tratamiento de señales digitales

TRATAMIENTO DESEÑALES DIGITALES

Señales digitales

Vamos a estudiar sistemas lineales que trabajan conseñales temporales. Hasta ahora hemos trabajado con datosmultidimensionales pero estáticos, que nunca dependían deltiempo, como la clasificación de patrones.

El tiempo establece un orden en la entrada de datos, i.e.los datos están indexados por una variable continua t. Losllamaremos señales temporales o series temporales. Esto dalugar a una estructura en el espacio de entrada que debe serorganizada mediante topologías adecuadas.

Señales digitalesLa mayor parte de lo que percibimos del mundo son

fenómenos que existen en el tiempo. Los mensajes estánasociados a variables físicas (la presión en el oído, ondasluminosas en la vista, etc.) que pueden ser interpretadascomo funciones reales de variable real D = x(t). El tiempo escontinuo y las funciones son continuas. A estas señales se lasllama señales analógicas.

Normalmente imponemos restricciones para simplificar eldesarrollo, que no afecten a las conclusiones. Supondremosque las funciones son suaves (derivables) y tienen unacantidad finita de energía:

∞

∞−∞<dttx )(2

Señales digitalesLos ordenadores no pueden trabajar directamente con

señales analógicas (continuas). Es necesario transformarlasen discretas mediante un proceso que consiste en tomar losvalores de la función en diferentes valores del tiempo:

físicamente esto se implementa en un convertidoranalógico a digital (A/D)

0|)()( 0 nttxnx ==

A/D

Señales digitales

Así transformamos una función real en una sucesión denúmeros reales:

{x(nT)} = x(T), x(2T), ... x(NT) y la variable se transforma en un número entero de modo

que se puede almacenar en un número finito de bits.El problema consiste ahora en decidir cual debe ser el

intervalo T que se elige de modo que no se pierdan lascaracterísticas esenciales de la señal

A/D

Señales digitales

El teorema de Nyquist dice que x(t) puede ser recuperadacon precisión y los datos x(nT) contienen toda la informaciónnecesaria para reconstruir la señal analógica si el inverso delintervalo, es decir la frecuencia elegida cumple

donde fmax es la frecuencia máxima de la señal.

maxs

s fT

f 21 >=

Procesamiento digital

Se puede considerar una señal digital{x(nT)} = x(T), x(2T), ... x(NT)

o simplificando la notaciónx = [ x(n), x(n-1), ... x(n-N+1) ]t

como un vector de longitud N

Procesamiento digitalSuponiendo una base ortonormal φ0, .. φN-1se puede

escribir en términos de las proyecciones:

Lo que quiere decir que para representar una señaldiscreta de longitud N necesitamos el valor actual y los N-1anteriores. Un delay (operador que retrasa la señal en untiempo sin modificarla) es la topología natural paraimplementar esta descomposición.

��

≠=

=

−==−

=

−

=

0 si 00 si 1

)(δ

)(δ)(φ)(1

0

1

0

nn

n

inixixxN

ii

N

i


z es el operador delay en el campo complejo, dado porz = esT donde s=σ + i w y T es el periodo.

x(n) x(n-1)z-1

Procesamiento digitalEn cada momento el vector señal cambia su posición en el

espacio creando una trayectoria que se denomina trayectoriade la señal


La diferencia con los problemas estáticos es que al añadirun nuevo dato x(n+1) el vector x que se genera tiene todaslas componentes del anterior salvo la x(n-N+1) quedesaparece para dejar sitio al nuevo dato. Todos los valoresintermedios siguen almacenados pero en diferente posición.El vector así generado no es demasiado diferente del anteriory produce una trayectoria en espiral, mientras que en losproblemas estáticos no hay ninguna relación entre un patróny otro.


Si queremos analizar una señal discreta y periódica con1.000.000 de datos, necesitaríamos un espacio de dimensión1.000.000, completamente intratable. Si lo consideramoscomo una señal temporal, podemos limitar la posición de latrayectoria de la señal a un espacio de dimensión muchomenor (bastaría la longitud del periodo) y analizar la señaloriginal como una trayectoria en dicho espacio.

