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Universidad Tecnológica Nacional Cátedra: Cálculo Avanzado
Facultad Regional Gral. Pacheco Curso: 3º 1ª
Departamento de Ingeniería Mecánica Año: 2011
Transformada de Laplace 1/28
Transformada de Laplace
1. Introducción a la Transformada de Laplace
2. Definición y condiciones de existencia
3. Propiedades de la Transformada de Laplace
Propiedad de Linealidad
Primer teorema de traslación
4. La transformada inversa
Transformada inversa utilizando el primer teorema de traslación
5. Teorema de derivación
6. Teorema de Integración
7. Aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales
8. Sistemas de ecuaciones diferenciales
9. Aplicaciones a la ingeniería: Vibraciones mecánicas
10. Función de transferencia
11. Convolución
12. Transformada de una función periódica
13. La función delta de Dirac
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1. Introducción a la Transformada de Laplace
Los métodos de la transformada de Laplace tienen un papel clave en el enfoque moderno al análisis y diseño en los sistemas de ingeniería. El incentivo para desarrollar estos métodos fue
el trabajo de Heaviside, quien desarrolló un método para la solución sistemática de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes. El principal interés de Heaviside fue la
resolución de problemas prácticos y su método tenía una gran componente de intuición, adoleciendo de rigor matemático. Utilizando sus ideas se hizo posible resolver problemas de
propagación de corrientes y tensiones a lo largo de líneas de transmisión. Por tal motivo el trabajo de Heaviside cobró gran interés entre los matemáticos. La investigación prosiguió
durante varios años hasta que se reconociera que la transformación integral que había
planteado el matemático francés Pierre Simon de Laplace fuera quien dio el sustento teórico
al trabajo de Heaviside, el cual por otra parte sistematizaba la investigación de las ecuaciones
diferenciales.
Ya conocemos ejemplos en los cuales una transformación matemática nos ha sido útil para
simplificar la resolución de un problema. Podemos citar el ejemplo de los logaritmos, los
cuales son usados para simplificar problemas de multiplicación y división. Para multiplicar o
dividir dos números, los transformamos en sus logaritmos, sumamos o restamos estos y
después realizamos la transformación inversa, esto es el antilogaritmo, para obtener el
producto o cociente de los números originales. El propósito de usar una transformación es crear un nuevo dominio en el cual sea mas fácil manipular el problema a ser investigado. Una
vez obtenidos los resultados en el nuevo dominio, pueden ser transformados inversamente para dar los resultados deseados en el dominio original.
La transformada de Laplace es un ejemplo de una clase llamada transformación integral y
toma una función f(t) de una variable t ( a la cual nos referimos como tiempo) en una función F(s) de otra variable s (la frecuencia compleja). La principal ventaja de la transformada de
Laplace es que transforma ecuaciones diferenciales en el dominio de t (tiempo) en ecuaciones algebraicas en el dominio de s (frecuencia). La resolución de ecuaciones diferenciales se
reduce por tanto a resolver ecuaciones algebraicas en el dominio de s y luego aplicar la
transformada inversa para volver al dominio t. Otra ventaja al utilizar esta transformada para
resolver ecuaciones diferenciales es que como las condiciones iniciales juegan un papel
fundamental en la transformación, la solución que se obtiene ya incorpora a la solución
particular, con lo cual el método resulta ideal para problemas con valor inicial tales como los
que aparecen en circuitos eléctricos y vibraciones mecánicas.
Una aplicación particular de la Transformada de Laplace se encuentra en el campo de las
señales y el análisis de sistemas lineales. Si a un sistema le aplicamos una excitación
(entrada), produce una respuesta (salida), que si es solo función del tiempo es normal referirse
a ellas como señales. El problema que enfrenta el ingeniero es el de determinar la salida x(t) cuando está sujeta a una determinada entrada, aplicada en algún instante de tiempo. Si el
sistema es lineal e invariante en el tiempo, entonces la salida está dada por una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes lo que conforma un problema de valor inicial
que es fácil de resolver usando la transformada de Laplace. Otro punto importante en el análisis de sistema es estudiar la estabilidad de un sistema. Para ello es conveniente definir la
función transferencia como el cociente entra la transformada de salida y la transformada de entrada. Un sistema estable es aquel que frente a una entrada determinada, nos da una salida
acotada. Por otra parte cuando a un sistema estable se le suprime la entrada, su señal de salida tiende a cero a medida que el tiempo tiende e infinito. Para determinar la estabilidad de un
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∫∞
−=0
).(.)}({ dttfetfLst
f(t) F(s)
L{t}
Dominio t (dominio de tiempos)
Dominio s (dominio de frecuencia)
∫∞
−==0
).(.)()}({ dttfesFtfLst
sistema se analizan los polos de la función transferencia en el dominio de las frecuencias complejas.
