topografía curvas de nivel

7/21/2019 Topografía Curvas de Nivel

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Universidad de Concepción

Facultad de Ingeniería

Departamento de Ingeniería Civil

Topografía

Práctico N°5: “Curvas de

Nivel”

ÍÍ

Integrantes

Profesor César León Ayudantes Cristian

enrí!ue"Fec#a de $ntrega %%&%%&'(%)



Índice'

Índice

Capítulo %* Introducción++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)

Capítulo '* ,eneralidades+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-

'+% ./0etivos++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-

'+' Descripción del terreno++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-

'+) Distri/ución del 1ra/a0o+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++2

'3- Procedimientos ,enerales++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++2

Capítulo 4* Fundamentos 1eóricos++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++5

4+% Descripción del marco teórico++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++5

4+' Construcción de una Poligonal++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++6

4+4 Determinación de A"imut+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++%(

4+) Determinación de Distancias ori"ontales+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++%(

4+- Determinación de cotas+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++%%

4+2 Determinación de Coordenadas+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++%%

4+7 Propiedades de las Curvas de 8ivel++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++%'

4+5 9étodos de 1ra"ado de Curvas de 8ivel+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++%)4+5+% 9étodo Analítico+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ %-

4+5+'+ 9étodo ,r:fico++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++%2

4+6 1eoría de $rrores+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ %5

Capítulo )* An:lisis de $rrores++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++'(

)+% $rrores cometidos en el desarrollo del pr:ctico+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++'(

Capítulo -* $0emplos de C:lculo+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++'-

-+% $0emplo de C:lculo++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ '-

-+' C:lculo de :ngulos ori"ontales++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++'-

-+4 C:lculo de A"imut++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++'2

-+) C:lculo de Distancias ori"ontales y ;erticales+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++'2



Índice4

-+- C:lculo de Cotas+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++'5

-+2 C:lculo de Coordenadas+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++'6

-+7 Construcción de Curvas de 8ivel+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 4%

Capítulo 2* Conclusiones++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++442+% Conclusiones+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 44

Capítulo 7* <i/liografía++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 4-

7+% <i/liografía+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 4-

Capítulo 5* Ane=os*+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 42

5+% 1a/las++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 42

5+%+% 1a/la Poligonal++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++42

5+%+' 1a/la Puntos 1erreno++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 47

5+4 Cro!uis++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ )(



Capítulo %* Introducción)

Capítulo 1: Introduccin

$l presente tra/a0o reviste particular importancia en lo !ue respecta al aprendi"a0e de

representaciones gr:ficas de relieves de terreno> ya !ue trata al método m:s utili"ado con

éste fin* las curvas de nivel+

Una curva de nivel es una línea !ue une puntos del terreno !ue tienen la misma cota> es

decir> representa la intersección de un plano paralelo al plano de referencia ?de cota

determinada@> con la superficie del terreno+

$l con0unto de procesos en terreno !ue permiten posteriormente tra"ar dic#as curvas en

un plano es muy similar al tra/a0o pr:ctico anterior> us:ndose así una poligonal cerrada

con el menor nmero de estaciones posi/les> de tal manera !ue al mirar a través del

teodolito en cada una de ellas> se o/serven los puntos m:s representativos del relieve en

cuestión ?cam/ios de pendiente@B para luego ir u/icando las miras en estos y efectuar su

respectiva lectura+

Los datos de las cotas y distancias #ori"ontales o/tenidas se ingresan al programa

computacional topoCALL !ue> /asado en los métodos !ue se estudiar:n en el presente

informe> tra"a las curvas de nivel> representando así al relieve del terreno medido+

$l :rea medida corresponde a las inmediaciones del camino pavimentado !ue conduce al

Centro de <iotecnología de la Universidad de Concepción> u/icado en el sector ur3$ste

del campus+ $l camino es sinuoso y de pendiente ascendente #acia la construcción

indicada> presentando en sus alrededores pendientes relativamente a/ruptas así como

otros edificios aparte del mencionado+ 1am/ién se encuentra una escalera de cemento

con terminaciones angulosas> !ue une dos puntos del camino mencionado+

$l pr:ctico e0ecutado /usca la representación gr:fica del relieve del terreno descrito> sindetención detallada en las construcciones> ni vegetación e=istente en el :rea de tra/a0o>

ya !ue eso fue la materia de estudio del pr:ctico anterior



Capítulo '* ,eneralidades-

Capítulo !: "eneralidades

!#1 $%&etivos

• Llevar a la pr:ctica lo aprendido en clases respecto a la confección de poligonales>

en particular en una cerrada> y el método del ta!uímetro para la u/icación de los

puntos en el terreno+• Calcular y medir distancias> cotas> :ngulos #ori"ontales y verticales> para así

llevarlos a una ta/la y posteriormente anali"ar el error o/tenido+• eali"ar un plano del relieve del terreno mediante las coordenadas o/tenidas a

partir del c:lculo> usando ta/las confeccionadas en campo+

!#! 'escripcin del terreno

$l :rea medida corresponde a las inmediaciones del camino pavimentado !ue conduce al

Centro de <iotecnología de la Universidad de Concepción> u/icado en el sector ur3$ste

del campus+

$l camino presenta dos curvas> siendo una de ellas /ien pronunciada> lo cual da origen a

dos partes rectas con una pendiente ascendente #acia la construcción indicada+

Circundantes al camino descrito> e=isten pendientes relativamente a/ruptas> !ue se

presentan generalmente entre las dos partes rectas de la calle mencionada+ 1am/ién se

encuentra una escalera de cemento con terminaciones angulosas> !ue une dos puntos de

las rectas pertenecientes al camino+

Así mismo> se empla"an algunos edificios de terminaciones sencillas> midiéndose - deellos incluido el Centro de <iotecnología+



