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UNIVERSIDAD NACIONAL
AUTNOMA DE MXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES
ARAGN
LA FORMACIN DE LAS CURVAS DE
INDIFERENCIA: UN ANLISIS MATEMTICOA PARTIR DE LOS AXIOMAS SOBRE LAS
PREFERENCIAS
TESIS PARA OBTENER EL TTULO DE
LICENCIADO EN ECONOMA
PRESENTA:JUAN PABLO RAMREZ HERNNDEZ
ASESOR:LIC. RODRIGO AYALA CALVILLO
Mxico, Marzo de 2012
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I
NDICE
INTRODUCCIN ....................................................................................................... 1
CAPTULO UNO
ESBOZO HISTRICO DE LA EVOLUCIN DE LA TEORA DE LA
UTILIDAD ..................................................................................................................... 5
1.1 INTRODUCCIN ....................................................................................................... 5
1.2 LA UTILIDAD CARDINAL .......................................................................................... 7
1.3 LA UTILIDAD ORDINAL .......................................................................................... 11
1.4 MODERNA TEORA DE LA UTILIDAD .................................................................... 14
1.5 AXIOMAS DE ORDEN ............................................................................................. 16
1.6 AXIOMAS DE CONVENIENCIA ............................................................................... 18
1.7 AXIOMAS ANALTICOS .......................................................................................... 201.8 CURVAS DE INDIFERENCIA .................................................................................. 22
CAPTULODOS
AXIOMAS DE ORDEN .......................................................................................... 25
2.1 INTRODUCCIN ..................................................................................................... 25
2.2 LAS RELACIONES BINARIAS ................................................................................. 27
2.3 PROPIEDADES QUE PUEDEN ASUMIR LAS RELACIONES DEFINIDAS SOBRE
UN CONJUNTO...................................................................................................... 35
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II
2.4 RELACIONES DE EQUIVALENCIA ......................................................................... 43
2.5 CLASES DE EQUIVALENCIA .................................................................................. 45
2.6 RELACIONES DE ORDEN ...................................................................................... 50
2.7 ELEMENTOS DISTINGUIDOS EN UN CONJUNTO ORDENADO .......................... 532.8 RELACIONES BINARIAS Y RELACIONES DE PREFERENCIA ............................. 55
2.9 AXIOMAS DE ORDEN ............................................................................................. 58
2.10 AXIOMAS DE ORDEN, RELACIONES DE PREFERENCIA Y PRERDENES
COMPLETOS ......................................................................................................... 60
2.11 RELACIONES DE INDIFERENCIA Y RELACIONES DE EQUIVALENCIA ............. 63
2.12 RELACIONES DE PREFERENCIA ESTRICTA Y ORDEN ESTRICTO .................. 65
CAPTULO TRES
CONJUNTO DE CONSUMO, AXIOMAS ANALTICOS Y AXIOMAS
DE CONVENIENCIA .............................................................................................. 67
3.1 INTRODUCCIN ..................................................................................................... 67
3.2 FUNCIONES ............................................................................................................ 68
3.3 ESPACIOS VECTORIALES ..................................................................................... 72
3.4 ELEMENTOS DE TOPOLOGA ............................................................................... 74
3.5 SUCESIONES ......................................................................................................... 82
3.6 HIPTESIS SOBRE EL CONJUNTO DE CONSUMO ................................. 83
3.7 AXIOMAS ANLITICOS Y AXIOMAS DE CONVENIENCIA .................................... 883.8 TERCER AXIOMA: CONTINUIDAD ......................................................................... 89
3.9 CUARTO AXIOMA: NO SACIEDAD LOCAL ............................................................ 93
3.10 QUINTO AXIOMA: MONOTICIDAD ESTRICTA ...................................................... 94
3.11 SEXTO AXIOMA: CONVEXIDAD ESTRICTA ......................................................... 98
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III
CAPTULOCUATRO
FORMACIN DE LAS CURVAS DE INDIFERENCIA A PARTIR DE
LOS AXIOMAS SOBRE LAS PREFERENCIAS ....................................... 106
4.1 INTRODUCCIN ................................................................................................... 106
4.2 LAS PREFERENCIAS DE LOS CONSUMIDORES ............................................... 108
4.3 PREFERENCIAS REGULARES: UNA APROXIMACIN GEOMTRICA .............. 112
4.4 GRFICA DE LAS PREFERENCIAS QUE SATISFACEN LOS AXIOMAS DE
ORDEN ................................................................................................................ 126
4.5 GRFICA DE LAS PREFERENCIAS QUE SATISFACEN LOS AXIOMAS HASTA
LA CONTINUIDAD ............................................................................................... 129
4.6 GRFICA DE LAS PREFERENCIAS QUE SATISFACEN LOS AXIOMAS HASTA
LA NO SACIEDAD LOCAL ................................................................................... 132
4.7 GRFICA DE LAS PREFERENCIAS QUE SATISFACEN LOS AXIOMAS HASTA
LA MONOTICIDAD ESTRICTA ............................................................................ 135
4.8 GRFICA DE LAS PREFERENCIAS QUE SATISFACEN LOS AXIOMAS HASTA
LA CONVEXIDAD ESTRICTA .............................................................................. 139
BIBLIOGRAFA...................................................................................................... 146
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INTRODUCCIN
________________________________________________________________________
Por qu los individuos eligen consumir algunos bienes por sobre otros?
Este tipo de preguntas es importante no slo para los vendedores y los departamentos de
marketingde las empresas sino para toda la economa en su conjunto. Existe tambin
una enorme gama de enfoques con los cuales se puede abordar el asunto. Podemos
verlo desde una perspectiva sociolgica, estadstica o incluso puramente sicolgica, sin
embargo en el mbito econmico existe una teora que dedica gran parte de su anlisis al
estudio de posibles respuestas a este tipo de interrogantes.
Es probable que la decisin de un consumidor de adquirir un bien respecto a otro
dependa en gran medida de los precios relativos de ambos bienes o tambin est
condicionado al presupuesto con el que cuente el individuo para adquirirlos. No obstante
que ambos planteamientos pueden ser razones de peso a la hora de decidirse entre los
dos bienes, definitivamente otro argumento indispensable en este problema son las
preferencias de los consumidores. stas representan para los individuos una especie de
gua que los conduce a la hora de consumir bienes y servicios. Formalmente se definen
como aquellos criterios de valoracin por medio de los cuales los individuos pueden elegir
de entre un conjunto de cestas de consumo la que resulte la mejor de las alcanzables.
El concepto de las preferencias es esencial para los economistas. A partir de l se
desarrollan dos de las herramientas ms importantes para la moderna teora econmica:
Los axiomas sobre las preferencias y las curvas de indiferencia. Los primeros se
entienden intuitivamente como una serie de caractersticas que asumen las preferencias
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las cuales condicionan su forma, la segunda definicin se puede interpretar como una
representacin grfica de la informacin que stas contienen. Ambas herramientas nos
proporcionan algunos de los elementos necesarios para modelar el comportamiento de
los consumidores. Debido a la manifiesta relevancia que tienen estos temas para la teora
econmica hemos decidido emprender una investigacin acerca de ellos.
Como era de esperarse para un asunto de tanta importancia, existe un sinnmero de
estudios que abordan estos conceptos desde las ms diversas pticas. Comenzando por
los textos introductorios de microeconoma como Perloff, Microeconoma o Varian,
Microeconoma intermedia y hasta libros ms sofisticados como Mas-Colell Andreu,
Whinston Michael D, Green Jerry R. Microeconomic o Jehle Geoffrey A and Reny Philip J.
Advanced Microeconomic Theory. Incluso podramos llegar a pensar que existe una
saturacin de la informacin respecto a esta cuestin.
Por tal motivo hemos decidido orientar nuestro trabajo hacia un objetivo especfico: la
forma que asumen las curvas de indiferencia regulares. Por qu adoptan esa figura?
Cules son las causas que la propician?
Es evidente que este enfoque, como muchos otros, ya ha sido estudiado con amplitud -
fcilmente podemos comprobarlo al echar una mirada al ndice-. Sin embargo el lector
encontrar en esta tesis una novedosa exposicin en la que se retoman diversas
perspectivas.
Por un lado encontramos los rigurosos resultados que ofrece la formalidad matemtica.Por otro est la utilizacin prctica de esos resultados en la teora del consumidor. En
este sentido tenemos una explicacin fresca que privilegia el vnculo entre el
razonamiento matemtico y su aplicacin econmica. Por tal motivo, al inicio de cada
captulo se plantean todos los conceptos matemticos que se utilizan a lo largo de cada
apartado, en vez de enviarlos a un apndice al final del texto. De esta manera se intenta
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reforzar la relacin entre las matemticas y la teora econmica. En este sentido se hace
un esfuerzo por mostrar los temas de la manera ms sencilla posible, evitando caer en
lenguaje matemtico pretencioso e inaccesible.
La estructura del documento fue trazada de la siguiente manera. El primer captulo es un
prembulo general de la tesis. En l se plantean de manera intuitiva los conceptos ms
importantes que se manejan a lo largo del documento, asimismo se presenta una
perspectiva histrica de la teora de la utilidad.
A partir del segundo captulo se realiza un estudio detallado de los temas que se
expusieron de manera genrica en la primera seccin. El segundo apartado se concentra
particularmente en los dos primeros axiomas sobre las preferencias. Primero se presentan
las definiciones matemticas necesarias para tener una correcta aproximacin al
problema. Posteriormente se entra de lleno al anlisis de los axiomas de orden, los cuales
se tratan desde la perspectiva tanto econmica como matemtica.
