Trazas y Curvas de nivel

TRAZAS Y CURVAS DE NIVEL

UNIVERSIDAD MARIANA

FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA DE PROCESOS

2015

CONTENIDO

1. INTRODUCCION

2. FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES

2.1 Definición matemática

2.2 Planos

2.2.1 Planos xy, xz, zy

3. CURVAS DE NIVEL

3.1 Curvas de nivel

3.1.1 Definición matemática

3.2 Trazas

3.2.1 Definición matemática

4. EJEMPLOS

4.1 Ejemplo 1

4.2 Ejemplo 2

4.3 Ejemplo 3

5. BIBLIOGRAFIA

INTRODUCCION

“En varias variables las funciones tienen valores que dependen de más de una variable. Estas funciones reciben el nombre global de funciones de varias variables o funciones de variable vectorial.”1

La representación gráfica de las funciones en varias variables aporta mucha

información sobre las mismas. Sin embargo sólo es posible en algunos casos de

dimensiones pequeñas. Las trazas y las curvas de nivel permiten conocer el

comportamiento de estas graficas con respecto a sus ejes.

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1 ANONIMO, Introducción a las funciones de varias variables, página 1

Funciones de varias variables

“Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z. El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia da un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contra-dominio. Una función de dos variables se denota usualmente con la notación:

z = f (x, y) La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f (z) = f (x, y) siendo las variables independientes y (z) se encuentra en el rango como variable dependiente. Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.” 2

Definición matemática: “Una función de dos variables f: R2 −→ R con dominio D

⊆ R2 , asigna a cada par (x,y) ∈ D, un único número real denotado con f(x,y). El

gráfico de f es el conjunto {(x,y, z) : x,y ∈ D y z = f(x,y)}.” 3

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2 MORA, Walter, Calculo superior- superficies y sólidos, versión 1.0, 2011,

página 6

3 Ibíd. página 9

Planos:

“La ecuación cartesiana de un plano es

ax + by + cz = d

con a2 + b2 +c2 ≠ 0 (se prohíbe el caso a = b = c = 0). Para realizar la

representación gráfica de un plano es necesario basarse en el hecho de que si P,

Q son dos puntos en este plano, entonces la recta (o cualquier segmento de ella)

que contiene a estos puntos, está en el plano. En la práctica se requiere al menos

dos segmentos de recta para dibujar una parte del plano, mediante un triángulo o

un paralelogramo.”4

Planos XY, XZ y YZ: Los ejes coordenados determinan tres planos:

— Plano xy: formado por los puntos de la forma (x, y, C) esto es, z = Constante

— Plano yz: formado por los puntos de la forma (C, y, z) esto es, x = Constante

— Plano xz: formado por los puntos de la forma (x, C, z) esto es, y = Constante

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4 Ibíd. página 11

Curvas de nivel y trazas

Curvas de nivel: “Cuando una superficie es cortada por un plano se obtiene, en

general, una curva”5, “Las curvas de nivel son líneas que están en el dominio de

definición, en el plano, representan alturas iguales, pueden usarse para describir

superficies en el espacio.” 6

Definición matemática: “Si S es una superficie en el espacio de ecuación

F(x,y, z) = 0

todos los pares (x,y) ∈ R2 que satisfacen la ecuación F(x,y, c) = 0 definen una

curva en el plano XY. A esta curva se le llama curva de nivel de la superficie S.”7

Trazas: “Se llaman Trazas a las intersecciones de una superficie con los planos

coordenados. Las trazas de una función son curvas en el espacio producidas por

la intersección de su gráfica con un plano vertical.” 8

Definición matemática: “Con el fin de graficar una superficie S de ecuación

explícita z = f(x,y) ó f(x,y,z) = 0, se realizar cortes a esta superficie con planos

paralelos a los planos coordenados. Estos cortes producen un dibujo ‘de alambre’

de la superficie a dibujar. “9

Para describir las trazas por ecuaciones se procede de la siguiente manera:

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5 ANONIMO, Introducción a las funciones de varias variables, Página 2

6 ANONIMO, Análisis matemático, funciones en varias variables, Página 2

7 MORA, Óp. Cit. Página 17

8 ANONIMO, Introducción a las funciones de varias variables, Página 2

9 MORA, Óp. Cit. Página 19

-Si la traza resulta de la intersección de la superficie S con

el plano x = constante, entonces su ecuación es:

“z = f(c,y); x = c” o “F(c,y,z) = 0;

x = c,” y se representa en el plano x = c.

- Si la traza resulta de la intersección de la superficie S con

el plano y = c, entonces su ecuación es:

z = f(x, c); y = c” o “F(x, c, z) = 0; y = c,

y se representa en el plano y = c.

-Si la traza resulta de la intersección de la superficie S con

el plano z = c, entonces su ecuación es:

c = f(x,y), z = c” o “F(x,y, c) = 0, z = c

y se representa en el plano z = c.

Ejemplos

Grafica de la figura:

Ejemplo 2

Para la superficie z = 1 − x 2− y2.

- Si x = 0, traza en el plano yz es la parábola z = 1 – y2

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Ejemplo 1: Tomado de MORA, Walter, Calculo superior- superficies y sólidos,

versión 1.0, 2011, página 23

- Sí y = 0, traza en el plano xz es la parábola z = 1 – x2

-Si z = 0, traza en el plano xy es la circunferencia x 2+ y2= 1

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Ejemplo 2: Tomado de ANONIMO, Análisis matemático, funciones en varias

variables, Página 3

Grafica de la figura

Ejemplo 3

Para la función 𝑧 = √𝑥2 − 𝑦2

Las curvas de nivel son las curvas representadas por

k2 = x2 + y2

Las cuales son circunferencias centradas en el orıgen y radio k.

El gráfico de 𝑧 = √𝑥2 − 𝑦2 se puede determinar usando la información ganada

de las curvas de nivel de esta función. Se puede apreciar que no hay gráfico bajo

el plano xy , ya que z = x2 + y2 ≥ 0 y que el único punto en el plano xy es (0, 0) .

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Ejemplo 3: Tomado de ANONIMO, Análisis matemático, funciones en varias

variables, Página 5

BIBLIOGRAFIA

ANONIMO, Análisis matemático, funciones en varias variables, Paginas 10

ANONIMO, Introducción a las funciones de varias variables, paginas 9

MORA, Walter, Calculo superior- superficies y sólidos, -versión 1.0, 2011,

páginas 25.

THOMAS, George, Calculo de varias variables, Edición undécima, Editorial

Pearson (Addison Wesley), Año 2005 , Paginas 656