − 3 1 −3 2 0

), det(Ay) = -46, por tanto y = -46/11

Az = (2 − 1 5 0 2 − 3 −3 5 2

), det(Az) = 59, por tanto z = 59/11

114

2.- Analiza y resuelve, si es posible, el siguiente sistema

{

2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 − 𝑡 = −5 2𝑦 + 𝑧 − 2𝑡 = −3−3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑡 = 3𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 − 2𝑡 = 2

Sol.-

A = (

2 − 1 3 − 1 0 2 1 − 2−3 2 0 3 1 − 1 − 3 − 2

) Obtengo el rango de A

calculando el det. de las menores de A.

Aclaración:

La notación |

| indica determinante de la matriz incluida.

|2 − 10 2

| = 4 -> r(A) >= 2

|2 − 1 30 2 1−3 2 0

| = 17 -> r(A) >= 3

Para comprobar si r(A) = 4 he de calcular det(A)

Desarrollo por primer columna:

Det(A) = 2. |2 1 − 22 0 3

−1 − 3 − 2| + (-3). |

−1 3 − 1 2 1 − 2−1 − 3 − 2

| –


115

1. |−1 3 − 1 2 1 − 2 2 0 3

| = 2.31 -3.31 – (-31) = 0, por tanto

r(A) = 3

Puesto que contiene cuatro incógnitas una de esta es libre.

Debemos tomar como libre aquella que queda fuera de la ‘Menor’

cuyo det. <> 0. En este caso tomo t como libre.

Además, sólo tres ecuaciones son l.i. Que el determinante

|2 − 1 30 2 1−3 2 0

| resulte <> 0 nos dice que las tres

primeras son l.i. entre sí. Nos quedamos con estas y desechamos

la cuarta (por ser c.l. de las anteriores).

El Sistema es Compatible indeterminado (un grado de libertad)

Queda el Sistema

{2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = −5 + 𝑡

2𝑦 + 𝑧 = −3 + 2𝑡−3𝑥 + 2𝑦 = 3 − 3𝑡

Matriz de coeficientes A’ = (2 − 1 30 2 1−3 2 0

) , Det(A’) = 17

Resuelvo por Crámer

116

Ax = (−5 + 𝑡 − 1 3−3 + 2𝑡 2 13 − 3𝑡 2 0

), det(Ax) = [0 –(3-3t)+6.(-

3+2t)] – [6.(3-3t) +0 +2.(-5+t)] = [ 15t -21] –[-16t +8] = 31t -29,

por tanto x = (31t – 29)/17

Ay = (2 − 5 + 𝑡 30 − 3 + 2𝑡 1−3 3 − 3𝑡 0

), det(Ay) = [0 +0 -3.(-5+t)]

–[-9.(-3+2t) +2.(3-3t)] = [ -3t +15] – [-24t +33] = 21t -18,

por tanto y = (21t -18)/17

Az = (2 − 1 − 5 + 𝑡0 2 − 3 + 2𝑡−3 2 3 − 3𝑡

), det(Az) = [4.(3-3t) +0

+3.(-3+2t)] – [-6.(-5+t) +4.(-3+2t)] = [-6t +3] – [2t +18] = -8t -15,

por tanto z = (-8t -15)/17

Para cada valor asignado a t, recorriendo los reales, obtenemos

una solución del sistema. Infinitas soluciones.

3.- Analiza el siguiente sistema, y resuelve si es posible

{

2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 − 𝑡 = 5 2𝑦 + 𝑧 − 2𝑡 = −3 −3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑡 = 3 𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 − 2𝑡 = 2


117

Sol.- Matriz de coeficientes

A = (

2 − 1 3 − 10 2 1 − 2−3 2 0 3 1 − 1 − 3 − 2

)

Rango de A:

|2 − 10 2

| <> 0; |2 − 1 30 2 1−3 2 0

| = [0+3+0] –[-18 +4

+0] = 3 + 16 = 19,

por tanto r(A) >= 3

|

2 − 1 3 − 10 2 1 − 2−3 2 0 31 − 1 − 3 − 2

| = 2.det(A11) -0.det(A21)

+(-3).det(A31) -1.det(A41)

det(A11) = |2 1 − 22 0 3

−1 − 3 − 2| = [0-3+12]-[0-4-18] = 9 +22 = 31

det(A31) = |−1 3 − 1 2 1 − 2−1 − 3 − 2

| = [2+6+6] –[1-12-6] = 14 +17 = 31

det(A41) = |−1 3 − 1 2 1 − 22 0 3

| = [-3-12+0]-[-2+0+18] =

= -15 -16 = -31

118

Volviendo atrás

Det(A) = 2.32 -3.31 -1.(-31) = 0 -> r(A) = 3

Rango de la ampliada B:

B = (

2 − 1 3 − 1 50 2 1 − 2 − 3−3 2 0 3 31 − 1 − 3 − 2 2

)

Acabamos de ver que la ‘menor’

(

2 − 1 3 − 10 2 1 − 2−3 2 0 31 − 1 − 3 − 2

) tienen determinante cero, y

que (

2 − 1 3 0 2 1

−3 2 0

) tiene det <> 0. Esto significa que la

cuarta columna de B es combinación lineal de las tres primeras.

Tomamos la quinta columna y calculamos su determinante:

Det(

2 − 1 3 50 2 1 − 3−3 2 0 3 1 − 1 − 3 2

) = 2.det(A11) -0.det(A21) +

+(-3).det(A31) -1.det(A41)


119

|2 1 − 32 0 3−1 − 3 2

| = [0-3+18]-[0-18+4] = +15 + 16 = 31

|−1 3 5 2 1 − 3−1 − 3 2

| = [-2+9-30]–[-5+12-9]= -23 +2 = -21

|−1 3 5 2 1 − 32 0 3

| = [-3-18+0]-[10+18+0]= -21-28 = -49

Volviendo atrás tengo

2.31 -3.(-21) -1.(-49) = 62 +63 +49 <> 0

-> r(B) = 4, y por tanto el Sistema es incompatible. Lo

abandonamos.

4.- Analiza el siguiente Sistema

{

3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 3−2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = −22𝑥 + 2𝑦 = 2 3𝑦 − 4𝑧 = 82𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 2

Sol.-

120

A =

(

3 − 2 1−2 3 − 12 2 00 3 − 42 − 3 1 )

, hallo su rango

r(A) ≥ 2 evidente

|3 − 2 1−2 3 − 12 2 0

| = [0+4-4]-[6+0-6] = 0 -> la tercer fila

es c.l. de las dos primeras. Rechazo esta tercera y pruebo tomando

la cuarta

|3 − 2 1−2 3 − 10 3 − 4

| = [-36+0-6]-[0-16-9]= -42 +25 = -17, y

por tanto r(A) ≥ 3, y concluyo que r(A) = 3, pues sólo tiene tres

columnas.

Las dos primeras ecuaciones más la cuarta son l.i. entre sí. La

tercera y quinta son c.l. de las anteriores, y podemos (y debemos)

despreciarlas.

Tengo el nuevo sistema equivalente

{

3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 3−2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = −2 3𝑦 − 4𝑧 = 8


121

A’ = (3 − 2 1−2 3 − 10 3 − 4

), y sabemos que Det(A’) = -17

El rango de la ampliada B también es 3, pues no puede ser mayor

que 3, y además siempre es

r(B) ≥ r(A).


Resuelvo por Crámer

Ax = (3 − 2 1−2 3 − 18 3 − 4

), det(Ax) = [-36+16-6]-[24-9-16] = -26

+1 = -25 -> x = 25/17

Ay = (3 3 1

−2 − 2 − 10 8 − 4

), det(Ay) =[24+0-16]-[0+24-24] = 8 + 0

= 8 -> y = -8/17

Az = (3 − 2 3−2 3 − 20 3 8

), det(Az) =[72+0-18]-[0+32-18] = 54 – 14

= 40 -> z = -40/17

5.- Analiza el siguiente Sistema homogéneo

{

3𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = 0−𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 02𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 0

Sol.-

122

A = (3 − 5 1−1 2 − 32 3 − 2

), r(A) ≥ 2 evidente

Det(A) = hágalo el alumno = 48 -< r(A) = 3, y por tanto sólo

admite la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0

6.- Analiza el siguiente Sistema homogéneo

{

3𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = 0−𝑥 − 11𝑦 + 5𝑧 = 02𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 0

Sol.-

A = (3 − 5 1−1 − 11 52 3 − 2

), Det(A) = hágalo el alumno = 0

con lo cual concluimos que r(A) = 2 < número de incógnitas.

Contiene una libre. Puesto que

|3 − 5−1 − 11

| = -33 – 5 = -38, decido tomar z como

libre, y quedarme con las dos primeras ecuaciones

{3𝑥 − 5𝑦 = −𝑧−𝑥 − 11𝑦 = −5𝑧

Despejo x = 5z -11y , y lo llevo a la primera

3.(5z -11y) -5y = -z

-38y = -16z -> y = 8𝑧

19

x = 5z -11.(8/19.z) = 5z -88/19.z = 7𝑧

19


123

Dando a z valores reales, para cada uno obtenemos una solución

del Sistema. Infinitas soluciones.

El Subespacio formado por todas las soluciones es de dimensión

uno (= número incógnitas libres)

7.- Aplicación práctica: Estudia si se cortan o no las siguientes

dos rectas, y en caso afirmativo determina el punto común:

r : {𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 1

2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −2 s : {

2𝑦 − 3𝑧 = 43𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = −1

Sol.-

Si P(x1, y1, z1) fuese un punto común sus coordenadas x1, y1, z1

han de ser solución del Sistema formado por las cuatro

ecuaciones

{

𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 12𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −2 2𝑦 − 3𝑧 = 43𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 1

El rango de la matriz A de los coeficientes ha de ser >= 2, ya que

en otro caso los dos planos no definirían una recta.

A = (

1 − 3 12 1 − 30 2 − 33 − 2 − 2

), |1 − 3 12 1 − 30 2 − 3

| = [-3+0+4]-[0+18-6] =

1 -12 = -11

Por tanto r(A) = 3. Estudiamos el rango de B

124

B = (

1 − 3 1 1 2 1 − 3 − 20 2 − 3 43 − 2 − 2 − 1

), Det(B) = 1.det(A11) –

2.det(A21) +0.det(A31) -3.det(A41)

det(A11) = |1 − 3 − 22 − 3 4−2 − 2 − 1

| = [3+8+24]-[-12+6-8] =

= 35+14 = 49

det(A21) = |−3 1 1 2 − 3 4−2 − 2 − 1

| = [-9-8-4]-[6+24-2] =

= -21 -28 = -49

det(A41) = |−3 1 1 1 − 3 − 2 2 − 3 4

| = [36-4-3]-[-6+4-18] = 29+20 = 49

Volviendo atrás: Det(B) = 49 -2.(-49) -3.49 = 0

por tanto r(B) = 3 -- > Sistema compatible determinado. Las

rectas tienen uno y sólo un punto en común.

Además, la cuarta ecuación es redundante, puedo desecharla y la

desecho, quedando el siguiente

{

𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 12𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −22𝑦 − 3𝑧 = 4

A’ = (1 − 3 12 1 − 30 2 − 3

), y vimos más arriba que


125

Det(A’) = -11

Resuelvo por Crámer.

El alumno comprobará que se cortan en el punto

P(-49/11, -32/11, -36/11)

8.- Estudia si se cortan o no la recta r y el plano m dados:

r: <P(2,1,0); v = (3,-2,1)>,

m: 2x -3y + 4z = 6

Sol.- Paso la recta a cartesianas:

OQ = OP + k.v -> (x,y,z) = (2,1,0)+k.(3,-2,1) ->

{𝑥 = 2 + 3𝑘𝑦 = 1 − 2𝑘𝑧 = 𝑘

; llevando z = k a las dos primeras

{𝑥 = 2 + 3𝑧𝑦 = 1 − 2𝑧

; que son dos planos cuya intersección nos da la

recta.

El sistema a analizar es

{

2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 6𝑥 − 3𝑧 = 2 𝑦 + 2𝑧 = 1

Intento resolverlo directamente, si es compatible obtendré alguna

solución, si es incompatible llegaré a alguna contradición.

126

y = 1-2z -> {2𝑥 − 3. (1 − 2𝑧) + 4𝑧 = 6

𝑥 − 3𝑧 = 2 ->

{2𝑥 + 10𝑧 = 9𝑥 − 3𝑧 = 2

; x = 2+3z -> 2.(2+3z) +10z = 9 ->

16z = 5; z = 5/16, que llevándolo a las otras me dan

x = 2 +15/16 = 47/16, x = 47/16

y = 1-10/16 = 6/16, y = 6/16

El sistema es compatible determinado y se cortan en el punto

único

P(47

16 ,

6

16 ,

5

16 )

Del Tema 4

1.- Resuelve el sistema por Crámer y por Gauss

3

1

5

zyx

zyx

zyx

Sol.: (2, -1, -2)

2.- Resuelve el sistema por Crámer

2226

842

6423

zyx

zyx

zyx


127

Sol.: La tercer es comb. lin. de 1ª y 2ª. ran(A) = 2, ran(B) = 2.

Tomo z como libre, y escribo

zyx

zyx

842

4623

A’ =

42

23, B’ =

z

z

842

4623

Aplico Crámer y queda: x = f(z), y = g(z). Dando valores a z

obtengo las soluciones.

3.- Resuelve el sistema aplicando el método de Crámer y

comprueba el resultado resolviendo también por el método de

Gauss.

8323

72

5432

zyx

zyx

zyx

Sol.: Por Gauss hemos obtenido

x = 194/11, y = 175/11, z = 48/11

4.- Resuelve el sistema por Crámer

28642

2226

842

6423

zyx

zyx

zyx

zyx

128

Sol.: Comprueba que la 3ª y 4ª son superfluas. Desechando estas

queda como el anterior.

5.- Analiza y resuelve por el método de Crámer, si es posible

162

442

92

zyx

zyx

zyx

Sol.: Resuélvalo el alumno. Debe obtener: x = 4, y = 5, z = 2.

6.- Estudiar la relación entre los tres planos siguientes, diciendo si

su intersección es: vacía, un punto, una recta, ó coinciden en un

mismo plano.

Planos formando un sistema

1064

43

52

zyx

zx

yx

Analizamos este sistema

A=

614

301

012

, B=

10614

4301

5012

Obtengo los rangos de A y B


129

ran(A) >= 2, ya que 01

12 0. Pero

614

301

012

= 0

Por tanto: ran(A)= 2

Para B,

614

301

012

= 0; tengo que calcular otros dos;

1014

401

512

= 21 – 18 0, por tanto ran(B) = 3

El sistema es incompatible, No existe un punto común a los tres

planos.

Veamos qué ocurre tomándolos dos a dos.

Los dos primeros:

01

12 0, lo que nos dice que los dos primeros no son paralelos

y por tanto se cortan según la recta

r1: {2𝑥 + 𝑦 = 5𝑥 − 3𝑧 = 4

Primero y tercero:

130

14

12 0, lo que nos dice que el primero y el tercero se cortan

según la recta

r2: {2𝑥 + 𝑦 = 5

4𝑥 + 𝑦 − 6𝑧 = 10

Segundo y tercero:

14

01 0, y por tanto el segundo y tercero se cortan según la

recta

r3: {𝑥 − 3𝑧 = 44𝑥 + 𝑦 − 6𝑧 = 10

7.- Analiza el sistema dependiendo de los valores que tome el

parámetro m

1

1

1

mzyx

zmyx

zymx

Sol.:

A=

m

m

m

11

11

11

, det(A)= [m3+2] –[3m]= m

3-3m+2,

m3 –3m +2 = 0

Aplicando Ruffini resultan soluciones: m= 1 doble, m= -2

Resumen:


131

a) Si m 1 y m -2, ran(A) = 3, ran(B) = 3, y por tanto es


b) Si m = 1, veamos.

A =

111

111

111, ran(A) = 1, B =

1111

1111

1111

,

ran(B) = 1, lo que significa que el sistema es compatible pero

indeterminado. El número de incógnitas libres es:

Número de incógnitas – rango común = 3 – 1 = 2 (= a la

multiplicidad de la solución m = 1).

Número de ecuaciones linealmente independientes = rango

común = 1. Tomamos la primera.

x +y +z = 1,

y, z libres: x = -y –z + 1;

hago: y = 1, z = 0 --> x = 0 --> sol.: (0,1,0)

hago: y = 0, z = 1 --> x = 0 --> sol.: (0,0,1)

Observa que las dos soluciones, tomadas como vectores, generan

un subespacio de dimensión

2 = nº incógnitas libres.

c) Si m = -2, veamos.

A =

211

121

112

, B =

1211

1121

1112

132

det(A) = 0, luego ran(A) = 2.

Para B, partimos del hecho de que 21

12

0, y estudiamos

otros de orden 3 orlando este de orden 2.

211

121

112

= 0,

111

121

112

=

= [4+2]-[-2-2+1] = 6 +3 0, y ran(B) = 3

El sistema es incompatible

8.- Estudia el siguiente Sistema homogéneo dependiendo del

parámetro m.

04103

03

0

zyx

zyx

zymx

Sol.:

A=

4103

131

11m

, det(A) = [12m +3 +10]-[-9+4-10m] = 22m

+18, 22m + 18 = 0, m = -9/11

a) Para m -9/11 ran(A) = 3, y entonces la única solución

es (0,0,0).


133

b) Si m = -9/11:

A=

4103

131

1111/9, det(A) = 0,

31

111/9 = -27/11 –1 0, ran(A) = 2, y el sistema tiene

soluciones distintas de la trivial, es decir, distinta de (0,0,0).

Recuerda que:

Nº ecuac. lin. indep. = ran(A)= 2,

nº inc. libres = 3 –ran(A) = 1

Tomo el sistema

03

0.11/9

zyx

zyx,

zyx

zyx

3

.11/9

Dando valor a z y obteniendo valores de x, y, obtenemos tantas

soluciones como deseemos.

9.- Problema

Al fallecer el padre y consultar su testamento sus tres hijos

encuentran lo siguiente:

“Mi hijo mayor recibirá la media de lo que reciban los otros dos

más 2000 euros. Mi segundo hijo recibirá la media de lo que

reciban el mayor y el menor, ni más ni menos. Mi hijo menor

recibirá la media de lo que reciban los otros dos menos 1000

euros”.

a) Realiza un análisis de esta situación.

134

b) Suponiendo que dejó 30000 euros, determina cuánto

corresponde a cada uno.

c) Hagamos el siguiente planteamiento:

“El mayor recibirá la media de los otros dos más 100, el

segundo la media del primero y tercero, el menor recibirá la

media de los otros dos menos 100 euros”. La cantidad a repartir

es de 2000 euros.

Sol.: Expresión en forma de sistema:

a)

10002

2

20002

yxz

zxy

zyx

,

20002

2

40002

yxz

zxy

zyx

o bien

20002

02

40002

zyx

zyx

zyx

A =

211

121

112, B =

2000211

0121

4000112

det(A) = 0, por lo que ran(A) = 2.

Para B: Partimos de la menor A33 =

21

12, cuyo


135

det(A33) 0

det

200011

021

400012 = [-8000+0+4000] – [-8000+0+2000] =

= [-4000]-[-6000] = 2000,

ran(B) = 3

El sistema es incompatible. Imposible realizar el reparto.

b) Si añadimos este dato tenemos además:

x + y + z = 30000

Sistema

30000

20002

02

40002

zyx

zyx

zyx

zyx

A =

111

211

121

112

; Su tercer fila es combinación lineal

de primera y segunda.

det

111

121

112 = 7, por tanto ran(A) = 3.

136

B =

30000111

2000211

0121

4000112

det(B) = Desarrollo por la cuarta columna =

-4000.det

111

211

121

+ 0.(...) –(-2000).

.det

111

121

112

+ 30000.det

211

121

112

=

= 4000.([6]-[-3]) +2000.([6]-[-3]) +30000.([6]-[6]) = -36000

+18000 + 0 = -18000,

por tanto ran(B) = 4.

El sistema es incompatible.

c) En este caso queda el siguiente sistema

2000

2002

02

2002

zyx

zyx

zyx

zyx


137

A =

111

211

121

112

,

211

121

112

= 0 (la tercera fila es

suma de primera + segunda y cambiar de signo). Desecho la

tercer fila.

111

121

112

= [6]-[-3] = 9, ran(A) = 3

B =

2000111

200211

0121

200112

,

det(B) = -200.

111

211

121

+ 0.(...) –(-200).

111

121

112

+

+2000.

211

121

112

= 200.(9) + 200.(9) + 2000.(0) =

= -1800 +1800 = 0

ran(B) = 3.

Tomo el sistema

138

2000

02

2002

zyx

zyx

zyx

A =

111

121

112

, det(A) = 9

Ax =

112000

120

11200 = [400+2000] -[-4000-200] = 6600

Ay =

120001

101

12002 = [2000-200] -[-4000-200] =

= 1800+4200 = 6000

Az =

200011

021

20012= [8000-200] -[400+2000] = 5400

Por tanto: x = 6600/9, y = 6000/9, z = 5400/9

Comprobando tengo x + y + z = 2000

$$$$oOo$$$$


139

Tema 5

Aplicaciones lineales

Endomorfismos


141

5.1.- Aplicaciones lineales. Núcleo e Imagen

Siempre operamos en el cuerpo de los reales R, salvo que se diga

otra cosa, esto es, que los espacios vectoriales lo son sobre el

cuerpo R.

Def.:

Dados dos Espacios vectoriales En y E’m, llamamos Aplicación

lineal a toda aplicación

f: E --- > E’

x ---- > y = f(x)

que cumpla estas condiciones:

a) Para todo par v1, v2, f(v1 +v2) = f(v1) + f(v2)

b) Para todo v de E y todo escalar k, f(k.v) = k.f(v)

Resumiendo: f(k1.v1 + k2.v2) = k1.f(v1) + k2.f(v2)

Cuando E’ = E la llamamos ‘Endomorfismo’.

Núcleo e Imagen de f: E --- > E’

Defi.:

Llamamos ‘Núcleo’ de f al subconjunto N constituido por todos

los vectores cuya imagen es el vector 0:

N = {𝑣 ∈ 𝐸 ; 𝑓(𝑣) = 0}

Afirmo que N es un subespacio vectorial de E.

142

En efecto, 0 está en N ya que f(0) = 0.

Sean v1, v2 de N, y escalares k1, k2. Tengo

f(k1.v1 + k2.v2) = k1.f(v1)+k2.f(v2) = 0, y por tanto también

k1.v1 + k2.v2 está en N (esto nos garantiza que N es Subespacio

vectorial).

Def.: Llamamos ‘Imagen’ de f al subconjunto de E’ formado por todos

los vectores w que son imagen de ‘algún’ vector v:

Im(f) = {𝑤 ∈ 𝐸′ ; 𝑤 = 𝑓(𝑣) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝑣 ∈ 𝐸}

Afirmo que Im(f) es un subespacio de E’.

En efecto, 0 está en Im(f) ya que f(0) = 0; sean w1, w2 de Im(f);

existen v1, v2 tales que w1 = f(v1), w2 = f(v2); entonces, para

todo par de escalares tengo

f(k1.v1 +k2.v2) = k1.f(v1) + k2.f(v2) = k1.w1 + k2.w2, y por

tanto k1.w1 + k2.w2 está en Im(f)

Consecuencias: -Las imágenes {f(ei)} de una base B={ei, i=1,…,n} de E forman

un Sistema generador de Im(f).

-Si N(f) = {0}, entonces {f(ei)} es además Sistema libre, porque

la aplicación f es inyectiva.


143

-Sean n = dim(E), m = dim(E’). Si m = n y N(f) = {0}, f es

biyectiva, Im(f) = E’, y {f(ei)} es una base de E’. Decimos que la

aplicación f es un ‘Isomorfismo’.

5.2.- Matriz asociada a f respecto de bases en E y

en E’

Tenemos bases B = {e1,e2,…,en} en E, B’ = {u1,u2,…,um} en E’.

Estamos suponiendo n = dim(E), m = dim(E’).

Para un vector v = x1.e1 + x2.e2 + ... + xn.en

tengo su imagen

w = f(v) = f(x1.e1+x2.e2+….+xn.en) =

= x1.f(e1) + x2.f(e2) + … + xn.f(en)

Por otro lado la expresión de w respecto de B’

w = y1.u1 + y2.u2 + …. + ym.um ,

y por tanto

y1.u1 + y2.u2 + …. + ym.um =

= x1.f(e1) + x2.f(e2) + …+ 𝑥𝑛.f(𝑒𝑛)

Matricialmente

(y1, y2,…, 𝑦𝑚).

