trayectoria de grieta formada por la union de …

TRAYECTORIA DE GRIETA FORMADA POR LA UNION DE MULTIPLES DESPEGUES EN LAMINASUNIDIRECCIONALES DE MATERIALES COMPUESTOS SOMETIDOS A CARGAS TRANSVERSALES

BIAXIALES

Luis Tavaraa, Vladislav ManticaaGrupo de Elasticidad y Resistencia de Materiales, Escuela Tecnica Superior de Ingenierıa

Universidad de Sevilla, Camino de los Descubrimientos s/n, 41092 Sevilla, EspanaE-mail: [email protected], [email protected]

RESUMEN

En el presente trabajo se estudia el inicio y crecimiento de despegues a lo largo de interfases fibra-matriz. En particularse analiza la trayectoria de grieta formada por los despegues de fibras cercanas. Para el modelo del comportamiento delas grietas de interfase se utiliza el Modelo de Interfase Elastica-Lineal Fragil (MIELF). El modelo usado incluye 10fibras de vidrio inmersas en una celda de matriz polimerica (con dimensiones mucho mas grandes que el radio de lafibra). En trabajos previos, los autores obtuvieron algunos resultados preliminares para el caso de una fibra aislada. Elanalisis numerico en el presente trabajo incluye: (i) La prediccion de la carga crıtica que produce el inicio del primerdespegue, ası como de los despegues sucesivos que llevaran a la formacion de una trayectoria de grieta, (ii) Evaluacion dela posicion donde aparecen los primeros despegues, (iii) El estudio del efecto de las cargas biaxiales en la trayectoria degrieta formada.

ABSTRACT

In the present investigation debonds onset and growth along fibre-matrix interfaces is numerically studied. Special at-tention is paid to the crack path formed by multiple debonds between neighbour fibres. The interface crack behaviour ismodelled by means of the so-called Linear Elastic Brittle Interface Model (LEBIM). The numerical model includes 10glass fibres embedded in an epoxy matrix (with much larger dimensions than the fibre radius). Previous investigations bythe authors showed results for the single fibre case. The present numerical analysis includes: (i) Critical load predictions,the one causing the first debond as well as the subsequent ones, leading to a “‘macro” crack path, (ii) Study of the debondonset position, (iii) Study of the biaxial tranverse loads effect on the crack path formed.

PALABRAS CLAVE: Despegue fibra-matriz, tenacidad a la fractura de interfases, resistencia de la interfase, criterio defallo, agrietamiento transversal

1. INTRODUCCION

Es bien conocido que las interfases [1, 2] juegan un papelfundamental en los mecanismos de fallo de los materialescompuestos a escala microscopica, cuando se analiza lainteraccion entre fibras y matriz, ver por ejemplo [3, 4, 5,6, 7] y sus referencias.

El fallo entre fibras (tambien conocido como fallo de lamatriz o agrietamiento de la matriz) se ha estudiado demanera experimental, numerica y semi-analıtica para unaconfiguracion de una fibra aislada sometida a cargas bia-xiales transversales en [7, 8, 9, 10]. La influencia de unafibra cercana en el fallo entre fibras se ha estudiado en[11, 12, 13]. Los resultados numericos obtenidos mues-tran que la distancia entre dos fibras, ası como la posicionde la fibra secundaria, respecto de la direccion de la cargaaplicada, tiene una gran influencia en el comportamientode los despegues (grietas de interfase). Recientemente en[14] se estudio una secuencia de despegues consecutivosde fibras inmersas en una matriz infinita usando un codi-go basado en el Metodo de los Elementos de Contorno(MEC) y el MIELF. Este procedimiento ha demostradoser una herramienta eficiente, robusta y fiable en [6, 7].

Aunque, como se ha mostrado previamente el problemade despegues en las interfases fibra-matriz ha sido estu-diado por muchos investigadores, aun quedan preguntassin resolver por ejemplo aquellas relacionas con la trayec-toria de la grieta formada por la union de los despegues.

