tratamiento digital de señales mediante procesadores

TEMA 4

Tratamiento digital de señales mediante procesadores

embebidos. 4.1.- Caracterización de señales analógicas y digitales. 4.2.- Discretización de señales analógicas. Conversión A/D y D/A. 4.3.- Introducción al procesado digital de señales

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(c) Benito Úbeda Miñarro Universidad de Murcia

4.1.- Caracterización de señales analógicas y digitales.

• Definición de Señal – Las señales son patrones de variación que representan

información codificada. – Una señal se define como una magnitud física que varía con el

tiempo el espacio o cualquier otra variable independiente y permite transmitir información.

– En adelante suponemos señales eléctricas, donde la magnitud que se representa es la tensión o la corriente eléctricas.

• Ejemplos: – El sonido es una función de una variable, el tiempo. Para cada

instante de tiempo (variable independiente) existe un valor único de la función (variable dependiente).

– Una imagen es un función de dos variables (x,y), o si está en movimiento de tres variables (x,y,t) que toma un valor que codifica el color RGB del punto en cada instante.

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© Benito Úbeda (Univ. Murcia)

Tipos de señales Señales continuas y discretas.

Analógicas, x(t) : Amplitud y Tiempo continuos.

Muestreadas, xs[n] : Tiempo Discreto, Amplitud continua.

Cuantizada, xQ(t) : Tiempo Continuo, Amplitud discreta.

Digital, xQ[n] : Tiempo y Amplitud discretos. 3


Clasificación de señales

Periódicas: Aquellas que verifican xp(t) = xp(t±nT), donde T es el periodo de repetición y n es un entero.

Aperiodicas: No existe ningún patrón de repetición.

Por su periodicidad

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Basadas en simetrías – Simetría Par:

x(t) = x(-t)

– Simetría Impar:

x(t) = -x(-t)

Por su simetría

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Energía de una señal x(t) :

Por su potencia o energía

Potencia de una señal x(t) :

Una señal está definida en términos de energía si Ex es finita, lo que implica que Px es 0. Ej. Pulsos limitados en el tiempo.

Una señal está definida en términos de potencia si Px es finita, lo que implica que Ex es infinita. Ej. Una señal periódica.

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Señales elementales

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Expresión matemática

Analógicas Discretas

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Procesamiento básico (Transformaciones)

• Desplazamiento en el tiempo: – Señal adelantada y retrasada en el tiempo

x(t-t0), desplazamiento a la derecha. (Retrasada) x(t+t0), desplazamiento a la izquierda. (Adelantada)

• Reflexión: Inversión en el tiempo de x(t) = x(-t)

• Cambios lineales de escala en la variable independiente: – Compresión en el tiempo de x(t) = x(2t) – Dilatación en el tiempo de x(t) = x(t/2)

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Ejemplo 1

1 1/2

t

1 1/2

x(t)

x(t) x(t-2)

DESPLAZAMIENTO

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Expresión matemática a partir de señales básicas

Rampa

Pulso

Triangular

Sinc

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Propiedades

Señales continuas Señales discretas

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4.2.- Discretización o digitalización de señales analógicas. Conversión A/D y D/A. • La digitalización de una señal analógica trae consigo

una discretización tanto en el dominio temporal como en el de la amplitud.

• El resultado es una secuencia de N números x(n) que indican la amplitud que tenía la señal analógica en el instante de muestreo.

• El índice n nos indica el numero de la muestra que irá desde el instante inicial, n=0, hasta el instante final, N-1.

• Las muestras se toman cada periodo de muestreo, Ts segundos. Es el denominado muestreo uniforme.

• Cada muestra se codifica con un valor entero o fraccional de B bits.

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DIGITALIZACION x(nTs)

x(t)

Ts

Q[n]

x(n)

N bits

t

Conversor analógico digital (A/D)

Muestreo y retención Cuantificación

p(t)

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x(t) x(n)

x(n)

x(n)=[a b c d e f g h i j k]

d c

b a

e …

n

t

Ts=1/fs

Secuencia

Periodo de muestreo Ts, Frecuencia de muestreo, fs Bits de cuantificación, N

Conversión A/D

PARÁMETROS

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Cuantificación: Formatos integer y fraccional (usados en dsPIC)

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Modelado matemático del proceso de muestreo ideal

Tren de deltas. Indica que cada Ts segundos se produce un muestreo

Señal analógica de entrada.

