Fiacutesica en la Kinesiologiacutea12 Traslacioacuten

Teoriacutea

Dr Willy H Gerber

Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral Valdivia Chile

20082009

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Velocidad

Si deseamos describir la Traslacioacuten de un cuerpo debemoscomenzar por estudiar como cambia la Posicioacuten en el TiempoEsto corresponde a la Velocidad que estudiaremos viendo

Camino recorrido Tiempo transcurrido Velocidad Diagrama Posicioacuten-Tiempo Velocidad Media Velocidad Instantaacutenea

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Camino recorrido I

Caminar lo hacemos tanautomaacutetico que no nos damoscuanta fiacutesica estamos aplicando

Un siacutembolo cotidiano JohnnieWalker (Whisky)

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Camino recorrido II

Origen y Distancia

Ya habiacuteamos hablado de que paramedir una distancia Δxnecesitamos un Origen quepodemos denominar x0

Para medir la distancia a un puntox(t) en que nos encontramos enel tiempo t simplementecalculamos la diferencia

Δx = x(t) minus x0 (1)

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Camino recorrido III

A modo de ejemplo podemosindicar la posicioacuten x(t) de un busen todo tiempo t Supongamosque salio a las 8 00 de Valdivia(x0 = 0) y se dirige a Santiago Siconsultamos la posicioacuten a las14 00 nos indicara

x(14 00) = 439 km o Chillan

Como el Origen lo elegimos comocero la distancia recorrida essimplemente

Δx = x(14 00)minus x(8 00) = 439 km

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Tiempo transcurrido I

Cronometro

En forma similar se puede definirun Origen t0 en la escala deTiempo Con ello a un tiempo t hatranscurrido un tiempo

Δt = t minus t0 (2)

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Tiempo transcurrido II

Alfareriacutea de la Zona deChillan

En nuestro ejemplo del busestamos llegando a Chillan a last = 14 00 siendo nuestro Origendel tiempo t0 = 8 00 El tiempotranscurrido seria

Δt = tminus t0 = 14 00minus 8 00 = 6 hrs

Esta duracioacuten es la tiacutepica que seobserva en la mayor parte de lasempresas que cubren la rutaValdivia - Santiago

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Velocidad I

En nuestro mundo en que todotiene que ir raacutepido uno de losconceptos que nos permitedescribir esa rapidez es lavelocidad Podemos definir estacomo

=ΔxΔt

Nota se habla de rapidez cuandose indica la velocidad sin ladireccioacuten o sentido en que seviaja Por ejemplo el tacometro delauto indica rapidez ya que no diceen que direccioacuten viajamos

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Velocidad II

En nuestro ejemplo la velocidadseria

=434 km

6 hr= 723 kmhr

lo que parece un poco bajo ya quelos buses tiacutepicamente viajan avelocidades entre 90 minus 100 kmhr

iquestPorqueacute esta diferencia

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Diagrama Posicioacuten-Tiempo I

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

bc

bcbc

bc

Capaz podemos entendermejor lo que esta pasando sidiagramamos la Posicioacuten x(t)en funcioacuten del Tiempo t

Si se supone que la velocidadfue realmente 723 kmhr estocorresponderiacutea a una rectaque pasa por por Valdivia (alas 8 00) y Chillan (a las14 00)

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Diagrama Posicioacuten-Tiempo II

Kultrun de la Zona deTemuco

Mirando la graacutefica de la laminaanterior nos damos cuenta quehemos asumido que la velocidadfue siempre la misma Sinembargo el viajero experimentadosabe que el bus probablementepaso por Temuco capaz inclusopor Los Aacutengeles Concluimos quela velocidad calculada no es lavelocidad real es una Velocidadpromedio o Velocidad Media

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La Velocidad Media

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

6 hr

434 km

723 kmhr

bc

bcbc

bc

Podemos asiacute definir unaVelocidad Media lapodemos definir como

=ΔxΔt

(3)

donde Δx es el caminorecorrido y Δt el tiempo quetranscurrioacute Las Unidadesseraacuten Largo [L] dividido portiempo [T] Esto podriacutea serms kmhr o mmanos seguacutensea la escala que serequiera

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

Temuco10 00

10 30

bc

bc

bc bc

Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de

=162 km

2 hr= 81 kmhr

que es mayor

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II

Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea

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Velocidad Instantaacutenea I

La velocidad en la montantildearusa

De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como

= limΔtrarr0ΔxΔt

(4)

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Velocidad Instantaacutenea II

depende de la posicioacuten

La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda

=dxdt

(5)

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Aceleracioacuten

Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos

Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional

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Otro Problema con la Curva

Tiempo

Posicion

En reposo

Velocidad decrusero

bc bc

bc

Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten

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Aceleracioacuten Media

Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media

a =Δ

Δt(6)

Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con

a =5 ms15 s

= 333 ms2

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Aceleracioacuten Instantaacutenea

Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante

a = limΔtrarr0Δ

Δt=

ddt

(7)

en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles

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Aceleracioacuten Constante I

Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0

Δ = (t)minus 0

y correspondientemente el tiempo transcurrido sera

Δt = t minus t0

Por ello la aceleracioacuten sera

a =Δ

Δt=

(t)minus 0

t minus t0(8)

y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene

(t) = 0 + a(t minus t0)

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Aceleracioacuten Constante II

Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a

(t) = 0 + at (9)

Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando

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Aceleracioacuten Gravitacional I

Torre de Pisa (Italia)

Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento

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Aceleracioacuten Gravitacional II

z

z lt 0

a = minusg

bc

bc

Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que

(t) = 0 minus gt (10)

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Aceleracioacuten Gravitacional III

z

z gt 0

a = +g

bc

bc

En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva

(t) = 0 + gt (11)

La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Velocidad

Si deseamos describir la Traslacioacuten de un cuerpo debemoscomenzar por estudiar como cambia la Posicioacuten en el TiempoEsto corresponde a la Velocidad que estudiaremos viendo

Camino recorrido Tiempo transcurrido Velocidad Diagrama Posicioacuten-Tiempo Velocidad Media Velocidad Instantaacutenea

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Camino recorrido I

Caminar lo hacemos tanautomaacutetico que no nos damoscuanta fiacutesica estamos aplicando

Un siacutembolo cotidiano JohnnieWalker (Whisky)

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Camino recorrido II

Origen y Distancia

Ya habiacuteamos hablado de que paramedir una distancia Δxnecesitamos un Origen quepodemos denominar x0

Para medir la distancia a un puntox(t) en que nos encontramos enel tiempo t simplementecalculamos la diferencia

Δx = x(t) minus x0 (1)

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Camino recorrido III

A modo de ejemplo podemosindicar la posicioacuten x(t) de un busen todo tiempo t Supongamosque salio a las 8 00 de Valdivia(x0 = 0) y se dirige a Santiago Siconsultamos la posicioacuten a las14 00 nos indicara

x(14 00) = 439 km o Chillan

Como el Origen lo elegimos comocero la distancia recorrida essimplemente

Δx = x(14 00)minus x(8 00) = 439 km

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Tiempo transcurrido I

Cronometro

En forma similar se puede definirun Origen t0 en la escala deTiempo Con ello a un tiempo t hatranscurrido un tiempo

Δt = t minus t0 (2)

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Tiempo transcurrido II

Alfareriacutea de la Zona deChillan

En nuestro ejemplo del busestamos llegando a Chillan a last = 14 00 siendo nuestro Origendel tiempo t0 = 8 00 El tiempotranscurrido seria

Δt = tminus t0 = 14 00minus 8 00 = 6 hrs

Esta duracioacuten es la tiacutepica que seobserva en la mayor parte de lasempresas que cubren la rutaValdivia - Santiago

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Velocidad I

En nuestro mundo en que todotiene que ir raacutepido uno de losconceptos que nos permitedescribir esa rapidez es lavelocidad Podemos definir estacomo

=ΔxΔt

Nota se habla de rapidez cuandose indica la velocidad sin ladireccioacuten o sentido en que seviaja Por ejemplo el tacometro delauto indica rapidez ya que no diceen que direccioacuten viajamos

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Velocidad II

En nuestro ejemplo la velocidadseria

=434 km

6 hr= 723 kmhr

lo que parece un poco bajo ya quelos buses tiacutepicamente viajan avelocidades entre 90 minus 100 kmhr

iquestPorqueacute esta diferencia

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Diagrama Posicioacuten-Tiempo I

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

bc

bcbc

bc

Capaz podemos entendermejor lo que esta pasando sidiagramamos la Posicioacuten x(t)en funcioacuten del Tiempo t

Si se supone que la velocidadfue realmente 723 kmhr estocorresponderiacutea a una rectaque pasa por por Valdivia (alas 8 00) y Chillan (a las14 00)

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Diagrama Posicioacuten-Tiempo II

Kultrun de la Zona deTemuco

Mirando la graacutefica de la laminaanterior nos damos cuenta quehemos asumido que la velocidadfue siempre la misma Sinembargo el viajero experimentadosabe que el bus probablementepaso por Temuco capaz inclusopor Los Aacutengeles Concluimos quela velocidad calculada no es lavelocidad real es una Velocidadpromedio o Velocidad Media

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La Velocidad Media

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

6 hr

434 km

723 kmhr

bc

bcbc

bc

Podemos asiacute definir unaVelocidad Media lapodemos definir como

=ΔxΔt

(3)

donde Δx es el caminorecorrido y Δt el tiempo quetranscurrioacute Las Unidadesseraacuten Largo [L] dividido portiempo [T] Esto podriacutea serms kmhr o mmanos seguacutensea la escala que serequiera

