Tema 3: La Transformada ZLa Transformada Z

Ing. Jorge Enrique Montealegrejorge.montealegre@unad.edu.co

La Transformada ZLa Transformada Z

1.1. Definición de la Transformada ZDefinición de la Transformada Z

2.2. Propiedades de la Transformada ZPropiedades de la Transformada Z

3.3. La Transformada Z inversaLa Transformada Z inversa

4.4. Sistemas LTI y dominio ZSistemas LTI y dominio Z

5.5. Estructuras para la realización de Estructuras para la realización de sistemas discretossistemas discretos

1. Definición de la Transformada Z.1. Definición de la Transformada Z.

La Transformada Z directa.La transformada Z de una señal discreta x(n) está definida como una serie de potencias

Donde z es una variable compleja.

La transformada es llamada directa por transformar una señal del dominio del tiempo x(n) al plano complejo X(z).

El proceso inverso es llamado transformada inversa Z.

n

nznxnxZzX )()()(

Al ser la transformada Z una serie infinita de potencias, existe solo para valores de z donde la serie converge.

La región de convergencia (ROC) de X(z) es el conjunto de valores de z para el cual X(z) alcanza valores finitos.

Ejemplos:x1(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1} X1(z) = 1 + 2z-1 + 5z-2 + 7z-3 + z-5

x2(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1} X2(z) = z2 + 2z + 5 +7z-1 + z-3

x3(n) = {0, 0, 1, 2, 5, 7, 0, 1} X3(z) = z-2 + 2z-3 + 5z-4 + 7z-5 + z-7

x4(n) = {2, 4, 5, 7, 0, 1} X4(z) = 2z2 + 4z +5 +7z-1+z-3

x5(n) = δ(n) X5(z) = 1

x6(n) = δ(n - k), k > 0 X6(z) = z-k, k > 0

x7(n) = δ(n + k), k > 0 X7(z) = zk, k > 0

¿Cuál es la ROC en cada caso?

• La ROC de señales de duración finita es todo el plano Z salvo en ocasiones z = {0, ∞}.

• Estos puntos quedan excluidos pues zk (k > 0) no está acotada para ∞ y z-k (k > 0) para 0.

• La transformada Z es una forma alternativa de representar una señal.

• El exponente de z tiene la información necesaria para identificar las muestras de la señal.

• La suma finita o infinita de la transformada Z puede expresarse en forma compacta.

Determina la transformada Z de la señal x(n) = ½n u(n).

Expresemos la variable compleja z en forma polar

z = rejθ

donde r = |z| y θ= ∟z.

La transformada Z puede expresarse entonces como

En la ROC de X(z), |X(z)| < ∞. Pero

Entonces |X(z)| es finita si x(n)r-n es en absoluto sumable.

n

njn

rezernxzX j

)()(

n

n

n

njn

n

njn rnxernxernxzX )()()()(

La ROC de X(z) se determina con el rango de valores de r donde la secuencia x(n)r-n es en absoluto sumable.

• Si X(z) converge en alguna región del plano complejo, entonces los dos sumandos son finitos en esa región.

• Si converge el primer sumando, los valores de r son lo suficientemente pequeños para que la secuencia x(-n)rn,1 ≤ n < ∞, sea en absoluto sumable y la ROC correspondiente es una circunferencia de radio r1 < ∞.

• Si converge el segundo sumando, los valores de r son lo suficientemente grandes para que x(n)/rn, 1 ≤ n < ∞, sea en absoluto sumable y la ROC son todos los puntos fuera de una circunferencia de radio r < r2.

010

1 )()(

)()()(

nn

n

n

nn

n

n

r

nxrnx

r

nxrnxzX

Im(z)

Re(z)r1

Región deconvergencia

Im(z)

Re(z)r2

Región deconvergencia

Plano z

Plano z

Im(z)

Re(z)r2

Región deconvergenciade |X(z)|r2 < r < r1

Plano z

r1

La convergencia de X(z) exige que los sumandos sean finitos.

Entonces la ROC de X(z) es la región anular del plano z: r2 < r < r1, que es la zona donde las sumas son finitas.