Señal muestreada. Una vez cuantificada se genera una secuecia

Fs=1/Ts

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Análisis del proceso de muestreo (I) Como cualquier proceso, debemos estudiarlo para proceder a caracterizarlo y extraer conclusiones pertinentes. En primer lugar se necesita conocer el contenido en frecuencias de la señal muestreada. Para ello hay que calcular la Transformada de Fourier a xs(t)

Esto implica que el muestreo es un proceso NO LINEAL

Conclusiones obtenidas: - El espectro es periódico, de periodo fs. - Se traslada la banda base en torno a todos los múltiplos enteros de la frecuencia de muestreo.

B -B

X(f)=TF [x(t)]

f

La señal original tiene un espectro limitado a B Hz, denominado banda base.

f fs -fs 2fs -2fs 0

-B B

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Análisis del proceso de muestreo (II) Se trata de un proceso NO LINEAL porque aparecen frecuencias a la salida (color naranja) que no estaban a la entrada (Banda Base, color azul).

B -B

X(f)=TF [x(t)]

f

f fs -fs 2fs -2fs

0

Para poder RECONSTRUIR de nuevo la señal original, con toda su información, debemos ser capaces de eliminar, mediante un filtro paso bajo, las frecuencias que no pertenecen a la banda base (color naranja).

-B B

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Análisis del proceso de muestreo (III)

B -B

X(f)=TF [x(t)]

f

f fs -fs 2fs -2fs

0

Para poder RECONSTRUIR la relación entre la frecuencia de muestreo y el ancho De la banda base debe ser tal que:

-B B

Frecuencia de Nyquist

B -B

X(f)=TF [x(t)]

f

f fs -fs 2fs -2fs

0

-B B

ALIASING

POSIBLE la reconstrucción IMPOSIBLE la reconstrucción 20


Análisis del proceso de muestreo (IV)

Teorema del muestreo Una señal x (t) con un espectro limitado a la frecuencia B

( |f| < B ) puede ser muestreada sin pérdida de información si la frecuencia de muestreo fS supera la cantidad 2B, es decir fS ≥2B. – Si se muestrea a una frecuencia menor tiene lugar el

fenómeno denominado “aliasing” o solapamiento de espectros. – Si se muestrea de acuerdo al teorema existe un proceso de

reconstrucción que garantiza la reproducción exacta de la señal continua x(t) a partir de sus muestras x[n].

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Reconstrucción. Conversión D/A

Muestras, x[n]

Señal reconstruida x(t) D/A

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Diagrama de bloques del conversor A/D de 12 bits de la familia dsPIC

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4.3.- Introducción al procesado digital de señales • Consiste en realizar procesamiento matemático mediante

secuencias de números, x[n]. Se emplean para ello microprocesadores digitales. Se requiere modelar y caracterizar matemáticamente diferentes sistemas.

• TEORIA DE SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO (LTI)

– Es la base del procesamiento digital de señales. – Se aplica el principio de superposición. – Vienen caracterizados por su respuesta al impulso. – Operaciones como la convolución son de gran utilidad. – Modelos válidos tanto para señales analógicas como digitales.

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Definiciones en procesado de señales

• La señal o señales a ser procesadas forman la excitación o entrada x del sistema.

• La señal procesada y es la respuesta o salida y del sistema.

Dominios de interés: • El análisis de sistemas implica el estudio de la respuesta

del sistema a entradas conocidas. • La síntesis de sistemas se realiza especificando las

salidas que deseamos para una entradas dadas y estudiando que sistema es el más adecuado (Identificación de sistemas).

T[.] x y

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Modelado y definición de sistemas • Un sistema lo definimos como:

– Un conjunto de dispositivos conectados entre si, cuyo funcionamiento está sujeto a ciertas leyes físicas.

– Todo aquello que realiza un procesamiento sobre una señal, es decir, un procesador de señal

• La representación de un sistema continuo se realiza mediante ecuaciones diferenciales.

