1. www.pearsoneducacion.com Estacuartaedicinexponelosfundamentosdelassealesy sistemasdiscretoseneltiempo,ydelprocesamientodigital deseales.EstetextoesadecuadoparaestudiantesdeInge- nieraElctrica,IngenieraInformticayCienciasdelaCom- putacin.Ellibroesapropiadoparacursospreuniversitariosy universitariosyproporcionainformacintantotericacomo aplicaciones prcticas. Losprimerosdiezcaptulosseocupandelostemasbsicos sobreelprocesamientodigitaldesealesysonadecuadospara cursospreuniversitarios.Loscuatroltimoscaptulostratan temasmsavanzadossobreelprocesamientodigitaldesea- les, la prediccin lineal y los filtros lineales ptimos, los fil- trosadaptativosylaestimacindelespectrodepotencia.Este materialesapropiadoparacursosdeniveluniversitariosobre procesamiento digital de seales. Novedades en la cuarta edicin: Sehareescritoyactualizadoelcaptulodedicadoalmuestreo y reconstruccin de seales. Sehaaadidoinformacinsobrelatransformadadiscretadel coseno. Seincluyeuncaptuloactualizadosobreprocesamientodigi- tal de seales de tasa mltiple. Nuevo captulo sobre filtros adaptativos. HaydisponibleunManualdelestudiantebasadoenelusode MATLABparalaresolucindeproblemassobreprocesamien- to digital de seales. www.librosite.net/proakis Pgina web asociada al libro, con una gran variedadderecursosymaterialadicional tantoparaprofesorescomoparaestudian- tes.Apoyosaladocencia,ejerciciosdeau- tocontrol,enlacesrelacionados,material deinvestigacin,etc.,hacendeLibroSite elcomplementoacadmicoperfectopara este libro. Otro libro de inters Emilio Soria; Gustavo Camps Valls; Marcelino Martnez; Jos Vicente Francsl Tratamiento digital de seales Problemas y ejercicios resueltos Pearson Prentice Hall ISBN 84-205-3559-1 4 ed. Tratamientodigitaldeseales Proakis Manolakis www.librosite.net/proakis John G. Proakis Dimitris G. Manolakis Tratamiento digital de seales 4 edicin

2. PRINCIPIOS_PROAKIS.qxd 29/03/2007 13:26 Pgina II 3. TRATAMIENTO DIGITAL DE SEALES PRINCIPIOS_PROAKIS.qxd 29/03/2007 13:26 Pgina I 4. PRINCIPIOS_PROAKIS.qxd 29/03/2007 13:26 Pgina II 5. TRATAMIENTO DIGITAL DE SEALES Cuarta Edicin JOHN G. PROAKIS Department of Electrical and Computer Engineering Northeastern University Boston, Massachusetts DIMITRIS G. MANOLAKIS MIT Lincoln Laboratory Lexington, Massachusetts Traduccin Vuelapluma Madrid Mxico Santa Fe de Bogot Buenos Aires Caracas Lima Montevideo San Juan San Jos Santiago So Paulo White Plains PRINCIPIOS_PROAKIS.qxd 29/03/2007 13:26 Pgina III 6. Todos los derechos reservados. Queda prohibida, salvo excepcin prevista en la Ley, cualquier forma de reproduccin, distri- bucin, comunicacin pblica y transformacin de esta obra sin contar con autorizacin de los titulares de propiedad intelectual. La infraccin de los derechos mencionados puede ser constitu- tiva de delito contra la propiedad intelectual (arts. 270 y sgts. Cdigo Penal). DERECHOS RESERVADOS 2007 por PEARSON EDUCACIN S.A. Ribera del Loira, 28 28042 Madrid TRATAMIENTO DIGITAL DE SEALES John G. Proakis y Dimitris G. Manolakis ISBN: 978-84-8322-347-5 Deposito Legal: PRENTICE HALL es un sello editorial autorizado de PEARSON EDUCACIN S.A. Authorized translation from the English language edition, entitled DIGITAL SIGNAL PROCES- SING, 4TH Edition by PROAKIS, JOHN G.; MANOLAKIS, DIMITRIS G., published by Pearson Education, Inc, publishing as Prentice Hall, Copyright 2007 EQUIPO EDITORIAL Editor: Miguel Martn-Romo Tcnico editorial: Marta Caicoya EQUIPO DE PRODUCCIN: Director: Jos A. Clares Tcnico: Diego Marn Diseo de Cubierta: Equipo de diseo de Pearson Educacin S.A. Impreso por: IMPRESO EN ESPAA - PRINTED IN SPAIN Este libro ha sido impreso con papel y tintas ecolgicos TRATAMIENTO DIGITAL DE SEALES John G. Proakis y Dimitris G. Manolakis PEARSON EDUCACIN S.A., Madrid, 2007 ISBN: 978-84-8322-347-5 Materia: Informtica, 0004.4 Formato: 195 x 250 mm. Pginas: 996 Datos de catalogacin bibliogrfica PRINCIPIOS_PROAKIS.qxd 29/03/2007 13:26 Pgina IV 7. A Felia, George y Elena John G. Proakis A Anna Dimitris Manolakis CONTENIDO__PREFACIO_PROAKIS.qxd 13/04/2007 10:42 Pgina V 8. CONTENIDO__PREFACIO_PROAKIS.qxd 13/04/2007 10:42 Pgina VI 9. Contenido 11 IInnttrroodduucccciinn .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..11 1.1 Seales, sistemas y tratamiento de seales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1.1.1 Elementos bsicos de un sistema de tratamiento digital de seales . . . . . . . . . . . . . .4 1.1.2 Ventajas del tratamiento digital de seales sobre el analgico . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.2 Clasificacin de las seales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.2.1 Seales multicanal y multidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.2.2 Seales continuas y discretas en el dominio del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 1.2.3 Seales continuas y seales discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.2.4 Seales deterministas y seales aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.3 Concepto de frecuencia en seales continuas hfill y discretas en el tiempo . . . . . . . . . . . . .10 1.3.1 Seales sinusoidales continuas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 1.3.2 Seales sinusoidales discretas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 1.3.3 Exponenciales complejas armnicamente relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 1.4 Conversiones analgica-digital y digital-analgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 1.4.1 Muestreo de seales analgicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 1.4.2 Teorema de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 1.4.3 Cuantificacin de seales continuas en amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 1.4.4 Cuantificacin de seales sinusoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 1.4.5 Codificacin de muestras cuantificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 1.4.6 Conversin digital-analgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 1.4.7 Anlisis de seales y sistemas digitales frente a seales y sistemas discretos en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 1.5 Resumen y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 22 SSeeaalleess yy ssiisstteemmaass ddiissccrreettooss eenn eell ttiieemmppoo .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..3377 2.1 Seales discretas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 2.1.1 Algunas seales discretas en el tiempo elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 2.1.2 Clasificacin de las seales discretas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 2.1.3 Manipulaciones simples de las seales discretas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . .44 2.2 Sistemas discretos en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 2.2.1 Descripcin de entrada-salida de los sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 2.2.2 Diagrama de bloques de los sistemas discretos en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 2.2.3 Clasificacin de los sistemas discretos en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 2.2.4 Interconexin de sistemas discretos en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 CONTENIDO__PREFACIO_PROAKIS.qxd 13/04/2007 10:42 Pgina VII 10. VIII Contenido 2.3 Anlisis de sistemas lineales discretos e invariantes en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 2.3.1 Tcnicas para el anlisis de los sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 2.3.2 Descomposicin en impulsos de una seal discreta en el tiempo . . . . . . . . . . . . . .64 2.3.3 Respuesta de los sistemas LTI a entradas arbitrarias: la convolucin . . . . . . . . . . .65 2.3.4 Propiedades de la convolucin y la interconexin de sistemas LTI . . . . . . . . . . . . .71 2.3.5 Sistemas lineales invariantes en el tiempo causales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 2.3.6 Estabilidad de los sistemas lineales invariantes en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . .76 2.3.7 Sistemas con respuestas al impulso de duracin finita e infinita . . . . . . . . . . . . . . .79 2.4 Sistemas discretos en el tiempo descritos mediante ecuaciones en diferencias . . . . . . . . . . .79 2.4.1 Sistemas discretos en el tiempo recursivos y no recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 2.4.2 Sistemas lineales invariantes en el tiempo caracterizados por ecuaciones en diferencias de coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83 2.4.3 Solucin de las ecuaciones en diferencias lineales de coeficientes constantes . . . .87 2.4.4 Respuesta al impulso de un sistema recursivo, lineal e invariante en el tiempo . . .94 2.5 Implementacin de sistemas discretos en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96 2.5.1 Estructuras para la realizacin de sistemas lineales invariantes en el tiempo . . . . .97 2.5.2 Realizacin de sistemas FIR recursivos y no recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100 2.6 Correlacin de seales discretas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103 2.6.1 Secuencias de correlacin cruzada y autocorrelacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104 2.6.2 Propiedades de la autocorrelacin y de la correlacin cruzada . . . . . . . . . . . . . . .106 2.6.3 Correlacin de secuencias peridicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109 2.6.4 Secuencias de correlacin de entrada-salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112 2.7 Resumen y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114 33 LLaa ttrraannssffoorrmmaaddaa zz yy ssuuss aapplliiccaacciioonneess aall aannlliissiiss ddee llooss ssiisstteemmaass LLTTII .. .. .. .. .. .. .. ..113311 3.1 La transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131 3.1.1 La transformada z directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132 3.1.2 La transformada z inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138 3.2 Propiedades de la transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140 3.3 Transformadas z racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152 3.3.1 Polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152 