Si r2 > r1 no existe región de convergencia común y X(z) no existe.

Determina la transformada Z de la señal x(n) = αn u(n).

Determina la transformada Z de la señal x(n) = - αn u(-n-1).

Determina la transformada Z de la señal x(n) = αn u(n) + bn u(-n-1).

Una señal discreta x(n) queda unívocamente determinada por su transformada z, X(z), y la región de convergencia de X(z).

La ROC de una señal anticausal es el interior de una circunferencia de radio r1 mientras que la ROC de una señal causal es el exterior de un círculo de radio r2.

La ROC para una señal que se extiende hasta el infinito por los dos lados es un anillo (región anular) en el plano z.

Transformada Z unilateral:

0

)()(n

nznxzX

…

…

……

Causal

Causal

Anticausal

Anticausal

Bilateral

Bilateral

Señales de duración finita

Señales de duración infinita

Plano zexcepto z = 0

Plano zexcepto z = ∞

Plano zexcepto z = ∞ y z = 0

r1

r2

r

2

r1

|z| > r2

|z| < r1

r2 < |z| < r1

La Transformada Z inversa.El procedimiento para transformar una señal del dominio z al dominio del tiempo se denomina transformada Z inversa.

Se emplea el teorema integral de Cauchy.

Tenemos:

Multiplicamos por zn-1 e integramos sobre un contorno cerrado C en el interior de la ROC y que contiene al origen.

Al converger la serie en los puntos de C podemos tener

k

kzkxzX )()(

C

k

kn

C

n dzzkxdzzzX 11 )()(

k

C

kn

C

n dzzkxdzzzX 11 )()(

La integral de Cauchy dice:

Aplicando esta integral tenemos finalmente:

nk

nkdzz

j C

kn

,0

,1

2

1 1

C

n dzzzXj

nx 1)(2

1)(

Im(z)

Re(z)r2

Contorno C para la integral

Plano z

r1

C

2. Propiedades de la Transformada Z.2. Propiedades de la Transformada Z.Linealidad.Si

Entonces

)()()()( 2211 zXnxyzXnx zz

)()()()()()( 22112211 zXazXazXnxanxanx z

Determina la transformada Z y la ROC de la señal x(n) = [3(2n) – 4(3n)]u(n).Determina la transformada Z de las señales x(n) = (cos ωn )u(n) y x(n) = (sen ωn)u(n).

Desplazamiento en el tiempo.Si

Entonces

La ROC de z-kX(z) es la misma que la de X(z) salvo para z = 0 si k > 0 y z = ∞ si k < 0.

)()( zXnx z

)()( zXzknx kz

Determina las transformadas Z de las señales x1(n) = {0, 0, 1, 2, 5, 7, 0, 1} y x2(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1} a partir de la TZ de x0(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1}.Determina la transformada Z de la señal:

Escalado en el dominio z.Si

Entonces

Para cualquier constante a real o compleja.

21:)()( rzrROCzXnx z

211 :)()( razraROCzaXnxa zn

Determina la TZ de las señales x(n) = an(cos ωn )u(n) y x(n) = an(sen ωn)u(n).

Inversión temporal.Si

Entonces

21:)()( rzrROCzXnx z

12

1 11:)()(

rz

rROCzXnx z

Determina la TZ de la señal x(n) = u(-n)

Diferenciación en el dominio z.Si

Entonces

)()( zXnx z

dz

zdXznnx z )(

)(

Determina la TZ de la señal x(n) = nanu(n).Determina la señal x(n) si X(z) = log(1 + az-1) con |z| > |a|.

Convolución de dos secuencias.Si

Entonces

La ROC de X(z) es, cuando menos, la intersección de las de X1(z) y X2(z)

)()()()( 2211 zXnxzXnx zz

)()()()()()( 2121 zXzXzXnxnxnx z

Determina la convolución de x1(n) = {1, -2, 1} y x2(n) = {1, 1, 1, 1, 1, 1}.

