UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTARO

Maestría en Ciencias Nanotecnología

Matemáticas Avanzadas

Profesor:

Dra. María

Alumnos:

Yolanda Jesús Martínez PimentelJorge Rosas Flores

TRANSFORMADA DE FOURIER

Toda señalperiódica, sin importar

cuan complicadaparezca, puede ser

reconstruida a partir desinusoides cuyasfrecuencias son

múltiplos enteros deuna frecuencia

fundamental, eligiendolas amplitudes y fases

adecuadas.

Matemático francés Joseph Fourier(1768-1830)

Es una transformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería.

¿Qué es la Transformada de Fourier?

PARES DE TRANSFORMACIÓN DE FOURIER

𝓕 {𝒇 (𝒙 ) }=∫−∞

∞

𝒇 (𝒙 )𝒆𝒊𝜶 𝒙𝒅𝒙=¿𝑭 (𝜶 )¿

𝓕−𝟏 {𝑭 (∝) }= 𝟏𝟐𝝅 ∫

−∞

∞

𝑭 (∝ )𝒆𝒊𝜶 𝒙𝒅∝=¿ 𝒇 (𝒙 )¿

𝓕𝒔 {𝑭 (𝒙 ) }=∫𝟎

∞

𝒇 (𝒙 )𝒔𝒆𝒏∝𝒙 𝒅𝒙=¿𝑭 (𝜶)¿

𝓕𝒔−𝟏 {𝑭 (∝) }=𝟐

𝝅∫𝟎

∞

𝑭 (∝ ) 𝒔𝒆𝒏∝ 𝒙𝒅∝=¿ 𝒇 (𝒙)¿

𝓕𝒄 {𝑭 (𝒙 ) }=∫𝟎

∞

𝒇 (𝒙 )𝒄𝒐𝒔∝ 𝒙 𝒅𝒙=¿𝑭 (𝜶 )¿

𝓕𝒄−𝟏 {𝑭 (∝) }=𝟐

𝝅∫𝟎

∞

𝑭 (∝ )𝒄𝒐𝒔∝𝒙 𝒅∝=¿ 𝒇 (𝒙)¿

1) Transformada de Fourier :

1.1) Transformada inversa de Fourier :

2) Transformada seno de Fourier :

2.1) Transformada seno inversa de Fourier :

3) Transformada coseno de Fourier :

3.1) Transformada coseno inversa de Fourier :

EXISTENCIA

∫−∞

∞

¿ 𝑥 (𝑡 )∨¿𝑑𝑡<∞ ¿

x(t) posee un número finito de discontinuidades en cualquier intervalo finit.

Para que la transformada de Fourier de una señal x(t) exista (en forma ordinaria no como función generalizada, x debe satisfacer lo siguiente:

x(t) es absolutamente integrable, esto es

Aplicación de las transformadas seno y coseno

Son apropiadas para transformar la primera derivada o para cualquier derivada de orden impar.

El dominio de al menos una de las variables del problema debe ser [ 0 , ∞ )

TEOREMAS

LINEALIDAD

Si f(x) y g(x) admiten transformada de Fourier, entonces tambien la admiten.

Propiedades de las transformadas de Fourier

TRASLACIÓN EN EL PRIMER EJE

Si (x) admite transformada de Fourier, entonces para cualquier también la admite.

ESCALAMIENTO

Si admite transformada de Fourier, entonces para cualquier a ≠ 0 también la admite.

PRODUCTO POR EXPONENCIAL COMPLEJA

PRODUCTO POR COS(AT) O SIN(AT)

Transformadas de Fourier de funciones pares, f(t) = f(-t):

Transformadas de Fourier de funciones impares, f(t) = -f(-t):

Transformadas de Fourier de la derivada

Ejemplo

La Transformada de Fourier es la base del análisis y síntesis expectral

Filtros y Convolución

Transformada Corta de Fourier

Espectrogramas

Síntesis sinusoidal

Procesamiento de señales

Aplicaciones

CONCLUSIÓN

La transformada de Fourier tiene muchas aplicaciones en la ingeniería, especialmente

para la caracterización frecuencial de señales y sistemas lineales. Es decir, la transformada

de Fourier se utiliza para conocer las características frecuenciales de las señales y el comportamiento de los sistemas lineales

ante estas señales.