transformada de fourier

28 anales de mecánica y electricidad / julio-agosto 2006

La dinámica de los sistemas físicos consti-tuye una de las aplicaciones matemáticasmás utilizadas en ingeniería, concretada enecuaciones integro-diferenciales que expre-san las relaciones entre magnitudes físicas alaplicar las leyes que rigen las transformacio-nes energéticas. En numerosos casos la únicavariable independiente es el tiempo, lo quehace que las ecuaciones diferenciales seanordinarias y no derivadas parciales, más com-plejas de resolver.

Las funciones que expresan las relacionescorresponden pues a variaciones temporalesde magnitudes físicas asociadas con la diná-mica de los sistemas en los distintos campos;Fuerza,Voltaje,Temperatura, etc.

En todos los campos, aparece una funciónelemental en la transmisión de energía, la vi-bración u oscilación armónica, llamada así por-que la expresión matemática que describe elmovimiento oscilatorio es una función trigo-nométrica circular o armónica, seno o cose-no, de un ángulo que gira a velocidad circular

en radianes por segundo. Movimiento soste-nido por un intercambio alternativo de ener-gías potencial y cinética asociado a sus ele-mentos elásticos e inerciales.

La simplicidad de la naturaleza, a pesar desu aparente complejidad, como por ejemplola constitución de la materia con las mismaspartículas elementales a nivel atómico, facilitael estudio de la dinámica de sistemas al “des-componer” cualquier variación temporal enun conjunto de oscilaciones armónicas ele-mentales. Ésta es el fundamento de la trans-formación de Fourier, y de su aplicación en elproceso de Convolución utilizado en nuestrotema.

Los elementos o componentes de los dis-tintos sistemas físicos, para su tratamientomatemático, se requiere que sean lineales einvariantes en el tiempo, lo que afortunada-mente es válido en la mayoría de los casosreales, correspondiendo al criterio ingenierilsus márgenes de aplicación. No obstante,aun en el caso de falta de linealidad, el

A partir del análisis frecuencial de funciones temporales y de la corresponden-cia entre ambos dominios a través de la Transformación de Fourier, se interpreta elproceso de Convolución, la relación entre ambos y su aplicación en particular a larespuesta de sistemas físicos.

Andrés Lara Sáenz

Dr. Ingeniero ICAI, Master of Electrical

Engineering, Master of Science, Lic. C.

Informatión. Prof. Investigación. Ex-Di-

rector Centro Investigación Físicas L.

Torres Quevedo. Fundador y Director

Emérito, Instituto de Acústica CSIC.

XII Jornadas “Historia y Filosofía de la Ingeniería, la Ciencia y la Tecnología”, UPM-IIE

Sobre la transformación Tiempo-Frecuenciay la aplicación del proceso de Convolución ala dinámica de sistemas físicos

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28-34_TransfTiempo 23/8/06 14:03 Página 28

modelo teórico lineal suele ser de la mayor utilidad.A su vez,los elementos han de ser “puros”, es decir, que no contengan“mezcla” de elementos de otras clases.

Con estos requisitos se define un modelo ideal de sistemafísico, apto para su tratamiento matemático al que nos referi-remos en adelante como SILPAC (SIstema Lineal con PArá-metros Constantes).

Transformada de FourierEs transcendental la mencionada simplicidad de la natura-

leza, de forma que la mayoría de los procesos de transmi-sión-transformación de energía comportan variaciones tem-porales descomponibles en vibraciones elementalesarmónicas, representadas por funciones trigonométricascirculares, seno y coseno, “indescomponibles” y base de todaperturbación física.

Al matemático francés Juan Bautista Fourier (1768-1830)le cabe la gloria histórica del desarrollo de funciones periódi-cas en serie de senos y cosenos, de enorme trascendenciaen el campo de la matemática aplicada. No fue ni el úniconi el primero en utilizar desarrollos en serie de funcionesortogonales, ya lo habían hecho Euler (Basilea, 1707- 1783), yD’Alembert (París, 1717-1783).

Una característica fundamental del desarrollo de Fourier essu generalización a funciones no periódicas e incluso transito-rias, con su Integral, lo que extiende su campo de aplicación ala dinámica de muchos sistemas físicos, que operan tanto enrégimen permanente como transitorio. Parece que fue en ElCairo trabajando en el laboratorio del recién creado Institutode Egipto, en 1798, con alumnos de la Escuela Politécnica deParís, que el profesor Fourier se interesó por el funcionamien-to de la flauta de caña abierta y con boquilla de madera, llama-da “ney”, de la que le deleitaban sus sonidos. No supo “tocar-la,” pero si notó como cada flauta respondía de modo distintoal “soplido”, del que no lograba pasar. Esto le dio la idea de larespuesta impulsional como medio de caracterizar un sistemalineal. No sé lo que habrá de cierto en ello, pero está bien traí-do. Lo que sí es comprobable es la memoria que presentó en1807 a la Academia Francesa, de la que fue secretario, en laque utiliza un desarrollo en serie de armónicos, múltiplos delfundamental, en un proceso de transmisión de calor.