2. EL PROBLEMA DE 10 FIBRAS

2.1. Descripcion del problema

Existen varias opciones para modelar una configuracionreal de un material compuesto. En este trabajo se ha con-siderado la opcion de incluir un conjunto de fibras in-mersas en una matriz mucho mas grande y se ha resueltonumericamente el problema de un grupo de 10 fibras conradio a. La posicion de las fibras corresponde a una par-te real seleccionada aleatoriamente de una micrografıa deun composite de fibra de vidrio [14]. La figura 1 mues-tra las proporciones reales de la configuracion estudiada.Ademas se asume un estado de deformacion plana concoordenadas cartesianas (x, y). Las cargas uniformes apli-cadas remotamente σ∞x y σ∞y son paralelas a los ejes x

Anales de Mecánica de la Fractura 34, 2017

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(horizontal) e y (vertical) respectivamente. En este estu-dio se consideran diferentes valores del factor de biaxili-dad [7, 14]:

χ =σ∞x + σ∞y

2 max{|σ∞x |, |σ∞y |}, (1)

donde χ = −0.5 define un estado de compresion puraen una direccion, χ = 0 un estado equibiaxial tension-compresion (cortante puro), χ = 0.5 un estado de traccionpura en una direccion, y χ = 1 un estado de traccionequibiaxial.

σx∞σx∞

σy∞

σy∞

Figura 1: Fibras seleccionadas de la micrografıa y car-gas transversales aplicadas en zonas lejanas.

Para ver la influencia de la posicion de las fibras, el gru-po de fibras se ha rotado 0◦, 30◦, 60◦, 90◦, 120◦ y 150◦

respecto del eje x, obteniendo ası 6 configuraciones dife-rentes.

2.2. Modelo del problema

Para el presente estudio se ha escogido un sistema bi-material tıpico entre los materiales compuestos: matrizepoxy (m) y fibra de vidrio ( f ). Las propiedades elasticasde la matriz y las fibras son Em = 2.79 GPa, νm = 0.33,E f = 70.8 GPa y ν f = 0.22. Las interfases se mode-lan usando el MIELF por medio de una ley elastica li-neal (perfectamente) fragil [6, 7, 14]. Ademas se usan lossiguientes parametros que caracterizan la interfase fibra-matriz: tenacidad a la fractura en modo I (GIc = 2 Jm−2),traccion crıtica en modo I (σc = 90 MPa), la proporcionentre la rıgidez normal y tangencial kn y kt (ξ = kt/kn =

0.25), y el parametro de sensibilidad al modo de fractura[7, 15] (λ = 0.25). El algoritmo de solucion usa una for-mulacion incremental y un procedimiento muy eficientepara la solucion de problemas no lineales, esta formula-cion es usualmente conocida como Analisis SecuencialLineal (ASL) [7].

El modelo MEC 2D usado representa 10 fibras con radioa =7.5 µm dentro de una matriz cuadrada de lado 1 mm,ver Figura 1. Se usan un total de 3632 elementos linea-les de contorno: 32 elementos para la parte exterior de la

matriz y dos mallas uniformes (por cada fibra) de 180 ele-mentos para modelar la interfase fibra-matriz (el angulopolar de cada elemento en la interfase es de 2◦).

3. EVOLUCION DE LOS DESPEGUES

En la Figura 2 se muestran los valores de carga necesariospara la iniciacion del primer despegue (primera iteracion)y la carga necesaria en cada paso siguiente que produciraun crecimiento del despegue o un nuevo inicio de otrodespegue (en otra fibra). Los casos mostrados son χ =

−0.25 (2C-T), χ = 0.5 (0-T) y χ = 0.75 (0.5T-T), curvasroja, azul y verde respectivamente. El grupo de fibras estarotado 30◦ respecto del sistema coordenado. La (primera)carga crıtica σ∞cy (carga crıtica en direccion y) se indicacon lıneas discontinuas. Los valoresσ∞cx correspondientesse aplican acorde al valor de χ usado.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 50 100 150 200 250 300 350

y/

c

Número de iteración

= -0.25 (2C-T) = 0.5 (0-T) = 0.75 (0.5T-T)

∞ ∞cy AB

C

Figura 2: Carga aplicada, σ∞y (para σ∞y ≥ σ∞x ), nece-saria en cada iteracion para producir el inicio o creci-miento de despegues para χ = −0.25, 0.5 y 0.75. Cadaiteracion multiplicada por el angulo polar 2◦ se corres-ponde con una extension de la longitud total de la grietade interfase.

La evolucion de los despegues es un proceso inestable, esdecir que cuando se alcanza la carga crıtica, la que iniciaun despegue, luego se necesitan cargas menores para pro-ducir el subsecuente crecimiento del despegue. Como semuestra en la Figura 2, se puede decir que existen 3 tiposde curvas. El primer tipo de curva (roja) muestra que senecesitan cargas mas altas para producir los despegues si-guientes (proceso “globalmente estable”). En el segundotipo de curva (azul), se necesitan cargas muy similares pa-ra los siguientes despegues (proceso “en equilibrio neutroglobal”). Finalmente, en el tercer tipo de curva (verde), lacarga crıtica σ∞cy, y su correspondiente σ∞cx, no solo pro-duce el primer despegue sino que tambien produce variosdespegues siguientes (proceso “globalmente inestable”)[14].

