trigonometria - xtec.cat · 2 continguts angles i la seva mesura, 3 • definició d’angle i...
TRANSCRIPT
TRIGONOMETRIA
2
CONTINGUTS Angles i la seva mesura, 3
• Definició d’angle i altres conceptes bàsics, 3 • Mesura d’angles, 9 • Determinació principal d’un angle, 12
Triangles, 14
• Definició de triangle, 14 • Propietats dels costats i angles d’un triangle, 14 • Línies i punts notables d’un triangle, 16 • Igualtat de triangles, 18 • Teorema de Tales, 18 • Semblança de triangles, 20 • Estudi dels triangles rectangles, 23
Raons trigonomètriques, 27
• Raons trigonomètriques d’un angle agut, 29 • Raons trigonomètriques d’un angle qualsevol, 31 • Relació entre les raons trigonomètriques d’un mateix angle, 40 • Raons trigonomètriques d’angles associats, 41
Fórmules trigonomètriques, 45
• Fórmules d’addició d’angles, 45 • Raons trigonomètriques de l’angle doble d’un de donat, 47 • Raons trigonomètriques de l’angle meitat d’un de donat, 48 • Equacions trigonomètriques, 50
Resolució de triangles, 52
• Resolució gràfica de triangles, 52 • Teorema del sinus, 56 • Teorema del cosinus, 57 • Resolució numèrica de triangles, 59 • Aplicació de la resolució de triangles a problemes pràctics, 60
3
Angles i la seva mesura Dues semirectes, OA i OB, amb origen comú O, divideixen el pla en dues regions. Cada una d’aquestes regions rep el nom d’angle. De la definició donada es dedueix immediatament que dues semirectes amb origen comú determinen dos angles en el pla. Per tal d’assenyalar quin és el que ens interessa, el marcarem sempre amb un arc de circumferència entre els dos costats. angle AOB Si es considera una de les semirectes com a origen de l’angle, podem establir el concepte d’orientació. Direm que un angle està orientat positivament si en passar de la semirecta origen a l’altra ( sempre per sobre de l’angle ) ho fem en sentit contrari al moviment de les busques d’un rellotge. En cas contrari, l’angle està orientat negativament. origen OA
costats (semirectes OA i OB )
O
B
A vèrtex ( origen comú de les semirectes )
O A
B
O A
B
angle positiu O
A
Bangle negatiu
O A
B
4
Exercici 1.- En els angles de les figures següents, assenyaleu-hi quina és la orientació, considerant que la semirecta origen és en cada cas la que s’indica. D’aquí en endavant, quan fem referència a un angle, ho indicarem mitjançant una sola lletra. Exercici 2.- Construcció d’un angle igual a un altre donat. A partir de la seqüència dels dibuixos, intenteu reproduir el procés de construcció. Heu d’utilitzar regle i compàs.
A B
origen OB
O
B O
B
origen OB
O
C
origen OC O
C
origen OC O
D
origen OD
A angle A
5
A B
A B
A B
A = B Per a comparar dos angles, es fan coincidir els vèrtexs i els costats origen dels angles. Ens podem trobar amb tres situacions. Exercici 3.- A quines situacions fa referència el paràgraf anterior ? Segons la posició dels costats, els angles reben noms diferents. Angle nul: els dos costats coincideixen Angle recte: la prolongació de les semirectes divideix el pla en quatre angles iguals.
A
6
Angle pla: els seus costats són dos semirectes d’una mateixa recta Angle complet: els dos costats coincideixen, abastant l’angle tot el pla. Angle agut: tot angle més petit que un angle recte. Angle obtús: tot angle major que un angle recte. Per sumar dos angles, es fa coincidir el vèrtex i el costat origen del segon amb el vèrtex i el costat extrem del primer. L’angle suma és aquell que té per origen, l’origen del primer i per extrem, l’extrem del segon.
En aquest cas diem que els costats són perpendiculars
A
A
A
A
A
7
Exercici 4.- Sumeu aquests dos angles, situant l’angle suma sobre la semirecta dibuixada. Angles complementaris: aquells angles la suma dels quals és un angle recte. Angles suplementaris: aquells angles la suma dels quals és un angle pla. Ja hem vist que dos angles són iguals quan coincideixen per superposició. Ara bé, hi ha altres situacions geomètriques que sempre determinen angles iguals. Veieu-ne quatre: 1) Intersecció de dues rectes
BC
AD
2) Dues rectes paral·leles tallades per una secant, queden determinats 8 angles.
AB
C DEF
GH
A, B, G i H reben el nom d’externs C, D, F i E reben el nom d’interns
A B
A i B A = B oposats pel vèrtex i són iguals C i D C = D
8
A i E A = E B i F corresponents i són iguals B = F C i G C = G D i H D = H C i E alterns interns i són iguals C = E D i F D = F A i G alterns externs i són iguals A = G B i H B = H 3) Dos angles aguts de costats paral·lels són iguals A = B 4) Dos angles aguts de costats respectivament perpendiculars són iguals A = B Exercici 5.- Agrupeu els angles de la figura segons els següents criteris: a) angles iguals
A
B
A
B
9
b) angles complementaris c) angles suplementaris
A
B
D
C
E
F
HG
I J
KL
Tot procés de mesura consisteix, com ja sabeu, en la comparació amb una unitat. Per a mesurar angles caldrà fixar prèviament la unitat de mesura. En aquest curs farem servir fonamentalment dos sistemes d’unitats per a la mesura d’angles. Graus sexagesimals: S’estableix la unitat assignant a l’angle complet el valor de 360 graus sexagesimals ( 360º ). Radiants: Es defineix radiant aquell angle tal que la longitud de l’arc que abraça és igual al radi amb què ha estat traçat. En la pràctica, la definició anterior es tradueix en el fet que per a calcular la mesura d’un angle en radiants cal dividir la longitud de l’arc per la longitud del radi amb el qual s’ha traçat l’arc.