El cáculo de la convolución de dos señales empleando la transformada z exige los siguientes pasos:

1. Calcular las transformadas z de la señales a convolucionar

X1(z) = Z{x1(n)} X2(z) = Z{x2(n)}

(Dominio del tiempo Dominio z)

2. Multiplicar las dos transformadas z X(z) = X1(z) X2(z) (Dominio z)

3. Encontrar la transformada z inversa de X(z)

x(n) = Z-1{X(z)}

(Dominio z Dominio del tiempo)

Correlación de dos secuencias.Si

Entonces

La ROC de Rx1x2(z) es, como mínimo, la intersección de las de X1(z) y X2(z-1).

Multiplicación de dos secuencias.Si

Entonces

C es un contorno cerrado que encierra al origen y se halla en la región de convergencia común a X1(v) y X2(1/v).

)()()()()()( 12121 2121

zXzXzRlnxnxlr xxz

nxx

)()()()( 2211 zXnxzXnx zz

)()()()( 2211 zXnxzXnx zz

dvvv

zXvX

jzXnxnxnx

C

z 12121 )(

2

1)()()()(

Relación de Parseval.Si x1(n) y x2(n) son dos secuencias complejas, entonces

Siempre que r1lr2l < 1 < r1ur2u, donde r1l < |z| < r1u, y r2l < |z| < r2u, son las ROC de X1(z) y X2(z).

El teorema del valor inicial.Si x(n) es causal, es decir, x(n) = 0 para n < 0, entonces

Cn

dvvv

XvXj

nxnx 12121

1)(

2

1)()(

)(lim)0( zXxz

Transformadas Z racionales.Polos y ceros.

Los ceros de la transformada z son los valores para los cuales X(z) = 0.

Los polos de la transformada z son los valores para los cuales X(z) = ∞.

Si X(z) es una función racional entonces,

N

k

kk

M

k

kk

NN

MM

za

zb

zazaa

zbzbb

zD

zNzX

0

01

10

110

...

...

)(

)()(

Si a0 ≠ 0 y b0 ≠ 0, se pueden evitar las potencias negativas de z sacando factores comunes:

Al ser N(z) y D(z) polinomios de z entonces:

Donde G ≡ b0/a0.

01

01

01

01

0

0

/...)/(

/...)/(

)(

)()(

aazaaz

bbzbbz

za

zb

zD

zNzX

NNN

MMM

N

M

))...()((

))...()((

)(

)()(

21

21

0

0

N

MNM

pzpzpz

zzzzzzz

a

b

zD

zNzX

N

kk

M

kk

MN

pz

zzGzzX

1

1

)(

)()(

• X(z) tiene M ceros en z = z1, z2,…,zM, N polos en z = p1, p2,…,pN y |N - M| ceros (si N > M) o polos (si N < M) en el origen z = 0.

• Puede haber polos o ceros en z = ∞:• Existe un cero en z = ∞ si X(∞) = 0

• Existe un polo en z = ∞ si X(∞) = ∞

• Si contamos los polos y ceros, incluyendo los que están en z = 0 y z = ∞, veremos que X(z) tiene exactamente el mismo número de ceros y polos.

• X(z) puede representarse gráficamente con el diagrama de polos (×) y ceros (○) en el plano complejo.

• Por definición, la ROC de una transformada z no puede contener ningún polo.

Algunos pares de transformada Z.

Determina el diagrama de polos y ceros de x(n) = anu(n) y para a > 0

Localización de polos y comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales.

Existe una relación entre la localización de un par de polos en el plano z y la forma de la señal en el dominio del tiempo.

El comportamiento de la señales causales depende de si los polos se hallan en la región |z| < 1, en |z| > 1, o sobre la circunferencia unidad |z| = 1.

Si la TZ de una señal real tiene un solo polo, este debe ser real. La única señal así es la exponencial real:

Que tiene un cero z1 = 0 y un polo p1 = a sobre el eje real.

azROCaz

zXnuanx zn

:1

1)()()(

1

¿Cómo es la señal con respecto a la localización del polo?