– Se relaciona la salida, y(t), con la entrada, x(t), mediante constantes, parámetros y variables independientes (tiempo).

• La representación de un sistema discreto se realiza por su ecuación en diferencias

Digital

Analógico h(t) x(t) y(t)

h[n] x[n] y[n]

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Propiedades de los sistemas

Los sistemas pueden ser: • Continuos o Discretos • Lineales o No lineales • Invariantes en el tiempo o variantes con el tiempo • Con memoria o sin memoria • Invertibles o no invertibles • Causales o no causales • Estables o inestables

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Sistemas lineales

Sistema Lineal

x y

Un sistema, se dice lineal, si a la salida no aparecen componentes de frecuencia que no estaban a la entrada. Formalmente, debe cumplir con las propiedades de aditividad y escalonamiento:

ADITIVIDAD: si x=x1+x2 entonces la salida será y=y1+y2

ESCALONAMIENTO: si la entrada vale x=kx1 entoces y=ky1

Sea y1 la respuesta a x1 e y2 la respuesta a x2

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Sistemas lineales e invariantes con el tiempo (Linel Time Invariant, LTI)

El sistema es invariante en el tiempo si su respuesta no depende del Instante en que se aplica la entrada.

Sistema Lineal

Invariante

x y y(t)

y(t-t0)

t0

x(t)

x(t-t0)

t0

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Sistemas LTI

Sistema Lineal

Invariante

x y y(t)h(t)

δ(t)

Si conocemos la respuesta al impulso, seremos capaces de conocer la respuesta a cualquier entrada.

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Sistemas LTI LTI h(t)

x(t) y(t)=x(t)*h(t)

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En un sistema LTI, la respuesta y(t) ante cualquier entrada se puede calcular mediante la denominada integral de convolución:

Sistema analógico

x(n) y(n)=x(n)*h(n)

Sistema discreto


Convolución discreta

Su expresión es conocida como SUMA de convolución:

Mediante la convolución, somos capaces de conocer la respuesta de un sistema LTI, conocida la respuestaal impulso, h(n). Cumple la propiedad conmutativa, y por tanto la expersión siguiente también es valida

Si las secuencias tienen una longitud M y N, la salida tiene una longitud M+N

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Mediante el empleo de microprocesadores solo podemos implementar la Convolución discreta.


Propiedades de la convolución analógica

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La convolución analógica cumple con una serie de propiedades, expresadas matemáticamente mediante las siguiente ecuaciones:


Propiedades de la convolución discreta

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Igualmente, en el mundo digital, las propiedades son las mismas, solo que Cambiando las integrales por sumatorios.


Convolución grafica

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Métodos para calculo de la convolución discreta

• Método de la tira deslizante. • Método de la suma por columnas • Método de la malla.

Ejemplo:

x([n]=[3 1 2 -1]

h[n]=[1 2 3]

y[n]=x[n]*h[n]=[3 7 13 6 4 -3]

MatLab: y=conv(x,h)

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Convolución discreta gráfica

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Correlación de dos señales

Operación parecida a la convolución, que mide el parecido entre dos señales.

No cumple la propiedad conmutativa, por lo que se defien dos expresiones. Su valor solo coincide en el origen, k=0.

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Autocorrelación Es la correlación de una señal consigo misma. Nos mide el parecido de una señal con una versión desplazada de ella misma.

Presenta un máximo en el origen, es decir, cuando n=0. Es simétrica, es decir Rxx(-k)=Rxx(k)

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Implementación de sistemas Discretos

La mayor parte de los sistemas de interés se pueden considerar Como Lineales e Invariantes en el tiempo (LTI)

Las señales son secuencias de números (muestras) x(n), h(n), y(n),…

Empleamos ecuaciones en diferencias para representar las transformaciones que sufre la señal de entrada:

Donde es fácil comprobar que se cumplen las condiciones de linealidad e Invariancia temporal.