nombre de radiants =longitud de l' arc
loongitud del radi
Exercici 6.- Transformeu en graus el angles
10
a) 150 ′ 7 3 ′ ′ 0 b) 1300 25′ 55' 2′′
c) 650 40′ 48′′ d) 2800 21′
Exercici 7.- Transformeu en graus, minuts i segons els angles següents
a) 146' 2430 b) 36' 0040
c) 15' 340 d) 87' 65560
Exercici 8.- Efectueu les operacions següents
a) 270 4′ 32′′ + 350 43′ 50′′
b) 1320 32′ 23′′ − 890 47′ 53′′
c) 3 ⋅ 430 15′ 32′′
d) 3530 35′ 29′′ ÷ 7
Exercici 9.- Calculeu el suplementari de l’angle 790 30′ 12′′ Exercici 10.- Calculeu el complementari de l’angle 350 25′ Exercici 11.- Amb l’ajuda del transportador d’angles, doneu la mesura aproximada en graus sexagesimals dels angles següents: Exercici 12.- Construïu angles de 350, 1250, 2200 i 3300
Exercici 13.- Calculeu el valor de l’angle A en cadascuna de les figures següents:
B
A
C
11
130º
A
45º 60ºA
32º
A
22º
A40º20º
Exercici 14.- Calculeu els angles A, B, C i D
70º
A
D C
B
50º
A B
32º
Tenint en compte que un angle pla fa 180º o π rad, podrem passar de graus a radiants, o de radiants a graus, utilitzant la fórmula:
angle en radiantsangle en gra us
=π
180
Exercici 15.- Expresseu en radiants els angles: a) 30º b) 120º c) 270º d) 90º e) 150º f) 330º Exercici 16.- Expresseu en graus, minuts i segons els angles de:
12
a) 1 rad b)
3π2
rad c) 7π18
rad
d) 23
rad e) π12
rad f ) π7
rad
Exercici 17.- Ordeneu del més gran al més petit els angles següents: 1230 ,
3π4
rad , 23
d' un angle recte , 2,15 rad
Determinades situacions físiques poden fer pensar en angles de mesura superior a 360º ( o bé superiors a 2π radiants ), que no corresponen a un angle en sentit geomètric, perquè l’angle complet fa 360º. Aquestes situacions es troben quan es pensa que s’han fet girs complets entorn d’un origen. Per tal de representar aquests angles majors que 360º, els associem l’angle comprès entre 0º i 360º que s’obté de restar tantes vegades com es pugui 360º a l’angle donat. Aquest angle s’anomena la determinació principal de l’angle donat. Exercici 18.- Busqueu la determinació principal dels angles següents:
a ) 1000 0 b) 375 0 c ) 131 π rad
d ) − 4441 0 e ) 2013 0 f ) 77 π
3 rad
Exercici 19.- Quina és la longitud d’un arc de circumferència de 120º d’amplitud si el radi de la circumferència és de 23 cm ? Exercici 20.- Sabent que en una circumferència un arc de 75º d’amplitud fa 24 cm, calculeu el seu radi. Exercici 21.- Un rellotge assenyala les 12 en punt. Després de 30 minuts, quin angle, mesurat en radiants, formen les agulles de les hores i dels minuts ? Exercici 22.- Aquí teniu l’esquema del traçat d’una carretera que uneix dos pobles A i B. A partir de les dades que es donen, quants quilòmetres
13
haurem de recórrer per anar del poble A al poble B. Si portem una velocitat mitjana de 60 Km/h, quant trigarem ?
A40 km
170º
15 km
120ºB
Exercici 23.- Trobeu els angles ( en graus i en radiants ) que s’obtenen al girar: a) quatre terços de volta en sentit positiu. b) dues voltes i un quart en sentit negatiu. Exercici 24.- El pèndol d’un rellotge fa 0’6 m i oscil·la al llarg d’un arc de 20 cm. Trobeu l’angle central. Exercici 25.- Quant triga la Terra en girar, sobre si mateixa, un angle de: a) 120º b) 7π
3rad
Exercici 26.- Un cotxe va a 120 km/h i el radi de les seves rodes és de 30 cm. Trobeu: a) el nombre de voltes per minut a què giren les rodes. b) la velocitat angular de les rodes en radiants per minut. Exercici 27.- Mercuri triga en donar una volta complerta sobre sí mateix 58’6 dies aproximadament. Quin angle gira en un dia ? i en una hora ? Triangles
14
Donats tres punts no alineats, la figura tancada que resulta quan s’uneixen aquests tres punts entre si mitjançant segments s’anomena triangle.
A
B
C
ac
b
Tot triangle té sis elements: tres angles i tres costats. En tot triangle: • la suma dels angles és un angle pla. • l’angle més gran és l’oposat al costat més llarg i l’angle més petit és l’oposat al costat més curt. • la suma de les longituds de dos costats és sempre més gran que la longitud de l’altre costat. • l’angle exterior que es forma amb un costat i la prolongació de l’altre és igual a la suma dels altres dos angles interiors.
A
ac
D
D = A + B
Exercici 28.- En els triangles següents, calculeu el valor de l’angle desconegut:
A B C 50º 72º 84º 74º
3º 15’ 137º 42’ 73º 17’’ 46º 12’ 15’’
Exercici 29.- Calculeu els angles P, Q i R
15
37º 20'
Q
15º 50'
P
50º
70º
80º
P
30º
80º
RP
Q
120º40º
Els triangles es poden classificar segons els angles en:
• triangle acutangle: és el triangle que té tots els angles aguts. • triangle obtusangle: és el triangle que té un dels angles obtús. • triangle rectangle: és el triangle que té un angle recte. En els
triangles rectangles, el costat oposat a l’angle recte, s’anomena hipotenusa i els altres dos costats, catets. Si classifiquem els triangles segons els costats, tenim:
• triangle escalè: és el triangle amb tres costats de diferent longitud. • triangle isòsceles: és el triangle que té dos costats iguals. • triangle equilàter: és el triangle que té els tres costats iguals.
Hi ha una sèrie de punts i rectes, anomenats notables, que cal conèixer.
P
16
Les mediatrius d’un triangle són les rectes perpendiculars a cada costat en el seu punt mitjà. Les mediatrius dels tres costats es tallen en un únic punt anomenat circumcentre del triangle. És el centre de la circumferència circumscrita al triangle. Les altures d’un triangle són les rectes que passen pels vèrtexs i són perpendiculars al costat oposat. Les tres altures del triangle es tallen en un únic punt anomenat ortocentre del triangle. Les mitjanes d’un triangle són les rectes que passen pels vèrtexs i pel punt mitjà del costat oposat. Les tres mitjanes del triangle es tallen en un únic punt anomenat baricentre del triangle. Les bisectrius són les rectes que divideixen els angles del triangle en dues parts iguals. Les tres bisectrius es tallen en un únic punt anomenat incentre del triangle. L’incentre és el centre de la circumferència inscrita al triangle. Exercici 30.- Per cada un dels triangles següents, dibuixeu les línies i punts notables que es demanen en cada cas: les altures i l’ortocentre les mitjanes i el baricentre
17
les mediatrius, el circumcentre i la circumferència circumscrita les bisectrius, l’incentre i la circumferència inscrita Direm que dos triangles són iguals, si en superposar-los, coincideixen perfectament. La igualtat de dos triangles es tradueix en la igualtat dels angles i dels costats respectius.
