Un algoritmo general de tipo Ruffini para la divisin de polinomios arbitrariosEscrito por Domingo Hernndez Abreu el 10-07-2007 23:00 Visitas 24451 Estimad@ lector/a, muy probablemente recordars con cierto estupor aquellas soporferasclases de matemticas en los primeros aos de la educacin secundariadedicadas a la divisin de polinomios.Estoy seguro de que tu gusto por las matemticas no se debeprecisamente a la divisin de polinomios. Cunto tiempo dedicado amultiplicar y dividir potencias de la variable independiente x! Yaquellos fastidiosos cambios de signo en los coeficientes! Recordarsadems aquella estupenda regla de Ruffini (tambinconocida como algoritmo de Horner) que, entre otras muchas cosas,permita realizar de modo inmediato divisiones de polinomios en las queel polinomio divisor era de grado uno. Con este algoritmo tan maravilloso a nuestra disposicin, es muy probable que t mism@ te preguntaras por qu no se nos facilitaba en clase un algoritmo similar para realizar las tediosas divisiones de polinomiossin tener que recurrir a las potencias de la dichosa variable x y a losincordios cambios de signo en los coeficientes que surgen en elalgoritmo usual de la divisin. Cuntas veces habremos cometidoerrores inocentes en este proceso, echando al traste parte del trabajorealizado anteriormente! Con este artculo pretendemos que aprendas a dividir polinomios engeneral por medio de un mtodo algortmico que generaliza de modonatural la regla de Ruffini. A modo de ejemplo introductorio consideremos la divisin (2x3x2+x-5):(x+2) (cociente de grado 2 y resto de grado 0) por medio de la regla de Ruffini

que, como es sabido, nos da un cociente C(x)=2x2-5x+11 y un resto R(x)=-27. Pues bien, presentamos ahora un algoritmo general al estilo de la regla de Ruffini que permite realizar divisiones de polinomios cualesquiera con un costo computacional bajo. Antes de justificar tericamente el algoritmo general, presentamoscinco ejemplos como ilustracin del algoritmo. En todo momentoasumiremos, sin prdida de generalidad, que el polinomio divisor tienecoeficiente director igual a 1 (en otro caso, bastara con dividirtodos los coeficientes del polinomio dividendo y del polinomio divisorpor el valor de dicho coeficiente). Aconsejamos la realizacin paso a paso de las tablasque aparecen abajo para una mejor comprensin del algoritmo. Si sesimultanea la realizacin de las tablas con el proceso de divisin depolinomios usual se entender la relacin que existe entre el procesousual y las diagonales inversas de las tablas. Tal vez los detalles que sean de mayor complejidad en la configuracinde las tablas son las posiciones nulas (cuadros negros) que aparecen enlas mismas. En general, a la hora de configurar las tablas paradesarrollar el algoritmo de divisin, notaremos que si el divisor tienegrado k+1, con k0, entonces deben ubicarse k(k+1)posiciones vacas (o nulas), separadas simtricamente en dos grupos triangulares de k(k+1)/2cuadros, que no deben tenerse en cuenta a la hora de realizaroperaciones en la tabla. En particular, si el divisor es de grado 1entonces no se insertarn posiciones vacas en la tabla. La realizacinde las

divisiones por el proceso usual nos hace ver por qu debenaparecer estas posiciones nulas en las tablas.Ejemplo 1: Dividir (3x2-4x+1):(x2-3x+2)

Sabemos a priori que el proceso nos conducir a un resto de grado 1 y a un cociente de grado 0. Formamos entonces una tabla al estilo Ruffini, en cuya fila superior secolocan los coeficientes del dividendo (de mayor grado a menor grado) yen cuya primera columna se colocan los coeficientes del divisorcambiados de signo (de menor grado a mayor grado), exceptuando elcoeficiente director (que vale 1). A continuacin se inicia el procesousual de la regla de Ruffini. En caso de que el grado del divisor sea mayor o igual que 2, notamosque al realizar la tabla quedan posiciones vacas en las primerascolumnas. Estas posiciones deben situarse simtricamente en el tablero(es decir, tambin habrn posiciones vacas en las ltimas columnas detablero) y no deben considerarse a efectos operacionales.