Capítulo '* ,eneralidades2

'+4 $!uipo Utili"ado

• uinc#a métrica• 1eodolito• 1rípode• 9iras topogr:ficas• Clavos• 1a/las de Datos

!#( 'istri%ucin del Tra%a&o

• Lectura y a0uste del Instrumento* Elvaro 9ella3 e/asti:n ca/rera• Fa/ricación de cro!uis* ugo ,arcía+• egistro de Datos* 8adia ara• ostener la 9ira* Ignacio <ernard> ugo ,arcía e Ignacio 1orres

!)5 Procedi*ientos "enerales

Al llegar al lugar de tra/a0o se asignaron tareas a cada integrante del grupo> con el fin de

optimi"ar el tiempo del tra/a0o+ $l tra/a0o en sí se dividió en dos partes> en primera

instancia la reali"ación de la poligonal cerrada> la cual circundaría al edificio en cuestión> y

en segundo lugar la o/tención de datos del relieve del terreno y sus alrededores ?edificios

y camino@

Ga distri/uidas las diferentes tareas a cada integrante del grupo de tra/a0o y montado el

e!uipo de tra/a0o a utili"ar> se inició con la toma de medidas+ Para empe"ar fue necesario



Capítulo '* ,eneralidades7

esta/lecer la estación %> la cual fue dispuesta cercana a la /ase del camino+ $sta fue

marcada con un clavo> y se u/icó so/re éste el teodolito+ Adem:s se fi0aron las estaciones

restantes> formando un polígono de ) lados> con la condición inicial de !ue se pudieran

ver las estaciones anterior y siguiente> así como tam/ién los puntos m:s relevantes del

terreno> midiendo siempre en sentido #orario+ Una ve" determinados estos puntos seesta/leció un meridiano a modo de norte supuesto> en particular> este fue fi0ado en una de

las es!uinas del cu/o )+ e apuntó el teodolito #acia este punto #aciendo el :ngulo

#ori"ontal ( grados y se midió el correspondiente a"imut #asta llegar a la posición '+ Con

este dato se prosiguió a la medida de :ngulos interiores> apuntando primero #acia la

estación '> de0ando el :ngulo #ori"ontal en ( grados y luego apuntando #acia el punto )+

unto a esto se midió la altura instrumental con #uinc#a> para !ue el #ilo medio en la mira

fuese el mismo y así o/tener el :ngulo vertical+ $sto fue reali"ado en las otras estaciones

#asta cerrar la poligonal> compro/ando !ue el error de cierre estuviera dentro del rangoadmisi/le+ Luego se procedió a la medición de puntos importantes del terreno asignado+

Para lograr las mediciones re!ueridas se mantenía el teodolito fi0o en una estación y se

apunta/a #acia otra #aciendo el :ngulo interior (> de esta forma> se apunta/a a los puntos

en cuestión y se logra/a o/tener el :ngulo de los sectores !ue se desea/an medir> al

igual !ue en la poligonal se fi0a/a un :ngulo vertical ar/itrario utili"ando la mira y leyendo

las alturas de los #ilos+ $n los casos en !ue los detalles no eran posi/les de ver> se

utili"aron las otras estaciones+

A todo punto u/icado y utili"ado se le asignaron nmeros> para el caso de construcciones

?incluye el camino@ y letras> para los puntos !ue representan el relieve+

9ientras eran reali"adas las distintas mediciones y se asigna/an puntos> se llena/an

ta/las con las lecturas o/tenidas del instrumento> al mismo tiempo !ue se efectua/a el

cro!uis del :rea de tra/a0o+



Capítulo 4* Fundamentos 1eóricos5

Capítulo +: ,unda*entos Tericos

+#1 'escripcin del *arco terico

Con la finalidad de reali"ar un tra/a0o con me0ores resultados es de vital importancia el

mane0o de los conceptos para construir un plano+ $stos conceptos ser:n mencionados y

e=plicados a continuación*

• 1a!uimetría* Corresponde al procedimiento topogr:fico !ue permite determinar de

manera simult:nea las coordenadas 8orte3$ste y la cota de un punto so/re la

superficie del terreno+ $ste procedimiento es utili"ado para el levantamiento de

detalles en donde no se re!uiere muc#a precisión+• 1eodolito* $s un instrumento de medición mec:nico3óptico universal !ue sirve para

o/tener :ngulos verticales> y en la mayoría de los casos> :ngulos #ori"ontales

:m/ito en el cual tiene precisión elevada+ $n con0unto a otros instrumentos puede

medir distancias y desniveles+ $n rigor> el teodolito actual es un telescopio

montado en un trípode y con dos círculos graduados> uno vertical y otro #ori"ontal>

con los !ue se miden los :ngulos con ayuda del lente+•

9ira 1opogr:fica* Corresponde a una regla graduada !ue permite por medio de unnivel topogr:fico> medir desniveles o diferencias de altura+