18
No sempre serà necessari comprovar les sis igualtats, es presentaran situacions en les quals amb tres condicions ja podrem assegurar que els triangles són iguals. Aquestes situacions venen resumides en els criteris d’igualtat de triangles:
• és suficient comprovar que un costat i dos angles són iguals que els seus corresponents de l’altre triangle.
• és suficient comprovar que dos costats i l’angle comprès entre ells són iguals que els seus corresponents de l’altre triangle.
• és suficient comprovar que els tres costats són iguals que els seus corresponents de l’altre triangle. Teorema de Tales. Si dues o més rectes paral·leles tallen dues rectes r i r’, els segments que determinen els punts d’intersecció amb r i els corresponents amb r’ resulten proporcionals.
ABAC
=A' B'A' C'
iABBC
=A' B'B' C'
Exercici 31.- Amida els segments corresponents en la figura i comprova que AB
AC=
A' B'A' C'
Exercici 32.- Amida els segments corresponents en la figura i comprova que AB
BC=
AB'B' C'
A
B B’
r r’
A
B
C
A’
B’
C’
A
B
C
A’
B’
C’
19
Exercici 33.- Fixeu-vos en la figura de l’esquerra. Si desplacem el triangle OAA’ sobre la recta r fins la posició que assenyala la figura de la dreta, comproveu que OA
OB=
AA'BB'
.
Exercici 34.- Fixeu-vos en la figura de l’esquerra. Si desplacem el triangle OAA’ sobre la recta r’ fins la posició que assenyala la figura de la dreta, comproveu que OA'
OB'=
AA'BB'
.
Exercici 35.- Sigui un triangle ABC de costats BC = 9 cm, CA = 7 cm i BA = 6 cm. Sobre BC prenem un punt M tal que CM = x. Expresseu en funció de x el perímetre del trapezi MNAB.
O
A A’
B B’
r r’
O
A A’
B B’
r r’
O
A A’
B
C
B’
r r’
O
A A’
B B’ r r’
20
Exercici 36.- Trobeu la longitud dels segments que s’indiquen en les figures següents: Semblança de triangles S’anomenen triangles semblants els que tenen els angles corresponents iguals i els costats corresponents proporcionals.
A = A’ B = B’ C = C’ aa'
=bb'
=cc'
Ens cal saber quines són les condicions mínimes que ens permeten garantir que dos triangles són semblants. Tals condicions són resumides en els criteris de semblança de triangles: Criteri 1. Dos triangles són semblants si tenen dos parells d’angles iguals.
M N
B A
x 5 6
2
20
15 x 40
10
8
5
x
A
B
C
a
b
c
A’ b’
B’
a’ c’
C’
21
Criteri 2. Dos triangles són semblants si tenen dos parells de costats proporcionals i els angles compresos iguals. Criteri 3. Dos triangles són semblants si tenen els tres parells de costats proporcionals. En els triangles semblants s’anomena raó de semblança ( k ), els quocient o raó constant entre les longituds dels costats.
aa'
=bb'
=cc'
= k
En els triangles semblants:
• la raó dels perímetres és igual a la raó de semblança.
perímetre ABCperímetre A' B' C'
= k
• la raó de les àrees és igual al quadrat de la raó de semblança.
àrea ABC
àrea A' B' C'= k2
Exercici 37.- Si a cada costat d’un triangle li sumem dues unitats, s’obté un triangle semblant ? Exercici 38.- Els dos triangles de la figura són semblants, determineu la longitud del costat a’. Exercici 39.- Observeu la figura. Si suposem que AB és paral·lel a DE, demostreu que els triangles ABC i ECD són semblants.
B
A
C E
D
A
B
C A’
B’
C’ 15 cm
6 cm
12 cm
22
Exercici 40.- Determineu si són semblants els parells de triangles següents:
Exercici 41.- El triangle de la figura és isòsceles amb AB = AC. BE és la bisectriu de l’angle B i CD la bisectriu de l’angle C. Demostreu que els triangles BCE i CDB són semblants i que també ho són ABE i ADC. Exercici 42.- Els costats d’un triangle valen a = 9 cm, b = 6 cm i c = 5 cm. Calculeu les mides del triangle semblant a aquest que té per perímetre 10 cm. Exercici 43.- Sabent que la raó dels perímetres dels dos triangles semblants de la figura és 3
4, determineu la longitud del costat b.
b
A
b’= 8 cm
D E
B C
23
Exercici 44.- Els costats d’un triangle són 15 cm, 25 cm i 35 cm. El costat més petit d’un triangle semblant fa 10 cm. Quina és la raó de les àrees dels dos triangles ? Quines són les longituds dels altres dos costats del triangle ? Exercici 45.- En el paral·lelogram ABCD situem un punt P en el costat AB de manera que AP = 2 PB. Les rectes BD i PC es tallen en un punt O. Comproveu que els triangles PBO i CDO són semblants i després calculeu la raó de semblança. Exercici 46.- Dividiu un triangle qualsevol en 4 triangles iguals entre si i semblants al triangle donat. Estudi dels triangles rectangles L’altura relativa a la hipotenusa en un triangle rectangle determina dos triangles semblants al primer i semblants entre ells.
D
A
B C
c b
p q
a
A
B C
D
O P
24
Els triangles ABC, ABD i ADC són semblants per ser rectangles i tenir un angle agut igual. Teorema de l’altura. El quadrat de l’altura relativa a la hipotenusa en un triangle rectangle és el producte de les projeccions dels catets sobre la hipotenusa. És a dir:
AD2 = BD ⋅ DC Teorema del catet. El quadrat d’un catet en un triangle rectangle és el producte de la hipotenusa per la projecció del catet sobre la hipotenusa.