Plano z

01

x

Plano z

01

x

Plano z

01x

Plano z

01

x

Plano z

01

x

Plano z

01

x

…

…

…

…

…

…

Una señal causal con doble polo es de la forma:

)()( nunanx nPlano z

01

Plano z

01

Plano z

01

Plano z

01

Plano z

01

Plano z

01

x

x

x

x

x

x

…

…

…

…

…

…

m=2

m=2

m=2

m=2

m=2

m=2

Plano z

0

1…

…

…

x

xr

ω

Plano z

0

1

x

xr

ω

Plano z

0

1

x

x

rω

Par de polos conjugados

r = 1

rn

rn

Plano z

0

1

x

x

ω

Doble par de polos conjugados sobre la circunferencia

r

…

m=2

m=2

Función de transferencia de un sistema LTI.

La propiedad de convolución nos permite expresar:

Y(z) = H(z)X(z); H(z) = Y(z)/X(z)

Como

H(z) caracteriza al sistema en el plano z.

H(z) y h(n) son descripciones equivalentes del sistema.

H(z) se denomina función de transferencia del sistema.

Si describimos al sistema mediante edcc:

entonces

n

nznhzH )()(

El sistema LTI descrito por una edcc tiene una función de transferencia racional.

Si ak = 0 para 1 ≤ k ≤ N tenemos

En este caso H(z) tiene M ceros, determinados por {bk} y un polo de orden M en z = 0.

Este sistema se denomina sistema de todo ceros, o sistema FIR o sistema MA (media móvil).

Si bk = 0 para 1 ≤ k ≤ M tenemos

En este caso H(z) tiene N polos, determinados por {ak} y un cero de orden N en z = 0.

Este sistema se llama sistema de todo polos, o sistema IIR.

La forma general

se denomina sistema de polos y ceros con N polos y M ceros. Los polos y/o ceros en z = 0 y z = ∞ no se cuentan explícitamente. Es un sistema IIR.

a0 ≡ 1

Determina la función de transferencia y la respuesta al impulso del sistema descrito por y(n) = ½y(n-1) + 2x(n) .Determina la función de transferencia y respuesta al escalón de y(n-1)=¼y(n-2)+x(n)

3. La Transformada Z inversa (TZI).3. La Transformada Z inversa (TZI).La transformada Z inversa está dada por

una integral de contorno sobre el camino cerrado C que encierra al origen y se halla en la ROC de X(z).

Por simplicidad C puede ser una circunferencia dentro de la ROC de X(z) en el plano z.

Existen tres métodos empleados su cálculo:

1. Cálculo directo, mediante la integración del contorno.

2. Expansión en serie de términos en z y z-1

3. Expansión de fracciones simples y búsqueda en tabla.

C

n dzzzXj

nx 1)(2

1)(

TZI por integración.Teorema del residuo de Cauchy.

Sea f(z) una función de variable compleja z y C un contorno en el plano z.

Si la derivada df(z)/dz existe dentro y sobre C, y si f(z) no tiene polos en z = z0, entonces:

De forma general, si existe la derivada de orden (k + 1) de f(z) y ésta no tiene polos en z = z0, entonces

Cz

Czzfdz

zz

zf

j C de fuera está si

de dentro está si

0

)()(

2

1

0

00

0

Cz

Czdz

zfd

kdzzz

zf

jk

k

C k de fuera está si

de dentro está si

0

)(

)!1(

1

)(

)(

2

1

0

01

1

0

Si suponemos que el integrando de la integral de contorno es P(z) = f(z)/g(z), donde f(z) no tiene polos dentro del contorno C y g(z) es un polinomio con raices distintas z1, z2, …, zn dentro de C. Entonces,

donde

n

iii

Ci

in

i

C

n

i i

i

C

zA

dzzz

zA

j

dzzz

zA

jdz

zg

zf

j

1

1

1

)(

)(

2

1

)(

2

1

)(

)(

2

1

)(

)()()()()(

zg

zfzzzPzzzA iii

Los valores {Ai(zi)} son los residuos de los correspondientes polos en z = zi, i = 1, 2, …, n.