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

Temuco10 00

10 30

bc

bc

bc bc

Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de

=162 km

2 hr= 81 kmhr

que es mayor

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II

Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea

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Velocidad Instantaacutenea I

La velocidad en la montantildearusa

De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como

= limΔtrarr0ΔxΔt

(4)

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Velocidad Instantaacutenea II

depende de la posicioacuten

La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda

=dxdt

(5)

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Aceleracioacuten

Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos

Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional

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Otro Problema con la Curva

Tiempo

Posicion

En reposo

Velocidad decrusero

bc bc

bc

Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten

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Aceleracioacuten Media

Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media

a =Δ

Δt(6)

Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con

a =5 ms15 s

= 333 ms2

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Aceleracioacuten Instantaacutenea

Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante

a = limΔtrarr0Δ

Δt=

ddt

(7)

en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles

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Aceleracioacuten Constante I

Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0

Δ = (t)minus 0

y correspondientemente el tiempo transcurrido sera

Δt = t minus t0

Por ello la aceleracioacuten sera

a =Δ

Δt=

(t)minus 0

t minus t0(8)

y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene

(t) = 0 + a(t minus t0)

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Aceleracioacuten Constante II

Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a

(t) = 0 + at (9)

Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando

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Aceleracioacuten Gravitacional I

Torre de Pisa (Italia)

Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento

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Aceleracioacuten Gravitacional II

z

z lt 0

a = minusg

bc

bc

Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que

(t) = 0 minus gt (10)

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Aceleracioacuten Gravitacional III

z

z gt 0

a = +g

bc

bc

En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva

(t) = 0 + gt (11)

La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Camino recorrido I

Caminar lo hacemos tanautomaacutetico que no nos damoscuanta fiacutesica estamos aplicando

Un siacutembolo cotidiano JohnnieWalker (Whisky)

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Camino recorrido II

Origen y Distancia

Ya habiacuteamos hablado de que paramedir una distancia Δxnecesitamos un Origen quepodemos denominar x0

Para medir la distancia a un puntox(t) en que nos encontramos enel tiempo t simplementecalculamos la diferencia

Δx = x(t) minus x0 (1)

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Camino recorrido III

A modo de ejemplo podemosindicar la posicioacuten x(t) de un busen todo tiempo t Supongamosque salio a las 8 00 de Valdivia(x0 = 0) y se dirige a Santiago Siconsultamos la posicioacuten a las14 00 nos indicara

x(14 00) = 439 km o Chillan

Como el Origen lo elegimos comocero la distancia recorrida essimplemente

Δx = x(14 00)minus x(8 00) = 439 km

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Tiempo transcurrido I

Cronometro

En forma similar se puede definirun Origen t0 en la escala deTiempo Con ello a un tiempo t hatranscurrido un tiempo

Δt = t minus t0 (2)

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Tiempo transcurrido II

Alfareriacutea de la Zona deChillan

En nuestro ejemplo del busestamos llegando a Chillan a last = 14 00 siendo nuestro Origendel tiempo t0 = 8 00 El tiempotranscurrido seria

Δt = tminus t0 = 14 00minus 8 00 = 6 hrs

Esta duracioacuten es la tiacutepica que seobserva en la mayor parte de lasempresas que cubren la rutaValdivia - Santiago

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Velocidad I

En nuestro mundo en que todotiene que ir raacutepido uno de losconceptos que nos permitedescribir esa rapidez es lavelocidad Podemos definir estacomo

=ΔxΔt

Nota se habla de rapidez cuandose indica la velocidad sin ladireccioacuten o sentido en que seviaja Por ejemplo el tacometro delauto indica rapidez ya que no diceen que direccioacuten viajamos

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Velocidad II

En nuestro ejemplo la velocidadseria

=434 km

6 hr= 723 kmhr

lo que parece un poco bajo ya quelos buses tiacutepicamente viajan avelocidades entre 90 minus 100 kmhr

iquestPorqueacute esta diferencia

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Diagrama Posicioacuten-Tiempo I

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

bc

bcbc

bc

Capaz podemos entendermejor lo que esta pasando sidiagramamos la Posicioacuten x(t)en funcioacuten del Tiempo t

Si se supone que la velocidadfue realmente 723 kmhr estocorresponderiacutea a una rectaque pasa por por Valdivia (alas 8 00) y Chillan (a las14 00)

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Diagrama Posicioacuten-Tiempo II

Kultrun de la Zona deTemuco

Mirando la graacutefica de la laminaanterior nos damos cuenta quehemos asumido que la velocidadfue siempre la misma Sinembargo el viajero experimentadosabe que el bus probablementepaso por Temuco capaz inclusopor Los Aacutengeles Concluimos quela velocidad calculada no es lavelocidad real es una Velocidadpromedio o Velocidad Media

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La Velocidad Media

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

6 hr

434 km

723 kmhr

bc

bcbc

bc

Podemos asiacute definir unaVelocidad Media lapodemos definir como

=ΔxΔt

(3)

donde Δx es el caminorecorrido y Δt el tiempo quetranscurrioacute Las Unidadesseraacuten Largo [L] dividido portiempo [T] Esto podriacutea serms kmhr o mmanos seguacutensea la escala que serequiera

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

Temuco10 00

10 30

bc

bc

bc bc

Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de

=162 km

2 hr= 81 kmhr

que es mayor

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II

Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea

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Velocidad Instantaacutenea I

La velocidad en la montantildearusa

De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como

= limΔtrarr0ΔxΔt

(4)

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Velocidad Instantaacutenea II

depende de la posicioacuten

La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda

=dxdt

(5)

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Aceleracioacuten

Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos

Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional

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Otro Problema con la Curva

Tiempo

Posicion

En reposo

Velocidad decrusero

bc bc

bc

Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten

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Aceleracioacuten Media

Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media

a =Δ

Δt(6)

Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con

a =5 ms15 s

= 333 ms2

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Aceleracioacuten Instantaacutenea

Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante

a = limΔtrarr0Δ

Δt=

ddt

(7)

en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles

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Aceleracioacuten Constante I

Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0

Δ = (t)minus 0

y correspondientemente el tiempo transcurrido sera

Δt = t minus t0

Por ello la aceleracioacuten sera

a =Δ

Δt=

(t)minus 0

t minus t0(8)

y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene

(t) = 0 + a(t minus t0)

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Aceleracioacuten Constante II

Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a

(t) = 0 + at (9)

Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando

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Aceleracioacuten Gravitacional I

Torre de Pisa (Italia)

Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento

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Aceleracioacuten Gravitacional II

z

z lt 0

a = minusg

bc

bc

Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que

(t) = 0 minus gt (10)

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Aceleracioacuten Gravitacional III

z

z gt 0

a = +g

bc

bc

En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva

(t) = 0 + gt (11)

La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Camino recorrido II

Origen y Distancia

Ya habiacuteamos hablado de que paramedir una distancia Δxnecesitamos un Origen quepodemos denominar x0

Para medir la distancia a un puntox(t) en que nos encontramos enel tiempo t simplementecalculamos la diferencia

Δx = x(t) minus x0 (1)

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Camino recorrido III

A modo de ejemplo podemosindicar la posicioacuten x(t) de un busen todo tiempo t Supongamosque salio a las 8 00 de Valdivia(x0 = 0) y se dirige a Santiago Siconsultamos la posicioacuten a las14 00 nos indicara

x(14 00) = 439 km o Chillan

Como el Origen lo elegimos comocero la distancia recorrida essimplemente

Δx = x(14 00)minus x(8 00) = 439 km

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Tiempo transcurrido I

Cronometro

En forma similar se puede definirun Origen t0 en la escala deTiempo Con ello a un tiempo t hatranscurrido un tiempo

Δt = t minus t0 (2)

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Tiempo transcurrido II

Alfareriacutea de la Zona deChillan

En nuestro ejemplo del busestamos llegando a Chillan a last = 14 00 siendo nuestro Origendel tiempo t0 = 8 00 El tiempotranscurrido seria

Δt = tminus t0 = 14 00minus 8 00 = 6 hrs

Esta duracioacuten es la tiacutepica que seobserva en la mayor parte de lasempresas que cubren la rutaValdivia - Santiago

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Velocidad I

En nuestro mundo en que todotiene que ir raacutepido uno de losconceptos que nos permitedescribir esa rapidez es lavelocidad Podemos definir estacomo

=ΔxΔt

Nota se habla de rapidez cuandose indica la velocidad sin ladireccioacuten o sentido en que seviaja Por ejemplo el tacometro delauto indica rapidez ya que no diceen que direccioacuten viajamos

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Velocidad II

En nuestro ejemplo la velocidadseria

=434 km

6 hr= 723 kmhr

lo que parece un poco bajo ya quelos buses tiacutepicamente viajan avelocidades entre 90 minus 100 kmhr

iquestPorqueacute esta diferencia

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Diagrama Posicioacuten-Tiempo I

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

bc

bcbc

bc

Capaz podemos entendermejor lo que esta pasando sidiagramamos la Posicioacuten x(t)en funcioacuten del Tiempo t

Si se supone que la velocidadfue realmente 723 kmhr estocorresponderiacutea a una rectaque pasa por por Valdivia (alas 8 00) y Chillan (a las14 00)