2. Definición y condiciones de existencia
Definimos a la transformada de Laplace de una función f(t) mediante la expresión:
Donde “s” es una variable compleja. Generalmente se acostumbra a representar la
transformada de una función f(t), por la letra mayúscula correspondiente F(s) por lo que podemos escribir:
Algunas observaciones:
• El símbolo L{…} es el operador transformada de Laplace. Dada una f(t) al
aplicarle este operador obtenemos una función F(s) que depende de la variable
compleja s.
• El límite superior de la integral es infinito, por lo cual estamos frente a una integral impropia, por lo cual cabe la pregunta de si ésta es convergente, cuestión que será
aclarada en la sección siguiente.
• El límite inferior de la integral es cero, con lo cual este operador nos brinda
información para t ≥ 0. En aplicaciones ingenieriles esto no es un problema ya
que generalmente los sistema son causales, es decir que frente a un estímulo o
entrada responden con una determinada salida, pero no es usual encontrar sistemas
cuya respuesta anteceda a la entrada.
Condiciones de existencia
Para asegurar la existencia de la transformada de Laplace se debe cumplir que la función
f(t) debe ser de orden exponencial y continua por tramos. Una función se dice que es de orden exponencial si existen números c>0, M > 0 y T>0,
tales que
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∫∞
−=0
..}{ dttetLst
∫ ==+
−−=
∞−
∞
02
0
1}1{
1..
1.}{
sL
sdte
ss
stet
tLst
∫ −>+
=+
+−−
∞
=+−
∫ =−−=− ∞∞
00
3,3
1
3
).3(
0
.)3(
.3.}3{ sss
tse
dtts
edttesteteL
TteMtf ct >≤ ,.)(
Esto expresa que la gráfica de f(t) en el intervalo (T,∞) no crece más rápido que M.e
ct.
(ver figura 2.2)
Una función es continua por partes para t ≥ 0 si en cualquier intervalo existe a lo sumo un número finito de puntos tk en los cuales siendo k = 1, 2, … ,n f(t) tiene discontinuidades
finitas y es continua en cada intervalo abierto tk-1 < t < tk (ver figura 2.1)
Ejemplos de cálculos de la Transformada de Laplace mediante su definición
Ejemplo 1 - Determinar la transformada de Laplace de f(t)=t
Aplicando integración por partes:
Ejemplo 2 - Determinar la transformada de Laplace de f(t)= te
3−
t t
f(t) f(t)
Fig 2.1 Fig 2.2
f(t)
M.ect
t1 t3 t3 T
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Ejemplo 3 - Determinar la transformada de Laplace de f(t) = sen(2.t)
∫ ∫∫∞ ∞
−−
∞∞ −− >=+
−==
0 000
0,).2cos(.2
).2cos(.2)2(.
).2(.)}2({ sdttes
dttess
tsenedttsenetsenL stst
stst
)}2({.42
).2(.2)2cos(.2
22
00
tsenLss
dttseness
te
s
stst
−=−
−= ∫
∞−
∞−
y despejando nos queda
4
2)}2({
2 +=
stsenL
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3. Propiedades de la Transformada de Laplace
Propiedad de Linealidad
Una propiedad fundamental de la transformada de Laplace es su linealidad que se puede enunciar como sigue:
L{a.f(t)+b.g(t)} = a L{f(t)} + b L{g(t)}
Primera propiedad de Traslación
Si f(t) tiene una transformada de Laplace F(s), con Re(s) > σ, entonces la función eat.f(t)
también tiene una transformada dada por:
L{ eat
.f(t) } = F(s-a), Re(s) > σ + Re(a)
Demostración
∫∫∞
−−∞
− ==0
)(
0
).(.).(..)}({ dttfedttfeetfeLtasstatat
Si analizamos dicha integral vemos que tiene la forma de la
transformada de Laplace de (s-a) , por lo tanto:
L{ eat
.f(t) } = F(s-a), Re(s) > σ + Re(a)
También lo podemos expresar como
)()( )()}({)}({ assass
at sFtfLtfeL −→−→ ==
Ejemplo
Determina L{t.e-2t}
0)Re(,1
)(}{2
>== ss
sFtL
y aplicando el teorema de traslación:
20)Re(,)()2(}.{ )(
2 −>=+= −→
−ssFsFetL ass
t
2)Re(,)2(
1}.{
2
2 −>+
=−s
setL
t
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4. La transformada inversa
Cuando definimos la transformada de Laplace dijimos que la misma transforma una función f(t) en el dominio de los tiempos en una función F(s) en el dominio de las
frecuencias. La transformada inversa, como se puede intuir, consiste en realizar el camino inverso, es decir, a partir de F(s) obtener f(t), lo cual se denota como sigue:
Si )()}({ sFtfL = , entonces f(t) = L-1
{F(s)}
El operador inverso de la transformada de Laplace también es un operador lineal, por lo
tanto:
L-1{a.F(s) + b.G(s)} = a L{F(s)} + b L{G(s)}
Evaluación de la transformada inversa
Para encontrar la transformada inversa podemos valernos de las tablas directamente,
aunque es más frecuente tener que realizar alguna manipulación aritmética para llevar la
expresión que queremos antitransformar a alguna forma tabulada. Como en muchos casos
las expresiones cuya transformada inversa que queremos obtener está en forma de función
racional P(s)/Q(s), donde P y Q son polinomios, es común la utilización de fracciones
parciales para descomponer una función complicada en varios términos mas simples.
