Unidad didáctica 04: Ecuaciones de primer grado

Unidad Didáctica 04: Ecuaciones de primer grado (8 sesiones)

1. Justificación de la unidad.

En los cursos anteriores se ha trabajado con expresiones algebraicas, se ha

introducido en concepto de ecuación y se han resuelto ecuaciones de primer grado tanto

por el método de deshacer como por procedimientos formales. En este curso a demás de

trabajar los conceptos de ecuación e identidad, nos centraremos en la resolución de la

ecuación de primer grado de forma gráfica y numérica. A partir de la resolución gráfica

se presenta el concepto de función afín. Por último, se muestra cómo este concepto se

aplica a multitud de problemas prácticos.

Para la resolución de ecuaciones de primer grado, continuaremos con la aplicación

de las reglas utilizadas para el cálculo con los números enteros. Recordemos que la

introducción de variables en las ecuaciones genera muchas dificultades si trabajamos

desde la abstracción e ignoramos la parte concreta generando en los estudiantes un

bloqueo de sus procesos de razonamiento, por lo tanto es importante que las ecuaciones

se presenten utilizando material concreto, como las fichas algebraicas, caja de

polinomios o a través de situaciones que sean familiares para sus estudiantes.

Para evitar que la resolución de ecuaciones se convierta solamente en un proceso

mecánico de aplicación de reglas, es necesario conectar las ecuaciones con situaciones

reales, es decir acostumbrar al alumnado a que traduzcan la ecuación a una situación

familiar para ellos y que luego piensen en las acciones que pueden tomar para llegar a la

resolución de la misma. Por ejemplo, si la ecuación a resolver es X + 8 = 5, la mayoría

de estudiantes despejará la incógnita “cambiando” de lado al 8 por la aplicación de las

propiedades para así obtener la expresión numérica de X, pero muy pocos estudiantes

pensarán en “¿qué valor de X sumado al 8 me da 5?” Al hacerlo de esta manera, no se

requiere aplicar ningún proceso memorístico para despejar la incógnita, sino

simplemente aplicar las reglas de la suma y de la resta con números enteros revisados en

el bloque numérico. Se sugiere trabajar con sus estudiantes en la capacidad de buscar

mentalmente el valor que resuelve la ecuación ya que ello les ayuda a entender lo que

están haciendo y además desarrolla su pensamiento lógico.

Las ecuaciones no son más que igualdades matemáticas en las que aparece una

variable, la cual es conocida como la incógnita. La resolución de la ecuación significa

encontrar el valor numérico de la incógnita que hace que la igualdad propuesta sea

verdadera. Los métodos para resolver una ecuación pueden ser muy variados, desde el

de prueba y error hasta el de la aplicación de las propiedades de los números para

despejar la incógnita.

Al llegar a la explicación de la resolución de ecuaciones por medio de reglas y

propiedades que permiten despejar la incógnita, es importante explicar al alumnado que

las ecuaciones pueden ser vistas como una balanza equilibrada por el signo igual, en la

cual cada lado de la ecuación representa lo mismo, y todo aquello que se haga a un lado

de la ecuación va a afectar al otro lado, por lo tanto las acciones deben ser tomadas por

igual a los dos lados.

El concepto de equivalencia se pone de manifiesto al resolver ecuaciones, ya que los

procedimientos conocidos para resolverlas consisten en transformar las ecuaciones, sin

modificar las soluciones, en otras ecuaciones más sencilla. Por tanto, es necesario

estudiar el concepto de ecuaciones equivalentes y ver las transformaciones que se

pueden realizar en la ecuación sin modificar las soluciones.

Uno de los errores más comunes al resolver ecuaciones es aquel de cambiar el signo

del valor que se cambia de lado, ya que funciona con los términos que están sumando y

restando pero no con los términos que se multiplican o dividen. La regla general no es

que se cambia de signo, sino que se hace la operación inversa, es decir, si un término

está sumando a la variable, al “cambiarlo” de lado, pasará restando, y así con todos los

términos y las operaciones.

Al momento de evaluar la resolución de una ecuación, una estrategia es hacerlo

desde la resolución de problemas y en tal caso debemos considerar si las estudiantes y

los estudiantes:

Reconocen el término desconocido (la incógnita)

Plantean el problema presentado como una ecuación

Resuelven correctamente la ecuación

Explican el procedimiento seleccionado

Hay que tener en cuenta que un gran número de estudiantes plantea una

ecuación, reconoce la incógnita, conoce el proceso y evidencia una lógica en él, pero al

momento de realizar la operación inversa no la ejecuta de la manera adecuada, por esto

debemos tener cuidado al momento de evaluar, detectar el error y dar retroalimentación,

así se lograremos una evaluación para corregir errores y así evitar mayores

complicaciones en el futuro.