3.3.2 Posicin de los polos y comportamiento en el dominio del tiempo de seales causales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155 3.3.3 Funcin de transferencia de un sistema lineal invariante en el tiempo . . . . . . . . .158 3.4 Inversin de la transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161 3.4.1 Transformada z inversa por integracin de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161 3.4.2 Transformada z inversa mediante expansin en serie de potencias . . . . . . . . . . . .163 3.4.3 Transformada z inversa mediante expansin en fracciones parciales . . . . . . . . . .165 3.4.4 Descomposicin de las transformadas z racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172 3.5 Anlisis en el dominio z de sistemas LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173 3.5.1 Respuesta de sistemas con funciones de transferencia racionales . . . . . . . . . . . . .173 3.5.2 Respuestas transitoria y en rgimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174 3.5.3 Causalidad y estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176 CONTENIDO__PREFACIO_PROAKIS.qxd 13/04/2007 10:42 Pgina VIII 11. Contenido IX 3.5.4 Cancelaciones polo-cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177 3.5.5 Polos de orden mltiple y estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179 3.5.6 Estabilidad de los sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180 3.6 Transformada z unilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183 3.6.1 Definicin y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184 3.6.2 Solucin de las ecuaciones en diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188 3.6.3 Respuesta de los sistemas de polos y ceros con condiciones iniciales distintas de cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189 3.7 Resumen y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192 44 AAnnlliissiiss eenn ffrreeccuueenncciiaa ddee sseeaalleess .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..220033 4.1 Anlisis en frecuencia de las seales continuas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203 4.1.1 Series de Fourier para seales peridicas continuas en el tiempo . . . . . . . . . . . . .205 4.1.2 Espectro de densidad de potencia de seales peridicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208 4.1.3 Transformada de Fourier de seales aperidicas continuas en el tiempo . . . . . . .211 4.1.4 Espectro de densidad de energa de seales aperidicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215 4.2 Anlisis en frecuencia de seales discretas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218 4.2.1 Serie de Fourier para seales peridicas discretas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . .218 4.2.2 Espectro de densidad de potencia de seales peridicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221 4.2.3 Transformada de Fourier de seales aperidicas discretas en el tiempo . . . . . . . .224 4.2.4 Convergencia de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226 4.2.5 Espectro de densidad de energa de seales aperidicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229 4.2.6 Relaciones entre la transformada de Fourier y la transformada z . . . . . . . . . . . . .233 4.2.7 El Cepstro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235 4.2.8 Transformada de Fourier de seales con polos en la circunferencia unidad . . . . .236 4.2.9 Clasificacin de las seales en el dominio de la frecuencia: concepto de ancho de banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238 4.2.10 Rangos de frecuencia de algunas seales naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .240 4.3 Propiedades de la seal en los dominios de la frecuencia y del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . .241 4.4 Propiedades de la transformada de Fourier para seales discretas en el tiempo . . . . . . .244 4.4.1 Propiedades de simetra de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245 4.4.2 Propiedades y teoremas de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252 4.5 Resumen y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .260 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261 55 AAnnlliissiiss eenn eell ddoommiinniioo ddee llaa ffrreeccuueenncciiaa ddee ssiisstteemmaass LLTTII .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..226699 5.1 Caractersticas en el dominio de la frecuencia de los sistemas LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .269 5.1.1 Respuesta a seales sinusoidales y exponenciales complejas: funcin de respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .270 5.1.2 Respuestas en rgimen permanente y transitoria a seales de entrada sinusoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .277 5.1.3 Respuesta en rgimen permanente a seales de entrada peridicas . . . . . . . . . . . .278 5.1.4 Respuesta a seales de entrada aperidicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .279 CONTENIDO__PREFACIO_PROAKIS.qxd 13/04/2007 10:42 Pgina IX 12. 5.2 Respuesta en frecuencia de los sistemas LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .281 5.2.1 Respuesta en frecuencia de un sistema definido mediante una funcin racional .281 5.2.2 Clculo de la respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .284 5.3 Espectros y funciones de correlacin en la salida de los sistemas LTI . . . . . . . . . . . . . . . .288 5.3.1 Espectros y funciones de correlacin de entrada-salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .288 5.3.2 Funciones de correlacin y espectros de potencia de seales de entrada aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .289 5.4 Sistemas LTI como filtros selectivos de frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291 5.4.1 Caractersticas del filtro ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .292 5.4.2 Filtros paso bajo, paso alto y paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294 5.4.3 Resonadores digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299 5.4.4 Filtros de hendidura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .302 5.4.5 Filtros peine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304 5.4.6 Filtros paso todo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .308 5.4.7 Osciladores sinusoidales digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .310 5.5 Sistemas inversos y deconvolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .312 5.5.1 Invertibilidad de los sistemas LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .313 5.5.2 Sistemas de fase mnima, fase mxima y fase mixta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .316 5.5.3 Identificacin del sistema y deconvolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .320 5.5.4 Deconvolucin homomrfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322 5.6 Resumen y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .323 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324 66 MMuueessttrreeoo yy rreeccoonnssttrruucccciinn ddee sseeaalleess .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..334444 6.1 Muestreo y reconstruccin ideales de seales continuas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . .344 6.2 Tratamiento discreto en el tiempo de seales continuas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . .353 6.3 Convertidores analgico-digital y digital-analgico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .359 6.3.1 Convertidores analgico-digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .360 6.3.2 Cuantificacin y codificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .361 6.3.3 Anlisis de los errores de cuantificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .364 6.3.4 Convertidores digitales-analgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .366 6.4 Muestreo y reconstruccin de seales paso banda continuas en el tiempo . . . . . . . . . . . . .368 6.4.1 Muestreo uniforme o de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .368 6.4.2 Muestreo intercalado o no uniforme de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .374 6.4.3 Representaciones de seales paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .379 6.4.4 Muestreo empleando las representaciones de la seal paso banda . . . . . . . . . . . .381 6.5 Muestreo de seales discretas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .382 6.5.1 Muestreo e interpolacin de seales discretas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . .383 6.5.2 Representacin y muestreo de seales paso banda discretas en el tiempo . . . . . .387 6.6 Convertidores A/D y D/A con sobremuestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .388 6.6.1 Convertidores A/D con sobremuestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .388 6.6.2 Convertidores D/A con sobremuestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .393 6.7 Resumen y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .394 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .395 X Contenido CONTENIDO__PREFACIO_PROAKIS.qxd 13/04/2007 10:42 Pgina X 13. 77 TTrraannssffoorrmmaaddaa ddiissccrreettaa ddee FFoouurriieerr:: pprrooppiieeddaaddeess yy aapplliiccaacciioonneess .