Procesamiento digitalUna de los objetivos del procesamiento digital es

encontrar la dimensión del espacio de reconstrucción quecuantifica apropiadamente las características de la señal. Eltamaño del este espacio determina la longitud N de unaventana de tiempo que se desliza sobre toda la serie. Tamañoque corresponde a la dimensión del espacio dereconstrucción.

Procesamiento digitalLa elección de la dimensión no es trivial, ya que depende

entre otras cosas de los objetivos del proceso. Sireconstruimos la trayectoria del ejemplo anterior en unespacio bidimensional, aparecerá una trayectoria diferente, loque puede complicar el procesamiento de la señal

FiltrosUn sistema lineal FIR (finite impulse response) es un

sistema cuya respuesta es finita y se calcula comocombinación lineal de los valores anteriores de la entrada.

Donde los wi son los pesos o coeficientes del filtro, o, ennotación vectorial:

)()(0

inxwnyN

ii −=

=

wnxnxwny TT )()()( ==

Filtros

Así un sistema lineal crea una proyección de la entradasobre un vector w definido por los parámetros del sistema yestá contenido en el hiperplano generado por los últimosdatos de la señal.

Filtros

Dependiendo de la posición relativa del vector de pesos yde la trayectoria de la señal, esta proyección puede quepreserve la mayor parte de la información de la señal o, porel contrario, que la distorsione seriamente.

El trabajo del diseñador consiste en elegir la dirección dela proyección de modo que se conserve la informaciónesencial de la señal.

Análisis en el tiempo de sistemas linealesUna manera de describir un sistema lineal es por medio de

la respuesta a un impulso h(n), la respuesta en tiempo 0cuando la entrada es δ(n).

La respuesta transitoria (transient response) es el tiempoque tarda el sistema en estabilizarse ante una entradaconstante.

La respuesta a un impulso describe completamente unsistema lineal, para el filtro estudiado sería:

es decir, una función de tiempo con valores iguales a lospesos h(i)=wi por lo que será finita (máximo N+1 valores)

)(δ)(0

inwnyN

ii −=

=

Análisis en el tiempo de sistemas linealesLa respuesta a un sistema lineal frente a una entrada

arbitraria se puede calcular por la convolución de la entradacon la respuesta a un impulso del sistema h(n):

Si el filtro se inicializa a 0, para n=0, y(0)=w0x(0), para n=1, y(1)=w0x(1)+w1x(0), para n=2, y(1)=w0x(2)+w1x(1)+w2x(0)

para n=N,

y para un segmento de señal de longitud M tiene M+N-1sumandos

)()(0

iNxwNyN

ii −=

=

∞

−∞=

−==i

ihinxnhnxny )()()(*)()(

Análisis en el tiempo de sistemas lineales

Una aplicación importante de esta técnica es la llamadadetección, búsqueda de una señal oculta por un ruido.

Se crea un filtro cuyos pesos son los datos, conocidas apriori, de la señal. Este filtro maximiza la salida de la señalsobre el ruido circundante.

De esta manera, observando los picos de la salida sepuede detectar dónde se encuentra la respuesta transitoria dela señal a pesar del ruido.

Este tipo de filtros se usan frecuentemente en comunica-ciones como receptores óptimos.


Hasta ahora hemos estudiado filtros de respuesta finita alimpulso (FIR), otro tipo, los de respuesta infinita (IIR),contiene a los sistemas recurrentes, como por ejemplo elsistema:

)()1()µ1()( nxnyny +−−=


La respuesta de este sistema al impulso δ(n) es:

que es infinita.

0)µ1()(0)µ1()2(

0)µ1()1(10)0(

2

+−=+−=

+−=+=

nnhhhh


Si 0 < µ < 1 h(n) tiende a 0 con una velocidad quedependerá del coeficiente de retroalimentación µ. Se puedeconsiderar 0 después de un tiempo finito n0. El sistema seráafectado por cualquier entrada que le sea aplicada.