AB2 = BC ⋅ BD AC2 = BC ⋅ DC Teorema de Pitàgoras. En tot triangle rectangle, el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets. a2 = b 2 + c2 Exercici 47.- Indiqueu en quin cas aquests tres números poden representar les longituds dels costats d’un triangle: a) 3, 5, 7 b) 1, 3 , 2 c) 3, 4, 5 d) 3 11, 11, 5 11 Exercici 48.- Completeu les següents llistes de números perquè els dos primers elements representin les longituds dels catets d’un triangle rectangle i el tercer la hipotenusa. a) 5, __ , 13 b) 6, 8, __ c) __, 10, 12 d) 6 , __, 2 3
C
A B
a
c
b
25
Exercici 49.- Es vol construir un celler per emmagatzemar bótes de vi de la forma com s’indica en el dibuix. Si d és el diàmetre de les bótes. Quina ha de ser l’altura del celler ? Exercici 50.- Calculeu l’altura d’una piràmide de base quadrada de 5 m de costat i 10 m d’aresta lateral. Exercici 51.- En un dia de sol es pot trobar l’altura d’un edifici, un arbre o qualsevol monument, fent servir la seva ombra i un bastó. Situeu el bastó en posició vertical, de manera que l’extrem de la seva ombra coincideixi amb l’ombra de l’objecte a mesurar. Sembla ser que el llegendari Tales va utilitzar aquest procediment per mesurar l’altura d’una piràmide. Expliqueu el dibuix. Exercici 52.- També podeu calcular la profunditat d’un pou. Col·loqueu un regle en posició horitzontal a certa distància per sota del vostre cap. Mireu el fons del pou al costat oposat i fixeu-vos en el punt del regle on s’interseca la visual. Expliqueu el dibuix de la figura.
26
Exercici 53.- Mesurem l’amplada d’un llac. Fixeu-vos en dos punts oposats A i B de la vora del llac. Un amic es situa en la visual a A i camina paral·lelament a la línia AB, fins arribar a la visual a B. Interpreteu el dibuix i expliqueu com mesuraríeu l’amplada del llac. Exercici 54.- La figura vol representar el teorema de Pitàgoras repetit fins l’infinit. Suposem que el quadrat gran té un costat d’una unitat. Quina és l’expressió que ens dóna la longitud del costat del quadrat enèsim ? Raons trigonomètriques Fins ara, entre els elements d’un triangle hem vist relacions que, o bé es refereixen als angles, o bé als costats. Així, per exemple:
• la suma dels angles interiors d’un triangle és igual a un angle pla ( relació entre angles ).
• en tot triangle, un costat qualsevol és menor que la suma dels altres dos ( relació entre els costats ).
A
B
27
• en tot triangle rectangle, el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets ( relació entre costats ). Ara ens proposem obtenir fórmules que relacionin costats amb angles. Sigui α un angle agut. Construïm triangles rectangles de manera que un dels angles aguts coincideixi amb α .
αO
N
M P
Q
S
R
Els triangles OMN, OPQ i ORS són semblants i podem establir les relacions
MNPQ
=ONOQ
i MNRS
=ONOS
que es poden escriure de la forma
MNON
=PQOQ
i MNON
=RSOS
per tant
MNON
=PQOQ
=RSOS
Les raons indicades són sempre iguals, només depenen de l’angle α . Definim sinus d’un angle agut, com la raó entre el catet oposat i la hipotenusa de qualsevol triangle rectangle construït sobre aquest angle agut.
sin α =
MNON
=PQOQ
=RSOS
= L
28
Del dibuix, tenim també les relacions
OMOP
=ONOQ
i OMOR
=ONOS
que es poden escriure de la forma
OMON
=OPOQ
i OMON
=OROS
per tant
OMON
=OPOQ
=OROS
Les raons indicades són sempre iguals, només depenen de l’angle α . Definim cosinus d’un angle agut, com la raó entre el catet contigu i la hipotenusa de qualsevol triangle rectangle construït sobre aquest angle agut.
cos α =
OMON
=OPOQ
=OROS
= L
De la mateixa manera es podrien deduir les relacions
MNOM
=PQOP
=RSOR
Definim tangent d’un angle agut, com la raó entre el catet oposat i el catet contigu de qualsevol triangle rectangle construït sobre aquest angle agut.
tg α =
MNOM
=PQOP
=RSOR
=L
L’invers de sin α s’anomena cosecant de α :
cosec α =1
sin α
L’invers de cos α s’anomena secant de α :
sec α =1
cos α
29
L’invers de tg α s’anomena cotangent de α :
cot α =1
tg α
El sinus, cosinus, tangent, cosecant, secant i cotangent són les raons trigonomètriques d’un angle α . Exercici 55.- Servint-vos de la calculadora, doneu el valor de les raons trigonomètriques següents: a) sin 74º b) cos 65º c) tg 27º 33’ d) cosec 23º 42’’ e) cot 3π
7 f) sec π
5
Exercici 56.- Amb l’ajuda de la calculadora, doneu el valor de l’angle agut tal que tingui la raó trigonomètrica que s’indica a) cos α = 0’8921 b) tg β = 3’45 c) sin α = 0’3435 d) tg α = 1’3459 e) cot β = 0’55 f) sec α = 1’23 Exercici 57.- Amb l’ajuda d’un regle graduat, comproveu que els quocients que s’indiquen tenen sensiblement el mateix valor
OMON
=OPOQ
=OROS
30
α
O
N
M P
Q
S
R
a) de quina raó trigonomètrica es tracta ? b) amb l’ajuda de la calculadora, doneu el valor de l’angle agut tal que
tingui la raó trigonomètrica anterior. c) comproveu amb el transportador d’angles que l’angle trobat en
l’apartat anterior correspon aproximadament. Exercici 58.- En els triangles rectangles següents, calculeu la raó trigonomètrica que s’indica i, amb ajuda de la calculadora, el valor de l’angle agut corresponent.
cosec C
C
8
5
B
6
5cos B
5
4cot C
B8
3
tg B
4
15C
sin C
C
31
Fins ara hem parlat de raons trigonomètriques d’un angle agut. Ampliarem la idea de raó trigonomètrica per a angles de qualsevol mida. Considerem una circumferència de radi u centrada en els eixos de coordenades. Si situem un angle α de forma que el seu vèrtex coincideixi amb l’origen de coordenades O, i un costat de l’angle amb l’eix d’abscisses, l’altre costat tallarà la circumferència en un punt P de coordenades (x, y).