Se comprueba entonces que efectivamente el cociente de la

divisin es C(x)=3 y el resto R(x)=5x-5.Ejemplo 2: Dividir (x3+x-1):(x2+1)

Sabemos que el proceso nos conducir a un resto de grado 1 y a un cociente de grado 1. Colocamos los coeficientes convenientemente en la tabla y realizamos elmismo proceso anterior. Observemos la disposicin simtrica de lascasillas nulas en la tabla.

As, el cociente ser C(x)=1x+0=x, y el resto R(x)=0x-1=-1.Ejemplo 3: Dividir (5x5-4x4+3x3-2x2+x):(x3-7x2+6x-2)

En este caso, el proceso nos conducir a un resto de grado 2 y a un cociente de grado 2.

Podemos comprobar que efectivamente el resto de la divisin es R(x)=1152x2-1077x+380, mientras que el cociente viene dado por C(x)=5x2+31x+190.Ejemplo 4: Dividir (3x5-4x4+2x2-x-1):(x4-3x3+x-2)

El proceso debe conducirnos a un resto de grado 3 y a un cociente de grado 1.

El proceso indica que el cociente es C(x)=3x+5, mientras que el resto viene dado por R(x)=15x3-x2+9.Ejemplo 5: Dividir (2x7-3x6+x4-x3+2x2-3x+1):(x5-3x4+x2-3x+3)

El algoritmo nos conducir a un resto de grado 4 y a un cociente de grado 2.

De esta manera el cociente ser C(x)=2x2+3x+9, y el resto R(x)=26x4+2x3-4x2+15x-26.

EJERCICIOS FRMULA DE LOS PRODUCTOS NOTABLES

I).- a(x + y) = ax + ay CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES ( a + b )2 = a2 + 2ab +b2

CUBO DE UNA SUMA (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES CUBO DE UNA DIFERENCIA ( a - b )2 = a2- 2ab + b2 CUBO DE UNA (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 -b3

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES (a + b) (a - b) =a2 -b2

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA (x + a)(x + b) = x2 + (a+b)x +ab

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

El cuadrado de la suma de dos trminos es igual al cuadrado del primer trmino ms el doble producto de ambos trminos ms el cuadrado del segundo trmino.

1) Ejemplo: (5x +7)2= (5x)2+ 2(5X)(7) + (7)2 El cuadrado del 1er trmino es (5x)(5x) = 25x2 El doble producto de ambos trminos es 2(5x)(7)=(10x)(7) = 70x El cuadrado del 2do trmino es (7)(7) = 49 2) Ejemplo (0.5x+9)2= (0.5x)2+ 2(.05X)(9) + (9)2

a) El cuadrado del 1er trmino es (0.5x)(0.5x) = 0.25x2 b) El doble producto de ambos trminos es 2(0.5x)(9)=(1x)(9) = 9x c) El cuadrado del 2do trmino es (9)(9)=81 Entonces ( 0.5x + 9 )2 =0.25x2+9x +81

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES ( a - b )2 = a2 2ab + b2

El cuadrado de la diferencia de dos trminos es igual al cuadrado del primer trmino menos el doble producto de ambos trminos ms el cuadrado del segundo trmino.

( 3x - 8y2 )2=9x2-48xy2+ 64y4

Final del formulario a) El cuadrado del 1er trmino es (3x)(3x) = 9x2

b) El doble producto de ambos trminos es 2(3x)(8y2) = (6x)(8y2) = 48xy2 c) El cuadrado del 2do trmino es (8y2)(8y2) = 64y4

Entonces

( 3x - 8y2 )2 =9x2 - 48xy2+ 64y4

2) ( x2 - 5y3 )2=x4-10x2y3+25y6

a) El cuadrado del 1er trmino es (x2)(x2) = x4 b) El doble producto de ambos trminos es 2(x2)(5y3) = (2x2)(5y3) = 10x2y3 c) El cuadrado del 2do trmino es (5y3)(5y3) = 25y6 Entonces ( x2 - 5y3 )2 =x4 - 10x2y3+ 25y6

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES (a+b)(a-b) = a2 b2

La suma de dos trminos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer trmino menos el cuadrado del segundo trmino .