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Diagrama Posicioacuten-Tiempo II

Kultrun de la Zona deTemuco

Mirando la graacutefica de la laminaanterior nos damos cuenta quehemos asumido que la velocidadfue siempre la misma Sinembargo el viajero experimentadosabe que el bus probablementepaso por Temuco capaz inclusopor Los Aacutengeles Concluimos quela velocidad calculada no es lavelocidad real es una Velocidadpromedio o Velocidad Media

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La Velocidad Media

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

6 hr

434 km

723 kmhr

bc

bcbc

bc

Podemos asiacute definir unaVelocidad Media lapodemos definir como

=ΔxΔt

(3)

donde Δx es el caminorecorrido y Δt el tiempo quetranscurrioacute Las Unidadesseraacuten Largo [L] dividido portiempo [T] Esto podriacutea serms kmhr o mmanos seguacutensea la escala que serequiera

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

Temuco10 00

10 30

bc

bc

bc bc

Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de

=162 km

2 hr= 81 kmhr

que es mayor

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II

Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea

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Velocidad Instantaacutenea I

La velocidad en la montantildearusa

De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como

= limΔtrarr0ΔxΔt

(4)

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Velocidad Instantaacutenea II

depende de la posicioacuten

La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda

=dxdt

(5)

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Aceleracioacuten

Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos

Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional

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Otro Problema con la Curva

Tiempo

Posicion

En reposo

Velocidad decrusero

bc bc

bc

Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten

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Aceleracioacuten Media

Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media

a =Δ

Δt(6)

Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con

a =5 ms15 s

= 333 ms2

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Aceleracioacuten Instantaacutenea

Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante

a = limΔtrarr0Δ

Δt=

ddt

(7)

en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles

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Aceleracioacuten Constante I

Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0

Δ = (t)minus 0

y correspondientemente el tiempo transcurrido sera

Δt = t minus t0

Por ello la aceleracioacuten sera

a =Δ

Δt=

(t)minus 0

t minus t0(8)

y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene

(t) = 0 + a(t minus t0)

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Aceleracioacuten Constante II

Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a

(t) = 0 + at (9)

Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando

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Aceleracioacuten Gravitacional I

Torre de Pisa (Italia)

Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento

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Aceleracioacuten Gravitacional II

z

z lt 0

a = minusg

bc

bc

Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que

(t) = 0 minus gt (10)

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Aceleracioacuten Gravitacional III

z

z gt 0

a = +g

bc

bc

En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva

(t) = 0 + gt (11)

La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Camino recorrido III

A modo de ejemplo podemosindicar la posicioacuten x(t) de un busen todo tiempo t Supongamosque salio a las 8 00 de Valdivia(x0 = 0) y se dirige a Santiago Siconsultamos la posicioacuten a las14 00 nos indicara

x(14 00) = 439 km o Chillan

Como el Origen lo elegimos comocero la distancia recorrida essimplemente

Δx = x(14 00)minus x(8 00) = 439 km

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Tiempo transcurrido I

Cronometro

En forma similar se puede definirun Origen t0 en la escala deTiempo Con ello a un tiempo t hatranscurrido un tiempo

Δt = t minus t0 (2)

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Tiempo transcurrido II

Alfareriacutea de la Zona deChillan

En nuestro ejemplo del busestamos llegando a Chillan a last = 14 00 siendo nuestro Origendel tiempo t0 = 8 00 El tiempotranscurrido seria

Δt = tminus t0 = 14 00minus 8 00 = 6 hrs

Esta duracioacuten es la tiacutepica que seobserva en la mayor parte de lasempresas que cubren la rutaValdivia - Santiago

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Velocidad I

En nuestro mundo en que todotiene que ir raacutepido uno de losconceptos que nos permitedescribir esa rapidez es lavelocidad Podemos definir estacomo

=ΔxΔt

Nota se habla de rapidez cuandose indica la velocidad sin ladireccioacuten o sentido en que seviaja Por ejemplo el tacometro delauto indica rapidez ya que no diceen que direccioacuten viajamos

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Velocidad II

En nuestro ejemplo la velocidadseria

=434 km

6 hr= 723 kmhr

lo que parece un poco bajo ya quelos buses tiacutepicamente viajan avelocidades entre 90 minus 100 kmhr

iquestPorqueacute esta diferencia

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Diagrama Posicioacuten-Tiempo I

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

bc

bcbc

bc

Capaz podemos entendermejor lo que esta pasando sidiagramamos la Posicioacuten x(t)en funcioacuten del Tiempo t

Si se supone que la velocidadfue realmente 723 kmhr estocorresponderiacutea a una rectaque pasa por por Valdivia (alas 8 00) y Chillan (a las14 00)

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Diagrama Posicioacuten-Tiempo II

Kultrun de la Zona deTemuco

Mirando la graacutefica de la laminaanterior nos damos cuenta quehemos asumido que la velocidadfue siempre la misma Sinembargo el viajero experimentadosabe que el bus probablementepaso por Temuco capaz inclusopor Los Aacutengeles Concluimos quela velocidad calculada no es lavelocidad real es una Velocidadpromedio o Velocidad Media

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La Velocidad Media

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

6 hr

434 km

723 kmhr

bc

bcbc

bc

Podemos asiacute definir unaVelocidad Media lapodemos definir como

=ΔxΔt

(3)

donde Δx es el caminorecorrido y Δt el tiempo quetranscurrioacute Las Unidadesseraacuten Largo [L] dividido portiempo [T] Esto podriacutea serms kmhr o mmanos seguacutensea la escala que serequiera

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

Temuco10 00

10 30

bc

bc

bc bc

Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de

=162 km

2 hr= 81 kmhr

que es mayor

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II

Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea

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Velocidad Instantaacutenea I

La velocidad en la montantildearusa

De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como

= limΔtrarr0ΔxΔt

(4)

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Velocidad Instantaacutenea II

depende de la posicioacuten

La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda

=dxdt

(5)

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Aceleracioacuten

Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos

Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional

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Otro Problema con la Curva

Tiempo

Posicion

En reposo

Velocidad decrusero

bc bc

bc

Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten

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Aceleracioacuten Media

Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media

a =Δ

Δt(6)

Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con

a =5 ms15 s

= 333 ms2

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Aceleracioacuten Instantaacutenea

Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante

a = limΔtrarr0Δ

Δt=

ddt

(7)

en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles

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Aceleracioacuten Constante I

Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0

Δ = (t)minus 0

y correspondientemente el tiempo transcurrido sera

Δt = t minus t0

Por ello la aceleracioacuten sera

a =Δ

Δt=

(t)minus 0

t minus t0(8)

y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene

(t) = 0 + a(t minus t0)

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Aceleracioacuten Constante II

Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a

(t) = 0 + at (9)

Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando

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Aceleracioacuten Gravitacional I

Torre de Pisa (Italia)

Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento

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Aceleracioacuten Gravitacional II

z

z lt 0

a = minusg

bc

bc

Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que

(t) = 0 minus gt (10)

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Aceleracioacuten Gravitacional III

z

z gt 0

a = +g

bc

bc

En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva

(t) = 0 + gt (11)

La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Tiempo transcurrido I

Cronometro

En forma similar se puede definirun Origen t0 en la escala deTiempo Con ello a un tiempo t hatranscurrido un tiempo

Δt = t minus t0 (2)

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Tiempo transcurrido II

Alfareriacutea de la Zona deChillan

En nuestro ejemplo del busestamos llegando a Chillan a last = 14 00 siendo nuestro Origendel tiempo t0 = 8 00 El tiempotranscurrido seria

Δt = tminus t0 = 14 00minus 8 00 = 6 hrs

Esta duracioacuten es la tiacutepica que seobserva en la mayor parte de lasempresas que cubren la rutaValdivia - Santiago

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Velocidad I

En nuestro mundo en que todotiene que ir raacutepido uno de losconceptos que nos permitedescribir esa rapidez es lavelocidad Podemos definir estacomo

=ΔxΔt

Nota se habla de rapidez cuandose indica la velocidad sin ladireccioacuten o sentido en que seviaja Por ejemplo el tacometro delauto indica rapidez ya que no diceen que direccioacuten viajamos

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Velocidad II

En nuestro ejemplo la velocidadseria

=434 km

6 hr= 723 kmhr

lo que parece un poco bajo ya quelos buses tiacutepicamente viajan avelocidades entre 90 minus 100 kmhr

iquestPorqueacute esta diferencia

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Diagrama Posicioacuten-Tiempo I

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

bc

bcbc

bc

Capaz podemos entendermejor lo que esta pasando sidiagramamos la Posicioacuten x(t)en funcioacuten del Tiempo t

Si se supone que la velocidadfue realmente 723 kmhr estocorresponderiacutea a una rectaque pasa por por Valdivia (alas 8 00) y Chillan (a las14 00)

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Diagrama Posicioacuten-Tiempo II

Kultrun de la Zona deTemuco

Mirando la graacutefica de la laminaanterior nos damos cuenta quehemos asumido que la velocidadfue siempre la misma Sinembargo el viajero experimentadosabe que el bus probablementepaso por Temuco capaz inclusopor Los Aacutengeles Concluimos quela velocidad calculada no es lavelocidad real es una Velocidadpromedio o Velocidad Media

