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Comunicacin de datos Unidad 2. Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo (SLIT) Actividad 4. Convolucin (Introduccin)

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Este documento contiene informacin referente a los ejercicios de la

actividad 4 Unidad 2.

Se presentan ejemplos de convoluciones digitales (discretas) utilizando el

mtodo grfico, tabular y analtico:

En las iguiente imagen se puede arpeciar una serie de pulsos negativos o

positivos, considerando una amplitud y periodo determinado:


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Supongamos que se tiene una seal arbitraria x(n) que se quiere expresar

como la suma de impulsos unitarios. Primero se escoge las seales elemen-

tales xk(n) como

donde k representa el retrazo del impulso unitario.

Para poder manejar una seal arbitraria x(n) que puede tener infinitos

valores, el conjunto de impulsos unitarios debe ser tambin infinito, para

contener un nmero infinito de desplazamientos.

Supongamos ahora, que se multiplica la secuencia x(n) con (n k) .

En otras palabras, cada multiplicacin de la seal x(n) por un impulso

unitario desplazada k unidades y se extrae de la secuencia x(n) el valor en

el punto n = k ya que el impulso unitario vale uno en ese punto.

En consecuencia, si repetimos esta multiplicacin por todos los

posibles desplazamientos en el dominio de < k < , y se suma

el resultado de todas estas multiplicaciones, se obtendr una seal

igual a la secuencia original x(n).


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Multiplicacin de una seal x(n) con un impulso unitario desplazado.

Es decir,

Aqu, se hace hincapi el hecho de que la parte derecha (expresin arriba) es la

sumatoria de un nmero infinito de impulsos unitarios (n k) que tiene

una amplitud x(k). As, la parte derecha nos proporciona la descomposicin

de una seal arbitraria x(n) en una suma ponderada de impulsos unitarios

desplazados.


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La expresin anterior, da la respuesta y(n) del sistema LTI como funcin de la

seal de entrada x(n) y de la respuesta impulsional h(n) se denomina con-

volucin. En otras palabras, la entrada del sistema x(n) se convoluciona con

la respuesta impulsional h(n) para producir la salida y(n).

Mtodos de Clculo de la Convolucin:

Mtodo grfico

Primer ejemplo de convolucin con el mtodo grfico.


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Interpretacin: Teniendo dose seales (a y b). Se invierte la segunda seal,

resultando c. Se multiplican los puntos de la seal a por la c.

Considere que l = 0 (0-k), es decir, se inicia sin desplazar la seal, en 0.

Ejemplo:

De lo anterior resulta:

0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 Se obtiene un punto de la primera multiplicacin

o barrido de puntos cuando no hay desplazamiento de las seales, obteniendo

y(0) = 1.

0 *

0 =

0

3 *

0 =

0

2 *

0 =

0

1 *

1 =

1

0 *

2 =

0

0 *

3 =

0

0 *

4 =

0

0 *

5 =

0

Nota: Los puntos se multiplican, considerando el eje y solamente, por ejemplo: En la primera flecha roja (de izquierda a derecha), el -2 est en 0 (eje y) y el otro -2 est en 0 tambin, de all 0 * 0 = 0.


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Cuando l = 1 o (1 - k):

Observe que la seal d, se desplaza en uno (hacia la derecha). Al multiplicar las

dos seales se obtiene un nuevo valor: y(1) = 3.


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Tercer desplazamiento:

Si continua desplazando la seal en 3, luego en 4 se obtienen y(3) = 5 y y(4) = 3

respecyivamente.

Compruebe que los resultados para y(3) = 5 y y(4) = 3.


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La suma de las multiplicaciones resultantes queda:

Grfica resultante de la convolucin de

_____________________________________dos seales discretas.

Mtodo tabular

1. Se colocan todas las muestras discretas de ambas secuencias en acorde a

la variable independiente n.

2. Se toma el primer elemento de h(n) y se realiza la multiplicacin elemen-

to a elemento con x(n).

3. Se desplaza una posicin y se realiza la misma operacin de multiplica-

cin para cada uno de los elementos de h(n).

Puntos convolucionados.


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4. Se realiza la suma algebraica de todos los elementos de las secuencias

productos obtenidas y se reasignan a la secuencia y(n) segn la variable

independiente n como se muestra en la siguiente figura:

Mtodo tabular para el clculo de la convolucin

Notas:

n son los posibles valores en el eje x.

x(n) es la primera seal, y sus respectivos puntos en el eje y.

h(n) es la segunda seal y similar, sus respectivos valores en el eje y o amplitud.

Se puede apreciar el barrido o corrimiento de las multiplicaciones de h(0) por

todos los puntos de x(n), luego de h(1) por todos los puntos de x(n), y as hasta terminar

h(3) por x(n). Finalmente se suman los resultados.


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Ejemplo 2: La respuesta impulsional de un sistema lineal e invariante en

el tiempo es h(n). Determine la respuesta del sistema si la seal de entrada

es x(n) = {1, 2, 3, 1} y h(n) = {1, 2, 1, -1}.

Suma ordinaria

Resultado de

la convolucin


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Mtodo analtico

para encontrar la convolucin entre dos secuencias define los siguientes

pasos:

1. Se transforman ambas secuencias discretas en suma de deltas desplaza-

das y ponderadas.

2. Despus, se multiplica la secuencia h(n) transformada con la secuencia

x(n) simblica

3. Se transforma el resultado de la multiplicacin en su equivalente de

suma de deltas desplazadas y ponderadas.

4. Se agrupan las deltas semejantes y se realiza la suma algebraica corres-

pondiente.


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Ejemplo 1 (mtodo analtico):

Encuentre la convolusin de las siguientes dos secuencias

aplicando el mtodo analtico:

Seales originales:

x(n) * h(n) = x(n) * { 2d(n+1) + d(n) +2d(n-1) } =

2x(n+1) + x(n) + 2x(n-1)

Se multiplica por x para que resulte

Ahora se multiplica cada trmino del resultado de la multiplicacin anterior por

x(n):

Para: 2x(n+1) = 2d(n+3) + 2d(n+2) + 2d(n+1) + 2d(n) + 2d(n-1)

Para x(n) = d(n+2) + d(n+1) + d(n) + d(n-1) + d(n-2)

Para 2x(n-1) = 2d(n+1) + 2d(n) + 2d(n-1) + 2d(n-2) + 2d(n-3)

y(n) = 2d(n+3) + 3d(n+2) + 5d(n+1) + 5d(n) + 5d(n-1) + 3d(n-2) + 2d(n-3)


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Corroborando el resultado con el mtodo tabular:

Ejemplo 2 (mtodo analtico): Solucionar el ejemplo 2 con el mtodo analtico,

x(n) = {1, 2, 3, 1} y h(n) = {1, 2, 1, -1}.


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Transformar de secuancias (nmeros dados de seales) a deltas desplazadas.

Los n +/- un valor son los desplazamientos. Que representan los puntos en el mtodo

grfico.

Solucin:

Otro paso es multiplicar el primer trmino de x(n), que es d(n) por cada uno de

los trminos de h(n), como se expresa en el primer rengln:


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Se recomienda visualizar el sigiente enlace, video donde se explica la

convolucin de dos seales de forma grfica. Es interesante cmo cuando dos

seales se interpolan, su salida cambia y cmo se representa.

Chaparro L. (2013). video 1 - 5 Convolucion de dos ventanas en el tiempo.

Consultado en 24/03/2014. Desde: http://www.youtube.com/watch?v=0IzrIrfzAzY

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