1) Ejemplo: ( 4x + 9y )( 4x - 9y )= 16x2-81y2 a) El cuadrado del 1er trmino es (4x)(4x) = 16x2 b) El cuadrado del 2do trmino es (9y)(9y) = 81y2 Entonces ( 4x + 9y )( 4x - 9y ) = 16x2 81y2

2).- Ejemplo: Entonces

( 10x + 12y3 )( 10x - 12y3 )= 100x2-44y6

a) El cuadrado del 1er trmino es (10x)(10x) = 100x2 b) El cuadrado del 2do trmino es (12y3)(12y3) = 144y6 Entonces ( 10x + 12y3 )( 10x - 12y3 ) = 100x2 144y6

CUBO DE UNA SUMA ( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 El cubo de la suma de dos trminos es igual al cubo del primer trmino ms el triple del cuadrado del primer trmino por el segundo trmino ms el triple del primer trmino por el cuadrado del segundo trmino ms el cubo del segundo trmino. Ejemplo 1) ( 2x + 4y )3 = (2x)3+ 3(2x)2(4y)+ 3(2x)(4y)2+ (4y)3

a) El cubo del 1er trmino es (2x)(2x)(2x) = 8x3 b) El triple del cuadrado del primer trmino por el segundo trmino 3(2x)(2x)(4y)=(6x)(2x)(4y)=(12x2)(4y)=(48x2y) c) El triple del primer trmino por el cuadrado del segundo trmino 3(2x)(4y)(4y)=(6x)(4y)(4y)=(24xy)(4y)=(96xy2) d) El cubo del 2do trmino es (4y)(4y)(4y) = 64y3 Entonces ( 2x + 4y )3 Ejemplo 2) ( 5x + 6y )3 = (5x)3 +3(5x)2(6y)+ 3(5x)(6y)2+ (6y)3 =8x3 +48x2y+96xy2+64y3

a) El cubo del 1er trmino es (5x)(5x)(5x) = 125x3 b) El triple del cuadrado del primer trmino por el segundo trmino 3(5x)(5x)(6y)=(15x)(5x)(6y)=(75x2)(6y)=(450x2y) c) El triple del primer trmino por el cuadrado del segundo trmino 3(5x)(6y)(6y)=(15x)(6y)(6y)=(90xy)(6y)=(540xy2) d) El cubo del 2do trmino es (6y)(6y)(6y) =216y3 Entonces ( 5x + 6y )3 =125x3 + 450x2y +540xy2+216y3

CUBO DE UNA DIFERENCIA ( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 El cubo de la diferencia de dos trminos es igual al cubo del primer trmino menos el triple del cuadrado del primer trmino por el segundo trmino ms el triple del primer trmino por el cuadrado del segundo trmino menos el cubo del segundo trmino. Ejemplo 1) ( 6x - 2y )3 = (6x)3- 3(6x)2(2y)+ 3(6x)(2y)2- (2y)3

a) El cubo del 1er trmino es (6x)(6x)(6x) = 216x3 b) El triple del cuadrado del primer trmino por el segundo trmino 3(6x)(6x)(2y)=(18x)(6x)(2y)=(108x2)(2y)=(216x2y) c) El triple del primer trmino por el cuadrado del segundo trmino 3(6x)(2y)(2y)=(18x)(2y)(2y)=(36xy)(2y)=(72xy2) d) El cubo del 2do trmino es (2y)(2y)(2y) = 8y3 Entonces ( 6x - 2y )3 =216x3 - 216x2y +72xy2-8y3

Ejemplo

2)

( 4x6 - 5y )3= (4x6)3- 3(4x6)2(5y) + 3(4x6)(5y)2- (5y)3

a) El cubo del 1er trmino es (4x6)(4x6)(4x6) = 64x18 b) El triple del cuadrado del primer trmino por el segundo trmino 3(4x6)(4x6)(5y)=(12x6)(4x6)(5y)=(48x12)(5y)=(240x12y) c) El triple del primer trmino por el cuadrado del segundo trmino 3(4x6)(5y)(5y)=(12x6)(5y)(5y)=(60x6y)(5y)=(300x6y2)

d) El cubo del 2do trmino es (5y)(5y)(5y) = 125y3 Entonces ( 4x6 - 5y )3 = 64x18 - 240x12y + 300x6y2 - 125y3

