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ENTRENADOR PERSONALMIMI

¿Le gustaría una semana de cuatro días de trabajo?¿Un horario fl exible de semana de trabajo re-sulta en benefi cios positivos para empleador y empleado? Cuatro benefi cios obvios son (1) me-nos tiempo de viaje de posiciones de campo a la ofi cina, (2) menos empleados estacionados en el estacionamiento, (3) reducidos gastos de viaje y (4) permiso a empleados para tener otro día libre. Pero, ¿la semana de trabajo fl exible hace que los empleados sean más efi cientes y les hace tomar menos días por enfermedad o motivos persona-les? Las respuestas a algunas de estas preguntas se plantean en el caso práctico al fi nal de este ca-pítulo.

Inferencia a partir de muestras pequeñas

OBJETIVOS GENERALES

Los conceptos básicos de estimación estadística de muestra grande y prueba de hipótesis, para situaciones prácticas que involucran medias y proporciones pobla-cionales, se introdujeron en los capítulos 8 y 9. Como todas estas técnicas se apoyan en el teorema del límite central para justifi car la normalidad de los estimadores y estadísticas de prueba, aplican sólo cuando las muestras son grandes. Este capítulo complementa las técnicas de muestra grande al presentar pruebas de muestra pequeña e intervalos de confi anza para medias y varianzas poblacionales. A diferencia de sus similares de muestras grandes, estas técnicas de muestra pequeña requieren que las poblaciones muestreadas sean normales o que aproximadamente lo sean.

ÍNDICE DEL CAPÍTULO

● Comparación de dos varianzas poblacionales (10.7)

● Inferencias respecto a varianza poblacional (10.6)

● Prueba de diferencia pareada: muestras dependientes (10.5)

● Suposiciones de muestra pequeña (10.8)

● Inferencias de muestra pequeña respecto a la diferen-cia en dos medias: muestras aleatorias independien-tes (10.4)

● Inferencias de muestra pequeña respecto a una media poblacional (10.3)

● Distribución t de Student (10.2)

¿Cómo decido cuál prueba usar?

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10

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10.2 DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT ❍ 387

INTRODUCCIÓN

Supongamos que usted necesita correr un experimento para estimar una media pobla-cional o la diferencia entre dos medias. El proceso de recolectar los datos puede ser muy costoso o lento. Si no se puede recolectar una muestra grande, los procedimientos de estimación y prueba de los capítulos 8 y 9 no sirven.

Este capítulo introduce algunos procedimientos estadísticos equivalentes que se pue-den usar cuando el tamaño muestral es pequeño. Los procedimientos de estimación y prueba comprenden estos parámetros ya conocidos:

• Una sola media poblacional, m• La diferencia entre dos medias poblacionales, (m1 Ϫ m2)

• Una sola varianza poblacional, s 2

• La comparación de dos varianzas poblacionales, s 21 y s 2

2

Las pruebas e intervalos de confianza de muestra pequeña para proporciones binomiales se omitirán para nuestro análisis.†

DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT

Al efectuar un experimento para evaluar un proceso nuevo pero muy costoso para producir diamantes sintéticos, usted puede estudiar sólo seis diamantes generados por el proceso. ¿Cómo puede usar estas seis mediciones para hacer inferencias acerca del peso promedio m de diamantes a partir de este proceso?

Al estudiar la distribución muestral de xෆ en el capítulo 7, hicimos estos puntos:

• Cuando la población original muestreada sea normal, xෆ y z ϭ (xෆ Ϫ m)/(s/ ͙__

n ) tienen distribuciones normales, para cualquier tamaño muestral.

• Cuando la población muestreada no sea normal, xෆ, z ϭ (xෆ Ϫ m)/(s/ ͙__

n ), y z Ϸ ( xෆ Ϫ m)/(s/ ͙

__ n ) tienen distribuciones aproximadamente iguales, si el tamaño

muestral es grande.

Desafortunadamente, cuando el tamaño muestral n sea pequeño, el estadístico (xෆ Ϫ m)/(s/ ͙

__ n ) no tiene una distribución normal. Por tanto, todos los valores críticos de z que

utilizamos en los capítulos 8 y 9 ya no son correctos. Por ejemplo, no se puede decir que xෆ se encontrará a no más de 1.96 errores estándar de m 95% del tiempo.

Este problema no es nuevo; fue estudiado por expertos en estadística y experimen-tadores a principios del siglo xx. Para hallar la distribución muestral de esta estadística, hay dos formas de proceder:

• Use un método empírico. Saque repetidas muestras y calcule (xෆ Ϫ m)/(s/ ͙__

n ) para cada muestra. La distribución relativa de frecuencia que usted construya usando estos valores aproximarán la forma y ubicación de la distribución muestral.