La misma dinmica se emplea en el tercer captulo. Despus de revisar los conceptosmatemticos propios de este apartado, se analiza un tema esencial para el trabajo: el
conjunto de consumo, el cual sirve como prembulo para abordar los axiomas analticos y
los de conveniencia. En este captulo se realizan algunos ejercicios y demostraciones en
aras de fortalecer su exposicin.
La explicacin grfica es una parte importante de este escrito. En el cuarto y ltimo
captulo -donde se accede a las conclusiones de la tesis- se sintetiza grficamente todo elestudio matemtico y econmico que se realiz en los tres apartados previos. De esta
manera se pretende reforzar el anlisis a travs de imgenes para que pueda ser
asimilado con mayor facilidad.
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Al final, el resultado que se obtiene es una exposicin sencilla pero a la vez rigurosa de
los temas propuestos. De tal forma, se presenta un anlisis de las preferencias de los
consumidores a travs de mtodos matemticos, grficos y de la teora econmica, en la
que se expone la formacin de las curvas de indiferencia a partir de los axiomas sobre las
preferencias.
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CAPTULO UNO
ESBOZO HISTRICO DE LA EVOLUCIN DE LA TEORA DE
LA UTILIDAD
________________________________________________________________________
1.1 INTRODUCCIN
En este primer apartado abordaremos de manera general la mayor parte de los temas que
estudiaremos durante este trabajo.
Iniciaremos con una breve semblanza de la historia de la teora de la utilidad.
Describiremos la evolucin que ha tenido a lo largo de la historia comenzando con una
descripcin de sus primeras interpretaciones hasta llegar a la ms acabada versin de la
misma. Explicaremos en qu consisten las dos subdivisiones tradicionales de este
concepto: La utilidad cardinal y la utilidad ordinal, pondremos especial nfasis en esta
ltima, asimismo nombraremos a los ms importantes tericos y sus aportaciones.
Una vez que hayamos concluido con la semblanza histrica, analizaremos la moderna
teora de la utilidad.
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Comenzaremos abordando algunas definiciones que posteriormente nos sern de mucha
utilidad: cesta de consumo, el problema econmico del consumidor, el comportamiento
racional del consumidor, etc. Todos ellos abonarn el terreno para definir uno de los
conceptos sustanciales de este trabajo: las preferencias del consumidor. A partir de esta
definicin se desprenden otras que sern esenciales no slo para este captulo sino paratoda la tesis en su conjunto. Nos referimos a los axiomas sobre las preferencias.
Los axiomas sobre las preferencias tienen una importancia fundamental ya que sirven
como plataforma en la que se erigen todas las dems definiciones que son el sustento de
este trabajo. En esta primera parte desarrollamos una definicin intuitiva de cada uno de
ellos y presentamos la manera en que se les agrupan: axiomas de orden, axiomas de
preferencia y axiomas analticos.
Posteriormente exponemos cmo se pueden representar a las preferencias de manera
grfica a travs de las curvas de indiferencia. Tambin explicamos que las preferencias
que cumplen con los supuestos de estos axiomas pueden representarse por medio de un
tipo especial de curvas que se les conoce como curvas de indiferencia regulares.
Ms adelante explicamos cmo adems de la forma grfica, las preferencias del
consumidor se pueden representar tambin numricamente a travs de las funciones de
utilidad.
Finalmente planteamos algunas interrogantes acerca de la forma que asumen las
preferencias de los consumidores y su relacin con los axiomas. Aclaramos que esaspreguntas sern respondidas en los siguientes captulos.
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1.2 LA UTILIDAD CARDINAL
A finales del siglo XVIII el filsofo ingls Jeremy Bentham introdujo un concepto que
posteriormente fue utilizado de manera amplia: La utilidad.
El concepto de utilidad se usaba entonces para representar todas aquellas
manifestaciones subjetivas de las personas al momento de consumir un bien o un
servicio. Posteriormente, algunos autores como William Stanley Jevons, Carl Menger y
Len Walras trataron de profundizar el concepto de este filsofo ingls y darle un cuerpo
terico en la economa. El resultado fue una teora en la que la utilidad era el elemento
fundamental. De acuerdo con la nueva concepcin de los marginalistas -nombre con el
que se conocera a los partidarios de esta corriente- el valor de los bienes no resida en la
cantidad de trabajo necesario para producirlo, sino en la utilidad que dicho bien le reporta
al consumidor y ms an, en la utilidad marginal que produce el bien al ser consumido por
el individuo.
Este planteamiento represent un viraje total en la forma en que se analizaba la
economa. No obstante, al igual que el concepto primigenio de Bentham, este nuevo
enfoque de la economa se enfrentara a una serie de obstculos que tendran que ser
franqueados. Gravelle describe algunos de ellos, [Estos economistas] Pensaban que
era posible hablar de una cantidad total de utilidad derivada de consumir una cantidad
dada de bienes, de sustraer tales cantidades unas de otras y discutieron como estas
diferencias cambiaban a medida que variaba el consumo.1
1Gravelle Hugh y Rees Ray. Microeconoma, p. 80.
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En trminos generales, esta primera versin de la utilidad es conocida como teora
cardinal de la utilidad. Entre los elementos que postulaba es que la utilidad de las
personas es aditiva y cuantificable. Segn esta teora, una persona obtiene cierta cantidad
de utilidad al consumir cualquier bien o servicio. Esta utilidad estara representada a
travs de unidades de satisfaccin denominadas tiles, los cuales se pretenda que fueranmedibles y que se pudieran sumar a la satisfaccin derivada del consumo de otros bienes,
independientemente de qu tipo de bienes se tratara. De esta manera, por ejemplo, si el
consumo de empanadas reporta a un individuo 4 tiles y el consumo de aguardiente
reporta 6 tiles, la suma de ambos consumos dara como resultado 10 tiles. Adems, la
teora cardinal de la utilidad presupone que es posible realizar comparaciones entre los
niveles de utilidad o satisfaccin de distintas personas.
Si bien los principales autores que trabajaron sobre la teora, (Jevons, Menger y Walras)
no desarrollaron est situacin, de su anlisis se desprende dicha posibilidad. Menger y
Walras nunca abordaron esta cuestin, empero, sus anlisis no dependen de la hiptesis
de que puedan hacerse comparaciones interpersonales. Jevons argument que tales
comparaciones eran imposibles; sin embargo, con un estilo caracterstico de sus escritos,
las llev a cabo.2
Bentham sostena que la sociedad deba intentar alcanzar el mayor provecho para el
mayor nmero de personas y asuma que semejante poltica se poda hallar al maximizar
una funcin de utilidad social agregada. Dado que la utilidad era vista como medible para
algn tipo de criterio objetivo, tambin era considerada tanto comparable como aditiva
entre los individuos. En otras palabras, Bentham crea que era posible decir que la
persona A obtuvo ms tiles del consumo de algn bien que la persona B. Adems los
tiles disfrutados por la persona A podan ser sumados a los tiles aprovechados por la
persona B para encontrar la utilidad total de la sociedad.3
2Landreth y Colander. Historia del pensamiento econmico, p. 219.3Binger and Hoffman. Microeconomics with calculus, p. 104. El original en ingls.
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Sin embargo, con el paso del tiempo los economistas se percataron de que esta nueva
teora presentaba diversos problemas. Entre los ms importantes se encuentra el que la
utilidad pueda medirse cardinalmente, situacin que resulta cuando menos incierta. De
hecho, ninguno de los autores que originalmente reivindicaban esta teora postul un
mecanismo medianamente convincente para poder realizarlo.
Por otro lado, les fue imposible comprobar que personas distintas pudiesen comparar la
utilidad derivada del consumo de ciertos bienes, incluso del mismo bien. Esta
imposibilidad surge debido a que ambas personas pueden utilizar distintos criterios a la
hora de calificar la utilidad que obtienen de dicho consumo. Como lo explica Varian El
problema estriba en que los economistas clsicos nunca describieron realmente como se
meda la utilidad. Cmo se supone que debemos cuantificar la cantidad de utilidad de las
diferentes elecciones? Es la utilidad lo mismo para una persona que para otra? Qu
quiere decir que una chocolatina me reporta el doble de utilidad que una zanahoria?
Tiene el concepto de utilidad un significado independiente que no sea el de ser lo que
maximizan los individuos?4
El problema que presenta la teora cardinal de la utilidad puede ser planteado de la
siguiente forma Si una persona afirma que comer un filete le aporta una utilidad de cinco
y otra afirma que el mismo filete le aporta una utilidad de cien no podemos saber cul de
los dos individuos concede ms valor al filete porque ellos podran estar empleando
escalas muy distintas. De manera anloga, no tenemos manera de medir si el paso de la
situacin A a la situacin B ofrece ms utilidad a una persona que a otra.5
Al percatarse de los inconvenientes que acarreaba la teora cardinal de la utilidad, los
autores que retomaron estos conceptos se dieron a la tarea de desarrollar una teora ms
consistente. As, llegado el siglo XX los economistas fueron renunciando paulatinamente a
los conceptos de cardinalidad en la teora de la utilidad, la cual fue abandonada por
4Varian Hal R. Microeconoma intermedia un enfoque actual, p. 55.
5Nicholson Walter. Teora microeconmica, principios bsicos y ampliaciones, p. 70.
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completo en la primera mitad del siglo pasado, aunque se mantuvieron muchas de las
aportaciones que haban propuesto los primeros impulsores.