• Poligonal*Una poligonal es una sucesión de líneas !ue/radas> conectadas entre sí

en los vértices+ Para determinar la posición de los vértices de una poligonal en un

sistema de coordenadas rectangulares planas> es necesario medir el :ngulo

#ori"ontal en cada uno de los vértices y la distancia #ori"ontal entre vértices

consecutivos+ $stos vértices se denominan estaciones+• Poligonal Cerrada* on a!uellas poligonales en las !ue el punto de inicio es el

mismo !ue el punto de cierre+ $s posi/le corregir los errores de las mediciones o

compensarlos> de/ido a su control de cierre angular y lineal+ $n particular> para el

tra/a0o en campo utili"aremos este tipo de poligonal+• Poligonal A/ierta* Corresponden a las poligonales en las !ue su punto de inicio es

distinto al punto de cierre+



Capítulo 4* Fundamentos 1eóricos6

• A"imut* $s el :ngulo #ori"ontal medido en el sentido #orario o anti#orario y se

mide 8orte ?!ue puede ser ,eogr:fico> 9agnético o supuesto@ y valor varía entre (

y )(( g+• Engulo vertical* Un :ngulo vertical est: contenido dentro de un plano vertical> este

plano es perpendicular a un plano #ori"ontal> y sirve para definir la inclinación deuna línea so/re el terreno+

• Engulo interior* on los :ngulos !ue se encuentran dentro de un polígono cerrado+• Curva de 8ivel* Línea cerrada o contorno !ue une puntos de igual elevación+• $!uidistancia altimétrica* Diferencia de cota entre dos curvas de nivel+

+#! Construccin de una Poligonal

$l procedimiento geométrico !ue permite reali"ar levantamientos topogr:ficos mediante el

uso de figuras geométricas llamadas polígonos se denomina poligonal+

Para su construcción> en primera instancia> es necesario conocer la dirección de las

aristas de la poligonal> esto depender: del :ngulo #ori"ontal !ue se o/serve en las

mediciones en terreno+ Una forma de reali"ar este procedimiento es utili"ando los :ngulos

#ori"ontales y los a"imut correspondientes a las estaciones adyacentes a la estación !ue

se desea medir+

A#ora para poder determinar el a"imut correspondiente y así reali"ar la poligonal cerrada

es necesario fi0ar un norte> el cual si coincide con el magnético se llamar: norte

magnético> si coincide con el geogr:fico> se llamar: norte geogr:fico y si no coincide con

ninguno de los anteriores se llamar: norte supuesto+ $n particular> se determinar: el

a"imut de la estación % y luego los posteriores ser:n calculados mediante las e=presiones

!ue m:s adelante se presentar:n+



Capítulo 4* Fundamentos 1eóricos%(

+#+ 'eter*inacin de -.i*ut

Para calcular el a"imut de cada estación se utili"a la siguiente e=presión*

α 23=α 12+200−θ2 $cuación %

$n donde*

•α

12 * Corresponde al a"imut medido en la estación %+ $s de la dirección del

segmento !ue une la estación % con la estación '

•α

23 * Corresponde al a"imut de la dirección del segmento !ue une la estación '

y 4•

θ2 * $s el :ngulo interior formado en el vértice ' de la poligonal> entre los otros

vértices % y 4

Para el c:lculo de los a"imut restantes se procede de forma an:loga a la presentada+

+#( 'eter*inacin de 'istancias /ori.ontales

Para lograr calcular la distancia #ori"ontal entre las estaciones % y '> es necesario u/icar

el teodolito en la posición % y una mira en la estación '+ $n el teodolito se mostrar:n las

lecturas de los #ilos medio> superior e inferior> adem:s de esto medir: el :ngulo vertical

?"@+

A#ora la distancia #ori"ontal entre la estacion% y '? Δh12¿ se calcula por medio de*

Δ h12=k ∗G sin( z )2

$cuación '

$n donde*



Capítulo 4* Fundamentos 1eóricos%%

• k * $s la constante estadimétrica del insturmento> cuyo valor en este caso es

%((

• G * $s el generador y se determina mediante la diferencia de los #ilos

superiores e inferior de la estacion% a la '+ $stos valores se determinan medianteel uso de la mira y el teodolito> como anteriormente se e=plicó

• z * $s el :ngulo vertical+

Para el resto de las estaciones se procede de igual forma+

+#5 'eter*inacin de cotas

Para calcular la cota de cada estación se utili"a la e=presión*

C n=C n−1+ Δ v $cuación 4

$n donde*

•C n * Corresponde a la cota de la estación

• C n−1 * Corresponde a la cota de la estación con respecto a la !ue se est:

midiendo

• Δ v * $s la distancia vertical entre estaciones

+#0 'eter*inacin de Coordenadas

Para es!uemati"ar y lograr entender el c:lculo de coordenadas se utili"a el primer

cuadrante de un sistema cartesiano en el cual el norte corresponde al e0e vertical y el este

al e0e #ori"ontal+

A#ora /ien> logrando situarnos dentro de este plano las coordenadas tanto este como

norte se calculan por medio de las ecuaciones*



Capítulo 4* Fundamentos 1eóricos%'

∆ E12=sin ( α

12 )∙ ∆ h12 $cuación )

∆ N 12=cos ( α

12 ) ∙ ∆ h12 $cuación -

$n donde*

•α

12 * $s el A"imut medido en la estación %+ $s de la dirección del segmento !ue

va del vértice % al '

•∆ E

12 * Corresponde a la diferencia entre las coordenadas $' y $%

•∆ N

12 * $s la diferencia entre las coordenadas 8' y 8%

+# Propiedades de las Curvas de Nivel

e indican ciertas propiedades de las curvas de nivel !ue son fundamentales para su

determinación y tra"o*

• Las curvas de nivel de/en cerrar so/re sí mismas> ya sea dentro o fuera del mapa+