La longitud de los despegues producidos en cada fibratambien esta influenciada por el valor de χ. A menoresvalores de χ se observan despegues mas cortos mientras


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(a) (b)

(c) (d)

Figura 3: Deformada (multiplicada por un factor de dos)en la zona de las fibras. (a) χ = −0.25 (2C-T), corres-pondiente con la iteracion 200 marcada con la letra Aen la Figura 2. (b) χ = 0.5 (0-T), correspondiente con laiteracion 276 marcada con la letra B en la Figura 2. (c)χ = 0.75 (0.5T-T), correspondiente con la iteracion 362marcada con la letra C en la Figura 2. (d) χ = 1 (T-T),correspondiente con la iteracion 370.

que para mayores valores de χ se producen despeguesmas largos, ver Figura 2. Este comportamiento se obser-va claramente en la Figura 3. Estos resultados se observanen todos los casos resueltos numericamente (42 en total)para los 7 valores del factor de biaxilidad χ (-0.5, -0.25,0, 0.25, 0.5, 0.75 y 1) y 6 rotaciones diferentes del gru-po de fibras. Finalmente se debe mencionar que la cargacrıtica obtenida en el presente estudio para χ = 1 no estaafectada por la rotacion del grupo de fibras, sin embargose espera una ligera variacion si se usaran distribucionesaleatorias reales.

4. POSICION DE INICIO DEL 1◦ DESPEGUE

En [7] se realiza una serie de estudios parametricos delmodelo de una fibra aislada. En ese estudio, se muestraque para valores menores de χ la posicion donde se ini-cia el despegue cambia. La posicion de inicio se mide pormedio del angulo θ0, que se define como el angulo entreel radio donde se produce la iniciacion y la direccion dela tension principal maxima remota σ∞I (en todos los pro-blemas resueltos en este estudio esta definida por el ejey), ver Figura 4. Para las propiedades de interfase descri-tas, θ0 = 0◦ para valores χ & −0.4 en la configuracion de

fibra aislada. Es decir en el caso de una fibra aislada θ0tiende a cero en la mayorıa de casos biaxiales.

σI∞

σI∞

2r + d

Figura 4: Definicion de los angulos ϑd y θ0 en una parejacrıtica de fibras.

En la presencia de mas fibras, hay parametros adicionalesque pueden influenciar en la posicion donde ocurre el ini-cio del despegue [14]. Algunos de estos parametros sonla distancia entre fibras vecinas d, y el angulo ϑd forma-do entre la lınea que une los centros de dos fibras y ladireccion de la tension principal maxima remota σ∞I , verFigura 4. En este estudio se observa que el primer despe-gue usualmente ocurre en una pareja de fibras vecinas convalores bajos de d y ϑd, esta pareja de fibras se referiracomo pareja crıtica [14]. Como se ha comentado antes,los resultados para el caso con χ = 1 (T-T) son igualesen las 6 configuraciones estudiadas, este efecto se expli-ca ahora por el hecho de que la pareja crıtica es siemprela misma (debido a la simetrıa completa del caso de trac-cion biaxial). Por ello, en esta seccion no se incluyen losresultados para χ = 1.

Los resultados muestran que el angulo θ0 no se ve influen-ciado significativamente por los diferentes casos biaxia-les (hay una dispersion similar en cada caso) a diferenciadel caso de fibra aislada. Es interesante que los valoresde ϑd parecen ser muy similares a los valores de θ0, sien-do ambos siempre menores de 18◦ en el presente estudio.De manera similar, d no se ve influenciado significativa-mente por los diferentes casos biaxiales. Los resultadosmuestran que las distancias entre las fibras en la parejacrıtica son siempre menores del 30 % del radio de la fi-bra.