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..440033 7.1 Muestreo en el dominio de la frecuencia: la transformada discreta de Fourier . . . . . . . .403 7.1.1 Muestreo en el dominio de la frecuencia y reconstruccin de seales discretas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .403 7.1.2 Transformada discreta de Fourier (DFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .409 7.1.3 La DFT como una transformacin lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .411 7.1.4 Relacin de la DFT con otras transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .414 7.2 Propiedades de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .416 7.2.1 Propiedades de periodicidad, linealidad y simetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .416 7.2.2 Multiplicacin de dos DFT y convolucin circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .421 7.2.3 Propiedades adicionales de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .426 7.3 Mtodos de filtrado lineal basados en la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .430 7.3.1 Uso de la DFT en el filtrado lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .430 7.3.2 Filtrado de secuencias de datos largas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .434 7.4 Anlisis en frecuencia de seales utilizando la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .436 7.5 Transformada discreta del coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .443 7.5.1 DCT directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .443 7.5.2 DCT inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .444 7.5.3 La DCT como transformada ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .445 7.6 Resumen y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .449 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .449 88 CCllccuulloo eeffiicciieennttee ddee llaa DDFFTT:: aallggoorriittmmooss ddee llaa ttrraannssffoorrmmaaddaa rrppiiddaa ddee FFoouurriieerr .. ..445588 8.1 Clculo eficiente de la DFT: algoritmos FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .458 8.1.1 Clculo directo de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .459 8.1.2 Mtodo divide y vencers para calcular la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .460 8.1.3 Algoritmos FFT base 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .465 8.1.4 Algoritmos FFT base 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .472 8.1.5 Algoritmos FFT de base dividida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .477 8.1.6 Implementacin de los algoritmos FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .480 8.2 Aplicaciones de los algoritmos FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .481 8.2.1 Clculo eficiente de la DFT de dos secuencias reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .481 8.2.2 Clculo eficiente de la DFT de una secuencia real de 2 N puntos . . . . . . . . . . . . .482 8.2.3 Uso de los algoritmos FFT en el filtrado lineal y la correlacin . . . . . . . . . . . . . .483 8.3 Mtodo de filtrado lineal para calcular la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .485 8.3.1 Algoritmo de Goertzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .485 8.3.2 Algoritmo de la transformada z chirp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .487 8.4 Efectos de cuantificacin en el clculo de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .491 8.4.1 Efectos de cuantificacin en el clculo directo de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . .491 8.4.2 Errores de cuantificacin en los algoritmos FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .493 8.5 Resumen y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .496 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .497 Contenido XI CONTENIDO__PREFACIO_PROAKIS.qxd 13/04/2007 10:42 Pgina XI 14. 99 IImmpplleemmeennttaacciinn ddee ssiisstteemmaass ddiissccrreettooss eenn eell ttiieemmppoo .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..550033 9.1 Estructuras para la realizacin de sistemas discretos del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .503 9.2 Estructuras para sistemas FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .505 9.2.1 Estructura de la forma directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .506 9.2.2 Estructuras en cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .506 9.2.3 Estructuras basadas en el muestreo en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .508 9.2.4 Estructura en celosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .513 9.3 Estructuras para sistemas IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .520 9.3.1 Estructuras en forma directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .520 9.3.2 Diagramas de flujo de seales y estructuras transpuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .522 9.3.3 Estructuras en cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .527 9.3.4 Estructuras en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .528 9.3.5 Estructuras en celosa y en celosa-escalera para sistemas IIR . . . . . . . . . . . . . . .531 9.4 Representacin de nmeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .537 9.4.1 Representacin de nmeros en punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .537 9.4.2 Representacin de nmeros en punto flotante binario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .540 9.4.3 Errores debidos al redondeo y el truncamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .543 9.5 Cuantificacin de los coeficientes del filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .546 9.5.1 Anlisis de la sensibilidad en la cuantificacin de los coeficientes del filtro . . . .547 9.5.2 Cuantificacin de los filtros FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .554 9.6 Efectos del redondeo en los filtros digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .557 9.6.1 Oscilaciones de ciclo lmite en sistemas recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .558 9.6.2 Cambio de escala para impedir el desbordamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .562 9.6.3 Caracterizacin estadstica de los efectos de cuantificacin en las realizaciones de punto fijo de filtros digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .564 9.7 Resumen y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .571 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .572 1100 DDiisseeoo ddee ffiillttrrooss ddiiggiittaalleess .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..558844 10.1 Consideraciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .584 10.1.1 La causalidad y sus implicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .585 10.1.2 Caractersticas de los filtros prcticos selectivos en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . .588 10.2 Diseo de filtros FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .589 10.2.1 Filtros FIR simtricos y antisimtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .589 10.2.2 Diseo de filtros FIR de fase lineal utilizando ventanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .592 10.2.3 Diseo de filtros FIR de fase lineal mediante el mtodo basado en el muestreo en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .598 10.2.4 Diseo de filtros FIR de fase lineal con rizado constante ptimo . . . . . . . . . . . . .605 10.2.5 Diseo de diferenciadores FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .616 10.2.6 Diseo de transformadores de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .619 10.2.7 Comparacin de los mtodos de diseo de los filtros FIR de fase lineal . . . . . . .623 10.3 Diseo de filtros IIR a partir de filtros analgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .625 10.3.1 Diseo de filtros IIR mediante aproximacin de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . .626 XII Contenido CONTENIDO__PREFACIO_PROAKIS.qxd 13/04/2007 10:42 Pgina XII 15. 10.3.2 Diseo de filtros IIR basado en la invarianza del impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . .630 10.3.3 Diseo de filtros IIR mediante la transformacin bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .635 10.3.4 Caractersticas de los filtros analgicos ms comnmente utilizados . . . . . . . . . .638 10.3.5 Algunos ejemplos de diseos de filtros digitales basados en la transformacin bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .647 10.4 Transformaciones en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .648 10.4.1 Transformaciones de frecuencia en el dominio analgico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .649 10.4.2 Transformaciones de frecuencia en el dominio digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .652 10.5 Resumen y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .654 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .655 1111 TTrraattaammiieennttoo ddiiggiittaall ddee sseeaalleess ddee ttaassaa mmllttiippllee .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..666699 11.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .670 11.2 Diezmado por un factor D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .673 11.3 Interpolacin por un factor I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .677 11.4 Conversin de la frecuencia de muestreo por un factor racional I/D . . . . . . . . . . . . . . . . .680 11.5 Implementacin de la conversin de la frecuencia de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .683 11.5.1 Estructuras de los filtros polifsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .684 11.5.2 Intercambio de filtros y submuestreadores/sobremuestreadores . . . . . . . . . . . . . .685 11.5.3 Conversin de la frecuencia de muestreo mediante filtros peine con integrador conectado en cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .686 11.5.4 Estructuras polifsicas para filtros de diezmado e interpolacin . . . . . . . . . . . . . .688 11.5.5 Estructuras para la conversin de la frecuencia de muestreo racional . . . . . . . . . .690 11.6 Implementacin multietapa de la conversin de la frecuencia de muestreo . . . . . . . . . . . .692 11.7 Conversin de la frecuencia de muestreo de seales paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .696 11.8 Conversin de la frecuencia de muestreo por un factor arbitrario . . . . . . . . . . . . . . . . . . .696 11.8.1 Remuestreo arbitrario con interpoladores polifsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .698 11.8.2 Remuestreo arbitrario con estructuras de filtros Farrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .698 11.9 Aplicaciones del tratamiento multitasa de seales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .700 11.9.1 Diseo de desplazadores de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .700 11.9.2 Interfaz de sistemas digitales con diferentes frecuencias de muestreo . . . . . . . . .701 11.9.3 Implementacin de filtros paso bajo de banda estrecha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .702 11.9.4 Codificacin subbanda de seales de voz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .703 11.10 Bancos de filtros digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .705 11.10.1 Estructuras polifsicas de bancos de filtros uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .709 11.10.2 Transmultiplexores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .711 11.11 Banco de filtros espejo en cuadratura de dos canales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .711 11.11.1 Eliminacin del aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .713 11.11.2 Condicin para una reconstruccin perfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .715 11.11.3 Forma polifsica del banco de filtros QMF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .715 11.11.4 Banco de filtros FIR QMF de fase lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .715 11.11.5 Banco de filtros IIR QMF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .717 Contenido XIII CONTENIDO__PREFACIO_PROAKIS.qxd 13/04/2007 10:42 Pgina XIII 16. 