MATRICES FACTORIALES

Estudio cuantitativo de factores:

efectos principales (bj)

interacciones (bji)

si cada variable puede tener un valor mayor o uno menor: diseño factorial de dos niveles

número de experimentos para k factores ⇒ N = 2k

↓ 2 niveles

k ⇒ efectos principales

(2k - k - 1) ⇒ interacciones

Quimiometría

si k = 2 matriz 22 ⇒ 4 experimentos

k factores ⇒ interacciones de orden q

interacciones de qvo orden entre (q+1) factores

Quimiometría

si k = 7 matriz 27 ⇒ 128 experimentos

q = 1 interacciones de primer orden: C = = 21 q = 2 interacciones de segundo orden ....

las interacciones entre 3 factores son escasas, entre 4 son despreciables

es posible disminuir N sin disminuir k

27

7(7-1) 2

Quimiometría

MATRICES FACTORIALES

si k = 3 matriz 23 ⇒ 8 experimentos

matriz experimental

matriz del modelo

Quimiometría

DISEÑO 23Quimiometría

Un ejemplo: Diseños factoriales completos

Objetivo: estudiar la síntesis de un compuesto orgánico

Factores que podrían afectar el rendimiento son: pH

intensidad de la lámpara (W/m2)fuerza iónica (M) [catalizador] (µM)

si se establecen dos posibles niveles por factor: 24 = 16 combinaciones

Quimiometría

Un ejemplo: Diseños factoriales completos

Combinaciones + : mayor nivel - : menor nivel

Variable Nombre - +A pH 4 6B Intensidad (W/m2) 1000 2000C Fuerza iónica (M) 0,25 0,75D [catalizador] (µM) 0,1 1,0

Quimiometría

DISEÑO FACTORIAL COMPLETO CON MINITABQuimiometría

pH luz FI [cat] pH luz FI [cat] %rendimiento

variables codificadas

respuesta

Quimiometría

Evaluación de los datos

¿cuál factor tiene mayor influencia en el rendimiento?

Estimated Effects and Coefficients for % (coded units)

Term Effect Coef

Constant 50.250A 2.750 1.375B 19.500 9.750C 1.500 0.750D -14.500 -7.250A*B 2.250 1.125A*C -0.250 -0.125A*D -2.750 -1.375B*C 1.500 0.750B*D 5.500 2.750C*D 3.000 1.500A*B*C 1.250 0.625A*B*D -1.250 -0.625A*C*D 0.750 0.375B*C*D -3.000 -1.500A*B*C*D -0.750 -0.375

Quimiometría

Gráfico de probabilidad normal de los efectos

efecto

score

A pHB Intensidad (W/m2)

C Fuerza iónica (M)D [catalizador] (µM)

Quimiometría

Term

Effect

ACACD

ABCDABDABC

CBCABA

ADBCDCDBDDB

20151050

5.78

Pareto Chart of the Effects(response is %, Alpha = .05)

Lenth's PSE = 2.25

Quimiometría

Efectos principales

%

pH luz fuerza iónica [catalizador]

Quimiometría

A

1-1 1-1

60

45

30

60

45

30

B

C

60

45

30

1-1

60

45

30

1-1

D

-11

A

-11

B

-11

C

-11

D

Interacciones

Quimiometría

Evaluación de los datos

Ventajas:

¿cuál factor tiene mayor influencia en el rendimiento?

se puede proponer un modelo del tipo

y = b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1 x2

Quimiometría

Evaluación de los datos

Dificultades:

el diseño no tiene réplicasno se ha estimado el error experimental: por lo cual no se puede dar una respuesta definitiva sobre si los factores son o no significativos.

cada variable se probó sólo con dos nivelesproblema de curvatura (se necesitarían términos de segundo orden en el modelo: x

j2)

probar 3 niveles: 3k en este ejemplo: k=4 ¡81 experimentos!

se puede reducir con otros diseños: superficie de respuesta

Quimiometría

Diseño factorial con réplicas

Objetivo: estudiar el efecto de tres factores (A, B, C) sobre el funcionamiento de un plasma

empleado para grabados.

con dos niveles

23 = 8 combinaciones

con dos réplicas: 16 experimentos

respuesta: velociad de grabado para nitruro de silicio (Å/m) (I y II)

A B C I II- - - 550 604+ - - 669 650- + - 633 601+ + - 642 635- - + 1037 1052+ - + 749 868- + + 1075 1063+ + + 729 860

Factor -1 +1

A (distancia, cm) 0,8 1,20

B (flujo gas, cm3/min) 125 200

C (potencia, W) 275 325

Diseño factorial con réplicas

16 experimentos

en orden estándar

¡¡hacer en order aletatorio!!