8o puede terminar en puntos muertos+

• Las curvas son perpendiculares a la dirección de m:=ima pendiente+

• e supone !ue la pendiente entre líneas de nivel es uniforme+ i no es así> todos

los !uie/res en la pendiente de/en identificarse en el mapa topogr:fico+



Capítulo 4* Fundamentos 1eóricos%4

• La distancia entre curvas indica la magnitud de la pendiente+ Un amplio

estacionamiento corresponde a pendientes suavesB un estacionamiento estrec#o

seHala una pendiente muy inclinadaB un estacionamiento uniforme y paralelo indica

una pendiente constante+

• Las curvas muy irregulares indican terreno muy accidentado+ Las líneas con

curvatura m:s regular indican pendientes y cam/ios graduales+

• Las curvas concéntricas y cerradas> cuya elevación va aumentado> representan

montes o prominencias del terreno+ Las curvas !ue forman contornos alrededor deun punto /a0o y cuya cota va disminuyendoB se llaman curvas de depresión+ Un

rayado por dentro de la curva de depresión m:s /a0a y !ue apunta #acia el fondo

de una #ondonada sin salida> #ace a un mapa m:s f:cil de leer+ Las cotas de las

curvas de nivel se indican en el lado cuesta arri/a de las líneas o en

interrupciones> para evitar confusión* de/en indicarse por lo menos !uinta curva+

• Los cortes y rellenos para presas de tierra> di!ues> carreteras> vías férreas>canales> etc+> forman líneas de nivel rectas o curvas con un estacionamiento igual

o uniformemente graduado+ Las curvas de nivel cru"an los caminos inclinados

segn líneas en ; o U+

• Las curvas de diferente elevación nunca se tocan o encuentran> e=cepto cuando

son de una superficie vertical> como la de un farallón o acantilado+ 8o pueden

cru"arse entre si> e=cepto en el caso poco comn de una caverna o de un peHasco

en voladi"o+ Las formaciones como filo de cuc#illo muy raras veces se encuentran

en configuraciones naturales+



Capítulo 4* Fundamentos 1eóricos%)

• Una curva nunca puede ramificarse en otras dos de la misma elevación+

• Los accidentes orogr:ficos de control para determinar líneas de nivel son

generalmente la líneas de drena0e o escurrimiento+• Una simple curva de nivel de una elevación dada no puede e=istir entre dos curvas

de nivel de igual altura de mayor o menor elevación+ Por e0emplo> una curva de

nivel de 5'( pie no puede e=istir sola entre dos curvas de nivel de 5%( o entre dos

de 54( pie +• Las curvas de nivel cortan los caminos con pendiente y cresta segn curvas

características en forma de U+• La línea litoral o de costa de un lago pe!ueHo constituye una curva de nivel fi0a> si

no se consideran la afluencia> el derrame y los efectos del viento+

+#2 34todos de Tra.ado de Curvas de Nivel

Como las curvas de nivel son líneas !ue unen los puntos de cotas enteras de igual

elevación> y en el tra/a0o de campo difícilmente se o/tienen las cotas enteras> es

necesario recurrir a un proceso de interpolación lineal entre puntos consecutivos> parau/icar dentro del plano acotado los puntos de igual elevación+

$l proceso de interpolación> como se mencionó anteriormente> es un proceso de

interpolación lineal> ya !ue en la determinación de detalles se toman las cotas de los

puntos de !uie/re del terreno> por lo !ue la cota o elevación del terreno varía

uniformemente entre un punto y otro+

Finalmente> determinada la u/icación de los puntos de igual elevación> procedemos a

unirlos por medio de líneas continuas completando de esta manera el plano a curvas denivel+

A continuación descri/iremos los métodos m:s comunes y pr:cticos de interpolación para

la u/icación de las cotas enterasJ o redondasJ+



Capítulo 4* Fundamentos 1eóricos%-




+#2#1 34todo -nalítico

upongamos !ue tenemos el plano de la figura 7+4 y !ue deseamos determinar las cotas

redondas a cada metro !ue e=isten entre los puntos A y <+

Figura %+ Interpolación analítica

Conociendo !ue la variación de la cota entre los puntos A y < es lineal> como #emos dic#o

anteriormente> podemos proceder de la siguiente manera*

a Determinar el desnivel entre los puntos A y <+/ Determinar la distancia #ori"ontal entre A y <c Determinar las diferencias de nivel entre la cota menor o cota de referencia y cada

una de las cotas enteras e=istentes entre A y <+d Por relación de tri:ngulos determinamos los valores de =%> ='> +++ =n> !ue

representan las distancias #ori"ontales entre el punto de menor cota o cota de

referencia y los puntos de cota entera ?figura %@+

La ecuación para el c:lculo de los valores de =i se reproduce a continuación>

x i = (Dt / t ) * i $cuación 2

$n donde>




• t K desnivel total entre los puntos e=tremos• Dt K distancia #ori"ontal entre los puntos e=tremos• i K desnivel parcial entre el punto de cota redonda y el punto de menor cota• =i K distancia #ori"ontal entre el punto de menor cota y el punto de cota redonda a

ser u/icado

e Luego> so/re el plano #ori"ontal y a la escala del mismo> se #ace coincidir el cerodel escalímetro con el punto de menor cota> y a partir de éste se miden los valores

calculados de =i> determinando así la u/icación en el plano de la cota entera

/uscada+f $ste proceso se repite para cada par de puntos adyacentes en el plano acotado+g Finalmente se procede a unir los puntos de igual cota para o/tener las curvas de

nivel correspondiente+

+#2#!# 34todo "ráfico

$l método gr:fico est: /asado en el teorema de proporcionalidad de 1#ales> cuyo

enunciado se reproduce a continuación*

i varias rectas paralelas cortan dos líneas transversales> determinan en ellas segmentos

correspondientes proporcionalesJ+




La figura ' representa gr:ficamente el teorema de 1#ales+

Figura '+ epresentación gr:fica del 1eorema de tales

$n la figura ' A< y AC son rectas transversales y aa y // son rectas paralelas a C<> por

lo tanto> segn el teorema de 1#ales tenemos*

AC

AB=

Aa

Aa' =

Ab

Ab' =

ab

a' b '

$ste mismo principio es aplicado para u/icar puntos de cota entera entre dos puntos del

plano acotado+

$l procedimiento de interpolación gr:fica ser: descrito con la ayuda de la figura 7+7 en la

!ue deseamos u/icar los puntos de cota entera con e!uidistancia de % m !ue e=isten

entre los puntos A3< de la figura 4

.