Por eso la integral es igual a la suma de los residuos de todos los polos dentro de C.

Para el caso de la transformada Z inversa tenemos:

siempre que los polos {zi} sean simples.

Si X(z)zn-1 no tiene polos dentro del contorno C para uno o más valores de n, entonces x(n)=0 para esos valores.

izz

ni

Czi

n-

C

n

i

i

zzXzz

zz X(z)z

dzzzXj

nx

1

de dentro polos los todos

1

1

)()(

en de residuo

)(2

1)(

TZI por expansión en serie de potencias.

Dada X(z) con su ROC, la podemos expandir como:

la cual cual converge en la ROC dada.

Entonces, x(n) = cn para toda n.

Si X(z) es racional, la expansión se puede realizar a través de la división.

n

nn zczX )(

Determina la transformada Z inversa de Cuando ROC: |z| > 1 y |z| < 0.5

21 5.05.11

1)(

zzzX

TZI por expansión de fracciones simples.

Tratamos de expresar X(z) como una combinación lineal:

X(z) = α1X1(z) + α2X2(z) + … + αKXK(z)

donde X1,…, XK(z) son expresiones con TZI x1(n),…,xK(n) disponibles en tablas.

Si la descomposición es posible, tendremos:

x(n) = α1x1(n) + α2x2(n) + … + αKxK(n)

El método es útil si X(z) es racional.

Sin pérdida de generalidad, suponemos a0 = 1, entonces

si a0 ≠ 1, dividimos entre a0.

NN

MM

zaza

zbzbb

zD

zNzX

...1

...

)(

)()(

11

110

La función es propia si aN ≠ 0 y M < N.

Una función racional impropia (M ≥ N) es la suma de un polinomio y una función racional propia, y en general puede expresarse como:

)(

)(...

)(

)()( 1)(1

10 zD

zNzczcc

zD

zNzX NM

NM

NN

MM

zaza

zbzbb

zD

zNzX

...1

...

)(

)()(

11

110

Expresa la transformada racional impropiaen términos de un polinomio y una funciónpropia.

2611

65

3312

6111

1

31)(

zz

zzzzX

Primer paso:

Sea X(z) una función racional propia, esto es:

con aN ≠ 0 y M < N.

Eliminamos las potencias negativas multiplicando por zN:

Como N > M, entonces

es siempre propia.

NN

MM

zaza

zbzbb

zD

zNzX

...1

...

)(

)()(

11

110

NNN

MNM

NN

azaz

zbzbzbzX

...

...)(

11

110

NNN

MNM

NN

azaz

zbzbzb

z

zX

...

...)(1

1

121

10

El objetivo es obtener una suma de fracciones simples.

Para eso, factorizamos el polinomio denominador en factores que contengan los polos p1, p2, …, pN de X(z).

Tenemos dos casos: polos diferentes y de orden múltiple.

Polos diferentes.

Suponemos a los polos p1, p2, …, pN todos diferentes.

Buscamos la expansión de la forma:

Debemos determinar A1, A2, ..., AN.

N

N

pz

A

pz

A

pz

A

z

zX

...

)(

2

2

1

1

Podemos obtener los coeficientes A1, A2, …, AN si multiplicamos por los términos (z - pk), k = 1, 2, …, N, y calculamos las expresiones resultantes en las posiciones de los polos p1, p2, …, pN. Así tenemos:

Entonces, si z = pk, obtenemos los k-ésimos coeficientes

Este proceso es aplicable tanto a polos reales como complejos que sean distintos. Los polos conjugados complejos producen coeficientes de la expansión en fracciones simples que son conjugados complejos.

N

Nkk

kk

pz

ApzA

pz

Apz

z

zXpz

)(......

)()()(

1

1

Nkz

zXpzA

kpz

kk ,...,2,1

)()(

Polos de orden múltiple.

Si X(z) tiene un polo de multiplicidad l, esto es, aparece en el denominador un factor de la forma (z-pk)l, entonces la expansión ha de tener los términos:

Los coeficientes {Ak} se obtienen de derivaciones sucesivas.

lk

lk

k

k

k

k

pz

A

pz

A

pz

A

)(...