(

𝑢1𝑢2...𝑢𝑚)

= (x1, x2,..., 𝑥𝑛).

(

𝑓(𝑒1)

𝑓(𝑒2)...

𝑓(𝑒𝑛))

144

Tomamos ahora la expresión de las imágenes f(ei) en la base B’,

sean

{

𝑓(𝑒1) = a11. u1 + a12. u2 + … . + 𝑎1𝑚. 𝑢𝑚𝑓(𝑒2) = a21. u1 + a22. u2 + … .+ 𝑎2𝑚. 𝑢𝑚

………𝑓(𝑒𝑛) = an1. u1 + an2. u2 + … .+ 𝑎𝑛𝑚. 𝑢𝑚

y ahora matricialmente tengo

(y1,y2,….,𝑦𝑚).

(


=

= (x1,x2,….,𝑥𝑛).

(

𝑎11 𝑎12 … . . 𝑎1𝑚𝑎21 𝑎22 … . 𝑎2𝑚𝑎31 𝑎32 … . 𝑎3𝑚

.

.

.𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … . 𝑎𝑛𝑚 )

.

(


Resumiendo: La relación entre las coordenadas xi de v en B, y las

coordenadas yj de w = f(v) en B’ es

(y1, y2, ..., ym) = (x1, x2,..., xn).

(

𝑎11 𝑎12 … . . 𝑎1𝑚𝑎21 𝑎22 … . 𝑎2𝑚𝑎31 𝑎32 … . 𝑎3𝑚

.

.

.𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … . 𝑎𝑛𝑚)


145

Llamando A a la matriz tengo

y = x.A

Hemos operado por ‘vector fila’. Por vector columna habría

resultado la traspuesta de la anterior:

yt = A

t.x

t , donde x

t y y

t son vector columna.

Las filas de A, f(ei), son las coordenadas aij de estas imágenes

expresadas en la base B’ de E’. Estas coordenadas son únicas, y

por tanto la matriz A es única.

Resumen:

Dadas las bases B = {e1, e2,…, en} en E, B’ = {u1, u2,…, um} en

E’, la matriz A respecto de estas bases está formada tomando

como filas las imágenes f(ei) expresadas en la base B’.

Cuando m = n y /A/ <> 0, entonces Im(f) = E’, ker(f) = {0}, y

estamos exactamente en el caso que llamamos ‘Automorfismo’.

5.3.- Caso de un Endomorfismo en E

Cuando E’ = E, a la aplicación lineal

f: E ---> E

x ---> y

la llamamos ‘endomorfismo’: y = x.A

Matriz asociada:

Respecto de una base B = {e1,e2,…,en}, las filas de A son las

imágenes f(ei) expresadas en la misma base B:

146

A = (…𝑓(𝑒1)………

…𝑓(𝑒𝑛)…)

Análisis de f:

a) En general se cumple

dim(Im(f)) + dim(ker(f)) = n

b) Im(f) es un subespacio vectorial y las filas de A constituyen

un Sistema generador.

c) Si /A/ <> 0 entonces existe A-1

lo que significa que f admite

inversa

y = x.A <---> x = y.A-1

Significa que ker(f) = {0}, subespacio constituido por el vector

cero. La aplicación es biyectiva.

En este caso decimos que f es un ‘automorfismo’.

Ejemplos:

1.- Sea f: R3 --- R

2, f(x1,x2,x3) = (3x1+2x2-4x3, x1-5x2+3x3)

Tomo en R3 y en R

2 las bases canónicas: B = {(1,0,0), (0,1,0),

(0,0,1)}, B’ = {(1,0), (0,1)}

f(e1) = (3, 1) = 3.u1 + u2

f(e2) = (2, -5) = 2.u1 -5.u2

f(e3) = (-4, 3) = -4.u1 +3.u2


147

A = (3 12 − 5−4 3

),(y1,y2) = (x1,x2,x3).(3 12 − 5−4 3

)

Obtenemos la imagen de v = (1,-1,2)

(1,-1,2). (3 12 − 5−4 3

) = (-7,11)

2.- La misma definición de f

f(x1,x2,x3) = (3x1+2x2-4x3, x1-5x2+3x3)

pero tomamos las siguientes bases: B = {v1=(1,1,1), v2=(1,1,0),

v3=(1,0,0)} en de R3, B’ = {w1=(1,3),w2=(2,5)} en R

2 .

Obtener la matriz A asociada a f respecto de estas bases.

Sol.: f(x1,x2,x3) = (3x1+2x2-4x3, x1-5x2+3x3)

--> {𝑦1 = 3𝑥1 + 2𝑥2 − 4𝑥3𝑦2 = 𝑥1 − 5𝑥2 + 3𝑥3

En la base B en E y el la base canónica {u1,u2} de E’ tengo:

v1 = 1.e1+1.e2+1.e3 - f(v1) = (1,1,1). (3 12 − 5−4 3

) = (1,-1)

f(v2) = (1,1,0). (3 12 − 5−4 3

) = (5,-4), f(v3) = (1,0,0).(3 12 − 5−4 3

) =

= (3,1)

148

Estas imágenes he de expresarlas en la base B’ de E’:

(1,-1) = a.(1,3) + b.(2,5) {1 = 𝑎 + 2𝑏−1 = 3𝑎 + 5𝑏

,

a = 1-2b, -1 = 3-6b + 5b, -4 = -b,

b = 4, a = -7

Por tanto: f(v1) = -7.w1 +4.w2 = (-7,4) en la nueva base B’

(5,-4) = a.(1,3)+b.(2,5) {5 = 𝑎 + 2𝑏−4 = 3𝑎 + 5𝑏

,

a = 5-2b, -4 = 15-6b + 5b, -19 = -b,

b = 19, a = -33

f(v2) = (-33, 19) en la nueva base

(3,1) = a.(1,3)+b.(2,5) -- {3 = 𝑎 + 2𝑏1 = 3𝑎 + 5𝑏

, a = 3-2b, 1 = 9-6b +

5b, -8 = -b, b = 8, a = -13

f(v3) = (-13,8) en la nueva base

Por tanto la matriz respecto de las nuevas bases es

A = (−7 4−33 19−13 8

)

3.- Tomo el vector v = (1,-1,2) expresado en la base B =

{v1=(1,1,1), v2=(1,1,0), v3=(1,0,0)} del punto 2. Obtenemos la


149

imagen f(v) expresado en la base B’ = {w1=(1,3),w2=(2,5)} de

E’ y en la base canónica de E’. Comprobar el resultado

obteniendo para f(v) mediante la definición de f.

Sol.: Tenemos la matriz A respecto de las nuevas bases B y B’

(obtenida en el ejemplo 2), obtengo f(v) aplicándola

(1,-1,2). (−7 4−33 19−13 8

) = (0,1), expresado en B’

En la base canónica de E’ será: 0.(1,3) +1.(2,5) = (2,5)

Las coordenadas de v = (1,-1,2) respecto de la base canónica

{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} de E son

v = 1.(1,1,1) -1.(1,1,0) +2.(1,0,0) = (2,0,1)

Su imagen f(v) aplicando la definición es

f(v) = (3.2+2.0-4.1, 2-5.0+3.1) = (2, 5)

(Comprobado)

4.- Sea el espacio vectorial M2 de las matrices de orden 2x2.

Definimos un endomorfismo

M2 --- M2 , f(M) = T.M, donde T = (1 − 1−2 2

)

a)Determina la matriz asociada a f en la base canónica del espacio

de matricas (M2,+,.).

b)Determinar su núcleo: Dimensión y una base

150

c)Determinar una base de Im(f)

Sol.:

Recordamos que una matriz de la forma M = (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) la

expresamos como vector así

M = (a,b,c,d)

a) La base canónica de M2 es la misma que la de R4.

Por definición de f tengo

f(e1) = (1 − 1−2 2

).(1 00 0

) = (1 0−2 0

),

f(e2) = (1 − 1−2 2

).(0 10 0

) = (0 10 − 2

)

f(e3) = (1 − 1−2 2

).(0 01 0

) = (−1 02 0

),

f(e4) = (1 − 1−2 2

).(0 00 1

) = (0 − 10 2

)

La matriz asociada a f es

A = (

1 0 − 1 00 1 0 − 1−2 0 2 00 − 2 0 2

)

b) Núcleo: (1 − 1−2 2

).(𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) = (0 00 0

) ->

{

0 = 𝑎 − 𝑐0 = 𝑏 − 𝑑

0 = −2𝑎 + 2𝑐0 = −2𝑏 + 2𝑑

, c = a, d = b


151

N = {(𝑎 𝑏𝑎 𝑏

); a, b ∈ 𝑅 }

Una base de N está formada por (1 01 0

) = (1,0,1,0), (0 10 1

) =

(0,1,0,1), por lo que dim(N) = 2

c) dim(Im(f)) = 4 -2 = 2, y una base está

formada por el máximo de las columnas f(ei) que sean l.i.

r(A) ≥ 2, y las dos primeras columnas son l.i.

|1 0 − 10 1 0−2 0 2

| = [2] –[2] = 0 ; |1 0 − 10 1 00 − 2 0

| =[0]–[0]= 0

y por tanto la tercera es c.l. de las dos primeras.

|1 0 00 1 − 1−2 0 0

| = [0] –[0] = 0; |1 0 00 1 − 10 − 2 2

| =[2]–[2]= 0

y por tanto la cuarta es c.l. de las dos primeras.

Una base de Im(f) es {(1 0−2 0

) , (0 10 − 2

)}

152

5.4.- Cambio de base: Efecto sobre la Matriz asociada

a una Aplicación lineal

Sea una aplicación lineal f: E --- > E’ , y su matriz asociada

A =

(

𝑎11 𝑎12 … . . 𝑎1𝑚𝑎21 𝑎22 … . 𝑎2𝑚𝑎31 𝑎32 … . 𝑎3𝑚

.

.


respecto de las bases

B = {e1,e2,…,en} de E, B’ = {u1,u2,…,um} de E’.

Recuerda:

Dadas las bases B = {e1,e2,…,en}, B’ = {u1,u2,…,um} en E’, la

matriz A respecto de estas bases está formada tomando como filas

las imágenes f(ei) expresadas en la base B’.

(y1, y2,…., ym) = (x1, x2,…., xn).

(

𝑎11 𝑎12 … . . 𝑎1𝑚𝑎21 𝑎22 … . 𝑎2𝑚𝑎31 𝑎32 … . 𝑎3𝑚

.

.


y = x.A

Sean dos bases en E:

B1 = B = {ei} , donde v = (x1,x2,…,xn)

B2 = {ei’}, donde v = (x1’, x2’,…, xn’)


153

Hacemos un cambio de base de B1 a B2

Sea la Matriz del cambio de coordenadas P1, tal que

ei = ei’.P1, (la antigua base en función de la nueva)

y entonces

(xi) = (xi’).P1

(antiguas coordenadas en función de las nuevas)

Recuerda:

Las filas de P1 son las coordenadas de los vectores ei’ expresados

en la base B1.

Recordamos:

En un cambio de base en un espacio vectorial, su efecto sobre las

coordenadas funciona así

(x1, x2, x3) = (x1’, x2’, x3’).(𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

)

donde las filas representan lo dicho anteriormente.

Por otro lado, sean dos bases en E’:

B1’ = B’ = {uj}, donde w = (y1,y2,…,ym);

B2’ = {uj’}, donde w’ = (y1’, y2’,…, ym’)

Matriz del cambio de base en E’, P2:

uj = uj’.P2,

(yj) = (yj’).P2

154

Entonces, siendo w = f(v) en el par de bases B1, B1’, y w’ =

f(v’) en el par de bases B2, B2’, tenemos

(yj ) = (xi ). A --- > (yj’ ).P2 = (xi’). P1 . A , de donde

(yj’ ) = (xi’ ).P1.A.P2-1

, y la nueva matriz es

A’ = P1.A.P2-1

Diremos que las matrices A y A’ son ‘equivalentes’, la imagen

w del vector v es la misma, sólo cambia su expresión en

coordenadas.

Caso de un Endomorfismo f: E --- > E

Si E’ = E, con lo cual f es un endomorfismo, entonces P2 = P1, y

tenemos

A’ = P.A.P-1

En este caso, diremos que A y A’ son ‘semejantes’.

El caso concreto de f: E3 --- > E3

Sea el cambio de base de B1= {ei} a B2 = {uj}, dado por la

matriz

P = (

𝑝11 𝑝12 𝑝13𝑝21 𝑝22 𝑝23𝑝31 𝑝32 𝑝33

) ,

ei = pi1.u1 + pi2.u2 + pi3.u3


155

(x1, x2, x3) = (y1, y2, y3). (

𝑝11 𝑝12 𝑝13𝑝21 𝑝22 𝑝23𝑝31 𝑝32 𝑝33

)

Si A es la matriz de f respecto de B1, y A’ la nueva matriz

respecto de B2, están relacionadas por la igualdad

A’ = P.A.P-1

y equivalentemente: A = P-1

.A’.P

Lo confirmaremos mediante alguno de los siguientes ejemplos.

Ejemplos:

1.- Sea f: R3 --- > R

2, f(x1,x2,x3) = (3x1+2x2-4x3, x1-5x2+3x3),

estudiada en el ejemplo 1.

En las base canónicas obtuvimos

A1 = (3 12 − 5−4 3

)

y en las nuevas bases

B = {v1= (1,1,1), v2 = (1,1,0), v3 = (1,0,0)},

B’ = {w1 = (1,3), w2 = (2,5)}, obtuvimos

A2 = (−7 4−33 19−13 8

)

156

Deseamos comprobar la aplicación de la fórmula

A2 = P1.A1.P2-1

Obtengo las matrices del cambio de base P1 y P2

Un cambio de base en E es en realidad un endomorfismo

h: E --- > E en el cual la imagen de la base {ei} es la base {ei’}:

ei’ = h(ei), (xi’) = (xi).P1,

Las filas de P1 son las coordenadas de ei’ expresados en {ei}, por

tanto, en nuestro caso

P1 =(1 1 11 1 01 0 0

), y análogamente en E’, P2 =(1 32 5

)

Inversa de P2: det(P2) = -1, P2’ = (1 23 5

), Adj(P2’) =

(5 − 3−2 1

) , inversa P2-1

= (−5 32 − 1

)

Hago P1.A1 = (1 1 11 1 01 0 0

) . (3 12 − 5−4 3

) = (1 − 15 − 43 1

)

(P1.A1).P2-1

= (1 − 15 − 43 1

) . (−5 32 − 1

) = (−7 4−33 19−13 8

)

Vemos que coinciden.


157

2.- Tomo el endomorfismo f: R3 --- > R

3 definido por

f(x,y,z) = (2x-y, 3y-z, z-2x)

Si no se indica otra cosa los vectores dados están referidos a la

base canónica.

a) Obtener su matriz (respecto la base canónica)

b) Obtener su matriz respecto de la base B1= {v1(1,1,0),

v2(1,0,1), v3(0,1,1)}

c) Realizo el cambio de base de B1 a B2 = {w1(1,0,1),

w2(2,-1,0), w3(0,-1,3)}

Obtener la matriz de f respecto de la base B2 por dos

procedimientos distintos:

-Directamente,

-Por la fórmula de cambio de base

Sol.: Resuélvalo el alumno.

------------------

NOTA:

En el volumen 12 estudiamos Temas muy importantes

relacionados con los Endomorfismos, como son:

Valores propios y vectores propios

Diagonalización de una matriz

etc. , etc. , …

$$$oOo$$$


159

Tema 6

Espacios Afines

Espacio Euclídeo ordinario


161

6.1.- Espacio Afín

Pretendo presentar una introducción a este tipo de Espacios

estudiando dos casos concretos, uno sobre R2 y el otro sobre R

3.

Def.:

Sea una aplicación f: R2xR

2 --- > V2 ,

(A, B) -- > v = AB, vector

donde V2 es el espacio vectorial de los vectores libres sobre el

plano R2.

Observa que A y B son puntos del plano:

A(a1, a2), B(b1, b2)

Supongamos que f cumple estas Propiedades:

a) Para cada punto A, y cada vector v, existe el punto B tal

que v = AB = f(A, B)

b) f(A, B) = 0, si y sólo si B = A

c) Para toda terna A, B, C, si AC = AB + BC, entonces f(A,

C) = f(A, B) + f(B, C)

Entonces decimos que (R2, f) es una estructura de Espacio Afín

asociado al espacio vectorial V2, de dimensión igual a la de V2.

Lo designaremos por E2.

Consecuencia de a): B = A + v

Análogamente en el caso de R3 tenemos

f: R3xR

3 --- > V3

162

(A, B) -- > v = f(A, B), vector

donde V3 es el espacio vectorial de los vectores libres en R3.

Evidentemente cumplen las propiedades anteriores, y tenemos

una estructura (R3, f) de Espacio afín asociado a V3, de dim = 3, y

que designaremos por E3.

En lo que sigue tomaremos el espacio afín E3 para introducir

nuevos conceptos, su generalización es evidente.

6.2.- Sistema de referencia

6.2.1.- En el Plano

Defi.: Un sistema de referencia en E2 es un conjunto S = (O; B =

{e1,e2}) donde O es un punto que hemos fijado en R2 y B =

{e1,e2} es una base de V2.

Respecto de este sistema de referencia

-Los vectores de V2: v = x1.e1+x2.e2, v = (x1, x2)

-Para los puntos: X = O + OX = (0, 0) + (x1, x2)


163

B = A + v -- > (b1,b2) = (a1, a2) + (x1,x2)

Vectorialmente: OB = OA + v

Cambio de Sistema de referencia en el Plano:

Cambio de sistema de referencia viene a ser un cambio de base y

además un posible nuevo origen.

Si deseamos cambiar del sistema S = (O; B = {e1, e2}) al sistema

S’ = (O’; B’ = {v1, v2}) necesitamos expresar los vectores vi de

la nueva base B’ en función de los vectores de B (ó al revés), y

además disponer como dato las coordenadas del punto O’

respecto del sistema S, ó, lo que es equivalente, la expresión del

vector OO’ en la base B:

Sean

OO’ = b1.e1 + b2.e2

{𝑣1 = 𝑎11. 𝑒1 + 𝑎12. 𝑒2𝑣2 = 𝑎21. 𝑒1 + 𝑎22. 𝑒2

(1)

Tengo la matriz A = (𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

)

164

Para un punto P(x1, x2) cualquiera referido al sistema de

referencia S, tenemos

OP = x1.e1 + x2.e2, y también

OP = OO’ + O’P , esto es

x1.e1 + x2.e2 = (b1.e1 + b2.e2) + y1.v1 + y2.v2 ,

x1.e1+x2.e2 = (b1.e1 + b2.e2) + y1.( 𝑎11. 𝑒1 + 𝑎12. 𝑒2) +

+ y2.( 𝑎21. 𝑒1 + 𝑎22. 𝑒2) , y por tanto

{𝑥1 = y1. a11 + y2. a21𝑥2 = y1. a12 + y2. a22

Matricialmente

(x1, x2) = (b1, b2) + (y1, y2).(𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

)

o bien

(x1, x2, 1) = (y1, y2, 1). (𝑎11 𝑎12 0𝑎21 𝑎22 0𝑏1 𝑏2 1

)

(Antiguas en función de las nuevas coordenadas)


165

Las filas de la matriz A son las coordenadas de los vectores de la

nueva base, vj, respecto de la primera.

Decimos que A = (𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

) es la matriz de cambio de base

de la base B = {e1,e2} a la nueva B’ = {v1,v2}.

Si deseamos obtener las nuevas coordenadas (yj) en función de

las antiguas (xi), basta obtener la matriz inversa A-1

y, teniendo

en cuenta que

(x1-b1, x2-b2) = (y1, y2).A ,

tengo

(y1, y2) = (x1- b1, x2- b2).A-1

También, si llamo M = (𝑎11 𝑎12 0𝑎21 𝑎22 0𝑏1 𝑏2 1

)

tengo (y1, y2, 1) = (x1, x2, 1).M-1

NOTA: En la práctica se suele utilizar la siguiente

notación: P(x, y) en el sistema de referencia S, P(x’, y’) en el

sistema de referencia S’:

(x, y) = (b1, b2) + (x’, y’).(𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

)


166

Ejemplo: En el plano

Sea el sistema de referencia S: <O; {e1, e2}>, y el nuevo sistema

de referencia S’ = <O’; {v1, v2}>, siendo

{𝑣1 = 3. 𝑒1 + 2. 𝑒2𝑣2 = 𝑒1 − 3. 𝑒2

, OO’ = e1 + e2

Sol.: M = (3 2 01 − 3 01 1 1

)

(x1,x2,1) = (y1,y2,1).M

Si Q(-1, 2) en el s.r. S’, para el s.r. S tenemos:

(-1,2,1). (3 2 01 − 3 01 1 1

) , de donde

{𝑥1 = 0𝑥2 = −71 = 1

-> Q(0, -7) en el s.r. S.

Una comprobación:

(y1,y2,1) = (x1,x2,1).𝑀−1

Det(M) = -11, M-1

= −1

11. (−3 − 2 0−1 3 04 − 1 − 11

)

El alumno comprobará que M.M-1

= I

Entonces


167

(y1,y2,1) = −1

11 . (0,-7,1). (

−3 − 2 0−1 3 0 4 − 1 − 11

)

de donde

−1

11. (11, −22,−11) = (−1, 2, 1)

que es lo que esperábamos.

Exactamente igual procederíamos en el caso de un cambio de s.

de referencia en el Espacio.

6.2.2.- En el Espacio: Cambio de sistema de referencia

Defi.: Sistema de referencia en E3 es un conjunto S = (O; {e1,e2,e3})

donde O es un punto que hemos fijado en R3 y B = {e1,e2,e3} es

una base de V3.

Respecto de este sistema de referencia

-Los vectores de V3: v = x1.e1 + x2.e2 + x3.e3

v = (x1,x2,x3)

-Los puntos: X = O + OX = (0,0,0) + (x1, x2, x3)

168

B = A + v --- > (b1,b2,b3) = (a1,a2,a3) + (x1, x2, x3)

Vectorialmente: OB = OA + v

Cambio de Sistema de referencia en el Espacio:

Cambio de sistema de referencia viene a ser un cambio de base y

además un nuevo origen.

Si del sistema S = (O; B = {e1,e2,e3}) deseamos cambiar al

sistema S’ = (O’; B’= {v1,v2,v3}) necesitamos expresar los

vectores vi de la nueva base respecto de la primera (ó al revés), y,

además las coordenadas del punto O’ respecto del sistema S, ó lo

que es equivalente la expresión del vector OO’ en la primer base:

OO’ = b1.e1 + b2.e2 + b3.e3

Sea

{𝑣1 = 𝑎11. 𝑒1 + 𝑎12. 𝑒2 + 𝑎13. 𝑒3𝑣2 = 𝑎21. 𝑒1 + 𝑎22. 𝑒2 + 𝑎23. 𝑒3𝑣3 = 𝑎31. 𝑒1 + 𝑎32. 𝑒2 + 𝑎33. 𝑒3

(1)


169

Para un punto P(x1, x2, x3) cualquiera referido al sistema de

referencia S, tenemos

OP = x1.e1 + x2.e2 + x3.e3, y también

OP = OO’ + O’P , y en coordenadas tengo

x1.e1 + x2.e2 + x3.e3 = (b1.e1 + b2.e2 + b3.e3) +

+ y1.v1 + y2.v2 + y3.v3 ,

x1.e1+x2.e2+x3.e3 = (b1.e1+b2.e2+b3.e3) +

+ y1.( 𝑎11. 𝑒1 + 𝑎12. 𝑒2 + 𝑎13. 𝑒3) +

+ y2.( 𝑎21. 𝑒1 + 𝑎22. 𝑒2 + 𝑎23. 𝑒3) +

+ y3.( 𝑎31. 𝑒1 + 𝑎32. 𝑒2 + 𝑎33. 𝑒3) ,

x1.e1 + x2.e2 + x3.e3 = (b1.e1+b2.e2+b3.e3) +

+ (y1.a11 + y2.a21 + y3.a31).e1 +

+ (y1.a12 + y2.a22 + y3.a32).e2 +

+ (y1.a13 + y2.a23 + y3.a33).e3

y por tanto

170

{

𝑥1 = y1. a11 + y2. a21 + y3. a31 + b1𝑥2 = y1. a12 + y2. a22 + y3. a32 + b2𝑥3 = y1. a13 + y2. a23 + y3. a33 + b3

Matricialmente

(x1, x2, x3) = (y1, y2, y3).(𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

) + (b1, b2, b3)


Las filas de la matriz A son las coordenadas de los vectores de la

nueva base, vj, respecto de la primera.