Para µ < 0 o µ > 2 la respuesta diverge para condicionesiniciales 0. La respuesta al impulso nunca desaparece yprácticamente no es afectado por las entradas.


El sistema se considerará estable si a una entrada finita,corresponde una respuesta finita, eso significa que la sumade los valores de respuesta al impulso debe ser finita.

En sistemas recurrentes, en los que la relación viene dadapor los parámetros de retroalimentación, la estabilidad segarantiza por la condición |1 - µ| < 1


Este sistema es un buen método para describir sistemaslineales, pero no es muy práctico porque:

•La salida del sistema no puede ser calculada porevaluaciones sucesivas (ya que requiere la convoluciónentre la entrada y la respuesta al impulso)•El cálculo de la respuesta requiere un número demultiplicaciones del orden de O(N2)•No es muy adecuada para calcular el efecto de lossistemas lineales como filtros, que es el objetivo deltratamiento de señales lineales.

Debemos buscar métodos que puedan ser usados paradescribir sistemas y calcular su respuesta en evaluacionessucesivas con un menor coste.

Análisis en la frecuencia de sistemas lineales

Esta técnica está basada en el análisis de Fourier. Consisteen descomponer la señal en energía por frecuencia y sedenomina análisis espectral.

Se descompone la señal en forma compleja:

donde s es una variable compleja, n es un entero, a y ∆ωson reales y T es el periodo. ω es la resolución de lafrecuencia, es inversa del tiempo y se considera como elincremento de frecuencia más pequeño que puede serrepresentado en NT segundos (∆ω = 2π/NT) También sepuede considerar como la frecuencia menor que puede sermedida en una ventana de NT segundos.

nTianTsnT ee ω∆+=


La señal {x(n)}se proyecta en la base ortonormal formada

por los vectores . Cada uno deellos describe una elipse en el espacio de señales. A esto sele llama análisis armónico o de Fourier.

X(k) es el k-esimo coeficiente de Fourier y el conjunto sedenomina Serie de Fourier Discreta (DFS) de x(n) o espectrode x(n).

NkikTi eekX

π2ω)( == ∆


Los X(k) son periódicos respecto a N y se puedendescomponer en magnitud, simétrica respecto a N/2 y fase,antisimétrica respecto a N/2.

Es fácil calcularlos mediante un algoritmo del ordenO(NlogN) llamado fast Fourier transform (FFT)


Además como la longitud de un vector es independientede las bases si éstas son ortonormales, no se pierdeinformación.

La transformada Zy la función de transferencia

Hemos usado el análisis espectral aplicado a señales, ¿sepuede aplicar el mismo principio a sistemas?.

Un sistema se describe por su respuesta al impulso, quepuede ser considerado como una señal, pero este camino noes eficiente ya que requiere un conocimiento a priori de larespuesta al impulso.

La salida de un sistema se puede calcular:•Mediante la convolución de la respuesta al impulso conla entrada•Generando las salidas mediante la ecuación dediferencias


La ecuación de diferencias da un algoritmo para calcularla salida del sistema, pero no predice lo que va a suceder alas características de la señal que entra, ya que el sistema y laentrada están mezcladas en la misma ecuación. Seríaconveniente separar la función del sistema de la entrada.

La transformada Z convierte ecua-

ciones en diferencias en ecuaciones algebraicas, por ejemploen el operador delay:

∞

−∞=

−=n

nznxzX )()(

∞

−∞=

−− =−=n

n zznzD 1)1(δ)(


Si aplicamos la transformada Z al combinador lineal:

Donde Y(z) y X(z) son las transformadas Z de la salida yla entrada respectivamente. H(z) es la denominada funciónde transferencia que describe el comportamiento del sistemalineal. La salida se obtiene así multiplicando la transformadade la entrada y la función de transferencia.

