UD 11:

DERIVADAS

PROF: ALFONSO NAVARRO

1º BACHILLERATO CCSS

ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN

2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA

3. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

4. REGLAS DE DERIVACIÓN

5. DERIVADAS ELEMENTALES

6. APLICACIONES

6.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

6.2. OPTIMIZACIÓN

1. INTRODUCCIÓN

RESEÑA HISTÓRICA

Fueron Newton y Leibniz quienes, de manera simultánea,

comenzaron a estudiar el concepto de derivada en el siglo XVII.

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1. INTRODUCCIÓN

APLICACIONES

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a = v ´ (t)

Optimización

Monotonía y curvatura

Representación gráfica de

funciones

1. INTRODUCCIÓN

APLICACIONES

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Una caja con tapa y base cuadrada debe tener un volumen de 160

cm3. El precio del material utilizado para la base es de 3 euros por

centímetro cuadrado, y el utilizado para las caras laterales y la tapa

es de 2 euros por centímetro cuadrado.

Calcula las dimensiones de la caja para que resulte lo más

económica posible.

2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA

2.1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM)

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Denominamos TVM de una función f entre dos valores a y b a la

expresión:

Representa la pendiente de la recta que une los puntos A(a,f(a)) y

B(b, f(b)).

𝑇𝑉𝑀 𝑎, 𝑏 =𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)

𝑏 − 𝑎

2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA

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El siguiente gráfico

muestra el tiempo y la

distancia recorrida por

un tren en el trayecto

Madrid – Alicante.

La TVM representará la

velocidad media del

tren en los diferentes

intervalos. Calcula:

1. Distancia Madrid-

Alicante.

2. Tiempo del trayecto.

3. Velocidad media.

2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA

EJERCICIO RESUELTO

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Calcular la TVM en el intervalo [3, 6] de la función:

𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥

Solución:

𝑇𝑉𝑀 3,6 =𝑓 6 − 𝑓(3)

6 − 3=

18 − 0

3= 6

𝑓 3 = 32 − 3 · 3 = 9 − 9 = 0

𝑓 6 = 62 − 3 · 6 = 36 − 18 = 18

2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA

EJERCICIOS PROPUESTOS

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1. Calcular la TVM en el intervalo [-2, 1] de la función:

𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 − 1

2. Calcular la TVM en el intervalo [3, 4] de la función:

𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 2

2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA

2.2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA (TVI)

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Denominamos TVI de una función f en un punto 𝑥𝑜 como:

Representa la pendiente de la recta tangente de la función f en el

punto 𝑥𝑜.

𝑇𝑉𝐼 𝑥𝑜 = limℎ→0

𝑓 𝑥𝑜 + 𝑕 − 𝑓(𝑥𝑜)

𝑕

2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA

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2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA

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El procedimiento que emplea la guardia civil para multar a un

vehículo que excede la velocidad permitida se fundamenta en este

concepto.

El radar mide la velocidad del coche en una variación de tiempo lo

más pequeña posible.

2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA

EJERCICIO RESUELTO

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Calcular la velocidad de un vehículo cuyo desplazamiento tiene por

ecuación:

𝑓 𝑥 = 0,1𝑥2 + 118𝑥 + 143,3

en el instante x = 4 horas.

Solución:

Según el concepto de TVM podemos tomar valores próximos a 4

tanto por encima como por debajo para saber realmente el valor que

tomar la función en el punto 4.

𝑇𝑉𝑀 4.01,4 =𝑓 4.01 − 𝑓(4. )

4.01 − 4.=

328,48801 − 327,3

0,01= 118,801

𝑇𝑉𝑀 4,3.99 =𝑓 4 − 𝑓(3.99)

4 − 3.99=

327,3 − 326,11201

0,01= 118,799

2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA

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Podemos concluir entonces que la velocidad del coche era de 118,8

km/h en el momento de medición de la velocidad.

En realidad lo que hemos calculado ha sido la velocidad instantánea

del vehículo o la derivada de la función en el punto x = 4.

3. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

3.1. CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

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Denominamos derivada de una función 𝑓: 𝑋 → ℝ, en un punto 𝑥 ∈𝑋 (siendo X un intervalo abierto) y lo denotamos por 𝑓 ´ 𝑥 a la

expresión:

Representa la pendiente de la recta en el punto de abcisa x (en la

imagen x=a ; m = tg𝛽)

𝑓 ´ 𝑥 = limℎ→0

𝑓 𝑥 + 𝑕 − 𝑓(𝑥)

𝑕

3. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

3.2. FUNCIÓN DERIVADA

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Denominamos función derivada a aquella función f:

𝑓: ℝ → ℝ x → 𝑓 ´ (𝑥)

que a cada x, donde es derivable, le asocia su función derivada.

3. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

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EJEMPLO

Supongamos que el desplazamiento de un móvil en función del

tiempo viene dado por la ecuación𝑓 𝑥 = 𝑥2.

Calcularemos la derivada (su velocidad) en el instante x = 2.

𝑓 ´ 𝑥 = limℎ→0

𝑓 𝑥 + 𝑕 − 𝑓(𝑥)

𝑕= lim

ℎ→0

𝑥 + 𝑕 2 − 𝑥2

𝑕= lim

ℎ→0

𝑥2 + 𝑕2 + 2𝑥𝑕 − 𝑥2

𝑕

= limℎ→0

𝑕(𝑕 + 2𝑥)

𝑕= lim

ℎ→0 2𝑥 = 2𝑥

Como x = 2 𝑓 ´ 2 = 2 · 2 = 4 Valor que coincide con la velocidad

y la pendiente de la recta tangente a la función en x = 2.

3. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

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3. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

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En el ejemplo anterior hemos calculado la derivada de la función a

partir de su definición. En un proceso que no siempre resulta sencillo

y por consiguiente es conveniente aprenderse las derivada de las

funciones elementales en vez de estar calculándolas a partir de la

definición continuamente.

4. REGLAS DE DERIVACIÓN

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1.DERIVADA DE UNA CONSTANTE 𝑓 𝑥 = 𝐾 → 𝑓´ 𝑥 = 0, 𝑐𝑜𝑛 𝐾 ∈ ℝ

2. DERIVADA DE PRODUCTO POR CONSTANTE

𝑓 𝐾 · 𝑥 ´ = 𝐾 · 𝑓´ 𝑥 , 𝑐𝑜𝑛 𝐾 ∈ ℝ

3. DERIVADA DE LA SUMA/RESTA 𝑓 ± 𝑔 ´ 𝑥 = 𝑓´ 𝑥 ± 𝑔´(𝑥)

4. DERIVADA DE UNA PRODUCTO 𝑓 · 𝑔 ´ 𝑥 = 𝑓´ 𝑥 𝑔´ 𝑥 + 𝑓 𝑥 · 𝑔´(𝑥)

5. DERIVADA DE UNA COCIENTE 𝑓

𝑔´ 𝑥 =

𝑓´ 𝑥 𝑔´ 𝑥 − 𝑓 𝑥 · 𝑔´(𝑥)

[𝑔 𝑥 ]2

6. DERIVADA DE LA COMPOSICIÓN 𝑓 𝑔 𝑥 ´ = 𝑓´ 𝑔 𝑥 · 𝑔´(𝑥)

5. DERIVADAS ELEMENTALES

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5.1. Derivada de la función potencial 𝐲 = 𝒙𝒏 ; 𝒄𝒐𝒏 𝒏 ∈ ℝ

Sea una función y = xn se cumple que su derivada es la función:

y´ = n · xn−1

Generalizando: y = xf(x) → y ´ = f ´ 𝑥 · 𝑥𝑓 𝑥 −1

EJEMPLOS

a) y = x3 → y´ = 3x2

b) y = 4x2 → y´ = 8x

c) y = −x4→ y´ = −4x3

d) y = 7 → y´ = 0

e) y =3

𝑥= 3𝑥−1 → y´ = −3x−2=

−3

𝑥2

f) y = 𝑥 = 𝑥1/2 → y ´ =1

2x

1

2−1 =

1

2x

−1

2 =1

2 𝑥

g) y = 𝑥25= 𝑥2/5 → y ´ =

2

5x

2

5−1 =

2

5x

−3

5 =2

5 𝑥35

5. DERIVADAS ELEMENTALES

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5.2. Derivada de la función exponencial 𝐲 = 𝒂𝒙 ; 𝒄𝒐𝒏 𝒂 ∈ ℝ+