Decimos que A = (𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

) es la matriz del cambio

de la base B = {e1,e2,e3} a la nueva B’ = {v1,v2,v3}.

Si deseamos obtener las nuevas coordenadas (yj) en función de

las antiguas (xi), basta obtener la matriz inversa A-1

y, teniendo en

cuenta que

(x1-b1, x2-b2, x3-b3) = (y1, y2, y3).A , tengo

(y1,y2,y3) = (x1-b1, x2-b2, x3-b3).A-1

También podemos expresarlo así

(x1,x2,x3, 1) = (y1,y2,y3, 1).(

𝑎11 𝑎12 𝑎13 0𝑎21 𝑎22 𝑎23 0𝑎31 𝑎32 𝑎33 0𝑏1 𝑏2 𝑏3 1

)


171

y, si M = (

𝑎11 𝑎12 𝑎13 0𝑎21 𝑎22 𝑎23 0𝑎31 𝑎32 𝑎33 0𝑏1 𝑏2 𝑏3 1

)

(y1,y2,y3,1) = (x1,x2,x3,1).M-1

NOTA: En la práctica se suele utilizar la siguiente notación:

P(x, y, z) en el sistema de referencia S, P(x’, y’, z’) en el sistema

de referencia S’, y entonces

(x, y, z) =(x’, y’, z’).(𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

) + (b1, b2, b3)

(las antiguas en función de las nuevas coordenadas)

Ejemplo: Sean los sistemas de referencia S = (O; B = {e1,e2,e3}) donde B

es la base canónica y por tanto es ortonormal, y S’ = (O; B’ =

{v1,v2,v3}) donde B’ viene determinada por

{𝑣1 = 𝑒1 + 𝑒2 − 𝑒3 𝑣2 = 𝑒1 + 𝑒3 𝑣3 = 𝑒1 − 2𝑒2 − 𝑒3

Observa que el origen de cada s.r. no se modifica.

La base B’ es ortogonal pero no ortonormal:

v1*v2 = (1,1,-1).(1,0,1) = …. = 0

v1*v3 = (1,1,-1).(1,-2,-1) = …. = 0

v2*v3 = (1,0,1).(1,-2,-1) = …. = 0

172

Matriz del cambio de base

A = (1 1 − 11 0 11 − 2 − 1

)

Entonces (x,y,z) = (x’,y’,z’). (1 1 − 11 0 11 − 2 − 1

)

Supongamos que P(2, 3, 3) respecto de S.

Deseo obtener los valores (x’,y’,z’) respecto de S’.

Tengo dos caminos para obtener (x’,y’,z’):

Primero:

Resolviendo: {2 = 𝑥′ + 𝑦′ + 𝑧′

3 = 𝑥′ − 2𝑧′ 3 = −𝑥′ + 𝑦′ − 𝑧′

Sumando 1ª y 3ª : {

5 = 2𝑦′

3 = 𝑥′ − 2𝑧3 = −𝑥′ + 𝑦′ − 𝑧′

->

y’= 5/2 -> {𝑥′ = 3 + 2𝑧′

3 = −(3 + 2𝑧′) +5

2− 𝑧′

-> 6-5/2 = -3z’,

z’ = -7/6, x’ = 3 -14/6, x’ = 4/6

(x’, y’, z’) = (0,6667; 2,5; -1,1667)

Segundo: Obteniendo la inversa de A:


173

Obtengo la inversa A-1

: /A/=[0+1+2]-[0-1-2]=6

At = (

1 1 11 0 − 2−1 1 − 1

), Adj(At) = (

2 3 12 0 − 2−2 3 − 1

)

A-1

=

(

2

6

3

6

1

6

2

6 0 −

2

6

−2

6

3

6 −

1

6)

,

(x’,y’,z’) = (2,3,3).

(

2

6

3

6

1

6

2

6 0 −

2

6

−2

6

3

6 −

1

6)

=

= (4/6, 15/6, -7/6) = (0,6667; 2,5 ; -1,1667)

que coincide con el resultado anterior.

$$$oOo$$$


175

Tema 7

Espacio Métrico asociado a un Espacio vectorial

Espacio Euclídeo asociado a R2 y a R

3


177

7.1.- Espacio vectorial normado

Sea (Vn , +, .R) un espacio vectorial real.

Podemos definir una aplicación de Vn en R del siguiente modo:

fN: Vn -------- > R+

v -------- > || v || , valor real

Def.: Diremos que una aplicación como la anterior es una

Norma sobre Vn, , y que (Vn , fN) es un espacio

normado si cumple las siguiente condiciones (axiomas):

a) || v || ≥ 0, y solo es 0 si v = 0

b) || v + w || ≤ || v || + || w ||

c) || k.v || = /k/ . || v ||

Ejemplos:

Tomando una base B = {e1, e2, …, en} de Vn , y un vector

cualquiera v = x1.e1 + x2.e2 + … + xn, tres casos de normas

sobre Vn son las siguiente:

a) fN(v) = √𝑥12 + 𝑥22 +⋯+ 𝑥𝑛2 , llamada ‘norma

Euclídea)

b) fN(v) = |x1| + |x2| + … +|xn| , donde |xi| es el valor

absoluto.

c) fN(v) = máx{|x1| + |x2| + … + |xn|}

Comprobación: Caso a)

fN(v) > 0, si v≠ 0, fN(v) = 0 si v = 0, evidentemente.

v + w = (x1+y1).e1 + (x2+y2).e2 + … + (xn+yn).en

178

Sea el valor k = fN(v + w) =

√(𝑥1 + 𝑦1)2 + (𝑥2 + 𝑦2)2 +⋯+ (𝑥𝑛 + 𝑦𝑛)2 , y los valores

k1 = √𝑥12 + 𝑥22 +⋯+ 𝑥𝑛2 ,

k2 = √𝑦12 + 𝑦22 +⋯+ 𝑦𝑛2

Suponiendo que sí se cumple: k ≤ k1 + k2 -- >

elevando al cuadrado

k2 = 𝑥12 + 𝑥22 +⋯+ 𝑥𝑛2 + 𝑦12 + 𝑦22 +⋯+ 𝑦𝑛2 +

+ 2.(x1.y1 + x2.y2 + … + xn.yn) ≤

≤ (𝑥12 + 𝑥22 +⋯+ 𝑥𝑛2) + (𝑦12 + 𝑦22 +⋯+ 𝑦𝑛2) +

+ 2. √𝑥12 + 𝑥22 +⋯+ 𝑥𝑛2 . √𝑦12 + 𝑦22 +⋯+ 𝑦𝑛2 -- >

(x1.y1 + x2.y2 + … + xn.yn) ≤

≤ √𝑥12 + 𝑥22 +⋯+ 𝑥𝑛2 . √𝑦12 + 𝑦22 +⋯+ 𝑦𝑛2

Si (x1.y1 + x2.y2 + … + xn.yn) es negativo se cumple,

evidentemente.

Si (x1.y1 + x2.y2 + … + xn.yn) es positivo,

elevando al cuadrado los dos miembros de la última

desigualdad, sigue cumpliéndose esta desigualdad y entonces:

(𝑥1. 𝑦1)2 + (𝑥2. 𝑦2)2 +⋯+ (𝑥𝑛. 𝑦𝑛)2 +

+ 2. [(𝑥1. 𝑦1). (𝑥2. 𝑦3) + (𝑥1. 𝑦1). (𝑥3. 𝑦3) + ⋯ ] ≤

≤ (𝑥12 + 𝑥22 +⋯+ 𝑥𝑛2) . (𝑦12 + 𝑦22 +⋯+ 𝑦𝑛2) -- >

(𝑥1. 𝑦1)2 + (𝑥2. 𝑦2)2 +⋯+ (𝑥𝑛. 𝑦𝑛)2 +


179

+ 2. [(𝑥1. 𝑦1). (𝑥2. 𝑦2) + (𝑥1. 𝑦1). (𝑥3. 𝑦3) +⋯ ] ≤

≤ (𝑥1. 𝑦1)2 + (𝑥1. 𝑦2)2 +⋯+ (𝑥1. 𝑦𝑛)2 + (𝑥2. 𝑦1)2 +⋯

… +(𝑥𝑛. 𝑦1)2 + (𝑥𝑛. 𝑦2)2 +⋯+ (𝑥𝑛. 𝑦𝑛)2

Al miembro derecha le resto el miembro izquierda y tengo

0 ≤ [(𝑥1. 𝑦2)2 + (𝑥1. 𝑦3)2 +⋯+ (𝑥2. 𝑦1)2 +⋯] –

-2.[(x1.y1).(x2.y2) + (x1.y1).(x3.y3) + … ] =

= (x1.y2 – x2.y1 + (x1.y3) – (x3.y1) + … )2 , que es siempre

mayor o igual que cero.

||k.v|| = √(𝑘. 𝑥1)2 + (𝑘. 𝑥2)2 +⋯+ (𝑘. 𝑥𝑛)2 =

= |k|. √𝑥12 +⋯+ 𝑥𝑛2 , evidentemente.

Caso b): || v || = |x1| + |x2| + … + |xn| ≥ 0 , evidente, y es = 0

cuando v = 0 y sólo entonces.

|| v + w || = |x1+y1| + |x2+y2| + … + |xn+yn| ≤

≤ |x1| + |x2| + … + |xn| + |y1| + |y2| + … + |yn| =

= ||v|| + ||w||

180

|| k.v || = |k.x1| + |k.x2| + … + |k.xn| = |k| .( |x1| + |x2| + … +

|xn|) = |k| . || v ||

Caso c): || v || = máx{|x1| + |x2| + … +|xn|} ≥ 0, evidentemente,

y será > 0 siempre v ≠ 0. Si fuese

máx{|x1| + |x2| + … +|xn|} = 0 serían cero cada |xi| , y

entonces v = 0.

|| v + w || = máx{|x1+y1| + |x2+y2| + … +|xn+yn|} ≤ (evidente)

≤ máx{|x1| + |x2| + … +|xn|} + máx{|y1| + |y2| + … …+|yn|}

Tener en cuenta que |x1+y1| ≤ |x1| + |y1| , ya que |xi| es el

valor absoluto en R.

Es evidente que || k.v || = máx{|kx1| + |kx2| + … + |k.xn|} =

= máx{|k|.|x1| + |k|.|x2| + … + |k|.|xn|} =

= |k| . máx{|x1|+ …+|xn|} = |k| . || v ||

--------------


181

7.2.- Norma hermítica en un Espacio vectorial sobre el

cuerpo de los complejos.

Si tomásemos la definición del caso a), para la segunda

condición tendríamos, para v = z1.e1 + z2.e2 (en el Espacio

vectorial de dimensión 2)

fN(v) = √𝑧12 + 𝑧22 , tomando, por ejemplo, z1 = 4 + i, z2 =

1- 4i, tendríamos

fN(v) = √(4 + 𝑖)2 + (1 − 4𝑖)2 =

= √(16 − 1 + 8𝑖) + (1 + (−16) − 8𝑖) = √0 = 0,

y sin embargo v = (4+i).e1 + (1-4i).e2 ≠ 0

Por lo tanto no cumple la segunda condición.

Para solucionarlo convenimos tomar la siguiente definición.

Def.:

Llamamos ‘norma hermítica’ definida en V2 = C2 , C cuerpo de

los complejos, con coeficientes complejos, al valor real

fN(v) = √𝑧1. 𝑧1′ + 𝑧2 . 𝑧2′ , donde zi’ es el

conjugado de zi .

Sabemos que (a+bi).(a-bi) = a2 + b

2 = distancia d(P,Q) = |z1| y

lo mismo para la segunda coordenada (en C complejos) z2.

(figura)

182

7.3.- Introducción al concepto general de Espacio Euclídeo

En lo que sigue, salvo se diga otra cosa, tomamos la norma

llamada euclídea: || v || = √𝑥12 + 𝑥22 +⋯+ 𝑥𝑛2 , y

consideramos que n = 3 con el fin de poder concretar más.

Producto escalar de dos vectores:

Def.:

Dados dos vectores v, w de V3, definimos un producto v.w que

llamamos ‘producto escalar’ de dos vectores, asociándole el

valor real

v.w = ||v||.||w||.cos(g), donde g es el ángulo formado por

v y w (figura)

fig. 1


183

No debemos confundirlo con el concepto de Norma. Veremos

propiedades que se cumplen.

Propiedades:

a) v.v = ||v||.||v||.cos(0) = ||v||2 ≥ 0, siendo cero sólo si

v = 0.

b) v.w = ||v||.||w||.cos(g) = ||w||.||v||.cos(g) = w.v , por lo

tanto es conmutativo.

c) Si k > 0, (k.v).w = ||k.v||.||w||.cos(g) =

= |k|.(||v||.||w||).cos(g) = k.(v.w)

Si k < 0, (k.v).w = ||k.v||.||w||.cos(180-g) =

= |k|.(||v||.||w||).(-cos(g)) = -k.(||v||.||w||).(-cos(g)) =

= k.(||v||.||w||).cos(g) = k.(v.w)

Por lo tanto, cualquiera que sea k, (k.v).w = k.(v.w),

que es la propiedad homotética.

fig. 2

Para la siguiente observa la suma w1 + w2 en la figura

184

d) v.(w1 + w2) = ||v||.||w1 + w2||.cos(g) =

= proy((w1+w2)/v) = proy(w1/v) + proy(w2/v) =

= v.w1 + v.w2, que es la propiedad distributive.

e) Consecuencia de c) y d) es la siguiente:

Para todo par de vectores v, w1, w2 , y todo par de

escalares k, h, se cumple

v.(k.w1 + h.w2) = k.(v.w1) + h.(v.w2)

Expresión matricial respecto de una base de vectores:

Sea una base de V3, B = {e1, e2, e3}, y sean los vectores y su

expresión en esta base

v = x1.e1 + x2.e2 + x3.e3,

w = y1.e1 + y2.e2 + y3.e3

Entonces

v.w = (x1.y1).(e1.e1) + (x1.y2).(e1.e2) + (x1.y3).(e1.e3) +

+ (x2.y1).(e2.e1) + …+ (x3.y1).(e3.e1) + …

+ (x3.y3).(e3.e3)


185

No es difícil comprobar que este resultado podemos expresarlo

matricialmente así

v.w = (x1 x2 x3).(𝑒1. 𝑒1 𝑒1. 𝑒2 𝑒1. 𝑒3𝑒2. 𝑒1 𝑒2. 𝑒2 𝑒2. 𝑒3𝑒3. 𝑒1 𝑒3. 𝑒2 𝑒3. 𝑒3

).(

𝑦1𝑦2𝑦3)

(1)

Abreviadamente v.w = X.M.Yt

Base ortogonal:

Se puede demostrar que en V3 existen bases que llamamos

‘ortogonales’ porque cumplen que

ei . ej = 0 , cuando i ≠ j

Entonces la matriz M = ( 𝑒1. 𝑒1 0 00 𝑒2. 𝑒2 0 0 0 𝑒3. 𝑒3

)

186

Base normada:

También puede ocurrir que la base B ser normada y no sea

ortognal:

|| ei || = 1, {

𝑔1 = 𝑎𝑛𝑔(𝑒1, 𝑒2)

𝑔2 = 𝑎𝑛𝑔(𝑒2, 𝑒3)

𝑔3 = 𝑎𝑛𝑔(𝑒1, 𝑒3)

Entonces: e1.e2 = cos(g1) , e1.e3 = cos(g3), e2.e3 = cos(g2)

y la matriz queda así

M = (

1 cos (𝑔1) cos (𝑔3) cos (𝑔1) 1 cos (𝑔2)

cos(𝑔3) cos(𝑔2) 1 )

Base ortonormal:

Si la base B es además ortonormal, es decir

ei . ej = { 1 , 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗 0 , 𝑠𝑖 𝑖 ≠ j

la matriz M toma la forma M = ( 1 0 00 1 0 0 0 1

)


187

Entonces v.w = x1.y1 + x2.y2 + x3.y3 , en base ortonormal.

(2)

En la práctica la base anterior de representa por B = {i, j, k}

En este recorrido no olvidemos que el punto de partida es la

elección de una norma definida en V3. Hemos tomado la llamada

‘norma euclídea’ : || v || = √𝑥12 + 𝑥22 + 𝑥32 , pero podríamos

haber tomado otra, y lo dicho hasta aquí sigue siendo válido.

7.4.- Espacio Euclídeo ordinario

Def.:

Llamaremos Espacio Euclídeo al espacio vectorial Vn dotado de

una norma fN y de un producto escalar v.w asociado a esta

norma fN.

NOTA: Es necesario aclara lo siguiente.

En el producto escalar v.w = || v ||.|| w ||.cos(g) intervienen

la norma || ||, es decir la fN elegida, y el ángulo g. El ángulo g

comprendido entre los dos vectores v, w, hasta este momento,

sólo es posible obtener su valor si los representamos sobre un

188

plano y utilizamos el ‘medidor’ o ‘trasportador’ de ángulos

(Escala obtenida sobre el círculo al dividirlo en 360 partes

iguales). Podemos interiorizar una imagen de esta situación

gracias a que, habitualmente, pensamos ‘sobre’ un plano

coordenado (en realidad euclidiano).

-----------

Más adelante definiremos el concepto de ‘ángulo’ para una norma

cualquiera.

En este espacio euclídeo E3 concreto que acabamos de construir,

el valor v.w del producto escalar no depende de la base B

tomada, ya que en la definición v.w = |v|.|w|. cos(g) el módulo

y el ángulo no dependen de la base.

7.5.- En general: Espacio Euclídeo

Sea Vn un Espacio vectorial sobre el cuerpo R de los números

reales.

Def.:

Llamamos producto escalar definido en Vn a toda aplicación

fe : Vn x Vn ------------- > R

(v, w) ----------- > fe(v, w), designado v*w

que cumpla los siguientes axiomas:

a) v*v ≥ 0, siendo v*v = 0 sólo si v = 0

b) v*w = w*v , conmutatividad

c) (k.v)*w = k.(v*w) , homotética

d) v*(w1 + w2) = v*w1 + v*w2, distributiva


189

Consecuencias: v*(k.w1 + h.w2) = k.(v*w1) + h.(v*w2)

v*0 = 0, ya que v*w = v*(w + 0) = v*w + v*0

Def.:

Llamamos Espacio Euclídeo al espacio vectorial Vn dotado de

un producto escalar. Lo designaremos por En .

Expresión del producto escalar en una base:

Con el fin de que el razonamiento resulte más inteligible al

alcance del Alumno lo hacemos sobre V3 de dimensión 3.

Como vimos en el punto anterior, en V3, si B = {e1, e2, e3} es

una base y tengo v, w expresados en esta base

v = x1.e1 + x2.e2 + x3.e3, w = y1.e1 + y2.e2 + y3.e3

Entonces

v*w = (x1 x2 x3).(𝑒1 ∗ 𝑒1 𝑒1 ∗ 𝑒2 𝑒1 ∗ 𝑒3𝑒 ∗ 𝑒1 𝑒2 ∗ 𝑒2 𝑒2 ∗ 𝑒3𝑒3 ∗ 𝑒1 𝑒3 ∗ 𝑒2 𝑒3 ∗ 𝑒3

).(

𝑦1𝑦2𝑦3)

(1)

Abreviadamente v*w = X.M.Yt

Ortogonalidad:

Decimos que los vectores v, w son ‘ortogonales’ si v*w = 0

Norma de v en un Espacio euclídeo:

Definimos ‘norma’ de v mediante la igualdad

190

|| v || = √𝑣 ∗ 𝑣

Seminorma de v:

Llamamos ‘seminorma’ de v al valor || v ||2 = v*v

Algunas propiedades que relacionan el producto * y la

norma:

1) | v*w | ≤ || v ||.|| w || (Desigualdad de Schwartz)

Dem.: (k.v + w)*(k.v + w) ≥ 0 -- >

k2.(v*v) + w*w + 2.k.(v*w) ≥ 0

Llamando a = v*v, b = v*w, c = w*w, tengo:

a.k2 + 2b.k + c ≥ 0

cualquiera que sea el valor de k. Esto significa que la gráfica de

f(x) = a.x2 + 2b.x + c no corta al eje ox , y por tanto que la

ecuación

a.x2 + 2b.x + c = 0 no admite solución real.

Entonces su discriminante 4.b2 – 4.a.c < 0, de donde

b2 – a.c < 0, de donde b

2 < a.c , es decir

(v*w)2 < (v*v).(w*w), de donde |v*w| < √𝑣 ∗ 𝑣 . √𝑤 ∗ 𝑤 ,

esto es

| v*w | ≤ || v ||.|| w ||

2) || v + w || ≤ || v || + || w || (Desigualdad triangular)


191

Dem.: || v + w ||2 = (v + w)*(v + w) = v*v + 2.(v*w) + w*w =

= || v ||2 + || w ||

2 + 2.(v*w) ≤ || v ||

2 + || w ||

2 + 2.|| v ||.|| w || =

= (|| v || + || w ||)2 , y por tanto, || v + w ||

2 ≤ (|| v || + || w ||)

2 ,

de donde || v + w || ≤ || v || + || w ||

3) || v – w || ≥ || v || - || w || Desigualdad de la resta

Dem.: Tomo v = v – w + w ; tengo || v || = || (v – w) + w || ≤

≤ || v - w|| + || w || , de donde || v || - || w || ≤ || v – w ||

7.6.- Concepto de ángulo en un Espacio Euclídeo cualquiera:

La Desigualdad de Schwartz | v*w | ≤ || v ||.|| w || nos permite

expresar

-|| v ||.|| w || ≤ v*w ≤ || v ||.|| w || , y dividiendo por

|| v ||.|| w || resulta -1 ≤ 𝑣∗𝑤

||𝑣||.||𝑤|| ≤ 1

Vemos que cuando el par de vectores v, w recorre el espacio

vectorial Vn, el recorrido de los valores los valores 𝑣∗𝑤

||𝑣||.||𝑤|| es el

mismo que el del seno y coseno definidos geométricamente ya

conocidos. Además, cuando w = v, entonces v*w = v*v = ||v||2

192

, y el valor del cociente es 1, como corresponde al cos(0),

siendo 0 el ángulo formado por v, v.

Esto nos induce a dar la siguiente definición de ángulo en el caso

de un Espacio euclídeo cualquiera.

Def.:

Hacemos cos(g) = 𝑣∗𝑤

||𝑣||.||𝑤|| , de donde g = arcCos(

𝑣∗𝑤

||𝑣||.||𝑤|| ) ,

para dos vectores v, w cualesquiera.

7.7.- Ortogonalidad y normalización.

Volvemos a los conceptos de vectores ortogonales, vector normal.

Se trata de repetir:

v, w son ortogonales si v*w = 0.

v es normal si v*v = 1

La base B = {e1, e2, … , en} es ortogonal si

ei*ej = 0 siempre que i ≠ j

La base B = {e1, e2, … , en} es ortonormal si

ei*ej = 0 siempre que i ≠ j

ei * ei = 1 , para todo i

Expresión matricial del producto escalar:

Se trata de repetir lo dicho en otro lugar ya tratado

v*w = (x1 x2 x3).(𝑒1 ∗ 𝑒1 𝑒1 ∗ 𝑒2 𝑒1 ∗ 𝑒3𝑒 ∗ 𝑒1 𝑒2 ∗ 𝑒2 𝑒2 ∗ 𝑒3𝑒3 ∗ 𝑒1 𝑒3 ∗ 𝑒2 𝑒3 ∗ 𝑒3

).(

𝑦1𝑦2𝑦3)

y si la base es ortogonal


193

M = ( 𝑒1. 𝑒1 0 00 𝑒2. 𝑒2 0 0 0 𝑒3. 𝑒3

), y si es ortonormal

M = ( 1 0 00 1 0 0 0 1

)

NOTA:

Observa que si las matrices P y Q son ortogonales también

lo es P.Q. En efecto, tengo (P.Q).(P.Q)t = (P.Q).(Q

t.P

t) =

(por la asociativa) = P.(Q.Qt).P

t = P.I.P

t = P.P

t = I

$$$oOo$$$


195

TEMA 8

Transformaciones geométricas en el plano


197

8.0.- Transformaciones geométricas. Conceptos básicos

Conceptos básicos.

Defi.:

Transformación geométrica en el plano es una ‘Aplicación

biyectiva’ del plano en sí mismo:

T: R2 -- > R

2

P --- > P’ = T(P)

Ecuaciones de la transformación:

Tratamos sólo aquellas transformaciones ‘lineales’, lo cual

significa que sus ecuaciones toman la forma

{𝑥′ = 𝑎11. 𝑥 + 𝑎12. 𝑦 + 𝑏1

𝑦′ = 𝑎21. 𝑥 + 𝑎22. 𝑦 + 𝑏2

En forma matricial (convenio vector–columna)

(𝑥′

𝑦′) = (

𝑏1𝑏2) + (

𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

) . (𝑥𝑦)

Problema con la Orientación:

Una transformación puede o no conservar la orientación de los

ángulos. Esto obliga a distinguir entre

-Transformación ‘positiva’ si conserva la orientación de

los ángulos

-Transformación ‘negativa’ si cambia la orientación de

los ángulos.