11.11.6 Reconstruccin perfecta de bancos de filtros FIR QMF de dos canales . . . . . . . .717 11.11.7 Bancos de filtros QMF de dos canales con codificacin subbanda . . . . . . . . . . . .718 11.12 Banco de filtros QMF de M canales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .719 11.12.1 Condiciones para reconstruccin perfecta y eliminacin del aliasing . . . . . . . . . .721 11.12.2 Forma polifsica del banco de filtros QMF de M canales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .721 11.13 Resumen y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .726 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .726 1122 PPrreeddiicccciinn lliinneeaall yy ffiillttrrooss lliinneeaalleess ppttiimmooss .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..773355 12.1 Seales aleatorias, funciones de correlacin y espectros de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . .735 12.1.1 Procesos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .736 12.1.2 Procesos aleatorios estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .737 12.1.3 Promedios estadsticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .737 12.1.4 Promedios estadsticos para procesos aleatorios conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . .738 12.1.5 Espectro de densidad de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .739 12.1.6 Seales aleatorias discretas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .740 12.1.7 Promedios temporales para un proceso aleatorio discreto en el tiempo . . . . . . . .741 12.1.8 Procesos ergdicos respecto de la media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .742 12.1.9 Procesos ergdicos respecto de la correlacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .743 12.2 Representacin de innovaciones de un proceso aleatorio estacionario . . . . . . . . . . . . . . . .744 12.2.1 Espectros de potencia racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .746 12.2.2 Relaciones entre los parmetros del filtro y la autocorrelacin . . . . . . . . . . . . . . .747 12.3 Prediccin lineal directa e inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .748 12.3.1 Prediccin lineal directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .748 12.3.2 Prediccin lineal inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .751 12.3.3 Coeficientes de reflexin ptimos para los predictores en celosa directo e inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .753 12.3.4 Relacin entre un proceso auto-regresivo y la prediccin lineal . . . . . . . . . . . . . .754 12.4 Solucin de las ecuaciones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .754 12.4.1 Algoritmo de Levinson-Durbin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .755 12.4.2 El algoritmo de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .758 12.5 Propiedades de los filtros lineales de error de prediccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .762 12.6 Filtros auto-regresivos en celosa y auto-regresivos de media mvil en celosa-escalera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .765 12.6.1 Estructura auto-regresiva en celosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .766 12.6.2 Procesos auto-regresivos de media mvil y filtros en celosa-escalera . . . . . . . . .767 12.7 Filtros de Wiener para filtrado y prediccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .769 12.7.1 Filtro FIR de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .770 12.7.2 Principio de ortogonalidad en la estimacin lineal por mnimos cuadrados . . . . .772 12.7.3 Filtro IIR de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .773 12.7.4 Filtro de Wiener no causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .777 12.8 Resumen y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .778 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .779 XIV Contenido CONTENIDO__PREFACIO_PROAKIS.qxd 13/04/2007 10:42 Pgina XIV 17. 1133 FFiillttrrooss aaddaappttaattiivvooss .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..778855 13.1 Aplicaciones de los filtros adaptativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .785 13.1.1 Identificacin del sistema o modelado del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .787 13.1.2 Ecualizacin de canal adaptativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .787 13.1.3 Cancelacin de eco en la transmisin de datos a travs de canales telefnicos . .791 13.1.4 Supresin de interferencias de banda estrecha en una seal de banda ancha . . . .794 13.1.5 Mejorador de lnea adaptativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .798 13.1.6 Cancelacin de ruido adaptativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .799 13.1.7 Codificacin lineal predictiva de seales de voz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .799 13.1.8 Matrices adaptativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .802 13.2 Filtros FIR adaptativos en forma directa: el algoritmo LMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .804 13.2.1 Criterio del error cuadrtico medio mnimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .805 13.2.2 El algoritmo LMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .807 13.2.3 Algoritmos estocsticos de gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .808 13.2.4 Propiedades del algoritmo LMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .810 13.3 Filtros adaptativos en la forma directa: algoritmos RLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .816 13.3.1 Algoritmo RLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .816 13.3.2 Algoritmos de factorizacin LDU y de raz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .820 13.3.3 Algoritmos RLS rpidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .821 13.3.4 Propiedades de los algoritmos RLS para la forma directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .823 13.4 Filtros adaptativos en celosa-escalera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .825 13.4.1 Algoritmos recursivos de mnimos cuadrados en celosa-escalera . . . . . . . . . . . .825 13.4.2 Otros algoritmos en celosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .843 13.4.3 Propiedades de los algoritmos en celosa-escalera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .846 13.5 Resumen y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .849 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .850 1144 EEssttiimmaacciinn ddeell eessppeeccttrroo ddee ppootteenncciiaa .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..885555 14.1 Estimacin de los espectros procedentes de observaciones de duracin finita de seales .855 14.1.1 Clculo del espectro de densidad de energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .856 14.1.2 Estimacin de la autocorrelacin y del espectro de potencia de seales aleatorias: el periodograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .860 14.1.3 Uso de la DFT en la estimacin del espectro de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .864 14.2 Mtodos no paramtricos para la estimacin del espectro de potencia . . . . . . . . . . . . . . .866 14.2.1 El mtodo de Bartlett: promediado de periodogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .867 14.2.2 Mtodo de Welch: promediado de periodogramas modificados . . . . . . . . . . . . . .868 14.2.3 Mtodo de Blackman y Tukey: suavizado del periodograma . . . . . . . . . . . . . . . .870 14.2.4 Prestaciones de los estimadores no paramtricos del espectro de potencia . . . . . .872 14.2.5 Requisitos de clculo de los estimados no paramtricos del espectro de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .875 14.3 Mtodos paramtricos para la estimacin del espectro de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . .876 14.3.1 Relaciones entre la autocorrelacin y los parmetros del modelo . . . . . . . . . . . . .878 14.3.2 Mtodo de Yule-Walker para los parmetros del modelo AR . . . . . . . . . . . . . . . .880 14.3.3 Mtodo de Burg para los parmetros del modelo AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .880 Contenido XV CONTENIDO__PREFACIO_PROAKIS.qxd 13/04/2007 10:42 Pgina XV 18. 14.3.4 Mtodo de mnimos cuadrados no restringido para los parmetros del modelo AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .883 14.3.5 Mtodos de estimacin secuenciales para los parmetros del modelo AR . . . . . .884 14.3.6 Seleccin del orden del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .885 14.3.7 Modelo MA para la estimacin del espectro de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .886 14.3.8 Modelo ARMA para la estimacin del espectro de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888 14.3.9 Resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .889 14.4 Mtodos basados en bancos de filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .895 14.4.1 Realizacin mediante banco de filtros del periodograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . .896 14.4.2 Estimados espectrales de varianza mnima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .899 14.5 Algoritmos de autoanlisis para la estimacin del espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .902 14.5.1 Mtodo de descomposicin armnica de Pisarenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .903 14.5.2 Autodescomposicin de la matriz de autocorrelacin para sinusoides en ruido blanco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .905 14.5.3 Algoritmo MUSIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .907 14.5.4 Algoritmo ESPRIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .908 14.5.5 Criterios de seleccin del orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .911 14.5.6 Resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .911 14.6 Resumen y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .914 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .915 AA GGeenneerraaddoorreess ddee nnmmeerrooss aalleeaattoorriiooss .