Si tracem per P un segment perpendicular a l’eix d’abscisses fins el punt M, tenim
sinα =MPOP
= MP = y
cosα =OMOP
= OM = x
fixeu-vos que el sinus coincideix amb la longitud del segment MP i amb l’ordenada del punt P. El cosinus coincideix amb la longitud del segment OM i amb l’abscissa del punt P. Si tracem per N el segment perpendicular a l’eix d’abscisses fins tallar el costat de l’angle en el punt Q, tenim
tgα =MPOM
=NQON
= NQ
tgα =MPOM
=yx
32
La tangent coincideix amb la longitud del segment NQ i amb el quocient entre l’ordenada i l’abscissa del punt P. Els segments MP, OM i NQ reben el nom de línies trigonomètriques. Si anem canviant l’angle, també va canviant la longitud de les línies trigonomètriques, la qual es pot escriure en funció de les coordenades (x, y) del punt P.
angle = 0º coordenades punt P x = 1 y = 0 raons trigonomètriques sin 0º = 0 cos 0º = 1 tg 0º = 0
angle = 30º coordenades punt P x = 0’866025 y = 0’5 raons trigonomètriques sin 30º = 0’5 cos 30º = 0’866025 tg 30º = 0’57735
33
angle 90º angle 120º
angle = 60º coordenades punt P x = 0’5 y = 0’866025 raons trigonomètriques sin 60º = 0’866025 cos 60º = 0’5 tg 60º = 1’732051
angle = 150º coordenades punt P x = - 0’866025 y = 0’5 raons trigonomètriques sin 150º = 0’5 cos 150º = - 0’866025 tg 150º = - 0’57735
34
angle 180º angle 210º
angle 240º angle 270º
angle = 300º coordenades punt P x = 0’5 y = - 0’866025 raons trigonomètriques sin 300º = - 0’866025 cos 300º = 0’5 tg 300º = - 1’732051
35
angle 330º angle 360º Anem ara a deduir les línies trigonomètriques corresponents a les raons cosecant, secant i cotangent d’un angle qualsevol.
De les definicions i del gràfic anterior, deduïm:
yxBR
OBBR
MPOM
xOS
OPOS
OMOP
yOT
OPOT
MPOP
sinec
=====
=====
=====
αα
αα
αα
tg1cot
1cos
1sec
11cos
36
Fixeu-vos com aquestes raons es poden expressar en funció de les coordenades del punt P. Observeu com van canviant les línies trigonomètriques segons els diferents quadrants.
angle 0º angle 30º
angle 60º angle 90º
angle 120º angle 150º
37
angle 180º angle 210
angle 240º angle 270º
angle 300º angle 330º
38
angle 360º Tot el que s’ha anat comentant, ho podem resumir en les següents taules: Raons trigonomètriques per als angles més corrents
graus radiants sinus cosinus tangent 0º 0 0 1 0
90º π2
1 0 no existeix
180º π 0 -1 0 270º 3π
2 -1 0 no existeix
graus radiants cosecant secant cotangent
0º 0 no existeix 1 no existeix 90º π
2 1 no existeix 0
180º π no existeix -1 no existeix 270º 3π
2 -1 no existeix 0
Dintre del primer quadrant cal recordar
graus radiants sinus cosinus tangent 0º 0 0 1 0
30º π6
12
32
13
45º π4
22
22
1
60º π3
32
12
3
90º π2
1 0 no existeix
39
graus radiants cosecant secant cotangent
0º 0 no existeix
1 no existeix
30º π6
2 23
3
45º π4
2 2 1
60º π3
23
2 13
90º π2
1 no existeix 0
Signe de les raons trigonomètriques segons el quadrant
quadrant sinus cosinus tangent primer + + + segon + - - tercer - - + quart - + -
quadrant cosecant secant cotangent primer + + + segon + - - tercer - - + quart - + -
Anem ara a establir relacions entre les raons trigonomètriques d’un mateix angle. Sigui α un angle qualsevol, i (x, y) les coordenades del punt P (intersecció del costat de l’angle amb la circumferència de radi u).
40
Sabem que
sinα = ycosα = x
tgα = yx
si observem el triangle rectangle OMP, tenim, pel teorema de Pitàgoras, que
y2 + x2 = 1 substituint la y i la x, tenim
sin2α + cos2 α = 1 relació anomenada fórmula fonamental. Aquesta fórmula fonamental relaciona el sinus d’un angle amb el cosinus del mateix angle i, per tant, si un d’aquests dos valors és conegut, fàcilment podem deduir el valor de l’altre. Una altra relació entre les raons és la següent
tgα =yx
=sinαcosα
A partir de la fórmula fonamental podem deduir d’altres relacions. Si dividim cada membre de la igualtat de la fórmula fonamental per cos2 α , arribem a l’expressió
tg2 α +1 =1
cos2 α
Si, a partir de la fórmula fonamental, dividim els dos membres per sin2α , tenim
1 + cot2 α =1
sin2α
Exercici 59.- Amb l’ajuda de la calculadora, doneu el valor de dos angles més petits que 360º tals que tinguin la raó trigonomètrica que s’indica
a) cos α = 0,8921 b) sin β = − 0,345c) tg δ = − 3,45 d) cos α = − 0,3982e) sin β = 0,73 f ) tg δ = 1,75
41
Exercici 60.- Escriviu totes les raons trigonomètriques d’un angle del segon quadrant per al qual es compleixi que cos α = −
25
.
Exercici 61.- Escriviu totes les raons trigonomètriques d’un angle del tercer quadrant per al qual tg β = 8 . Exercici 62.- Representeu gràficament un angle α tal que sin α =
45
.