198

Isometría:

De aquellas transformaciones que conservan las distancias

decimos que son ‘una Isometría’, y, en este caso, además de

conservar las distancias, se cumple que:

-Transforma ‘una recta’ en ‘otra recta’

-Si es positiva conserva el valor y la orientación de los

ángulos.

-Si es negativa, conserva el valor de los ángulos pero

cambia su orientación.

Puntos fijos:

Son aquellos que permanecen ‘fijos’ en la transformación.

Elementos fijos:

Son aquellas rectas, circunferencias, ..., etc. que resultan

transformados en sí mismos.

Elemento doble:

Es aquel que se transforma es sí mismo aunque sus puntos no

sean puntos fijos.

8.1.- Traslación en el Plano

Defi.:

Traslación de vector v es una transformación geométrica del

plano que a cada punto P le asocia el punto P’ tal que

OP’ = OP + v


199

Traslación de un punto:

Tengo un punto P(x,y) y un vector fijo v = (a,b) (vector de

traslación):

R2 -> R

2

P --> P’ = OP + v

(x’, y’) = (x, y) + (a, b) = (x+a, y+b)

Traslación de una región:

Para trasladar una región R trasladamos cada uno de sus puntos

de su perímetro. La traslación conserva las distancias y por tanto

el ‘tamaño’ de la región y su forma no varían. Si R está limitada

por segmentos (aristas), en cuyo caso tendrá sus vértices, es

suficiente trasladar estos vértices y unirlos mediante segmentos.

Tenemos así la trasladada. Si es curvilínea, el valor del radio no

varía por lo que trasladamos los puntos esenciales y trazamos los

segmentos y arcos correspondientes.

Matricialmente la traslación queda definida así:

(𝑥′

𝑦′) = (

𝑎𝑏) + (

1 00 1

) . (𝑥𝑦)

La expresaremos también en la forma

200

(1𝑥′

𝑦′) = (

1 0 0𝑎 1 0𝑏 0 1

) . (1𝑥𝑦) (1)

Evidentemente es una isometría y conserva la orientación.

No tiene puntos fijos, transforma recta en recta, circunferencia en

circunferencia con el mismo radio, etc..

8.2.- Giro con Centro C(x0, y0)

Defi.:

Llamamos ‘Giro con centro en C y amplitud g a una

transformación geométrica del plano que a cada punto P le asocia

el punto P’ determinado por la siguientes condiciones:

- d(C, P’) = d(C, P)

- ang(PCP’) = g, (orientación positiva)


201

Vectorialmente tenemos

OP’ = OC + CP’

Tomando coordenadas polares tenemos

r = mod(CP) = d(C, P)

x - x0 = r.cos(t)

y - y0 = r.sen(t)

Para P’ tengo: x’- x0 = r.cos(t+g)

y’- y0 = r.sen(t+g)

Por trigonometría tenemos:

r.cos(t+g) = r.[cos(t).cos(g) – sen(t).sen(g)] = x.cos(g) – y.sen(g)

r.sen(t+g) = r.[sen(t).cos(g) + cos(t).sen(g)] = x.sen(g) + y.cos(g)

por tanto queda:

x’- x0 = (x-x0).cos(g) – (y-y0).sen(g)

y’- y0 = (x-x0).sen(g) + (y-y0).cos(g)

o bien

202

x’ = x0 + (x-x0).cos(g) – (y-y0).sen(g)

y’ = y0 + (x-x0).sen(g) + (y-y0).cos(g)

Matricialmente

(𝑥′

𝑦′) = (

𝑥0𝑦0) + (

𝑐𝑜𝑠(𝑔) − 𝑠𝑒𝑛(𝑔)

𝑠𝑒𝑛(𝑔) 𝑐𝑜𝑠(𝑔)).(𝑥 − 𝑥0𝑦 − 𝑦0

)

o bien

(1𝑥′

𝑦′) = (

1 0 0𝑥0 cos(𝑔) − 𝑠𝑒𝑛(𝑔)

𝑦0 𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos (𝑔)).(

1𝑥 − 𝑥0𝑦 − 𝑦0

)

Es una isometría y conserva la orientación de los ángulos.

-El único punto fijo es C

-Las rectas que pasan por C son elementos dobles

Represento los valores fijos

A = x0.(1- cos(g)) + y0.sen(g)

B = -x0.sen(g) + y0.(1- cos(g)

con lo cual

(1𝑥′

𝑦′) = (

1 0 0𝐴 cos(𝑔) − sen(g)

𝐵 sen(g) cos (𝑔)).(

1𝑥𝑦) (2)

Determinación de un giro:

Queda determinado en cualquiera de estas dos situaciones:


203

-Conocemos el centro C y la imagen P’ de un punto P. Porque

podemos obtener el ángulo que forman CP con CP’.

-Conocemos las imágenes P’, Q’ de dos puntos P, Q. Porque

el punto común de la recta determinada por P y Q, y la

determinada por P’ y Q’, es el centro C del giro.

8.3.- Simetría central (en el plano)

Defi.:

Fijado un punto C, llamamos ‘Simetría

central’ con centro C a la transformación que a cada punto P

asocia el punto P’ determinado por estas dos condiciones:

- Los puntos P, C y P’ están alineados (son colineales)

- ang(PCP’) = 180º (orientación positiva)

204

Es un caso particular de giro en el que g = 180º

Sabemos que para el giro g queda

(1𝑥′

𝑦′) = (

1 0 0𝐴 cos(𝑔) − sen(g)

𝐵 sen(g) cos (𝑔)).(

1𝑥𝑦)

donde A = x0.(1-cos(g)) + y0.sen(g)

B = -x0.sen(g) + y0.(1-cos(g)

Si g = 180º , queda A = 2.x0, B = 2.y0, y por tanto para la

simetría central

(1𝑥′

𝑦′) = (

1 0 02𝑥0 − 1 02𝑦0 0 − 1

).(1𝑥𝑦)

8.4.- Simetría axial

Defi.:

Fijada un recta s llamamos ‘Simetría axial’ de eje s a una

transformación geométrica del plano que a cada punto P le asocia

el punto P’ determinado por las siguientes condiciones:

- El punto P’ está en la recta r perpendicular a s que pasa por P, y

al otro lado de s.

- Las distancias de P y P’ a la recta s son iguales (en valor

absoluto)

- d(P’, s) = d(P, s)

Se resumen en una sola: Dado P, su imagen P’ es tal que s es la

mediatriz del segmento PP’.


205

Llegamos a la ecuación matricial

(1𝑥′

𝑦′) = (

1 0 0𝐴 cos ((2𝑔) 𝑠𝑒𝑛(2𝑔)

𝐵 𝑠𝑒𝑛(2𝑔) − cos (2𝑔)) . (

1𝑥𝑦)

NOTA: En el APÉNDICE 1 quedan incluidas Demostraciones y

Ejemplos concretos e interesantes de este Tema 5 dedicado a las

Transformaciones en el Plano.

8.5.- Movimiento en el Plano

Defi.:

Un Movimiento es la aplicación sucesiva de Traslación + Un

giro, o Giro + Traslación.

Será ‘movimiento directo’ si conserva la orientación de los

ángulos. También llamado ‘movimiento positivo’.

Será ‘movimiento inverso’ si conservando el valor de los ángulos

cambian su orientación. También llamado ‘movimiento negativo’.

Es una isometría, evidentemente.

206

Si la traslación viene definida por el vector v = (a, b), su imagen

es OP’ = (x+a, y+b).

Si el giro tiene centro en C(x0, y0), entonces la expresión general

de un movimiento, aplicado al punto P(x, y), es

OP’’ = OC + G(OP’-OC)

Matricialmente, Traslación + Giro

(𝑥′

𝑦′) = (

𝑥0𝑦0) + (

𝑐𝑜𝑠(𝑔) − 𝑠𝑒𝑛(𝑔)

𝑠𝑒𝑛(𝑔) 𝑐𝑜𝑠(𝑔)).(𝑥 + 𝑎 − 𝑥0𝑦 + 𝑏 − 𝑦0

)

o bien (1𝑥′

𝑦′) = (

1 0 0𝑥0 cos(𝑔) − 𝑠𝑒𝑛(𝑔)

𝑦0 𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos (𝑔)) . (

1𝑥 + 𝑎 − 𝑥0𝑦 + 𝑏 − 𝑦0

)

Llamando

A = x0 + (a-x0).cos(g) - (b-y0).sen(g)

B = y0 + (a-x0).sen(g) + (b-y0).cos(g)

(1𝑥′

𝑦′) = (

1 0 0𝐴 cos(𝑔) − 𝑠𝑒𝑛(𝑔)

𝐵 𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos (𝑔)) . (

1𝑥𝑦)


207

Si lo aplico a una figura en el plano, por ejemplo un triángulo,

tengo la siguiente figura:

Esta composición No es conmutativa:

La siguiente figura muestra Giro + Traslación

y la ecuación quedaría así

(1𝑥′

𝑦′) = (

1 0 0𝑥0 + 𝑎 cos(𝑔) − 𝑠𝑒𝑛(𝑔)

𝑦0 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos (𝑔)) . (

1𝑥 − 𝑥0𝑦 − 𝑦0

)

A = x0+a –x0.cos(g) + y0.sen(g)

B = y0+b –x0.sen(g) –y0.cos(g)

208

(1𝑥′

𝑦′) = (

1 0 0𝐴 cos(𝑔) − 𝑠𝑒𝑛(𝑔)

𝐵 𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos (𝑔)) . (

1𝑥𝑦)

8.6.- Homotecia en el plano

No se trata de ‘desplazarlo’ ni de ‘girarlo’ sino de modificar su

‘tamaño’ (sus medidas) y por tanto modifica su ‘superficie’ y/o su

‘volumen’. No es isometría.

La homotecia también exige un ‘punto central’ fijo, desde donde

actúa. Este será el ‘Centro de la homotecia’

Definición:

Fijados un punto C y un valor real k, llamamos homotecia a una

transformación geométrica que a cada punto P le asocia el punto

P’ tal que

CP’ = k.CP (vectores)

H: V2 -- > V2

OP -- > OP’

Vectorialmente:


209

OC + CP’ = OC + k.CP

(x0, y0)+(x’-x0, y’-y0) = (x0, y0) + k.(x-x0, y-y0), o bien

(x’, y’) = (x0, y0) + k.(x-x0, y-y0)

{𝑥′ = 𝑥0 + 𝑘. (𝑥 − 𝑥0)

𝑦′ = 𝑦0 + 𝑘. (𝑦 − 𝑦0)

(1𝑥′

𝑦′) = (

1 0 0𝑥0 𝑘 0𝑦0 0 𝑘

) . (1

𝑥 − 𝑥0𝑦 − 𝑦0

)

Hago A = x0.(1-k)

B = y0.(1-k)

(1𝑥′

𝑦′) = (

1 0 0𝐴 𝑘 0𝐵 0 𝑘

) . (1𝑥𝑦)

Efecto sobre una figura plana:

La Homotecia transforma siempre una figura en otra semejante.

$$$$oOo$$$$


211

TEMA 9

Transformaciones geométricas en el Espacio


213

9.0.-

Defi.: Conceptos básicos.

Transformación geométrica en el plano es una ‘Aplicación

biyectiva’ del plano en sí mismo:

T: R3 -- > R

3

P --- > P’ = T(P)

Ecuaciones de la transformación:

Tratamos sólo aquellas transformaciones ‘lineales’, lo cual

significa que sus ecuaciones toman la forma

{

𝑥′ = 𝑎11. 𝑥 + 𝑎12. 𝑦 + 𝑎13. 𝑧 + 𝑏1

𝑦′ = 𝑎21. 𝑥 + 𝑎22. 𝑦 + 𝑎23. 𝑧 + 𝑏2

𝑧′ = 𝑎31. 𝑥 + 𝑎32. 𝑦 + 𝑎33. 𝑧 + 𝑏3

En forma matricial (convenio vector–columna)

(𝑥′

𝑦′

𝑧′

) = (𝑏1𝑏2𝑏3) + (

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

) . (𝑥𝑦𝑧)

Problema con la Orientación:

Una transformación puede o no conservar la orientación de los

ángulos. Esto obliga a distinguir entre

-Transformación ‘positiva’ si conserva la orientación de

los ángulos

-Transformación ‘negativa’ si cambia la orientación de

los ángulos.

Isometría:

De aquellas transformaciones que conservan las distancias

214

decimos que son ‘una Isometría’, y, en este caso, además de

conservar las distancias, se cumple que:

-Transforma ‘una recta’ en ‘otra recta’

-Si es positiva conserva el valor y la orientación de los

ángulos.

-Si es negativa, conserva el valor de los ángulos pero

cambia su orientación.

Puntos fijos:

Son aquellos que permanecen ‘fijos’ en la transformación.

Elementos fijos:

Son aquellas rectas, circunferencias, ..., etc. que resultan

transformados en sí mismos.

Elemento doble:

Es aquel que se transforma es sí mismo aunque sus puntos no

sean puntos fijos.

9.1.- Traslación de un punto. Traslación de un sólido

Defi.:

Fijado un vector v, llamamos ‘traslación de vector v’ a la

transformación geométrica que a cada punto P asocia el punto P’

determinado por la siguiente condición

OP’ = OP + v (vectorialmente)

R3 -- > R

3


215

P -- > P’ tal que OP’ = OP + v

(x’, y’, z’) = (x, y, z) + (a, b, c)

Matricialmente

(𝑥′

𝑦′

𝑧′

) = (1 0 00 1 00 0 1

) . (𝑥𝑦𝑧) + (

𝑎𝑏𝑐)

o bien

(

1𝑥′𝑦′

𝑧′

) = (

1 1 0 0𝑎 1 0 0𝑏 0 1 0𝑐 0 0 1

) .(

1𝑥𝑦𝑧

)

- Es una isometría directa (ó positiva)

- Transforma recta en recta, plano en plano, circunferencia en

circunferencia

9.2.- Simetría especular

Tenemos un plano m fijo, que va a ser el ‘plano de simetría’.

Defi.:

Fijado un plano m, llamamos ‘simetría especular’ a la

216

transformación que a cada punto P (del espacio), asocia el punto

P’ determinado por las siguientes condiciones:

-El punto P’ pertenece a la recta r que pasa por P y es

perpendicular al plano m.

-Las distancias de P y de P’ al plano m son iguales en valor

absoluto: -d(P’,m) = d(P,m)

Se pueden resumir en la única condición: “El plano especular m

es perpendicular al segmento PP’ y lo corta por su punto medio”.


217

Su efecto es el de un espejo plano (figura)

La simetría especular es una isometría pero cambia la orientación

de los ángulos.

Puntos fijos son los del plano m, rectas fijas las que yacen sobre

m. El único plano fijo es m.

Transforma rectas en rectas, planos en planos

(La circunferencia no es elemento fijo, salvo si está sobre m)

Ecuación de la Simetría especular:

Será demostrada en el Apéndice 2.

Sea n->

= (n1, n2, n3) el vector unitario ortogonal al plano m

(

1x′y′

z′

) = (

1 0 0 0A B I − 2NC

) . (

1xyz

)

donde A, B, C pueden ser calculados imponiendo la condición de

‘punto fijo’ a un punto cualquiera del plano m de simetría. I es la

matriz unidad 3x3, y N es la matriz resultado del producto

siguiente:

N = (𝑛1𝑛2𝑛3).(n1,n2,n3) = (

𝑛12 𝑛1. 𝑛2 𝑛1. 𝑛3𝑛2. 𝑛1 𝑛22 𝑛2. 𝑛3𝑛3. 𝑛1 𝑛3. 𝑛2 𝑛32

)

218

9.3.- Giro alrededor de un eje. Giro alrededor

de alguno de los ejes del Sistema de coordenadas

Fijamos una recta s que será el eje de giro, y un ángulo g.

Defi.:

Llamamos ‘giro de eje s, y amplitud g, a la transformación

geométrica que a cada punto P asocia el punto P’ determinado por

las siguientes condiciones:

- El punto P’ está en el plano m que pasa por P y es perpendicular

a la recta s.

- En el plano m, ang(PCP’) = g, donde C es el punto de corte de s

con m

- P y P’ son equidistantes a la recta s: d(P’; s) = d(P; s)

NOTA: GIRO PLANO

Un giro como el descrito antes en el cual P y su imagen P’ están

en el mismo plano m perpendicular al eje s. Si no es así se llama

‘giro cónico’. En este trabajo un ‘giro’ será siempre un giro plano.

Propiedades (del giro alrededor de un eje):

-Es una isometría directa (conserva la orientación de los ángulos)

-Transforma recta en recta y plano en plano

-Sólo los planos perpendiculares a s, y las esferas con centro en s,

son ‘elementos dobles’

-Las rectas perpendiculares a s y que la cortan, también son

elementos dobles


219

-La composición de dos giros con el mismo eje s es otro giro con

eje s y amplitud g = g1 + g2

Ecuaciones del giro con eje una recta s:

Dada la dificultad para el caso general, las obtendremos

solamente cuando el eje s coincida con alguno de los ejes de

coordenadas.

Eje ox, giro g:

Tenemos: r = R.sen(t2)

Punto P, en polares:

x = R.cos(t2)

y = r.cos(t1)

z = r.sen(t1)

Después del giro, Punto P’:

x’ = x

y’ = r.cos(t1+g) = r.[cos(t1).cos(g) – sen(t1).sen(g)]

z’ = r.sen(t1+g) = r.[sen(t1).cos(g) + cos(t1).sen(g)]

Por tanto

220

x’ = x

y’ = y.cos(g) –z.sen(g)

z’ = y.sen(g) + z.cos(g)

Matricialmente: (vector fila)

(x’, y’, z’)= (x, y, z). (

1 0 00 cos(𝑔) 𝑠𝑒𝑛(𝑔)

0 − 𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos (𝑔))

o bien

(𝑥′

𝑦′

𝑧′

) = (

1 0 00 cos(𝑔) − 𝑠𝑒𝑛(𝑔)

0 𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos (𝑔)) . (

𝑥𝑦𝑧)

Eje oy, giro g:

Tenemos: r = R.sen(t2)

Punto P:

x = r.sen(t1)

y = R.cos(t2)

z = r.cos(t1)


221

Después del giro, Punto P’:

y’ = y

x’ = r.sen(t1+g) = r.[sen(t1).cos(g) + cos(t1).sen(g)]

z’ = r.cos(t1+g) = r.[cos(t1).cos(g) - sen(t1).sen(g)]

Por tanto

x’ = x.cos(g) + z.sen(g)

y’ = y

z’ = - x.sen(g) + z.cos(g)

Matricialmente: (vector fila)

(x’, y’, z’) = (x, y, z). (cos(𝑔) 0 − sen(g)0 1 0

𝑠𝑒𝑛(𝑔) 0 cos (𝑔))

o bien

(𝑥′

𝑦′

𝑧′

) = ( cos (𝑔) 0 𝑠𝑒𝑛(𝑔)

0 1 0−𝑠𝑒𝑛(𝑔) 0 cos (𝑔)

) . (𝑥𝑦𝑧)

Eje oz, giro g:

r = R.sen(t2)

222

Punto P(x, y, z):

x = r.cos(t1)

y = r.sen(t1)

z = R.cos(t2)

Imagen: Punto P’

x’ = r.cos(t1+g)

y’ = r.sen(t1+g)

z’ = R.cos(t2)

Aplicando los conocimientos de trigonometría tengo:

x’ = r.[cos(t1).cos(g)–sen(t1).sen(g)] = x.cos(g) – y.sen(g)

y’ = r.[sen(t1).cos(g)+cos(t1).sen(g)] = y.cos(g) + x.sen(g)

z’ = z

Matricialmente (Criterio: Vector fila)

(x’, y’, z’) = (x, y, z).(cos(𝑔) 𝑠𝑒𝑛(𝑔) 0

−𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos(𝑔) 0 0 0 1

)

o bien, en vector-columna:

(𝑥′

𝑦′

𝑧′

) = ( cos(𝑔) − 𝑠𝑒𝑛(𝑔) 0

𝑠𝑒𝑛(𝑔) 𝑐𝑜𝑠(𝑔) 00 0 1

).(𝑥𝑦𝑧)

NOTA:

Se puede demostrar que si una matriz G corresponde a un giro, su

inversa G-1

y su traspuesta Gt coinciden.


223

9.4.- Simetría axial en el espacio

Fijamos una recta s, que será el eje de simetría.

Defi.:

Llamamos ‘Simetría axial’ de eje s, a una transformación

geométrica que a cada punto P del espacio le asocia el punto P’

determinado por las siguientes condiciones:

- Por P trazamos el plano m perpendicular a s. El punto P’ ha de

estar en m

- La recta PP’, que yace sobre m, ha de ser perpendicular a s y

cortarla.

- Las distancias de P y de P’ a la recta s son iguales en valor

absoluto: -d(P’,C) = d(P,C), siendo C el punto de corte de la

recta PP’ con s.

NOTA:

Observa que coincide con un giro de eje s y g = 180º

Propiedades:

-Es una isometría directa

-Transforma rectas en rectas y planos en planos

-Sus puntos fijos son los puntos de s

-Las rectas perpendiculares a s son elementos dobles

-Los planos perpendiculares a s son elementos dobles

224

Ecuaciones de la simetría axial en el plano:

La demostraremos en el Apéndice 2.

Si n->

= (n1, n2, n3) es el vector unitario director del eje de

simetría (recta s), se llega a la ecuación matricial

(

1𝑥′𝑦′

𝑧′

) = (

1 0 0 0𝐴 𝐵 − 𝐼 + 2𝑁 𝐶

) . (

1𝑥𝑦𝑧

)

donde A, B, C pueden ser calculados imponiendo la condición de

que un punto cualquiera de s es

punto fijo. I es la matriz unidad 3x3, y N es la matriz que resulta

del siguiente producto

N = (𝑛1𝑛2𝑛3).(n1,n2,n3) = (


)


225

9.5.- Simetría central en el espacio

Fijamos un punto C, que será el centro de la Simetría.

Defi.:

Llamamos ‘simetría central’ con centro C, a una transformación

geométrica que a cada punto P asocia el punto P’ determinado por

las siguientes condiciones:

-Por P trazo la recta PC, y P’ ha de estar en esta recta.

- Las distancias de P y de P’ al punto C son iguales en valor

absoluto: -d(C, P’) = d(C, P)

Es una isometría inversa (cambia la orientación de los ángulos)

Propiedades:

-Las rectas que pasan por C son elementos dobles

-Los planos que pasan por C son elementos dobles

-Transforma una recta (que no pase por C) en otra recta paralela a

ella, y plano (que no pase por C) en plano paralelo.

226

La recta r se transforma en la recta r’ paralela a r. Entonces,

evidentemente transformará un plano, que no pase por C, en otro

plano paralelo a él.

Ecuaciones de la Simetría central en el espacio:

(Demostración en Apéndice 2)

Se llega a la expresión matricial

(

1𝑥′

𝑦′

𝑧′

) = (

1 0 0 02. 𝑐1 − 1 0 02. 𝑐2 0 − 1 02. 𝑐3 0 0 − 1

) .(

1𝑥𝑦𝑧

)

donde C(c1, c2, c3) es el centro de la simetría.

9.6.- Movimiento en el Espacio

Defi.:

Un movimiento en el Espacio es la composición de

-Una Traslación + Un Giro

-Un Giro + Una Traslación


227

M: R3 --- > R

3

P --- > T(P) + G(T(P))

Es lo que también expresamos así:

M(P) = (G*T)(P)

En coordenadas tenemos

Para (G*T)(P): (𝑥′

𝑦′

𝑧′

) = G.(𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑧 + 𝑐

)

donde G representa la matriz del giro.

En el caso de Giro + Traslación

(T*G)(P): (𝑥′

𝑦′

𝑧′

) = G.(𝑥𝑦𝑧) + (

𝑎𝑏𝑐)

Si operamos aplicando el criterio vector-fila debemos expresarlo

como sigue

Para (P)(G*T): (x’, y’, z’) = (x, y, z).G + (a, b, c)

Para (P)(T*G): (x’, y’, z’) = (x+a, y+b, z+c).G

9.7.- Homotecia en el Espacio (Dilatación-Contracción)

No se trata de ‘desplazarlo’ ni de ‘girarlo’ sino de modificar su

‘tamaño’ (sus medidas) y por tanto modifica su ‘superficie’ y/o su

‘volumen’.