En la unidad didáctica que estamos abordando intentaremos conseguir las siguientes

capacidades, según constan en el artículo 23 (artículo 4 del decreto 231/2007, de 31 de

Julio) de la ley orgánica 2/2006, de 3 de Mayo, por la que se regula el sistema

educativo:

2. Objetivos generales de la etapa.

a) Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y

en equipo como condición necesaria para una realización eficaz de las tareas

del aprendizaje y como medio de desarrollo personal.

b) Concebir el conocimiento científico como un saber integrado, que se

estructura en distintas disciplinas, así como conocer y aplicar los métodos

para identificar los problemas en los diversos campos del conocimiento y de

la experiencia.

c) Comprender y expresar con corrección, oralmente y por escrito, en la lengua

castellana y, si la hubiere, en la lengua cooficial de la Comunidad Autónoma,

textos y mensajes complejos, e iniciarse en el conocimiento, la lectura y el

estudio de la literatura.

Estos objetivos generales los podemos concretizar en el área de las matemáticas de

la siguiente forma, según consta en la Orden del 10/08/2007, por la que se desarrolla el

currículo correspondiente a la Educación Secundaria en Andalucía (Anexo II del

1631/2006):

1. Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla mejor:

utilizar técnicas de recogida de la información y procedimientos de medida,

realizar el análisis de los datos mediante el uso de distintas clases de

números y la selección de los cálculos apropiados a cada situación.

2. Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnológicos (calculadoras,

ordenadores, etc.) tanto para realizar cálculos como para buscar, tratar y

representar informaciones de índole diversa y también como ayuda en el

aprendizaje.

3. Manifestar una actitud positiva ante la resolución de problemas y mostrar

confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con éxito y adquirir

un nivel de autoestima adecuado que le permita disfrutar de los aspectos

creativos, manipulativos, estéticos y utilitarios de las matemáticas.

En esta unidad didáctica además de los objetivos vamos a contribuir a la

consecución de las siguientes competencias básicas:

1. Competencia en comunicación lingüística.

2. Competencia matemática.

3. Tratamiento de la información y competencia digital.

Los objetivos generales de la etapa y los generales del área de matemáticas los

concretizaremos aún más en esta unidad didáctica con los siguientes objetivos

didácticos:

Distinguir si una igualdad algebraica es una identidad o una ecuación.

Reconocer los elementos y el grado de una ecuación.

Determinar si un número es o no solución de una ecuación.

Reconocer si dos ecuaciones son o no equivalentes.

Hallar ecuaciones equivalentes a una dada aplicando la regla de la suma y

el producto.

Resolver ecuaciones de primer grado.

Plantear y resolver problemas mediante ecuaciones de primer grado.

3. Contenidos: conceptos, procedimientos y actitudes

Conceptos:

1. Identidad y ecuación.

2. Elementos de una ecuación: Incógnitas, coeficientes, miembros,

términos de un miembro y grado.

3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Ecuaciones

equivalentes.

4. Propiedades de las ecuaciones.

5. Número de soluciones de una ecuación de primer grado.

6. Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado.

7. Uso de aplicaciones informáticas para resolver ecuaciones de primer

grado.

Procedimientos:

1. Transformación de igualdades numéricas y ecuaciones.

2. Eliminación de denominadores.

3. Resolución de ecuaciones de primer grado mediante la

transformación sucesiva de las igualdades.

4. Planteamiento y resolución de problemas sencillos mediante la

aplicación de ecuaciones de primer grado.

5. Uso de aplicaciones informáticas para resolver ecuaciones de primer

grado.

Actitudes:

1. Valoración del lenguaje algebraico como una herramienta para

representar, comunicar o resolver diversas situaciones cotidianas.

2. Constancia en la búsqueda de soluciones a problemas algebraicos y

flexibilidad para tantear distintas posibilidades.

4. Actividades:

Actividad 1: Expresión de relaciones matemáticas mediante símbolos

algebraicos.

El fin de este apartado es el de la simbolización de cantidades para describir una

situación problemática. El alumno debe ver la utilidad de encontrar una expresión

general y su significado en diferentes contextos.

1.1.En la panadería donde normalmente compro el pan he observado que la

dependienta, seguramente para facilitarle la tarea de cobro, tiene siempre a la

vista una tablilla como ésta:

Nº de Panes 1 2 3 4

Precio en pesetas 22 44 66 88

Observa con detenimiento la tabla y trata de contestar razonadamente a las

siguientes cuestiones:

a) Prolonga la tabla con algunos valores más.

b) ¿Cuánto nos costarán 19 panes? ¿Y 43 panes?.

c) ¿Qué has hecho para determinar esos valores?. Escríbelo.

d) ¿Cuánto valdrán un número indeterminado “n” de panes?.

e) Estás en condiciones de expresar de un modo abreviado la relación

existente entre “Precio en ptas.” y “Número de panes”. Trata de

hacerlo.

1.2. Imagínate que vas conduciendo una motocicleta a una velocidad constante de

60 Km./h.

a) Construye una tabla de valores en la que se relacione las magnitudes

“Tiempo transcurrido” y “Espacio recorrido”.

b) Expresa en lenguaje matemático la relación existente entre tiempo y

Espacio.

c) ¿Qué fórmula habrías encontrado si la velocidad de la moto hubiese

sido de 75 Km/7h?. ¿Y a 90 Km./h? ¿Y para una velocidad “v”?

1.3.Considera la siguiente tabla que relaciona la ganancia que obtiene una fábrica

de máquinas fotográficas al venderlas.