Citamos a continuación tres casos básicos:
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Ejemplo 1
Calcular
++−
−
)4)(2)(1(
11
sssL
Existen constantes A, B y C tales que
)4)(2)(1(
)2(1()4(1()4)(2(
421)4)(2)(1(
1
++−
+−++−+++=
++
++
−=
++− sss
ssCssBssA
s
C
s
B
s
A
sss
1 = A (s+2)(s+4) + B(s-1)(s+4)+C(s-1)(s+2)
Si consideramos los ceros del denominador s=1, s= -2 y s= -4 obtenemos respectivamente
1 = A . 3 . 5 A = 1/15
1 = B (-3) 2 B = -1/6
1 = C (-5)(-2) C = 1/10
Por lo tanto podemos escribir
4
10/1
2
6/1
1
15/1
)4)(2)(1(
1
++
+−
−=
++− ssssss
y entonces la antitransformada será
ttt eees
Ls
Ls
Lsss
L 421111
10
1
6
1
15
1
4
1.10/1
2
1.6/1
1
1.15/1
)4)(2)(1(
1 −−−−−− +−=
++
+−
−=
++−
Ejemplo 2
Calcular
+
+−
32
1
)2((
1
ss
sL
Reducimos en fracciones parciales:
32232 )2()2(2)2.(
1
++
++
+++=
+
+
s
E
s
D
s
C
s
B
s
A
ss
s
y resolvemos en forma análoga.
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Ejemplo 3
Calcular
+
−−
)4(
2.323
1
ss
sL
Descomponemos en fracciones parciales:
4
.
)4(
2.323223 +
++++=
+
−
s
EsD
s
C
s
B
s
A
ss
s
Inversión utilizando el primer teorema de traslación:
Expresando la propiedad de traslación de la transformada en forma inversa tenemos:
L-1
{ F(s-a) } = eat
.f(t)
Lo que también podemos expresar como:
)(})]({[1tfesFL
at
ass =−→− donde F(s) debe ser reemplazado por s-a.
Ejemplo
Encuentre
+
−
2
1
)2(
1
sL
2
22
1
)2(
1
+→
=
+ ssss, y como 1/s
2 = L{t}, el primer teorema de traslación nos da que
tet
sL
2
2
1 .)2(
1 −− =
+
5. Teorema de derivación
Para la resolución de ecuaciones diferenciales, nos vemos en la necesidad de poder
calcular las transformadas de las derivadas de orden n. Por definición sabemos que
∫∞
−=
0
.. dtdt
dfe
dt
dfL
st
Integrando por partes , tenemos
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[ ] ∫∞
−∞− +−=+=
0
0 )(.)0().(..)(. sFsfdttfestfedt
dfL
stst
Para deducir este resultado hemos supuesto que tanto f(t) como su primer derivada son
continuas por partes para t ≥ 0 y de orden exponencial. La ventaja de utilizar la
transformada para ecuaciones diferenciales puede verse rápidamente ya que nos permite
reemplazar una operación de diferenciación por una algebraica. Asimismo puede demostrarse este resultado para le enésima derivada con tal de que cumpla con las
condiciones antes mencionadas. Por lo tanto para el caso general podemos enunciar:
{ } )0(...)0(.)0(.)(.)( 1)1(21)( −−− −−−−= nnnnnffsfssFstfL
6. Transformada de integrales
En algunas aplicaciones se nos puede presentar algún fenómeno que se describa por una ecuación integro-diferencial, que es una ecuación que contiene tantos derivadas como
integrales de una variable incógnita. Un ejemplo típico es por ejemplo obtener la corriente que circula por un circuito serio RLC, cuya ecuación está dada por:
∫ =++t
EdiC
Ridt
diL
0
).(.1
.. ττ
Para poder resolver ecuaciones como ésta, debemos calcular la transformada de una
integral:
∫=t
dftg0
).()( ττ
)(tfdt
dg= g(0) = 0
Tomando la transformada de Laplace:
{ })(tfLdt
dgL =
que como ya sabemos por la transformada de una derivada
s.G(s) = F(s)
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)(.s
1G(s) sF=
7. Aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias
Con lo visto anteriormente en cuanto a la transformación de derivadas e integrales
estamos en condiciones de resolver una ecuación diferencial de coeficientes constantes. A
continuación expondremos el método aplicado para una ecuación de segundo orden no
homogénea sujeta a las condiciones iniciales x(0)= x0, x’(0)= v0
)(...2
2
tuxcdt
dxb
dt
xda =++ (t ≥ 0)
Esta ecuación diferencial puede representar el modelo dinámico de algún sistema en el cual
x(t) representa la respuesta de dicho sistema, siendo u(t) las fuerzas excitadoras.