• Use un método matemático para deducir la función real de densidad o curva que describa la distribución muestral.

10.1

10.2

Cuando n Ͻ 30, el teorema del límite central no garantiza que xෆ Ϫ m______ s/ ͙

__ n

sea aproximadamente normal.

CONSEJOMIMI

†Una prueba de muestra pequeña para el parámetro binomial p se presentará en el capítulo 15.




388 ❍ CAPÍTULO 10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS

Este segundo método fue utilizado por un inglés llamado W.S. Gosset en 1908. Él dedujo una complicada fórmula para la función de densidad de

t ϭ xෆ Ϫ m______ s/ ͙

__ n

para muestras aleatorias de tamaño n desde una población normal y publicó sus resul-tados bajo el nombre de “Student”. Desde entonces, la estadística se conoce como t de Student. Tiene las siguientes características:

• Tiene forma de montículo y es simétrica alrededor de t ϭ 0, igual que z.

• Es más variable que z, con “colas más pesadas”; esto es, la curva t no aproxima al eje horizontal con la misma rapidez que z. Esto es porque el estadístico t abarca dos cantidades aleatorias, xෆ y s, en tanto que el estadístico z tiene sólo la media muestral, xෆ. Se puede ver este fenómeno en la fi gura 10.1.

• La forma de la distribución t depende del tamaño muestral n. A medida que n au-menta, la variabilidad de t disminuye porque la estimación s de s está basada en más y más información. En última instancia, cuando n sea infi nitamente grande, las distribuciones t y z son idénticas.

El divisor (n Ϫ 1) en la fórmula para la varianza muestral s2 se denomina número de grados de libertad (df ) asociados con s2. Determina la forma de la distribución t. El origen del término grados de libertad es teórico y se refiere al número de desviaciones independientes elevadas al cuadrado en s2 existentes para estimar s 2. Estos grados de libertad pueden cambiar para diferentes aplicaciones y, como especifican la distribución t correcta a usar, es necesario recordar que hay que calcular los grados de libertad correc-tos para cada aplicación.

La tabla de probabilidades para la distribución z normal estándar ya no es útil para calcular valores críticos o valores p para el estadístico p. En lugar de ello, se usará la tabla 4 del apéndice I que se reproduce parcialmente en la tabla 10.1. Al indizar un número particular de grados de libertad, la tabla registra ta, un valor de t que tiene área a de cola a su derecha, como se ve en la figura 10.2.

0

Distribución normal

Distribución t

FIGURA 10.1

Estándar normal z y la distribución t con 5 grados de libertad

●

0 t

a

f(t)

ta

FIGURA 10.2

Valores tabulados de la t de Student

●

Para una t de una muestra, df � n Ϫ 1.

CONSEJOMIMI




10.2 DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT ❍ 389

Para una distribución t con 5 grados de libertad, el valor de t que tiene área .05 a su derecha se encuentra en la fi la 5 en la columna marcada t.050. Para esta distribución t particular, el área a la derecha de t ϭ 2.015 es .05; sólo 5% de todos los valores de la estadística t rebasarán este valor.

TABLA 10.1 ●

Formato de la tabla t de Student tomado de la tabla 4 del apéndice I

df t.100 t.050 t.025 t.010 t.005 df

1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 1 2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 2 3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 3 4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 4 5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5 6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 6 7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 7 8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 8 9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 2627 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 2728 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 2829 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 29inf. 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 inf.

E J E M P L O 10.1

APPLETMIMI

Se puede usar el applet Student’s t Probabilities (Probabilidades t de Student) para hallar el valor t descrito en el ejemplo 10.1. El primer applet, que aparece en la figura 10.3, da valores t y sus probabilidades de dos colas, en tanto que el segundo applet da valores t y probabilidades de una cola. Use el cursor de la derecha del applet para seleccionar los grados de libertad apropiados. Para el ejemplo 10.1, debe selec-cionar df ϭ 5 y teclear .10 en la caja marcada “prob:” en la parte inferior del primer applet. El applet dará el valor de t que ponga .05 en una cola de la distribución t. El segundo applet mostrará la t idéntica para un área de .05 de una cola. El applet de la figura 10.3 muestra t ϭ 2.02 que es correcta a dos lugares decimales. Usaremos este applet para los ejercicios de Mi Applet al final del capítulo.

FIGURA 10.3

Applet Student’s t Probabilities

●




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