Los representantes de esta teora general del equilibrio [] renuncian a explicar y a
hacer comprensibles las regularidades observadas mediante una teora del valor
psicolgicamente fundada. Esto ahorra a tales tericos muchas dificultades, sobre todo el
problema insoluble de medir cuantitativamente los motivos que tienen las acciones
econmicas, es decir placer y displacer, y con ello cuantificarlos, adems de hacer
comprobaciones entre magnitudes sentimentales de diferentes sujetos, aadindolas
finalmente a sumas sociales. A esta total despsicologizacin de la construccin terica
tiende Pareto mediante la deduccin de un sistema de lneas de indiferencia, que
sustituye la mensurabilidad de la urgencia de las necesidades por una fijacin
comprobada experimentalmente de series de posibles combinaciones de bienes por un
sistema de ndices de la ophlimit 6
Pero como lo comentamos anteriormente, no todos los elementos de semejante teora
fueron desechados, muchos de ellos fueron conservados. A principios del siglo veinte, la
mayora de los economistas se haba percatado de la dificultad que implicaba la utilidad
cardinal de Bentham. Por consiguiente, los supuestos de comparabilidad y aditividad
fueron desechados de la teora. Sin embargo un elemento de la utilidad cardinal se
mantuvo []
podramos decir que el consumidor obtiene una utilidad marginal decreciente al
incrementar su consumo. Este fue el supuesto bsico de la utilidad cardinal que fue
conservado por los economistas de finales del siglo diecinueve y principios del veinte, a
quienes se les conoce como marginalistas. Ellos usaron este supuesto para justificar la
pendiente negativa de las curvas de demanda. 7
6Stavenhagen Gerhard. Historia de las teoras econmicas, p. 251.
7Binger y Hoffman. Op Cit, p. 105. El original en ingls.
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1.3 LA UTILIDAD ORDINAL
Desde finales del siglo XIX la mayora de los economistas analizaba los conceptos
propuestos por los fundadores de la teora marginal. Sin embargo seguan latentes los
problemas que traa consigo la teora de la utilidad cardinal, de la cual no se haban
podido desembarazar de una buena vez. En la medida que desarrollaban sus trabajos, se
percataron que muchos de los planteamientos de los marginalistas eran vlidos pero el
problema segua siendo la mesurabilidad de las utilidades.
Fue en 1907 cuando Vilfrido Pareto publica su Manual de Economa Poltica, en el cual
enuncia su famoso ptimo de bienestar, pero al hacerlo tambin tom prestado un
elemento analtico fundamental en el desarrollo de la teora ordinal de la utilidad: las
curvas de indiferencia. Decimos que fue prestado dicho elemento analtico debido a que el
primero en utilizarlo fue el economista britnico Francis Ysidro Edgeworth en 1881 para
plantear las utilidades de dos individuos representadas por dos bienes. No obstante
Pareto le dio una nueva dimensin al concepto ya que plante de manera abierta que la
utilidad poda ser expuesta a travs de la ordenacin de opciones que provean mayor
utilidad al consumidor en vez de la cardinalidad de dicha utilidad como se vena haciendo.
Pareto no elabor un aparato terico completo basado en su nuevo concepto de la
eleccin, pero le dio un impulso muy importante. Adopt el concepto de las curvas de
indiferencia que por primera vez haba utilizado el economista ingls F Y Edgeworth en
Mathematical Psychics(1881), para demostrar la posibilidad de formular una teora slo
en base a escalas de preferencias. Pareto toma dos mercancas y muestra como el
individuo desear igualmente numerosas combinaciones de dichas mercancas. Todas
estas combinaciones pueden disponerse en una curva de indiferencia a la que se le
puede asignar un ndice. Tambin pueden disponerse en curvas a las que pueden
asignarse ndices ms altos o ms bajos otras combinaciones de las mismas mercancas
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ms o menos deseables. Puede representarse el sistema individual de preferencias
respecto a estas dos mercancas en un mapa de indiferencia que mostrar, por analoga
con un mapa de niveles, los diferentes grados de satisfaccin. 8
La nueva orientacin que los economistas le dieron a la teora de la utilidad se denomin
teora de la utilidad ordinal. La principal diferencia respecto a la utilidad cardinal era que,
en vez de asignarle valores especficos y mesurables a los consumos de los individuos,
ahora sera suficiente con ordenar cada uno de ellos respecto a las preferencias de cada
consumidor. En los ltimos 40 aos el enfoque de la utilidad cardinal para deducir curvas
de demanda ha sido reemplazado por un mtodo (que se remonta a Pareto y Edgeworth)
que slo necesita un ordenamiento de preferencias individuales de alternativas Una
funcin que proporcione nicamente un ordenamiento preferencial de alternativas se
denomina una funcin de utilidad ordinal. Con una funcin as, conocemos que alternativa
se juzga mejor o primera, cul es la segunda, cul es la tercera, etc..9
A partir de este anlisis, la teora de la utilidad no slo precis menos informacin, sino
que surgi desde una concepcin menos sicolgica y subjetiva, asimismo reconsider
ciertos conceptos que le ocasionaban las ms sensibles crticas. Los economistas se
han dado cuenta gradualmente de que lo nico importante de la utilidad, en lo que a la
eleccin se refiere, es si una cesta tiene mayor utilidad que otra y no el grado en que una
utilidad es mayor que otra Las preferencias del consumidor son la descripcin
fundamental para analizar la eleccin, y la utilidad no es ms que una forma de
describirlas.10
Posteriormente, durante la dcada de los treinta se dio un nuevo impulso a la teora de la
utilidad ordinal. Al plantear la propuesta de su teora del valor subjetivo, John Hicks y Roy
Allen desarrollan un mtodo ms sencillo para ordenar las preferencias ya que apelaron a
una ptica concerniente con las relaciones de preferencia.
8Roll Eric. Historia de las doctrinas econmicas, p. 405.
9Asimakopolus A. Introduccin a la teora microeconmica, p. 100.
10Varian Hall R. Op Cit, p. 55.
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Tiempo despus, Gerard Debreu, quien desarroll su trabajo principalmente en el rea de
la teora del equilibrio general, realiz una aportacin fundamental a la teora de la
utilidad.
Desde principios de la dcada de los cincuentas del siglo XX, conjuntamente con Arrow,
desarroll un trabajo respecto a la existencia de un equilibrio en una economa
competitiva. En ese trabajo expuso dos teoremas, el primero se refiere a que si todos los
agentes de la economa estn en equilibrio para un sistema de precios, esta economa
est en situacin ptima en sentido Pareto. El segundo explica que bajo ciertas
condiciones, cuando una economa se encuentra en situacin Pareto ptima, existe un
sistema de precios para el que todos los agentes estn en equilibrio.
Este trabajo signific un antecedente de uno de sus principales trabajos que divulgara
posteriormente. Fue en 1959 cuando Gerard Debreu publica una de sus obras
fundamentales: Teora del valor. En esta obra esencial de la economa matemtica,
Debreu demuestra que los axiomas sobre las preferencias permiten la existencia de la
funcin de utilidad. Con este trabajo, el autor depur la Teora del Consumidor para
establecer en cinco supuestos claros y concretos las condiciones que deben satisfacer las
preferencias sobre el conjunto de eleccin para garantizar la existencia de una funcin de
utilidad que represente las preferencias del consumidor sobre el conjunto de eleccin.11
Como hemos expuesto, la teora de la utilidad ha sido enriquecida con las aportaciones de
muchos economistas. Las herramientas matemticas y analticas que se le han ido
incorporando permiten condensar en un reducido nmero de supuestos toda una teora
que es la base para buena parte de la economa actual. Sin embargo, a pesar de todos
los cambios que ha sufrido, la moderna teora de la utilidad mantiene la nocin original
con la que fue expuesta, solo que ahora su poder de explicacin es ms amplio, su
precisin es ms aguda y requiere de menos informacin.
11Lpez Snchez Mara Guadalupe. Una aproximacin al conjunto de eleccin. Tesis. p. 160.
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1.4 MODERNA TEORA DE LA UTILIDAD
En la actualidad, la mayora de los libros de texto de economa abordan la teora de la
utilidad comenzando con el anlisis del comportamiento de los consumidores, que
tambin es conocido como la teora del consumidor.
Generalmente la primera definicin que advertimos es la que tiene que ver con todas
aquellas mercancas que los individuos consumen, es decir las diferentes cantidades de
bienes y servicios que estn disponibles en el mercado para que sean adquiridas por los
consumidores. Una cantidad especfica de bienes y servicios que puede ser consumida
por un individuo se denomina cesta de consumo.
En el mercado podemos hallar cantidad de cestas de consumo disponiblesindependientemente de que puedan ser adquiridas por un individuo en particular. Es decir,
que el hecho de que sean una alternativa disponible no significa que vayan a ser
automticamente adquiridas por los consumidores. Para que esto suceda, deben
presentarse dos escenarios: El primero se conoce como el problema econmico del
consumidor, el cual consiste en que una cesta de consumo puede ser adquirida siempre y
cuando su precio sea menor o igual a la restriccin presupuestaria de cada individuo. El
segundo aspecto es conocido como el comportamiento racional del consumidor12, el
cual dice que un individuo siempre elegir la cesta de consumo que resulte la mejor de las
alcanzables. Cul ser el criterio de valoracin que utilizar el consumidor para realizar
esta tarea? Simplemente se guiar por sus preferencias.
Es posible modelar esta ltima situacin a travs del anlisis de las preferencias del
consumidor. Pero dada la dificultad de trabajar con tantas alternativas (ya que existen n
12Villar Antonio. Lecciones de Microeconoma, p. 22.
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cestas de consumo) y debido a la ventaja que significa la utilizacin de grficos,
generalmente se plantea el comportamiento racional del consumidor utilizando
nicamente dos bienes. Aunque por supuesto, siempre es posible utilizar el plano
bidimensional para representar ms de dos bienes. Por ejemplo, si tenemos dos
opciones, y la primera alternativa, puede representar solamente un bien mientrasque la segunda opcin puede representar todos los dems bienes (que pueden ser 2,5, 120, etc.) que conforman una cesta de consumo. Sin embargo lo ms comn es que
una cesta de consumo est compuesta nicamente por 2 bienes. Por lo tanto, siguiendo
esta definicin, el comportamiento racional del consumidor consiste en elegir las mejores
cestas de consumo alcanzables dados dos bienes. En otras palabras, el consumidor
ordenar las distintas cestas de consumo de tal manera que pueda determinar cul es la
mejor de acuerdo a sus preferencias.