Figura 4+ epresentación del método gr:fico




Procedimiento*

a Por el punto de menor cota ?punto A@ se tra"a la recta ar/itraria ?A<@+

/ Alineando el escalímetro so/re A< y a una escala conveniente> se #ace coincidir la parte decimal de la cota del punto A ?(>))@ con el punto A representado+

c Como se desea u/icar las cotas enteras con e!uidistancia de % m> se marca so/re

la alineación A< los puntos intermedios %> '> 4> ) y < !ue representar:n las cotas

))> )-> )2> )7 y )7>24> respectivamente+d Por el punto <> !ue representa la cota )7>24 se tra"a una línea !ue pase por <>

determinando de esta manera la alineación <<+e e tra"an líneas paralelas a << por los puntos %> '> 4 y ) #asta interceptar la línea

A<+f Por el principio de proporcionalidad de 1#ales> los puntos interceptados definen la

u/icación de las cotas ))> )-> )2 y )7 so/re la línea A<+g 8ótese !ue en la interpolación gr:fica> la escala utili"ada para dividir la recta

au=iliar no influye en el resultado final+# e repite el proceso indicado para cada par de puntos adyacentes+i Finalmente se procede a unir los puntos de igual cota para o/tener las curvas de

nivel correspondientes+

+# Teoría de 6rrores

Al momento de tra/a0ar en campo es de suma importancia tener en consideración los

errores+ Por definición un error es la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero+

Pueden llegar a reducirse> pero no eliminarse> estos resultan in#erentes a toda medición+

$=isten tres causas de/ido a las cuales se cometen errores al efectuar mediciones> y se

clasifican en*

• $rrores Instrumentales* De/ido a la imperfección en la construcción de loselementos de medida+ $ste tipo de error puede reducirse> adoptando

procedimientos topogr:ficos adecuados o aplicando correcciones calculadas• $rrores 8aturales* on causados por las condiciones am/ientales imperantes

durante el tra/a0o en campo> tales como> el viento> la gravedad> la temperatura>

etc+



Capítulo 4* Fundamentos 1eóricos'(

• $rrores Personales* on causados principalmente> por las limitaciones del

o/servador u operante> tales como deficiencia visual> mala apreciación de

fracciones> etc+

A#ora /ien> adem:s de esta clasificación> los errores en las mediciones pueden

clasificarse dentro de dos tipos* Aleatorios y istem:ticos+

• $rrores istem:ticos* esultan de factores apuntan al sistema de medición e

incluyen al medio am/iente> los instrumentos y el o/servador+ iempre !ue las

condiciones del sistema se mantengan constantes> los errores sistem:ticos se

mantendr:n a sí mismos constantes+ i las condiciones cam/ian> de forma

an:loga a lo anterior> las magnitudes de los errores sistem:ticos tam/ién cam/ian+

$stas condiciones se de/en a leyes físicas !ue se pueden representar por medio

de modelos matem:ticos> por ende> si se conocen las condiciones y es posi/le

medirlas> es posi/le calcular una posi/le corrección y aplicarla a los valores

o/servados+• $rrores Aleatorios* $stos corresponden a los errores !ue !uedan una ve"

eliminados los errores sistem:ticos+ on ocasionados por factores !ue !uedan

fuera del control del o/servador> o/edecen a leyes de la pro/a/ilidad+ on

conocidos tam/ién como errores accidentales+ $st:n presentes en todas

mediciones topogr:ficas+

$s importante tratar de minimi"ar los errores en las mediciones> ya !ue estos generan una

pérdida tanto de tiempo como dinero+ Adem:s de esto es necesario estar consciente de

!ue el error es algo totalmente distinto a la e!uivocación+ 9ientras !ue el primero resulta

una discrepancia entre valores o/servados y el real> como anteriormente se mencionó> y

este ltimo corresponde a una falta grave ocasionada por descuido> distracción o falta de

conocimiento del o/servador u operador+



Capítulo )* An:lisis de $rrores'%

Capítulo (: -nálisis de 6rrores

(#1 6rrores co*etidos en el desarrollo del práctico

8o es desconocido el #ec#o de !ue toda medición est: su0eta a error+ $l presente pr:ctico

al igual !ue todos los anteriores estuvo su0eto a esta condición> es por eso !ue el grado

de error ser: anali"ado para m:s tarde clasificarlo en admisi/le o no admisi/le+

A#ora /ien> en una poligonal cerrada la suma de los :ngulos interiores est: dada por la

siguiente e=presión*

∑ θ=(n−2 ) ∙200 $cuación 7

$n donde

• θ * Corresponde al :ngulo interior de la poligonal

• n * $s el nmero de lados de la poligonal

De/ido a !ue el nmero de lados de la poligonal es ) se tiene !ue*

∑ θ=(4−2 ) ∙200=400

$ntonces el error es*

eθ=∑ θ

ideal−θ

real $cuación 5



Capítulo )* An:lisis de $rrores''