Exercici 63.- Dibuixeu dos angles diferents de sinus 3/4 i calculeu les altres raons trigonomètriques. S’anomenen angles associats aquells entre els quals hi ha una relació senzilla; per exemple, dos angles complementaris ( la suma dels dos és un angle recte ). Ara estudiarem la relació entre les raons trigonomètriques d’angles associats. Raons trigonomètriques d’angles oposats. A partir del gràfic, deduïm
sin(−α ) = −sinαcos(−α ) = cosαtg(−α) = − tgα
42
Dos angles oposats tenen:
• els sinus oposats • els cosinus iguals • les tangents oposades
Raons trigonomètriques d’angles suplementaris. A partir del gràfic, deduïm
Dos angles suplementaris tenen:
• els sinus iguals • els cosinus oposats • les tangents oposades
Raons trigonomètriques d’angles complementaris. A partir del gràfic, deduïm
sin(180 − α) = sinαcos(180 −α ) = −cosαtg(180 −α ) = − tgα
sin(90 − α) = cosαcos(90 −α ) = sinα
tg(90 − α ) = 1tgα
43
Dos angles complementaris tenen:
• el sinus d’un dels angles és igual al cosinus de l’altre • el cosinus d’un dels angles és igual al sinus de l’altre • les tangents, una és la inversa de l’altra
Raons trigonomètriques d’angles que difereixen en 180º. A partir del gràfic, deduïm
Dos angles que difereixen en 180º tenen:
• els sinus oposats • els cosinus oposats • les tangents iguals
Raons trigonomètriques d’angles que difereixen en 90º. A partir del gràfic, deduïm
sin(180 + α) = −sinαcos(180 + α) = −cosαtg(180 +α ) = tgα
sin(90 + α) = cosαcos(90 + α) = −sinα
tg(90 +α ) = − 1tgα
44
Dos angles que difereixen en 90º tenen:
• el sinus del major és igual al cosinus del menor • el cosinus del major és oposat al sinus del menor • les tangents, una és l’oposada de la inversa de l’altre
Exercici 64.- Si α és un angle del quart quadrant i tg α = −8, calculeu les raons trigonomètriques de −α i de α − 900 . Exercici 65.- Si α és un angle del segon quadrant i cos α =
−14
, completeu
la taula següent:
angle quadrant sinus cosinus tangent α 2n −
14
π2
− α
α + π
2π − α
Exercici 66.- Completeu la taula:
angle quadrant sinus cosinus tangent α 1r 4
−α
1800 + α
900 − α
45
Exercici 67.- Indiqueu a quin dels apartats següents hi ha algun error i el motiu que us fa pensar així: quadrant en el qual hi ha l’angleα a) sin α = −0.23 segonb) cos α = 1.2 primerc) tg α = 1.25 tercerd) tg α = 4.23 primer
e) sin α =15
,cos α =45
primer
f ) sin α =12
, cos α =3
2primer
g) sin α = 0.8 , cos α = 0.6 primerh) tg α = 4 quart
i) tg α = 1 , sin α =2
2primer
Fórmules trigonomètriques Les fórmules d’addició d’angles relacionen les raons trigonomètriques dels angles α - β i α + β amb les dels angles α i β. • Cosinus d’una diferència d’angles. cos ( α - β ) Siguin els angles MOP = β i MOE = α. Des de P, tracem els segments PE i PM perpendiculars a OE i OM, respectivament. Des de M, tracem MT, perpendicular a OE, i des de P, PH perpendicular a MT. Segons la figura tenim
cos ( α - β ) = OE = OT + TE com
OT = OM cos α i TE = HP = PM sin α llavors
46
cos ( α - β ) = OM cos α + PM sin α
ara
OM = cos β i PM = sin β per tant,
cos ( α - β ) = cos α cos β + sin α sin β • Cosinus d’una suma d’angles. cos ( α + β ) Tenint en compte que: α + β = α - ( - β ), deduïm cos ( α + β ) = cos ( α - ( - β )) = cos α cos ( - β ) + sin α sin ( - β ) = cos α cos β - sin α sin β de manera que
cos ( α + β ) = cos α cos β - sin α sin β • Sinus d’una suma d’angles. sin ( α + β )
O
47
Utilitzant les fórmules per angles complementaris tenim sin ( α + β ) = cos ( 90º - (α + β )) = cos ((90º - α) - β )) = cos (90º - α) cos β + sin (90º - α) sin β = sin α cos β + cos α sin β per tant
sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
• Sinus d’una diferència d’angles. sin ( α - β ) De la igualtat α - β = α + (-β) resulta: sin ( α - β ) = sin ( α + ( -β)) = sin α cos (-β) + cos α sin (-β) = sin α cos β - cos α sin β de manera que
sin ( α - β ) = sin α cos β - cos α sin β • Tangent de la suma i de la diferència d’angles. tg ( α + β ) i tg ( α - β ) A partir de la definició de tangent
tg(α + β) =tgα + tg β
1− tgα tg β
tenint en compte que α - β = α + (-β)
tg(α − β) =tgα − tg β
1+ tgα tg β
A partir de les fórmules d’addició, es dedueixen les raons trigonomètriques de l’angle doble. De 2α = α + α, deduïm sin 2α = sin ( α + α ) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α
48
cos 2α = cos ( α + α ) = cos α cos α - sin α sin α = cos2 α - sin2 α tg 2α = tg ( α + α ) = tgα + tgα
1 − tgα tgα = 2tgα
1 − tg2 α
resumint sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = cos2 α - sin2 α tg 2α = 2tgα
1 − tg2 α
A partir de les expressions anteriors podem deduir les raons trigonomètriques de l’angle meitat. Donat un angle α, com que α = 2 α
2, podem escriure
cos α = cos2 α
2 - sin2 α
2
tenint en compte que
1 = sin2 α2
+ cos2 α2
resulta, sumant les dues igualtats
1 + cos α = 2 cos2 α2
d’on
cos α2
= ± 1+ cosα2
i restant-les
1 - cos α = 2 sin2 α2
d’on
sin α2
= ± 1− cosα2
i per la tangent
49
tg α2
= ± 1− cosα1+ cosα
Atenció: Haureu de prendre el signe d’acord amb el quadrant de l’angle α
2.
Veurem ara les fórmules que transformen sumes de raons trigonomètriques en productes. A partir de les identitats
α =α + β
2+
α − β2
i β =α + β
2−
α − β2
aplicant les fórmules d’addició, obtenim sin α + sin β = 2 sin α + β
2 cos α − β
2
sin α - sin β = 2 cos α + β2
sin α − β2
cos α + cos β = 2 cos α + β2
cos α − β2
cos α - cos β = - 2 sin α + β2
sin α − β2
per transformar productes de raons trigonomètriques en sumes ens fixem en les expressions deduïdes anteriorment, si fem
p =α + β
2i q =
α − β2
tenim sin ( p + q ) + sin ( p - q ) = 2 sin p cos q sin ( p + q ) - sin ( p - q ) = 2 cos p sin q cos ( p + q ) + cos ( p - q ) = 2 cos p cos q cos ( p + q ) - cos ( p - q ) = - 2 sin p sin q que es poden escriure
50
sin p sin q = cos( p − q) − cos(p + q)2
sin p cos q = sin( p + q) + sin( p − q)2
cos p cos q = cos( p + q) + cos( p − q)2
S’anomenen equacions trigonomètriques, les equacions en les quals totes o alguna de les incògnites apareixen afectades d’una funció trigonomètrica. Per resoldre equacions trigonomètriques cal seguir els consells següents:
• Si hi figuren angles diferents hem de procurar d’expressar totes les raons trigonomètriques fent servir el mateix angle.
