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5/12/2018 Transformada Laplace - slidepdf.com

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Transformada de LaplacePierre Simon, marques de Laplace, el famoso astrónomo y matemático francés,

tiene el crédito de la transformada que lleva su nombre y nos permite

generalizar en mayor profundidad el método fasorial, para analizar sistemas con

entradas no senoidales. Laplace es más conocido por su Celestial Mechanical , su

obra máxima, que resumió los conocimientos de la astronomía desde el tiempode Newton

Laplace nació en Beaumont-en-Auge, en Normandía – Francia. Poco se conoce

de su infancia, excepto que fue hijo de un granjero, porque el pretencioso

Laplace, después de alcanzar la fama, no le gustaba mencionar su humilde

origen. Vecinos ricos, como se sabe, reconocieron su talento y financiaron su

educación, primero en Caen y después en la escuela militar de Beaumont. A

través de los esfuerzos del famoso físico d’Alembert, quien se quedo

impresionado por su habilidad y audacia, Laplace se convierte en profesor de

matemáticas en Paris, a los veinte años de edad. Fue un oportunista, cambiando

su lealtad política cuando era necesario, de modo que su bien sucedida carrera

cubre tres regímenes en la Francia revolucionaria – la Republica, el Imperio de

Napoleón y la restauración de los Bourbons. Napoleón lo hizo conde y Luis XVIIIlo hizo marques. Su aptitud para la matemática, ante todo, era genuina,

inspirando al gran matemáticoSimeonPoisson a llamarlo de “el Isaac Newton de

Francia”

Pierre Simon Laplace(1749 -1827)

INTRODUCCIÓN

Varias técnicas usadas en la solución de problemas de Ingeniería son basadas en la substitución de

funciones de una variable (generalmente tiempo o distancia) por ciertas representaciones

dependientes de la frecuencia o por funciones de una variable compleja dependientes de la

frecuencia. Un ejemplo típico es el uso de la serie de Fourier para resolver ciertos problemas

eléctricos. Uno de esos problemas consiste en determinar la corriente en alguna parte de una red

eléctrica lineal, en la cual la tensión de entrada es una forma de onda periódica o alternativa. La

tensión periódica puede ser substituida por su representación en serie de Fourier y la corriente

producida por cada término de la serie puede entonces ser determinada. La corriente total es la

suma de las corrientes individuales (superposición). Esta técnica frecuentemente resulta en una

substancial economía en esfuerzo computacional.

Una transformación técnica, relacionando funciones de tiempo a funciones dependientes de la

frecuencia de una variable compleja, es presentada en las próximas secciones de este capitulo.

Esta es llamada de transformada de Laplace. La aplicación de esta transformación matemática

para resolver ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes lineares y explicada en las

secciones restantes, que proporciona la base para las técnicas de análisis y proyectos,

desarrolladas en capítulos subsecuentes.



LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

La Transformada de Laplace es definida de la siguiente manera:

∫

Transformada de Laplace de y es una función de la frecuencia generalizada.

una variable compleja.

L=Un símbolo operativo que indica que la cantidad a la que antecede se va a transformar

mediante la integral de Laplace∫

Una función del tiempo tal que para

∫

1) FunciónEscalón

=

Si consideramos que la función escalón posee un deslocamiento en el tiempo, la definición de

dicho escalón es definido del siguiente modo:

|

|



2) Función Exponencial

3)

Función Coseno

4) Función Rampa

Integración por partes

Tiende a 0 - 1



Luego:

|

FUNCIONES Y SUS TRANSFORMADAS

1 Impulso unitario 1

2 Escalon unitario

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

TEOREMAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

1) Teorema 1 –

Linealidad Si a es una constante o es independiente de s y t , y si f(t) es

transformable, entonces:

2) Teorema 2 – Superposición



Ejemplo (Teorema 1 y Teorema 2):

3) Teorema 3 – Translación en el tiempo

Si f(t) es una función seccionalmente continua y a es una constante cualquiera, entonces

O bien en su versión operativa más sencilla:

Lo que dice el teorema es:

Para determinar la transformada de Laplace

Debemos

1. Omitir el factor ,

2. Cambiar todas las apariciones de t en f(t) por t+a (esto equivale a trasladar la función

f(t)a unidades a la izquierda en el eje t),

3. Aplicar la transformada a la expresión resultante,

4. Multiplicar el resultado por el factor

Ejemplo:

4) Teorema 4 – Derivada Compleja

5) Teorema 5 – Translación ComplejaLa Transformada de Laplace de la función es

dada por

donde

=

=()()

=

f(t) u-1(t)

f(t+a)



6) Teorema 6 – Derivada real

Transformada de la primera derivada

= valor inicial de evaluando en

Transformada de la segunda derivada

= valor inicial de

evaluando en

Transformada de la nth

derivada

7) Teorema 7 – Integral real Si la transformada de Laplace de es , su integral es:

Luego

Integral simple

Integral doble

Integral n

8) Teorema 8 –

Valor final

Si y su derivada

son transformables.

Si la transformada de Laplace de es y

Si el limite de cuando existe entonces

9) Teorema 9 - Valor inicial

Si la función y su primera derivada

son transformables en Transformada de

Laplace.

Si la transformada de Laplace de es y

Si existe entonces:

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

[

]

* + ̇ ̇

[ ]



1) Expansión en fracciones parciales cuando F(s) sólo tiene polos distintos

Ejemplo 1

La expansión en fracciones parciales de F(s) es:

Ejemplo 2

El polinomio del denominador puede factorizarse como

Si la función contiene un par de polos conjugados, una de las soluciones seria escribir

la suma de una función seno amortiguada y una función coseno amortiguada.

Y utilizando las transformadas de Laplace de y reescritas por

tanto:

la dada se escribe como una suma de una función seno amortiguada y una función

coseno amortiguada.

De aquí se sigue que:

[ ]|

[

]

[ ]|

[

]

[

] [ ]

[

] [ ]



Ejemplo 3

2) Desarrollo en fracciones simples cuando F(s) contiene polos múltiples

Ejemplo 4

El desarrollo en fracciones simples de esta F(s) contiene tres términos:

dondeb3, b 2 y b1 se determinan del modo siguiente. Si se multiplican ambos miembros por

(s+1)3, se tiene

Por tanto, si se supone que s=-1, nos da por resultado

* +

* +

[ ]



Para encontrar los valores de b2 se procede diferenciando ambos miembros

Diferenciando doblemente por s se obtiene b1

Buscando los valores de b3, b 2 y b1 tenemos:

[

]

[ ]

[

]

[

]

{ [

]}

,

[ ]-

*

+

[

] [ ] [

]

ara

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