Nº de Máquinas 1 2 3 4

Miles de pesetas 3 6 9 12

Contesta razonadamente a las siguientes preguntas:

a) Completa la tabla con tres valores más.

b) ¿Cuánto se ganará en la venta de 35 cámaras?.

c) ¿Cuánto ganará en la venta de “c” cámaras?

Objetivo:

Los objetivos de los tres ejercicios anteriores son:

- A través de una situación real, cuya información la recibimos mediante

una tabla, se intenta que el alumno prolongue la tabla intentando

descubrir la regla o ley que lo permita.

- Una vez descubierta la regla y enunciada dicha ley mediante lenguaje

ordinario, el alumno debe ver que es conveniente simplificar las

expresiones usando, por ejemplo, las iniciales de los conceptos que

maneja.

- Al hacer esto introducimos al alumno al lenguaje algebraico y le

mostramos que con él facilitamos el control, la sistematización y la

utilización de los datos que las situaciones reales nos suministran.

1.4.Traduce las frases y los conceptos, que vienen dados en lenguaje ordinario, al

lenguaje matemático, utilizando letras y números adecuadamente, de un modo

breve y conciso.

a) El precio de “m” libros, a 375 ptas. Cada uno.

b) El beneficio que se obtiene en la venta de un artículo que cuesta A

ptas. y se vende por B ptas.

c) Los ahorros de Juan son 10 veces los de Carlos, siendo los de éste “z”

ptas.

d) Tres números consecutivos.

e) El doble de un número.

f) El triple de la tercera parte de un número.

g) El peso total de “c” cajas si cada una pesa “p” Kg

h) El área de un rectángulo en el que la base es el doble de la altura.

Objetivo: Utilizar un código o lenguaje para describir distintas situaciones

(geométricas, aritméticas,....)

1.5.Un tren eléctrico mide a metros y está formado por n vagones y cada uno pesa b

toneladas. ¿Qué puedes decir sobre:

n·b?

a/b?

a + b?

1.6.Expresa mediante lenguaje ordinario las siguientes expresiones:

a) x + 2x

b) (x + y )2

c) x2 – y2

d) x/3

e) x + (x+1)

Objetivo:

En los dos ejercicios se pretende que el alumno sepa traducir una expresión

algebraica y comprender su significado.

Las actividades de iniciación han permitido introducir al alumno en el

lenguaje matemático para expresar con un número reducido de símbolos

situaciones dadas por tablas de valores, por enunciados dados en lenguaje

ordinario. Ahora en esta 2ª parte intentaremos que el alumno manipule el lenguaje

algebraico, para resolver situaciones problemáticas donde sea necesario buscar

una solución.

Actividad 2: Ecuaciones e identidades

En este apartado recordamos el concepto de igualdad, así como la diferencia entre

ecuación e identidad.

2.1.Observa las siguientes igualdades:

a) x + 5 =11 b) x/2 = 2x/4

c) 7p + 2p = 9p d) a2 = 4

e) 2k + t =10 f) 18 – a = 5

Responde a las siguientes cuestiones:

1.- Estudia los posibles valores de las letras “x, p, k, t, a” que hagan

ciertas estas igualdades. Ayúdate para ello de una tabla de valores:

Valor de x Valor del 1º miembro Valor 2º miembro

2.- ¿Te parece que son todas las tablas iguales? ¿Por qué?

Objetivo:

El alumno debe recordar con esta actividad que aquellas igualdades que se

verifican para cualquier valor de las incógnitas se llamaban “IDENTIDADES”,

y las que lo hacían para un único valor se llamaban “ECUACIONES”.

2.2.De las siguientes igualdades señala cuáles son ecuaciones y cuáles son

identidades:

a) 9’2 = 3’1 d b) 2(3p) + 2p = 8p c) 15 + 4x = 27

d) 4(x + 3) = 4x + 12 e) s – s/3 = 2s/3 f) 7= 2c + 1

2.3.Busca ahora seis ejemplos de igualdades en las que haya tres ecuaciones y tres

identidades.

Actividad 3: Solución de una ecuación. Ecuaciones equivalentes. Resolución de

ecuaciones de 1º grado.

En este apartado nos ocuparemos de estudiar ecuaciones sencillas con una sola

incógnita y en concreto buscaremos el número que satisface la igualdad, a la que

llamaremos SOLUCIÓN de la ecuación. Este es un concepto importante que el

alumno debe asimilar bien para comprobar después que ha resuelto y planteado

bien los problemas.

2.1.Consideremos las siguientes ecuaciones:

7 – p = 5 x + 4 = 8 5 + y = 15

Busca la solución por tanteo de todas ellas. ¿Qué puedes decir de las soluciones?

2.2.Escribe tres grupos de ecuaciones con el siguientes criterio: “cuya solución sea

“: 3, -1, ½

Objetivo:

Una vez que el alumno asimila el concepto de “solución”, con la actividad 1, le

introducimos el concepto de “ECUACIÓNES EQUIVALENTES”, en las que varias

ecuaciones tienen la misma solución.