)( 221

Segundo paso:

Polos diferentes.

De la expansión se sigue que:

La TZI, x(n) = Z-1{X(z)}, se obtiene invirtiendo cada término y efectuando combinación lineal.

De tablas, los términos se invierten usando la fórmula:

112

211

1 1

1...

1

1

1

1)(

zp

Azp

Azp

AzXN

N

kn

k

kn

k

k pznup

pznup

zpZ

:ROC si)1()(

:ROC si)()(

1

11

1

Si x(n) es causal, la ROC es |z| > pmax, donde pmax = max { |p1|, |p2|, …, |pN| } y la señal viene dada por:

y si todos los polos son reales, podemos decir que una señal causal, que tiene una transformada Z con polos diferentes y reales, es una combinación lineal de exponenciales reales.

Si algunos polos son complejos, tendremos exponenciales complejas, pero si la señal es real debemos reducirlos.

Si pj es un polo, su conjugado complejo pj* lo es también.

La contribución de los dos polos es entonces:

)()...()( 2211 nupApApAnx nNN

nn

)(])()([)( nupApAnx nkk

nkkk

Con estos términos se puede formar una señal real.

Usando notación polar tenemos:

donde αk y βk son las fases de Ak y pk. Sustituyendo:

Por lo tanto,

si la ROC es |z| > |pk| = rk

k

k

jkk

jkk

erp

eAA

)()cos(2

)(][)( )()(

nunrA

nueerAnx

kkn

kk

njnjnkkk

kkkk

)()cos(211 11

1 nunrAzp

A

zp

AZ kk

nkk

k

k

k

k

Polos múltiples, reales o complejos.

La TZI necesita términos de la forma:

Para polos dobles es útil la transformada:

Valida si la ROC es |z| > |p|.

nkpz

A

)(

)()1( 21

11 nunp

pz

pzZ n

Determina la expansión en fraccionessimples de:

2211

231

1)(

zzzX

2211

1

1

1)(

zz

zzX

211 )1)(1(

1)(

zzzX

Determina la TZI de:

1||

||

1||

es ROC si 1

1)(

21

21

2211

23

z

z

z

zzzX

2211

1

1

1)(

zz

zzX 211 )1)(1(

1)(

zzzX

Descomposición de TZ racionales.

Si tenemos

donde suponemos a0≡1. Si M ≥ N, entonces

Si los polos de Xpr(z) son distintos

N

kk

M

kk

N

k

kk

M

k

kk

zp

zzb

za

zbzX

1

1

1

1

0

1

0

)1(

)1(

1)(

)()(0

zXzczX pr

NM

k

kk

112

211

1 1

1...

1

1

1

1)(

zp

Azp

Azp

AzXN

Npr

Puede haber pares de polos conjugados complejos, y al tratar con señales reales debemos evitarlos, agrupando los términos con dichos polos.

donde

El resultado general es:

donde K1+2K2=N.

22

11

110

211

11

11

1

111

zaza

zbbzppzppz

pzAAzApA

zp

A

pz

A

2

21

10

)Re(2

)Re(2)Re(2

paApb

paAb

21

12

21

1

110

10 11)(

K

k kk

kkK

kk

k

kNM

k

kk zaza

zbb

za

bzczX

Si M = N el primer término es una constante.

Si M < N, este término desaparece.

Cuando además hay polos múltiples, se incluyen algunos términos de mayor orden.

Una representación alternativa es:

donde

Suponiendo M = N,

donde N = K1 + 2K2.

22

11

22

11

11

11

1

1

)1)(1(

)1)(1(

zaza

zbzb

zpzp

zzzz

kk

kk

kk

kk

2

2

2

2

11 )Re(2)Re(2

kkkk

kkkk

pazb

pazb

21

12

21

1

22

11

11

1

0 1

1

1

1)(

K

k kk

kkK

k k

k

zaza

zbzb

za

zbbzX

4. Sistemas LTI en el dominio Z.4. Sistemas LTI en el dominio Z.Respuesta con H(z) racional.Consideremos un sistema de polos y ceros con su H(z) dados por

Además, la señal de entrada x(n), tiene su TZ

Si el sistema está inicialmente en reposo y(-1) = y(-2) = ... = 0

Supongamos polos simples p1, p2,…, pN para el sistema y q1, q2,…, qL para la señal de entrada, donde pk ≠ qm para k = 1, 2, …, N y m = 1.