La serie es conocida por todos los estudiantes de ingenie-ría, no obstante nos permitimos concretarlo a efectos de sugeneralización.

El desarrollo de Fourier es menos exigente, en las condi-ciones que ha de cumplir la función, al de otros desarrollosen serie, como el de Taylor, que exige continuidad tanto a lafunción como a sus derivadas en su entorno de definición. Enel caso de Fourier, basta con que la función tenga un númerofinito de discontinuidades y de máximos y mínimos enel margen de aplicación, y que la integral de la función en elmismo sea finita, lo que garantiza la existencia de la serie infi-nita y su convergencia.

Su expresión básica es

x(t) = a0 + �

∑n=1

(an cos n 2π––T

t + bn sen n 2π––T

t)

En que los coeficientes vienen dados por

a0 = 1––T

� To

x(t) dt

an = 2––T

�0T x(t) cos n 2π––

Tdt

bn = 2––T

�0T x(t) sen n 2π––

Tdt

Este desarrollo, haciendo uso de la identidad de Euler

e jz = cos z + j sen z

an cos z + bn sen z = e±jz an-+jbn––––––2

= C±n e±jz

presenta la forma compleja compacta,

x(t) =+�

∑n=-�

Cn ejn2π––T t

n, entezo

C±n = 1––

T�T

0 x(t) e±jn 2π––T

t dt

Si el intervalo temporal T de definición de la función seamplía en ambos sentidos desde -� a +�, la separación 1/Tentre las componentes elementales del espectro se va redu-ciendo, llegando en el límite a constituir un espectro conti-nuo (Figura 1). La envolvente viene dada por la función con-tinua que da el valor de la amplitud de las infinitascomponentes del espectro, que se alargan en el tiempo, has-ta constituirse en régimen permanente.

Para T � la función Cn que da los coeficientes de lascomponentes del espectro se convierte en integral,

Cn = 1––T

�+�-� x(t) e -j2πƒt dt = X(ƒ)

Y la serie de Fourier se convierte también en integral

x(t)= 1––T

�+�-� X(ƒ) e -j2πƒt dƒ

Ambas expresiones son conocidas como las Integrales Di-recta e Inversa de Fourier, y constituyen la conocida Transfor-mación de Fourier, que por un lado obtiene el espectro enfrecuencias X(ƒ) de una función temporal x(t), y a su vez in-versamente “sintetiza” la función temporal a partir de su es-pectro; transformación expresada simbólicamente por,

X(ƒ)=� [x(t)]

x(t)=�-1 [X(ƒ)]

Esta Transformación está en la base de la obtención derespuesta al régimen transitorio, en función del comporta-miento en régimen permanente.

Aparte de la aplicación de la Transformación, para la reso-lución de ecuaciones diferenciales, en similitud con la Trans-formada de Laplace, operando con ecuaciones algebraicasde más fácil solución, nuestro interés se centra en su aplica-ción a la integral de Convolución, para la obtención de la res-puesta de sistemas físicos SILPAC a excitaciones energéticas

Sobre la transformación Tiempo-Frecuencia y la aplicación del proceso de Convolución a la dinámica de sistemas físicos 29


descomponibles en funciones armónicas ele-mentales.

Convolución: Integral de ConvoluciónEl término Convolución no aparece en el

diccionario de la RAE; su empleo matemáti-co es una castellanización del término inglés“Convolution” (twist together) cuyo significa-do más idóneo es a nuestro entender (y co-mo así lo hemos propuesto en el Comité deTerminología del IIE): “retorcido conjunto”.En alemán “faltung” (doblar), y en francés,“composition”.

Su utilización matemática se refiere aun caso par ticular de una integral de sola-pe o deslizamiento (como la que calculala correlación cruzada, etc), cuyo integrandoes el producto de dos funciones de la mis-ma variable (en nuestro caso el tiempo) conla particularidad de que una de ellas (indis-tintamente) se “dobla” respecto del eje ver-tical (reflexión especular), para proceder alproducto deslizante con la otra función e in-tegrando, a lo largo de todo el campo de lavariable. Su expresión matemática es:

y(t) = �+�-� x1(τ) x2 (t-τ) dτ=x1(t) * x2(t)

en la que x2(-τ) es la función invertida, y x2(t-τ) su deslizamiento para valores de t desde-� a +�. La variable τ es una forma “simula-da” de presentar la variable tiempo, para dis-tinguir el deslizamiento de una función sobrela otra. La estrella es el símbolo matemáticopara indicar el proceso de convolución.

En cuanto a su historia, es probable quela integral de convolución apareciese en losprimeros ensayos de Euler, en la resoluciónde ecuaciones diferenciales ordinarias. Elmatemático francés Duhamel (1797-1872),suele asociarse a esta integral, así comoPoissón en una comunicación presentadaen 1826 a la Academia de Ciencias de París.

De todas formas, la Integral de Convolu-ción no es de fácil interpretación matemática.

Una interpretación aclaratoria de la Inte-gral se obtiene a través de un seguimientográfico del proceso de convolución.

Eligiendo para ello dos funciones simplesy de fácil representación, por ejemplo lasque forman un cuadrado y un triángulo (Fi-gura 2).