T x(n) y(n)

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Implementación de sistemas discretos • Se pueden clasificar según como sea la

respuesta al impulso h(n), que sabemos representa a estos sistemas: – Sistemas FIR: Finite Impulse Response – Sistemas IIR: Infinite Impulse Response

• En cuanto a su realización, podemos hablar de sistemas: – No recursivos – Recursivos

F[x(n), x(n-1),..,x(n-M)]

z-1

F[y(n-1),..,y(n-N), x(n), x(n-1),..,x(n-M)]


Descripción de los sistemas LTI discretos: grafos

+

Sumador

b1

x(n) b1x(n)

multiplicador

z-1 x(n) x(n-1)

Retardo

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Ejemplos: Filtro FIR, 3 etapas

Z-1 Z-1 Z-1 x(n) x(n-2) x(n-1) x(n-3)

y(n)

b0 b2 b1 b3

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Ejemplos: Filtro IIR

Z-1

Z-1

x(n)

x(n-2)

x(n-1)

x(n-M)

b1

Z-1

b0

bM-1

bM

Z-1

Z-1

v(n)

y(n-2)

y(n-1) a1

Z-1

y(n)

aN-1

aN

FORMA DIRECTA I

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Ejemplos: Filtro IIR, orden N

Z-1

x(n)

b1

b0

bN-1

bN

a1

y(n)

aN-1

aN

FORMA DIRECTA II

Z-1

Z-1

w(n)

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Función de transferencia.

TRANSFORMADA Z

H(z) Transformada z de.. h[n] x[n] y[n] h[n]

X(z) H(z) Y(z)

Almacenar un dato significa retrasarlo un periodo de muestreo. Al realizar la transformada z se muestra por z-1

Síntesis Encontrar los coeficientes

[a1,a2,…] [b0, b1, b2, …] 46


Agrupación de sistemas

• Conexión en cascada (serie): – La función de transferencia global es el producto

HT=H1H2…HN

• Conexión en paralelo: – La función de transferencia global es la suma de las

individuales

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Analisis espectral Discrete Fourier Transform, DFT

• La Tranformada de Fourier se puede aplicar a secuencias x(n) para conocer el espectro de la señal de la que provienen:

• Se trata de una función periodica y continua en ω, dado que :

• Para poder realizar su calculo mediante un ordenador se necesita: – Trabajar con secuencias de un conjunto finito de muestras, N. – Volver a muestrear a X(ω) para poder trabajar digitalmente. Se

llega así a la DFT 48


Algoritmo de la DFT

• Se trata de seleccionar un periodo de X(ω) y tomar N muestras equiespaciadas en el intervalo –π<ω<π

• La expresión de la DFT viene dada por:

ω -2π -π π 2π

-fs/2 fs/2 -fs fs

X(k)=[0 1 2 3 … N/2 ... N-1]

Ventana de N muestras Solo aportan información Las primeras N/2 muestras 49


Interpretación de la DFT

• El conjunto de N valores que forman la DFT son los coeficientes espectrales. – Los coeficientes espectrales son numeros complejos. La

densidad espectral de potencia será el modulo al cuadrado.

– Solo los primeros N/2 coeficientes son de interés, pues el resto son un ‘mirror’ de los primeros.

– La resolución espectral conseguida depende de la frecuencia de muestreo y del valor de N. Esta vendrá dada por:

– Se necesitan del orden de N2 operaciones complejas. 50


Propiedades de la DFT

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DFT de una señal de 800 Hz sinusoidal 256 muestras sin(2pi800t)

DFT, 256 puntos Fs=8000 Hz

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Algoritmo de la Transformada Rápida de Fourier o Fast Fourier Transform, FFT

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Expresión de la DFT

El algoritmo de la FFT realiza el calculo de la DFT de forma muy eficiente, al reducir enormemente la cantidad de operaciones a realizar. Aprovecha las propiedades siguientes


FFT Radix-2: Diezmado en el tiempo

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Se reordena la secuencia de entrada x(n) como suma de dos secuencias. La primera en base a los indices pares y la segunda con los impares. Con cada una de estas subsecuencias se realiza la DFT de N/2 puntos y su resultado se combina para formar la DFT de N puntos:

Vemos que la DFT de N puntos es la suma de dos DFTs de N/2 puntos, que hemos denominado Y)k) y Z(k). Además, cada término Z(k) se multiplica por un factor WN

k, denominado ‘Twidle factor’. Aplicando la periodicidad de Y(k) y Z(k) y teniendo en cuenta que WN

k+N/2 =-WNk

Podemos poner:



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Las dos DFT de N/2 puntos se pueden dividir para formar 4 DFTs de N/4 puntos y así sucesivamente…



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El proceso puede repetirse sucesivamente hasta llegar a calcular la DFT de dos valores x(n). Es decir, x(k) y x(k+N/2) para k=0,1,..N/2-1

Para una FFT de N=8 puntos, el esquema será el mostrado


Algoritmo FFT de N puntos, diezmado en el tiempo.