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TRMINO COMN (x + a )(x + b ) = x2 + (a+b) x + abEl producto de dos binomios de esta forma que tienen un trmino comn es igual al cuadrado del trmino comn ms la suma de los trminos no comunes multiplicado por el trmino comn ms el producto de los trminos no comunes. 1) (x

+ 2)(x + 7 ) = x2 + (2 + 7) x + (2)(7)

a) El cuadrado del trmino comn es (x)(x) = x2b) La suma de trminos no comunes multiplicado por el trmino comn es

(2 + 7)x = 9x

c) El producto de los trminos no comunes es (2)(7) = 14Entonces: (x

+ 2)(x + 7 ) = x2 + 9 x + 14

2) (y

+ 9)(y - 4 ) = y2 + (9 - 4) y + (9)(-4)

a) El cuadrado del trmino comn es (y)(y) = y2b) La suma de trminos no comunes multiplicado por el trmino comn es

(9 - 4)y = 5y

c) El producto de los trminos no comunes es (9)(-4) = -36Entonces: (y

+ 9)(y - 4 ) = y2 + 5 y - 36

EJERCICIOS PREGUNTAS01 (x + 5)2 02 (7a + b)2 03 (4ab2 + 6xy3)2 04 (xa+1 + yb-2)2 05 (8 - a)2 06 (3x4 -5y2)2 07 (xa+1 - 4xa-2)2 08 (5a + 10b)(5a - 10b) 10 (x + 4)3 11 (5x + 2y)3 12 (2x2y + 4m)3 13 (1 - 4y)3 14 (3a3 - 7xy4)3 15 (2xa+4 - 8ya-1)3 16 (x + 5)(x + 3) 17 (a + 9)(a - 6) 18 (y - 12)(y - 7) 19 (4x3 + 15)(4x3 + 5) 20 (5ya+1 + 4)(5ya+1 - 14) 21 2xy(3x2y - 4y3) 22 (z - 4)2

RESPUESTAS = x2 + 10x + 25 = 49a2 + 14ab + b2 = 16a2b4 + 48ab2xy3 + 36x 2y6 = x2a+2 + 2xa+1yb-2 + y2b-4 = 64 - 16a + a2 = 9x8 - 30x4y2 + 25y4 = x2a+2 - 8x2a-1 + 16x2a-4 = 25a2 - 100b2 = x3 + 12x2 + 48x + 64 = 125x3 + 150x2y + 60xy2 + 8y3 = 18x6y3 + 48x4y2m + 96x2ym2 + 64m3 = 1 - 12y + 48y2 -64y3 = 27a9 - 189a6xy4 + 441a3x2y8 - 343x3y12 = 8x3a+12 - 96x2a+8ya-1 + 384xa+4y3a-3 - 512y3a-3 = x2 + 8x + 15 = a2 + 3a - 54 = y2 - 19y + 84 = 16x6 + 80x3 + 75 = 25y2a+2 - 50ya+1 56 = 6x3y2 8xy4 = z2 - 8z + 16

09 (7x2 - 12y3)(7x2 + 12y3) = 49x4 - 144y6

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL LGEBRA

Qu nos dice El Teorema Fundamental del lgebra? Nos

dice, cundo tenemos factorizadocompletamente un polinomio:Por una parte, un polinomio ha sido factorizado completamente (sobre los nmeros reales) slo si todos sus factores son lineales o cuadrticos irreducibles.

Por otro lado, siempre que un polinomio ha sido factorizado en slo factores lineales y cuadrticos irreducibles, entonces ha sido factorizado completamente, puesto que ambos, los factores lineales y los cuadrticos irreducibles no se pueden factorizar ms sobre los nmeros reales.

Que no nos dice El Teorema Fundamental del lgebra? No es constructivo, esto es, No nos dice como factorizar un polinomio completamente!