Si aplicamos la transformada de Laplace a esta ecuación nos queda:
{ } { })(...2
2
tuLxLcdt
dxLb
dt
xdLa =+
+
aplicando la transformada de una derivada
a[s2.X(s)-s.x(0)-x’(0)] + b.[s.X(s)-x(0)] + c.X(s) = U(s)
Despejando X(s) nos queda
(a.s2 + b.s + c).X(s) = U(s) + (a.s + b).X0 + a.v0
csbsa
vaxbsasUsX
++
+++=
..
.)..()()(
2
00
Donde X(s) representa la transformada de Laplace de la respuesta del sistema en estudio, y
tomando la transformada inversa puede obtenerse la respuesta en función del tiempo.
Observaciones:
(a) Como ya lo hemos mencionado, la transformada de Laplace nos permite reemplazar la
integración y diferenciación como operaciones algebraicas
(b) Este método nos da la solución completa de la ecuación diferencial (solución general + particular) con las condiciones iniciales incluidas.
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(c) El método se adapta idealmente para resolver problemas con valor inicial, pero es menos atractivo cuando se poseen como datos los valores de frontera. Sin embargo se puede utilizar
este método dejando expresadas las condiciones iniciales con literales para luego despejarlas en función de los valores de frontera
(d) El denominador de X(s) igualado a cero es la ecuación característica utilizado en el
método clásico, con lo cual es clave para determinar el comportamiento que va a tener el sistema: subamortiguado, sobreamortiguado, etc.
Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial
texdt
dx
dt
xd −=++ .2.6.5.2
2
sujeta a las condiciones x = 1 y dx/dt = 0 en t = 0
Al aplicar la transformada de Laplace
{ } { }teLxL
dt
dxL
dt
xdL
−=+
+
.2.6.5.2
2
llegamos a la ecuación transformada
1
2)(.6)]0()(..[5)]0(')0(.)(.[ 2
+=+−+−−
ssXxsXsxxssXs
de donde despejando X(s) teniendo en cuenta las condiciones iniciales nos queda
)2)(3(
5
)3)(2)(1(
2)(
++
++
+++=
ss
s
ssssX
Desarrollando en fracciones parciales:
3
1
2
2
1
1
3
2
2
3
3
1
2
2
1
1)(
+−
++
+=
+−
++
++
+−
+=
sssssssssX
Tomando las transformadas inversas, por ejemplo de tabla, nos queda:
ttt eeetx 32)( −−− −+= t ≥ 0
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8. Sistemas de Ecuaciones diferenciales
En aplicaciones ingenieriles es frecuente encontrar sistemas que pueden ser modelados como un conjunto de ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes. El método es
básicamente el visto en el punto anterior, solo que en este caso tendremos un sistema de ecuaciones con igual número de incógnitas que resolvemos con los métodos vistos en
álgebra lineal, para luego antitransformar cada incógnita y obtener la respuesta del sistema en función del tiempo.
Ejemplo
Resolver las ecuaciones siguientes para t ≥ 0
3.2
.3.5.
=+++
=+++ −
yxdt
dy
dt
dx
eyxdt
dy
dt
dx t
con las condiciones iniciales x (0) = 2 ; y (0) = 1
Aplicando la transformada de Laplace en ambas ecuaciones nos queda
ssYsXysYsxsXs
ssYsXysYsxsXs
3)()()0()(.)]0()(..[2
1
1)(.3)(.5)0()(.)0()(.[
=++−+−
+=++−+−
si reemplazamos con las condiciones iniciales dadas y despejamos obtenemos:
)1)(2)(1(
15.39.22)(
)1)(2(
9.14.2)(
23
2
−++
−−−=
−+
++=
ssss
ssssY
sss
sssX
Si separamos en fracciones parciales nos queda:
1
2/25
2
2/11
1
2/12/15)(
1
3/25
2
6/11
.2
2/9)(
−−
++
++=
−+
+−−=
sssssY
ssssX
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aplicando la transformación inversa:
ttt
tt
eeety
eetx
.2/25.2/11.2/12/15)(
.3/25.6/112/9)(
2
2
−++=
+−−=−
−
9. Aplicaciones a la ingeniería
A continuación vamos a desarrollar un sistema mecánico de traslación compuesto por una masa, un resorte y u amortiguador. Las variable asociadas a la ecuación diferencial
serán el desplazamiento x(t) y las fuerzas excitadoras f(t). Vamos a suponer que tanto el amortiguador como el resorte son ideales y que se comportan en forma lineal.