2.3.Escribe dos ecuaciones equivalentes a las dadas:

a) x + 4 = 10 b) y –6 = 8 c) 2h = 10 d) p= 4

Objetivo:

El alumno debe empezar a ver que resolver una ecuación es un proceso que nos

lleva a la ecuación equivalente más sencilla.

Observaciones:

Ahora el objetivo se centra en que el alumno aprenda a resolver ecuaciones.

Para ello es necesario hacerles ver que en cada una de las ecuaciones estudiadas en

la actividad anterior han tenido que actuar de forma diferente según la ecuación.

Esto nos permitirá generalizar dicho modo de actuación mediante las siguientes

propiedades, que conviene que el alumno recuerde de cursos anteriores:

PROPIEDAD 1.- Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta un

mismo número, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.

PROPIEDAD 2.- Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o dividen

por un mismo número, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.

2.4.Resuelve las siguientes ecuaciones e identifica en cada una de ellas cuales son

los miembros de la ecuación, la incógnita y los coeficientes:

a) x + 8 = 7

b) 3p = 27

c) a/3 + 4 = 13

d) –s= 15

e) 5x + 8 = 8x +2

f) 500 – 24x = -4 –3x

g) 2x + 3 = 11

Objetivo:

El alumno debe resolver las ecuaciones utilizando las propiedades anteriores.

Observaciones:

El profesor debe explicar que el método de resolución general, (una vez

asimilado las propiedades), será aquel que consiga tener despejada la incógnita, para

lo cual pasaremos los términos con incógnita al 1º miembro de la ecuación y los

términos numéricos al 2º. En este proceso el alumno debe entender que por las

propiedades anteriores todo término que pasa de un miembro a otro de la ecuación

cambia de signo, y debe recordar cómo se suman números enteros.

2.5.Traduce al lenguaje matemático y resuelve, comprobando la solución, las

siguientes situaciones:

a) La suma de dos números consecutivos es 21. Halla dichos números.

b) La suma de dos números pares consecutivos es 62. Hállalos.

c) ¿Cuántos rotuladores tenía, si al gastar tres, me quedan todavía 10?

d) Me han regalado 4 discos, ¿Cuántos tenía en un principio si ahora tengo

un total de 34?

e) Mi amigo tiene el triple de hermanos que yo. Si este tiene 6, ¿cuántos

tengo?

Objetivo:

Con esta actividad se pretende globalizar todas las ideas que se han ido

adquiriendo hasta ahora. Como decíamos en un principio ahora el alumno debe

resolver una situación utilizando el lenguaje algebraico, tiene que plantear una

ecuación, resolverla y comprobar si la solución es correcta o no.

2.6.Considera esta ecuación: 10(x-2) – (2-x) = 4x – 40. Responde a las siguientes

cuestiones:

a) ¿Puedes aplicar las propiedades directamente para resolver la ecuación?.

¿Por qué?

b) Transfórmala de manera que puedas aplicar las propiedades.

c) Resuelve la ecuación.

d) Comprueba que la solución hallada es la correcta.

Objetivo:

Con esta actividad se pretende que el alumno resuelve ecuaciones con paréntesis.

Observaciones:

Es necesario que el alumno recuerde las reglas de quitar paréntesis.

2.7.Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 3x +100 = 5(200 – 3x)

b) 5(20 – x) = 4(2x – 1)

c) 4(x – 3) – 7(x – 4) = 6 – x

d) −2 x−6=7(4 x+14 )

e) 7( x−18 )=3 ( x−14 )

Objetivo:

El alumno debe adquirir soltura a la hora de resolver ecuaciones con paréntesis.

2.8.Calcula las medidas de los lados sabiendo que el perímetro es 120.

x/4

x/2 x/5

x

a) ¿Qué debes hacer para resolver este problema?

b) La ecuación planteada en el apartado anterior, ¿puedes resolverla

aplicando directamente las propiedades? ¿Has resuelto alguna ecuación

similar en los ejemplos vistos hasta ahora? Entonces, ¿qué debes hacer?

c) Si tu respuesta ha sido quitar denominadores, ¿cómo lo haces?

Coméntalo con tu compañero porque puede haber más procedimientos

de los que tú has usado.

d) Eliminados los denominadores, ¿ya puedes resolver la ecuación? Hazlo

y comprueba que la solución obtenida es la correcta.

2.9.Resuelve las siguientes ecuaciones y con la ayuda de la hoja de cálculo, en el

aula de ordenadores, comprueba los resultados obtenidos:

a)

3 x−52

=x+2

b)

5 x+72

−3 x+94

=2 x+43

+5

c)

x+33

= x+3

d)

x+45

− x+34

=1− x+12

e)

3 x2

+5 x3

=3 x4

−1

f)

x+18

− x+13

+ x+35

=0

Objetivo:

El objetivo de estas dos actividades es: Introducir al alumno en la resolución de

ecuaciones con denominadores.

Observaciones:

Es necesario recordar cómo se reduce a común denominador, en particular el

alumno tiene que saber hallar el m.c.m de varios números.