De hecho, no se sabe en general como factorizar un polinomio; slo son conocidas tcnicas para tipos especiales de polinomios. Es incluso peor que eso: El matemtico Evariste Galois (18111832) ha probado que nunca habr una frmula general para resolver polinomios de grado 5 y superior.

Descomposicin en factores a) Factor monomio comn: ac + ad = a(c +d ) b) Diferencia de Cuadrados: a2 b2 =(a + b) (a - b) c) Otros trinomios: x2 + (a + b)x +ab = (x +a)(x+b) acx2 + (ad + bc)x + bd= (ax + bc)(cx +d) d) Suma, diferencia de dos cubos: A3 + B3 = (A + B) (A2 AB + B2) A3 + B3 = (A - B) (A2 AB + B2) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 2x2 3xy = x (2x-3y) 4x + 8y + 12z = 4(x + 2y + 3z) 2 3 4 3 2 4 10a b c - 15 a b c + 30a4b3c2 = 5a2b2c2(2bc2 - 3ac2 + 6a2b) x2 9 = x 32 = (x + 3)( x 3) 25x2 4y2 = (5x)2 - (2y)2 = (5x + 2y)(5x 2y) 2 2 2 2 2 9x y 16 a = (3xy) (4a) = (3xy + 4a2) (3xy 4a) 2 2 3x 12= 3(x 4)= 3(x + 2)(x - 2) 2 2 4 2 2 2 x y 36y = y [x (6y) ]= y2(x + 6y)(x 6y)

9) x2 + 8x + 16 = x2 + 2(x)(4) + 42= (x + 4)2 10) 1 + 4y + 4y2= (1 + 2y)2 4 2 2 11) 9x 24x y + 16y = (3x2 4y)2 12) x2 + 6x + 8 = (x + 4) (x + 2) 2 13) x 6x + 8 = (x - 4) (x - 2) 14) x2 + 2x 8 = (x - 4)(x + 2) 3 2 2 15) 3x 3x 18x = 3x (x x - 6)= 3x (x - 3)( x + 2) 16) y4 + 7y2 + 12 = (y2 + 4) (y2 + 3) 4 2 2 17) m + m 2 = (m + 2)(m2 1)= (m2 + 2)(m2 1)= (m2 + 2) (m + 1)(m 1) 18) z4 10z2 + 9 = (z2 - 1)(z2 - 9) = (z + 1) (z 1) (z + 3) (z 3) 19) 3x2 + 10x + 3= (3x + 1)(x + 3) 20) 2x2 7x + 3 = (2x 1) (x 3) 2 21) 10s + 11s 6= (5s 2)(2s + 3) 22) 10 x 3x2= (5 3x)(2 + x) 3 3 3 23) x + 8 = x + 2 = (x +2)(x2 2x + 22) = (x + 2)(x2 - 2x+4) 24) 64 + y3= 43 + y3= (4 + y) (42 - 4y + y2)= (4 + y)(16-4y + y2)

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2El cuadrado de la suma de dos trminos es igual al cuadrado del primer trmino ms el doble producto de ambos trminos ms el cuadrado del segundo trmino.

1) (5x)(5x) = 25x2 b) El doble producto de ambos trminos es 2(5x)(7)=(10x)(7) = 70x c) El cuadrado del 2do trmino es (7)(7) = 49 Entonces ( 5x + 7 )2 = 25x2 + 70x + 49 a)El cuadrado del 1er trmino es

2) a) El cuadrado del 1er trmino es (0.5x)(0.5x) = 0.25x2b) El doble producto de ambos trminos es

2(0.5x)(9)=(1x)(9) = 9x

c) El cuadrado del 2do trmino es (9)(9)=81Entonces (

0.5x + 9 )2 = 0.25x2 + 9x + 81

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2El cuadrado de la diferencia de dos trminos es igual al cuadrado del primer trmino menos el doble producto de ambos trminos ms el cuadrado del segundo trmino.