Masa:
2
2
.dt
xdMF = Ley de Newton
Resorte:
F = K (x2 – x1) Ley de Hooke
Amortiguador
−=
dt
dx
dt
dxBF 12.
Si modelizamos cada uno de estos elemento como un subsistema separado podemos
hacer notar en cada caso la entrada y salida correspondientes:
(a) Masa
(b) resorte
x1(t) x2(t)
F(t) F(t)
M F(t) x(t)
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(c) Amortiguador
Ejemplo
Se tiene un sistema masa-resorte-amortiguador sometido a una fuerza periódica
F(t) = 4 Sen(ωt) aplicada en t=0. Determinar el desplazamiento x(t) suponiendo que:
M = 1
0 x(0)=
0)0( =x&
Como se puede observar en la figura, las fuerzas que actúan sobre la masa M son las fuerzas
aplicadas, que en este caso es la fuerza periódica F(t)=4.sen(ωt), y las fuerzas restauradoras
F1 y F2. De esta forma aplicando la ley de Newton nos queda:
)()()((. 21 tFtFtFxM −−=&&
x1(t) x2(t)
F(t) F(t)
B
M=1
M=1
K B
F1(t)=k.x F2(t)=B.x(t)
F(t)=4.sen(ωt)
F(t)=4.sen(ωt)
x(t)
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reemplazando los datos en esta ecuación nos queda:
)(.4)(.25)(.6)(. tsentxtxtx ω=++ &&&
Que es la ecuación diferencial que modela el sistema descripto.
Si aplicamos la transformada de Laplace:
22
2 .4)0(.6)]0()0(.[)().25.6(
ω
ω
++++=++
sxxxssXss &
Si reemplazamos las condiciones iniciales y despejamos X(s) obtenemos:
16)3(
208
195
2
4
)414(
195
4
256
208
195
2
4
)414(
195
4
)25.6).((
.4)(
22
22222
++
++
+
−=
=++
++
+
−=
+++=
s
s
s
s
ss
s
s
s
ssssX
ω
ω
Finalmente aplicando la transformada inversa obtenemos la respuesta del sistema en
función del tiempo:
))4()4cos(.8(195
2)2cos(.4)2(.7(
195
4)(
3tsentettsentx
t −+−= −
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10. Funciones de transferencia
La función de transferencia de un sistema lineal invariante en el tiempo está definida como la razón de la transformada de Laplace de la salida del sistema (o función de respuesta) a la
transformada de Laplace de la entrada del sistema (o función de fuerza), bajo el supuesto de que todas las condiciones iniciales son cero (esto es, el sistema está inicialmente. en un estado
de reposo). Las funciones de transferencia se usan frecuentemente en ingeniería para caracterizar las
relaciones de entrada-salida de los sistemas lineales invariantes en el tiempo, y juegan un papel importante en el análisis y diseño de dichos sistemas.
Consideremos un sistema lineal invariante en el tiempo caracterizado por la ecuación
diferencial
ubdt
udbxa
dt
xda
dt
xda
m
m
nn
n
nn
n
n 001
1
1 ...... ++=+++−
−
−
donde n ≥ m, las a y las b son coeficientes constantes, y x(t) es la respuesta del sistema o salida
correspondiente a la entrada o término de fuerza u(t) aplicado en el tiempo t = 0. Aplicando la
transformada de Laplace a todo (10.1) llegaremos a la ecuación transformada.
Figura 10.1 Diagrama en bloque de la función de transferencia
Como se supone que todas las condiciones iniciales son cero vemos que, para obtener la ecuación
transformada, simplemente remplazamos d/dt por s obteniendo
( ) ( ) )(..)(.. 00
1
1 sUbsbsXasasa m
m
n
n
n
n ++=+++ −−
donde X(s) y U(s) denotan las transformadas de Laplace de x(t) y u(t).
La función de transferencia del sistema G(s) se define como
( )( )0
0
..
..
)(
)()(
asa
bsb
sU
SXsG
n
n
m
m
++
++==
y el sistema puede representarse en forma de diagrama por la operación dentro de la caja de la
figura 10.1. Esta representación se conoce como el diagrama en bloques de entrada-salida del sistema.