$n particular se tiene*

eθ=400−399,927=0,073g

9ientras !ue el error admisi/le est: dado por

adm=¿ √ n

27=√ 4

27=

2

27=0,07407 g

e¿

Luego como eadm>eobt es posi/le afirmar !ue las mediciones se encuentran dentro

del rango admisi/le y se procede a corregir los :ngulos interiores

θ1

=106,496+0,0183=106,515g

θ2=103,703+0,0183=103,722g

θ3=97,521+0,0183=97,539 g

θ4=92,206+0,0183=92,225 g

Para continuar con la poligonal es necesario calcular los a"imut de cada estación> para

ello se tra/a0a con los :ngulos interiores ya corregidos y con la ecuación %> mostrada en el

capítulo anterior+ $ste c:lculo ser: presentado en el capítulo siguiente+



Capítulo )* An:lisis de $rrores'4

Adem:s de estos datos es necesario corregir las coordenadas de las estaciones utili"adas

en el tra/a0o en campo+ De/ido a !ue el tra/a0o se enfocó en una poligonal cerrada> el

movimiento total tanto en el e0e vertical> como en el #ori"ontal de/e ser igual a cero> por lo

!ue el error viene dado por la variación !ue e=ista con respecto al cero+

$s decir> !ue si se tiene la situación en el !ue la estación inicial tiene coordenadas*

• 8* %(((>( m• $* %(((>( m

G al completar la poligonal y volver a la estación % se o/tienen los datos 8* %(((>5-4 m y

$* 666>657 es clara la presencia del error en cuanto a las coordenadas+

$n este caso el error !ueda representado por la e=presión*

e

e

¿(¿ N ¿¿ 2)(¿¿ E)2+¿

¿ec=√ ¿

$cuación 6

$n donde*

• e

E=∑∆ E * Corresponde a la sumatoria de las coordenadas relativas en el e0e

#ori"ontal

• e

N =∑∆ N * Corresponde a la sumatoria de las coordenadas relativas en el e0e

vertical

Por ende en este caso en particular se tiene !ue*



Capítulo )* An:lisis de $rrores')

e E=0,013m y e N =−0,853m

Por lo tanto

−0,853¿¿

¿20,013

2+¿ec=√ ¿

Luego el error admisi/le para las coordenadas est: dado por*

ead=2√ D m $cuación %(

$n donde D corresponde a la distancia recorrida en Milómetros+

A#ora /ien> para una distancia recorrida de (>'(( Milómetros se tiene !ue el error

admisi/le es (>56)> a partir de este dato se procede a corregir las cotas+

La forma de corregir cotas para las coordenadas $ est: dada por la e=presión*

En= Esc e E

∑|∆ E|∙ ∆ E ac $cuación %%

$n donde*

• E N * Corresponde a la coordenada $ste corregida+

• Esc

* $s la coordenada sin corregir

•e E * Corresponde a el error o/servado en la coordenada $ste

• ∆ E * $s la sumatoria de las coordenadas parciales $ste

•∆ E ac * Corresponde a las coordenadas parciales $ste acumuladas #asta la

estación3



Capítulo )* An:lisis de $rrores'-

Para el caso de las coordenadas nortes se procede de manera an:loga> pero /a0o la

e=presión*

N n= N sc e N

∑|∆ N |

∙ ∆ N ac $cuación %'

$n donde todos los miem/ros de la e=presión son an:logos a los de la ecuación %(> salvo

!ue a#ora en ve" de $ste se utili"a 8orte+

A diferencia del resto de correcciones> el tra/a0o en cotas est: dado por la distancia

vertical ? ∆ v @+

A#ora para calcular las cotas se utili"a la e=presión*

C n=C n−1+∆ v $cuación %4

$l ser una poligonal cerrada> se de/e volver a la cota inicial+ $sta cota es conocida+

i la cota o/tenida al cerrar la poligonal resulta distinta de la cota inicial se est: en

presencia de un error en las mediciones+ A#ora /ien> suponiendo !ue se tiene una cota

inicial de %(>((( m y al cerrar la poligonal se o/tiene una cota de %(>((4 m> el error

presentado es (>((4m

$l error admisi/le para las cotas !ueda representado en*

ead=0,02√ D m $cuación %)

$n donde D es la distancia recorrida en Milómetros+

iguiendo en el supuesto+ i se tiene una distancia recorrida de (>'(( Mm> se tendr: un

error admisi/le de (>((6 m> por lo cual el error se encuentra dentro del rango admisi/le y

se prosigue con corregir las cotas+

Para la corrección de las cotas se utili"a*



Capítulo )* An:lisis de $rrores'2

C n=C sc ec

D ∙ Dac $cuación %-

$n donde*

•C n * $s la cota corregida

•C sc * $s la cota sin corregir

•ec * Corresponde a el error o/tenido en el cierre

• D * $s la distancia total recorrida

• Dac * $s la distancia acumulada #asta el punto



Capítulo -* $0emplos de C:lculo'7

• Capítulo 5: 6&e*plos de Cálculo

• 5#1 6&e*plo de Cálculo

•

• Para efectos de c:lculos en el presente pr:ctico se utili"ar:n los mismos e0emplos

del tra/a0o anterior> sin em/argo a este procedimiento se le ane=ar: todo lo !ue es

altimetría de la mano a curvas de nivel+

•

•

A#ora considerando una cota de %(>((( metros y coordenadas de %((>((( 8orte y%((>((( $ste> para la estación % se tiene !ue*