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Tabla resumen de caracteristicas:

Por cada butterfly tenemos una multiplicación y dos sumas complejas. Hay N/2 butterflies por etapa y log2N etapas.

Numero total de multiplicaciones: ½ N log2 N Numero total de sumas: N log2N


FFT Radix-2: Diezmado en frecuencia

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Se reordena la DFT como suma de dos secuencias. La primera en base a la primera mitad de los datos y la segunda con la segunda mitad:

Propiedad



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Se obtiene dividiendo la secuencia de salida, X(k) en dos ecuaciones. Una para los indices pares

Y otra para los indices impares:

Vemos que X(2k) y X(2k+1) son los resultados de la DFT de N/2 puntos realizada con la suma y la diferencia. De la primera y segunda mitades de la secuencia de entrada, x(n)



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63


FFT Radix-2 Conclusiones

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El el caso de diezmado en el tiempo, la secuencia de entrada debe ser reordenada y la salida aparece en el orden correcto.

En el caso de diezmado en frecuencia, la secuencia de entrada se pone en su orden mientras que hay que reordenar la secuencia de salida.

Bastará con invertir el índice en binario, para conseguir la reordenación:


Otros algoritmos:

• La IDFT (Inverse Discrete Fourier Transform) se emplea para obtener la señal en el dominio del tiempo a partir de los coeficientes en el dominio de la frecuencia.

• Aplicaciones típicas son: – Implementar la convolución en sistemas lineales – Sintetizadores digitales de señales. – Compresión de información – …

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Transformada Inversa de Fourier, IDFT


Otros algoritmos:

• La DCT (Discrete Cosine Transform) se emplea en compressión de video (ej. MPEG-2).

• La DCT inversa (IDCT) se calcula como:

donde e(k) = 1/sqrt(2) si k = 0; otro caso e(k) = 1. • Una DCT de N-Puntos, 1D-DCT, require N2

operaciones MAC. 66

Transformada Coseno


Otros algoritmos:

• Se emplean típicamente en algoritmos de reconocimiento de patrones, estimación de movimiento, codificación,

• Problema: Escoger el vector rk cuya distancia al vector x de entrada sea mínima.

• La distancia se define típicamente por las siguientes normas: – La media del valor absoluto de la diferencia (MAD or L1 norm)

– El error cuadrático medio (MSE or L2 norm)

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Cálculos de distancia


Empleo de procesadores digitales de señal DSPs

Instruction Memory

Data Memory A/D Converter

D/A Converter

Seria

l Por

ts

DSP Core

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DSP: Características básicas

• Fast Multiply-Accumulate (MAC) – DSP filters and transforms are multiply intensive

• Multiple Access Memory – 1 Instruction, 2 data per cycle

• Specialized Addressing – Fifo, Arrays, Permutations

• Specialized Program Control – Efficient loops – Fast Interrupt Handling

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Tipos de DSPs

DSP

Fixed Point

Floating Point

16 bit 20 bit 24 bit 32 bit IEEE Other

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Familia dsPIC

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Respuesta en frecuencia de un filtro FIR implementado con dsPIC

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Empleando el dsPIC filter design

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Fichero de salida del dsPIC Filter design. Definición de las etapas

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Referencias

• Curso de tratamiento digital de señales. Andoni irizar. – http://www.tecnun.es/asignaturas/tratamiento%20digital/tds5.html

• Introduction to digital filters. Julius O. Smith – http://www-ccrma.stanford.edu/~jos/filters/

• Fundamentals of signals and systems using the web and Matlab. Kamen Edward; heck, Bonnie. Ed. Prentice Hall (2006)

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tratamiento digital de señales mediante procesadores

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