(10.1)
(10.2)
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Transformada de Laplace 18/28
Escribiendo
( )( )0
0
..)(
..)(
asasQ
bsbsP
n
n
m
m
++=
++=
la función de transferencia puede expresarse como
)(
)()(
sQ
sPsG =
donde, para hacer que el sistema sea físicamente realizable, los grados m y n de los
polinomios P(s) y Q(s) deben ser tales que n ≥ m. La ecuación Q(s) = 0 es llamada la ecuación característica del sistema, su orden determina el
orden del sistema y sus raíces se conocen como polos de la función de transferencia. De la misma manera, las raíces de P(s) = 0 son los ceros de la función de transferencia.
Es importante darse cuenta de que, en general, una función de transferencia solo se usa para
caracterizar un sistema lineal invariante en el tiempo. Es una propiedad del propio sistema y
es independiente tanto de la entrada como de la salida sistema. A pesar de que una función de transferencia caracteriza la dinámica del sistema, no
proporciona información concerniente a la estructura física real del sistema, y de hecho sistemas que son físicamente distintos puede tener la misma función de transferencia ; por
ejemplo, un sistema masa-resorte-amortiguador y un circuito RLC tienen ambos la función de transferencia
γβα ++==
sssU
sXsG
2
1
)(
)()(
En el sistema masa-resorte-amortiguador, X(s) determina el desplazamiento x(t) de la masa y
U(s) representa la fuerza aplicada F(t), mientras que α denota la masa, β el coeficiente de
amortiguamiento y γ la constante de resorte. Por otro lado, en el circuito RLC, X(s) determina
la carga q(t) en el capacitor y U(s) representa la fem e(t) aplicada, mientras que a denota la
inductancia, β la resistencia y γ la capacitancia.
En la práctica, un sistema completo puede formarse de cierto número de componentes, cada
una caracterizada por su propia función de transferencia y relacionadas con una operación en
caja. Así que la función de transferencia de entrada-salida del sistema completo se obtiene por
las reglas del álgebra del diagrama de bloque.
Como G(s) puede escribirse
))...()((
))...()(()(
21
21
n
m
m
m
pspsps
zszszs
a
bsG
−−−
−−−=
donde z¡s y pis son los ceros y los polos de la función de transferencia respectivamente,
observamos que G(s) es conocida, excepto por un factor constante, si se conocen las posiciones de todos los polos y los ceros. Por consiguiente, con frecuencia se usa un dibujo de
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Transformada de Laplace 19/28
los polos y los ceros de G(s) como una ayuda en análisis gráfico de la función de transferencia (una convención común es marcar la posición de un cero mediante un círculo O y la de un
polo mediante una cruz ). Como los coeficientes de los polinomios P(s) y Q(s) son reales, todas las raíces complejas
suceden siempre en pares complejos conjugados, así que el dibujo polo-cero es simétrico con respecto del eje real.
Ejemplo
La respuesta x(t) de un sistema a una función de fuerza u(t) está determinada por la ecuación
diferencial
udt
dux
dt
dx
dt
xd3213129
2
2
+=++
(a) Determine la función de transferencia que caracteriza al sistema.
(b) Proporcione la ecuación característica del sistema.¿ Cual es el orden del sistema ?
(c) Determine los polos y los ceros de la función de transferencia e ilústrelos en un diagrama
en el plano s.
Solución :
(a) Supongamos que todas las condiciones iniciales son cero, aplicando la transformada
de Laplace a toda la ecuación diferencial :
udt
dux
dt
dx
dt
xd3213129
2
2
+=++
llegamos a :
( ) ( ) )(32)(13129 2sUssXss +=++
Las función de transferencia del sistema está dada por :
13129
32
)(
)()(
2 +
+==
ss
s
sU
sXsG
(b) La ecuación característica del sistema es
9.s2 + 12.s +13 = 0
El sistema es de orden 2
(c) Los polos de la función de transferencia son las raíces de la ecuación característica
9.s2 + 12.s +13 = 0
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que son
( )3
32
18
46814412 is
±−=
−±−=
son los polos simples :
is +−=3
2 y is −−=
3
2
Los ceros de la función de transferencia se determinan al igualar a 0 el polinomio del
numerador 2.s + 3 = 0 , dando un cero simple en :
2
3−=s
Polo (x) Cero (o)
11. Convolución
Si dos funciones f y g son continuas parte por parte para t ≥ 0 entonces su convolución, denotada por f * g, está definida mediante la integral
∫ −=t
dtgfgf0
)()(* ιιι
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Transformada de Laplace 21/28
Ejemplo 1
La convolución de tetf =)( y )()( tsentg = es :
∫ −=t
ttdtsenesente
0
)(* ιι
( )tetsent +−−= cos2
1
Teorema de la convolución
Es posible obtener la transformada de Laplace de la convolución de dos funciones, como la
dada en (11.1), sin que se tenga que evaluar en realidad la integral como se hizo en (11.2). El
siguiente resultado se conoce como teorema de la convolución.