Existen una serie de axiomas en la teora de la utilidad que nos sirven para modelar este
comportamiento. Son conocidos como los axiomas sobre las preferencias.
Los dos primeros axiomas determinan el comportamiento racional del consumidor. Nos
referimos a los de completitud y transitividad. Hay otros dos que plantean el supuesto de
que los consumidores prefieren cantidades mayores de bienes y servicios a cantidades
menores. Estos son los de no saciedad local y monoticidad estricta y son conocidos como
axiomas de conveniencia.13 Finalmente existen dos axiomas que exponen una estructura
analtica precisa que determina un tipo especfico de preferencias. Estos son los axiomas
de continuidad y el de convexidad estricta.
En su conjunto, todos los axiomas son pilares fundamentales en la teora del consumidorya que a travs de ellos se modelan las curvas de indiferencia regulares, que es uno de
los componentes esenciales para entender el comportamiento de los consumidores.
13 Mas-Colell Andreu, Whinston Michael D, Green Jerry R. Microeconomic Theory, p. 42. En
este trabajo siempre se considerarn los supuestos ms fuertes para definir los axiomas sobre laspreferencias.
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1.5 AXIOMAS DE ORDEN
AXIOMA DE COMPLETITUD
El axioma nmero uno plantea que si A y B son dos situaciones cualesquiera, el
individuo siempre podr especificar con exactitud una de las tres posibilidades
siguientes:
1. A es preferible a B.
2. B es preferible a A o
3. A y B son igual de atractivas.
Por tanto, se supone que la indecisin no paraliza a los individuos; es decir, estos
comprenden totalmente las dos alternativas y siempre son capaces de decidir cul de las
dos es la deseable. El supuesto tambin excluye la posibilidad de que un individuo pueda
afirmar que A es preferido que B y tambin que B es preferido a A14. Por lo tanto cuando
aplicamos el axioma de completitud simplemente estamos diciendo que dos cestas de
consumo se pueden comparar, o lo que es lo mismo, que un consumidor es capaz de
elegir entre dos cestas de consumo.
14Nicholson Walter. Op Cit, p. 69. En el ltimo ejemplo que se menciona de este axioma se est
utilizando una relacin de estricta preferencia el cual se simboliza como Esta no se debeconfundirse con la relacin de indiferencia que s permite el caso de que A sea al menos tanpreferido como B y que B sea al menos tan preferido como A. Teniendo como resultado que A esindiferente a B. En el siguiente captulo se dar una explicacin mucho ms profunda del tema.
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AXIOMA DE TRANSITIVIDAD
El axioma de transitividad afirma que si un individuo se enfrenta a tres alternativas: y , y decide que es preferible que , y que es preferible que , entoncestambin resolver que es preferible que.
Desde el punto de vista del sentido comn, el segundo axioma parece obvio, ya que lo
nico que plantea es que las decisiones de los individuos sean consistentes, debido a
que, si se presentar el caso contrario, entonces quedara en entredicho la lgica delcomportamiento de los consumidores.
Por ejemplo: si un individuo tiene que decidir entre tres bienes, el primero es un mango, el
segundo es una manzana y el tercero es un pltano. Entonces el consumidor decide que
prefiere el mango a la manzana y que prefiere la manzana al pltano. Sin embargo si
tambin decidiera que prefiere el pltano a la manzana, entonces podramos pensar que
el consumidor no tiene perfectamente claro ni las opciones ni las consecuencias de sus
decisiones, debido a la incoherencia de estas.
Aunque en la mayora de los casos las decisiones de los consumidores sern
consistentes, tambin se pueden presentar situaciones como las descritas arriba. Si bien
esos casos no son frecuentes, se llegan a presentar sobre todo cuando los individuos no
poseen informacin completa o cuando la unidad de decisin es una familia o un grupo
que decide por mayora. Fuera de estas situaciones, en la mayora de los casos se
observa el axioma de transitividad.
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Los dos primeros axiomas que hemos descrito: completitud y transitividad son conocidos
como los axiomas de orden y son aplicables a cualquier conjunto de eleccin. Los que
veremos enseguida plantean en trminos generales que los individuos siempre prefieren
elegir en un conjunto de oportunidades que sea lo ms grande posible.15 Estos son los
axiomas de no saciedad local y el de monoticidad estricta.
1.6 AXIOMAS DE CONVENIENCIA16
AXIOMA DE NO SACIEDAD LOCAL.
Para explicar el axioma de no saciedad local primero tendramos que revisar la idea que
plantea el concepto de no saciedad. El pensamiento que nos viene a la mente cuando
consideramos este concepto es la imposibilidad de satisfacer todos los deseos o
apetencias que pueda tener un individuo. Asimismo el concepto est estrechamenterelacionado con la nocin econmica de los bienes escasos respecto a las necesidades.
En el contexto de las preferencias, la no saciedad nos dice que dado una cesta de
consumo elegida por un individuo, siempre existir otra preferida. La no saciedad local
slo formaliza el concepto de una manera ms precisa: nos dice que independientemente
lo cerca que se encuentre la opcin elegida por el consumidor, siempre encontraremos
una cesta de consumo mejor.
15Villar Antonio. Op Cit, p. 31.16
Mas-Colell Andreu, Whinston Michael D, Green Jerry R. Op. Cit, p. 42. El trmino exacto queutiliza el autor para englobar a los axiomas de no saciedad local y monoticidad estricta es el deDesirability assumptions, cuya traduccin al espaol sera Supuestos de conveniencia.
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Este axioma est estrechamente vinculado con el siguiente a travs de una idea
econmica bastante comn: ms siempre es mejor que menos.
AXIOMA DE MONOTICIDAD ESTRICTA.
Este axioma nos plantea en trminos intuitivos, como lo comentamos anteriormente, la
nocin de que consumir ms es mejor que consumir menos. Pero para poder emplearesta idea primero necesitamos definir un cierto tipo de mercanca para la cual aplica este
concepto.
Los bienes econmicos son aquellas mercancas que producen satisfaccin al
consumidor, en contraposicin con los males, que son simplemente aquellas que el
consumidor no desea. Por lo tanto cuando abordamos la idea de ms es mejor a menos,
estamos pensando en bienes econmicos, ya que los individuos siempre preferirnconsumir mercancas que les generen satisfaccin a aquellas que les produzcan lo
contrario. En este sentido los individuos siempre se encontrarn en mejor posicin al
aumentar las cantidades de bienes econmicos consumidos.
La aplicacin de este axioma la podemos plantear de la siguiente manera: si un individuo
est comparando dos cestas de consumo y la primera de ellas contiene cuando menos la
misma cantidad de bienes econmicos que la segunda, ms uno de ellos, entoncesdebido a la monoticidad estricta, la primera cesta de consumo ser preferida a la
segunda.
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Asimismo debido a este axioma, la nica forma para que dos cestas de consumo puedan
ser indiferentes es que posean ms de algunos bienes y menos de otros, ya que si
poseen ms de todos los bienes sern estrictamente preferidas y si tienen menos de
todos los bienes sern estrictamente no preferidas.
Los ltimos dos axiomas que abordaremos son los axiomas de continuidad y el de
convexidad estricta, los cuales plantean la estructura analtica para definir a un tipo
especfico de preferencias.
1.7 AXIOMAS ANALTICOS
AXIOMA DE CONTINUIDAD
El axioma de continuidad es un poco menos claro que los dems, pero en general lo que
plantea es que cuando un consumidor tiene que elegir entre dos cestas de consumo y si el consumidor decide que es preferido a entonces todos los puntos que seencuentren convenientemente cerca de tambin sern preferidos a .
A simple vista podramos pensar que este axioma tiene que ver poco con la intuicin. Dehecho tambin es visto como un axioma bastante tcnico ya que su planteamiento
matemtico desestima algunos tipos de conductas discontinuas en el lmite. Pero en un
esfuerzo por vincularlo a una explicacin ms acorde a la vida cotidiana, podemos decir
que este axioma descarta la posibilidad de que un consumidor manifieste cambios
bruscos o repentinos en sus preferencias.
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AXIOMA DE CONVEXIDAD ESTRICTA.
El ltimo axioma sobre las preferencias plantea una situacin bastante comn en la vida
cotidiana: a la hora de consumir, los individuos prefieren la combinacin de bienes a
especializarse en uno solo.
Debido a los supuestos que plantea la convexidad estricta, si un consumidor tiene que
decidir entre dos cestas de consumo, una vez que haya decidido e independientemente
de cul haya sido el resultado de su decisin, una combinacin de ambas siempre serestrictamente preferida a cualquiera de las dos cestas en lo individual, las cuales
llamaremosextremas. Este concepto quedar ms claro con un ejemplo. Si un individuo
va a una cafetera y tiene que decidir entre dos bienes: Chocolate y pastel; independiente
de que el consumidor se haya inclinado por cualquiera de las dos opciones, una
combinacin de ambos bienes ser estrictamente preferido a consumir slo pastel o slo
chocolate.
Si ese ejemplo lo trasladamos al consumo de una cantidad de bienes mayor sucede
exactamente lo mismo. Un consumidor siempre preferir cestas de consumo balanceadas
a aquellas en la que haya cierta tipo de especializacin por algn bien.