•

• 5#! Cálculo de ángulos /ori.ontales

•

• Lo primero !ue se de/e #acer para o/tener las coordenadas de las estaciones es

corregir los :ngulos interiores> como se reali"ó en el capítulo anterior> lograndoo/tener los siguientes valores*

• Para $%> K%(2>-%-• Para $'> K%(4>7''• Para $4> K67>-46• Para $)> K6'>''-



Capítulo -* $0emplos de C:lculo'5

• A#ora con los :ngulos interiores corregidos se procede a calcular el a"imut

mediante la ecuación %> de la sección 4+4

•

• 5#+ Cálculo de -.i*ut

•

• Luego para cada estación> su a"imut es*

•α

12=6,981g

•α

23=6,981+200−103,722=103,259 g

•α

34=103,259+200−97,539=205,720 g

•α

41=205,720+200−92,225=313,496 g

•

• 5#( Cálculo de 'istancias /ori.ontales 7 8erticales

•

• A#ora se calculan las distancias #ori"ontales de las estaciones> pero antes de eso

se calcula el generador> el cual corresponde a la diferencia entre el #ilo superior

?#s@ y el #i0o inferior ?#i@> luego este valor se multiplicar: por la constante

estadimétrica+ La resultante entre estas dos magnitudes !ueda especificado en la

columna N, en la ta/la ad0unta

•

• Con estos valores se calculan las distancias #ori"ontales de las estaciones>

mediante*

• ∆ h12=k∙G∙sen

2( z ) $cuacion %2



Capítulo -* $0emplos de C:lculo4(

•

• ∆ ! =k ∗Gsin( z)cos( z ) $cuación %7

•

• $n donde*

• M* $s la constante estadimétrica> es igual a %((+• ,* ,enerador ?#s3#i@• "* Corresponde al :ngulo vertical de $% a $'> medido en gradianes+

•

•

• Para el primer caso se tiene !ue*

• ∆ !

12=100∗0,388sin (100,9395 )cos (100,9395 )=−0,573m

• Como se reali"aron ' medidas para cada lado de la estación> es necesario calcular

la distancia vertical de $' a $%> de manera an:loga a $%3$'

• ∆ ! 21=100∗0,39sin (99,165 ) cos (99,165 )=0,511m

• e promedian am/os valores*

•

´∆ ! 12=

∆ ! 12−∆ !

21

2=−0,542m

• e reali"a lo mismo para las otras estaciones de modo !ue se o/tiene*

•

´∆ ! 23=0,495m

•

´∆ ! 34=0,276m



Capítulo -* $0emplos de C:lculo4%

•

´∆ ! 41=−0,261m

• 5#5 Cálculo de Cotas

•

• Para calcular las cotas> siempre /a0o el supuesto de !ue la altura instrumental es

igual al #ilo medio> se utili"a la e=presión*

• Cn=C ( n−1 )+∆ ! $cuación %5

• De esta forma los valores de las cotas son*

•C

1=10,000m

•C

2=C

1+∆ !

12=10,000m−0,542m=9,458m

•C

3=C

2+∆!

23=9,458m+0,495m=9,953m

•C

4=C

3+∆ !

34=9,953m+0,276m=10,249m

•C

1=C

4+∆ !

41=10,249m−0,261m=9,994 m

•

• $s f:cil notar la presencia de un error> por lo !ue se dispone a corregir este+ Para

ello procedemos mediante la distancia recorrida*

•

•C C =C sc

error de cierre

Distancia total recorrida∗ Distancia ac"m"lada

$cuación %6

• $n donde*



Capítulo -* $0emplos de C:lculo4'

•C C * $s la cota corregida

•C sc * Cota sin corregir+

• De modo !ue se tiene*

•C

1=10,000m

• C

2=9,458m+( 6∗10

−3

192,385∗38,993)m=9,460m

• C

3=9,953m+( 6∗10

−3

192,385∗91,338)m=9,956m

• C

4

=9,994 m+

( 6∗10−3

192,385∗192,385

)m=10,000m

•

• 5#0 Cálculo de Coordenadas

•

• A#ora se calculan las coordenadas las coordenadas relativas para 8orte ?O8@ y

$ste ?O$@> con la ecuación*

• ∆ E

12=sin ( α

12 )∙ ´∆ h12 $cuación '(

• ∆ N

12=cos ( α

12 ) ∙ ´∆ h12 $cuación '%

• ./teniendo*

• ∆ E

12=sin (6,981 )∗38,893m=4,256m

• ∆ N

12=cos (6,981 )∗38,893m=38,659m

•

• Para el resto de las estaciones se tra/a0a de igual forma> por lo !ue se tiene*



Capítulo -* $0emplos de C:lculo44

•∆ E

23=52,377

•∆ N

23=−2,684

•∆ E

34=−4,262

• ∆ N 34=−47,307

•

•∆ E

41=−52,349

•∆ N

41=11,267

•

•

•

• Después de esto se calculan las coordenadas a/solutas*•

• E

2= E

1+∆ E

12=1000,0+4,256=1004,256m

• N

2= N

1+∆ N

12=1000,0+38,659=1038,659 m

• E

3= E

2+∆ E

23=1004,256+52,377=1056,633m

• N

3= N

2+∆ N

23=1038,659−2,684=1035,975m

• E

4= E

3+∆ E

34=1056,644−4,262=1052,382m

• N

4= N

3+∆ N

34=1035,975−47,307=988,668m

• E

1= E

4+∆ E

41=1052,382−52,349=1000,021m

• N

1= N

4+∆ N

41=988,668+11,267=999,935m

•

• Para terminar se corrigen las coordenadas> de la misma forma como se mostró en

el capítulo )> o/teniendo así> los resultados presentados en la ta/la anterior+•

•

•

•

•



Capítulo -* $0emplos de C:lculo4)