Además suponemos que los ceros del numerador no coinciden con los polos, no existiendo cancelaciones.

La transformada inversa nos da

y(n) puede subdividirse en dos partes.

La primera es la función de los polos del sistema {pk} y es la respuesta natural del sistema.

La segunda es la función de los polos del sistema {qk} y es la respuesta forzada del sistema.

Respuesta con condiciones iniciales no nulas.Suponemos que x(n) se aplica en n = 0 (causal). Los efectos de las señales de entrada previas se reflejan en las condiciones iniciales y(-1), y(-2), ..., y(-N).

Nos interesa determinar y(n) para n ≥ 0, por lo que se emplea la TZ unilateral. Tenemos entonces

Al ser x(n) causal, X+(z) = X(z).

Donde

La salida del sistema con condiciones iniciales no nulas puede subdividirse en dos partes.

La primera es la respuesta en estado cero:

La segunda es la respuesta a la entrada cero:

Entonces:

Además, la respuesta a la entrada cero tiene la forma:

De manera que

Donde por definición:

Determina la respuesta al escalón unitario dada por el sistema con ecuación:y(n) = 0.9y(n-1) – 0.81y(n-2) + x(n)

Respuesta transitoria y en régimen permanente.

La respuesta de un sistema a una entrada dada puede separarse en respuesta natural y respuesta forzada.

La respuesta natural es:

Si |pk| < 1, para toda k, ynr(n) decae a cero conforme n tiende al infinito.

En este caso, se presenta una respuesta transitoria del sistema.

La respuesta forzada del sistema tiene la forma:

Si todos los polos de la señal de entrada {qk} caen en el círculo unitario, yfr(n) decae a cero conforme n tiende a infinito.

En este caso la respuesta forzada se denomina respuesta del sistema en régimen permanente.

Para que un sistema mantenga la respuesta en régimen permanente para n ≥ 0, la señal de entrada debe persistir para todo n ≥ 0.

Determina las respuestas transitoria y permanente del el sistema con ecuación:y(n) = 0.5y(n-1) + x(n)

Cuando la señal de entrada es x(n) = 10 cos (πn/4)u(n) y el sistema está en reposo.

Causalidad y estabilidad.

• Un sistema LTI es causal si y solo si la ROC de la función de transferencia es el exterior de un círculo de radio r < ∞, incluyendo el punto z = ∞.

• Un sistema LTI es estable BIBO si y solo si la ROC de la función del sistema incluye al círculo unitario.

• Un sistema LTI causal es estable BIBO si y solo si todos los polos de H(z) están dentro del círculo unitario.

Un sistema LTI está caracterizado por:

Especifica las ROC de H(z) y determina h(n) para1. Un sistema estable2. Un sistema causal3. Un sistema anticausal.

5. Estructuras para la realización de 5. Estructuras para la realización de sistemas discretossistemas discretos

Representación con diagramas de bloques.

+

x1(n)

x2(n)

x1(n) + x2(n)

×

x1(n)

x2(n)

x1(n) × x2(n)

x(n + 1)zx(n)

x(n - 1)z-1x(n)

ax(n)x(n) a

Dibujar el diagrama de bloques para: y(n) = 0.25 y(n-1) + 0.5 x(n) + 0.5 x(n-1)

Determinar la ecuación correspondiente a:

+ +

z-1

z-1

z-1

z-1

z-1

2

-½

1/3

x(n) y(n)

Forma directa

La función de transferencia de un sistema discreto es:

La ecuación diferencial correspondiente es:

)(

)(

1)(

1

0

zX

zY

za

zbzH N

k

kk

M

k

kk

M

kk

N

kk knxbknyany

01

)()()(

Su realización es la siguiente:

x(n)

x(n-1)

x(n-2)

x(n-3)

x(n-M)