Hemos descrito las principales caractersticas de los axiomas sobre las preferencias. La
importancia que estos tienen es excepcional para la teora econmica ya que a travs de
ellos se sintetiza toda la informacin necesaria para explicar el comportamiento de los
consumidores. Asimismo el cumplimiento de los supuestos que plantean dichos axiomas
posibilita la aplicacin de una herramienta fundamental para el anlisis econmico: las
curvas de indiferencia.
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Este instrumento es de enorme importancia para la teora econmica ya que es la
representacin grfica de la informacin contenida en los axiomas sobre las preferencias.
1.8 CURVAS DE INDIFERENCIA
La utilizacin de las curvas de indiferencia ha sido fundamental en la teora econmica ya
que plasman grficamente toda la informacin que representan los axiomas sobre laspreferencias. Una definicin formal de este concepto es el siguiente: las curvas de
indiferencia son una representacin geomtrica de los puntos que simbolizan la
combinacin de bienes (o canastas de bienes)17 frente a los cuales el consumidor se
mantiene indiferente.
Como hemos comentado con anterioridad, generalmente se utilizan solo dos bienes para
plantear el comportamiento del consumidor. Entonces si utilizamos slo dos bienes en ladefinicin de las curvas de indiferencia tenemos lo siguiente: las curvas de indiferencia
simbolizan un nivel de satisfaccin constante que adquiere un consumidor al elegir una
cesta de consumo compuesta por dos bienes.
Este tipo de curvas tienen las siguientes particularidades:
1. Las combinaciones sobre las curvas de indiferencia ms alejadas del origen son
preferidas a la de las curvas de indiferencia ms cercanas al origen.
17Miller Le Roy. Microeconoma, p. 65
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2. Hay una curva de indiferencia que pasa por cada posible combinacin de bienes
3. Las curvas de indiferencia no se pueden cortar.
4. Las curvas de indiferencia tienen pendiente negativa.
5. Las curvas de indiferencia tienen una forma curvada hacia el origen.
Estas cinco caractersticas son la consecuencia de la aplicacin de los seis axiomas que
hemos descrito. El resultado que obtenemos de todo el proceso es una curva que asume
la forma de hiprbolas equilteras que son las que conocemos como curvas de
indiferencia regulares.
Si las curvas de indiferencia representan grficamente a las preferencias del consumidor,
existe una forma de representarlas numricamente. Por qu quisiramos representarlasde esa forma? Si bien es relativamente sencillo estudiar la teora del consumidor desde la
ptica de las preferencias, cuando el anlisis avanza, generalmente se requiere hacer
clculos muy elaborados, por lo tanto es preciso valerse de un instrumento que facilite el
trabajo. El instrumento que se utiliza para fungir esta labor son las funciones de utilidad,
las cuales asignan un nmero a todas las cestas de consumo posibles de tal manera que
las que se prefieran tengan un nmero ms alto que las que no se prefieran. 18
Sin embargo nuestro estudio se limitar al anlisis de las curvas de indiferencia desde el
enfoque de las preferencias. Por lo tanto es vlido hacernos las siguientes preguntas:
Por qu la absoluta mayora de las curvas de indiferencia que vemos en los libros de
18Varian Hal R. Op Cit, p. 55.
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texto asumen una forma regular? Qu hay de especial en esas curvas para que sean tan
comunes? Y la ms importante: Qu es lo que propicia que las curvas asuman esa
forma?
La informacin de los siguientes captulos est orientada a responder estas interrogantes.
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CAPTULO DOS
AXIOMAS DE ORDEN
________________________________________________________________________
2.1 INTRODUCCIN
En el captulo anterior comenzamos con una breve introduccin a la historia de la teora
de la utilidad en la cual se definieron conceptos importantes que sern utilizados a lo largo
de este captulo.
A partir de esta exposicin se introdujo el tema de los axiomas sobre las preferencias, el
cual se explic brevemente, ya que en los siguientes captulos se hara un acercamiento
mucho ms profunda del mismo.
En este apartado expondremos de manera ms concienzuda los dos primeros axiomas:completitud y transitividad. Iniciaremos con una revisin de las matemticas
fundamentales para poder abordar estos dos axiomas.
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En primer lugar definiremos una serie de conceptos que sern de suma importancia tanto
en este captulo como en los siguientes, estos son: par ordenado, producto cartesiano,
relacin binaria y dominio e imagen de la relacin binaria. Posteriormente abordaremos el
tema de relaciones definidas en un conjunto y expondremos algunas de las propiedades
que pueden asumir estas relaciones. Una vez que abordemos dichas propiedades,proseguiremos a definir dos conceptos que sern esenciales en el desarrollo de este
captulo, nos referimos a las clases de equivalencia y a las relaciones de orden. De este
ltimo se desprende la definicin de preorden completo, uno de los conceptos nodales de
este captulo. La ltima parte de la revisin matemtica es la de los elementos
distinguidos de un conjunto ordenado, la cual nos servir para los subsecuentes captulos.
Una vez que hayamos revisado las definiciones matemticas, procederemos a analizar el
concepto de relaciones de preferencia, el cual es bsico para la comprensin este
captulo ya que es un elemento esencial para entender los dos primeros axiomas sobre
las preferencias. A travs del anlisis de este concepto llegamos a la conclusin de que
una relacin de preferencia no es ms que un tipo especial de relacin binaria de la cual
se desprenden otros dos tipos de relaciones, la relacin de indiferencia y la relacin
estricta de preferencia.
Posteriormente plantearemos una explicacin de los primeros dos axiomas a travs de la
vinculacin de los planteamientos de carcter intuitivo que expusimos en el primer
captulo junto con el rigor de los conceptos matemticos que desarrollaremos en la
primera parte del segundo captulo. De esta manera se explica por qu estos dos axiomas
representan las preferencias racionales del consumidor. Ms adelante se profundizar
tanto en la exposicin de la relacin de preferencia como en la relacin de preferenciaestricta
finalmente se explicara por qu esta ltima constituye un orden estricto.
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2.2 LAS RELACIONES BINARIAS
En muchas ocasiones en las matemticas se presenta la necesidad prctica de vincular a
los elementos de dos conjuntos no necesariamente distintos. Existe una herramienta
conceptual que nos permite llevar a cabo esta tarea con la formalidad necesaria, nos
referimos a las Relaciones Binarias1, las cuales juegan un papel de primera importancia
en las matemticas modernas.
Antes de iniciar el estudio de las relaciones binarias necesitamos aclarar una serie de
conceptos que nos ayudarn a comprender las definiciones que desarrollaremos durante
el presente captulo. Los primeros conceptos que abordaremos sern el de par ordenado
y el de producto cartesiano. Particularmente este ltimo, adems de ser otro elemento
fundamental de las matemticas, es esencial para entender uno de los temas ms
importantes del presente captulo ya que las Relaciones Binarias son un subconjunto del
Producto Cartesiano.
Par Ordenado.
Definicin: Sean , tales que si y slo si y Entonces es el Par Ordenado de y de .
Es de notarse que en esta definicin es sumamente importante el orden en el que se
presentan los elementos ya que si entonces
1Se toma como referencia base para el desarrollo de toda la parte matemtica de este captulo a:
Rojo Armando. Algebra I. Captulo 3.
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Ya que hemos definido a un Par Ordenado, ahora abordaremos otro importante concepto:
el Producto Cartesiano.
Producto Cartesiano.
Definicin: Dados dos conjuntos no vacos se llama Producto Cartesiano de por al conjunto de todos los pares ordenados donde la primera componente pertenece al conjunto y la segunda componente pertenece al conjunto Aqunuevamente remarcamos la relevancia de respetar el orden. El smbolo que se utiliza es
y se lee, por . Es decir:
2
Una vez definidos tanto Par Ordenado como Producto Cartesiano ahora pasamos de lleno
al concepto fundamental de este captulo.
Relacin Binaria.
Definicin: Sean y dos conjuntos y una propiedad relativa a los elementos y , en ese orden. Entonces una relacin binaria es definida como el conjunto delos pares ordenados donde la proposicin es verdadera.3
De esta definicin se desprenden a su vez otras dos que podemos expresar de lasiguiente forma.
2Bartle, Robert G. Introduccin al anlisis Matemtico de una variable, p. 5.
3Lpez Snchez Mara Guadalupe. Una aproximacin al conjunto de eleccin. Tesis, p. 21.
-
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Definicin: El par ordenado pertenece a la Relacin si y solo si la proposicin es verdadera.
es verdadera.
Definicin: es una relacin entre los conjuntos y s y slo s la Relacin es unsubconjunto del Producto Cartesiano, es decir:
es una relacin entre y
Ejemplo:
Si tenemos dos conjuntos y , donde el conjunto est compuesto por animalesidentificados por los nmeros y es el conjunto de alimentos identificados por losnmeros . Es decir tenemos los conjuntos:
y
Donde los elementos del conjunto estn relacionados con los elementos del conjunto por medio de la propiedad : se alimenta de .
En este caso el conjunto de los pares ordenados es el siguiente.
-
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Existen varias formas de representar a las relaciones. Para el caso de conjuntos finitos se
plantean las siguientes.
i. Por medio de diagramas de Venn.
ii. Por medio de un plano cartesiano, donde el eje de las abscisas son los elementos
del primer conjunto y el eje de las ordenadas son los elementos del segundo
conjunto.
iii. Mediante una matriz. Para esta representacin la primer columna son los
elementos del primer conjunto y el primer rengln los del segundo; la matriz se
conforma por y segn el par ordenado pertenezca o no a la relacin.
La representacin del ejemplo anterior es:
1
3
5
7
2
4
6
8
Diagramas de Venn.
-
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31
0 2 4 6 8
1
3
5
7
Representacin en el Plano Cartesiano.
R 1 3 5 7
2 0 0 0 0
4 1 1 0 0
6 0 1 0 0
8 1 0 0 0
Representacin en una Matriz.