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..992255 BB TTaabbllaass ddee llooss ccooeeffiicciieenntteess ddee ttrraannssiicciinn ppaarraa eell ddiisseeoo ddee ffiillttrrooss FFIIRR ddee ffaassee lliinneeaall .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..993311 RReeffeerreenncciiaass yy bbiibblliiooggrraaffaa .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..993377 RReessppuueessttaass aa llooss pprroobblleemmaass sseelleecccciioonnaaddooss .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..995566 nnddiiccee .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..996677 XVI Contenido CONTENIDO__PREFACIO_PROAKIS.qxd 13/04/2007 10:42 Pgina XVI 19. Prefacio El desarrollo de este libro est basado en nuestra experiencia en la imparticin de cursos a estudiantes pre- universitarios y universitarios sobre el tratamiento digital de la seal a lo largo de los ltimos aos. En el libro se presentan los fundamentos de los sistemas y seales discretas en el tiempo y el procesamiento digital, as como aplicaciones para los estudiantes de Ingeniera elctrica, Ingeniera Informtica y Ciencias de la Computacin. El libro es adecuado para cursos de uno o dos semestres de duracin sobre sistemas discretos y tratamiento digital de seales. Tambin es adecuado para un curso sobre tratamiento digital de seales de un semestre destinado a estudiantes universitarios de primer ao. Se supone que el estudiante ha seguido cursos sobre Clculo avanzado (incluyendo ecuaciones diferenciales normales) y Sistemas lineales para seales continuas en el tiempo, incluyendo una introduccin a la transfor- mada de Laplace. Aunque en el Captulo 4 se describen las series de Fourier y las transformadas de Fourier de seales peridicas y aperidicas, lo mejor es que los estudiantes hayan adquirido estos conocimientos en un curso anterior. El libro incluye informacin terica, as como aplicaciones prcticas. Se proporcionan numerosos problemas bien diseados, con el fin de ayudar al estudiante a dominar los temas. Hay disponible un manual de solucio- nes que slo los profesores pueden descargar. Tambin en el sitio web del editor hay disponibles (en ingls) una serie de presentaciones en Microsoft PowerPoint para los profesores. En la cuarta edicin del libro, hemos aadido un nuevo captulo sobre filtros adaptativos. Los captulos dedi- cados al tratamiento de seales multitasa y al muestro y reconstruccin de seales se han modificado y actua- lizado sustancialmente. Tambin hemos aadido material sobre la transformada discreta del coseno. En el Captulo 1 se describen las operaciones implicadas en la conversin analgico-digital de seales anal- gicas. El proceso de muestreo de una sinusoide se ha descrito en detalle, asimismo, se explica el problema del aliasing. La cuantificacin de seales y la conversin digital-analgica tambin se explican en trminos gene- rales, aunque el anlisis se aborda en captulos posteriores. El Captulo 2 est dedicado por completo a la caracterizacin y el anlisis en el dominio del tiempo de los sis- temas lineales discretos en el tiempo e invariantes en el tiempo (e invariantes en el desplazamiento) y de las seales discretas en el tiempo. Se deduce la operacin de convolucin y los sistemas se clasifican de acuerdo con la duracin de su respuesta al impulso como FIR (finite-duration impulse response, respuesta al impulso de duracin finita) y como IIR (infinite-duration impulse response, respuesta al impulso de duracin infinita). Se presentan los sistemas invariantes en el tiempo caracterizados por ecuaciones en diferencias y se obtiene la solucin de las ecuaciones en diferencias con condiciones iniciales. El captulo concluye con un tratamien- to de la correlacin discreta en el tiempo. La transformada z se introduce en el Captulo 3. Se presentan las transformadas z unilateral y bilateral, y los mtodos para determinar la transformada z inversa. Se ilustra el uso de la transformada z en el anlisis de los sistemas lineales invariantes en el tiempo e importantes propiedades de sistemas, tales como la causalidad y la estabilidad se relacionan con las caractersticas en el dominio z. El Captulo 4 se ocupa del anlisis de las seales en el dominio de la frecuencia. Se presentan la serie de Fourier y la transformada de Fourier tanto para seales continuas en el tiempo como discretas en el tiempo. En el Captulo 5, se caracterizan los sistemas discretos LTI (linear time-invariant, lineal invariante en el tiem- po) en el dominio de la frecuencia mediante su respuesta en frecuencia y se determina su respuesta a seales peridicas y aperidicas. Se describen una serie de sistemas discretos en el tiempo, entre los que se incluyen resonadores, filtros de hendidura, filtros paso todo y osciladores. Tambin se considera el diseo de una serie de filtros FIR e IIR simples. Adems, se hace una introduccin a los conceptos de sistemas de fase mnima, fase mixta y fase mxima, y al problema de la deconvolucin. CONTENIDO__PREFACIO_PROAKIS.qxd 13/04/2007 10:42 Pgina XVII 20. En el Captulo 6 se hace un estudio del muestreo de seales continuas en el tiempo y la reconstruccin de seales a partir de sus muestras. Se cubre el muestreo y reconstruccin de seales paso banda, el muestreo de seales discretas en el tiempo y la conversin A/D y D/A. El captulo concluye con los convertidores A/D y D/A con sobremuestreo. La DFT, sus propiedades y aplicaciones, son los temas que se tratan en el Captulo 7. Se describen dos mto- dos para utilizar la DFT en los procesos de filtrado lineal. Tambin se describe el uso de la DFT para llevar a cabo el anlisis en frecuencia. El ltimo tema que se aborda en este captulo es la transformada discreta del coseno. El Captulo 8 trata el clculo efectivo de la DFT. En este captulo se incluyen descripciones de los algoritmos FFT (fast Fourier transform, transformada rpida de Fourier) en base 2, base 4 y de base dividida, y las apli- caciones de los algoritmos FFT al clculo de la convolucin y la correlacin. Se presentan el algoritmo de Goertzel y la transformada chirp-z como dos mtodos de clculo de la DFT utilizando filtrado lineal. El Captulo 9 se ocupa de la realizacin de los sistemas IIR yFIR. Se abordan las realizaciones en la forma directa, en cascada, paralelo, en celosa y en celosa-escalera. El captulo tambin examina los efectos de cuantificacin sobre una implementacin digital de sistemas FIR e IIR. En el Captulo 10 se presentan tcnicas para el diseo de filtros digitales FIR e IIR. Las tcnicas de diseo incluyen tanto mtodos directos en tiempo discreto como mtodos que implican la conversin de filtros ana- lgicos en filtros digitales mediante varias transformaciones. El Captulo 11 se ocupa de la conversin de la frecuencia de muestreo y sus aplicaciones al tratamiento multitasa digital de seales. Adems de describir el diezmado y la interpolacin por un entero y por factores racionales, se presentan mtodos para la conversin de la frecuencia de muestreo por un factor arbitrario e implementaciones mediante estructuras de filtros polifsicos. Este captulo tambin se ocupa de los bancos de filtros digitales, los filtros QMF (quadrature mirror filters, filtros espejo en cuadratura) de dos canales y los bancos QMF de M canales. Los filtros de prediccin lineal y de Wiener se tratan en el Captulo 12. En este mismo captulo tambin se incluyen descripciones del algoritmo de Levinson-Durbin y del algoritmo de Schur para resolver ecuaciones normales, as como los filtros AR en celosa y ARMA en celosa-escalera. El Captulo 13 se ocupa de los filtros adaptativos de un nico canal basados en el algoritmo LMS y en los algoritmos recursivos de mnimos cuadrados RLS (recursive least squares). Se describen los algoritmos FIR en la forma directa y RLS en celosa para las estructuras de los filtros. El tema principal del Captulo 14 es la estimacin del espectro de potencia. La exposicin cubre una descrip- cin de los mtodos no paramtricos y basados en modelos (paramtricos). Tambin se describen los mto- dos basados en la auto-descomposicin, incluyendo MUSIC y ESPRIT. En un curso avanzado de un semestre para estudiantes con conocimientos previos sobre sistemas discretos pueden utilizarse los Captulos 1 hasta 5 para realizar un rpido repaso y luego continuar con los Captulos 6 hasta 10. En un primer curso universitario sobre tratamiento digital de la seal, los primeros seis captulos proporcio- narn al estudiante un buen repaso sobre los sistemas discretos. El profesor puede ver rpidamente estos temas y luego ver en detalle los Captulos 7 hasta 11, para seguir con temas seleccionados de los Captulos 12 hasta 14. Se incluyen muchos ejemplos a lo largo del libro y aproximadamente 500 problemas que el estudiante puede realizar en casa. Al final del libro se incluyen las respuestas a problemas seleccionados. Muchos de los pro- blemas pueden resolverse numricamente utilizando una computadora, con un paquete software como por ejemplo MATLAB. Hay disponible tambin (en ingls) un manual del estudiante: Student Manual for Digital Signal Processing with MATLAB. MATLAB se incluye como herramienta software bsica para este manual. El profesor puede considerar tambin utilizar otros libros complementarios que contengan ejercicios basados en computadora, como por ejemplo, Computer-Based Exercises for Signal Processing Using MATLAB (Prentice Hall, 1994) de C. S. Burrus