Actividad 4: Resolución de problemas

Como ya se ha dicho, la importancia de las ecuaciones radica en su capacidad

de resolver problemas en contextos de lo más diversos. En particular, las

ecuaciones de primer grado permiten resolver problemas relacionados con

números y cantidades, problemas sobre edades, problemas de fuentes y obreros,

problemas de móviles, de relojes, problemas relacionados con la geometría, con la

matemática comercial y con un sinfín de situaciones que hacen de este método uno

de los que históricamente mayor importancia ha tenido en la resolución de

problemas.

La resolución de problemas de matemáticas recorre cuatro fases:

1. Comprender el problema

2. Elaborar un plan para resolverlo

3. Ejecutar el plan

4. Revisar y extender el trabajo realizado

De esta forma el profesor debe transmitir estas ideas al alumno y puede darle las

siguientes reglas para poner un problema en ecuaciones:

1. Comprender el enunciado, identificando las cantidades conocidas(o

datos) y las cantidades desconocidas (incógnitas), así como las relaciones

entre ellas.

2. Dar nombre a una de las cantidades desconocidas, asignándole una

letra.

3. Representar las cantidades desconocidas mediante expresiones

algebraicas que traducen las relaciones entre esas cantidades y la que

hemos designado con una letra.

4. Escribir una igualdad entre expresiones algebraicas(una ecuación) a

partir de las relaciones existentes entre las diferentes cantidades.

5. Resolver la ecuación.

6. Comprobar que el resultado obtenido satisface la condición del

problema.

Este es por tanto el objetivo de todas las actividades que pasamos a describir a

continuación, el alumno debe ser capaz de resolver problemas en diversos

contextos mediante el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado.

PROBLEMAS DE EDADES

2.9.1. Un padre tiene 60 años y su hijo 29. ¿Cuántos años le faltan al padre para

doblar la edad del hijo?

2.9.2. Un padre tiene 39 años y su hijo 15. ¿Cuántos años hace que la edad del

padre era el triple que la edad del hijo?

2.9.3. Las edades de dos hermanos suman 49 años. Calcúlalas sabiendo que la

edad del mayor supera en cinco años la del menor

2.9.4. Ana tiene ahora 3 veces la edad de su hermano David, y dentro de 2 años

ya sólo tendrá el doble de la edad de su hermano. ¿Qué edades tienen ahora

David y Ana?

2.9.5. ¿Cuál es la edad de Consuelo si dentro de 30 años tendrá 4 veces la edad

que tiene ahora?

2.9.6. La edad de Eduardo es el doble de la edad de Ramón. Hace siete años la

suma de las edades de los dos era igual a la edad actual de Eduardo. Hallar

las edades de ambos.

Observaciones:

- Es útil mostrar al alumno que este tipo de problemas se resuelve con

facilidad utilizando una tabla que represente las cantidades.

- Hay que tener en cuenta la edad en el presente, en el pasado y en el futuro.

- Se ha de considerar que el tiempo pasa igual para todos.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

2.10. El perímetro de un triángulo isósceles es 180 cm. Cada uno de los lados

iguales es 30 cm mayor que la base. ¿Cuánto mide cada lado?

2.11. Un triángulo tiene 72 m de perímetro y es semejante a otro cuyos lados

son 3 cm, 4 cm y 5 cm. ¿Cuáles son las dimensiones del triángulo?

2.12. Los ángulos de un triángulo son proporcionales a los números 2, 3 y 4.

Hállalos.

Observaciones:

Para resolver problemas de geometría es fundamental conocer las principales

relaciones y fórmulas sobre longitudes, ángulos, áreas, y volúmenes.

PROBLEMAS VARIOS

2.12.1. Reparte 3000 ptas. entre tres personas, de manera que la primera reciba

100 ptas. más que la segunda, y la segunda 200 ptas. más que la tercera.

2.12.2. De un depósito de agua se saca la mitad de su contenido, después la

tercera parte del resto y aún quedan 1.600 litros. ¿Cuál era la capacidad del

depósito?

2.12.3. Una persona realiza 3/5 partes de un viaje en ferrocarril, los 7/8 del resto

en coche y los 26 Km. Restantes en moto. ¿Cuántos kilómetros recorre?

2.12.4. Un grupo de jóvenes quiere ir a un concierto de rock. Para ello alquilan

un autobús que los lleve desde el instituto. El autobús tiene capacidad para

55 personas y hay cuatro veces más plazas para ir de pie. ¿Cuál es el

número de plazas para ir de pie?

2.12.5. Un bolígrafo cuesta 30 ptas. más que un lápiz. Un muchacho ha

comprado 8 bolígrafos y 15 lápices. En total le han costado 700 ptas.

¿Cuánto valía cada lápiz y cada bolígrafo?

Observaciones:

En alguno de estos problemas como en el 3.14, hay cantidades que no están

mencionadas explícitamente en el enunciado, pero que son necesarias:

- coste de los bolígrafos

- coste de los lápices

Podemos encontrarlas a través del esquema conceptual: total = parte + parte, es

decir, coste total de la compra = coste de los bolígrafos + coste de los lápices.

En los problemas 3.11 y 3.12 es necesario el dominio de las fracciones, y podría ser

útil representar cada una de las cantidades en una tabla según los estados, (litros que

hay, litros saca 1ª extracción, litros quedan, ...).