Orden A B C velocidad1 -1 -1 -1 5502 1 -1 -1 6693 -1 1 -1 6334 1 1 -1 6425 -1 -1 1 10376 1 -1 1 7497 -1 1 1 10758 1 1 1 7299 -1 -1 -1 60410 1 -1 -1 65011 -1 1 -1 60112 1 1 -1 63513 -1 -1 1 105214 1 -1 1 86815 -1 1 1 106316 1 1 1 860

Análisis del diseño factorial con réplicas

empleando MINITAB

el efecto C (potencia) domina el proceso

el efecto A (distancia entre los electrodos) y la interacción AC también son estadísticamente

significativos (valores de P pequeños P < 0,05)

Estimated Effects and Coefficients for v (coded units)

Term Effect Coef SE Coef T PConstant 776,06 11,87 65,41 0,000A -101,62 -50,81 11,87 -4,28 0,003B 7,37 3,69 11,87 0,31 0,764C 306,13 153,06 11,87 12,90 0,000A*B -24,88 -12,44 11,87 -1,05 0,325A*C -153,63 -76,81 11,87 -6,47 0,000B*C -2,12 -1,06 11,87 -0,09 0,931A*B*C 5,62 2,81 11,87 0,24 0,819

el error estándar de todos los coeficientes del modelo es igual porque el diseño es ortogonal

Análisis del diseño factorial con réplicas

empleando MINITAB: gráfico de Pareto

los efectos C, A y la interacción AC son estadísticamente significativos

Term

Standardized Effect

BC

ABC

B

AB

A

AC

C

14121086420

2,31

A AB BC C

Factor Name

Pareto Chart of the Standardized Effects(response is v, Alpha = ,05)

Análisis del diseño factorial con réplicas

empleando MINITAB: gráfico de probabilidad normal (Daniel)

los efectos C, A y la interacción AC son estadísticamente significativos

Standardized Effect

Perc

ent

151050-5

99

95

90

80

70

60504030

20

10

5

1

A AB BC C

Factor Name

Not SignificantSignificant

Effect Ty pe

A C

C

A

Normal Probability Plot of the Standardized Effects(response is v, Alpha = ,05)

Análisis del diseño factorial con réplicas

empleando MINITAB: gráficos factoriales

1

-1

1

-11-1

C

B

A

794,5

808,51044,5

1069,0

638,5

659,5577,0

617,0

Cube Plot (data means) for v

Análisis del diseño factorial con réplicas

empleando MINITAB: gráficos factoriales

A

B

C

1-1 1-1

1000

800

600

1000

800

600

-11

A

-11

B

Interaction Plot (data means) for v

Análisis del diseño factorial con réplicas

gráficos de superficie de respuesta: se sabe que conviene trabajar a una velocidad de 900 Å/m, por

lo cual se pueden sugerir las mejores condiciones analizando las curvas de nivel

Análisis del diseño factorial con réplicas

modelo para predecir la velocidad de grabado

ŷ = b0 + b

1 x

1+ b

2 x

2 + b

3 x

3 + b

12 x

1x

2 + b

13x

1x

3 + b

23x

2x

3 + b

123 x

1 x

2x

3

velocidad = 776,6 - 50,81x1 + 153,06x

3 -76,81 x

1x

3

análisis de regresión (para el modelo completo):

S = 47,4612

desviación estándar

R-Sq = 96,61%

el modelo explica un 96,61 % de la variabilidad observada (problema: R2 aumenta al aumentar el

número de factores, aunque no sean significativos)

R-Sq(adj) = 93,64%

R2 (ajustado para el tamaño del modelo): suele disminuir si se agregan factores no significativos

se puede volver a calcular con el modelo reducido

Análisis del diseño factorial con réplicas

al menos un efecto principal y una interacción entre dos factores son estadísticamente significativos

Analysis of Variance for v (coded units)Source DF Seq SS Adj SS Adj MSMain Effects 3 416378 416378 1387932-Way Interactions 3 96896 96896 322993-Way Interactions 1 127 127 127Residual Error 8 18020 18020 2253 Pure Error 8 18021 18021 2253Total 15 531421Source F PMain Effects 61,62 0,0002-Way Interactions 14,34 0,0013-Way Interactions 0,06 0,819Residual Error Pure ErrorTotal