Turbomáquinas Hidráulicas

Mg. Amancio R. Rojas Flores

11

Turbomáquinas Hidráulicas

Son equipos que transforman energía por medio de un fluido, que para nuestros fines será el agua. Sin embargo, pueden ser utilizados otros fluidos, tales como aceite, y en general, derivados del petróleo, bajo la consideración de incompresibles.

Para el estudio de las Máquinas Hidráulicas haremos las siguientes suposiciones

•el agua es incompresible.•la temperatura es constante.•el flujo es uniforme.

Para los fines prácticos consideraremos a las Máquinas Hidráulicas como equipos que transforman dos tipos de energía:

energía mecánica.energía hidráulica

22

Caracterización de las maquinas hidráulicas

Las máquinas que absorben energía del exterior. Esta energía puede ser visualizada como energía mecánica (potencia en el eje). Esta energía absorbida por la máquina es transformada en energía del fluido (energía hidráulica). Pertenecen a este grupo las Bombas y Ventiladores. Desde el punto de vista de la energía hidráulica, a las bombas (ventiladores) se les denomina Máquinas Generadoras.

Las máquinas que entregan energía al exterior. A este grupo pertenecen las Turbinas, las cuales transforman la energía del fluido (hidráulica) en energía mecánica (en el eje). Desde el punto de vista de la energía hidráulica a este grupo se les denomina Máquinas Motoras.

33

TRIANGULOS DE VELOCIDADES: NOTACION INTERNACIONAL

Las ecuaciones vectoriales :

111 wuC +=→

222 wuC +=→

se representan mediante dos triángulos, que se llaman triángulo de entrada y triángulo de salida, respectivamente

En dichos triángulos:

U1 : velocidad absoluta del álabe a la entrada o velocidad periférica a la entrada;C1 : velocidad absoluta del fluido a la entrada;W1 : velocidad relativa a la entrada (del fluido con respecto al álabe)C1m : componente meridional de la velocidad absoluta del fluido a la entradaC1u : componente periférica de la velocidad absoluta del fluido a la entrada α1 : ángulo que forman las dos velocidades c1 y u1β1 : ángulo que forma u1 con w1

Lo mismo en el triangulo de salida, sustituyendo el índice 1 por 244

Fig. Triángulos de velocidad de entrada y salida de los alabes de un rodete con la notación internacional para ángulos, velocidades y componentes de velocidades, corrientemente empleada en el estudio de todas las turbomáquinas

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IMPORTANCIA DE LA ECUACIÓN DE EULER

La ecuación de Euler es la ecuación fundamental para el estudio de las turbomáquinas, tanto de las turbomáquinas hidráulicas, como de las turbomáquinas térmicas.

Constituye, pues, la ecuación básica tanto para el estudio de las bombas, ventiladores, turbinas hidráulicas (turbomáquinas hidráulicas) como para el estudio de los turbocompresores, turbinas de vapor y turbinas de gas (turbomáquínas térmicas)

Es la ecuación que expresa la energía intercambiada en el rodete de todas estas máquinas.

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PLANOS DE REPRESENTACIÓN DE UNA TURBOMÁQUINA

FIG. 2. Rodete de una bomba centrífuga.77

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE EULER A PARTIR DE UNA BOMBA CENTRÍFUGA

En la deducción de la ecuación de Euler se supone que todas las partículas de fluido que entran en los álabes sufren una misma desviación. (Método unidimensional de estudio.)

Esta deducción se hará con relación a la misma Fig. 2, que representa, el rodete de una bomba centrífuga (o de un ventilador centrífugo que esencialmente sólo se diferencia de una bomba en que el fluido bombeado no es líquido, sino gas; pero todo el razonamiento y por tanto la fórmula de Euler deducida mediante él, será válido para todas las turbomáquinas.

Supondremos que la bomba funciona en régimen permanente y que al girar crea una depresión en el rodete penetrando el fluido en el interior de la bomba.

88

Sea C1 la velocidad absoluta de una partícula de fluido a la entrada de un álabe (punto 1 en la fig.). El rodete accionado por el motor de la bomba gira a una velocidad n, rpm.

En el punto 1 el rodete tiene una velocidad periférica 60

11

nDu π=

Con relación al álabe el fluido se mueve con una velocidad w1 , llamada velocidad relativa a la entrada.