et al. XVIII Prefacio CONTENIDO__PREFACIO_PROAKIS.qxd 13/04/2007 10:42 Pgina XVIII 21. Los autores estn en deuda con los colegas que les han proporcionado valiosas sugerencias despus de haber revisado las ediciones anteriores de este libro. Entre ellos queremos mencionar a W. E. Alexander, G. Arslan, Y. Bresler, J. Deller, F. DePiero, V. Ingle, J.S. Kang, C. Keller, H. Lev-Ari, L. Merakos, W. Mikhael, P. Monticciolo, C. Nikias, M. Schetzen, E. Serpedin, T. M. Sullivan, H. Trussell, S. Wilson y M. Zoltowski. Tambin quieren expresar su agradecimiento a R. Price por su recomendacin de incluir los algoritmos FFT de base dividida y otras sugerencias relacionadas. Por ltimo, deseamos expresar nuestro reconocimiento a muchos estudiantes licenciados por sus sugerencias y comentarios, en especial a A. L. Kok, J. Lin, E. Sozer y S. Srinidhi, que ayudaron en la preparacin de diversas ilustraciones y del manual de soluciones. John G. Proakis Dimitris G. Manolakis Prefacio XIX CONTENIDO__PREFACIO_PROAKIS.qxd 13/04/2007 10:42 Pgina XIX 22. CONTENIDO__PREFACIO_PROAKIS.qxd 13/04/2007 10:42 Pgina XX 23. i i i i 1 Introduccin El tratamiento digital de seales es un rea de la ciencia y la ingeniera que se ha desarrollado muy rpidamente a lo largo de los ltimos cuarenta aos. Este rpido desarrollo es el resultado de los importantes avances tanto en la tecnologa digital en el campo de la informtica como en la fabricacin de los circuitos integrados. Las computadoras digitales y el hardware digital asociado de hace cuatro dcadas eran de tamao relativamente grande, adems de muy caros y, en consecuencia, su uso estaba limitado a las aplicaciones de propsito general en tiempo no real (fuera de lnea) cientcos y comerciales. El rpido desarrollo de la tecnologa de circuitos integrados, empezando con la integracin a media escala (MSI, medium-scale integration), continuando con la integracin a gran escala (LSI, large-scale integration), y actualmente con la integracin a muy gran escala (VLSI, very-large-scale integration) de los circuitos electrnicos ha estimulado el desarrollo de computadoras digitales y hardware digital de propsito especial ms potente, de menor tamao, ms rpido y menos costoso. Estos circuitos digitales baratos y relativamente rpidos han hecho posible la construccin de sistemas digita- les altamente sosticados capaces de llevar a cabo tareas y funciones de tratamiento de seales digitales, que normalmente son bastante complejas y/o caras de implementar mediante circuitera analgica o sistemas de tratamiento de seales analgicas. En consecuencia, muchas de las tareas de tratamiento de seales que con- vencionalmente se realizaban por medios analgicos, actualmente se llevan a cabo empleando hardware digital que es ms barato y a menudo ms able. No queremos dar a entender que el tratamiento digital de seales es la solucin adecuada para todos los problemas de tratamiento de seales. As, en el caso de muchas seales con anchos de banda muy grandes, el tratamiento en tiempo real es un requisito. Para dichas seales, el procesamiento analgico, o quiz ptimo sea la nica solucin posible. Sin embargo, siempre que se disponga de circuitos digitales y se tenga la velocidad suciente como para utilizar el tratamiento digital, ser preferible emplear dichos circuitos. Los sistemas digitales no slo proporcionan sistemas de tratamiento de seales ms baratos y ables, sino que presentan tambin otras ventajas. En particular, el hardware de procesamiento digital permite realizar operaciones programables.Mediante software, es ms fcil modicar las funciones de procesamiento de seales que mediante hardware. Por tanto, el hardware digital y el software asociado proporcionan un mayor grado de exibilidad al diseo del sistema. Adems, generalmente, se consigue un mayor grado de precisin con el hardware y el software digital que con los circuitos y sistemas de procesamiento de seales analgicos. Por todas estas razones, en las tres ltimas dcadas se ha producido un crecimiento explosivo en la teora del tratamiento digital de seales y sus aplicaciones. El objetivo de este libro es presentar una introduccin a las tcnicas y herramientas de anlisis bsicas para el tratamiento digital de seales. Comenzaremos presentando la terminologa que es imprescindible conocer y describiendo las operaciones asociadas con el proceso de convertir una seal analgica a un formato digital 24. i i i i 2 Tratamiento digital de seales adecuado para su procesamiento. Tambin veremos que el procesamiento digital de seales analgicas tiene sus inconvenientes. El primero y ms importante es que la conversin de una seal analgica a formato digital implica muestrear la seal y cuanticar las muestras, lo que produce una distorsin que nos impide reconstruir la seal analgica original a partir de las muestras cuanticadas. Esta distorsin puede controlarse seleccionando la adecuada tasa de muestreo y la precisin del proceso de cuanticacin. En segundo lugar, hay que tener en cuenta los efectos debidos a la precisin nita en el procesamiento digital de las muestras cuanticadas. Aunque estas importantes cuestiones se abordan con cierto detalle en el libro, el nfasis se ha puesto en el anlisis y el diseo de los sistemas de tratamiento de seales y en las tcnicas de clculo. 1.1 Seales, sistemas y tratamiento de seales Una seal se dene como cualquier magnitud fsica que vara con el tiempo, el espacio o cualquier otra variable o variables independientes. Matemticamente, describimos una seal como una funcin de una o ms variables independientes. Por ejemplo, las funciones s1(t) = 5t s2(t) = 20t2 (1.1.1) describen dos seales, una que vara linealmente con la variable independiente t (tiempo) y una segunda que vara cuadrticamente con t. Veamos otro ejemplo, considere la funcin s(x,y) = 3x+2xy+10y2 (1.1.2) Esta funcin describe una seal de dos variables independientes x e y que podran representar las dos coordenadas espaciales de un plano. Las seales descritas por las Ecuaciones (1.1.1) y (1.1.2) pertenecen a una clase de seales que se denen de forma precisa especicando la dependencia funcional de la variable independiente. Sin embargo, existen casos en los que tal relacin funcional es desconocida o extremadamente compleja como para tener ninguna utilidad prctica. Por ejemplo, una seal de voz (vase la Figura 1.1.1) no se puede describir funcionalmente mediante expresiones como la Ecuacin (1.1.1). En general, un segmento de voz se puede representar con un alto grado de precisin como la suma de varias seales sinusoidales de diferentes amplitudes y frecuencias, es decir, como N i=1 Ai(t)sen[2Fi(t)t +i(t)] (1.1.3) Figura 1.1.1. Ejemplo de una seal de voz. 25. i i i i Captulo 1 Introduccin 3 donde {Ai(t)}, {Fi(t)} y {i(t)} son los conjuntos de amplitudes, frecuencias y fases (posiblemente variables con el tiempo), respectivamente, de las seales sinusoidales. De hecho, una forma de interpretar la informacin o el mensaje enviado en un corto segmento de tiempo de la seal de voz consiste en medir las amplitudes, frecuencias y fases contenidas en dicho segmento de la seal. Otro ejemplo de seal natural es la de un electrocardiograma (ECG). Una seal de este tipo proporciona a un mdico informacin sobre el estado del corazn de un paciente. De la misma manera, la seal de un electroencefalograma (EEG) proporciona informacin sobre la actividad del cerebro. Las seales de voz, de un electrocardiograma y de un electroencefalograma son ejemplos de seales que contienen informacin y que varan como funciones de una sola variable independiente que, normalmente, es el tiempo. Un ejemplo de una seal que es una funcin de dos variables independientes es una seal de imagen. Las variables independientes en este caso son las coordenadas espaciales. Se trata tan slo de unos pocos ejemplos de las innumerables seales naturales que pueden encontrarse en el mundo real. Asociados a las seales naturales se encuentran los medios con los que se generan. Porejemplo,las seales de voz se generan al pasar el aire a travs de las cuerdas vocales. Las imgenes se obtienen mediante la exposicin de una pelcula fotogrca ante una escena u objeto. Por tanto, normalmente la generacin de seales est asociada con un sistema que responde a un estmulo o fuerza. En una seal de voz, el sistema est formado por las cuerdas vocales y el tracto bucal, tambin conocido como cavidad bucal. El estmulo en combinacin con el sistema es lo que se denomina fuente de seal. Por tanto, existen fuentes de voz, fuentes de imgenes y muchos otros tipos de fuentes de seal. Un sistema tambin se puede denir como un dispositivo fsico que realiza una operacin sobre una seal. Por ejemplo, un ltro utilizado para reducir el ruido y las interferencias que distorsionan una seal deseada que transporta informacin es un sistema. En este caso, el ltro realiza ciertas operaciones sobre la seal, que tienen el efecto de reducir (ltrar) el ruido y las interferencias de la seal de informacin deseada. Cuando pasamos una seal a travs de un sistema, como en el caso del ltro, decimos que hemos procesado o tratado la seal. En este caso, el procesamiento de la seal implica ltrar el ruido y las interferencias de la seal deseada. En general, el sistema se caracteriza por el tipo de operacin que realiza sobre la seal. Por ejemplo, si la operacin es lineal, el sistema es lineal. Si la operacin que se realiza sobre la seal no es lineal, se dice que el sistema es no lineal, etc. Tales operaciones suelen referirse como tratamiento de la seal. Para nuestros propsitos, es convenienteampliar la denicin de sistema para incluir no slo los dispositivos fsicos, sino tambin la implementacin software de operaciones sobre una seal. En el procesamiento digital de seales de una computadora digital, las operaciones efectuadas sobre una seal consisten en una serie de operaciones matemticas especicadas por un programa de software. En este caso, el programa representa una implementacin del sistema por software. Luego tenemos un sistema que se implementa sobre una computadora digital por medio de una secuencia de operaciones matemticas; es decir, tenemos un sistema de