Sean f(t) y g(t) continuas parte por parte para t ≥ 0 y de orden exponencial.
Entonces
{ } { } { })()(* tgLtfLgfL =
)()( sGsF=
Demostración
{ } ∫∞
−==0
)()()(Sean ιιιdfetfLsF
s
{ } ∫∞
−==0
)()()( βββ dgetgLsG s
Procediendo formalmente queda
= ∫∫
∞
−
∞
−
00
)()()().( ββιι β dgedfesGsF sst
βιβιβιddgfe
s )()(0 0
)(
∫ ∫∞ ∞
+−=
∫∫∞
+−
∞
=0
)(
0
)()( ββιι βι dgedf s
Dejando ι fijo hacemos t = ι + β , dt = dβ , de modo que :
(11.2)
(11.1)
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Transformada de Laplace 22/28
∫ ∫∞ ∞
− −=0
)()()().( dttgedfsGsF st ιιι
En el plano t ι estamos integrando sobre la región sombreada mostrada en la Figura . Como f
y g son continuas parte por parte para t ≥ 0 y de orden exponencial, se puede demostrar que es
posible intercambiar el orden de integración:
∫∫ −=∞
−t
st dtgfdtesGsF00
)().()().( ιιι
dtdtgfe
t
st
−= ∫∫∞
−
00
)()( ιιι
{ }gfL *=
Cuando g(t) = 1 y G (s) = l/s, el teorema de la convolución implica que la transformada de Laplace de la integral de una función f es :
s
sFdfL
t)(
)(0
=
∫ ιι
Ejemplo 2
Calcular
−∫t
dtseneL0
)( ιιι
Solución: Con las identificaciones f(t) = te y g (t) = sen t, por el Teorema de convolución
tenemos
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Transformada de Laplace 23/28
{ } { }sentLeLdtseneL t
t
.)(0
=
−∫ ιιι
1
1.
1
12 +−
=ss
( )( )1.1
12 +−
=ss
Algunas veces el teorema de convolución es útil para encontrar la transformada inversa de
Laplace de un producto de dos transformadas de Laplace. En virtud del teorema de
convolución, tenemos :
{ })().(* 1sGsFLgf
−=
Ejemplo 3
Determinar ( )( )
+−
−
4.1
11
ssL
Solución : Sería posible usar fracciones parciales, pero si :
1
1)(
−=
ssF y
4
1)(
+=
ssG
entonces { } tetfsFL ==− )()(1 y { } t
etgsGL41 )()( −− ==
Por lo tanto podemos escribir :
( )( ) ∫ −=
+−
−
t
dtgfss
L0
1 )()(41
1ιιι
∫−−=
t
t dee0
)(4 ιιι
∫−=
t
tdee
0
54 ιι
tttee 0
54
5
1−=
tt ee 4
5
1
5
1 −−=
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Transformada de Laplace 24/28
12. Transformada de una función periódica
Si una función periódica tiene periodo T, siendo T > 0 , entonces f(t + T) = f(t). La
transformada de Laplace de una función periódica puede obtenerse integrando sobre un
periodo.
TEOREMA
Sea f(t) continua parte por parte para t ≥ 0 y de orden exponencial. Si f(t) es periódica de
periodo T, entonces
{ } ∫−
−−=
T
st
sTdttfe
etfL
0
)(1
1)(
Demostración Escríbase la transformada de Laplace como:
{ } ∫ ∫∞
−− +=T
T
stst dttfedttfetfL0
)()()(
Haciendo t = u + T , la última integral en (12.2) se transforma en
∫ ∫∞ ∞
+−− +=T
Tusst duTufedttfe0
)( )()(
∫∞
−−=0
)( duufeesusT
{ })(tfLe sT−=
Por lo tanto (12.2) es :
{ } { }∫−− +=
T
sTsttfLedttfetfL
0
)()()(
Despejando la { })(tfL resulta
{ } ∫−
−−=
T
st
sTdttfe
etfL
0
)(1
1)(
(12.1)
(12.2)
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Transformada de Laplace 25/28
Ejemplo
Hallar la transformada de Laplace de la función periódica mostrada en la figura.