•

• 5# Construccin de Curvas de Nivel

•

• A partir de la poligonal es posi/le o/tener las coordenadas y las cotas de los

puntos de los cuales se pretende reali"ar el levantamiento+ Con estos puntos

distri/uidos en la e=tensión de la poligonal es posi/le> mediante los métodos

descritos en el marco teórico> construir un mapa topogr:fico+

•

Ilustracin 1 6&e*plo Nu%e de Puntos



Capítulo -* $0emplos de C:lculo4-

•

•

•

• $l método de interpolación geométrica nos indica !ue se de/e trianguli"ar cada

uno de los puntos de la nu/e> y mediante el uso del escalímetro> ser: posi/le

determinar la u/icación de las cotas de nmeros enteros> una ve" esta/lecidos los

nmeros enteros> se podr:n unir los puntos de igual cota> ad!uiriendo una forma

apro=imada a la curva de nivel+

• $s importante seHalar !ue dos curvas de nivel no pueden cru"arse entre sí> esta

condición puede pasarse por alto en estructuras como acantilados

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Ilustracin ! 6&e*plo de *apa topográfico



Capítulo -* $0emplos de C:lculo42

•



Capítulo 2* Conclusiones47

• Capítulo 0: Conclusiones

•

• 0#1 Conclusiones

•

• Al finali"ar el tra/a0o se dan aprendidas las diferentes técnicas de levantamiento

!ue se anali"aron a lo largo de todo el curso> dando fin a un largo proceso !ue

inició con el levantamiento a #uinc#a y !ue terminó con la confección de un mapa

con curvas de nivel+ i /ien los procedimientos eran conocidos> esto no significó

!ue la confección del plano o el tra/a0o en campo fuera m:s e=pedita> sino !ue el

presente pr:ctico fue el !ue m:s tiempo demandó entre los integrantes del grupo+

• A#ora /ien> se reconoce !ue el método de las curvas resulta interesante por el

#ec#o de estar m:s familiari"ados con est:s y los mapas en donde se incluyen+

• unto a esto> se aHade el #ec#o de la comprensión del rol del topógrafo y la

precisión !ue este de/e tener en los distintos tra/a0os !ue se le asocian> adem:s

no es menos importante destacar !ue en el proceso las malas ideas dentro del

grupo siempre afloraron> siendo propuestas y elegidas por unos pocos> de0ando de

lado a la gran mayoría del grupo de tra/a0o> es por este motivo> tam/ién> !ue se

e=plican los constantes fracasos en el desarrollo de los pr:ctico> tanto en la toma

de medidas como en la convivencia de este mismo durante los terrenos+

•

0#! Co*entarios

•

• Uno de los pro/lemas m:s frecuentes y comunes durante el desarrollo de todos

los pr:cticos y en particular este> en el cual esta condición aumentó

considera/lemente> era el estado de los e!uipos> esto> de/ido a !ue se apaga/an

entre mediciones o en ocasiones no arro0a/an el :ngulo vertical> aun así estando



Capítulo 2* Conclusiones45

nivelado el e!uipo> esta fue la pie"a clave dentro del tiempo utili"ado durante todo

el desarrollo del tra/a0o en campo+

• Por otro lado> al culminar con este proceso es destaca/le #acer notar !ue mientras

menos personas estén ligadas a este tipo de tra/a0os> resulta menos tenso el

am/iente> ya !ue nadie !uiere llegar a imponer sus ideas por so/re los otros> aun

así estando estas incorrectas o !ue no lleguen a ningn lado+

•



Capítulo 7* <il/iografía46

• Capítulo : 9i%liografía

•

• #1 9i%liografía

•

Métodos Taquimétricos ?#ttp*&&+ser/i+ula+ve&ser/iula&li/ros3

electronicos&Li/ros&topografiaQplana&pdf&CAP37+pdf @+ ;isitado el* %5&%%&'(%)+• León> C+ ?'(%)@ Guía TP5: Curvas de Nivel” Arc#ivo PDF+ Poligonales abiertas y cerradas

?#ttp*&&topografia/asicasena+/logspot+com&p&calculo3de3angulos3#ori"ontales+#tml@+

;isitado el ')&%%&'(%)+

http://www.serbi.ula.ve/serbiula/libros-electronicos/Libros/topografia_plana/pdf/CAP-7.pdf


http://topografiabasicasena.blogspot.com/p/calculo-de-angulos-horizontales.html



http://topografiabasicasena.blogspot.com/p/calculo-de-angulos-horizontales.html



Capítulo 5* Ane=os)(

• Capítulo 2: -neos:

• 2#1 Ta%las

• 2#1#1 Ta%la Poligonal

•

• 1a/la %* Poligonal+ Engulo #ori"ontal> vertical y a"imut medido en gradianes+ $l resto de medidas se encuentra en metros+

•

•

•



)%

• 2#1#! Ta%la Puntos Terreno#

•

• 1a/la '* Coordenadas de los puntos y terreno+ Engulo #ori"ontal> vertical y a"imut

medido en gradianes+ $l resto de medidas se encuentra en metros+



)'

•



)4

•

•



))

• 2#+ Cro;uis

•

•



)-

•



)2

•



)7

•



)5

•

topografía curvas de nivel

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