procesamiento digital de seales implementado por software. Por ejemplo, una computadora digital puede programarse para llevar a cabo un ltrado digital. Alternativamente, el tratamiento digital de seales se puede realizar mediante hardware digital (circuitos lgicos) congurado para realizar las operaciones especicadas. En una implemen- tacin de este tipo, tendremos entonces un dispositivo fsico que realizar las operaciones especicadas. En un sentido amplio, un sistema digital puede implementarse como una combinacin de hardware y software digital, realizando cada uno de ellos su propio conjunto de operaciones especicadas. Este libro aborda el tratamiento de seales por medios digitales, tanto software como hardware. Dado que muchas de las seales que se encuentran en el mundo real son analgicas,tambin vamos aconsiderarel problema de convertir una seal analgica en una seal digital con el n de poder procesarla. Las operaciones que lleve a cabo un sistema as podrn normalmente especicarse en forma matemtica. El mtodo o conjunto de reglas para implementar el sistema mediante un programa que realice las operaciones matemticas correspondientes se denomina algoritmo. Por lo general, hay disponibles muchas formas o algoritmos mediante los que se puede implementar un sistema, bien por software o por hardware, para realizar las operaciones y clculos deseados. En la prctica, estaremos interesados en aquellos algoritmos que sean ecientes y rpidos en lo que respecta a los clculos, y tambin sean fciles de implementar. Por tanto, un tema importante en el estudio del procesamiento 26. i i i i 4 Tratamiento digital de seales Seal analgica de entrada Seal analgica de salida Procesador de seales analgicas Figura 1.1.2. Tratamiento de una seal analgica. digital de la seal es el empleo de algoritmos ecientes para realizar operaciones como el ltrado, la correlacin o el anlisis de espectros. 1.1.1 Elementos bsicos de un sistema de tratamiento digital de seales La mayor parte de las seales con las que se trabaja en los distintos campos de la ciencia y la ingeniera son analgicas por naturaleza. Es decir, las seales son funciones de una variable continua, como por ejemplo, el tiempo o el espacio, y normalmente toman valores en un rango continuo. Tales seales pueden procesarse directamente mediante sistemas analgicos apropiados (como ltros, analizadores de frecuencias o multiplica- dores de frecuencia), con el n de cambiar sus caractersticas o de extraer la informacin deseada. En tal caso, podemos decir que la seal se ha procesado de forma directa en su forma analgica, como se ilustra en la Figura 1.1.2. Tanto la seal de entrada como la seal de salida son analgicas. El tratamiento digital de seales proporciona un mtodo alternativo de procesar una seal analgica, como se ilustra en la Figura 1.1.3. Para poder realizar un tratamiento digital, es necesario disponer de una interfaz entre la seal analgica y el procesador digital. Esta interfaz se denomina convertidor analgico-digital (A/D). La salida del convertidor A/D es una seal digital que es adecuada como entrada del procesador digital. El procesador digital de seales puede ser una computadora digital programable grande o un pequeo microprocesador programado para realizar las operaciones deseadas sobre la seal de entrada. Tambin puede ser un procesador digital cableado congurado para realizar un conjunto de operaciones especicado sobre la seal de entrada. Las mquinas programables proporcionan la exibilidad de poder cambiar las operaciones de procesamiento de la seal mediante una modicacin del software, mientras que las mquinas cableadas son difciles de recongurar. En consecuencia, los procesadores de seal programables son de uso muy comn. Por el contrario, cuando las operaciones de tratamiento estn bien denidas, una implementacin cableada de las operaciones puede optimizarse, dando lugar a un procesador de seales ms econmico y que normalmente trabaja ms rpido que su contrapartida programable. En aplicaciones en las que la salida digital del procesador digital de seal tenga que entregarse al usuario en formato analgico, como por ejemplo en los sistemas de comunicacin por voz, tendremos que proporcionar otra interfaz entre el dominio digital y el analgico. Una interfaz as es un convertidor digital-analgico (D/A). De este modo, la seal que se proporciona al usuario est en forma analgica, como ilustra el diagrama de bloques de la Figura 1.1.3. Sin embargo, existen otras aplicaciones prcticas que implican el anlisis de la seal, en las que la informacin deseada se encuentra en formato digital y, por tanto, no es necesario emplear un convertidor D/A. Por ejemplo, en el procesamiento digital de las seales de radar, la informacin extraida de la seal de radar, como por ejemplo la posicin de un Seal analgica de entrada Convertidor A/D Convertidor D/A Seal analgica de salida Procesador de seales digitales Seal digital de entrada Seal digital de salida Figura 1.1.3. Diagrama de bloques de un sistema de tratamiento digital de seales. 27. i i i i Captulo 1 Introduccin 5 avin y su velocidad, puede simplemente imprimirse en un papel. En este caso, no hay necesidad de utilizar un convertidor D/A. 1.1.2 Ventajas del tratamiento digital de seales sobre el analgico Como hemos mencionado anteriormente, existen muchas razones por las que el tratamiento digital de seales analgicas es preferible a procesar dichas seales analgicas directamente en el dominio analgico. En primer lugar, un sistema digital programable proporciona la exibilidad de recongurar las operaciones del tratamiento digital de la seal simplemente modicando el programa. Sin embargo, normalmente, la reconguracin de un sistema analgico implica un rediseo del hardware seguido de los procesos de realizacin de pruebas y de vericacin que permiten comprobar que todo funciona correctamente. Tambin, las consideraciones de precisin desempean un papel importante en la determinacin de la forma del procesador de seales. Las tolerancias de los componentes de los circuitos analgicos hacen extremada- mente difcil que el diseador del sistema pueda controlar la precisin de un sistema de tratamiento de seales analgicas. Por el contrario, un sistema digital proporciona un control mucho mejor en lo que respecta a los requisitos de precisin. Tales requisitos, a su vez, exigen especicar los requisitos de precisin del convertidor A/D y del procesador digital de seales, en trminos de longitud de palabra, artimtica en coma otante o coma ja, y factores similares. La seales digitales se almacenan fcilmente en soportes magnticos (cinta o disco) sin deteriorarse o perder delidad, aparte de la introducida por la conversin A/D. Como consecuencia, las seales se hacen transportables y pueden procesarse en tiempo no real en un laboratorio remoto. El tratamiento digital de seales tambin permite la implementacin de algoritmos de tratamiento de seales ms sosticados. Normalmente, es muy difcil efectuar operaciones matemticas precisas sobre seales analgicas, pero esas mismas operaciones pueden implementarse de forma rutinaria en una computadora digital mediante software. En algunos casos, una implementacin digital del sistema de procesamiento de seales es ms barata que su contrapartida analgica. Este menor coste puede deberse al hecho de que el hardware digital es ms barato o, quizs, es el resultado de la exibilidad de poder realizar modicaciones proporcionada por la implementacin digital. Como consecuenciadeestasventajas,elprocesamiento digitaldesealessehaaplicadoensistemasprcticos cubriendo un amplio rango de disciplinas. Por ejemplo, podemos citar la aplicacin de tcnicas de tratamiento digital de seales en el procesamiento de voz y la transmisin de seales a travs de canales telefnicos, en el procesamiento y transmisin de imgenes, en los campos de la sismologa y la geofsica, en la prospeccin petrolfera, en la deteccin de explosiones nucleares, en el tratamiento de seales recibidas del espacio exterior y en muchas otras aplicaciones. Algunas de estas aplicaciones las comentaremos en los captulos siguientes. Sin embargo, como ya hemos mencionado, la implementacin digital tambin tiene sus limitaciones. Una limitacin prctica es la velocidad de operacin de los convertidores A/D y de los procesadores digitales de seales. Veremos que las seales que tienen anchos de banda extremadamente grandes requieren convertidores A/D con una muy alta velocidad de muestreo y procesadores digitales de seales rpidos. As, existen seales analgicas con anchos de banda grandes para las que la solucin que proporciona el tratamiento digital se encuentra ms all del estado del arte del hardware digital. 1.2 Clasicacin de las seales Los mtodos que utilicemos para procesar una seal o para analizar la respuesta de un sistema dependern enormemente de los atributos caratersticos de la seal especicada. Existen tcnicas que slo se aplican a familias especcas de seales. En consecuencia, cualquier investigacin que hagamos sobre el procesamiento de seales deber comenzar por la clasicacin de las seales implicadas en la aplicacin concreta. 28. i i i i 6 Tratamiento digital de seales 1.2.1 Seales multicanal y multidimensionales Como se ha explicado en la Seccin 1.1, una seal se describe mediante una funcin de una o ms variables independientes. El valor de la funcin (es decir, de la variable dependiente) puede ser una magnitud escalar real, una magnitud compleja o incluso un vector. Por ejemplo, la seal s1(t) = Asen3t es una seal real. Sin embargo, la seal s2(t) = Aej3t = Acos3t + jAsen3t es compleja. En algunas aplicaciones, mltiples fuentes o mltiples sensores generan las seales. Dichas seales pueden representarse en forma vectorial. La Figura 1.2.1 muestra las tres componentes de una seal vectorial que representa la aceleracin en la supercie terrestre debida a un terremoto. Esta aceleracin es el resultado de tres Ondas S Ondas de superficie Tiempo (segundos) Aceleracineng/10 Ondas P Sur Este Sur Vertical Vertical Este Figura 1.2.1. Tres componentes de la aceleracin en tierra medida a pocos kilmetros del epicentro de un terremoto. (De Earthquakes, por B. A. Bold, 1988 de W. H. Freeman and Company. Reproducido con permiso del editor.) 