Solución : En el intervalo 0 ≤ t < 2 la función puede definirse por
<≤
<≤=
21 ,0
,0 ,)(
t
ttttf
y fuera del intervalo por f (t+2) = f( t) . Identificando T = 2 , usamos (12.1) e integramos por partes para obtener :
{ }
)1(
)1(1
1
1
1
01
1
)(1
1)(
22
22
1
0
2
1
2
2
0
2
s
s
ss
s
stst
s
st
s
es
es
s
e
s
e
e
dtetdtee
dttfee
tfL
−
−
−−
−
−−
−
−
−
−
+−=
−+−
−=
+
−=
−=
∫ ∫
∫
13. La función delta de Dirac
El impulso unitario
A menudo, los sistemas mecánicos están sometidos a una fuerza exterior (o a una tensión
aplicada en el caso de los circuitos eléctricos) de gran magnitud que solamente actúa durante
un tiempo muy corto. Por ejemplo, una descarga eléctrica podría caer sobre el ala ya vibrante
de un avión o a un peso sujeto a un resorte podría dársele un golpe seco con un martillo, o
bien una pelota de golf inicialmente en reposo podría ser enviada velozmente a los aires al ser
golpeada con violencia por un bastón o palo de golf.
La función
+≥−≤
+<<−=−
attatt
attatatta
00
00
0
bien o ,0
,2
1
)(δ
puede servir de modelo matemático para tal fuerza. Para valores de a, ( )0tta −δ es
esencialmente una función constante de gran magnitud que está "conectada" o "activada" sólo
por un corto intervalo de tiempo en torno a t0. El comportamiento de ( )0tta −δ cuando a → 0
se ilustra en la Figura 13.1(b). A la función ( )0tta −δ se la llama impulso unitario ya que
tiene la propiedad de integración
(13.1)
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Transformada de Laplace 26/28
∫∞
∞−
=− 1)( 0 dtttaδ
Figura 13.1
Función delta de Dirac
En la práctica es conveniente trabajar con otro tipo de impulso unitario, que es una "función"
que se aproxima ( )0tta −δ y está definida por el límite
)(lim)( 00 tttt a −=− δδ
Esta última expresión, la cual en realidad no es una función, se puede caracterizar mediante
las dos propiedades siguientes
∫∞
∞−
=−
≠
=∞=−
1)()(
,0
,)()(
0
0
0
0
dtttii
tt
tttti
δ
δ
A la expresión ( )0tta −δ se la denomina función delta de Dirac y fue creada por el físico
británico Paul A.M. Dirac, quien la usó profusamente en su tratado clásico The Principies of Quantum Mechanics, en 1932.
Es posible obtener la transformada de Laplace de ( )0tta −δ mediante la suposición formal
{ } { })(lim)( 00 ttLttL a −=− δδ
(13.2)
0→a
0→a
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Transformada de Laplace 27/28
Sabiendo que :
{ }
−=−
−−
sa
eeettL
sasast
a2
)( 0
0δ
Puesto que (13.3) es indeterminada cuando a → 0 aplicamos la regla de L'Hópital:
{ } 00
2lim)(lim 0
stsasa
st
a eee
ettL−
−− =
+=−δ
De esta manera definimos
{ } 0)( 0
stettL
−=−δ
Ahora bien, es razonable concluir de (13.4) que cuando t0 = 0 se tiene
{ } 1)( =tL δ
Este último resultado destaca el hecho de que δ(t) no es una función ordinaria puesto que se
espera que { })(tL δ → 0 cuando s→ ∞ .
Ejemplo
Resolver
)2('' πδ −=+ tyy
sujeta a (a) y(0) = 1, y'(0) = 0 ; (b) y(0) = 0 , y'(0) = 0 .
Estos dos problemas de valores iniciales podían servir como modelos para describir el movimiento de una masa sujeta a un resorte que tiene lugar en un medio en el cual la
amortiguación es insignificante. En t = 2π segundos la masa recibe un golpe seco. En (a) la masa se suelta desde el reposo, en un punto que está 1 unidad abajo de la posición de
equilibrio. En (b) la masa está en reposo en la posición de equilibrio.
Solución (a) Por (13.4), la transformada de Laplace de la ecuación diferencial es
11)(
)()(
2
2
2
22
++
+=
=+−−
−
s
e
s
ssY
esYssYs
s
s
π
π
Usando el segundo teorema de traslación,
)2()2(cos)( ππ −−+= tUtsentty
(13.3)
(13.4)
0→a 0→a
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Transformada de Laplace 28/28
Puesto que sen (t - 2π) = sen t, la solución precedente se puede escribir
≥+
<≤=
2 ,cos
20 ,cos)(
π
π
tsentt
ttty
(b) En este caso la transformada de la ecuación es simplemente
1)(
2
2
+=
−
s
esY
sπ
y por lo tanto )2()2()( ππ −−= TUtsenty
>
<≤=
π
π
2 ,
20 0
tsent
t
(13.5)
(13.6)
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