triángulos

TRIÁNGULOS

A

B

C

a

b

c

e°1

e°2

e°3

Propiedades

1. ° + ° + ° = 180°

2. e°1 + e°

2 + e°

3 = 360°

3. e°1 = ° + °

e°2 = ° + °

e°3 = ° + °

Triángulo isósceles

L L

Triángulo equilátero

L

60°

L

L

60° 60°

1. Del gráfico, calcular “x°”.

B

X° + 20 °

AX° + 30 ° X° + 70 °

C

2. Del gráfico, calcular “x”.

A

B

x+10°C

125°

2x - 5°

3. Del gráfico, calcular "x".

A

B

Cx + 60°

100°

120°

4. En un triángulo ABC, se cumple: m A=2m C = 80° , calcular la Bm .Resolución:

5. Si el triángulo ABC es isósceles, calcular "x".

A C

B

x

92°

Resolución:

6. Si el triángulo ABC es equilátero, hallar “x”

GENERALIDADES SOBRE UN TRIÁNGULO

TALLER Nº 01

A

B

CD

x

40º

7. Hallar “x”

x

40º

60º

50º

8. Si: CD = CE, hallar el valor de “x”.

A

B

C

D

E30º 35º

x

9. Si: BC = EC y AE = BE, hallar m ∡A

A

B

CE40º

10. En un triángulo equilátero ABC, sobre el lado, se toma el punto “P”, tal que m∡APC = 4 m ∡BAP.

Hallar: m ∡BAP

Resolución:

1. Calcular “x°”

PRACTICANDO

60°+x°

x°+ 20° 80°+2x°

2. Calcular "xº"

a

65°

xº

a

3. Si: AB = BC, calcular “x°”.

20°

4x°A

B

C


60°

40°A

B

P

CQ

x°

40°

5. Calcular "xº"

A

B

C35° x°

25°

80°

D

6. Calcular "x°"

A

B

C

D

x°20°

60°

70°


80°

A

I x°

B

C


A

B

Cx°

80° 30°

D

9. Calcular “x°”, si: AC = BC.

A

B

C

x°75°

10. En la figura, AB = BC y BE = BD, hallar “xº”

A

B

CD

E

xº

40º

11. En la figura, AB = AD = DC. Hallar “x”

A

B

C

D

26xº

6xº4xº

12. Calcular “x°”, si: AB = BC = AD.

A

B

C

D

x°60°

100°


TAREA DOMICILIARIA Nº 01

B

A

C

4x°

44°36°


71°

b

x°

b

3. Calcular “x°”, en términos de ”.

A

B

Cx°°

4. Si: BD = BC, hallar: m BCA.

AD

B

C

40°

30°


A

B

DC20°x°

10°

6. Calcular “x°”B

CA

120°

130°

x°

7. Si el triángulo ABC es equilátero, calcular “x°”

70°

B

CA


B

A C

2x°+20°

x°+ 10° 3x°+30°


3x°

5x° -10° 70°

10. En el gráfico, calcular “x°”.

3x°+30°

2x°+20°

5x°+10°

11. Calcular “x°” en el gráfico.

x°+ 10°

70°

50°80°

12. Si: BD = 10calcular “BC”.

A D C

B

40°

30° 70°

13. Calcular “x°”x°

30°

100°

160°

LÍNEA RECTA

NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 02 TERCER GRADO

LÍNEA RECTA, RAYO, SEGMENTOS.

Es un conjunto ilimitado de puntos que están en una misma dirección.

P Q

Línea recta PQ: PQRAYO

Es cualquiera de las dos partes de una línea recta que se determina al tener un punto fijo sobre ella.

A B

Rayo O A: O A

O

Rayo O B: OBO: origen

SEMIRECTA

Es un rayo sin origen.

BO

Semirecta O B: OB

SEGMENTO DE RECTA

Es una porción de una línea recta que tiene dos extremos fijos.

Segmento de recta AB: ABLongitud del segmento AB:

Número real positivo: AB = 10

A

10

B

Segmentos congruentes

Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud.

A

8B

C

8D

Punto medio de un segmento

O: Punto medio de AB

A

4BO

4

Operaciones con segmentos

A B C D E

AE = AB + BC + CD + DE

AB = AE - BE

EJEMPLO Nº 01

1. En el gráfico, calcular “x”.

A B C D

30

28

10

x

1. En el gráfico, si “B” es punto medio de AC , calcular “x”.

A B C D

30 10

x

2. Del gráfico, calcular “BC”.

TALLER Nº 02

A B C D15

24

17

3. Si “C” es punto medio de AD , calcular “BC”.

A B C D

1418

4. Si “M” y “N” son puntos medios de ABy BC respectivamente, calcular “x”.

M NB CA

4 0

x

5. Calcular “x”, si: AM = MD; AC = 18 y AD = 30

A M C D

6. Se tienen los puntos consecutivos “P”, “Q”, “R” y “S”, tal que: PQ = RS = 18 Hallar “PR”. Además: PS = 46

7. Se tienen los puntos consecutivos “L”, “O”, “C” y “A”. Si: LC = CA, LO = OC y LA = 64, calcular “OC”.

Resolución:

8. En una recta se tienen los puntos consecutivos “A”, “N”, “G”, “E” y “L”, tal que: NG = GE = 16. Hallar “AN + EL”, si: AL = 80

1. Se tienen los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Si: AC = 21 BD = 28y AD = 30, calcular “BC”.

2. Se tienen los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Si: AC = 19 BD = 24y AD = 27calcular “BC”.

3. Se tienen los puntos consecutivos “P”, “Q”, “R”, “S” y “T”. Si: PQ = QR, RS = ST, PR = 12y RT = 20calcular “QS”.

4. Calcular “PM”, siendo “M” punto medio de QR .

P Q R S22

30

18

5. Calcular “x”, si: AM = MD; AC = 5m y AD = 16m.

A DMC

x

6. Se tienen los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y

“D”. Si: AD = 20 AB = 8y CD = BC, calcular “AC”.

PRACTICANDO EN CLASE

7. Se tienen los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Si: AB = BC, AC = CD y AD = 48 calcular “BC”.

8. Del gráfico mostrado, calcular “MN”, siendo “M” y “N” puntos medios de AC y BD respectivamente.

A B C D

1218

8

9. Calcular "RS", siendo "R" y "S" puntos medios de PT y QT respectivamente.

P Q S T

1622

R10. En una recta se dan los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, donde “P” y “Q” son puntos medios de AB y CD respectivamente. Si: AC = 26 y BD = 14, calcular “PQ”.

1. Calcular “AN”, si: AP = 2 PB = 3 y BN = 7

A BP N

2. Calcular “AP”, si: PB = 3 y AB = 10

A BP

3. Si: PR = a y RT = b, calcular “PT” en términos de “a” y “b”.

P TR

4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Determinar el número total de segmentos que se forman.

5. Según el gráfico: AC = 26 Calcular “x”.

A B C

2x126. Si: AD = 44, calcular “x”.

A B DC

3x 3x+ 1 4x+ 3

7. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “A”, “B” y “C”, de modo que: BC = 2AB. Calcular “AB”, si AC = 36

8. Si: AC = 12 cm; BD = 14 cm y BC = 7 cm, calcular “AD”.

A B DC

9. Si: AB = 6 cm; BC = 8 cm y CD = 10 cm, calcular “MN”.

A M CB DN

ab ab10. Sobre una recta se ubican los

puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Calcular “BC”, si: AD = 10, AC = 8y BD = 6

11. De la figura: AD = 48 Calcular “BC”.

A CB D

x 2x 3x

12. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Calcular “AD”, si: AC = 10 y AD + CD = 30


NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 03 TERCER GRADO

APERACIONES CON SEGMENTOS.

A6

A5

B6

B5

B3B2

B

B’

B’’A3

A2

A

A’

A’’

A1 B1

A4 B4

O

Las vigas, los soportes y los alambres de la estructura de acero (que aparece en la fotografía) forman triángulos, que son las figuras geométricas más sencillas que se pueden formar con puntos y rectas.

Recordar:

SUMA DE SEGMENTOS

Ejemplo:

Calcular: "x"

A B C D

x3 m 2 m 5 m

AD = AB + BC + CD x = 3m + 2m + 5m x = 10 m

RESTA DE SEGMENTOS

Ejemplo:

Hallar "x"

P Q R

5 m x

12 m

Q R = PR - PQx = 12m - 5m

x = 7m

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Ejemplo:

Hallar "x", si "M" es punto medio de AC

A M C

A M = M C2x + 10 = 5 x - 2 0

30 = 3x10 = x

2x + 10 5x - 2 0

EJEMPLO

01. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “S”, “O”, “L” y “A”. Calcular “SA”, si: SL = 30 y SA + LA = 70.

1. Si: AC = BD = 32m y AD = 40m, calcular “BC”.

A DCB

2. En una recta se toma los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D", tal que: AC = 18 m, BD = 20 m y AD = 30 m.Hallar "BC".

3. Si: AC = 30m, BD = 28m y AD = 40m, calcular “BC”.

A DCB

TALLER Nº 03

4. En una recta se toma los puntos consecutivos "A", "M", "O" y "R" tal que: AM = 10 m, AR = 50 m y "O" es punto medio de MR. Hallar "AO".