Las tres velocidades C1 , u1 , y w1 están relacionadas según la mecánica del movimiento relativo, por la ecuación vectorial:

11 ucw −=→

Suponemos que el álabe (o su tangente) tiene la dirección del vector w1, con lo que la partícula entra sin choque en el alabe

La partícula guiada por el álabe sale del rodete con una velocidad relativa a la salida w2

que será tangente al álabe en el punto 2. En el punto 2 el álabe tiene la velocidad periférica u2

luego222 wuC +=

→

99

Del teorema de la cantidad de movimiento se deduce el teorema del momento cinético o del momento de la cantidad de movimiento. En efecto de la Ecuación →→

Δ= vQF ρ

aplicada al hilo de corriente a que pertenece la partícula de fluido considerada, será:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∂=∂

→→

12 ccQF ρ

Tomando momentos con relación al eje de la máquina tendremos:

( )1122 clclQ −∂=∂ ρτ que es el teorema del momento cinético

Donde:momento resultante con relación al eje de la máquina de todas las fuerzas que el rodete ha ejercido sobre las partículas que integran el filamento de corriente considerado para hacerle variar su momento cinético;

τ∂

caudal del filamento;Q∂

brazos de momento de los vectores c2 y c1 , respectivamente 12 , ll

1010

Suponemos ahora que todas las partículas de fluido entran en el rodete a un diámetro D1 con la misma velocidad c1 y salen a un diámetro D2 con la velocidad C2 .

Esto equivale a suponer que todos los filamentos de corriente sufren la misma desviación, lo cual a su vez implica que el número de álabes es infinito para que el rodete guíe al fluido perfectamente.

Aplicando esta hipótesis llamada teoría unidimensional, o teoría del número infinito de álabes, al hacer la integral a la Ecuación anterior, el paréntesis del segundo miembro será constante, obteniéndose finalmente

( )1122 clclQ −= ρτ

Donde:τ: momento total comunicado al fluido o momento hidráulico;Q : caudal total de la bomba;

1111

pero, de la Fig. 2b, se deduce fácilmente que111 cosαrl =

222 cosαrl =

luego: ( )111222 coscos ααρτ crcrQ −=

Este momento multiplicado por ω

será igual a la potencia que el rodete comunica al fluido . Por tanto,

( )111222 coscos ααρωτω crcrQN −==

602 nπω =

donde:

Por otra parte, si llamarnos e a la energía específica intercambiada entre el rodete y el fluido, en nuestro caso la energía específica que el rodete de la bomba comunica al fluido, y G el caudal másico que atraviesa el rodete, se tendrá en el SI:

1212

donde He : altura equivalente a la energía intercambiada en el fluido:

igualando las dos expresiones de la potencia

( )111222 coscos ααρωρ crcrQeQ −=

Pero: r1 ω

= u1 r2 ω

= u2

c1 cos α1 = c1u c2 cos α2 = c2u

donde:c1u , c2u : proyecciones de c1 y c2 sobre u1 y u2 , o componentes periféricas de las velocidades absolutas a la entrada y a la salida de los álabes. 1313

Sustituyendo estos valores en la Ec. En la ecuación

uu cucue 1122 −=Sin embargo en el rodete existen dos pares iguales y de sentido contrario: el par comunicado al fluido y el par de reacción que el fluido ejerce sobre el ,rodete.

Las turbinas ,son máquinas motoras: el fluido imparte energía al rodete. Por eso al tratar de deducir la ecuación de Euler para las máquinas motoras se procedería análogamente; pero escribiendo el momento que el fluido ejerce sobre el rodete, con lo que el segundo miembro de la Ec. tendría los signos cambiados y lo mismo los segundos miembros .

Sin embargo en ambos casos e será la energía específica intercambiada entre el rodete y el fluido. Por tanto, para todas las turbomáquinas hidráulicas y térmicas; tanto motoras como generadoras, se tendrá :

1414

ECUACION DE EULER(Expresión energética)

( )uu cucue 2211 −±= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

2

sm

+ máquinas motoras - máquinas generadoras;

En las turbomáquinas hidráulicas se prefiere utilizar la ecuación de Euler en forma de altura. En las máquinas hidráulicas la altura es una variable de gran significado físico: altura bruta de un salto de agua, altura neta de una turbina hidráulica, altura de elevación de una bomba. etc, .