Σ

y(n)

y(n-1)

y(n-2)

y(n-3)

y(n-N)

b0

b1

b2

b3

bM

-a1

-a2

-a3

-aN

x(n) y(n)

Si el almacenamiento de las entradas y salidas pasadas y presentes se representa a través del operador de retardo z-1 tenemos:

Σ

z-1

z-1

z-1

z-1

b0

b1

b2

bM

Σ

z-1

z-1

z-1

z-1

X(z) Y(z)

-a1

-a2

-aN

Realización Forma Directa I

H1(z)Ceros

H2(z)Polos

Intercambiando H1(z) con H2(z) y rearreglando tenemos:

Realización Forma Directa II

Σ b0ΣX(z) Y(z)

z-1

z-1

z-1

z-1

z-1

b1

b2

bM

-a1

-a2

-aM

-aN

H1(z)Ceros

H2(z)Polos

Cascada y paralelo

La realización en cascada se obtiene reconociendo que los polos o ceros de la función de transferencia H(z) al ser números reales o conjugados complejos se pueden escribir de manera factorizada.

Donde

N1 son números reales de ceros para z = ai

N2 son pares conjugados complejos de ceros z = bj y z = bj*

D1 son números reales de polos para z = ck

D2 son pares conjugados complejos de ceros z = dl y z = dl*

21

21

1

11

1

1

1

11

1

1

)1)(1()1(

)1)(1()1()( D

l ll

D

k k

N

j jj

N

i iM

zbzdzc

zbzbzaKzzH

Los polos y ceros reales son empleados típicamente en la Forma Directa II.

Por ejemplo,

Se efectua con la estructura:

1

1

1

1)(

zc

zazH

k

i

Σ

-ai

ΣX(z) Y(z)

z-1

ck

Estructura de primer orden

Los polos y ceros conjugados complejos se hallan en pares. Su forma general es:

Y se realizan en la siguiente estructura:

21

21

11

11

)(1

)(1

)1)(1(

)1)(1()(

zddzdd

zbbzbb

zdzd

zbzbzH

llll

jjjj

ll

jj

Σ

-(bj-bj*)

ΣX(z) Y(z)

z-1

dl+dl*

z-1

-dldl* bjbj

*

Como A+A* y AA* son números reales, siendo A un número complejo, todos los multiplicadores son números reales.

Estructura desegundo orden

La forma paralela resulta de expander H(z) en fracciones parciales. Su forma general para polos simples es:

Donde la primera sumatoria se encarga de los términos de la expansión en fracciones parciales que resulta si M > N.

La segunda sumatoria se encarga de los polos reales y la tercera de los pares conjugados complejos.

Si se ignoran los errores de cuantización no existe problema en la realización del sistema. Pero si son considerados, los resultados pueden cambiar al moverse los polos o ceros produciendo inestabilidad.

21

111

1

11

0

1

)1)(1(

1

1

1)(

D

l l

ll

D

k kk

M

ii zdzd

zeC

zcBzAzH

l

Realizar la estructura en cascada y paralelo de

Hallar la ecuación en diferencias de:

+ +x(n) y(n)s

-0.25

s

0.25

Hallar la ecuación en diferencias de:

+ +x(n) y(n)s

- 2

2

Bibliografía Digital Signal Processing: Principles, algorithms and applications

J. G. Proakis & D. G. Manolakis. Pearson Education Inc. 3a Ed. 1996. 

Introduction to Signals and Systems, D. K. LindnerMcGraw Hill, 1999.

Signals and Systems: Continuous and Discrete.R. E. Ziemer, W. H. Tranter & D. R. FanninPrentice Hall, 4a Ed. 1998

Principles of Signals and Systems F. J. TaylorMcGraw Hill, 1a Ed. 1994

Signals and SystemsA. V. Oppenheim Prentice Hall, 1a Ed. 1993.

Analog and Digital Communication Systems M. S. Roden Prentice Hall, 4a Ed. 1996.