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La Velocidad Media

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

6 hr

434 km

723 kmhr

bc

bcbc

bc

Podemos asiacute definir unaVelocidad Media lapodemos definir como

=ΔxΔt

(3)

donde Δx es el caminorecorrido y Δt el tiempo quetranscurrioacute Las Unidadesseraacuten Largo [L] dividido portiempo [T] Esto podriacutea serms kmhr o mmanos seguacutensea la escala que serequiera

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

Temuco10 00

10 30

bc

bc

bc bc

Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de

=162 km

2 hr= 81 kmhr

que es mayor

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II

Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea

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Velocidad Instantaacutenea I

La velocidad en la montantildearusa

De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como

= limΔtrarr0ΔxΔt

(4)

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Velocidad Instantaacutenea II

depende de la posicioacuten

La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda

=dxdt

(5)

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Aceleracioacuten

Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos

Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional

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Otro Problema con la Curva

Tiempo

Posicion

En reposo

Velocidad decrusero

bc bc

bc

Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten

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Aceleracioacuten Media

Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media

a =Δ

Δt(6)

Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con

a =5 ms15 s

= 333 ms2

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Aceleracioacuten Instantaacutenea

Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante

a = limΔtrarr0Δ

Δt=

ddt

(7)

en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles

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Aceleracioacuten Constante I

Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0

Δ = (t)minus 0

y correspondientemente el tiempo transcurrido sera

Δt = t minus t0

Por ello la aceleracioacuten sera

a =Δ

Δt=

(t)minus 0

t minus t0(8)

y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene

(t) = 0 + a(t minus t0)

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Aceleracioacuten Constante II

Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a

(t) = 0 + at (9)

Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando

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Aceleracioacuten Gravitacional I

Torre de Pisa (Italia)

Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento

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Aceleracioacuten Gravitacional II

z

z lt 0

a = minusg

bc

bc

Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que

(t) = 0 minus gt (10)

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Aceleracioacuten Gravitacional III

z

z gt 0

a = +g

bc

bc

En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva

(t) = 0 + gt (11)

La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Tiempo transcurrido II

Alfareriacutea de la Zona deChillan

En nuestro ejemplo del busestamos llegando a Chillan a last = 14 00 siendo nuestro Origendel tiempo t0 = 8 00 El tiempotranscurrido seria

Δt = tminus t0 = 14 00minus 8 00 = 6 hrs

Esta duracioacuten es la tiacutepica que seobserva en la mayor parte de lasempresas que cubren la rutaValdivia - Santiago

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Velocidad I

En nuestro mundo en que todotiene que ir raacutepido uno de losconceptos que nos permitedescribir esa rapidez es lavelocidad Podemos definir estacomo

=ΔxΔt

Nota se habla de rapidez cuandose indica la velocidad sin ladireccioacuten o sentido en que seviaja Por ejemplo el tacometro delauto indica rapidez ya que no diceen que direccioacuten viajamos

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Velocidad II

En nuestro ejemplo la velocidadseria

=434 km

6 hr= 723 kmhr

lo que parece un poco bajo ya quelos buses tiacutepicamente viajan avelocidades entre 90 minus 100 kmhr

iquestPorqueacute esta diferencia

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Diagrama Posicioacuten-Tiempo I

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

bc

bcbc

bc

Capaz podemos entendermejor lo que esta pasando sidiagramamos la Posicioacuten x(t)en funcioacuten del Tiempo t

Si se supone que la velocidadfue realmente 723 kmhr estocorresponderiacutea a una rectaque pasa por por Valdivia (alas 8 00) y Chillan (a las14 00)

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Diagrama Posicioacuten-Tiempo II

Kultrun de la Zona deTemuco

Mirando la graacutefica de la laminaanterior nos damos cuenta quehemos asumido que la velocidadfue siempre la misma Sinembargo el viajero experimentadosabe que el bus probablementepaso por Temuco capaz inclusopor Los Aacutengeles Concluimos quela velocidad calculada no es lavelocidad real es una Velocidadpromedio o Velocidad Media

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La Velocidad Media

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

6 hr

434 km

723 kmhr

bc

bcbc

bc

Podemos asiacute definir unaVelocidad Media lapodemos definir como

=ΔxΔt

(3)

donde Δx es el caminorecorrido y Δt el tiempo quetranscurrioacute Las Unidadesseraacuten Largo [L] dividido portiempo [T] Esto podriacutea serms kmhr o mmanos seguacutensea la escala que serequiera

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

Temuco10 00

10 30

bc

bc

bc bc

Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de

=162 km

2 hr= 81 kmhr

que es mayor

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II

Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea

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Velocidad Instantaacutenea I

La velocidad en la montantildearusa

De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como

= limΔtrarr0ΔxΔt

(4)

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Velocidad Instantaacutenea II

depende de la posicioacuten

La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda

=dxdt

(5)

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Aceleracioacuten

Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos

Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional

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Otro Problema con la Curva

Tiempo

Posicion

En reposo

Velocidad decrusero

bc bc

bc

Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten

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Aceleracioacuten Media

Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media

a =Δ

Δt(6)

Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con

a =5 ms15 s

= 333 ms2

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Aceleracioacuten Instantaacutenea

Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante

a = limΔtrarr0Δ

Δt=

ddt

(7)

en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles

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Aceleracioacuten Constante I

Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0

Δ = (t)minus 0

y correspondientemente el tiempo transcurrido sera

Δt = t minus t0

Por ello la aceleracioacuten sera

a =Δ

Δt=

(t)minus 0

t minus t0(8)

y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene

(t) = 0 + a(t minus t0)

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Aceleracioacuten Constante II

Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a

(t) = 0 + at (9)

Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando

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Aceleracioacuten Gravitacional I

Torre de Pisa (Italia)

Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento

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Aceleracioacuten Gravitacional II

z

z lt 0

a = minusg

bc

bc

Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que

(t) = 0 minus gt (10)

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Aceleracioacuten Gravitacional III

z

z gt 0

a = +g

bc

bc

En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva

(t) = 0 + gt (11)

La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Velocidad I

En nuestro mundo en que todotiene que ir raacutepido uno de losconceptos que nos permitedescribir esa rapidez es lavelocidad Podemos definir estacomo

=ΔxΔt

Nota se habla de rapidez cuandose indica la velocidad sin ladireccioacuten o sentido en que seviaja Por ejemplo el tacometro delauto indica rapidez ya que no diceen que direccioacuten viajamos

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Velocidad II

En nuestro ejemplo la velocidadseria

=434 km

6 hr= 723 kmhr

lo que parece un poco bajo ya quelos buses tiacutepicamente viajan avelocidades entre 90 minus 100 kmhr

iquestPorqueacute esta diferencia

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Diagrama Posicioacuten-Tiempo I

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

bc

bcbc

bc

Capaz podemos entendermejor lo que esta pasando sidiagramamos la Posicioacuten x(t)en funcioacuten del Tiempo t

Si se supone que la velocidadfue realmente 723 kmhr estocorresponderiacutea a una rectaque pasa por por Valdivia (alas 8 00) y Chillan (a las14 00)

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Diagrama Posicioacuten-Tiempo II

Kultrun de la Zona deTemuco

Mirando la graacutefica de la laminaanterior nos damos cuenta quehemos asumido que la velocidadfue siempre la misma Sinembargo el viajero experimentadosabe que el bus probablementepaso por Temuco capaz inclusopor Los Aacutengeles Concluimos quela velocidad calculada no es lavelocidad real es una Velocidadpromedio o Velocidad Media

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La Velocidad Media

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

6 hr

434 km

723 kmhr

bc

bcbc

bc

Podemos asiacute definir unaVelocidad Media lapodemos definir como

=ΔxΔt

(3)

donde Δx es el caminorecorrido y Δt el tiempo quetranscurrioacute Las Unidadesseraacuten Largo [L] dividido portiempo [T] Esto podriacutea serms kmhr o mmanos seguacutensea la escala que serequiera

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

Temuco10 00

10 30

bc

bc

bc bc

Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de

=162 km

2 hr= 81 kmhr

que es mayor

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II

Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea

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Velocidad Instantaacutenea I

La velocidad en la montantildearusa

De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como

= limΔtrarr0ΔxΔt

(4)

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Velocidad Instantaacutenea II

depende de la posicioacuten

La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda

=dxdt

(5)

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Aceleracioacuten

Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos

Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional

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Otro Problema con la Curva

Tiempo

Posicion

En reposo

Velocidad decrusero

bc bc

bc

Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten

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Aceleracioacuten Media

Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media

a =Δ

Δt(6)

Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con

a =5 ms15 s

= 333 ms2

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Aceleracioacuten Instantaacutenea

Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante

a = limΔtrarr0Δ

Δt=

ddt

(7)

en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles

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Aceleracioacuten Constante I

Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0

Δ = (t)minus 0

y correspondientemente el tiempo transcurrido sera

Δt = t minus t0

Por ello la aceleracioacuten sera

a =Δ

Δt=

(t)minus 0

t minus t0(8)

y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene

(t) = 0 + a(t minus t0)

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Aceleracioacuten Constante II

Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a

(t) = 0 + at (9)

Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando

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Aceleracioacuten Gravitacional I

Torre de Pisa (Italia)

Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento

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Aceleracioacuten Gravitacional II

z

z lt 0

a = minusg

bc

bc

Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que

(t) = 0 minus gt (10)

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Aceleracioacuten Gravitacional III

z

z gt 0

a = +g

bc

bc

En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva

(t) = 0 + gt (11)