29. i i i i Captulo 1 Introduccin 7 I(x1, y1) x1 0 x y1 y Figura 1.2.2. Ejemplo de una seal bidimensional. tipos bsicos de ondas elsticas. Las ondas primarias (P) y las ondas secundarias (S) se propagan dentro del cuerpo de la roca y son longitudinales y transversales, respectivamente. El tercer tipo de onda elstica recibe el nombre de onda supercial, porque se propaga cerca de la supercie de la Tierra. Si sk(t), k = 1, 2, 3, denota la seal elctrica procedente del sensor k como una funcin del tiempo, el conjunto de p = 3 seales se puede representar mediante un vector S3(t), donde S3(t) = s1(t) s2(t) s3(t) Decimos que un vector de seales as es una seal multicanal. Por ejemplo, en electrocardiografa, se utilizan electrocardiogramas (ECG) de 3 tomas y de 12 tomas, que generan seales de 3 y 12 canales. Fijmonos ahora en las variables independientes. Si la seal es una funcin de una sola variable indepen- diente, se dice que la seal es unidimensional. Por otro lado, se dice que una seal es M-dimensional si su valor es una funcin de M variables independientes. La imagen de la Figura 1.2.2 es un ejemplo de una seal bidimensional, dado que la intensidad o brilloI(x,y) en cada punto es una funcin de dos variables independientes. Por otra parte, una imagen de televisin en blanco y negro puede representarse como I(x,y,t), puesto que el brillo es una funcin del tiempo. Por tanto, la imagen de TV puede tratarse como una seal tridimensional. En cambio, una imagen de TV en color puede escribirse mediante tres funciones de intensidad de la forma Ir(x,y,t), Ig(x,y,t) e Ib(x,y,t), las cuales se corresponden con el brillo de los tres colores principales (rojo, verde, azul) como funciones del tiempo. Por tanto, una imagen de TV en color es una seal tridimensional de tres canales, que puede representarse mediante el vector: I(x,y,t) = Ir(x,y,t) Ig(x,y,t) Ib(x,y,t) En este libro vamos a tratar fundamentalmente con seales unidimensionales de un solo canal, reales o complejas, y vamos a referirnos a ellas simplemente como seales. En trminos matemticos, estas seales se 30. i i i i 8 Tratamiento digital de seales describen mediante una funcin de un sola variable independiente. Aunque la variable independiente no tiene por qu ser necesariamente el tiempo, es costumbre emplear t como la variable independiente. En muchos casos, las operaciones y algoritmos para el procesamiento de seales desarrollados en el texto para seales unidimensionales de un slo canal pueden extenderse a seales multidimensionales y multicanal. 1.2.2 Seales continuas y discretas en el dominio del tiempo Las seales se pueden clasicar en cuatro categoras diferentes dependiendo de las caractersticas de la variable independiente tiempo y de los valores que stas tomen. Las seales continuas en el tiempo o seales analgicas estn denidas para cada instante de tiempo y toman sus valores en el intervalo continuo (a,b), donde a puede ser y b puede ser . Matemticamente, estas seales pueden describirse mediante funciones de una variable continua. La onda de voz mostrada en la Figura 1.1.1 y las seales x1(t) = cost, x2(t) = e|t|, < t < son ejemplos de seales analgicas. Las seales discretas en el tiempo slo estn denidas en determinados instantes especcos de tiempo. Dichos instantes de tiempono tienenque serequidistantes, aunque,enla prctica, normalmente estn igualmente espaciados para facilitar los clculos. La seal x(tn) = e|tn|, n = 0, 1, 2,... es un ejemplo de una seal discreta en el tiempo. Si utilizamos el ndice n para los instantes de tiempo discretos como la variable independiente, el valor de la seal ser una funcin de una variable entera (es decir, ser una secuencia de nmeros). Por tanto, una seal discreta en el tiempo se puede representar matemticamente mediante una secuencia de nmeros reales o complejos. Con el n de resaltar la naturaleza discreta de una seal, denotaremos dicha seal como x(n) en lugar de como x(t). Si los instantes de tiempo tn estn igualmente espaciados (es decir, tn = nT), tambin se utiliza la notacin x(nT). Por ejemplo, la secuencia x(n) = 0.8n, si n 0 0, en otro caso (1.2.1) es una seal discreta en el tiempo, que se ha representado grcamente en la Figura 1.2.3. En la prctica, las seales discretas en el tiempo pueden originarse de dos formas: 1. Seleccionando valores de una seal analgica en instantes discretos de tiempo. Este proceso se denomina muestreo y se estudia ms en detalle en la Seccin 1.4. Todos los instrumentos de medida que realizan medidas a intervalos de tiempo regulares proporcionan seales discretas en el tiempo. Por ejemplo, la seal x(n) de la Figura 1.2.3 puede obtenerse muestreando la seal analgica x(t) = 0.8t, t 0 y x(t) = 0, t < 0 una vez por segundo. 2. Acumulando una variable en un perodo de tiempo. Por ejemplo, el nmero de coches que pasan por una calle determinada en una hora o el valor del oro diario, dan lugar a seales discretas en el tiempo. La Figura 1.2.4 muestra una grca del nmero de manchas solares de Wlfer. Cada muestra de la seal discreta en el tiempo proporciona el nmero de manchas observadas durante un intervalo de 1 ao. 01 1 x(n) 1 2 3 4 5 6 7 n Figura 1.2.3. Representacin grca de la seal discreta en el tiempo x(n) = 0.8n para n > 0 y x(n) = 0 para n < 0. 31. i i i i Captulo 1 Introduccin 9 1770 0 100 200 1790 1810 1830 1850 1870 Nmerodemanchassolares Ao Figura 1.2.4. Nmero de manchas solares de Wlfer (17701869). 1.2.3 Seales continuas y seales discretas Los valores de una seal continua o discreta en el dominio del tiempo pueden ser continuos o discretos. Si una seal toma todos los valores posibles en un rango nito o innito, se dice que es una seal continua. Alternativamente, si la seal toma valores dentro un conjunto nito de posibles valores, se dice que la seal es discreta. Normalmente, estos valores son equidistantes y, por tanto, pueden expresarse como un mltiplo entero de la distancia entre dos valores sucesivos. Una seal discreta en el tiempo que tiene un conjunto de valores discretos es una seal digital. La Figura 1.2.5 muestra una seal digital que toma uno de cuatro valores posibles. Para que una seal pueda ser procesada digitalmente, debe ser discreta en el tiempo y sus valores tienen que ser discretos (es decir, tiene que ser una seal digital). Si la seal que se va a procesar es una seal analgica, se convierte en una seal digital muestrendola en instantes discretos de tiempo, obtenindose as una seal discreta en el tiempo, y cuanticando a continuacin sus valores en un conjunto de valores discretos, como se describe ms adelante en el captulo. El proceso de conversin de una seal continua en una seal discreta se denomina cuanticacin, y es bsicamente un proceso de aproximacin. Puede realizarse de forma simple mediante redondeo o truncamiento. Por ejemplo, si los valores permitidos de la seal digital son enteros, como por ejemplo, de 0 hasta 15, la seal de valores continuos se cuantica empleando esos valores enteros. Por tanto, el valor de la seal 8.58 se aproximaral valor 8 si el proceso de cuanticacin se realiza mediante truncamiento, o a 9 si el proceso de cuanticacin se realiza por redondeo al entero ms prximo. Ms adelante en el captulo se proporciona una explicacin ms detallada del proceso de conversin analgico-digital. 1.2.4 Seales deterministas y seales aleatorias El procesamiento y anlisis matemtico de seales requiere disponer de una descripcin matemtica para la propia seal. Esta descripcin matemtica, a menudo denominada modelo de seal, lleva a otra importante clasicacin de las seales. Cualquier seal que se pueda describir unvocamente mediante una expresin matemtica explcita, una tabla de datos o una regla bien denida se dice que es determinista. Este trmino se emplea para destacar el hecho de que todos los valores pasados, presentes y futuros de la seal se conocen de forma precisa, sin incertidumbre. 32. i i i i 10 Tratamiento digital de seales 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 n x(n) Figura 1.2.5. Seal digital con cuatro valores de amplitud diferentes. Sin embargo, en muchas aplicaciones prcticas, existen seales que o no se pueden describir con un grado razonable de precisin mediante frmulas matemticas o una descripcin resulta demasiado compleja como para resultar prctica. La falta de una relacin de este tipo implica que dichas seales evolucionan en el tiempo de manera no predecible. Decimos que este tipo de seales son aleatorias. La salida de un generador de ruido, la seal ssmica de la Figura 1.2.1 y la seal de voz de la Figura 1.1.1 son ejemplos de seales aleatorias. El marco de trabajo matemtico para llevar a cabo el anlisis terico de las seales aleatorias lo proporciona la teora de la probabilidad y los procesos estocsticos. En la Seccin 12.1 se presentan algunos de los elementos bsicos de este enfoque adaptados a las necesidades del libro. Debemos insistir en que la clasicacin de una seal real como determinista o aleatoria no siempre es clara. En ocasiones, ambos enfoques llevan a resultados signicativos que ayudan a claricar el comportamiento de la seal. En otros casos, una clasicacin errnea puede llevar a resultados errneos, ya que algunas herramientas matemticas slo pueden aplicarse a seales deterministas mientras que otras slo pueden aplicarse a seales aleatorias. Ver esto ms claramente cuando examinemos herramientas matemticas especcas. 1.3 Concepto de frecuencia en seales continuas y discretas en el tiempo El concepto de frecuencia ya ser familiar a los estudiantes de ingeniera y ciencias. Este concepto es bsico, por ejemplo, en el diseo de un receptor de radio, de un sistema de alta delidad o de un ltro espectral para fotografas en color. De la Fsica, sabemos que la frecuencia est estrechamente relacionada con un tipo especco de movimiento peridico denominado movimiento oscilatorio armnico, que se describe mediante funciones sinusoidales. El concepto de frecuencia est directamente relacionado con el concepto de tiempo, y su dimensin es la inversa de la del tiempo. En consecuencia, la naturaleza del tiempo (contin