1)

a)

El cuadrado del 1er trmino es (3x)(3x) = El doble producto de ambos trminos b) 2 2 2 es 2(3x)(8y ) = (6x)(8y ) = 48xy

9x2

)(8y2) = 64y4 Entonces ( 3x - 8y2 )2 = 9x2 - 48xy2 + 64y4 c)El cuadrado del 2do trmino es (8y

2

2)

a) El cuadrado del 1er trmino es (x2)(x2) = x4b) El doble producto de ambos trminos es

2(x2)(5y3) = (2x2)(5y3) = 10x2y3

c) El cuadrado del 2do trmino es (5y3)(5y3) = 25y6Entonces (

x2 - 5y3 )2 = x4 - 10x2y3 + 25y6

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2La suma de dos trminos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer trmino menos el cuadrado del segundo trmino.

1)

a) El cuadrado del 1er trmino es (4x)(4x) = 16x2 b) El cuadrado del 2do trmino es (9y)(9y) = 81y2Entonces (

4x + 9y ) ( 4x - 9y ) = 16x2

- 81y2

2)

a) El cuadrado del 1er trmino es (10x)(10x) = 100x2 b) El cuadrado del 2do trmino es (12y3)(12y3) = 144y6Entonces (

10x + 12y3 ) ( 10x - 12y3 ) = 100x2

- 144y6

CUBO DE UNA SUMA ( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3El cubo de la suma de dos trminos es igual al cubo del primer trmino ms el triple del cuadrado del primer trmino por el segundo trmino ms el triple del primer trmino por el cuadrado del segundo trmino ms el cubo del segundo trmino.

1) (

2x + 4y )3 = (2x)3 + 3(2x)2(4y) + 3(2x)(4y)2 + (4y)3

a) El cubo del 1er trmino es (2x)(2x)(2x) = 8x3b) El triple del cuadrado del primer trmino por el segundo trmino

3(2x)(2x)(4y)=(6x)(2x)(4y)=(12x2)(4y)=(48x2y)c) El triple del primer trmino por el cuadrado del segundo trmino

3(2x)(4y)(4y)=(6x)(4y)(4y)=(24xy)(4y)=(96xy2) d) El cubo del 2do trmino es (4y)(4y)(4y) = 64y3Entonces (

2x + 4y )3 = 8x3 + 48x2y + 96xy2 + 64y3

2) (

5x + 6y )3 = (5x)3 + 3(5x)2(6y) + 3(5x)(6y)2 + (6y)3

a) El cubo del 1er trmino es (5x)(5x)(5x) = 125x3b) El triple del cuadrado del primer trmino por el segundo trmino

3(5x)(5x)(6y)=(15x)(5x)(6y)=(75x2)(6y)=(450x2y)c) El triple del primer trmino por el cuadrado del segundo trmino

3(5x)(6y)(6y)=(15x)(6y)(6y)=(90xy)(6y)=(540xy2) d) El cubo del 2do trmino es (6y)(6y)(6y) =216y3Entonces (

5x + 6y )3 = 125x3 + 450x2y + 540xy2 + 216y3

CUBO DE UNA DIFERENCIA ( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3El cubo de la diferencia de dos trminos es igual al cubo del primer trmino menos el triple del cuadrado del primer trmino por el segundo trmino ms el triple del primer trmino por el cuadrado del segundo trmino menos el cubo del segundo trmino.

1) (

6x - 2y )3 = (6x)3 - 3(6x)2(2y) + 3(6x)(2y)2 - (2y)3

a) El cubo del 1er trmino es (6x)(6x)(6x) = 216x3b) El triple del cuadrado del primer trmino por el segundo trmino

3(6x)(6x)(2y)=(18x)(6x)(2y)=(108x2)(2y)=(216x2y)c) El triple del primer trmino por el cuadrado del segundo trmino

3(6x)(2y)(2y)=(18x)(2y)(2y)=(36xy)(2y)=(72xy2) d) El cubo del 2do trmino es (2y)(2y)(2y) = 8y3Entonces (

6x - 2y )3 = 216x3 - 216x2y + 72xy2 - 8y3

2) (

4x6 - 5y )3 = (4x6)3 - 3(4x6)2(5y) + 3(4x6)(5y)2 - (5y)3

a) El cubo del 1er trmino es (4x6)(4x6)(4x6) = 64x18b) El triple del cuadrado del primer trmino por el segundo trmino