La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Velocidad II

En nuestro ejemplo la velocidadseria

=434 km

6 hr= 723 kmhr

lo que parece un poco bajo ya quelos buses tiacutepicamente viajan avelocidades entre 90 minus 100 kmhr

iquestPorqueacute esta diferencia

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Diagrama Posicioacuten-Tiempo I

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

bc

bcbc

bc

Capaz podemos entendermejor lo que esta pasando sidiagramamos la Posicioacuten x(t)en funcioacuten del Tiempo t

Si se supone que la velocidadfue realmente 723 kmhr estocorresponderiacutea a una rectaque pasa por por Valdivia (alas 8 00) y Chillan (a las14 00)

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Diagrama Posicioacuten-Tiempo II

Kultrun de la Zona deTemuco

Mirando la graacutefica de la laminaanterior nos damos cuenta quehemos asumido que la velocidadfue siempre la misma Sinembargo el viajero experimentadosabe que el bus probablementepaso por Temuco capaz inclusopor Los Aacutengeles Concluimos quela velocidad calculada no es lavelocidad real es una Velocidadpromedio o Velocidad Media

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La Velocidad Media

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

6 hr

434 km

723 kmhr

bc

bcbc

bc

Podemos asiacute definir unaVelocidad Media lapodemos definir como

=ΔxΔt

(3)

donde Δx es el caminorecorrido y Δt el tiempo quetranscurrioacute Las Unidadesseraacuten Largo [L] dividido portiempo [T] Esto podriacutea serms kmhr o mmanos seguacutensea la escala que serequiera

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

Temuco10 00

10 30

bc

bc

bc bc

Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de

=162 km

2 hr= 81 kmhr

que es mayor

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II

Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea

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Velocidad Instantaacutenea I

La velocidad en la montantildearusa

De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como

= limΔtrarr0ΔxΔt

(4)

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Velocidad Instantaacutenea II

depende de la posicioacuten

La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda

=dxdt

(5)

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Aceleracioacuten

Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos

Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional

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Otro Problema con la Curva

Tiempo

Posicion

En reposo

Velocidad decrusero

bc bc

bc

Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten

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Aceleracioacuten Media

Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media

a =Δ

Δt(6)

Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con

a =5 ms15 s

= 333 ms2

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Aceleracioacuten Instantaacutenea

Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante

a = limΔtrarr0Δ

Δt=

ddt

(7)

en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles

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Aceleracioacuten Constante I

Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0

Δ = (t)minus 0

y correspondientemente el tiempo transcurrido sera

Δt = t minus t0

Por ello la aceleracioacuten sera

a =Δ

Δt=

(t)minus 0

t minus t0(8)

y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene

(t) = 0 + a(t minus t0)

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Aceleracioacuten Constante II

Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a

(t) = 0 + at (9)

Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando

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Aceleracioacuten Gravitacional I

Torre de Pisa (Italia)

Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento

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Aceleracioacuten Gravitacional II

z

z lt 0

a = minusg

bc

bc

Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que

(t) = 0 minus gt (10)

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Aceleracioacuten Gravitacional III

z

z gt 0

a = +g

bc

bc

En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva

(t) = 0 + gt (11)

La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Diagrama Posicioacuten-Tiempo I

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

bc

bcbc

bc

Capaz podemos entendermejor lo que esta pasando sidiagramamos la Posicioacuten x(t)en funcioacuten del Tiempo t

Si se supone que la velocidadfue realmente 723 kmhr estocorresponderiacutea a una rectaque pasa por por Valdivia (alas 8 00) y Chillan (a las14 00)

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Diagrama Posicioacuten-Tiempo II

Kultrun de la Zona deTemuco

Mirando la graacutefica de la laminaanterior nos damos cuenta quehemos asumido que la velocidadfue siempre la misma Sinembargo el viajero experimentadosabe que el bus probablementepaso por Temuco capaz inclusopor Los Aacutengeles Concluimos quela velocidad calculada no es lavelocidad real es una Velocidadpromedio o Velocidad Media

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La Velocidad Media

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

6 hr

434 km

723 kmhr

bc

bcbc

bc

Podemos asiacute definir unaVelocidad Media lapodemos definir como

=ΔxΔt

(3)

donde Δx es el caminorecorrido y Δt el tiempo quetranscurrioacute Las Unidadesseraacuten Largo [L] dividido portiempo [T] Esto podriacutea serms kmhr o mmanos seguacutensea la escala que serequiera

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

Temuco10 00

10 30

bc

bc

bc bc

Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de

=162 km

2 hr= 81 kmhr

que es mayor

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II

Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea

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Velocidad Instantaacutenea I

La velocidad en la montantildearusa

De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como

= limΔtrarr0ΔxΔt

(4)

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Velocidad Instantaacutenea II

depende de la posicioacuten

La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda

=dxdt

(5)

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Aceleracioacuten

Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos

Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional

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Otro Problema con la Curva

Tiempo

Posicion

En reposo

Velocidad decrusero

bc bc

bc

Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten

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Aceleracioacuten Media

Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media

a =Δ

Δt(6)

Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con

a =5 ms15 s

= 333 ms2

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Aceleracioacuten Instantaacutenea

Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante

a = limΔtrarr0Δ

Δt=

ddt

(7)

en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles

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Aceleracioacuten Constante I

Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0

Δ = (t)minus 0

y correspondientemente el tiempo transcurrido sera

Δt = t minus t0

Por ello la aceleracioacuten sera

a =Δ

Δt=

(t)minus 0

t minus t0(8)

y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene

(t) = 0 + a(t minus t0)

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Aceleracioacuten Constante II

Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a

(t) = 0 + at (9)

Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando

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Aceleracioacuten Gravitacional I

Torre de Pisa (Italia)

Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento

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Aceleracioacuten Gravitacional II

z

z lt 0

a = minusg

bc

bc

Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que

(t) = 0 minus gt (10)

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Aceleracioacuten Gravitacional III

z

z gt 0

a = +g

bc

bc

En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva

(t) = 0 + gt (11)

La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

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Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Diagrama Posicioacuten-Tiempo II

Kultrun de la Zona deTemuco

Mirando la graacutefica de la laminaanterior nos damos cuenta quehemos asumido que la velocidadfue siempre la misma Sinembargo el viajero experimentadosabe que el bus probablementepaso por Temuco capaz inclusopor Los Aacutengeles Concluimos quela velocidad calculada no es lavelocidad real es una Velocidadpromedio o Velocidad Media

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La Velocidad Media

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

6 hr

434 km

723 kmhr

bc

bcbc

bc

Podemos asiacute definir unaVelocidad Media lapodemos definir como

=ΔxΔt

(3)

donde Δx es el caminorecorrido y Δt el tiempo quetranscurrioacute Las Unidadesseraacuten Largo [L] dividido portiempo [T] Esto podriacutea serms kmhr o mmanos seguacutensea la escala que serequiera

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

Temuco10 00

10 30

bc

bc

bc bc

Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de

=162 km

2 hr= 81 kmhr

que es mayor

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II

Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea

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Velocidad Instantaacutenea I

La velocidad en la montantildearusa

De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como

= limΔtrarr0ΔxΔt

(4)

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Velocidad Instantaacutenea II

depende de la posicioacuten

La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda

=dxdt

(5)

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Aceleracioacuten

Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos

Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional

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Otro Problema con la Curva

Tiempo

Posicion

En reposo

Velocidad decrusero

bc bc

bc

Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten

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Aceleracioacuten Media

Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media

a =Δ

Δt(6)

Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con

a =5 ms15 s

= 333 ms2

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Aceleracioacuten Instantaacutenea

Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante

a = limΔtrarr0Δ

Δt=

ddt

(7)

en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles

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Aceleracioacuten Constante I

Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0

Δ = (t)minus 0

y correspondientemente el tiempo transcurrido sera

Δt = t minus t0

Por ello la aceleracioacuten sera

a =Δ

Δt=

(t)minus 0

t minus t0(8)

y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene

(t) = 0 + a(t minus t0)

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Aceleracioacuten Constante II

Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a

(t) = 0 + at (9)

Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando

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Aceleracioacuten Gravitacional I

Torre de Pisa (Italia)

Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento

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Aceleracioacuten Gravitacional II

z

z lt 0

a = minusg

bc

bc

Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que

(t) = 0 minus gt (10)

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Aceleracioacuten Gravitacional III

z

z gt 0

a = +g

bc

bc

En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva

(t) = 0 + gt (11)

La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

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La Velocidad Media

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

6 hr

434 km

723 kmhr

bc

bcbc

bc

Podemos asiacute definir unaVelocidad Media lapodemos definir como

=ΔxΔt

(3)

donde Δx es el caminorecorrido y Δt el tiempo quetranscurrioacute Las Unidadesseraacuten Largo [L] dividido portiempo [T] Esto podriacutea serms kmhr o mmanos seguacutensea la escala que serequiera

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

Temuco10 00

10 30

bc

bc

bc bc

Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de

=162 km

2 hr= 81 kmhr

que es mayor

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II

Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea

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Velocidad Instantaacutenea I

La velocidad en la montantildearusa

De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como

= limΔtrarr0ΔxΔt

(4)

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Velocidad Instantaacutenea II

depende de la posicioacuten

La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda

=dxdt

(5)

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Aceleracioacuten

Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos

Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional

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Otro Problema con la Curva

Tiempo

Posicion

En reposo

Velocidad decrusero

bc bc

bc

Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten

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Aceleracioacuten Media

Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media

a =Δ

Δt(6)

Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con

a =5 ms15 s

= 333 ms2

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Aceleracioacuten Instantaacutenea

Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante

a = limΔtrarr0Δ

Δt=

ddt

(7)

en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles

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Aceleracioacuten Constante I

Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0

Δ = (t)minus 0

y correspondientemente el tiempo transcurrido sera

Δt = t minus t0

Por ello la aceleracioacuten sera

a =Δ

Δt=

(t)minus 0

t minus t0(8)

y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene

(t) = 0 + a(t minus t0)

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Aceleracioacuten Constante II

Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a

(t) = 0 + at (9)

Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando

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Aceleracioacuten Gravitacional I

Torre de Pisa (Italia)

Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento

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Aceleracioacuten Gravitacional II

z

z lt 0

a = minusg

bc

bc

Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que

(t) = 0 minus gt (10)

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Aceleracioacuten Gravitacional III

z

z gt 0

a = +g

bc

bc

En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva

(t) = 0 + gt (11)

La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo I

8 00 14 00

Chillan

ValdiviaTiempo

Posicion

Temuco10 00

10 30

bc

bc

bc bc

Si incluimos a Temuco ambaspendientes se vuelven maacutesempinadas lo que significaque ahora la velocidad deviaje es mayor De hecho sise asume que la distanciaValdivia - Temuco es de 162 kmy el viaje tardo 20 horas lavelocidad media en el primertrayecto es de

=162 km

2 hr= 81 kmhr

que es mayor

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II

Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea

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Velocidad Instantaacutenea I

La velocidad en la montantildearusa

De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como

= limΔtrarr0ΔxΔt

(4)

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Velocidad Instantaacutenea II

depende de la posicioacuten

La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda

=dxdt

(5)

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Aceleracioacuten

Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos

Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional

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Otro Problema con la Curva

Tiempo

Posicion

En reposo

Velocidad decrusero

bc bc

bc

Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten

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Aceleracioacuten Media

Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media

a =Δ

Δt(6)

Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con

a =5 ms15 s

= 333 ms2

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Aceleracioacuten Instantaacutenea

Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante

a = limΔtrarr0Δ

Δt=

ddt

(7)

en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles

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Aceleracioacuten Constante I

Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0

Δ = (t)minus 0

y correspondientemente el tiempo transcurrido sera

Δt = t minus t0

Por ello la aceleracioacuten sera

a =Δ

Δt=

(t)minus 0

t minus t0(8)

y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene

(t) = 0 + a(t minus t0)

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Aceleracioacuten Constante II

Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a

(t) = 0 + at (9)

Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando

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Aceleracioacuten Gravitacional I

Torre de Pisa (Italia)

Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento

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Aceleracioacuten Gravitacional II

z

z lt 0

a = minusg

bc

bc

Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que

(t) = 0 minus gt (10)

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Aceleracioacuten Gravitacional III

z

z gt 0

a = +g

bc

bc

En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva

(t) = 0 + gt (11)

La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Nuevo Diagrama Posicioacuten-Tiempo II

Sin embargo los 81 kmhrcontinuacutean siendo unavelocidad media en eltrayecto Valdivia - TemucoIncluso en dicho tramo debende existir fluctuacionesPrimer esta el hecho queentre Valdivia y San Jose existecarretera y luego entreSan Jose y Temuco autopistaFuera de eso existen curvastrafico maniobras deadelantar etc iquestCoacutemopodemos entonces calcularuna velocidad instantaacutenea

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Velocidad Instantaacutenea I

La velocidad en la montantildearusa

De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como

= limΔtrarr0ΔxΔt

(4)

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Velocidad Instantaacutenea II

depende de la posicioacuten

La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda

=dxdt

(5)

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Aceleracioacuten

Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos

Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional

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Otro Problema con la Curva

Tiempo

Posicion

En reposo

Velocidad decrusero

bc bc

bc

Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten

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Aceleracioacuten Media

Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media

a =Δ

Δt(6)

Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con

a =5 ms15 s

= 333 ms2

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Aceleracioacuten Instantaacutenea

Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante

a = limΔtrarr0Δ

Δt=

ddt

(7)

en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles

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Aceleracioacuten Constante I

Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0

Δ = (t)minus 0

y correspondientemente el tiempo transcurrido sera

Δt = t minus t0

Por ello la aceleracioacuten sera

a =Δ

Δt=

(t)minus 0

t minus t0(8)

y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene

(t) = 0 + a(t minus t0)

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Aceleracioacuten Constante II

Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a

(t) = 0 + at (9)

Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando

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Aceleracioacuten Gravitacional I

Torre de Pisa (Italia)

Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento

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Aceleracioacuten Gravitacional II

z

z lt 0

a = minusg

bc

bc

Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que

(t) = 0 minus gt (10)

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Aceleracioacuten Gravitacional III

z

z gt 0

a = +g

bc

bc

En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva

(t) = 0 + gt (11)

La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Velocidad Instantaacutenea I

La velocidad en la montantildearusa

De los ejemplos anterioresvemos que solo podemoscalcular una velocidadinstantaacutenea si la medimos enun tiempo muy corto tancorto que la velocidad novaria en dicho tiempo O seapodemos expresar esto enlenguaje matemaacutetico como

= limΔtrarr0ΔxΔt

(4)

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Velocidad Instantaacutenea II

depende de la posicioacuten

La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda

=dxdt

(5)

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Aceleracioacuten

Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos

Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional

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Otro Problema con la Curva

Tiempo

Posicion

En reposo

Velocidad decrusero

bc bc

bc

Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten

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Aceleracioacuten Media

Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media

a =Δ

Δt(6)

Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con

a =5 ms15 s

= 333 ms2

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Aceleracioacuten Instantaacutenea

Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante

a = limΔtrarr0Δ

Δt=

ddt

(7)

en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles

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Aceleracioacuten Constante I

Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0

Δ = (t)minus 0

y correspondientemente el tiempo transcurrido sera

Δt = t minus t0

Por ello la aceleracioacuten sera

a =Δ

Δt=

(t)minus 0

t minus t0(8)

y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene

(t) = 0 + a(t minus t0)

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Aceleracioacuten Constante II

Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a

(t) = 0 + at (9)

Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando

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Aceleracioacuten Gravitacional I

Torre de Pisa (Italia)

Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento

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Aceleracioacuten Gravitacional II

z

z lt 0

a = minusg

bc

bc

Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que

(t) = 0 minus gt (10)

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Aceleracioacuten Gravitacional III

z

z gt 0

a = +g

bc

bc

En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva

(t) = 0 + gt (11)

La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

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Velocidad Instantaacutenea II

depende de la posicioacuten

La expresioacuten (4) no es otracosa que dividir la DistanciaΔx por la Duracioacuten Δt con lacondicioacuten que la Duracioacutensea corta (limΔtrarr0) Esto sedenomina en matemaacuteticasuna derivada En el limiteΔt rarr 0 la Distancia seescribe como Δx rarr dx y laDuracioacuten se escribe Δt rarr dtde modo que queda

=dxdt

(5)

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Aceleracioacuten

Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos

Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional

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Otro Problema con la Curva

Tiempo

Posicion

En reposo

Velocidad decrusero

bc bc

bc

Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten

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Aceleracioacuten Media

Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media

a =Δ

Δt(6)

Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con

a =5 ms15 s

= 333 ms2

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Aceleracioacuten Instantaacutenea

Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante

a = limΔtrarr0Δ

Δt=

ddt

(7)

en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles

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Aceleracioacuten Constante I

Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0

Δ = (t)minus 0

y correspondientemente el tiempo transcurrido sera

Δt = t minus t0

Por ello la aceleracioacuten sera

a =Δ

Δt=

(t)minus 0

t minus t0(8)

y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene

(t) = 0 + a(t minus t0)

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Aceleracioacuten Constante II

Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a

(t) = 0 + at (9)

Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando

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Aceleracioacuten Gravitacional I

Torre de Pisa (Italia)

Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento

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Aceleracioacuten Gravitacional II

z

z lt 0

a = minusg

bc

bc

Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que

(t) = 0 minus gt (10)

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Aceleracioacuten Gravitacional III

z

z gt 0

a = +g

bc

bc

En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva

(t) = 0 + gt (11)

La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Aceleracioacuten

Ahora que sabemos como describir la variacioacuten en el tiempo dela Posicioacuten podemos explorar lo que significa la variacioacuten de laVelocidad Para ello veremos

Otro Problema de la Curva Aceleracioacuten Media Aceleracioacuten Instantaacutenea Aceleracioacuten Constante Aceleracioacuten Gravitacional

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Otro Problema con la Curva

Tiempo

Posicion

En reposo

Velocidad decrusero

bc bc

bc

Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten

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Aceleracioacuten Media

Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media

a =Δ

Δt(6)

Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con

a =5 ms15 s

= 333 ms2

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Aceleracioacuten Instantaacutenea

Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante

a = limΔtrarr0Δ

Δt=

ddt

(7)

en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles

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Aceleracioacuten Constante I

Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0

Δ = (t)minus 0

y correspondientemente el tiempo transcurrido sera

Δt = t minus t0

Por ello la aceleracioacuten sera

a =Δ

Δt=

(t)minus 0

t minus t0(8)

y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene

(t) = 0 + a(t minus t0)

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Aceleracioacuten Constante II

Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a

(t) = 0 + at (9)

Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando

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Aceleracioacuten Gravitacional I

Torre de Pisa (Italia)

Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento

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Aceleracioacuten Gravitacional II

z

z lt 0

a = minusg

bc

bc

Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que

(t) = 0 minus gt (10)

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Aceleracioacuten Gravitacional III

z

z gt 0

a = +g

bc

bc

En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva

(t) = 0 + gt (11)

La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Otro Problema con la Curva

Tiempo

Posicion

En reposo

Velocidad decrusero

bc bc

bc

Otro de los problemas con nuestracurva es que saltamos de estar enReposo a tener Velocidad deCrucero En otras palabras laVelocidad tiene que ir aumentandopaulatinamente lo quedenominamos Aceleracioacuten

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Aceleracioacuten Media

Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media

a =Δ

Δt(6)

Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con

a =5 ms15 s

= 333 ms2

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Aceleracioacuten Instantaacutenea

Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante

a = limΔtrarr0Δ

Δt=

ddt

(7)

en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles

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Aceleracioacuten Constante I

Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0

Δ = (t)minus 0

y correspondientemente el tiempo transcurrido sera

Δt = t minus t0

Por ello la aceleracioacuten sera

a =Δ

Δt=

(t)minus 0

t minus t0(8)

y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene

(t) = 0 + a(t minus t0)

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Aceleracioacuten Constante II

Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a

(t) = 0 + at (9)

Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando

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Aceleracioacuten Gravitacional I

Torre de Pisa (Italia)

Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento

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Aceleracioacuten Gravitacional II

z

z lt 0

a = minusg

bc

bc

Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que

(t) = 0 minus gt (10)

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Aceleracioacuten Gravitacional III

z

z gt 0

a = +g

bc

bc

En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva

(t) = 0 + gt (11)

La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

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Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Aceleracioacuten Media

Al igual que en el caso de lavelocidad (3) podemos definiruna aceleracioacuten media

a =Δ

Δt(6)

Con esta definicioacuten podemoscaracterizar comoaceleramos al corrertardamos por ejemplo 15 s enllegar a una velocidad de5 ms o sea aceleramos con

a =5 ms15 s

= 333 ms2

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Aceleracioacuten Instantaacutenea

Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante

a = limΔtrarr0Δ

Δt=

ddt

(7)

en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles

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Aceleracioacuten Constante I

Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0

Δ = (t)minus 0

y correspondientemente el tiempo transcurrido sera

Δt = t minus t0

Por ello la aceleracioacuten sera

a =Δ

Δt=

(t)minus 0

t minus t0(8)

y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene

(t) = 0 + a(t minus t0)

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Aceleracioacuten Constante II

Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a

(t) = 0 + at (9)

Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando

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Aceleracioacuten Gravitacional I

Torre de Pisa (Italia)

Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento

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Aceleracioacuten Gravitacional II

z

z lt 0

a = minusg

bc

bc

Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que

(t) = 0 minus gt (10)

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Aceleracioacuten Gravitacional III

z

z gt 0

a = +g

bc

bc

En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva

(t) = 0 + gt (11)

La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Aceleracioacuten Instantaacutenea

Al igual que con la Velocidadmedia (5) existe la necesidadde conocer la aceleracioacuten enun instante la que se obtieneconsiderando intervalos detiempo en que la aceleracioacutenes praacutecticamente constante

a = limΔtrarr0Δ

Δt=

ddt

(7)

en que limΔtrarr0 nos recuerdaque debemos tomar tiemposlo mas cortos posibles

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Aceleracioacuten Constante I

Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0

Δ = (t)minus 0

y correspondientemente el tiempo transcurrido sera

Δt = t minus t0

Por ello la aceleracioacuten sera

a =Δ

Δt=

(t)minus 0

t minus t0(8)

y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene

(t) = 0 + a(t minus t0)

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Aceleracioacuten Constante II

Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a

(t) = 0 + at (9)

Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando

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Aceleracioacuten Gravitacional I

Torre de Pisa (Italia)

Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento

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Aceleracioacuten Gravitacional II

z

z lt 0

a = minusg

bc

bc

Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que

(t) = 0 minus gt (10)

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Aceleracioacuten Gravitacional III

z

z gt 0

a = +g

bc

bc

En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva

(t) = 0 + gt (11)

La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Aceleracioacuten Constante I

Un caso simple es el de la aceleracioacuten constante (a = a) Paraeste caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δtmuy pequentildeos En este caso la diferencia de la velocidad serala velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0

Δ = (t)minus 0

y correspondientemente el tiempo transcurrido sera

Δt = t minus t0

Por ello la aceleracioacuten sera

a =Δ

Δt=

(t)minus 0

t minus t0(8)

y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene

(t) = 0 + a(t minus t0)

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Aceleracioacuten Constante II

Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a

(t) = 0 + at (9)

Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando

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Aceleracioacuten Gravitacional I

Torre de Pisa (Italia)

Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento

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Aceleracioacuten Gravitacional II

z

z lt 0

a = minusg

bc

bc

Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que

(t) = 0 minus gt (10)

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Aceleracioacuten Gravitacional III

z

z gt 0

a = +g

bc

bc

En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva

(t) = 0 + gt (11)

La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

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Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Aceleracioacuten Constante II

Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuacioacuten de lavelocidad se reduce a

(t) = 0 + at (9)

Con esta Ecuacioacuten podemos calcular como va aumentando laVelocidad si la Aceleracioacuten es positiva (a gt 0) o esta disminuyesi la Aceleracioacuten es negativa (a lt 0) o sea se esta frenando

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Aceleracioacuten Gravitacional I

Torre de Pisa (Italia)

Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento

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Aceleracioacuten Gravitacional II

z

z lt 0

a = minusg

bc

bc

Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que

(t) = 0 minus gt (10)

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Aceleracioacuten Gravitacional III

z

z gt 0

a = +g

bc

bc

En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva

(t) = 0 + gt (11)

La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Aceleracioacuten Gravitacional I

Torre de Pisa (Italia)

Una de las aceleracionesmas comunes que todosexperimentamos y que esconstante es la AceleracioacutenGravitacional Su valor es de98 ms2 y su signo dependedel sistema de coordenadascon el que estamosdescribiendo el movimiento

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Aceleracioacuten Gravitacional II

z

z lt 0

a = minusg

bc

bc

Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que

(t) = 0 minus gt (10)

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Aceleracioacuten Gravitacional III

z

z gt 0

a = +g

bc

bc

En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva

(t) = 0 + gt (11)

La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Aceleracioacuten Gravitacional II

z

z lt 0

a = minusg

bc

bc

Si medimos la posicioacuten de uncuerpo z en un sistema decoordenadas en que el eje zesta diseccionado alejaacutendosede la tierra la Aceleracioacutengravitacional es negativa Osea el Cuerpo acelera endireccioacuten del Centro de laTierra por lo que

(t) = 0 minus gt (10)

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Aceleracioacuten Gravitacional III

z

z gt 0

a = +g

bc

bc

En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva

(t) = 0 + gt (11)

La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

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Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Aceleracioacuten Gravitacional III

z

z gt 0

a = +g

bc

bc

En el caso contrario en quemedimos desde un punto endireccioacuten del Centro de laTierra la Aceleracioacutengravitacional debe sertomada como positiva

(t) = 0 + gt (11)

La Ecuacioacuten puede variarpero el fenoacutemeno quedescribe y el comportamientoobservado es el mismo

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Posicioacuten

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleracioacutenbuscamos pronosticar la Posicioacuten para una Aceleracioacuten dadaPara ello estudiaremos

Calculo del Camino Aacuterea Curva v-t Caso Aceleracioacuten Constante Ecuacioacuten de Movimiento Camino y Velocidad

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

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Calculo del Camino

Aun no hemos logradocalcular como evoluciona laPosicioacuten de un cuerpo para elcaso de que la Velocidad nosea constante Solocontamos con la Ecuacioacutenpara el caso de que elIntervalo del Tiempo seapequentildeo

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Aacuterea Curva v-t I

tΔt

Δt = Δx

Si graficamos la Velocidad enfuncioacuten del Tiempo yconsideramos un intervalo(pequentildeo) de Tiempo Δtpodemos dibujar un rectaacutengulodebajo de la curva Esterectaacutengulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su aacuterea es

Area = Δt

Sin embargo seguacuten (3) esto esjusto la Distancia recorrida Δxdurante el tiempo Δt

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

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Aacuterea Curva v-t II

tt1

t2

Esto es extensible a cualquierintervalo de tiempo para lo cualhay que sumar los distintosintervalos de camino recorrido

Δx =sum

k

Δxk =sum

k

kΔtk

en donde los Intervalos deTiempo Δtk deben serpequentildeos Esto corresponde alo que se denomina unaintegral

Δx =sum

k

limΔtkrarr0kΔtk =int t2

t1

(t)dt

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Caso Aceleracioacuten Constante I

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Para el caso de aceleracioacutenconstante el calculo del aacutereaes relativamente simpleDado que la velocidad estadata en este caso por (9) lacurva es una recta comomuestra la graacutefica Por ello elaacuterea es la suma de unrectaacutengulo

0t

y un triangulo

12

at sdot t =12

at2

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

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Caso Aceleracioacuten Constante II

0

at(t)

0

t

12at sdot t

0t

bc

bc

bc

bc

Con ello el camino recorridoΔx es

Δx = 0t +12

at2

o empleando (1)

x(t)minus x0 = 0t +12

at2

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Ecuacioacuten de Movimiento

Si despejamos x(t) seobtiene asiacute

x(t) = x0 + 0t +12

at2 (12)

que es la ecuacioacuten con la quepodremos describir laposicioacuten de un cuerpo que sedesplaza con aceleracioacutenconstante