-
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Dominio Imagen y Relacin Inversa
Si tenemos una Relacin entre los conjuntos y definiremos los siguientesconceptos:
Definicin: Si decimos que es una imagen de a travs de y que es unapreimagen de por .
Dominio de .
Definicin: El dominio de es la totalidad de los elementos de que admiten imagen en. Es decir:
Imagen de
Definicin: La imagen de es el conjunto de los elementos de que admiten unantecedente en. Se puede expresar como:
-
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Relacin Inversa.
Definicin: Una Relacin Inversa de es el subconjunto de el cual est definidopor:
Ejemplo:
Retomando el ejemplo que vimos anteriormente donde tenamos los siguientes conjuntos:
y
Si aplicamos el concepto de Relacin Inversa entonces tendramos los siguientes pares
ordenados:
Ahora si lo representamos por medio de un Plano Cartesiano:
-
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34
0 1 3 5 7
2
4
6
8
Representacin en el plano de una relacin inversa.
Relaciones definidas sobre un conjunto
Si tenemos los conjuntos y y una relacin entre ambos conjuntos, si ademstenemos que entonces podemos decir que la relacin est definida en y es a lavez un subconjunto de En tal caso tenemos la siguiente definicin:
Relacin definida sobre un conjunto.
Definicin: es una relacin definida en, s y slo s
-
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Como tambin el conjunto vaco y el mismo son subconjuntos de , entonces estosdos tambin son relaciones definidas para cualquier conjunto .
Si tiene elementos, entonces tiene elementos y el conjunto de partes de tiene elementos, es decir, existen subconjuntos de o relaciones en.
2.3 PROPIEDADES QUE PUEDEN ASUMIR LAS RELACIONESDEFINIDAS SOBRE UN CONJUNTO
Si es una relacin definida en esto es, Entonces la relacin puede asumircualquiera de las siguientes propiedades:
Reflexividad:
es reflexiva
La caracterstica fundamental de la Reflexividad es que todo elemento de forma un par
consigo mismo y el resultado pertenece a la relacin. El ejemplo grfico es la diagonal de donde dicha diagonal est formada por pares de componentes iguales y dicha diagonalest contenida en la Relacin. Es decir:
-
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y es reflexiva
Ejemplo 14: Sea un conjunto tal que , del cual se forman las siguientes
relaciones: Al graficar las relaciones definidas sobre obtenemos una diagonal que est contenida en la relacin, por lo tanto tenemos que esuna relacin reflexiva.
0 2 4 6 8
2
4
6
8
Representacin en el plano de una relacin reflexiva.
4Se utilizar el conjunto usado en el Ejemplo 1 para ilustrar los ejemplos de las dems Relaciones
Definidas en un Conjunto.
-
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No reflexividad:
es no reflexiva
La no reflexividad consiste en la negacin de la reflexividad. Esto significa que en la no
reflexividad existe al menos un elemento de el cual no est relacionado consigo mismo.
Si esta propiedad la graficamos entonces tendramos que la diagonal de no estcontenida en la relacin.
es no reflexiva
Ejemplo 2: Si retomamos el conjunto de nuestro ejemplo anterior pero ahora definimos
nuevas relaciones a partir de ese conjunto. . Entoncestenemos que:
es no reflexiva ya que 4
-
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0 2 4 6 8
2
4
6
8
Representacin en el plano de una relacin no reflexiva.
Arreflexividad:
es arreflexiva
Esto significa que ninguna pareja en son elementos relacionados consigo mismos, loque implica que ningn elemento de la diagonal pertenece a la relacin. Es decir: esarreflexiva
-
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Ejemplo 3: Del Ejemplo 1 con otras nuevas relaciones tenemos lo siguiente: . Donde tenemos que ningn elemento forma pareja consigomismo en la relacin, por lo tanto es arreflexiva.
0 2 4 6 8
2
4
6
8
Representacin en el plano de una relacin arreflexiva.
Simetra:
es simtrica
-
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Esto significa que si un par ordenado pertenece a la relacin entonces si invertimos los
componentes, el par ordenado resultante tambin pertenece a la relacin, lo que tiene
como resultado que el grfico en el plano cartesiano es simtrico respecto a la diagonal
de
Ejemplo 4: Del Ejemplo 1 y determinando nuevas relaciones tenemos:
, entonces es simtrica ya que al permutar cada uno de loscomponentes, los pares ordenados resultantes siguen perteneciendo a la relacin.
No simetra:
es no simtrica
La no simetra es simplemente la negacin de la simetra, sin embargo no impide que dos
pares de componentes permutados pertenezcan a la relacin, pero al mismo tiempo
precisa que si exista un par en la relacin y que el par resultante de la permutacin de sus
componentes no sea parte de la relacin.
Ejemplo 5: Del Ejemplo 1 con nuevas relaciones tenemos: Entonces tenemos que es No Simtrica ya que:
Asimetra:
es asimtrica
Lo que requiere esta definicin es que si un par pertenece a una relacin, entonces el par
resultante de realizar la permutacin de sus componentes no pertenece a la relacin.
-
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Ejemplo 6: Del Ejemplo 1 con nuevas relaciones tenemos Portanto el resultado es que es Asimtrica ya que ninguno de los pares que pertenece a larelacin es una permutacin de ellos mismos.
Antisimetra:
es antisimtrica
En este caso, si tenemos un par ordenado y lo permutamos y el resultadosigue perteneciendo a la relacin entonces tenemos que el componente es igual alcomponente .
Un buen ejemplo de antisimetra es el Ejemplo 1, ya que tenemos los pares , de los cuales, los cuatro primeros al permutarlos siguenperteneciendo a la relacin por lo que tenemos que para los cuatro primeros se cumple
que Por otro lado, un ejemplo de cuando no se cumple la antisimetra es elejemplo 2, donde tenemos las siguientes relaciones
pero
observamos que para el segundo y tercer par ordenado la proposicin es falsa yaque:
Transitividad:
es transitiva
-
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La transitividad es una de las caractersticas ms importantes que pueden asumir las
relaciones. Esto significa que si un componente est relacionado con otro (incluso puede
ser que sea el mismo) y este segundo componente a su vez est relacionado con un
tercero, entonces como consecuencia tenemos que el primer componente est
relacionado con el tercero. Podemos encontrar un ejemplo de transitividad en el Ejemplo 6de Asimetra, donde tenemos los siguientes pares ordenados: Aqupodemos comprobar que
No transitividad:
es no transitiva
La no transitividad es simplemente la negacin de la transitividad, por lo tanto niega la
sucesin lgica entre y . Ejemplo: Si tenemos un conjunto con los siguientes pares
Observamos enseguida que esa relacin no es transitiva ya
que
Atransitividad:
es atransitiva
La diferencia que existe entre No transitividad y Atransitividad es que mientras que para la
primera dentro de la relacin pueden existir otros pares ordenados que no asuman la
propiedad de la No transitividad, para la Atransitividad todos los pares de la relacin
deben cumplir con esta propiedad. Ejemplo: Si tenemos la siguiente relacin entonces es Atransitiva porque
-
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2.4 RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Una vez que hemos visto las propiedades que pueden asumir las relaciones sobre un
conjunto, ahora revisaremos un tipo especial de relacin binaria que es fundamental no
slo para el tema de las curvas de indiferencia sino para el lgebra en su conjunto, nosreferimos a las Relaciones de Equivalencia, las cuales son representadas por medio del
smbolo .
Relacin de Equivalencia.
Definicin: Sea una relacin la cual es subconjunto del producto cartesiano , es
decir: . La relacin es denominada Relacin de Equivalencia si y slo sisatisfacen las propiedades de reflexividad, simetra y transitividad.
i. Reflexividad: Todo elemento de es equivalente a s mismo.
ii. Simetra: Si un elemento es equivalente a otro entonces ste es
equivalente al primero.
-
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iii. Transitividad: Si un elemento es equivalente a otro y este es equivalente a
un tercero, entonces el primero es equivalente al tercero.
A partir de esto se deduce que todo par que pertenezca a una relacin de equivalencia se
le llama equivalente y para representar dicha relacin se utiliza el smbolo En el casode una relacin con el par ordenado , si tenemos que , la cual se lee a esequivalente a , que significa que el par ordenado pertenece a la relacin deequivalencia.
Ejemplo: En el conjunto , tenemos la siguiente relacin.
La reflexividad se identifica enseguida ya que los siguientes casos son verdaderos:
En el caso de la simetra tenemos lo siguiente:
Finalmente la transitividad queda demostrada con el siguiente ejemplo:
-
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2.5 CLASES DE EQUIVALENCIA
Ahora definiremos un tipo especial de conjunto que nos servir para determinar todos los
elementos de un conjunto que son equivalentes a un elemento dado. Dicho conjuntoest contenido en , por lo tanto el conjunto debe ser distinto del vaco. El conjunto delque hablamos se denomina Clase de equivalencia.
Clase de equivalencia.
Definicin: La clase de equivalencia del elemento es el conjunto de todos loselementos de equivalentes a
Ejemplo: Si retomamos el ejemplo anterior con un conjunto que est compuesto por
, cuya relacin de equivalencia est representada por Entonces observamos que hay dos clases de equivalenciaque son subconjuntos del conjunto .
-
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1
2
3
K =1 K2 K 3
Conjunto A
Esto es debido a que en la relacin podemos identificar
las siguientes proposiciones respecto a los elementos y :
-
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Por lo tanto los elementos y son equivalentes y forman parte de la misma clase deequivalencia.
Por otro lado tenemos que para el elemento slo se cumple la siguiente proposicin:
Por lo tanto en el conjunto , 3 es equivalente slo consigo mismo, entonces forma una
clase de equivalencia aparte.