3(4x6)(4x6)(5y)=(12x6)(4x6)(5y)=(48x12)(5y)=(240x12y)c) El triple del primer trmino por el cuadrado del segundo trmino

3(4x6)(5y)(5y)=(12x6)(5y)(5y)=(60x6y)(5y)=(300x6y2) d) El cubo del 2do trmino es (5y)(5y)(5y) = 125y3Entonces (

4x6 - 5y )3 = 64x18 - 240x12y + 300x6y2 - 125y3

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TRMINO COMN (x + a )(x + b ) = x2 + (a+b) x + abEl producto de dos binomios de esta forma que tienen un trmino comn es igual al cuadrado del trmino comn ms la suma de los trminos no comunes multiplicado por el trmino comn ms el producto de los trminos no comunes.

1) (x

+ 2)(x + 7 ) = x2 + (2 + 7) x + (2)(7)

a) El cuadrado del trmino comn es (x)(x) = x2b) La suma de trminos no comunes multiplicado por el trmino comn es

(2 + 7)x = 9x

c) El producto de los trminos no comunes es (2)(7) = 14Entonces: (x

+ 2)(x + 7 ) = x2 + 9 x + 14

2) (y

+ 9)(y - 4 ) = y2 + (9 - 4) y + (9)(-4)

a) El cuadrado del trmino comn es (y)(y) = y2b) La suma de trminos no comunes multiplicado por el trmino comn es

(9 - 4)y = 5y

c) El producto de los trminos no comunes es (9)(-4) = -36Entonces: (y

+ 9)(y - 4 ) = y2 + 5 y - 36

FRMULA DE LOS PRODUCTOS NOTABLES

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES

CUBO DE UNA SUMA

( a + b ) = a + 2ab +b2

2

2

(a + b)3

a3 + 3a2b + = 3ab2 + b3 -

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CUBO DE UNA DIFERENCIA CANTIDADES a3 - 3a2b + 3ab2 (a 2 2 2 ( a - b ) = a - 2ab + b = 3 b)3

b

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA 2

(a + b) (a - b) = a2 -b2

x + (x + (x + = a) b) +ab

(a+b)x

EJERCICIOS PREGUNTAS01 (x + 5)2 02 (7a + b)2 03 (4ab2 + 6xy3)2 04 (xa+1 + yb-2)2 05 (8 - a)2 06 (3x4 -5y2)2 07 (xa+1 - 4xa-2)2 08 (5a + 10b)(5a - 10b) 10 (x + 4)3 11 (5x + 2y)3 12 (2x2y + 4m)3 13 (1 - 4y)3 14 (3a3 - 7xy4)3 15 (2xa+4 - 8ya-1)3 16 (x + 5)(x + 3) 17 (a + 9)(a - 6) 18 (y - 12)(y - 7) 19 (4x3 + 15)(4x3 + 5) 20 (5ya+1 + 4)(5ya+1 - 14)

RESPUESTAS = x2 + 10x + 25 = 49a2 + 14ab + b2 = 16a2b4 + 48ab2xy3 + 36x 2y6 = x2a+2 + 2xa+1yb-2 + y2b-4 = 64 - 16a + a2 = 9x8 - 30x4y2 + 25y4 = x2a+2 - 8x2a-1 + 16x2a-4 = 25a2 - 100b2 = x3 + 12x2 + 48x + 64 = 125x3 + 150x2y + 60xy2 + 8y3 = 18x6y3 + 48x4y2m + 96x2ym2 + 64m3 = 1 - 12y + 48y2 -64y3 = 27a9 - 189a6xy4 + 441a3x2y8 - 343x3y12 = 8x3a+12 - 96x2a+8ya-1 + 384xa+4y3a-3 - 512y3a-3 = x2 + 8x + 15 = a2 + 3a - 54 = y2 - 19y + 84 = 16x6 + 80x3 + 75 = 25y2a+2 - 50ya+1 - 56

09 (7x2 - 12y3)(7x2 + 12y3) = 49x4 - 144y6