Sea una función y = ax se cumple que su derivada es la función:

y´ = ax · ln(a)

Caso particular y = ex → y´ = ex

Generalizando: y = af(x) → y ´ = f ´ 𝑥 · 𝑎𝑓 𝑥 · ln (𝑎)

y = ef(x) → y ´ = f ´ 𝑥 · 𝑒𝑓 𝑥

EJEMPLOS

a) y = 5x → y´ = 5x · 𝑙𝑛5

b) y = 2x → y ´ = 2x · 𝑙𝑛2

c) y = 37x → y ´ = 7 · 37𝑥 · 𝑙𝑛3

d) y = e𝑥2→ y ´ = 2𝑥 · 𝑒𝑥2

5. DERIVADAS ELEMENTALES

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5.3. Derivada de la función logarítmica 𝐲 = 𝒍𝒏𝒙 ; 𝒄𝒐𝒏 𝒙 ∈ ℝ+

Sea una función y = lnx se cumple que su derivada es la función:

y´ =1

𝑥

Caso y = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 → y´ =1

𝑥·𝑙𝑛𝑎

Generalizando: y = ln 𝑓 𝑥 → y ´ =𝑓 ` 𝑥

𝑓 𝑥

y = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑓 𝑥 ) → y´ =𝑓 `(𝑥)

𝑓 𝑥 · ln 𝑎

EJEMPLOS

a) y = ln 5𝑥 → y´ =5

5𝑥=

1

𝑥

b) y = ln −𝑥3 → y´ =3𝑥2

−𝑥3 =−3

𝑥

c) y = l𝑜𝑔 5𝑥 + 6 → y´ =5

5𝑥+6 ·ln 10

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6.1. ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE

La derivada nos permite determinar la pendiente de la recta tangente a la

función en un determinado punto. Para ello podemos emplear la siguiente

expresión:

6. APLICACIONES

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EJERCICIO

Dada la siguiente función:

a) Encuentra su función derivada.

b) Representa gráficamente la función.

c) Encuentra la ecuación de la recta tangente a la función en el

punto de abcisa x = - 3.

y = x2 − 9

6. APLICACIONES

6. APLICACIONES

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6.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES (monotonía)

Como hemos visto la derivada de una función indica el valor de la

pendiente de la recta tangente.

Pueden darse los siguientes tres casos según el signo de la derivada:

1. f ´(x) > 0 la función es creciente.

2. f ´(x) < 0 la función es decreciente.

3. f ´(x) = 0 posible punto crítico (máximo o mínimo)

6. APLICACIONES

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EJERCICIO RESUELTO

Estudiar la monotonía y puntos críticos de la función f(x) = x^3-3x+2

Solución:

1º Calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero.

f ´(x) = 3x^2-3

f ´(x) = 3x^2 – 3 = 0 x = 1 ; x = -1 (candidatos a extremos,

junto a otros posibles puntos que no pertenezcan al dominio)

2º Estudiamos el signo de la derivada en las proximidades de los puntos

candidatos.

(-inf , -1) (-1 , 1) (1 , + inf)

Signo f ´ (x) + - +

crece decrece crece

3º El punto (-1, 4) es un máximo y (1, 0) es un mínimo.

6. APLICACIONES

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6.3. OPTIMIZACIÓN

Los problemas de optimización se reducen a encontrar los extremos

relativos de una función:

1. Escribimos la función que deseamos optimizar.

2. Si la función tiene más de una variable, relacionamos las variables

con los datos del enunciado para conseguir una función de una

variable.

3. Obtenemos los máximos y mínimos de la función.

4. Comprobamos que los resultados obtenidos tienen sentido y se

adecuan a las condiciones del enunciado.

6. APLICACIONES

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PROBLEMA

Una caja con tapa y base cuadrada debe tener un volumen de 160

cm3. El precio del material utilizado para la base es de 3 euros por

centímetro cuadrado, y el utilizado para las caras laterales y la tapa

es de 2 euros por centímetro cuadrado.

Calcula las dimensiones de la caja para que resulte lo más

económica posible.