Actividad 5: Actividades recreativas

En este último apartado proponemos que el alumno trabaje el álgebra de una manera

diferente: jugando. A continuación presentamos una selección de juegos en los cuales

hace falta que el alumno muestre sus habilidades algebraicas: ha de saber simplificar

expresiones, manipularlas, resolver ecuaciones....

Estas actividades son complementarias y sirven para reforzar los contenidos

aprendidos, utilizando el juego y por tanto la motivación del alumno.

Todas las actividades están pensadas para hacerse en pequeños grupos, para así

facilitar la labor del profesor, a la hora de confeccionar los juegos, y para potenciar el

diálogo y la discusión entre los alumnos.

DOMINÓ DE FRACCIONES

El dominó es un juego que tiene 28 fichas, cada una con dos partes en las que hay

un número de puntos que van del cero al seis. Este dominó tiene ecuaciones, la solución

de las cuales es el valor de la pieza.

Reglas del juego:

Es un juego en el que pueden participar de 2 a 4 alumnos. Se reparten las fichas

entre los participantes. Sale cada vez un jugador por turno.

Alternativamente, cada jugador coloca una ficha, siempre que uno de sus valore

coincida con el valor de uno de los extremos libres. Si no tiene ficha para colocar,

pierde su turno. Gana aquel que acabe antes sus fichas o, si nadie puede tirar ninguna,

aquel que tenga menos puntos entre sus fichas.

Las fichas se recortan y se pueden plastificar.

Observaciones:

Para realizar esta actividad debemos tener una clase reducida de alumnos y los

podemos distribuir en grupos de 4. Se necesita una sesión de 1 o 2 horas para que los

alumnos completen el juego hasta el final. Además sería conveniente que todos los

alumnos dominen con fluidez la resolución de ecuaciones para que el juego no se

prolongue más de lo necesario y no hayan grupos o alumnos desaventajados.

Objetivo:

El alumno tiene que resolver ecuaciones de 1º grado con soltura y rapidez

2 + x = 2 2x-3 = 2-5 3 –x = 3 3x = 3 2(x+3) = 6 6x -2 = 10

-3 + x= -3 2x + 4 = 10 x + 7 = 7 8/x = 4 2x + 5 = 5 2x + 3 =13

3x – 2 = -2 2x – 3 = 9 2 + x = 3 2x + 3 = 5 5 – x = 4 x – 4 = 2

4 – x = 3 9/x = 3 2x – 5 = -6 2x – 3 = 5 3x + 7 = 10 3x + 5 = 20

4x – 2 = 2 4x – 10 = 14 2(x – 5) = -6 x/2 = 1 x + 6 = 8 5(x –1) =10

(x + 1)3 = 9 3x/2 = 6 x/4 = 1/2 x – 3= 2 7x –5 = 9 3(x-5) = 3

x/3 – 2 = -1 4(x – 2) =4 6(x-3) =0 2x = 8 x + 7 = 10 3x –6 = 9

6/x = 2 5 = x – 1 2x – 5 = 3 2(x – 5) = -2 1 –3x = -11 4(x-1) =16

x/2 = 2 2x-6/3 = 2 7-x = 2 2(2x – 9) =2 3x – 5 = 10 2x/3 +1 = 5

x+4 / 2 = 5 5x =30

CUADRADO MÁGICO

Calcula el valor de x para que la suma de cada una de las ocho líneas de este

cuadrado sumen lo mismo.

3x + 2 x – 1 4x – 2

x + 1 x+3 2x + 3

2x 6x – 3 x

Objetivo:

El alumno tiene que poner de manifiesto sus conocimientos de álgebra, debe

sumar expresiones algebraicas, plantear y resolver ecuaciones para llegar a la solución.

Observaciones:

Estas dos actividades se pueden hacer individualmente o por parejas. Se llega a

tener 8 expresiones distintas pero podemos ayudar al alumno para que encuentre el

valor de x que hace que dos de ellas sean iguales con lo que lo serán las restantes.

TELÉFONOS

En un pueblo no hay líneas telefónicas. Cada nuevo teléfono ha de ser conectado

a todos los demás. Cuando sólo había tres teléfonos en el pueblo, sólo necesitábamos

tres líneas, cuando se instaló el cuarto teléfono eran necesarias 6 líneas.

Completa la siguiente tabla:

Número de teléfonos: 2 3 4 5 6 7 ...

Número de líneas: 1 3 6

Sin hacer nuevos dibujos, ¿cuántas líneas hay ahora que tenemos 11 teléfonos? ¿Y con

20 teléfonos?

Generaliza a una cantidad “n” de teléfonos.

Objetivo:

- El alumno tiene que averiguar la característica que tiene una serie o secuencia de

números y generalizar esa pauta para n teléfonos.

Observaciones:

- Indicar al alumno la necesidad de empezar a trabajar con dibujos para ver los

primeros casos.

ARITMETÓGONOS

En un aritmetógono, el número que está en un cuadrado es suma de los que están a cada

lado en círculos, por ejemplo:

4 7 3

12

6

4

7

100

12

Resuelve estos si es posible:

Busca una forma de resolverlos que no sea la de tanteo. ¿Siempre tienen solución?