La homotecia exige un ‘punto central’, fijo, desde donde actúa;

será el ‘Centro de la homotecia’

228

H: V3 --- > V3

OC + CP --- > OC + k.CP

(xo, yo, zo) + (x-xo, y-yo, z-zo) -- > (xo, yo, zo) +

+ k.(x-xo, y-yo, z-zo)

o bien

(x, y, z) -- > (xo, yo, zo) + k.(x-xo, y-yo, z-zo)

Efecto sobre una superficie plana y sobre un cuerpo en el espacio:

Matricialmente:


229

(

1𝑥′

𝑦′

𝑧′

) = (

1𝑥0𝑦0𝑧0

) + (

1 0 0 00 𝑘 0 00 0 𝑘 00 0 0 𝑘

) .(

1𝑥 − 𝑥0𝑦 − 𝑦0𝑧 − 𝑧0

)

Hago A = x0.(1-k)

B = y0.(1-k)

C = z0.(1-k)

(

1𝑥′

𝑦′

𝑧′

) = (

1 0 0 0𝐴 𝑘 0 0𝐵 0 𝑘 0𝐶 0 0 𝑘

) .(

1𝑥𝑦𝑧

)

$$$oOo$$$


231

Tema 10

Cambio de Sistema de referencia en el plano

Cambio de Sistema de referencia en el espacio


233

10.1.- Cambio de Sistema de referencia en el Plano

10.1.1.- Traslación del Sistema de referencia

El punto P permanece fijo, y lo que cambian son sus coordenadas:

P(x, y) en el inicial, P(x’, y’) en el de llegada.

Dato: Las coordenadas del nuevo centro o’(a, b) respecto del s.r.

inicial.

La figura muestra que la relación es

{𝑥 = 𝑥′ + 𝑎𝑦 = 𝑦′ + 𝑏

10.1.2.- Giro con centro el origen o(0, 0)

Es fácil comprobar que: {𝑥 = 𝑥′. cos(𝑔) − 𝑦′. 𝑠𝑒𝑛(𝑔)

𝑦 = 𝑥′. 𝑠𝑒𝑛(𝑔) + 𝑦′. cos (𝑔)

(x, y) = (x’, y’). (cos(𝑔) 𝑠𝑒𝑛(𝑔)

−𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos (𝑔))

234

También podemos expresarlo así:

(𝑥′

𝑦′) = (

cos(𝑔) − 𝑠𝑒𝑛(𝑔)

𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos (𝑔)) . (

𝑥𝑦)

10.2.- Cambio de Sistema de referencia en el Espacio

De entrada conviene diferenciar entre ‘Transformación

geométrica’, en la que el Sistema de referencia no se modifica,

sino que son los puntos los que cambian de posición, y el

‘Cambio de Sistema de referencia’, en el que los puntos

permanecen fijos y lo que cambia es el Sistema de referencia.

10.2.1.- Traslación de Sistema de referencia

Realizo una traslación del Sistema de referencia R(O; X,Y,Z) de

modo que su origen O pase al punto O’, manteniendo los ejes

paralelos a sí mismos. Tenemos ahora el nuevo s. d. r.

R’(O’; x’, y’, z’) .

Esta traslación queda determinada por el vector v = OO’.


235

Si el punto O’ tiene coordenadas (a, b, c) respecto del sistema

inicia, entonces v = (a, b, c).

Tomamos un punto cualquiera P y observamos sus coordenadas

en cada uno de estos dos s.d.r. Sea P(x, y, z) respecto de R y

P(x’ , y’, z’) respecto de R’ .

Entonces, evidentemente tengo (Observa la figura anterior)

{𝑥 = 𝑎 + 𝑥′

𝑦 = 𝑏 + 𝑦′

𝑧 = 𝑐 + 𝑧′

, {𝑥′ = 𝑥 − 𝑎𝑦′ = 𝑦 − 𝑏

𝑧′ = 𝑧 − 𝑐

,(

1𝑥′

𝑦′

𝑧′

)=(

1 0 0 0−𝑎 1 0 0−𝑏 0 1 0−𝑐 0 0 1

) .(

1𝑥𝑦𝑧

)

(1)

Observa la diferencia con el resultado obtenido en el caso de una

Transformación geométrica, caso de la traslación, donde

obtuvimos

(

1𝑥′

𝑦′

𝑧′

) = (

1 0 0 0𝑎 1 0 0𝑏 0 1 0𝑐 0 0 1

)

10.2.2.- Giro del Sistema de referencia sobre uno de sus ejes

Según el conocido como Teorema de Euler, un giro plano

cualquiera de un Sistema de referencia, se puede descomponer

como el producto de tres giros (planos) cuyos ejes sean alguno de

los ejes del Sistema de referencia actual en cada momento.

Llamo ‘giro simple’ al giro cuyo eje sea uno de los ejes de

coordenadas.

236

Con el fin de mostrar el efecto de un giro de este tipo realizamos

en primer lugar el giro del Sistema de referencia R(O; X,Y,Z)

alrededor del eje OZ, con amplitud g.

Teniendo en cuenta las coordenadas polares en cada uno de los

s.d.r.

r = R.sen(t2)

{

x = r. cos(t1)

y = r. sen(t1)

z = R. cos(t2) , {

x’ = r. cos(t1’)

y’ = r. sen(t1’)

z’ = R. cos(t2)

Teniendo en cuenta que t1 = g + t1’

x = r.[cos(t1’).cos(g) – sen(t1’).sen(g)]

y = r.[sen(t1’).cos(g) + cos(t1’).sen(g)]

z = z’

{𝑥 = 𝑥′. cos(𝑔) − 𝑦′. 𝑠𝑒𝑛(𝑔)

𝑦 = 𝑥′. 𝑠𝑒𝑛(𝑔) + 𝑦′. cos(𝑔)

𝑧 = 𝑧′


237

Matricialmente

(𝑥𝑦𝑧) = (

cos(𝑔) − 𝑠𝑒𝑛(𝑔) 0

𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos(𝑔) 00 0 1

) . (𝑥′

𝑦′

𝑧′

)

y también

(𝑥′𝑦′

𝑧′

) = (−cos(𝑔) 𝑠𝑒𝑛(𝑔) 0

𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos(𝑔) 0 0 0 1

) . (𝑥𝑦𝑧)

Conviene no confundir con una Transformación geométrica

consistente en un giro, para el cual obtuvimos

(𝑥′

𝑦′

𝑧′

) = ( cos(𝑔) − 𝑠𝑒𝑛(𝑔) 0

𝑠𝑒𝑛(𝑔) 𝑐𝑜𝑠(𝑔) 00 0 1

).(𝑥𝑦𝑧)

Observa que las matrices son las traspuestas entre sí.

En los giros la traspuesta coincide con la inversa. Puede

comprobarlo el alumno.

NOTA IMPORTANTE:

Observa que hemos escrito las matrices según el convenio

‘vector-columna’. Para el convenio ‘vector-fila’, en cualquier

caso de los tratados, la matriz correspondiente es la traspuesta de

la obtenida, y recíprocamente.

$$$$oOo$$$$


239

APÉNDICE 1: Suplemento:

Sobre Transformaciones en el Plano

Simetría axial (en el Plano)

Sea s la recta eje de la simetría:

s: ax + by + c = 0

OP’ = OC + CP’

OP’ = OC – CP

CP = (x-x0,y-y0)

(x’, y’) = (x0, y0) –(x-x0, y-y0)

de donde

{𝑥′ = 2. 𝑥0 − 𝑥𝑦′ = 2. 𝑦0 − 𝑦

C es el punto medio del segmento PP’, sus coordenadas son

x0 = 𝑥+𝑥′

2 , y0 =

𝑦+𝑦′

2

de donde de nuevo

240

{𝑥′ = 2. 𝑥0 − 𝑥𝑦′ = 2. 𝑦0 − 𝑦

De la ecuación de la recta s sabemos que

w = (a, b) es ortogonal a la recta y que

v = (-b, a) es director de la recta

Tomo el vector director unitario

v = (n1, n2), donde n1 = −𝑏

√𝑎2+𝑏2 , n2 =

𝑎

√𝑎2+𝑏2

Debemos expresar las coordenadas (x0, y0) en función de las del

punto P, es decir, en función de (x, y)

Vectorialmente tengo

OC = OQ + k.v

{𝑥0 = 𝑞1 + 𝑘. 𝑛1𝑦0 = 𝑞2 + 𝑘. 𝑛2

y tengo ahora

CP = (x- (q1+k.n1), y- (q2+kn2))

Por ortogonalidad se ha de cumplir

0 = v*CP = n1.(x- (q1+ k.n1)) + n2.(y- (q2+ k.n2))

0 = (n1.x + n2.y) –(n1.q1 + n2.q2) –k.(n12 + n2

2),

y teniendo en cuenta que n12 + n2

2 = 1, despejo k


241

k = (n1.x + n2.y) –(n1.q1 + n2.q2)

y ahora tengo

{𝑥0 = 𝑞1 + 𝑛1. [(n1. x + n2. y)– (n1. q1 + n2. q2)]

𝑦0 = 𝑞2 + 𝑛2. [(n1. x + n2. y)– (n1. q1 + n2. q2)]

{𝑥0 = (𝑛12. 𝑥 + 𝑛1. 𝑛2. 𝑦) − ((𝑛12 − 1). 𝑞1 + 𝑛1. 𝑛2. 𝑞2)

𝑦0 = (𝑛2. 𝑛1. 𝑥 + 𝑛22. 𝑦) − (𝑛2. 𝑛1. 𝑞1 + (𝑛22 − 1). 𝑞2)

Observa que el punto Q(q1, q2) y el vector (n1,n2) vienen dados

al fijar el eje s de la simetría.

Volviendo a las expresiones de x’, y’ tengo

{𝑥′ = −𝑥 + 2. [(𝑛12. 𝑥 + 𝑛1. 𝑛2. 𝑦) − ((𝑛12 − 1). 𝑞1 + 𝑛1. 𝑛2. 𝑞2)]

𝑦′ = −𝑦 + 2. [(𝑛2. 𝑛1. 𝑥 + 𝑛22. 𝑦) − (𝑛2. 𝑛1. 𝑞1 + (𝑛22 − 1). 𝑞2)]

Represento

A = -2. ((𝑛12 − 1). 𝑞1 + 𝑛1. 𝑛2. 𝑞2) B = -2. (𝑛2. 𝑛1. 𝑞1 + (𝑛22 − 1). 𝑞2) y así queda

{𝑥′ = −𝑥 + 2. (𝑛12. 𝑥 + 𝑛1. 𝑛2. 𝑦) + 𝐴

𝑦′ = −𝑦 + 2. (𝑛2. 𝑛1. 𝑥 + 𝑛22. 𝑦) + 𝐵

Matricialmente X’ = S.X

(1𝑥′

𝑦′) = (

1 0 0 𝐴 2. 𝑛12 − 1 2. 𝑛1. 𝑛2𝐵 2. 𝑛2. 𝑛1 2. 𝑛22 − 1

).(1𝑥𝑦)

242

NOTA:

Si conocemos el ángulo g que s forma con el semieje positivo ox,

y la distancia de s al origen (0, 0) podemos utilizar lo siguiente.

n1 = cos(g), n2 = cos(g’) = sen(g)

2.n12 – 1 = 2.cos

2(g) –[sen

2(g)+cos

2(g)] =

= cos2(g)-sen

2(g) = cos(2g)

2.n22 - 1 = 2.sen

2(g) –[sen

2(g)+cos

2(g)] = sen

2(g)-cos

2(g) =

= -cos(2g)

2.n1.n2 = 2.cos(g).sen(g) = sen(2g)

A = -2.sen2(g).q1 –sen(2g).q2

B = -2.sen(2g).q1 -2.cos2(g).q2

(1𝑥′

𝑦′) = (

1 0 0 𝐴 cos (2𝑔) 𝑠𝑒𝑛(2𝑔)

𝐵 𝑠𝑒𝑛(2𝑔) − cos (2𝑔)).(

1𝑥𝑦)

X’ = S.X, donde S = (

1 0 0 𝐴 cos (2𝑔) 𝑠𝑒𝑛(2𝑔)

𝐵 𝑠𝑒𝑛(2𝑔) − cos (2𝑔))

-----------


243

Ejemplos: En el Plano

1.- Traslación de vector v = (2, 3)

(1𝑥′

𝑥′) = (

1 0 02 1 03 0 1

) . (1𝑥𝑦) , x’ = x +2, y’ = y +3

Un punto P(-3, 2): P’(-1, 5)

Una recta r: 3x -5y + 2 = 0

x = x’-2, y = y’-3

3.(x’-2) -5.(y’-3) + 2 = 0,

3x’ -5y’ + (-6+15+2) = 0,

Cambiando x’ por x, y’ por y, tengo finalmente

3x – 5y + 11 = 0

2.- Giro central C(2, 3), g = 60º

A = 2.(1-1/2) + 3.√3/2 = 1 + 3.√3/2 = 2+3.√3

2

B = 2.√3

2+ 3. (1 −

1

2) =

3+2.√3

2

(1𝑥′

𝑦′) =

(

1 0 0

𝐴 1

2

−√3

2

𝐵 √3

2

1

2)

. (1𝑥𝑦)

Para un punto P(3, 2), basta aplicarlo para x = 3, y = 2:

244

{𝑥′ = 𝐴 +

1

2. 3 +

−√3

2. 2

𝑦′ = 𝐵 +√3

2. 3 +

1

2. 2

Para una recta necesitamos despejar x e y en función de x’ e y’,

lo que equivale a obtener la matriz inversa de

G =

(

1 0 0

𝐴 1

2

−√3

2

𝐵 √3

2

1

2)

después operamos como antes.

Como un buen ejercicio vamos a obtener G-1

, si bien algunos

cálculos correrán a cargo del alumno.

Det(G) = (desarrollo por primera fila) =

= | 1

2

−√3

2

√3

2 1

2

| = 1

Adjunta de G: Obtengo Adj(G) =

(

1 −

4+3.√3

2

3

2

0 1

2

−√3

2

0 √3

2

1

2 )

Algunos cálculos:

+ | 1

2

−√3

2

√3

2 1

2

| = 1, -|

2+3√3

2 −√3

2

3+2√3

2 1

2

| = -4+3√3

2 , +|

2+3√3

2 1

2

3+2√3

2 √3

2

| = 3

2


245

El alumno continuará y le sirve para practicar.

Hago la traspuesta de la adjunta, y, teniendo en cuenta que det(G)

= 1, nos da la inversa:

G-1

=

(

1 0 0

−4+3.√3

2

1

2

√3

2

3

2

−√3

2

1

2 )

(Hemos comprobado que G.G-1

= I , por tanto los cálculos son

correctos)

Ahora tengo

(1𝑥𝑦) =

(

1 0 0

−4+3.√3

2

1

2

√3

2

3

2

−√3

2

1

2 )

. (1𝑥′

𝑦′)

NOTA:

Para obtener la transformada de una recta será más cómodo

obtener las imágenes de dos de sus puntos y obtener después la

recta que pasa por éstos.

Recta r: 2x-3y+6 = 0, dos puntos son P1(0, 2), P2(-3, 0)

Transformados de estos puntos:

(1𝑥′

𝑦′) =

(

1 0 02+3.√3

2

1

2

−√3

2

3+2.√3

2

√3

2 1

2 )

.(1𝑥𝑦)

246

x’ = 2+3.√3

2+

1

2. 0 +

−√3

2. 2 =

2+√3

2

y’ = 3+2.√3

2+

√3

2. 0 +

1

2. 2 =

5+2.√3

2, P1’(

2+√3

2, 5+2.√3

2)

x’ = 2+3.√3

2+

1

2. −3 +

−√3

2. 0 =

−1+3.√3

2

y’ = 3+2.√3

2+

√3

2. −3 +

1

2. 0 =

3−√3

2, P2’(

−1+3.√3

2,3−√3

2)

Recta imagen: Vector director v’ = (v1, v2)

v1 = −1+3.√3

2−

2+√3

2=

−3+2.√3

2

v2 = 3−√3

2− 5+2.√3

2=

−2−3.√3

2

Por tanto v’ = (−3+2.√3

2,−2−3.√3

2)

r’: 2+3.√3

2.x +

−3+2.√3

2.y + c = 0

Sabiendo que pasa por P1’(2+√3

2, 5+2.√3

2) tengo

c = -[-2+3.√3

2.2+√3

2 +

−3+2.√3

2.5+2.√3

2 ] = -

5+6.√3

2

Finalmente: r’: 2+3.√3

2.x +

−3+2.√3

2.y -

5+6.√3

2 = 0

Veamos su gráfica:


247

Pendiente de r’:

m’ = −(2+3.√3)

−3+2.√3 = -

(2+3.√3).(−3−2.√3)

9−12 =

−24−13.√3

3 ≅ −15,5

Pendiente de r: m = 2/3

Puntos conocidos: P1(0,2), P2(-3,0), y sus imágenes

P1’ ≅ (1,87; 4,23), P2’ ≅ (2,1; 0,63)

3.- Simetría central, Centro C(-2, 1)

Es un giro con g = 180º

M = -2.(1-(-1))+1.0 = -4

N = -2.0 + 1. (1 − (−1)) = 2

(1𝑥′

𝑦′) = (

1 0 0−4 − 1 02 0 − 1

) . (1𝑥𝑦)

A partir de aquí procedemos como en ejemplo 2

4.- Simetría axial, eje s: 2x -3y +5 = 0

248

Punto Q de s: Q(-1, 1), vector director v = (3, 2)

mod(v) = √13, Vector normalizado: n = (n1, n2), donde

n1 = 3

√13 , n2 =

2

√13

Sabemos que:

q1 = -1, q2 = 1

A = -2. ((𝑛12 − 1). 𝑞1 + 𝑛1. 𝑛2. 𝑞2) B = -2. (𝑛2. 𝑛1. 𝑞1 + (𝑛22 − 1). 𝑞2)

Cálculos:

2.n12-1 = 2.9/13 -1 = 5/13

2.n22-1 = 2.4/13 -1 = -5/13

2.n1.n2 = 2.6/13 = 12/13

n12-1 = 9/13 -1 = -4/13, -4/13.q1 = 4/13

n22-1 = 4/13 -1 = -9/13, -9/13.q2 = -9/13

n1.n2.q2 = 6/13.1 = 6/13

n1.n2.q1 = -1/13

A = -2.(4/13 + 6/13) = -20/13

B = -2.(-1/13 -9/13) = 20/13

Sustituimos estos valores en la matriz de

(1𝑥′

𝑦′) = (

1 0 0 𝐴 2. 𝑛12 − 1 2. 𝑛1. 𝑛2𝐵 2. 𝑛2. 𝑛1 2. 𝑛22 − 1

).(1𝑥𝑦)

y queda


249

(1𝑥′

𝑦′) = (

1 0 0

−20

13

5

13

12

13

20

13

12

13

−5

13

).(1𝑥𝑦)

Para un punto P(5, -1):

{𝑥′ =

−20

13+5

13. 5 −

12

13. 1 =

−7

13

𝑦′ = 20

13 +12

13. 5 +

5

13 =

85

13

P’(−7

13,85

13)

---------------


251

APÉNDICE 2 Suplemento: Sobre Transformaciones en el

Espacio

Simetría especular (Simetría respecto de un plano):

Ecuación del plano m: Ax + By + Cz + D = 0

Vectorialmente:

OP’ = OC + CP’

OP’ = OC – CP

{

𝑥′ = 𝑥0 − (𝑥 − 𝑥0) = 2. 𝑥0 − 𝑥𝑦′ = 𝑦0 − (𝑦 − 𝑦0) = 2. 𝑦0 − 𝑦

𝑧′ = 𝑧0 − (𝑧 − 𝑧0) = 2. 𝑧0 − 𝑧

Sea n->

= (n1, n2, n2) el vector unitario ortogonal al plano m

CP = k.(n1, n2, n3), donde k = d(P, m)

252

{𝑥 − 𝑥0 = 𝑘. 𝑛1𝑦 − 𝑦𝑜 = 𝑘. 𝑛2𝑧 − 𝑧0 = 𝑘. 𝑛3

Teniendo en cuenta que w = (A, B, C) es vector ortogonal a m,

/w/ = √𝐴2 +𝐵2 + 𝐶2 y por tanto

n1 = 𝐴

|𝑤|, 𝑛2 =

𝐵

|𝑤|, 𝑛3 =

𝐶

|𝑤|

La ecuación de m puedo escribirla así:

n1.x + n2.y + n3.z + 𝐷

|𝑤| = 0

Recordamos que la distancia de un punto Q(x1, y1, z1) al plano

m viene dada por el valor

d(Q, m) = n1.x1 + n2.y1 + n3.z1 + 𝐷

|𝑤|

y si Q es el origen de coordenadas (0, 0, 0) queda

d(Q, m) = 𝐷

|𝑤|

En lo que sigue represento d = 𝐷

|𝑤|, por comodidad.

Dicho lo anterior, para un punto P(x, y, z) cualquiera su distancia

d(P, m) al plano m viene representada por

k = n1.x + n2.y + n3.z + d

con lo cual el vector CP puede ser expresado así:


253

CP = (n1.x + n2.y + n3.z + d) . (n1, n2, n3)

y por tanto tengo las igualdades

{

𝑥 − 𝑥0 = (n1. x + n2. y + n3. z + d). n1

𝑦 − 𝑦0 = (n1. x + n2. y + n3. z + d). n2

𝑧 − 𝑧0 = (n1. x + n2. y + n3. z + d). n3

Volviendo a la expresión OP’ = OC – CP, y para acercarme a ella,

escribo la anterior de la siguiente forma

{

𝑥0 = 𝑥 − (𝑛12x + n1n2y + n1n3z + n1d)

𝑦0 = 𝑦 − (n2n1x + 𝑛22y + n2n3z + n2d)

𝑧0 = 𝑧 − (n3n1x + n3n2y + 𝑛32z + n3d)

Sustituyendo en

{𝑥′ = 2. 𝑥0 − 𝑥𝑦′ = 2. 𝑦0 − 𝑦

𝑧′ = 2. 𝑧0 − 𝑧

y queda

{

𝑥′ = 𝑥 − 2. (𝑛12x + n1n2y + n1n3z + n1d)

𝑦′ = 𝑦 − 2. (n2n1x + 𝑛22y + n2n3z + n2d)

𝑧′ = 𝑧 − 2. (n3n1x + n3n2y + 𝑛32z + n3d)

agrupando las variables convenientemente nos queda

definitivamente

{

𝑥′ = −[(2. 𝑛12 − 1)x + 2. n1n2y + 2. n1n3z + 2. n1d]

𝑦′ = −[2. n2n1x + (2𝑛22 − 1)y + 2. n2n3z + 2. n2d]

𝑧′ = −[2. n3n1x + 2. n3n2y + (2. 𝑛32 − 1)z + 2. n3d]

Matricialmente :

254

(𝑥′

𝑦′

𝑧′

) = (𝑥𝑦𝑧) − 2. (


) − 2. (𝑛1. 𝑑𝑛2. 𝑑𝑛3. 𝑑

)

Llamando

A = -2.n1.d,

B = -2.n2.d,

C = -2.n3.d

(

1𝑥′𝑦′

𝑧′

) =

= (

1 0 0 0𝐴 1 − 2. 𝑛12 − 2. 𝑛1. 𝑛2 − 2. 𝑛1. 𝑛3𝐵 − 2. 𝑛1. 𝑛2 1 − 2. 𝑛22 − 2. 𝑛2. 𝑛3𝐶 − 2. 𝑛3. 𝑛1 − 2. 𝑛3. 𝑛2 1 − 2. 𝑛32

) .(

1𝑥𝑦𝑧

)

que también podemos expresar así

(

1𝑥′𝑦′

𝑧′

) = (

1 0 0 0𝐴 𝐵 𝐼 − 2𝑁 𝐶

) . (

1𝑥𝑦𝑧

)

donde N es la matriz obtenida como sigue

N = (𝑛1𝑛2𝑛3). (n1, n2, n3) = (


)


255

Simetría axial en el espacio (Simetría respecto de un eje):

La recta s es el eje de la simetría

Ecuaciones de la simetría axial:

Si n->

= (n1, n2, n3) es el vector unitario director del eje de

simetría (recta s), llegamos a la ecuación matricial

(

1𝑥′𝑦′

𝑧′

) = (

1 0 0 0𝐴 𝐵 − 𝐼 + 2𝑁 𝐶

) . (

1𝑥𝑦𝑧

)

donde el valor de A, B, C los calculamos más adelante. (Los

valores A, B, C podemos también calcularlos imponiendo la

condición de que un punto cualquiera de s es punto fijo). I es la

matriz unidad 3x3, y N es la matriz que resulta del siguiente

producto

N = (𝑛1𝑛2𝑛3). (n1, n2, n3) = (


)

256

Demostración:

Vectorialmente tengo OP’ = OC + CP’

OP’ = OC - CP

{𝑥′ = 𝑥0 − (𝑥 − 𝑥0) = 2𝑥0 − 𝑥𝑦′ = ⋯… .. = 2𝑦0 − 𝑦

𝑧′ = ⋯……. = 2𝑧0 − 𝑧

v = (a, b, c)

Tomo n->

, vector unitario director de la recta

n->

= (n1, n2, n3), n1 = 𝑎

|𝑣|, n2 =

𝑏

|𝑣|, n3 =

𝑐

|𝑣|

El vector n->

y el vector CP son ortogonales entre sí

0 = n1.(x-x0) + n2.(y-y0) + n3.(z-z0)

Para el punto C tengo OC = OQ + k.n->

{

𝑥0 = 𝑞1 + 𝑘. 𝑛1𝑦0 = 𝑞2 + 𝑘. 𝑛2𝑧0 = 𝑞3 + 𝑘𝑛3

entonces tengo

0 = n1.(x-q1-k.n1) + n2.(y-q2-k.n2) + n3.(z-q3-k.n3)

de donde

0 = (n1.x+n2.y+n3.z) - (n1.q1+n2.q2+n3.q3) - k.(n12 + n2

2 + n3

2)


257

NOTA:

Observa que

n1.q1+n2.q2+n3.q3 = n->

*OQ , y que

n1.x+n2.y+n3.z = n->

*OP

donde * es el producto escalar de dos vectores.