En vista de los resultados mencionados, se muestran losvalores de ϑd vs. los valores de θ0 en cada caso particular(para todos los 36 casos) en la Figura 5(a). Sorprendente-mente, la lınea de tendencia muestra una gran correlacion


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y = 1.0422x + 0.0725

0

5

10

15

20

0 5 10 15 20

0

(a)

0

5

10

15

20

0 0.1 0.2 0.3d / r

(b)

Figura 5: (a) Correlacion entre los valores los angulos ϑd

y θ0. (b) Angulo ϑd vs distancia relativa entre las parejascrıticas de fibras d.

entre los valores de ϑd y θ0, siendo estos valores practi-camente identicos. Las diferencias pueden explicarse de-bido a la discretizacion usada para modelar la interfasefibra-matriz, mientras que θ0 debe coincidir con un nododel elemento de contorno, ϑd puede tomar cualquier va-lor. Finalmente, en la Figura 5(b) se muestra la influenciade la distancia d sobre la posicion relativa de las fibrasen la pareja crıtica (dada por el angulo ϑd). Aunque seaprecia cierta dispersion en los resultados, se observa quea menores valores de d se pueden encontrar mayores va-lores de ϑd, mientras que para valores mayores de d losvalores de ϑd son menores. Se debe mencionar que aun-que las graficas mostradas en las Figuras 5(a) y (b) pare-cen tener pocos puntos, en realidad tienen 36 puntos ca-da una. Nuevamente la discretizacion usada en el modelohace que varios puntos concidan en ambas graficas. Estosresultados muestran que para definir la posicion de iniciodel despegue (θ0) en un grupo de fibras, el parametro masimportante es la configuracion de las parejas crıticas defibras (definida por los parametros d y ϑd). El valor de θ0es muy importante debido a que el crecimiento del despe-

gue es practicamente simetrico. Por ello, la posicion delinicio del despegue parece tener una gran influencia en laforma final de la macro–grieta.

5. TRAYECTORIA DE GRIETA FORMADA PORMULTIPLES DESPEGUES

Una vez analizada la posicion donde ocurre el primer des-pegue, es interesante estudiar la trayectoria de grieta for-mada los multiples despegues. En esta seccion se presen-ta una discusion sobre la trayectoria obtenida en las 36configuraciones modeladas.

En la Figura 6 se presenta un resumen de las 6 configura-ciones del grupo de fibras y los 6 casos de carga biaxial.Cada fila representa una configuracion diferente del gru-po de fibras (obtenida rotando el grupo de fibras) mientrasque las columnas indican diferentes casos de carga bia-xial. Cada figura incluye los primeros 4 despegues pro-ducidos y tambien una regresion de Deming (ortogonal),que minimiza para una lınea de regresion la suma de loscuadrados de las distancias perpendiculares de los nodosde interfase danados (datos) [16]. La lınea de regresion(lıneas grises en la Figura 6) nos da un idea de la trayec-toria potencial de la “macro” grieta, formada por la unionde multiples despegues. Aunque la presente herramientanumerica no permite la union entre despegues (desvıo dela grieta de interfase hacia la matriz), usualmente la tra-yectoria de la grieta es claramente visible. Para decidirque puntos se usan para calcular la lınea de regresion quepredice la “macro” grieta se definen las siguiente reglas:

Debido al tamano del grupo de fibras, se consideraque cuatro despegues es el numero adecuado quedefinen una trayectoria de grieta. La situacion opti-ma serıa que las cuatro despegues esten alineadoscomo los que se muestran la Figura 3.

Los despegues deben encontrarse en fibras vecinas,solo se permite que uno de los cuatro despegues es-te alejado del resto. Como se ha comentado previa-mente los despegues aparecen en las parejas crıti-cas de fibras y algunas veces pueden encontrarsealejadas de la trayectoria de grieta establecida (des-pegue aislado). En la Figura 6, cuando se encuentraun despegue aislado se marca en rojo y no se usapara el calculo de la lınea de regresion, vease porejemplo la primera configuracion del grupo de fi-bras para los casos de carga χ = −0.5 y χ = −0.25.

Los resultados se descartan cuando los despeguesno forman una trayectoria de grieta clara (con doso mas posibilidades). En la Figura 6, se muestranestos casos con la casilla sombreada en gris. Debedestacarse que solo se ha descartado 1 caso de los36 modelos estudiados.


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= -0.5 = -0.25 = 0

= 0.25 = 0.5 = 0.75

Figura 6: Trayectorias de grietas obtenidas para dife-rentes configuraciones del factor de biaxilidad. El planoprincipal de tension maxima (πI relacionado con σ∞I )coincide con el plano horizontal en todas las figuras.

Una vez que se han calculado las lıneas de regresion (planode la trayectoria de la grieta) se define el angulo ϑπ comoangulo formado entre el plano de la trayectoria de la grie-ta y el plano principal de tension maxima πI . En la Tabla1 se resumen los valores medios y desviaciones estandarde ϑπ para los diferentes casos biaxiales estudiados. Losresultados muestran que el plano de la grieta tiende a ali-nearse con el plano principal de tension maxima siendoϑπ ≈ 11◦ en todos los casos con χ ≤ 0.5.