Hasta el momento definimos lo que son las clases de equivalencia del conjunto , pero encierta forma lo hemos hecho de manera individual; es decir, identificando a cada clase de
equivalencia una por una. Pero tambin podemos conceptualizar al conjunto que est
conformado por todas las clases de equivalencia de . Por ejemplo podemos elegir unnico elemento de cada clase de equivalencia para que represente a su clase en un
conjunto de ndices . Una vez que tenemos a todos estos representantes de lasclases de equivalencia en el conjunto de ndices podemos definir al conjunto formado por
todas las clases de equivalencia de , el cual recibe el nombre de Conjunto Cociente de Adado por la relacin de equivalencia.
Conjunto Cociente de A dado por la relacin de equivalencia.
Definicin: Sea un conjunto distinto del vaco, sea una relacin de equivalenciasobre , sea la clase de equivalencia de y sea un ndice conformado por unrepresentante de cada clase de equivalencia. Entonces el Conjunto Cociente de dadopor la relacin de equivalencia queda definido como:
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El Cociente de dado por la relacin de equivalencia es considerado una particin delconjunto , ya que los elementos que lo constituyen, que son las clases de equivalencia,son no vacas disjuntas de a pares (dos a dos) y su unin es el conjunto .
Definicin:
El conjunto es una particin de si y slo si:
En el primer caso significa que para todo elemento , el cual pertenezca al conjunto dendices, entonces significa que la clase de equivalencia (la clase de equivalencia de lacual es representante) es no vaca. En el segundo significa que si dos elementos delconjunto no son equivalentes entonces la interseccin entre sus respectivas clases deequivalencia es el conjunto vaco, o en palabras ms sencillas, dos elementos del
conjunto son equivalentes s y slo s pertenecen a la misma clase. Y el ltimo implicaque para todo elemento a que pertenezca al conjunto existe un elemento quepertenece al conjunto de ndices tal que el primer elemento pertenece a la clase deequivalencia .
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Ahora abordaremos el Teorema fundamental de las relaciones de equivalencia definidas
en un conjunto no vaco, el cual nos permitir verificar que toda relacin de equivalencia
definida en un conjunto no vaco determina su particin en clases de equivalencia.
Si es una relacin de equivalencia definida en el conjunto , el cual es distinto del vaco entonces existe un subconjunto tal que cualquiera que sea en , existe , de modo que se verifican las siguientes proposiciones.
Lo que nos dicen los postulados de este teorema es que todo elemento del conjunto de
ndices le corresponde una clase la cual es no vaca, en el segundo caso tenemos que
dos elementos del conjunto son equivalentes s y slo s pertenecen a la misma clase,el tercero nos dice que si dos clases son disjuntas (es decir su conjuncin es distinta al
conjunto vaco), entonces son la misma clase, para el cuarto tenemos que elementos
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distintos del conjunto de ndices determinan clases disjuntas. Y finalmente, el ltimo nos
dice que todo elemento del conjunto pertenece a una clase de equivalencia.
2.6 RELACIONES DE ORDEN
Ahora abordaremos un tema esencial el cual es bastante comn no slo para las
matemticas sino incluso en la vida cotidiana.
Cuando ordenamos a los elementos de un conjunto estamos aplicando un tipo especfico
de relacin binaria. Esta relacin es conocida como relacin de orden u ordenacin. De
todas las propiedades que asumen este tipo de relaciones, la ms importante es la
transitividad, ya que siempre est presente en una relacin de orden. Las dems pueden
o no estar presentes, y de esto depender la forma en que sern catalogadas.
La primera definicin que abordaremos ser la de un Conjunto Ordenado y a partir de ella
se desarrollarn los siguientes conceptos.
Conjunto Ordenado.
Definicin: Sea un conjunto y sea una relacin binaria sobre . El conjunto ser un conjunto ordenado si y slo si satisface las siguientes propiedades: reflexividad,antisimetra y transitividad.
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Preorden.
Definicin: Sea
un conjunto y sea
una relacin binaria sobre
:
. Entonces
tenemos que es un preorden sobre si asume las propiedades de reflexividad ytransitividad:
Ahora abordaremos un tema que es de suma importancia para nuestro estudio.
Definiremos la propiedad que garantiza que los elementos de un conjunto puedan ser
comparables. Esta propiedad es la linealidad o completitud y se define de la siguiente
manera5:
Completitud.
Definicin: Sea un conjunto y sea una relacin binaria sobre . La relacin asume lalinealidad o completitud s y slo s:
5Ver referencia en:Lpez Snchez Mara Guadalupe. Op Cit, p. 41.
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Preorden completo.
Definicin: Sea un conjunto preordenado, es decir, se verifica en una relacin binaria que es Reflexiva y Transitiva. Si adems, la relacin cumple con ser completa entoncesdecimos que es un preorden completo sobre 6.
Por otro lado si tenemos una relacin de orden en un conjunto y adems tenemoselementos que son incomparables entonces estamos hablando de un Orden Parcial, es
decir:
6Para referencia sobre Preorden y Preorden completo ver: Elvio Accinelli. Elementos de
topologa y de la teora de conjuntos en economa, p. 6.
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Orden Estricto.
Definicin: Sea un conjunto y sea una relacin binaria sobre . es una relacin deorden estricto si y solo si es arreflexiva, asimtrica y transitiva.
a) Arreflexividad:
b) Asimetra:
c) Transitividad:
El signo de preceder
Sea un conjunto y una relacin binaria definida en el conjunto . Anteriormente sehaba expresado de esta manera cuando dos elementos del conjunto estabanidentificados con la relacin binaria . Sin embargo existe un signo que expresa esamisma caracterstica de una forma ms breve, se trata de , que se identifica como elsigno de preceder. En el anterior caso podemos expresarlo como y se lee como precede a . (De manera alterna tambin se puede encontrar como
2.7 ELEMENTOS DISTINGUIDOS EN UN CONJUNTO ORDENADO
Sea un conjunto ordenado y sea una relacin de orden. En los conjuntos ordenadosexisten algunos elementos que se distinguen del resto debido a las caractersticas que
poseen. A continuacin los definiremos.
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i. Primer elemento: El elemento se llama primer elemento si y slo si precedea todos los dems.
ii. ltimo elemento: El elemento se llama ltimo elemento si y slo si todoelemento de precede a .
Se debe aclarar que no es necesario que todo conjunto ordenado tenga primer o ltimo
elemento ya que puede ocurrir que no posea ninguno o que slo tenga primero y no
ltimo o viceversa.
iii. Elementos minimales: Sea es un elemento minimal si y slo si no existeun elemento distinto que le preceda:
iv. Elementos maximales: Sea es un elemento maximal si y slo si no existeen un elemento distinto que lo siga:
Puede ocurrir que en un conjunto ordenado no existan elementos minimales o maximales
y si existen pueden no ser nicos.
v. Cotas inferiores: Sea un conjunto y sea un subconjunto de . Elelemento es una cota inferior del subconjunto si precede a todo elementodel subconjunto:
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vi. Cotas superiores: Sea un conjunto y sea un subconjunto de Elelemento es una cota superior del subconjunto si y slo si sigue atodo elemento de.
vii. Supremo: Sea un conjunto y sea un subconjunto de , El elemento s es el supremo del subconjunto s y slo s es el primer elemento del conjuntode las cotas superiores.
viii. nfimo: Sea un conjunto y sea un subconjunto de , El elemento es el nfimo del subconjunto s y slo s es el ltimo elemento del conjunto de lascotas inferiores.
Conjunto bien ordenado.
Definicin: Se denomina Conjunto Bien Ordenado a aquel conjunto que est definido por
una relacin de orden total y adems todo subconjunto no vaco tiene primer elemento.
2.8 RELACIONES BINARIAS Y RELACIONES DE PREFERENCIA
Como se vio al inicio de este captulo, una relacin binaria es definida como un conjunto
de pares ordenados (los cuales son un subconjunto del producto cartesiano) para los
cuales una proposicin es verdadera. Esta definicin aplica tambin para el primerconcepto que se desarrollar es este apartado: Las relaciones de preferencia.
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Las relaciones de preferencia son aquellas que utiliza el consumidor para caracterizar el
criterio de valoracin que despliega sobre las opciones de consumo7. Al igual que las
relaciones binarias, las relaciones de preferencia, son representadas por el smbolo elcual puede traducirse como es al menos tan preferido como.
Lo que veremos enseguida es que las relaciones de preferencia son un tipo especial de
relaciones binarias. Podemos observar que en las relaciones de preferencia, las opciones
de consumo que el individuo evala son presentadas en pares, los cuales se ordenan a
travs del criterio de valoracin que el consumidor despliega sobre ellos. Este mismo
criterio funge como una proposicin que es verdadera para todos los pares que sernevaluados. Por lo tanto la relacin de preferencia es un tipo de relacin binaria. Para ser
ms especficos es una relacin binaria definida sobre el conjunto de consumo .
En el prximo captulo se profundizar en la definicin del conjunto de consumo. Por
ahora basta con tener en cuenta que el conjunto de consumo representa todas lasalternativas de consumo que un individuo pueda concebir8.
La relacin de preferencia es al menos tan preferido como determina otras dosrelaciones binarias que abordaremos enseguida.
La primera es la relacin de indiferencia. Esta relacin binaria es representada por el
smbolo , el cual se traduce como es indiferente a. La definicin formal es la siguiente:
7Villar Antonio. Lecciones de Microeconoma, p. 25.
8Jehle Geoffrey A y Reny Philip J. Advanced Microeconomic Theory. Pag 4.El original en ingls.
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Relacin de indiferencia.
Definicin: Sea un conjunto y sean Si es una relacin de indiferenciaentonces se cumple
La anterior definicin trasladada al problema del consumidor significa que si al individuo
se le presentan dos cestas de consumo frente a las cuales se muestra indiferente,
entonces podemos concluir que el consumidor les otorga la misma valoracin a ambas.