Teniendo en cuenta que n12 + n2

2 + n3

2 = 1, tengo

k = (n1.x+n2.y+n3.z) -(n1.q1+n2.q2+n3.q3)

En lo que sigue represento por d el valor

d = n1.q1+n2.q2+n3.q3 = n->

* OQ

Llevándolo a

{

𝑥0 = 𝑞1 + 𝑘. 𝑛1𝑦0 = 𝑞2 + 𝑘. 𝑛2𝑧0 = 𝑞3 + 𝑘𝑛3

me queda

{

𝑥0 = 𝑞1 + 𝑛1. [(n1. x + n2. y + n3. z) − d]𝑦0 = 𝑞2 + 𝑛2. [(n1. x + n2. y + n3. z) − d]𝑧0 = 𝑞3 + 𝑛3. [(n1. x + n2. y + n3. z) − d]

{

𝑥0 = (𝑛12. x + n1. n2. y + n1. n3. z) + (q1 − n1. d)

𝑦0 = (n2. n1. x + 𝑛22. y + n2. n3. z) + (q2 − n2. d)

𝑧0 = (n3. n1. x + n3. n2. y + 𝑛32. z) + (q3 − n3. d)

Volviendo a las expresiones

258

{𝑥′ = 𝑥0 − (𝑥 − 𝑥0) = 2𝑥0 − 𝑥𝑦′ = ⋯… .. = 2𝑦0 − 𝑦

𝑧′ = ⋯……. = 2𝑧0 − 𝑧

tengo

{

𝑥′ = −𝑥 + 2. (𝑛12. x + n1. n2. y + n1. n3. z) + 2. (q1 − n1. d)

𝑦′ = −𝑦 + 2. (n2. n1. x + 𝑛22. y + n2. n3. z) + 2. (q2 − n2. d)

𝑧′ = −𝑧 + 2. (n3. n1. x + n3. n2. y + 𝑛32. z) + 2. (q3 − n3. d)

Matricialmente

(𝑥′

𝑦′

𝑧′

) =

= (−𝑥−𝑦−𝑧) + 2. (


) . (𝑥𝑦𝑧) + 2. (

𝑞1 − 𝑛1. 𝑑𝑞2 − 𝑛2. 𝑑𝑞3 − 𝑛3. 𝑑

)

Hago A = 2.(q1-n1.d)

B = 2.(q2-n2.d)

C = 2.(q3-n3.d)

y queda finalmente

(

1𝑥′𝑦′

𝑧′

) =

(

1 0 0 0𝐴 (2. 𝑛12 − 1) 2. 𝑛1. 𝑛2 2. 𝑛1. 𝑛3

𝐵 2. 𝑛1. 𝑛2 (2. 𝑛22 − 1) 2. 𝑛2. 𝑛3

𝐶 2. 𝑛3. 𝑛1 2. 𝑛3. 𝑛2 (2. 𝑛32 − 1))

.(

1𝑥𝑦𝑧

)


259

Simetría central con centro C(c1, c2, c3):

Ecuaciones de la Simetría central:

Se llega a la expresión matricial

(

1𝑥′

𝑦′

𝑧′

) = (

1 0 0 02. 𝑐1 − 1 0 02. 𝑐2 0 − 1 02. 𝑐3 0 0 − 1

) .(

1𝑥𝑦𝑧

)

donde C(c1, c2, c3) es el centro de la simetría.

Demostración:

OP’ = OC + CP’, P’ está en la recta r que pasa por C y P, y

d(P’, C) = d(P, C)

CP = (x-c1, y-c2, z-c3)

260

Por la simetría se cumple OP’ = OC – CP, que nos lleva a

{

𝑥′ = 𝑐1 − (𝑥 − 𝑐1) = 2. 𝑐1 − 𝑥𝑦′ = 𝑐2 − (𝑦 − 𝑐2) = 2. 𝑐2 − 𝑦

𝑧′ = 𝑐3 − (𝑧 − 𝑐3) = 2. 𝑐3 − 𝑧

Matricialmente

(

1𝑥′

𝑦′

𝑧′

) = (

1 0 0 02𝑐1 − 1 0 02𝑐2 0 − 1 02𝑐3 0 0 − 1

) .(

1𝑥𝑦𝑧

)

Ejemplos:

1.- Traslación de vector v = (-1,2,3)

{𝑥′ = 𝑥 − 1𝑦′ = 𝑦 + 2

𝑧′ = 𝑧 + 3

Un punto P(3, -1, 2) --- > P’(2, 1, 5)

Un plano m: 3x -5y + 4z -5 = 0


261

{𝑥 = 𝑥′ + 1𝑦 = 𝑦′ − 2

𝑧 = 𝑧′ − 3

Sustituyo y obtengo la ecuación de m’:

3.(x’+1) -5.(y’-2) + 4.(z’-3) -5 = 0

3.x’ -5.y’ + 4.z’ + (3+10-12-5) = 0

Cambio x’ por x, y’ por y, z’ por z, y queda finalmente

3x -5y + 4z -4 = 0

Observa que este es paralelo al origen m

Para una recta obtenemos dos de sus puntos P1, P2, y las

imágenes de éstos. La recta trasladada es la que pasa por P1’ y

P2’.

2.- Simetría especular, plano de simetría

m: 3x -2y + z – 2 = 0

Vector ortogonal w = (3, -2, 1), mod(w) = √14

Lo normalizo: n = (n1, n2 , n3), donde

n1 = 3/√14, n2 = -2/√14, n3 = 1/√14

Distancia al origen d = 2/√14

Sabemos que

262

A = -2.n1.d,

B = -2.n2.d,

C = -2.n3.d

Cálculos:

A = -2.n1.d = −12

14

B = -2.n2.d = 8

14

C = -2.n3.d = −4

14

1-2.n12 = 1-18/14 = -4/14; -2.n1.n2 = 12/14 ; -2.n1.n3 = -6/14

1-2.n22 = 1-8/14 = 6/14; -2.n2.n3 = 4/14

1-2.n32 = 1-2/14 = 12/14;

(

1𝑥′𝑦′

𝑧′

) =

(

1 0 0 0−12

14

−4

14

12

14

−6

148

14

12

14

6

14

4

14−4

14

−6

14

4

14

12

14)

.(

1𝑥𝑦𝑧

)

Para un punto P(-2, 3, 1):

{

𝑥′ =

−12

14 +

−4

14.−2 +

12

14. 3 +

−6

14. 1

𝑦′ =8

14 +

12

14.−2 +

6

14. 3 +

4

14. 1

𝑧′ =−4

14 +

−6

14.−2 +

4

14. 3 +

12

14. 1

x’ = (-12+8+36-6)/14 = 26/14 = 13/7


263

y’ = (8-24+18+4)/14 = 6/14 = 3/7

z’ = (-4+12+12+12)/14 = 32/14 = 16/7

P’(13

7 ,

3

7 ,

16

7 )

Para el caso de recta o plano obtenemos la imagen de dos o tres

de sus puntos y después obtenemos la ecuación del transformado.

3.- Simetría axial, recta-eje de simetría

s = (Q; <v>), donde Q(-1, -1, 1), v = (2, 3, 1)

Normalizo vector v: mod(v) = √14, n=(n1, n2, n3)

n1 = 2

√14 , n2 =

3

√14 , n3 =

1

√14

Sabemos que

A = 2.(q1-n1.d),

B = 2.(q2-n2.d)

C = 2.(q3-n3.d)

donde d = n1.q1+ n2.q2 + n3.q3, y

(

1𝑥′𝑦′

𝑧′

) = (

1 0 0 0𝐴 2. 𝑛12 − 1 2. 𝑛1. 𝑛2 2. 𝑛1. 𝑛3𝐵 2. 𝑛1. 𝑛2 2. 𝑛22 − 1 2. 𝑛2. 𝑛3𝐶 2. 𝑛3. 𝑛1 2. 𝑛3. 𝑛2 2. 𝑛32 − 1

) .(

1𝑥𝑦𝑧

)

Cálculos:

d = 2

√14.-1 +

3

√14.-1 +

1

√14.1 = -1/√14

264

A = 2.(-1 - 2

√14.-

1

√14) = 2.(

2−14

14) =

−24

14 = -12/7

B = 2.(-1 - 3

√14.-

1

√14) = 2.(

3−14

14) =

−22

14 = -11/7

C = 2.(1 - 1

√14.-

1

√14) = 2.(

1+14

14) =

30

14 = 15/7

2.n12-1 = 8/14 -1 = -6/14; 2.n1.n2 = 12/14 = 6/7

2.n22-1 = 18/14 -1 = 4/14; 2.n1.n3 = 4/14 = 2/7

2.n32-1 = 2/14 -1 = -12/14; 2.n2.n3 = 6/14 = 3/7

(

1𝑥′𝑦′

𝑧′

) =

(

1 0 0 0−12

7

−3

7

6

7

2

7−11

7

2

7

2

7

3

715

7

2

7

3

7

−6

7 )

.(

1𝑥𝑦𝑧

)

Un Punto P(2, -3, 1):

x’ = −12

7+

−3

7. 2 +

6

7. −3 +

2

7. 1 = -34/7

y’ = −11

7+

2

7. 2 +

2

7. 3 +

3

7. 1 = 2/7

z’ = 15

7 +

2

7. 2 +

3

7. 3 +

−6

7. 1 = 22/7

P’(−34

7,2

7 ,

22

7 )

Las rectas y planos los tratamos como ya se dijo en otro lugar:

Imagen de puntos suficientes para obtener la ecuación del

transformado.

4.- Simetría central, centro C(-1, 2, 3)

Los cálculos son muy simples. Matriz:


265

(

1𝑥′

𝑦′

𝑧′

) = (

1 0 0 02𝑐1 − 1 0 02𝑐2 0 − 1 02𝑐3 0 0 − 1

) .(

1𝑥𝑦𝑧

)

donde (c1, c2, c3) es el centro

En este caso concreto C(-1, 2, 3)

(

1𝑥′

𝑦′

𝑧′

) = (

1 0 0 0−2 − 1 0 04 0 − 1 06 0 0 − 1

) .(

1𝑥𝑦𝑧

)

Un punto P(3, -2, 5):

x’ = -2 - 3 = -5

y’ = 4 - (-2)= 6

z’ = 6 – 5 = 1

P’(-5, 6, 1)

Para rectas y planos aplicamos lo mismo que hemos recomendado

en otros casos.

---------------


267

PROBLEMAS Resueltos ó Semi-resueltos

A) De Espacios Vectoriales y Matrices

1.- Los polinomios de grado menor o igual a un valor fijo, por

ejemplo m, dotados de las suma de polinomios (conocida y

habitual) y del producto por escalar (un valor real, también

habitual y conocido), tiene estructura de Espacio vectorial sobre

el cuerpo R de los reales.

Sea el Espacio vectorial de los polinomios de grado <= 3. La base

más sencilla (la canónica) es B = {1, x, x2, x

3}. Se pide:

Expresar p(x) = -4x3+3x

2+3 en la base B = {p1= 1-x, p2 = x

2+x

3,

p3 = 1+x2, p4 = x+x

3}

Sol.: He de encontrar los coeficientes de

-4x3+3x

2+3 = a.(1-x) +b.(x

2+x

3) +c.(1+x

2) + d.(x+x

3) ->

{

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 0: 3 = 𝑎 + 𝑐 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 1: 0 = −𝑎 + 𝑑 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 2: 3 = 𝑏 + 𝑐 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 3: − 4 = 𝑏 + 𝑑

->{𝑑 = 𝑎

𝑐 = 3 − 𝑎 ->

{3 = 𝑏 + 3 − 𝑎−4 = 𝑏 + 𝑎

-> 2b = -4 , b = -2, a = -2, c = 5, d = -2

2.- En el espacio vectorial V4 tomamos los dos subespacios

siguientes:

S1 = <(1,1,1,1), (1,-1,1,-1)>, S2 = <(1,2,0,2), (1,2,1,2),

(3,1,3,1)>

268

Obtener la dimensión y un sistema generador de S1^S2 y de

S1+S2.

Sol.: Recordamos que:

Def.:

S1+S2 = {k1.v +k2.w; v de S1, w de S2, k1, k2 recorriendo R}

S1^S2 = {v que están en S1 y en S2, simultáneamente}

Se cumple:

dim(S1+S2) = dim(S1)+dim(S2) –dim(S1^S2)

Continúo:

Hecha la comprobación: dim(S1) = 2, dim(S2) = 3

Una base para S1+S2 la extraemos reuniendo los s.g. de S1 y de

S2. Comprobamos que lo es

B = {v1 = (1,1,1,1), v2 = (1,2,0,2), v3 = (1,2,1,2)}

y dim(S1+S2) = 3.

Por tanto dim(S1^S2) = 2+3-3 = 2.

Para obtener una base de S1^S2 planteo

a.(1,1,1,1)+b.(1,-1,1,-1) =

= c.(1,2,0,2)+d.(1,2,1,2)+e.(3,1,3,1)}, de donde


269

{

𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑑 + 3𝑒 𝑎 − 𝑏 = 2𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 𝑎 + 𝑏 = 𝑑 + 3𝑒 𝑎 − 𝑏 = 2𝑐 + 2𝑑 + 𝑒

-> {

𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑑 + 3𝑒 2𝑎 = 3𝑐 + 3𝑑 + 4𝑒2𝑎 = 2𝑐 + 3𝑑 + 4𝑒 𝑎 − 𝑏 = 2𝑐 + 2𝑑 + 𝑒

->

de la segunda y tercera deduzco c =0; queda

{

𝑎 + 𝑏 = 𝑑 + 3𝑒 2𝑎 = 3𝑑 + 4𝑒2𝑎 = 3𝑑 + 4𝑒 𝑎 − 𝑏 = 2𝑑 + 𝑒

-> {

𝑎 + 𝑏 = 𝑑 + 3𝑒 2𝑎 = 3𝑑 + 4𝑒2𝑎 = 3𝑑 + 4𝑒 2𝑎 = 3𝑑 + 4𝑒

->{𝑎 + 𝑏 = 𝑑 + 3𝑒2𝑎 = 3𝑑 + 4𝑒

{2𝑎 = 3𝑑 + 4𝑒

2𝑏 = (𝑑 + 𝑒3) − (3𝑑 + 4𝑒) = −2𝑑 − 3𝑒, libres d y e;

d = 1, e = 0 -> 2.a = 3, a = 3/2,

2.b = -2, b = -1 , y tengo el

vector w1 = 3/2.(1,1,1,1) -1.(1,-1,1,-1), o bien multiplicando por 2

w1 = (1,5,1,5)

Doy otro par de valores: d = 0, e = 1 ->

2.a = 4, 2.b = -3, -> a = 2 , b = -3/2, y tengo el vector

w2 = 2.(1,1,1,1) -3/2.(1,-1,1,-1), o bien multiplicando por 2

w2 = (1,7,1,7)

Una base de S1^S2 es B ={w1, w2}

270

3.- Determina el sistema de ecuaciones (lineales) que definen el

subespacio S engendrado por los vectores

v1 = (1,2+i,3-i,-i), v2 = (-1,1-i,-2+i,4+i),

v3 = (1,5+i,4-i,4-i),

en el espacio vectorial V4 sobre C.

Sol.: En primer lugar hemos de extraer un sistema libre (una base)

del sistema de generadores dado.

Resulta que una base de S está es B = {v1,v2}, ya que

v3 = 2v1 + v2.

Cualquier vector w = (x, y, z, t) de S viene expresado así:

(x,y,z,t) = k1.v1 + k2.v2 , de donde

{

𝑥 = 𝑘1.1 − 𝑘2.1𝑦 = 𝑘1. (2 + 𝑖) + 𝑘2. (1 − 𝑖)

𝑧 = 𝑘1. (3 − 𝑖) + 𝑘2. (−2 + 𝑖)

𝑡 = 𝑘1. (−𝑖) + 𝑘2. (4 + 𝑖)

Hemos de poder determinar los valores de k1, k2 en función de

(x,y,z,t), y además ha de tener solución única, por lo que el rango

ha de ser 2.

Los menores de orden tres de la matriz ampliada tienen que ser

cero:

|𝑥 1 − 1𝑦 2 + 𝑖 1 − 𝑖𝑧 3 − 𝑖 − 2 + 𝑖

| = 0 , |𝑥 1 − 1

𝑦 2 + 𝑖 1 − 𝑖𝑡 − 𝑖 4 − 𝑖

| = 0


271

Obtengo

{(−9 + 4𝑖). 𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0(8 + 5𝑖). 𝑥 − 4. 𝑦 + 3𝑡 = 0

-----------------

4.- Calcula las potencias de las siguientes matrices:

A = (1 1 11 1 11 1 1

) , B = (𝑎 10 𝑎

)

Sol.: A2 = … = (

3 3 33 3 33 3 3

) = 3. (1 1 11 1 11 1 1

) = 3.A

por tanto: A3 = …. = 3

2. (1 1 11 1 11 1 1

) = 32.A

Por inducción completa: Supongo que An = 3

n-1.A , y calculo

An+1

An+1

= A.An = A.(3

n-1.A) = 3

n-1.(A.A) =

= 3n-1

.3.A = 3n.A

Queda así probado que para n cualquiera

An = 3

n-1.A

Para B: B2 = (

𝑎 10 𝑎

) . (𝑎 10 𝑎

) = (𝑎2 2𝑎0 𝑎2

) ,

272

B3 = B.B

2 = (

𝑎 10 𝑎

) . (𝑎2 2𝑎0 𝑎2

) = (𝑎3 3𝑎2

0 𝑎3)

Supongamos que Bn = (𝑎

𝑛 𝑛𝑎𝑛−1

0 𝑎𝑛), y calculamos

Bn+1

= (𝑎 10 𝑎

) . (𝑎𝑛 𝑛𝑎𝑛−1

0 𝑎𝑛) = (

𝑎𝑛+1 (𝑛 + 1)𝑎𝑛

0 𝑎𝑛+1)

Por consiguiente, para n cualquiera se cumple

Bn = (𝑎

𝑛 𝑛𝑎𝑛−1

0 𝑎𝑛)

B) De Sistemas y Sistemas dependiendo de un parámetro

8.- Analiza el siguiente sistema dependiente de los parámetros k

y m:

{

𝑥 − 2𝑦 = 3𝑘 + 3𝑚

𝑥 − 𝑦 = 2𝑘 + 2𝑚 + 1

𝑚𝑥 + 𝑘𝑦 + 5 = 𝑚2 − 𝑘2 − 1

𝑘𝑥 + 𝑚𝑦 + 7 = 𝑘2 −𝑚2 + 13

Sol.:

A = (

1 − 21 − 1𝑚 𝑘 𝑘 𝑚

), cuyo rango es 2, evidente.


273

Matriz ampliada C = (

1 − 2 3𝑘 + 3𝑚 1 − 1 2𝑘 + 2𝑚 + 1𝑚 𝑘 −𝑘2 +𝑚2 − 6𝑘 𝑚 𝑘2 − 𝑚2 + 6

)

Estudiamos su rango comenzando ‘orlando’ el menor |1 − 21 − 1

|,

imponiendo que ran(C) = 2 si deseamos la compatibilidad.

Orlando con la fila 3 obtengo

/C’/ = -k -2m -6

Orlando con la fila 4 obtengo

/C’’/ = -2k –m +6

Para la compatibilidad han de anularse las dos

{𝑘 + 2𝑚 + 6 = 02𝑘 +𝑚 − 6 = 0

-> k = 6, m = -6

Conclusión: El sistema es compatible solamente cuando k=6 y

m=-6, simultáneamente. En este caso, resolviendo:

{𝑥 − 2𝑦 = 0𝑥 − 𝑦 = 1

-> x=2, y=1

9.- Determina los valores de k y m para los cuales el siguiente

sistema homogéneo sea compatible indeterminado (Esto es:

Tenga solución no trivial):

274

{

3𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 0𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0𝑚𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0𝑥 +𝑚𝑦 − 𝑧 = 0

Sol:

El sistema (homogéneo) admite solución distinta de la trivial si

ran(A)< número de incógnitas.

A = (

3 1 𝑘1 − 1 − 1𝑚 1 11 𝑚 − 1

); su rango es >=2.

Orlando obtenemos

|3 1 𝑘1 − 1 − 1𝑚 1 1

| = ….. = (m+1).(k-1);

|3 1 𝑘1 − 1 − 1 1 𝑚 − 1

| = ….. = (m+1).(k+3);

Hemos de imponer que los dos sean cero:

{(𝑚 + 1). (𝑘 − 1) = 0(𝑚 + 1). (𝑘 + 3) = 0

-> {𝑘 = 1 ó 𝑚 = −1𝑘 = −3 ó 𝑚 = −1

Conclusión para que ran(A) < 3 :

Si m = -1 se cumple.

Si m <> -1, se cumple para k = 1 ó k = -3.

10.- Estudia el sistema según los valores de k


275

{

4𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 𝑘𝑥2𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 𝑘𝑦2𝑥 + 4𝑦 + 8𝑧 = 𝑘𝑧

Sol.:

A = (

(4 − 𝑘) 2 12 (4 − 𝑘) 22 4 (8 − 𝑘)

); |(

(4 − 𝑘) 2 12 (4 − 𝑘) 22 4 (8 − 𝑘)

)| =

= ……….. = -k3 +16k

2 -66k +72;

Igualo a cero y resuelvo (Ruffini):

k3 -16k

2 +66k -72 = 0; k1= 4 es una solución

1 -16 66 -72

4 ¡ 4 -48 72

-----------------------------------

1 -12 18 0 -> k2-12k+18 = 0;

De ésta resultan: k2 = 6+3√2, k3 = 6-3√2

Para estos tres valores de k el sistema es compatible

indeterminado, para otros valores sólo admite la solución trivial.

C) De Endomorfismos

5.- En el Espacio vectorial E2 (en el plano R2) tomamos la base

B = {e1, e2}, siendo g = (e1^e2).

A un vector v = OV cualquiera, cuyas componentes son OP y

OQ, le hacemos corresponder el vector w = OW donde W es la

276

intersección de las perpendiculares desde P y Q a las rectas

soportes de e1 y e2, respectivamente.

Obtener la matriz asociada a este endomorfismo.

Sol.:

v = OV = OP +OQ

OP = OR1+ R1P = OR1 + R1W.cos(g)= OR1+ OR2.cos(g)

OQ = OR2 + R2Q = OR2 + R2W.cos(g)

Podemos expresarlas matricialmente así

(𝑂𝑃𝑂𝑄

) = (1 cos(𝑔)

cos(𝑔) 1) . (

𝑂𝑅1𝑂𝑅2

)

de donde

(𝑂𝑅1𝑂𝑅2

) = (1 cos(𝑔)

cos(𝑔) 1)−1

. (𝑂𝑃𝑂𝑄

)

6.- Sea el endomorfismo en E3 en cuya matriz interviene una

indeterminada (o parámetro)


277

A = (−2 4 21 𝑎 𝑎−1 2 1

)

Comprueba que para cualquier valor de ‘a’ tenemos

dim(Im(f))= 2. Obtener los subespacios Ker(f) (núcleo) e Im(f)

cuando a = -2.