¿Sólo admiten una solución?.

Objetivo:

Resolver problemas algebraicos en los que son necesarias una o varias

ecuaciones.

Observaciones:

Necesidad de utilizar varias letras distintas para cada incógnita, de esta forma

las ecuaciones planteadas tendrán dos incógnitas. Será conveniente dar al alumno la

idea de despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones y sustituirla en otra para

transformarla en una ecuación con una sola incógnita.

PIRÁMIDES I

3

4 8

21

26

27

2

5 10

15

73

5 48

Una pirámide es:

Observa cómo está construida y calcula las siguientes pirámides.

Objetivo:

El alumno debe encontrar la regla de construcción de la pirámide observando el

modelo para construir las restantes.

PIRÁMIDES II

1341211

11

32

7x8

27

13x

Calcula el número oculto “x” en cada pirámide:

Objetivo:

- Utilizando el método de construcción del ejercicio anterior el alumno debe

resolver estas nuevas pirámides de ecuaciones de 1º grado.

Observaciones:

- El alumno debe saber resolver ecuaciones sencillas de 1º grado.

Actividad 6: Actividades de ampliación

1. Escribe, empleando el lenguaje algebraico, las siguientes frases:

a) La suma de tres números enteros consecutivos

b) El cuadrado de un número menos su triple es 120

c) La diferencia de los cubos de dos números

d) Un número par

e) Un número impar

f) La diferencia entre 5 y cualquier número.

g) Un número más su quinta parte es 12.

2. Escribe, en lenguaje ordinario, frases que correspondan a las siguientes expresiones

algebraicas:

a) (a + b)3

b) 2x – 3x = x +5

c) (3x)2

d) x3-y3

e) 5x +8

f) x/y

3. ¿Son identidades o ecuaciones?

a) x2-y2=(x+y)(x-y)

b) x2+y2=2xy

4. La ecuación

6+ 4 x2

= x3

y la ecuación 6 + 12x= 2x,¿son equivalentes?

5. Calcular el valor numérico de las expresiones algebraicas para los siguientes valores

de x:

a) x2+x+1 x = -1, x = 3

b)

x3−12

−12 x = 2, x=0

6. Comprueba si el número escrito al lado de cada ecuación es la solución de la misma:

a) 3x + 5 = -1 x = 4

b) 10(x – 3) = 5(x – 1) x = 5

c) 5x + 8 = 8x +2 x= 2

d)

x2+ 3 x

2−5 x

6=15

7. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 3x –5 = 4x + 8 + 1

b) –x + 3 = 2x –5

c) 3(x – 3) = -x +1

d) 3(5x – 7) – 2(x – 1) = 3(x + 2)

e)

−2+2 (3 x−3 )=43

( x+1 )

f)

3 x−16x

=53

g)

x2+ 3 x

2−5 x

6=15

8. Explica qué ocurre con este texto”: Piensa un número. Multiplícalo por 7. Réstale el

número que has pensado. Divide el resultado obtenido por 6.

9. De las siguientes igualdades, algunas no son correctas. ¿Cuáles?

a) a·(a+2)+1 = 2ª + 3

b) x + x·(2 + x) = x2 + 3x

c) 2·b·(b+1) = 2·b2 + 2b = 4·b3

d) –1·(w – 1) = -w + 1

10. Una botella y su corcho cuestan juntos 40 pesetas. La botella cuesta 7 veces más que

el corcho. ¿Cuánto cuesta la botella y el corcho?

11. Tres amigos juegan un décimo de lotería, que resulta premiado con 6.000.000 de

ptas. Calcula cuánto corresponde a cada uno, sabiendo que el primero juega doble

que el segundo y éste triple que el tercero.

12. Un padre deja al morir cierto capital, con la condición de que se reparta entre sus

tres hijos proporcionalmente a sus edades, que son 10, 15 y 20. Las partes del hijo

mayor y del menor suman 42000 ptas. Hallar lo que corresponde a cada uno y la

cantidad heredada.

5. Evaluación de la unidad didáctica.

La evaluación se entiende como la emisión de juicios del proceso educativo y la

toma de decisiones por parte del profesor ante su evolución para mejorar su

funcionamiento. La evaluación afecta tanto a los procesos de aprendizaje de los

alumnos como a los de enseñanza del profesor, teniendo siempre en cuenta el logro de

los objetivos marcados.

La evaluación de la unidad didáctica la enfocaremos desde un punto general y otro

particular para la unidad:

o Evaluación del aprendizaje de los alumnos.

o Evaluación del funcionamiento de la unidad didáctica.

o Evaluación de la práctica docente.

A) Evaluación del aprendizaje de los alumnos.

Evaluación inicial: Se realiza antes de empezar el proceso de enseñanza-

aprendizaje, con el propósito de verificar el nivel de preparación de los

alumnos para enfrentarse a los objetivos que se espera que logren.