La siguiente relacin que abordaremos se denomina relacin de preferencia estricta, y
se representa con el smbolo el cual se lee como es estrictamente preferido a.
Relacin de preferencia estricta.
Definicin: Sea un conjunto y sean Si es una relacin de preferenciaestricta entonces se cumple
Esta definicin es bastante clara en su aplicacin al problema del consumidor, ya que
simplemente significa que frente a dos opciones de consumo, un individuo prefiere una de
las alternativas por sobre la otra.
A partir de los anteriores conceptos podemos definir entonces los siguientes subconjuntos
del conjunto de consumo
.
i. Es el conjunto al menos tan preferido como.
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ii. Es el conjunto estrictamente preferido a.
iii. Es el conjunto indiferente.
iv. Es el conjunto no mejor que.
v. Es el conjunto peor que.9
2.9 AXIOMAS DE ORDEN
Formalmente hablando, el concepto de axioma define a la proposicin matemtica que se
asume como tal ya que no est sujeta a comprobacin. Aplicado al tema que nosconcierne, la modelizacin axiomtica nos sirve para especificar tanto la estructura como
las propiedades de las preferencias, asimismo nos posibilita describir formalmente los
elementos fundamentales del comportamiento del consumidor.
En este apartado desarrollaremos matemticamente los supuestos que representan los
dos primeros axiomas sobre las preferencias. La manera en que lo haremos ser
retomando los concepto intuitivos que vimos en el primer captulo pero ahora estarnacompaados por todo el bagaje matemtico que hemos aprendido en la seccin anterior.
El resultado que obtendremos ser una explicacin sencilla pero con la formalidad
matemtica necesaria.
9Ibd, p. 4.
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Primer axioma: Completitud
Lo que nos expresa esta definicin es que si un conjunto asume la propiedad de
completitud entonces todos los elementos pertenecientes a ese conjunto son comparables
o lo que es lo mismo, en un conjunto completo no existen elementos que sean
incomparables. Qu significado econmico tiene esta situacin? Retomando la
explicacin intuitiva que hicimos en el captulo uno, podemos decir que si un consumidor
tiene preferencias completas entonces comprende plenamente las dos alternativas que se
le presentan y siempre ser capaz de decidir cul de las dos es la deseable, es decir el
consumidor nunca quedar paralizado por la indecisin. Por lo tanto este axioma
solamente formaliza la facultad que tiene un consumidor para poder hacer comparaciones
entre los bienes que constituyen el conjunto de consumo.
Segundo axioma: Transitividad
.
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El axioma de transitividad plantea que el comportamiento de un consumidor debe ser
consistente. Qu significa eso? Que las decisiones que tome un individuo de acuerdo a
sus preferencias deben ser coherentes con la lgica del ordenamiento que ha establecido.
Si nos movemos dentro del marco del sentido comn, parecera que las preferencias
transitivas es la nica forma en que un consumidor puede proceder. Sin embargo existe laposibilidad de que las preferencias de los consumidores asuman algn tipo de forma
cclica, las cuales estn tericamente representadas por las relaciones de no transitividad
y atransitividad. Estas situaciones se presentan en la vida cotidiana, como lo vimos en el
captulo uno; por ejemplo, cuando los individuos no poseen informacin completa o
cuando la unidad de decisin es una familia o un grupo que decide por mayora. No
obstante, en la mayora de los casos analizados por la economa, la transitividad es
observada.
Cada uno de los axiomas que hemos visto hasta ahora representa una caracterstica
especfica en las preferencias de los consumidores. Ahora procederemos a estudiarlos de
manera conjunta y veremos que analizados de esta forma presentan caractersticas
especiales tanto en el aspecto matemtico como en las consecuencias en el
comportamiento de los consumidores.
2.10 AXIOMAS DE ORDEN, RELACIONES DE PREFERENCIA Y
PRERDENES COMPLETOS
Anteriormente afirmamos que las relaciones de preferencia que cumplen los axiomas uno
y dos representan los axiomas de orden. Matemticamente eso significa que bajo los
axiomas uno y dos, las relaciones de preferencia constituyen un preorden completo sobre
el conjunto de consumo. Para exponerlo detalladamente presentaremos una vez ms el
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concepto de preorden completo y definiremos nuevamente los dos primeros axiomas
sobre las preferencias.
Preorden completo.
Definicin: Sea un conjunto preordenado; es decir, se verifica en una relacin binaria que es Reflexiva y Transitiva. Si adems de esto, la relacin tambin cumple con sercompleta entonces decimos que es un preorden completo sobre .
Una relacin de preferencia bajo los axiomas uno y dos establecen lo siguiente:
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Como podemos ver, la definicin de un preorden completo precisa que la relacin
satisfaga tres propiedades: Reflexividad, transitividad y completitud; mientras que los dos
primeros axiomas presentan solamente completitud y transitividad. Sin embargo se puede
demostrar que si una relacin (en este caso una relacin de preferencia) asume las
propiedades de completitud y transitividad entonces implica que tambin satisface lapropiedad de reflexividad. A continuacin desarrollaremos esa demostracin10.
Teorema:
Sea un conjunto y sea una relacin de preferencia sobre el conjunto Si la relacin es completa y transitiva, entonces tambin es reflexiva.
Demostracin:
Por hiptesis sabemos que es completa, entonces:
Entonces se plantean dos casos:
i. Por el axioma dos, la relacin de preferencias es transitiva, loque implica que si . Lo que significa que tambin esreflexiva.
ii. Por el axioma dos, la relacin de preferencias es transitiva, loque implica que si . Lo que significa que tambin esreflexiva.
10Para ver referencia de la demostracin ver:Lpez Snchez Mara Guadalupe. Op. Cit, pp. 167,
168 y 169.
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Queda demostrado que bajo los axiomas uno y dos la relacin de preferencia constituyeun preorden completo.
Una vez que hemos revisado el aspecto matemtico, ahora abordaremos el significado
econmico.
Si las preferencias de un consumidor cumplen con los dos axiomas que acabamos de
analizar, entonces se dice que las preferencias son racionales. Qu significa que sean
racionales? Simplemente que ambos axiomas presentan propiedades que permitenorganizar de una manera coherente las decisiones de consumo que ha hecho un
individuo. Es decir, posibilitan el establecimiento de una jerarqua que permite ordenar los
bienes del ms preferido hasta el menos preferido de acuerdo con las preferencias del
consumidor.
Por lo tanto, los dos primeros axiomas son componentes esenciales del comportamiento
racional del consumidor.
2.11 RELACIONES DE INDIFERENCIA Y RELACIONES DE
EQUIVALENCIA
Como vimos anteriormente, la relacin de preferencia determina otros dos tipos derelaciones binarias: La relacin de indiferencia, representada por el smbolo y la relacinde preferencia estricta, la cual es representada por
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La primera de ellas explica que un consumidor que est comparando dos cestas de
consumo le otorgar la misma valoracin a ambas, es decir se mostrar indiferente frente
a las dos cestas, formalmente tenemos:
Relacin de indiferencia.
Definicin: Sea un conjunto y sean Se cumple una relacin de indiferencia
A simple vista podemos ver que las caractersticas que asume una relacin de
indiferencia son la completitud, transitividad y (como acabamos de demostrar) tambin lareflexividad. Pero tambin lleva implcita la propiedad de simetra ( es simtrica ). Por lo tanto podemos establecer que una relacin deindiferencia es tambin una relacin de equivalencia. Como lo revisamos previamente,
tanto las relaciones de equivalencia como las relaciones de indiferencia se identifican con
el mismo signo Asimismo tambin comparten el concepto que determina a todos loselementos de un conjunto que son equivalentes a un elemento en particular, nos
referimos a las clases de equivalencia, slo que en el caso de las relaciones de
indiferencia se conocen como clases de indiferencia. Su definicin formal es lasiguiente:
En economa tenemos un ejemplo conocido de este concepto. Las curvas de indiferencia
definidas sobre el conjunto de eleccin corresponden a las clases de equivalencia11.
Podemos verificar que las curvas de indiferencia son conjuntos no vacos ( adems si dos cestas de consumo son indiferentes entre s entonces pertenecen a lamisma curva de indiferencia ( Si la11Ibd, p. 30.
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interseccin de dos curvas de indiferencia es el conjunto vaco entonces estamos
hablando de la misma curva de indiferencia ( ) y las curvas deindiferencia no pueden cortarse entre s ( La definicin formal delas curvas de indiferencia sintetiza todas estas propiedades: Las curvas de indiferencia
son una representacin geomtrica de los puntos que simbolizan la combinacin de
bienes frente a los cuales el consumidor se mantiene indiferente.
2.12 RELACIONES DE PREFERENCIA ESTRICTA Y ORDEN ESTRICTO
El segundo tipo de relacin binaria que se desprende de las relaciones de preferencia es
la que se denomina relacin de preferencia estricta. Lo nico que expresa esta relacin es
que frente a dos opciones de consumo las preferencias de un consumidor se inclinan
explcitamente por una de ellas. El signo que utiliza para representarla es y se lee comoes estrictamente preferido a. Su definicin formal es la siguiente:
Relacin de preferencia estricta.
Definicin: Sea un conjunto y sean Se cumple
En la relacin de preferencia estricta se definen algunas propiedades distintas a las de la
relacin de indiferencia. Para empezar no presenta ni completitud ni reflexividad. En vez
de eso, exhibe dos propiedades diferentes: La de arreflexividad y la de asimetrasi . Sin embargo, sigue manteniendo la transitividad ya que secumple que si . Como se verific anteriormente, si unarelacin sobre un conjunto presenta las propiedades de transi