Sol.: Recuerda que dim(Im(f)) = ran(A), y dim(Ker(f)) =

= n –dim(Im(f))

Rango de A: | (−2 4 21 𝑎 𝑎−1 2 1

) | = [-2a-4a+4] - [-2a +4- 4a]= 0,

cualquiera que sea el valor de ‘a’

Observa los menores de orden dos donde no interviene el

parámetro, todos dan cero:

|−2 4−1 2

| = 0, |−2 2−1 1

| = 0, |4 22 1

| = 0,

|−2 41 𝑎

| = −2𝑎 − 4,

Paso a los que sí contienen parámetro:

|−2 4−1 𝑎

| = −2𝑎 + 4, que se anula cuando a = 2.

Para a <> 2 es ran(A) = 2.

278

Cuando a = 2 tomo el menor |4 22 2

| = 8 − 4 <> 0, con los cual

llegamos a que para cualquier valor de ‘a’ es ran(A) = 2, y por

tanto dim(Im(f)) = 0

Consecuencia: dim(Ker(f)) = 1

Tomo a = -2, con lo cual

A = (−2 4 21 − 2 − 2−1 2 1

)

Núcleo: (−2 4 21 − 2 − 2−1 2 1

) . (𝑥𝑦𝑧) = (

000) ->

{

−2𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 0𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 0−𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0

-> {−2𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 0𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 0

−𝑧 = 0

->{−2𝑥 + 4𝑦 = 0𝑥 − 2𝑦 = 0

,

->{−2𝑥 + 4𝑦 = 02𝑥 − 4𝑦 = 0

, 2x = 4y, x = 2y, y libre.

Doy valor: y = 1 -> x = 2, z = 0,-> w = (2,1,0), vector director de

una recta.

Nota:En el Espacio afín E3 esta recta, pasando por el origen de

coordenadas, es el núcleo de f interpretada como una aplicación

afín.

Subespacio Im(f): En una aplicación lineal sabemos que las

columnas de A son las imágenes de los vectores de la base


279

B = {e1,e2,e3}. Es decir

(−2 4 21 − 2 − 2−1 2 1

) . (100) = (

−21−1), y lo mismo para

los otros dos.

Entonces, una base de Im(f) está formada por dos de las columnas

l.i. Lo son

v1 = (4,-2,2), v2 = (2,-2,1)

que son vectores directores de un plano en E3.

Obtengo este plano:

(x,y,z) = a.(4,-2,2) + b.(2,-2,1) -> {𝑥 = 4𝑎 + 2𝑏𝑦 = −2𝑎 − 2𝑏𝑧 = 2𝑎 + 𝑏

,

{𝑥 + 𝑦 = 2𝑎𝑦 = −2𝑎 − 2𝑏𝑧 = 2𝑎 + 𝑏

-> {𝑦 = −𝑥 − 𝑦 − 2𝑏𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑏

, b = z-x-y ,

2y = -x -2z+2x+2y, queda: m: 0 = -2z+x ,

plano que pasa por el origen.

7.- Sea el endomorfismo de V3 definido por

f(x,y,z) = ((m-2)x+2y-z, 2x+my+2z, 2mx+2(m+1)y+(m+1)z)

Escribe su matriz respecto de la base canónica y analiza su núcleo

e imagen.

280

Sol.: B = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}

f(e1) = (m-2, 2, 2m)

f(e2) = (2, m, 2(m+1))

f(e3) = (-1, 2, m+1)

A = (𝑚 − 2 2 − 12 𝑚 2

2𝑚 2(𝑚 + 1) 𝑚 + 1)

Analizo el ran(A) según los valores de m:

|(𝑚 − 2 2 − 12 𝑚 2

2𝑚 2(𝑚 + 1) 𝑚 + 1)| = ⋯… = m3

-3m2 +2m ;

m.(m2 -3m +2) = 0 -> m = 0, m = 1, m = 2;

Para valores de m distintos de 0, 1, 2, ran(A) = 3, y por tanto el

núcleo es cero (Vector cero).

El estudio para estos valores particulares nos lleva a los siguientes

resultados:

m = 0 -> ran(A) = 2, y dim(ker(f)) = 1, subespacio generado por

w = (2,1,-2)

m=1 -> ran(A) = 2, dim(ker(f)) = 1,

m=2 -> ran(A) = 2, dim(ker(f)) = 1,

En cada caso, el núcleo interpretados en el Espacio afín E3 es:


281

m = 0 -> r: {𝑥 = −𝑧𝑧 = −2𝑦, m = 1 -> r:{

𝑥 = −𝑧 𝑦 = 0

m = 2 -> {2𝑥 = −3𝑧2𝑦 = 𝑧

,

D) De Espacios Euclídeos

1.- En E4 tengo el vector v = (1,3,-1,4), y por otro lado los

vectores: v1= (2,1,0,1), v2 = (0,3,1,1). Descomponer v como

suma de dos vectores w1, w2, donde: w1 pertenece al subespacio

<v1,v2>, y w2 ortogonal a este subespacio.

Sol.: v = w1 + w2 = (k1.v1 + k2.v2) + w2 =

= [k1.(2,1,0,1) + k2.(0,3,1,1)] + w2 =

= (2k1, k1+3k2, k2, k1+k2) + (a,b,c,d) ;

El vector w2 ha de ser orthogonal con v1 y v2:

{0 = 2𝑎 + 𝑏 + 𝑑0 = 3𝑏 + 𝑐 + 𝑑

, -> d = (-2.a-b), 0 = 3b + c + (-2.a-b)->

0 = -2.a +2b + c -> c = 2.a-2b; Por tanto:

w2 = (a,b, 2.a-2b, -2.a-b)

Volviendo a la expresión de v queda

282

{

1 = 2𝑘1 + 𝑎3 = 𝑘1 + 3𝑘2 + 𝑏

−1 = 𝑘2 + 2. 𝑎 − 2𝑏4 = 𝑘1 + 𝑘2 − 2. 𝑎 − 𝑏

-> Cuatro ecuaciones con

cuatro incógnitas.

Confío que el alumno será capaz de resolverlo.

2.- En E4 , fijado un subespacio (afín) H1, existe un suespacio

(afín) H2 suplementario de H1 con H2 y que además sean

ortogonales entre sí.

Sea S1 = <v1, v2> el subespacio director de H1, siendo:

v1 = (0,2,1,0), v2 = (1,1,0,1)

a) Obtener una base (o sistema generador) de S2

(subespacio director de H2)

b) Determina el endomorfismo de E4 que sea la proyección

ortogonal de E4 sobre el subespacio afín H2.

Sol.: a) En primer lugar obtengo una base ortogonal de S1:

v = v1 +k.v2 = (k,2+k,1,k), imponiendo que v sea

ortogonal con v1.

0 =v1*v = 2.(2+k)+1 -> k = -5/2 ; tengo

v = (-5/2,-1/2,1,-5/2); tomo v2 = (5,1,-2,5);

Cualquier vector w de V4 admite una expresión de la forma

w = u1 + u2, donde u1= a.v1+b.v2 está en S1,

u2 está en S2.

w = (a.v1+b.v2) + u2 ;


283

Teniendo en cuenta que u2 es ortogonal con v1 y v2, multiplico

escalarmente por v1 y por v2:

v1.w = v1*(a.v1+b.v2) = a.(v1*v1) -> a = 𝑣1∗𝑤

|𝑣1|2

v2.w = v2*(a.v1+b.v2) = b.(v2*v2) -> b = 𝑣2∗𝑤

|𝑣2|2

Veamos cómo obtener la imagen de la proyección ortogonal:

Supongamos w = (x,y,z,t), entonces para ‘a’ y ‘b’ tenemos

(Siendo v1 = (0,2,1,0), v2 = (1,1,0,1))

v1*w = 2y + z, /v1/ = √5 -> /v1/2 = 5 -- > a =

2𝑦+𝑧

5 ,

v2*w = x + y + t, /v2/2 = 3 -- > b =

𝑥+𝑦+𝑡

3 ,

u1 = 2𝑦+𝑧

5.(0, 2, 1, 0) +

𝑥+𝑦+𝑡

3. (1, 1, 0, 1) =

= (𝑥+𝑦+𝑡

3,5𝑥+17𝑦+6𝑧+5𝑡

15 ,2𝑦+𝑧

5 ,

𝑥+𝑦+𝑡

3 )

Designando por (x’,y’,z’,t’) las componentes de u1 tenemos

{

𝑥

′ = 𝑥+𝑦+𝑡

3=

1

15. (5𝑥 + 5𝑦 + 5𝑡)

𝑦′ = 5𝑥+17𝑦+6𝑧+5𝑡

15

𝑧′ = 2𝑦+𝑧

5=

1

15. (6𝑦 + 3𝑧)

𝑡′ = 𝑥+𝑦+𝑡

3=

1

15. (5𝑥 + 5𝑦 + 5𝑡)

;

Por definición la ‘proyección ortogonal’ es la aplicación

284

f: E4 --- > E4

u = u1 + u2 -- > u1 , f(u) = u1 ,

donde (recordamos) u = u1 + u2 es la descomposición de u como

suma de un vector u1 de H1 y otro u2 de H2.

Concluimos que la matriz de la proyección es

A = 1

15. (

5 5 0 55 17 6 50 6 3 05 5 0 5

),

(x’,y’,z’,t’) = 1

15. (

5 5 0 55 17 6 50 6 3 05 5 0 5

) . (

𝑥𝑦𝑧𝑡

)

3.- Obtener un sistema ortogonal con los tres vectores

(ortogonalizar):

v1= (1,1,0,-1), v2 = (1,0,0,4), v3= (2,0,1,-1)

Sol.: Seguimos el Método de ortogonalización de Schmidt.

Hago w1 = v1;

Ahora: w2 = v2 + a.v1 = (1+a, a, 0, 4-a)

0 = w1*w2 = (1,1,0,-1)*(1+a, a, 0, 4-a) =

= (1+a) + a -(4-a) = -3+3.a -- > a = 1


285

w2 = (2, 1, 0, 3) ;

Ahora: w3 = v3 + a.w1 + b.w2 =

= (2+a+2b, a+b, 1, -1-a+3b), que ha de ser

ortogonal con w1 y w2.

{0 = (2 + 𝑎 + 2𝑏) + (𝑎 + 𝑏) + 0 − (−1 − 𝑎 + 3𝑏) = 3 + 3𝑎0 = (4 + 2. 𝑎 + 4𝑏) + (𝑎 + 𝑏) + 0 + (−3 − 3. 𝑎 + 9𝑏) = 1 + 14𝑏

a = -1, b = −1

14

w3 = (2,0,1,-1) -(1,1,0,-1) - 1

14. (2,1,0,3) = (

12

14 ,

−15

14 , 1,

−3

14 )

Tomo: w3 = (12, -15, 14, -3)

4.- En el espacio vectorial V4 tengo los vectores

v1= (2,0,-1,-1), v2 = (2,2,2,2).

a) Demuestra que son ortogonales

b) Determina otros dos vectores w1, w2 , l.i. y ortogonales

con v1 y v2.

c) Determina un vector w ortogonal con v1, v2 y w1, y

comprueba que pertenece al subespacio S2 = <w1,w2>

Sol.: a) V1*v2 = …… = 0

b)w1 = (a,b,c,d), con la condición: v1*w1 = 0, v2*w1 = 0.

Obtengo sistema donde dos son libres:

286

Hago c = 0, d = 2 -> a = 1, b = -3, y obtengo w1 = (1, -3, 0, 2)

Del mismo modo llego a que w2 = (1, -3, 2, 0)

Se puede probar que w1, w2 son l.i.

c)w = (a,b,c,d) que ha de ser ortogonal con v1, v2, w1. Esta

condición nos lleva al sistema

{0 = 2𝑎 − 𝑐 − 𝑑0 = 2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 + 2𝑑0 = 𝑎 − 3𝑏 + 2𝑑

, -> 0 = 4𝑎 − 2𝑐 − 2𝑑0 = 2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 + 2𝑑0 = 𝑎 − 3𝑏 + 2𝑑

Sumo la primera y segunda

0 = 6.a + 2b, y tomando ‘b’ como libre hago

b = -3, con los que a = 1. Llego a que c = 7, d = -5, y

w = (1, -3, 7, -5)

Si doy otros valore a ‘b’ obtengo otras soluciones, evidente.

Se puede comprobar que w = −5

2.w1 +

7

2.w2.

Lo obtengo matricialmente como sigue (como para calcular el

rango por triangulación):

|

𝑤1 → (1 − 3 0 2)𝑤2 → (1 − 3 2 0)𝑤 → (1 − 3 7 − 5)

| -> |

𝑤1 → (1 − 3 0 2)𝑤2 − 𝑤1 → (0 0 2 − 2)𝑤 − 𝑤2 → (0 0 5 − 5)

|->

5.(w2-w1) = 2.(w –w2), 2.w = -5.w1 +7w2


287

5.- En una base B = {u1, u2} ortonormal calcula el ángulo

formado por los siguientes vectores:

u = 2u1-3u2, v = 4u1-5u2.

Res.: cos(u^v) = 𝑢∗𝑣

|𝑢|.|𝑣| = … =

23

√13.√41 = 0,9962 -- >

g = arcCos(0,9962) = 4,9965º -> g = 5º

6.- Fijado un punto P del plano, determina el lugar geométrico de

los puntos Q tales que OP*OQ = /OP/

Res.: Observa la figura: OP*OQ =

= /OP/./OQ/.cos(g) = /OP/.proy(OQ/OP) = /OP/ ,

Observa que: OP*OQ = /OP/./OQ/.cos(g) =

(y tomando /OP/ como unidad )

= /OQ/.cos(g) = “proyección de OQ sobre la recta soporte de OP”

7.- En una base ortonormal B = {u1, u2} tomo los vectores

u = -3u1+ 5u2, v = -7u1-u2. Calcula la preoyección de u sobre

la recta soporte de v.

Res.:

288

/OP/ = /u/.cos(g) = 𝑢∗𝑣

|𝑣|

u*v = (-3u1+5u2)*(-7u1-u2) = … = 21-5 = 16

/v/ = √𝑣 ∗ 𝑣 = … = √50

Por tanto: /OP/ = 16

√50

8.- Si u1 y u2 son tales que /u1/ = /u2/, y u1*u2 = 0, comprueba

que los vectores u = a.u1-b.u2, v = a.u1+b.u2 son ortogonales.

Res.: u*v = (a.u1+b.u2)*(b.u1-a.u2) = (a.b)./u1/ -a2.u1*u2 +

+ b2.u2*u1 –(b.a)./u2/ = …. = 0

9.- En una base B = {u1, u2} tal que /u1/ = /u2/, (u1^u2) = 60º ,

calcula el módulo (o norma) del vector v = u1+ u2

Res.: /v/ = √𝑣 ∗ 𝑣 , v*v = (u1+ u2)*(u1+ u2) =

= /u1/2 + 2.(u1*u2) + /u2/

2 =

= 2./u1/2 + 2./u1/./u2/.cos(60º) = 2./u1/

2 + 2./u1/

2 . 1

2 =

= 3./u1/2 , Por tanto: /v/ = √3 . /u1/


289

10.- En una base B = {u1,u2} tal que /u1/ = 2, /u2/ = 3,

u1*u2 = 4, ¿Qué valor ha de tomar ‘a’ para que los vectores

u = 11u1+ a.u2, v = u1+ 2u2 sean ortogonales?.

Res.: a = -6

11.- En una base B = {u1, u2} normada (/u1/=/u2/= 1) y

u1*u2 = 1/5, halla un vector u unitario que sea ortogonal al

vector v = 29.u1-25.u2

Res.: Sea u = x.u1+ y.u2 el vector pedido.

/u/ = √𝑢 ∗ 𝑢 = ⋯ √𝑥2 +2

5. 𝑥𝑦 + 𝑦2 ,

0 = u*v = … = (xu1+yu2)*(29u1-25u2) =

= 29x-5x +29/5.y -25y = 24x -96/5.y -- >

0 = 120x-96y, 0 = 5x -4y

Tengo el sistema: {5𝑥 − 4𝑦 = 0

𝑥2 +2

5𝑥𝑦 + 𝑦2 = 1

-> x = 4/7, y = 5/7,

ó x = -4/7, y = -5/7

12.- En una base B = {u1,u2} ortonormal, sean los vectores: u =

OA = 3u1+ u2, v = OB = 2u1+ 5u2, w = OC = 7u1. Comprueba

que el triágulo ABC es equilátero. Calcula su perímetro.

Res.: Perímetro P = /u/+/v/+/w/ = … = 2.√17 + 5. √2,

ya que /u/ = … = √17 , /v/ = … = 5.√2 , /w/ = … = √17

290

E) De Espacios Afines y Espacios Métricos

1.- Determina la ecuación de los siguientes planos:

a) Plano m que pasa por P(3, 2, 5) y es paralelo al plano

m’: 2x –y + 3z = 4

b)Plano m que pasa por los puntos

P(0,1,2), Q(1,3,-1) y es paralelo a la recta r:

{𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 0𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 2

Sol.:

a) Por ser paralelo a m’:

m: 2x -y + 3z + d = 0

Si pasa por P: 6-2+15 +d = 0 -> d = -19, y queda

m: 2x -y + 3z - 19 = 0

b) Uno de los vectores directores de m es

v1 = PQ = (1, 2, -3)

Otro será el director de r.

Hago z = 0: {𝑥 + 2𝑦 = 0𝑥 − 4𝑦 = 2

-> 6y = -2, y = -1/3,

x = 2/3, y tengo el punto P1(0, 2/3, -1/3)

Hago z = 1: {𝑥 + 2𝑦 = 3𝑥 − 4𝑦 = 1

-- > 6y = 2, y = 2/3,

x = 3-4/3 = 5/3 -- > punto Q(5/3, 2/3, 1)


291

Vector v2 = PQ = (5/3, 0, 4/3).

El subespacio director de m está generado por los vectores:

v1 = (1,2,-3), v2 = (5,0,4)

Si X es un punto de m: OX = OP + k1.v1 + k2.v2

(x, y, z) = (0, 2/3, -1/3) + k1.(1, 2, -3) + k2.(5, 0, 4)

{

𝑥 = 𝑘1 + 5𝑘2

𝑦 = 2

3+ 2𝑘1

𝑧 = −1

3− 3𝑘1 + 4𝑘2

; Elimino los parámetros k1, k2

{𝑥 = 𝑘1 + 5𝑘23𝑦 = 2 + 6𝑘1

3𝑧 = −1 − 9𝑘1 + 12𝑘2

-> k1 = 3𝑦−2

6 ->

{𝑥 =

3𝑦−2

6+ 5𝑘2

3𝑧 = −1 −27𝑦−18

6+ 12𝑘2

->

{6𝑥 = 3𝑦 − 2 + 30𝑘2

18𝑧 = −6 − 27𝑦 + 18 + 72𝑘2

k2 = 6𝑥−3𝑦+2

30 -> 18z+27y-12 = 72.

6𝑥−3𝑦+2

30 ; simplifico

dividiendo por 3 y después multiplico por 30.

6z+9y-4 = 24. 6𝑥−3𝑦+2

30 -> 180z + 270y-120 = 24.(6x-3y+2),

divide entre 6

30z + 45y -20 = 24x -12y + 8,

292

m: 24x -57y -30z + 28 = 0

OTRA FORMA:

{𝑥 = 𝑘1 + 5𝑘23𝑦 = 2 + 6𝑘1

3𝑧 = −1 − 9𝑘1 + 12𝑘2

-- >

{𝑥 = 𝑘1 + 5𝑘2

3𝑦 − 2 = 6𝑘1 3𝑧 + 1 = −9𝑘1 + 12𝑘2

,

sistema cuyas incógnitas son k1, k2

A = (1 56 0−9 12

), ran(A) = 2;

Para que sea compatible el de la ampliada ha de ser también 2

|1 5 𝑥6 0 3𝑦 − 2−9 12 3𝑧 + 1

| = 0 -> [-45.(3y-2)+72x] –

-[30.(3z+1)+12.(3y-2)] = [-135y+90+72x] –

-[90.z +30 +36y -24] = 72x -171y -90z +84 = 0,

m: 24x -57y -30z +28 = 0

2.- Determina la recta r con las condiciones exigidas en cada

caso:

a) Pasa por P(1,3,4) y es paralela a la recta


293

r’: 𝑥−2

−3 =

𝑦+1

1=

𝑧+5

2

b)Pasa por el punto P(2, -1, 5) y es paralela a los planos

m1: 2x+3y-4z = 6, m2: 3x-y+z = 4

Sol.: a) Por ser paralelas r será de la forma

𝑥−𝑎

−3 =

𝑦−𝑏

1=

𝑧−𝑐

2 , y si ha de pasar por P

cumplirá 𝑥−1

−3 =

𝑦−3

1=

𝑧−4

2

b)Por ser paralela a los dos planos

r: {2x + 3y − 4z = d

3x − y + z = d′ , y si ha de pasar por el punto P

{4 − 3 + 40 = d6 + 1 + 5 = d′

-> d = 41, d’ = 12,

la solución es

r: {2x + 3y − 4z = 413x − y + z = 12

3.- Dados el plano m: x –y + z = 5, y la recta

r: 𝑥−1

4=

𝑦+3

2=

𝑧+2

3 , resuelve las siguientes cuestiones:

a) Expresar r como intersección de dos planos

b) Determina el punto común de r y m

294

Sol.: a) Basta tomar 𝑥−1

4=

𝑦+3

2 y operar para obtener uno de los

planos

2x-2 = 4y+12 -- > m1: x -2y -7 = 0

Tomando 𝑦+3

2=

𝑧+2

3 obtenemos el otro: 3y + 9 = 2z + 4,

m2: 3y -2z + 5 = 0 , r: {𝑥 − 2𝑦 − 7 = 03𝑦 − 2𝑧 + 5 = 0

b)El punto común es la solución (o soluciones), si la tiene, del

sistema

{x – y + z = 5 𝑥 − 2𝑦 − 7 = 03𝑦 − 2𝑧 + 5 = 0

; Resulta: P(17

5,−9

5 ,−1

5 )

4.- Determina la ecuación del plano m que pasa por los puntos

P(3, 2, -1), Q(4, 0, 2), y es perpendicular al plano

m’: x -5y + 2z = 6.

Sol.: Uno de sus vectores directores es v1 = PQ = (1,-2,3)

Sabemos que el vector v2 = (1,-5,2) es ortogonal al plano m’. y

por tanto también es director de m. Entonces, para cualquier

punto X de m

OX = OP + k1.(1,-2,3) + k2.(1,-5,2), de donde

{𝑥 = 3 + 𝑘1 + 𝑘2𝑦 = 2 − 2𝑘1 − 5𝑘2𝑧 = −1 + 3𝑘1 + 2𝑘2

, donde las incógnitas son k1, k2


295

A = (1 1−2 − 53 2

), ran(A) = 2; La ampliada

C = (1 1 𝑥 − 3−2 − 5 𝑦 − 2 3 2 𝑧 + 1

), cuyo rango debe se 2, y por tanto /C/

tiene que ser cero:

/C/ = [-5.(z+1)+3.(y-2)-4.(x-3)] –[-15.(x-3)-2.(z+1)+2(y-2)] =

= [-4x+3y-5z+1] – [-15x+2y-2z+39] = 11x +y -3z -38,

que igualo a cero, y obtengo

m: 11x + y -3z = 38

5.- Determina la ecuación de la recta r que pasa por P(4,4,1) y

corta ortogonalmente a la recta

r’: 𝑥−7

1=

𝑦+2

3=

𝑧−3

−4

Sol.:

296

PRIMER procedimiento: Supongamos el plano m1 que pase por

P y sea ortogonal con r’:

m1: x + 3y -4z + D = 0, y si pasa por P

4 + 12 -4 + D = 0 -> D = -12, por tanto

m1: x +3y -4z = 12;

Por otro lado tomo el plano m2 que pase por P y contenga r’:

r’ como intersección de planos: {3𝑥 − 𝑦 − 21 = 0−4𝑦 − 3𝑧 + 1 = 0

La ecuación del haz de todos los planos que pasan por r’ es

haz: (3𝑥 − 𝑦 − 21) + 𝑘. ( −4𝑦 − 3𝑧 + 1) = 0

Selecciono el que pasa por P(4,4,1):

(12-4-21) + k.(-16-3+1) = 0 -- > -18.k = 13,

k = -13/18, y el plano m2 es

(3x-y-21) -13/18.(-4y-3z+1) = 0

54x-18y-21.18 +52y+39z -13 = 0 ->

m2: 54x + 34y + 39z -391 = 0

Finalmente tengo r: {x + 3y − 4z = 12

54x + 34y + 39z − 391 = 0

SEGUNDO procedimiento: Según esto obtendremos además el

punto Q de corte.