Tabla 1: Valores medios y desviaciones estandar de ϑπpara los diferentes valores de χ.

χ -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75ϑπ 9.94◦ 11.79◦ 11.71◦ 10.89◦ 10.76◦ 15.55◦

σ 7.95◦ 9.53◦ 10.28◦ 8.13◦ 8.35◦ 8.56◦

Un resultado interesante es la trayectoria de grieta obteni-da para los casos de carga con χ = 1. Esta trayectoria degrieta se muestra en la Figura 3(d), los 6 casos modela-dos predicen la misma trayectoria de grieta, es decir queel plano de la grieta gira solidariamente con el grupo defibras. Este efecto se explica debido al estado equibiaxialde traccion inducido y la aleatoridad no real usada de los6 grupos de fibras. Por ello, el valor medio de ϑπ no esrelevante para este caso de carga. Es destacable que losdespegues que forman la trayectoria de grieta son usual-mente los mismos cuando −0.25 < χ < 0.5, mientrasque los despegues multiples para los casos χ = −0.5 yχ = 0.75 son usualmente diferentes del resto de casos decarga. Debe aclararse que las predicciones obtenidas sonvalidas para interfaces debiles con cargas crıticas meno-res que aquellas que producirıan el fallo de la matriz.

6. CONCLUSIONES

En el presentre trabajo se estudia el comportamiento demultiples despegues (inicios y crecimientos de despegues),usando el MIEFL, en un grupo de fibras de vidrio inmer-sas en una matriz epoxi muy grande sometidos a cargasbiaxiales. Se usa un codigo basado en el MEC, que hamostrado ser una herramienta adecuada para resolver pro-blemas que incluyen no linealidades en las interfases. Losresultados muestran que el crecimiento del despegue esun proceso inestable dentro de una fibra. Es por ello queen la grafica del numero de iteracion (relacionado con eltamano total de la trayectoria de la grieta) vs. la cargaaplicada se obtiene una serie de picos y valles. Un estudiodetallado de la morfologıa de los despegues muestra quela secuencia de los despegues tiende a formar una trayec-toria de grieta clara. Algunas veces la carga crıtica (carganecesaria para producir el primer despegue) produce masde un despegue. Este efecto esta relacionado con el factorde biaxilidad de la carga usado. El primer despegue re-lacionado con las cargas crıticas σ∞cx y σ∞cy se produce en


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una pareja de fibras cercanas, llamada pareja crıtica. Se haestudiado la posicion donde se inicia el primer despegue(primera pareja crıtica de fibras). Los resultados muestranque los diferentes valores de χ (diferentes casos de car-ga) parecen no tener influencia en el angulo θo (formadopor la posicion donde se inicia el despegue y la direc-cion de la tension principal maxima remota, σ∞I ) ni en elangulo ϑd (formado por la lınea que une los centros de lapareja crıtica de fibras y la direccion de la tension princi-pal maxima remota). Es mas, ambos angulos son practi-camente iguales, demostrando que cualquier cambio enla posicion que pueda estar influenciado por el factor debiaxilidad (como era el caso de la fibra aislada [7]) se veeclipsado por la influencia de una fibra cercana. Los re-sultados tambien muestran que para menores distancias dde la pareja crıtica pueden aparecer valores de ϑd mayo-res, mientras que para mayores distancias los valores deϑd deben ser menores (el despegue se inicia en un planocasi paralelo al plano principal de tension maxima).

En lo concerniente a la trayectoria de grieta formada pormultiples despegues (para los 36 casos), se calcula unlınea de regresion que muestra una posible trayectoria degrieta. Se define ϑπ como el angulo entre la lınea de re-gresion y el plano principal de tension maxima. Los re-sultados muestran que los valores de ϑπ tienden a ceroen la mayorıa de los casos, llevando a un valor mediode ϑπ ≈ 11◦. Finalmente, las trayectorias de grieta ob-tenidas para los factores de biaxialidad de la carga entre−0.25 ≤ χ ≤ 0.5 son usualmente los mismos, mientrasque las trayectoria de grieta para χ = −0.5 y χ = 0.75son usualmente diferentes de los demas.

AGRADECIMIENTOS

Los autores desean agradecer la financiacion de la Jun-ta de Andalucıa (Proyectos de Excelencia P12-TEP-1050) y del Ministerio de Economıa y Competitividady del Fondo Europeo de Desarrollo Regional (ProyectosMAT2015-71036-P y MAT2015-71309-P).

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