5. Si: PR = 17m, QS = 15m y PS = 24m, calcular “QR”.

P SRQ

6. Si: TA = 165 m, hallar: CA

T O C A

x 2x 8x

7. En la figura, hallar “PQ + RS”, si: QR = 12 y PS = 39.

P Q R S

8. Si: AB = 3BC y AC = 24, hallar “BC”

A B C

1. Si: AC =30 m; BD=50 m y AD=70 m, hallar "BC".

B C DA

2. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos “P”, “Q”, “R”, “S”, tal que “Q” es punto medio de PR. Si: PR=30 m y RS=10 m, hallar “QS”.

3. En la figura, hallar "TS + RP", si: SR = 10 m y TP = 37 m.

S R PT

4. Si "O" es punto medio de MA y "P" es punto medio de BA; hallar "OP", tal que: MA=18 m y AB=20 m.

O A PM B

5. Si: PU = 120 m, hallar "ER".

E R UP

3k 5k 2k

6. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos

“P”, “Q”, “R” y “S”, tal que: PR = 10 m, QS = 12

m y QR = 4 m. Calcular “MN”, siendo “M” y “N”

puntos medios de PQ y RS.

7. Si: AD - AB = 20 m y "C" es punto medio de BD,

hallar "CD".

A B C D

10. Se tienen cuatro puntos consecutivos en una línea recta: “A”, “M”, “B” y “C”, de modo que “M” es punto medio de AB. Si: AC + BC = 30m, hallar “MC”.

PRACTICANDO EN CLASE

11. Sobre una recta se dan los puntos

consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”; tal que: AC =

19 y BD = 23. Calcular la longitud del segmento

que une los puntos medios de AB y CD.

12. En una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, tal que “B” es punto medio de y AC = 5CD. Calcular:

13. Sobre una recta, se ubican los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D". Se cumple: AB = 3m, AC = 5m y 4AB - BD - 2CD = 4m. Calcular "AD".

14. En una recta se dan los puntos consecutivos “M”, “A”, “O” y “B”, siendo “O” punto medio de AB. Calcular “MO”, sabiendo que:

(MA)(MB) = 32m2 y AB = 4m.

15. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “P”, “Q”, “R” y “S”. Calcular

“PR”, sabiendo que: QR = RS y (PS)2 - (PQ)2 = 12QS.

16. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos

“S”, “O”, “L” y “A”. Calcular “SA”, si: SL = 30y SA + LA = 70

17. Sobre una recta se dan los puntos

consecutivos “M”, “A” y “B”, siendo “O” punto

medio de AB Calcular “MO”, sabiendo que: MA =

18 y AB = 20

18. Sobre una recta se toman los

puntos consecutivos “A“, “B”, “C” y ”D”. Sabiendo

que: AC = 20 y BD = 60calcular la longitud del

segmento que une los puntos medios de AB Y CD

19. “A”, “B”, “C”, “D” y “E” son puntos consecutivos tomados sobre una línea recta, tal que “C” es punto medio de AE, AC = BD y AD + BE = 30. Calcular “BD”.

1. En la figura, calcular “BC”, si: AD = 10 AC = 8y BD = 7.

A C DB

2. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Calcular “BC”, si: AD = 12 AC = 9 y BD = 8

3. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, de tal manera que: AD = 20AC = 18y BD = 15. Calcular “BC”.

4. Si: AC = 12, BD = 15 y AD = 20, calcular “BC”.

A B DC

5. Si: PQ = QR, RS = ST, PR = 12 y RT = 18, calcular “QS”.

P Q SR T

6. Si: MN = 5u, NQ = 12 y NP = PQ, calcular “MP”.

M N QP

7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, tal que: AC = 24, BD = 30 y BC = 15 Calcular “AD”.

8. “A” y “P” son puntos medios de MN Y NQ respectivamente, MN = 10y MQ = 30. Calcular “AP”.

M A PN Q

9. Si “B” y “C” son puntos medios de AC Y AD, calcular “AD”.

A DB9 cm

C

10. Si: AB = 26 cm y CD = 6 cm, calcular “MN”.


A BC DM N

a a b b

11. Si “M” y “N” son puntos medios de AC y CB, calcular “AB”.

A N MC B

a ba b

8 cm

12. En la figura, calcular “MN”, si “M” es punto medio de PQ, “N” es punto medio de QR y PR = 20

P Q N RM

13. En la figura, calcular (MO)2, si: MA = 2 y AB = 8Además “O” es punto medio de AB

M A O B

14. Calcular “x”

P RQ

48 cm

3x 9x

15. Si “M” es punto medio de AC, calcular “x”.

A B M C

8 12x

16. Calcular “x”, si “C” es punto medio de BD

A B C D

9 2

x

17. Si: AC + AB = 32 cm, calcular “BC”.

A CBx

20 cm

18. Calcular “PR”, si: RQ - PR = 14 cm.

P QR

30 cm

triángulos

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