=

∞

−∞=

−∞

−∞=

−

=

��

� −=−=N

i n

ni

n

nn

ii zinxwzinxwzY

00)()()(

=

−

=

∞

−∞=

−− ==��

� N

ii

N

i n

ini zHzXzwzXznxw

0

1

0)()()()(

La respuesta de frecuencia

Podemos también construir la respuesta de cualquiersistema lineal S mediante el cálculo de la respuesta delsistema a cada uno de los vectores de la base ortonormal:

Lo que significa que cualquier sistema lineal afecta a lafase y a la amplitud de cada frecuancia de la señal de entraday que el efecto puede ser calculado independientemente encada frecuencia.

Las cantidades representan el efecto delsistema lineal en cada frecuencia y se denominan respuestade frecuencia.

===

====N

k

nikk

N

k

nik

N

k

nik

kkk eeHeSnxSny0

ω

0

ω

0

ω λα)(αα))(()(

)(λ ω nik

keH=

La respuesta de frecuencia

Esta relación es muy importante ya que nos permitepredecir lo que va a suceder con la señal de entrada alatravesar el sistema lineal y por tanto especificar a través deldiseño la respuesta del sistema para conseguir los objetivosde proceso que busquemos.

La gran ventaja de la respuesta de frecuencia es que lainversa puede ser calculada mediante el algoritmo FFTmientras que con la función de transferencia se requiere elcálculo de la transformada Z, mucho más difícil.

)()()( ωωω ninini kkk eXeHeY =

Respuesta de frecuencia, polos y ceros

Un aspecto que los ingenieros suelen usar es la predicciónde la respuesta de frecuencia mediante los polos y los cerosde la función de transferencia. Estos se pueden calcularfácilmente a partir de la ecuación en diferencias:

.

Que indica que la función de transferencia tiene un ceroen z = 0 y un polo en z = 1 - µ

)µ1()µ1(11)(

)(])µ1(1[)()()1()µ1()(

1

1

−−=

−−=

=−−==−−−

−

−

zz

zzH

nXzzYnxnyny


La forma de la respuesta de frecuencia de-pende exclusivamente de la situación de los polos y los cerosde la función de transferencia

La respuesta de frecuencia puede ser obtenidagráficamente considerando la respuesta del sistema comouna tienda de campaña colocada alrededor del círculounidad. Un polo es uno de los soportes de la tienda y un cerouna de las clavijas. La altura del soporte es la inversa de ladistancia del polo al círculo unidad y la longitud de la clavijaproporcional a la distancia del cero.

Un valor alto en una frecuencia dada significará que esafrecuencia quedará amplificada, mientras que uno bajo queserá atenuada.

)(λ ω nik

keH=


Cuanto mas cerca estén las singularidades (polos o ceros)del círculo unidad, mayores serán sus efectos (picosescarpados y valles estrechos respectivamente).

La relación entre las singularidades y sus efectos en lafrecuencia de respuesta es muy importante, porque conocidala situación de ceros y unos se pueden predecir los efectosque producirán sobre la señal de entrada

Tipos de filtros lineales

Podemos diseñar la función de transferencia para queefectúe la operación deseada. Por ejemplo si la señal estácontaminada por ruido de alta frecuencia se puede diseñar unsistema que multiplique las frecuencias bajas por númeroscercanos a1 y las altas por cercanos a 0 (lowpass filter)

��

><

=0

0

0 1

)(kkkk

kH


Otros tipos de filtros son: highpass, para atenuar ruidos debaja frecuencia, bandpass, que sólo permite el paso de unabanda de frecuencias o stopband, que corta una banda.


Se pueden diseñar filtros mediante optimización, i.e.dando la respuesta deseada y dejando que sea el combinadorlineal el que elija el mejor conjunto de pesos para cumplir lascondiciones pedidas.

En cualquier caso, los filtros lineales sólo trabajan bien siel ruido no se superpone a la señal, en otro caso, al atenuar elruido, atenuaremos también la señal.

Aquí es donde son necesarios otros filtros no lineales ymás sofisticados.

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