De la variable e se pasa a la variable H por la ecuación:

1515

Por tanto, dividiendo los dos términos de la Ec. por g se tendrá

ECUACION DE EULER(Expresión en alturas)

gcucuH uu 2211 −±=

Comentarios sobre la ecuación de euler:

Así como la ecuación de Bernoulli es la ecuación fundamental de la hidrodinámica, la ecuación de Euler es la ecuación fundamental de las turbomáquinas.

la altura He en las turbomáquinas hidráulicas se denomina también altura hidráulica

1616

OTRAS FORMAS DE EXPRESAR LA ECUACIÓN DE EULER

Del triangulo de entrada se deduce trigonometricamente que:

( )21

21

2111 2

1 wcucu u −+=

ucucucucuw 1121

21111

21

21

21 2cos2 ++=++= α

asimismo, del triangulo de salida se deduce que:

( )22

22

2222 2

1 wcucu u −+=1717

( )uu cucue 2211 −±=Remplazando en la ecuación

ECUACIÓN DE EULER( Expresión energética )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−+−±=222

22

21

21

22

22

21 ccwwuue ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

2

sm

asimismo dividiendo por g ambos miembros de la Ec. tendremos:

ECUACIÓN DE EULER( Expresión en alturas )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−+−=gcc

gww

guuH

222

22

21

21

22

22

21

1818

ALTURA DE PRESION Y ALTURA DINAMICA

Escribiendo la ecuación de Bernoulli entre la entrada y salida del rodete, punto 1 y 2 , sin tener en cuenta las pérdidas en el mismo, se tendrá:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−+

−±=

gcczz

gppHe 2

22

21

2121

ρ

Por otra parte, según la ecuación de Euler:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−+

−±=

gcc

gww

guuHe 222

22

21

21

22

22

21

Igualando las dos expresiones de He , se tendrá

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−gww

guuzz

gpp

22

21

22

22

21

2121

ρ1919

de las expresiones, se puede observar:

gcc

2

22

21 − representa la altura dinámica que da el fluido al rodete ( turbinas

hidráulicas) o el rodete al fluido (bombas y ventiladores).

=−+−=−−−21

2121

22

22

21

22zz

gpp

gww

guu

ρ•representa la energía proveniente de la variación de presión y posición

si despreciamos la diferencia de cotas podemos escribir

ALTURA DE PRESION DEL RODETE

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−±=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±=gww

guu

gppH p 22

21

22

22

2121

ρ

ALTURA DINAMICA DEL RODETE

gccHd 2

22

21 −±=

+ → turbinas- →

bombas

de esta forma se puede escribir. He = He. dinámica + He. presión

2020

Estudio del sistema para una turbomáquina generadora:

2121

EII

II

E ghfC

gZP

E −−++=2

2

ρ IISII

IIII

S ghfCgZPE −+++=2

2

ρ

ES EEe −=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++= −− EI

II

IIIS

IIII

II ghfC

gZP

ghfC

gZP

e22

22

ρρ

( ) EIIISIII

IIIIII ghfghfCCZZgPPe −− ++

−+−+

−=

2

22

ρ

( )2

22ES

ESES CC

ZZgPP

e−

+−+−

=ρ

Trabajo específico del sistema = Trabajo específico de la Turbomáquina

2222

Curva característica de una turbomáquina generadora

Curva característica de un sistema

2323

2424

Definimos el término Altura Dinámica Total como:

geH =

Las alturas dinámicas de la turbomáquina y del sistema quedan de la siguiente manera (para el caso de las generadoras):

( )gCC

ZZPP

H ESES

ES

2

22 −+−+

−=

γ Para la Turbomáquina

( ) ∑ −+−

+−+−

= IIIIII

IIIIII hf

gCCZZPPH

2

22

γPara el Sistema

2525

Para cualquier caso se desprecia C1 , la velocidad con que baja el nivel del agua es bastante despreciable, a menos que estemos hablando de un tanque de área transversal sumamente pequeño.

2626

Para la salida por encima del nivel (ZII ), la velocidad CII podría ser apreciable y hay que tomarla en cuenta para efectos de cálculo. Para salida por debajo del nivel (ZII

’), la velocidad CII es despreciable.

Ahora supongamos que el tanque I está abierto a la atmósfera, entonces:

IIATMmanoIIIIATMI PPPPP +=⎯→⎯= .manoIIIII PPP .=−⇒

Si ambos tanques están abiertos a la atmósfera:

III PP = Entonces ⇒ ∑ −+−= IIIIII hfZZH

Supongamos ahora que los tanques están a la misma altura (esto en la práctica puede ocurrir sólo momentáneamente):

III ZZ = Entonces ⇒ IIIhfH −=

2727

Sistema de una turbomáquina hidráulica motora:

2828

( )2

22SE

SESE CC

zzgPP

e−

+−+−

=ρ

EII

II

E ghfC

gZP

E −−++=2

2

ρ

IISII

IIII

S ghfCgZPE −+++=2

2

ρ

SE EEe −=

( ) EIIISIII

IIIIII ghfghf

CCZZg

PPe −− −−

−+−+

−=

2

22

ρ

2929