• Si en una mateixa equació figuren raons trigonomètriques diferents
hem de procurar de reduir-les totes a una de sola. Exercici 68.- Trobeu una fórmula que doni el sin 3x en funció de sin x. Exercici 69.- A, B i C són els angles d’un triangle. Demostreu que: a) tg A + tg B + tg C = tg A · tg B · tg C b) cos A + cos B · cos C = sin B · sin C Exercici 70.- Simplifiqueu: sin 4 x - cos 4 x ( Atenció: x 4 - y 4 es pot escriure de la forma ( x 2 - y 2 )·( x 2 + y 2 ) ) Exercici 71.- Coneguts sin 2x = 0’6 i cos 2x = 0’8 es demana que estudieu de quin quadrant pot ser l’angle x, i seguidament, calculeu sin x i cos x. Exercici 72.- Comproveu que: ( 1 + tg α tg 2α ) cos 2α = 1
51
Exercici 73.- Comproveu que les raons trigonomètriques de l’angle de 15º, calculades com a diferència entre els angles de 45º i 30º, i com a angle meitat de 30º, són iguals malgrat que s’expressin en forma diferent. Exercici 74.- Calculeu sin 75º + sin 15º aplicant les fórmules de transformació de sumes en producte. Exercici 75.- Demostreu que si A + B + C = 180º, es compleix que: a) tg C = - tg ( A + B ) b) cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 - 2 cos A cos B cos C Exercici 76.- Comproveu que
sin α - sin 2α + sin 3α = 4 sin α2
cos α cos 3α2
Exercici 77.- Expresseu sin α, cos α, tg α en funció de tg α
2
Exercici 78.- Demostreu que
1 + sin α = 2 sin2 ( 45º + α2
)
Exercici 79.- Resoleu les equacions: 1. − 2sinx −1 = 02. − cos x − 1 = 0
3. − sin2x =14
4. − cos2 x = cos x
5. − 2sin2 x = 1 − sinx
6. − 3tg2 x = 1 + 2tg x
7. − sin2 x − cos2 x =12
8. − 3cos2 x = 2 − sinx
9. − 6 cos 2x + 6sin2 x = 5 + sinx10. − cos 2x = sinx11. − sin2x ⋅ cos x = 6sin3 x
12. − 4sinx2
⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ + 2 cos x = 3
13. − cos 2x + cos x = sinx + sin2x
52
Resolució de triangles En un triangle els tres costats i els tres angles són els elements principals. Si d’un triangle coneixem tres elements principals, un dels quals almenys és un costat, és possible calcular el valor dels altres tres elements. Calcular tots els elements principals d’un triangle és el que s’anomena resoldre el triangle. Ara veurem com resoldre gràficament ( amb regle i compàs ) els triangles. Els diferents casos de resolució de triangles que ens podem trobar són: Cas I. Coneguts un costat i dos angles.
a. coneguts un costat i els dos angles adjacents. b. coneguts un costat i dos angles, un dels quals no és adjacent.
Cas II. Coneguts dos costats i un angle.
a. coneguts dos costats i l’angle comprès. b. coneguts dos costats i un angle no comprès. Aquest cas pot tenir
dues, una o cap solució. Cas III. Coneguts els tres costats. Exercici 80.- Per a cadascun dels triangles que s’indiquen, feu-ne la construcció gràfica i doneu un valor aproximat dels elements desconeguts.
A
B
C
a b
c
53
1.- Dades: b = 5’2 cm , B = 56º , A = 48º.
2.- Dades: c = 4’5 cm , b = 6’2 cm , C = 62º.
3.- Dades: a = 7 cm , b = 6 cm , c = 8 cm.
b B A
c
b C
54
4.- Dades: a = 10 cm , B = 20º , C = 20º.
5.- Dades: a = 5 cm , b = 7 cm , A = 33º.
6.- Dades: c = 7 cm, A = 100º, B = 20º
a b
c
a
B C
a
b
A
55
7.- Dades: a = 4 cm, A = 98º, c = 7 cm
8.- Dades: a = 5’2 cm, A = 120º, b = 4’8 cm
c
A B
a c
A
56
Les raons trigonomètriques sinus, cosinus i tangent, ens relacionen els costats i els angles dels triangles rectangles, i serveixen, per tant, per poder resoldre aquest tipus de triangles. Per resoldre qualsevol altre tipus de triangle utilitzarem les expressions dels anomenats teorema del sinus i teorema del cosinus. Teorema del sinus. En qualsevol triangle la raó entre les longituds dels costats i els sinus dels respectius angles oposats és constant. Aquesta constant és igual a la longitud del diàmetre de la circumferència circumscrita al triangle.
asinA
=b
sinB=
csinC
= 2R
essent R el radi de la circumferència circumscrita al triangle. De les figures deduïm
a b
A
57
sinB =
b2R
sinA =a
2R sinC =
c2R
a
sinA=
bsinB
=c
sinC= 2R
Teorema del cosinus. El quadrat d’un costat d’un triangle és igual a la suma dels quadrats dels altres dos menys el doble del producte d’aquests dos costats pel cosinus de l’angle que formen.
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A b2 = a2 + c2 - 2ac cos B c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
Sigui ABC un triangle, amb l’angle A agut. pel teorema de Pitàgoras tenim
a2 = h2 + HB2 b2 = h2 + AH2
restant a2 - b2 = HB2 - AH2 = ( c - AH )2 - AH2 = c2 - 2cAH + AH2 - AH2 = = c2 - 2cb cos A d’on
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
A
B
C
A
C B
A
C B
A
C
B H
b a
c
h
180º - C
58
Si l’angle A fos obtús a2 = h2 + (AH + c)2 b2 = h2 + AH2 restant a2 - b2 = (AH + c)2 - AH2 = c2 + 2cAH + AH2 - AH2 = = c2 + 2cb cos (180º - A) = c2 - 2cb cos A d’on
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A Fixeu-vos, que si l’angle A és un angle recte, el teorema del cosinus es redueix al teorema de Pitàgoras. A partir del teorema del sinus, del teorema del cosinus i de la relació entre els angles d’un triangle es pot resoldre numèricament qualsevol triangle. L’estratègia a seguir en cada cas ve resumida en la plana següent.