297

Sea Q(x’,y’,z’) un punto cualquiera de r’:

Este punto satisface OQ = OP + k1.v1, de donde

(x’, y’, z’) = (7,-2,3) + k1.(1,3,-4) = (7+k1, -2+3k1, 3-4k1)

OP = (4,4,1), PQ = (3+k1, -6+3k1, 2-4k1);

El vector PQ ha de ser ortogonal con v1, y por tanto

0 = (3+k1) + 3.(-6+3k1) -4.(2-4k1) -- > 0 = -6k1 -23 -- >

k1 = -23/6 ;

Queda

{

𝑥′ = 7 −

23

6=

19

6

𝑦′ = −2 −23

2=

−27

2

𝑧′ = 3 +92

6= 3 +

46

3=

55

3

, y el punto de corte

es Q(19

6,−27

2 , 55

3 ); El vector director de la recta r es

v = PQ = (5

6 , −

35

2,52

3 ) , y por tanto

r: 𝑥−45

6

= 𝑦−4

−35

2

= 𝑧−152

3

298

6.- Determina la ecuación del plano m que pase por P(2,-3,-4) y

sea perpendicular a los dos planos:

m1: x + 2y –z = 8, m2: 7x -2y + z = 3

Sol.: Sea la ecuación general

Ax + By + Cz + D = 0

Si pasa por P: 2.A -3.B -4.C + D = 0

El vector w = (A, B, C) es ortogonal a m1 y m2, y por

tanto es ortogonal a los vectores

v1 = (1, 2, -1), v2 = (7,-2,1), y obtenemos así el sistema

{2. 𝐴 − 3. 𝐵 − 4𝐶 + 𝐷 = 0

𝐴 + 2𝐵 − 𝐶 = 07𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = 0

; Haciendo D = -1

podríamos resolver el sistema {2. 𝐴 − 3. 𝐵 − 4𝐶 = 1 𝐴 + 2𝐵 − 𝐶 = 07𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = 0

OTRA FORMA: Si Q(x, y, z) es un punto cualquiera del plano m,

agregamos al anterior sistema la igualdad

A.x + B.y + C.z = 1 (hemos hecho D = -1)

con lo cual tengo

{

2. 𝐴 − 3. 𝐵 − 4𝐶 = 1 𝐴 + 2𝐵 − 𝐶 = 07𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = 0

𝑥. 𝐴 + 𝑦. 𝐵 + 𝑧. 𝐶 = 1

, cuyas

incógnitas son A, B, C.


299

Para que sea compatible el determinante de la ampliada ha de ser

cero, ya que la de coeficientes

(

2 − 3 − 41 2 − 17 − 2 1𝑥 𝑦 𝑧

) tiene rango 3 ;

0 = |(

2 − 3 − 4 11 2 − 1 07 − 2 1 0𝑥 𝑦 𝑧 1

)| = -|1 2 − 17 − 2 1𝑥 𝑦 𝑧

| +|2 − 3 − 41 2 − 17 − 2 1

| =

= -([-2z+2x-7y] -[2x+y+14z]) + ([4+21+8] -[-56+4-3]) =

= -(-8y-16z) +(33+55 = 8y + 16z + 88 = 0,

solución m: y + 2z +11 = 0

7.- Dado el punto P(-2, 3, 0) calcula:

a) Distancia a la recta r: 𝑥−2

4=

𝑦+3

5=

𝑧+1

2

b) Distancia al plano m: x -2y + 8z = 3

Sol.: a) Hallo el plano m’ que pasa por P y sea perpendicular a r,

y calculo el punto Q de corte. Entonces

d(P, r) = d(P, Q)

El vector w = (4,5,2) es ortogonal a m’ :

300

m’: 4x + 5y + 2z + D = 0; Si pasa por P cumple

-8 +15 + 0 + D = 0 -> D = -7,

m’ : 4x + 5y + 2z -7 = 0

Punto Q de corte: Resuelvo

{

5𝑥 − 4𝑦 − 22 = 02𝑦 − 5𝑧 + 1 = 0

4𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧 − 7 = 0 -> Q(

−55

45,154

45 ,−13

45 )

d(P, r) = d(P, Q)

b)d(P, m) = |−2−6+𝑜−3|

√1+4+64=

11

√69

8.- Resuelve las siguientes cuestiones:

a) Distancia entre los dos planos

m1: 2x + 4y –z + 7 = 0, m2: 4x + 8y -2z = 1

b)Distancia entre las dos rectas

r1: 𝑥−2

5=

𝑦+4

3=

𝑧+1

−2 , r2:

𝑥

3=

𝑦+2

−4=

𝑧−1

4

Sol.: a) Evidentemente los planos han de ser paralelos, y este es

el caso. Observa la figura


301

m1: 2x + 4y –z +7 = 0, m2: 2x + 4y –z -1/2 = 0

d(m1, m2) = d(O, m2) – d(O, m1) = |𝐷2−𝐷1|

√𝐴2+𝐵2+𝐶2 , en nuestro caso

d(m1, m2) = |−

1

2 −7|

√21=

15

2√21

NOTA: Con relación a distancia de un plano m al origen O

hemos de tener en cuenta que

d(O,m) = 𝐷

√𝐴2+𝐵2+𝐶2 -- >

{> 0 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑙𝑎 ′𝑧𝑜𝑛𝑎′ 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎

< 0 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑙𝑎 ′𝑧𝑜𝑛𝑎′𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎

b)Tomo el plano m que pase por r2 y sea paralelo a r1. Entonces

d(r1, r2) = d(r1, m) = d(P, m) donde P es un punto cualquiera de

r1

302

Datos: r1: 𝑥−2

5=

𝑦+4

3=

𝑧+1

−2 , r2:

𝑥

3=

𝑦+2

−4=

𝑧−1

4

Un vector director de m es v1 = (5, 3, -2); Tengo el punto

P2(0, -2, 1) de r2, y obteniendo otro consigo otro punto y así

obtengo otro vector director:

r2: {−4𝑥 − 3𝑦 − 6 = 04𝑦 + 4𝑧 + 4 = 0

->{−4𝑥 − 3𝑦 − 6 = 0𝑦 + 𝑧 + 1 = 0

;

hago z = 0 -> y = -1, -4x + 3-6 = 0, -4x = 3, x = -3/4

y tengo el punto Q(-3/4, -1, 0), y el vector v2 = (-3/4, 1, -1),

tomo: v2 = (-3, 4, -4)

Si X(x, y, z) es genérico de m, tengo:

OX = OP + k1.v1+ k2.v2 -> {𝑥 = 0 + 5𝑘1 − 3𝑘2𝑦 = −2 + 3𝑘1 + 4𝑘2𝑧 = 1 − 2𝑘1 − 4𝑘2

donde la incógnitas son k1, k2. Para que sea compatible


303

0 = |5 − 3 𝑥3 4 𝑦 + 2−2 − 4 𝑧 − 1

| = [20.(z-1)+6.(y+2) -12.x] –

-[-8x -9.(z-1)-20.(y+2)] = [-12x+6y+20z-8] – [-8x-20y-9z-31] =

-4x + 26y + 29z + 23

Plano m: -4x + 26y + 29z + 23 = 0

Tomo el punto P(2, -4, -1) de r1, y entonces

d(r1, r2) = d(P, m) = |−8−104−29+23|

√16+262+292=

|−118|

√1533=

118

√1533


a) Determina el ángulo formado por las

rectas r1: 𝑥−2

2=

𝑦−3

6=

𝑧−1

7 , r2:

𝑥−1

2=

𝑦−3

4=

𝑧−2

9 ,

b) Determina el ángulo formado por los

planos m1: x + 2y -5z = 4, m2: 2x + 3y –z = 3

Sol.: a)

áng(r2, r1) = áng(v2, v1)

304

v1 = (2,6,7), v2 = (2,4,9)

áng(v2, v1) = 𝑣2∗𝑣1

|𝑣2|.|𝑣1|=

91

√101.√89=

91

√8989= 0,9598 𝑟𝑎𝑑.

b)Para los planos: m1: x + 2y -5z = 4,

m2: 2x + 3y –z = 3

áng(m1, m2) = áng(w1, w2)

w1 = (1,2,-5), w2 = (2,3,-1); w1*w2 = 13,

|𝑤1| = √30 , |𝑤2| = √14 ,

áng(w1,w2) = 13

√30.14= 0,6343 𝑟𝑎𝑑.


a) Determina el ángulo formado por la recta r:

{𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 4𝑥 − 4𝑦 − 5𝑧 = 6

, y el plano

m: 3x -y + 4z +3 = 0

b)Determina los cosenos directores de la perpendicular

por el origen al plano m anterior


305

c)Determina los cosenos directores de la recta r

Sol.: a) Expresión de r en forma continua y así obtengo un vector

director:

{−2𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = −8𝑥 − 4𝑦 − 5𝑧 = 6

-> -x -7z = -2, z = 𝑥−2

−7

{𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 4𝑥 − 4𝑦 − 5𝑧 = 6

-> 2y +6z = -2, z = 𝑦+1

−3 ,

por tanto

r: 𝑥−2

−7=

𝑦+1

−3 =

𝑧

1 , -> v = (-7, -3, 1) ;

Recordamos que, si g + g’ = 90º, entonces sen(g) = cos(g’)

w = (3, -1, 4); sen(g) = cos(g’) = −14

√31 .√26=

= −14

√806= −0,4931 , g = arcSen(-0,4931) = -0,5157 rad

Este resultado exige analizar con más detalle la situación real,

como sigue (Observa la figura)

306

En este caso g’-g = 90º, g’+ (-g) = 90º, sen(-g) = cos(g’) =

= −0,4931, por lo que –sen(g) = −0,4931, y por tanto sen(g) =

0,4931, y g = 0,5156 rad , que es el resultado esperado y correcto.

b) m: 3x –y + 4z + 3 = 0, w = (3, -1, 4), /w/ = √26

cos(g1) = 3

√26 , cos(g2) =

−1

√26, cos(g3) =

4

√26 ;

c) r: {𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 4𝑥 − 4𝑦 − 5𝑧 = 6

y en forma continua

r: 𝑥−2

−7=

𝑦+1

−3 =

𝑧

1 , -- > v = (-7,-3,1), /v/ = √59,

cos(g1) = −7

√59 , cos(g2) =

−3

√59 , cos(g1) =

1

√59 ;


307

11.- Dados el plano m: 2x –y + z = 1 y la recta

r: 𝑥−1

2=

𝑦+1

−1=

𝑧

1 ,

proyectar esta recta, en la dirección del vector w = (4,-1,3), sobre

el plano m.

Sol.: La citada proyección coincide con la intersección con m del

plano m’ que contiene a la recta r y uno de cuyos vectores

directores es w.

Evidentemente, los vectores v1 = (2,-1,1), director de r, y

v2 = w = (4, -1, 3) son generadores del subespacio director de m’.

Sea OX = OP + k1.v1 + k2.v2, donde P(1,-1,0) es un punto de r,

y X es punto de m’. Entonces

{𝑥 = 1 + 2. 𝑘1 + 4. 𝑘2𝑦 = −1 − 𝑘1 − 𝑘2𝑧 = 𝑘1 + 3𝑘2

, donde las incógnitas son

k1 y k2.

308

Para que el sistema sea compatible

0 = |( 2 4 𝑥 − 1−1 − 1 𝑦 + 11 3 𝑧

)| = [-2z-3(x-1) + 4(y+1)]-

-[-(x-1)-4z +6(y+1)] = [-2z-3x+4y+7] – [-x+6y-4z+7] =

= -2x -2y + 2z ,

Plano m’: x + y -z = 0

La proyección pedida es la recta r’:

{𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 1 = 0

12.- Responde a las siguientes cuestiones:

Posición relativa de los tres planos

{

𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 22𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0𝑥 + 4𝑦 − 5𝑧 = 3

Sol.: El rango de A y de la ampliada es igual a 3, por lo tanto

tienen un punto, y sólo uno, en común.

13.- Dada la recta

r: 𝑥−1

3=

𝑦+2

4=

𝑧

−1 ,

determina la ecuación de la recta r’ que sea paralela a r y que se

apoye en las siguientes dos rectas


309

r1: 𝑥

−4=

𝑦−2

3=

𝑧

−2 , r2:

𝑥+1

−1=

𝑦−3

−2=

𝑧+1

5

Sol.: Estrategia: Obtengo plano m1 que pase por r1 y sea paralelo

a r. Obtengo el plano m2 que pase por r2 y sea paralelo a r. La

intersección de m1 con m2 es la recta r’ pedida.

r1 -> {3𝑥 = −4𝑦 + 8−2𝑦 + 4 = 3𝑧

; haz de planos:

(3x+4y-8) + k.(-2y-3z+4) = 0

3x + (4-2k).y -3k.z + (-8+4k) = 0

Impongo que es paralelo con r: v = (3, 4, -1),

0 = 9 + 4.(4-2k) + 3k -> 0 = -5k + 25, k = 5

m1: 3x -6y -15z +12 = 0, m1:x -2y-5z + 4 = 0

r2: 𝑥+1

−1=

𝑦−3

−2=

𝑧+1

5

r2 -> {−2𝑥 − 2 = −𝑦 + 35𝑦 − 15 = −2𝑧 − 2

; haz de planos:

(2x –y +5) + k.(5y +2z-13) = 0,

2x+ (-1+5k)y + 2kz +(5-13k) = 0

Impongo paralelismo con r: v = (3,4,-1)

0 = 6 + 4.(-1+5k) -2k, 0 = 18k +2 -> k = -1/9

310

m2: 2x -14/9.y -2/9.z + 44/9 = 0;

m2: 18x-14y-2z + 58 = 0, m2: 9x -7y –z + 29 = 0

Finalmente: r’: {𝑥 − 2𝑦 − 5𝑧 + 4 = 09𝑥 − 7𝑦 − 𝑧 + 29 = 0

OTRO MÉTODO: Observa la figura

v = (3,4,-1), v1 = (-4,3,-2), v2 = (-1,-2,5),

A(1, -2, 0), A1(0, -2, 0), A2(-1, 3, -1)

PQ = k.v = (3k, 4k, -k); PQ = OQ -OP = [OA2+ k2.v2] -

- [OA1 +k1.v1];

PQ = [(-1, 3, -1) + (-k2, -2k2, 5k2)] –

-[(0, -2, 0) + (-4k1, 3k1, -2k1)];

PQ = (-1-k2, 3-2k2, -1+5k2) – (-4k1, -2+3k1, -2k1)

PQ = (-1+4k1-k2, 5-3k1-2k2, -1+2k1+5k2)

Igualando tengo el Sistema


311

{3𝑘 = −1 + 4𝑘1 − 𝑘2 4𝑘 = 5 − 3𝑘1 − 2𝑘2 −𝑘 = −1 + 2𝑘1 + 5𝑘2

-> {3𝑘 − 4𝑘1 + 𝑘2 = −1 4𝑘 + 3𝑘1 + 2𝑘2 = 5 𝑘 + 2𝑘1 + 5𝑘2 = 1

Sistema cuyas incógnitas son k, k1, k2

A = (3 − 4 14 3 21 2 5

), /A/ = [45-8+8]-[3+12-80] =

= 45 + 65 = 110; ran(A) = 3

Aplico Método de Sarrus:

Ak = (−1 − 4 15 3 21 2 5

), /Ak/ = [-15-8+10] – [3-4-100]

= -13 +101 = 88 -> k = 88/110 = 44/55

Ak1 = (3 − 1 14 5 21 1 5

), /Ak1/ = [75-2+4] – [5-20+6] =

= 77 +9 = 86 -> k1 = 86/110 = 43/55

Ak2 = (3 − 4 − 14 3 51 2 1

), /Ak2/ = [9-20-8] –[-3-16+30]

= -19 -11 = -30 -> k2 = -30/110 = -15/55

Punto P: OP = OA1 + k1.v1 = (-4k1, -2+3k1, -2k1) =

312

= (-4.43/55, -2+3.43/55, -2.43/55) =

= (-172/55, 19/55, -86/55)

Ecuación de r’: 𝑥 +

172

55

3=

𝑦−19

55

4=

𝑧+86

55

−1

Nota: Obvio la comprobación porque interesa fundamentalmente

el método.

14.- Determina la ecuación del plano m que pasa por la recta r:

{𝑥 = 𝑦𝑧 = 0

, y dista uno del punto P(3, 2, 1).

Sol.: Ecuación del haz de planos

m’: (x –y) + k.z = 0, m’: x –y + kz = 0

Distancia al punto P:

1 = 3−2+𝑘

√2+𝑘2=

1+𝑘

√2+𝑘2 -> √2 + 𝑘2 = 1 + 𝑘 ,

2+k2 = 1+2k+k

2 , 2 = 1+2k, 1 = 2k, k = 1/2

m: x –y + 1/2.z = 0, m: 2x -2y + z = 0

15.- Determina el punto simétrico P’ del punto P(1, 2, 3) respecto

de la recta

r: 𝑥−1

−1=

𝑦−2

2=

𝑧

1


313

Sol.: Obtengo el plano m que pasa por P y es perpendicular a r. El

vector v = (-1, 2, 1), director de r, es ortogonal a m.

Tom v =(1,-2,-1), m: x -2y –z + D = 0

Pasa por P: 1-4-3 + D = 0 -> D = 6, m: x-2y-z + 6 = 0

Hallo punto de corte entre m y r:

r: {2𝑥 + 𝑦 = 4𝑦 − 2𝑧 = 2

-> {

2𝑥 + 𝑦 = 4𝑦 − 2𝑧 = 2

𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = −6 ,

A = (2 1 00 1 − 21 − 2 − 1

), /A/ = [-2-2]-[8] = -12,

Ax = ( 4 1 02 1 − 2−6 − 2 − 1

), /Ax/ = [-4+12] –[-2+16] = -6

x = 6/12 = 1/2

Ay = (2 4 00 2 − 21 − 6 − 1

), /Ay/ = [-4-8] –[24] = -36

y = 3

Az = (2 1 40 1 21 − 2 − 6

), /Az/ = [-12+2] –[4-8] = -6

z = 1/2

Punto obtenido Q(1

2, 3,

1

2 ) , Dato P(1, 2, 3),

314

Vector w = PQ = (-1/2, 1, -5/2);

OP’ = OP + 2.PQ = (1, 2, 3) + (-1, 2, -5) = (0,4,-2)

El punto pedido es P’(0, 4, -2)

OTRO FORMA: Q(1

2, 3,

1

2 ) es el punto medio del segmento

con extremos P(1,2,3) y P’(x,y,z), por lo que

{

1+𝑥

2=

1

2

𝑦+2

2= 3

3+𝑧

2=

1

2

, -> P’(0, 4, -2)

16.- Tengo dos Sistemas de referencia:

S = {O; u1, u2}, S’ = {O’; v1, v2}, relacionados como

sigue:

{𝑣1 = 𝑢1 + 𝑢2𝑣2 = 𝑢1 − 𝑢2

𝑂′𝑂 = 2𝑢1 − 3𝑢2

Determina las ecuaciones del cambio de S a S’.

Si P(-1, 2) respecto de S, halla sus coordenadas respecto de S’.

Res.: OQ = x.u1+ y.u2, O’Q = x’.v1 + y’.v2


315

OQ = OO’ + O’Q

x.u1+ y.u2 = -2u1 + 3u2 + x’.(u1+u2) + y’.(u1-u2)

->

(x+2).u1 + (y-3).u2 = (x’+y’).u1 + (x’-y’).u2

->

{𝑥 + 2 = 𝑥′ + 𝑦′

𝑦 − 3 = 𝑥′ − 𝑦′ , {

𝑥 = −2 + 𝑥′ + 𝑦′

𝑦 = 3 + 𝑥′ − 𝑦′ ,

Podemos despejar x’, y’ , obteniendo

{𝑥′ = −

1

2+1

2. 𝑥 +

1

2. 𝑦

𝑦′ =5

2+1

2. 𝑥 −

1

2. 𝑦

P(-1, 2) -> x’ = …. , y’ = …

17.- a) Determina las ecuaciones de la traslación

OO’ = 3u1-4u2 . Obtener las coordenadas de la imagen

de P(2, 3)

a) Determina las ecuaciones del giro

g = π/4

Obtener las nuevas coordenadas de P(2, 3)

Res.: a) OQ = OO’ + O’Q = 3u1-4u2 + (x’.u1+y’.u2)

316

OQ = x.u1 + y.u2

x.u1 + y.u2 = 3u1-4u2 + (x’.u1+y’.u2)

(x-3).u1 + (y+4).u2 = x’.u1 + y’.u2 ->

{𝑥′ = 𝑥 − 3𝑦′ = 𝑦 + 4

; P(2, 3) -> x’ = -1, y’ = 7

b)

Por estudio realizado sabemos que las ecuaciones del giro son

(𝑥′

𝑦′) = (

cos(𝑔) 𝑠𝑒𝑛(𝑔)

−𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos (𝑔)) . (

𝑥𝑦) , de donde

{𝑥′ = 𝑥. cos(𝑔) − 𝑦. 𝑠𝑒𝑛(𝑔)

𝑦′ = 𝑥. 𝑠𝑒𝑛(𝑔) + 𝑦. cos(𝑔) -> {

𝑥′ = 𝑥.√2

2+ 𝑦.

√2

2

𝑦′ = −𝑥.√2

2+ 𝑦.

√2

2

P(2, 3) -> x’ = … , y’ = …

---------------


317

BIBLIOGRAFÍA

Álgebra Moderna

Autor: A. Lentin y J. Rivaud

Traducción: Emilio Motilva Ylarri

Aguilar, S.A. de Ediciones, Madrid, año: 1965

Ejercicios de Álgebra Moderna

Autor: A. Lentin y J. Rivaud

Traducción: Emilio Motilva Ylarri


Lecciones de Álgebra Moderna

Autor: P. Dubreil, M.L. Dubreil-Jacotin

Traducción: R. Rodríguez Vidal

Editorial Reverté, S.A., Barcelona, año: 1971

Álgebra

Autor: Serge Lang (Universidad de Colombia)

Traducción: Milagros Ancochea


Geometría Vectorial

Autor: Norberto Cuesta Dutari

Editorial Alhambra, S.A., Madrid 1968

Álgebra Lineal

Autor: Daniel Hernández Ruipérez

Ediciones Universidad de Salamanca, año: 1990

Álgebra y Geometría Analítica

Autor: Francisco Granero Rodríguez

Edita: McGraw-Hill (Ediciones La Colina, S.A. (España))

318

Edición de 1985

Álgebra Lineal (incluyendo Teoría de Conjuntos),

y Problemas resueltos

Autor: Alberto Luzárraga

Editado por el autor, Barcelona 1968

Álgebra Superior (Higher Algebra)

Autor: H.S. Hall, M. A., y S.R. Knight, B.A.

Traducción: Rafael García Díaz

Unión Tipográfica Editorial Hispano Americana, México,

Reimpresión de 1969

Lecciones de Álgebra

5ª Edición, Madrid 1960

Julio Rey Pastor

Geometría Básica

Autor: Pedro Abellanas

(Copyright by the Author)

Editorial Romo, S.L., Madrid, año: 1969

Teoría de Conjuntos y Temas Afines (Teoría y Proble.)

Autor: Seymour Lipschutz

Editorial: Libros McGraw-Hill, 1969,México

Serie compendios SCHAUM


319

NOTACIÓN y Nomenclatura. Valores:

Símbolo Significado

* Producto

. Producto

^ Potencia

sqr(a) Raíz cuadrada

rad(a) Raíz cuadrada

rad(a;n) Radical con índice n

rad(a;n/m) Radical con índice n/m

∈ significa ‘pertenece a’

∞ infinito

exp(x) Exponencial: exp(x) = ex

exp(x;a) Exponencial de base a>0:

exp(x;a) = ax

ln(x) Logaritmo neperiano:

y = ln(x) <--> x = ey

log(x;a) Logaritmo base a>0:

y = log(x;a) <--> x = ay

≅ aproximado

∆ incremento

320

< menor que, > mayor que, Ej.: x < y, x > y

Valores:

𝜋 = 3,1415927... (número pi, en radianes)

pi = 3,1415927... (número pi, en radianes)

e = 2,7182818... (número e, base de ln(x))

sen(0) = 0 cos(0) = 1

sen(pi/6) = 1

2 cos(pi/6) =

√3

2

sen(pi/3) = √3

2 cos(pi/3) =

1

2

sen(pi/2) = 1, cos(pi/2) = 0

Á l g e b r a l i n e a l

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