Evaluación formativa: Nos sirve como referencia en los progresos y

dificultades que conlleva el proceso de enseñanza-aprendizaje. Se realiza

durante el aprendizaje y supone el conjunto de observaciones, respuestas y

comportamientos que lleva a cabo el profesor sobre los alumnos y demás

elementos curriculares.

Evaluación sumativa: Su objeto es conocer y valorar los objetivos

alcanzados por el alumno y se realiza al finalizar el proceso de enseñanza-

aprendizaje.

Los criterios de evaluación se basarán en el logro de los objetivos propuestos

y en su concreción en los contenidos expuestos. El anexo II del decreto

1631/2006 del 29 de Diciembre nos dice cuáles son los criterios de evaluación

de las Matemáticas de 3º de la Enseñanza Secundaria Obligatoria.

Para esta unidad didáctica, Ecuaciones de primer grado, podemos destacar los

siguientes:

1. Expresar mediante el lenguaje algebraico una propiedad o relación dada

mediante un enunciado y observar regularidades en secuencias numéricas

obtenidas de situaciones reales mediante la obtención de la ley de

formación y la fórmula correspondiente, en casos sencillos.

2. Resolver problemas de la vida cotidiana en los que se precise el

planteamiento y resolución de ecuaciones de primer y segundo grado o

de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

3. Planificar y utilizar estrategias y técnicas de resolución de problemas

tales como el recuento exhaustivo, la inducción o la búsqueda de

problemas afines y comprobar el ajuste de la solución a la situación

planteada y expresar verbalmente con precisión, razonamientos,

relaciones cuantitativas, e informaciones que incorporen elementos

matemáticos, valorando la utilidad y simplicidad del lenguaje

matemático para ello.

Concretizando estos criterios a nuestra unidad didáctica podemos evaluar los

siguientes aspectos:

1. Identificar en una ecuación el grado, los miembros, los términos y la

incógnita.

2. Comprobar si un valor es solución o no de una ecuación.

3. Efectuar correctamente las transformaciones necesarias para resolver

ecuaciones de primer grado con una incógnita.

4. Interpretar la solución de una ecuación.

5. Resolver problemas de la vida cotidiana con ayuda de las ecuaciones de

primer grado, valorando la utilidad del lenguaje algebraico, tanteando

diversas formas de resolución y siendo constantes en la búsqueda de la

solución correcta.

6. Expresar verbalmente razonamientos matemáticos.

Para ello utilizaremos los siguientes instrumentos evaluativos:

1. Observación sistemática.

2. Valoración de trabajos personales y colectivos.

3. Control de las actividades realizadas en el aula y mandadas para casa.

4. Cuaderno del alumno.

5. Preguntas directas en clase y Pruebas escritas.

B) Evaluación de la unidad didáctica.

El profesor realizará un informe sobre el desarrollo de la unidad didáctica

a través de anotaciones que tomará durante la ejecución de la misma, ya que

dichas anotaciones son de gran utilidad para mejorar el diseño de la unidad en

años sucesivos. Para la elaboración de dicho informe se sugieren los siguientes

puntos de reflexión:

Recursos utilizados (materiales, organización del tiempo y del

espacio,…).

Las actividades desarrolladas durante el proceso de enseñanza-

aprendizaje (si han despertado interés, si han provocado análisis

por parte del alumno, el grado de dificultad,…)

Si la secuenciación ha sido la adecuada.

Si han permitido alcanzar los objetivos propuestos al principio…

C) Evaluación de la práctica docente.

Una evaluación de la práctica docente, unida a la evaluación de centros, tiene

dos grandes metas que, aunque opuestas a menudo, no tienen por qué serlo:

a) Dar cuenta del funcionamiento de un servicio público y de la

labor de sus profesionales, velando por una equidad del sistema.

b) Proceso de aprender, mediante autoevaluación de equipos

docentes, de la propia práctica para mejorar la acción educativa.

Para poder evaluar la práctica docente con total objetividad, pasaremos

un cuestionario a nuestros alumnos para que nos expongan su punto de vista,

reflejando su opinión acerca del desarrollo de la unidad y de nuestro trabajo

como educadores aportando además, ideas para la mejora de la misma.

6. Bibliografía.

Libros de texto de distintas editoriales.

“El hombre que calculaba” de Malba Tahan

“Álgebra Recreativa” de Yakov Perlman

Grupo Azarquiel:"Ideas para enseñar Álgebra".Síntesis nº 33

G.Polya:"Cómo resolver y plantear problemas". Trillas

Socas, M.M., y otros:"Iniaciación al Álgebra"

Revistas SUMA, EPSILON Y LA TORTUGA DE AQUILES.

7. Referencias Web.

http://www.mac.cie.uva.es/~arratia/mypapers/newspapers/cervantes.html

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/23-1-u-prue-

sol.html

http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/

nombres/mate3a/mate3a.htm

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/46-1-u-

ecuaciones.html

http://descartes.cnice.mecd.es/

http://descartes.cnice.mecd.es/matemagicas/index.htm

http://platea.pntic.mec.es/jescuder/algebra1.htm

http://www.portalplanetasedna.com.ar/raiz_ecuacion.htm

http://platea.pntic.mec.es/jescuder/algebra1.htm