A B
C
H
h
c
a
59
terc
er a
ngle
: A +
B +
C =
180
º se
gon
cost
at: t
eore
ma
del s
inus
te
rcer
cos
tat:
teor
ema
del s
inus
terc
er a
ngle
: A +
B +
C =
180
º se
gon
cost
at: t
eore
ma
del s
inus
te
rcer
cos
tat:
teor
ema
del s
inus
terc
er c
osta
t: te
orem
a de
l cos
inus
se
gon
angl
e: te
orem
a de
l cos
inus
te
rcer
ang
le: A
+ B
+ C
= 1
80º
sego
n an
gle:
teor
ema
del s
inus
te
rcer
ang
le: A
+ B
+ C
= 1
80º
terc
er c
osta
t: te
orem
a de
l sin
us
RES
OLU
CIÓ
DE
TRIA
NG
LES
un c
osta
t i d
os a
ngle
s adj
acen
ts
un c
osta
t i d
os a
ngle
s, un
no
adja
cent
dos c
osta
ts i
l'ang
le c
ompr
ès
dos c
osta
ts i
un a
ngle
no
com
près
pr
imer
ang
le: t
eore
ma
del c
osin
us
sego
n an
gle:
teor
ema
del c
osin
us
terc
er a
ngle
: A +
B +
C =
180
º
un c
osta
t i d
os
a
ngle
s
dos c
osta
ts i
un
ang
le
tres c
osta
ts
Cas
os d
e re
solu
ció
de
tria
ngle
s
60
Exercici 81.- Resoleu gràficament i numèricament els triangles següents: a) a = 483’6 m, A = 56º 38’, C = 65º 9’ b) c = 89’4 m, A = 48º 19’, B = 32º 53’ c) a = 6’94 m, b = 8’43 m, C = 71º 30’ 22’’ d) a = 8’4 cm, b = 6’9 cm, c = 12 cm e) A = 37º 30’ 45’’, B = 100º 20’ 30’’ , b = 7’5 cm Exercici 82.- Calculeu l’alçada d’una torre si des d’un punt situat a 50 m del seu peu l’angle d’elevació del punt més alt de la torre és de 70º. Exercici 83.- Un observador situat a la riba d’un riu veu un arbre situat a l’altra riba amb un angle, de dalt a baix, de 60º. Si s’allunya 20 m, veu l’arbre amb un angle de 30º. Cerqueu l’altura de l’arbre i l’amplada del riu. Exercici 84.- Des d’un punt de terra veiem que el cim d’una torre forma un angle de 30º amb la línia horitzontal. Si ens apropem 75 m cap al peu de la torre, aquest angle es fa de 60º. Busqueu l’altura de la torre. Exercici 85.- Des d’un far de 25 m d’alçada s’observa una barca amb un angle de depressió de 28º 30’. Calculeu la distància de la barca al peu del far ( l’angle de depressió és el format per la visual i l’horitzontal ). Exercici 86.- Des de dos punts A i B d’un camp d’aviació, distants 250 m l’un de l’altre, dos observadors troben que els angles d’elevació d’un avió situat en el mateix pla vertical que ells són de 80º i 88º respectivament. Determineu la distància a què es troba l’avió de l’observador del punt A. A B 250 m
61
Exercici 87.- Calculeu l’amplada d’un riu ( de ribes paral·leles ) sabent que des dels punts A i B d’una riba, que disten 50 m, s’observa un punt M de la riba contrària amb visuals que formen amb la direcció de la riba angles de 300 i de 500.
A
B
M
I per acabar, recordarem d’altres relacions útils i interessants entre els diferents elements associats a un triangle. Teorema de les tangents. En tot triangle ABC es compleix:
a + ba − b
=tg
A + B2
⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
tgA − B
2⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
Canviant les lletres, podem aplicar-la a d’altres parelles de costats i angles. Fórmules de Briggs. En tot triangle ABC es verifica:
sinA2
⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ =
( p − b)(p − c)bc
cosA2
⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ =
p(p − a)bc
tgA2
⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ =
(p − b)(p − c)p(p − a)
on p és el semiperímetre del triangle, p =
a + b + c2
.
Canviant les lletres, podem aplicar-la a d’altres parelles de costats i angles.
62
Radi de la circumferència inscrita. En tot triangle ABC, el radi r de la circumferència inscrita al triangle ve donat per l’expressió:
r =(p − a)( p − b)( p − c)
p
Fórmula d’Heró. L’àrea S del triangle ABC ve donada per la fórmula:
S = p( p − a)(p − b)( p − c)
Exercici 88.- Utilitzeu el teorema de les tangents per resoldre el triangle ABC, essent B - A = 14º 32’ , a = 15 cm i b = 17 cm. Exercici 89.- Utilitzeu les fórmules de Briggs per obtenir els angles del triangle ABC de costats a = 8 cm, b = 7 cm i c = 4 cm. Exercici 90.- Apliqueu la fórmula d’Heró per calcular l’àrea del triangle ABC de costats a = 5 cm, b = 6 cm i c = 4 cm. Exercici 91.- Calculeu l’àrea de la parcel·la següent: Exercici 92.- Dos trens surten d’una estació en direccions que formen un angle de 70º. El primer es mou a una velocitat de 90 km/h i el segon a 120 km/h. Al cap de quant temps la distància entre els dos serà de 180 km ? Exercici 93.- El costat d’un pentàgon regular fa 8 cm. Trobeu els radis de les circumferències circumscrita i inscrita i l’àrea del pentàgon.
12 cm
48 cm 44 cm
16 cm
40 cm
63
Exercici 94.- Trobeu l’àrea del triangle curvilini de la figura si els radis de les circumferències són 4 cm, 6 cm i 9 cm. Exercici 95.- Considereu el paral·lelogram de la figura. Trobeu la longitud dels costats i de l’altra diagonal. Calculeu també l’àrea del paral·lelogram. Exercici 96.- Demostreu que per a qualsevol triangle ABC:
a) a[sin B - sin C] + b[sin C - sin A] + c[sin A - sin B] = 0 b) cos A
a+
cos Bb
+cos C
c=
a2 + b2 + c2
2abc
c) S =
abc4R
d) p = R ( sin A + sin B + sin C ) e) S = Rr (sin A + sin B + sin C ) essent: a, b, c els costats; r, el radi de la circumferència inscrita; R, el radi de la circumferència circumscrita; p, el semiperímetre i S, l’àrea del triangle.
15 cm
20º 30º
64
Exercici 97.- Dos fars A i B estan separats 32 km. En un moment determinat des del punt A s’observa un vaixell de manera que l’angle vaixell-A-B és de 75º i des del punt B es mesura l’angle vaixell-B-A que és de 32º. Al cap d’una hora els angles han passat a ser, respectivament, de 50º i 80º. Calculeu la velocitat del vaixell. Tingueu present que la trajectòria del vaixell no és pas, necessàriament, paral·lela a la línia AB. Calculeu, doncs, l’angle que forma la trajectòria del vaixell amb la línia que uneix els dos fars. Exercici 98.- La figura ens mostra tres jardins circulars mútuament tangents. Els radis d’aquests jardins són respectivament 8, 10 i 12 metres. La zona del jardí més petit que està ombrejada en el dibuix (sector circular delimitat pels dos radis pels punts de tangència amb els altres dos jardins i l’arc de circumferència corresponent ) es vol sembrar d’una gespa especial i es vol envoltar completament amb una petita tanca metàl·lica. Quina superfície té ? Quina longitud de tanca farà falta ?
Exercici 99.- Un observador veu un edifici amb galeries comercials i pisos sota un angle de 30º, Si mira cap al penúltim balcó aquest angle es fa de 25º. Sabent que la distància entre el penúltim balcó i la part més alta de l’edifici és de 10 m. Calculeu:
a) l’altura de l’edifici b) la distància de l’observador a l’edifici
10 m
30º25º