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Camino y Velocidad

Si se despeja el tiempo t de(9)

t =(t)minus 0

a

y se introduce en (12) seobtiene

x = x0 +2

minus 20

2a(13)

Esta ecuacioacuten nos permitecalcular la Posicioacuten enfuncioacuten de la velocidad delCuerpo

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 37 57

Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 46 57

Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 47 57

Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

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Caminando

Observando Modelo Simplificado Altura al Caminar Aceleracioacuten del Pie Frenado del Pie Pie en Reposo Movimiento de la Rodilla Correr

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 35 57

Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 37 57

Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar podemos estudiaruna Secuencia de Imaacutegenes que muestran como la personacamina

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

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Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar elDesplazamiento de distintos Puntos

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Observando III

Si se observa la Funcion de Posicioacuten del Pie en la Direccioacutenhorizontal se observa una Curva con trazas tipo curvasparaboacutelicas de aceleracioacuten y frenado

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

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Modelo Simplificado

En este primer modelotrataremos de trabajar comosi el caminar fuera unproceso que se puededescribir en formaunidimensional Esta esapropiado en la mayor partedel cuerpo Solo el Piepresenta un desplazamientode hasta 12 cm en la direccioacutenvertical Por ello veremosmas adelante la Dinaacutemica delPie en forma separada

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

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Altura del Caminar

Sea l el largo de la pierna y del del paso Eso significa quela altura en que se desplazael Punto de Giro es de

h =

radic

l2 minusd2

4(14)

Si el largo de la Pierna es del = 088 m y el largo del pasod = 118 m entonces la alturaen que esta el Punto de Giroes de

h = 065 m

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Aceleracioacuten del Pie I

Aceleracioacuten del Pie

Si focalizamos en la aceleracioacutenal iniciarse el movimiento desde elreposo la ecuacioacuten de movimientoes seguacuten (12)

x(t) =12

aat2 (15)

con aa la Aceleracioacuten del Pie Sicolocamos el Origen en el puntodonde se inicia la aceleracioacuten eltiempo es a = 05 s y el caminox(a) = 064 m la aceleracioacuten es de

aa =2x(a)

2a

= 512 ms2

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 43 57

Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 45 57

Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 46 57

Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 47 57

Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 48 57

Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 49 57

Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

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Aceleracioacuten del Pie II

Aceleracioacuten del Pie

De igual forma podemos calcularcon (9) la Velocidad maacutexima quealcanza el Pie

(t) = aat (16)

Con el tiempo indicadoanteriormente y la aceleracioacutencalculada se obtiene

max = aaa = 256 ms

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 47 57

Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 48 57

Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 49 57

Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

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Frenado del Pie I

Frenado del Pie

En el caso del frenado teniendo elPie la velocidad calculadaanteriormente la ecuacioacuten demovimiento esta dada por (12) Siconsiderando un nuevo origenespacio-tiempo en el momentoque comenzamos a frenar setiene

x(t) = maxt minus12

af t2 (17)

y para la velocidad (9)

(t) = max minus af t (18)

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 43 57

Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 44 57

Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 45 57

Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 46 57

Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 47 57

Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 48 57

Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 49 57

Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

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Frenado del Pie II

Frenado del Pie

Como descocemos tanto el tiempof como la aceleracioacuten af defrenado podemos trabajar con laecuacioacuten de camino y velocidad(13)

x =2

minus 2max

2af(19)

Para el caso en que nuestro pie sedetiene la ultima ecuacioacuten sereduce a

x(f ) =2

max

2af(20)

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 45 57

Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

W Gerber Fiacutesica en la Kinesiologiacutea - 12 Traslacioacuten - Teoriacutea 20082009 48 57

Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Frenado del Pie III

Frenado del Pie

Con x(f ) = 054 m el caminorestante para terminar el paso ylos valores de la velocidad maacuteximase obtiene

af =2

max

2x(f )= 607 ms2

Con este valor y empleando laecuacioacuten ( ) finalmente se puedecalcular el tiempo

2 = minus

max

af= 042 s

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

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Pie en Reposo

Desplazamiento Caderay Pie

Si medimos el tiempo en que elPie esta en reposo vemos quedicho tiempo es de r = 046 sCon ello la velocidad media del piees seguacuten (3)

=x(a) + x(f )

a + f + r= 0833 ms

que corresponde a la velocidadcon que se mueve la Cadera y elHombro

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

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Movimiento de la Rodilla I

Como vimos anteriormente laaltura en que se encuentranuestro cuerpo al caminaresta determinada por el largode la pierna y del paso quedamos Dicha altura essiempre menor al largo de lapierna lo que nos obliga aencoger la cada vez quepasa del punto de apoyoposterior al delantero Alhacer este movimiento larodilla tiene un movimientorelativo al cuerpo y el pie quebuscamos modelar

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

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Movimiento de la Rodilla II

xc

xk

xt

h

l1

l2

Si l1 es el largo de la Piernal2 el del Muslo xk es laPosicioacuten de la Rodilla xt ladel Tobillo xc la del TrocaacutenterMayor y h la altura con quecaminamos entonces secumple que

h =radic

l21 minus (xk minus xt)2

+radic

l22 minus (xk minus xc)2

(21)La Posicioacuten de la Rodilla sepuede calcular despejandode esta ecuacioacuten el valor dexk (ver Anexo)

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Bibliografia I

Textos recomendados En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versioacuten incompleta del libro

Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

Dance Anatomy and Kinesiology K Clippenger KSClippinger Human Kinetics Publishers 2006 ISBN-139780880115315rarr Leer en Google Books

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Correr

Si tratamos de aplicar los caacutelculos al correr veremos quetenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que lospasos se vuelven muy largos Esto es porque en la realidadnos desprendemos del suelo Existe una aceleracioacuten verticalque hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedadvolvemos a caer La pregunta es que origina esta aceleracioacuten

En la proacutexima clase veremos que causa este efecto

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Posicioacuten de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posicioacuten de la Rodilla se debe cuadrardos veces la ecuacioacuten despejando el termino con la raiacutezDespueacutes de alguacuten trabajo algebraico se obtiene

xk = xk1 + xk2 (22)

con

xk1 =hradic

(minus(xt minus xc)2 + (l1 + l2)2minus h2)((xt minus xc)2

minus (l1 minus l2)2 + h2)

2((xt minus xc)2 + h2)(23)

y

xk2 =x3

t minus xcx2t minus x2

cxt + x3c + (l22 minus l21)(xc minus xt) + h2(xc + xt)

2((xt minus xc)2 + h2)(24)

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Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Simbolo Tipo EjemplosL Largo m cm mm mT Tiempo s min hrsM Masa kg Porcentaje minus

Simbolo Tipo EjemplosL2 Aacuterea Superficie m2 cm2

L3 Volumen m3 cm3

ML3 Densidad kgm3 gcm3

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Conversiones I

1m = 10minus6 m 1 nm = 10minus9 m 1 nm3 = 10minus9 m3

1 mm = 10minus3 m 1 nm2 = 10minus18 m2 1m3 = 10minus18 m1 cm = 10minus2 m 1m = 10minus12 m 1 mm3 = 10minus9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10minus6 m2 1 cm3 = 10minus6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10minus4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3

1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10minus3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10minus4 ha

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

1 dia = 864 times 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s

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Conversiones II

1 gcm3 = 10+3 kgm3 1 s = 167 times 10minus2min1 kgm3 = 10minus3 gcm3 1 s = 278 times 10minus4hr

1 s = 116 times 10minus5dias1 ms = 36 kmhr 1 s = 317 times 10minus8aos1 kmhr = 0278 ms 1 ao = 315 times 10+7s

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Bibliografia I

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Introduction to Kinesiology Studying Physical Activity SJHoffman (Editor) Human Kinetics Publishers 2008ISBN-13 9780736076135rarr Leer en Google Books

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Bibliografia II

Kinesiology Movement in the Context of Activity DPGreene SL Roberts Elsevier Science 2004 ISBN-139780323028226rarr Leer en Google Books

Kineseology for Occupational Therapy M Rybski SLACKInc 2004 ISBN-13 9781556424915rarr Leer en Google Books

ACSMrsquos Resources for the Personal Trainer TechniquesComplications and Management American College ofSports Medicine KE Baldwin NI Pire (Editors)Lippincott Williams Wilkins 2006 ISBN-139780781790536rarr Leer en Google Books

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Bibliografia III

Biomechanics Principles and Applications DR PetersonJD Bronzino (Editors) Taylor Francis Inc 2007ISBN-13 9780849385346rarr Leer en Google Books

Principles of Biomechanics Motion Analysis IW GriffithsLippincott Williams Wilkins 2005 ISBN-139780781752312rarr Leer en Google Books

Comparative Biomechanics Lifersquos Physical World S VogelA Defarrari Princeton University Press 2003 ISBN-139780691112978rarr Leer en Google Books

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Bibliografia IV

Human-Like Biomechanics A Unified MathematicalApproach to Human Biomechanics and HumanoidRobotics VG Ivancevic TT Ivancevic Springer-VerlagNew York LLC 2006 ISBN-13 9781402041167rarr Leer en Google Books

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Contacto

Dr Willy H Gerberwgerbergphysicsnet

Instituto de FiacutesicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia Chile+(56) 63 221125

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