El proceso pasa por las siguientes fases:1. Primero se “dobla” especularmente res-pecto al eje vertical una de las funciones, x2,que toma la expresión x2(-τ) y se le desplazaun intervalo ti; x(ti-τ) (Figura 3).2. A continuación se multiplica por la otrafunción, “deslizando” el desplazamiento ti a lolargo de todo el eje de tiempo desde -� a+�. El producto es nulo desde -� hasta el ini-cio de la otra función. Durante el intervalotemporal de esta segunda función el produc-to se corresponde con puntos que formanlos límites de las áreas rayadas.Al final de esteintervalo los productos vuelven a ser nulos.3. La última fase, la integración de las áreasrayadas, forman los puntos de la curvas quecorresponde a la función representada por laIntegral de convolución.

Es fácil de deducir en la misma figura queel orden de factores en el integrando no al-tera el valor de la Integral, independiente-mente de cual de las dos funciones se invier-ta y se deslice, lo cuál se constata igualmentematemáticamente, lo que constituye la ca-racterística conmutativa de la Convolución:

Relación entra la Integral deConvolución y la Transformación deFourier

Una operación del mayor interés en cuan-to a nuestro tema es la aplicación de la Trans-formación de Fourier a la Integral de Convo-lución.


Figura 2. Funciones que forman parte del proceso gráfico de convolución

0

x1 (t)

t 0

x2 (t)

τ

Figura 1. Serie e Integral de Fourier: espectros, discreto y continuo

1––T

2––T

3–– T

…t d� �


Es de comprobación directa que la trans-formada de la Integral es igual al productode las transformadas de las funciones inte-grantes o “convolucionadas”.

Con lo cual esta transformación permiteresolver por medio de un producto algebrai-co en el dominio frecuencial una integral enel dominio temporal, de no fácil resoluciónen muchos casos.

Respuesta de Sistemas Físicos SILPAC:aplicación de la Convolución y laTransformada de Fourier

Se trata de obtener físicamente la respues-ta de sistemas SILPAC, en cuyo tratamientomatemático intervienen la integral de Con-volución y la transformación de Fourier.

Propiedades operativas de los sistemaslineales

Nos referimos a sistemas lineales con pará-metros localizados, “puros” e invariantes en eltiempo. En estas condiciones son aplicables lasecuaciones diferenciales ordinarias, que expre-

san matemáticamente las leyes físicas que re-lacionan las variaciones temporales de las ex-citaciones con las respuestas en cada uno delos componentes o parámetros del sistema.

En otros sistemas, los parámetros están dis-tribuidos espacialmente y la excitación ener-gética comporta una propagación de energíavibratoria, transportada por ondas (electro-magnéticas o elásticas). En este caso, las ecua-ciones integro-diferenciales contienen variasvariables independientes, la temporal y las es-paciales, por lo que las ecuaciones incluyenderivadas parciales (ecuación de onda), engeneral de más compleja solución que en lossistemas de parámetros localizados.

En todo caso, y de la mayor importancia anuestros fines, son las propiedades de ho-mogeneidad y aditividad propias de la linea-lidad de los SILPAC, aplicable a las respues-tas con respecto a distintas excitacionesseparadas:

Si la respuesta a dos funciones x1 (t), x2 (t)son respectivamente y1 (t), y2 (t), entoncesse verifica,


Figura 3. Gráfica de las sucesivas fases del proceso de la Integral de Convolución

-t 0x2 (-t)

0 ∆t=tix2 (ti-τ)

ti

t6 ttn= n∆t=ti

x2(ti-τ)•x1(τ)

y(t) =�+�-� x2(-ti-τ) x1(τ)dτ = x2(t) • x1(t)

t5t4t3t2t10-t

0 0 02ti 3ti 4ti 0 5ti

00 6ti


a x1 (t) a y1 (t) b x2 (t) by2 (t)a x1 (t) + b x2 (t) ay1 (t) + by2 (t)

Otra propiedad, de fácil demostración, yno menos impor tante de la linealidad, esque estos sistemas no cambian ni añadenninguna componente armónica que conten-ga la señal de entrada, es decir, preservan elespectro en frecuencias actuando sólo so-bre la amplitud y fase de sus componentes.

Impulso Unidad: Función de Dirac;Respuesta Impulsional, p(t), delSistema

Los sistemas físicos y las excitaciones energé-ticas conllevan funciones temporales, de modoque hay que determinar la función “oculta” delsistema en base a operaciones con funcionesrealizables físicamente en el espacio temporal.A estos efectos, un primer paso es aplicar lafunción operativa Impulso Unidad de Dirac, quepresenta un espectro continuo de aplicacióndirecta para dar una respuesta característica,temporal y medible, propia del sistema: la Res-puesta Impulsional, p(t). Esta Función es defini-toria para obtener la Respuesta del sistema acualquier función de excitación, a través delproceso de convolución.

La definición en el espacio temporal de laFunción de Dirac, a partir del Impulso Uni-dad (Figura 4-a), es:

0 t<0U1 (t) { 1 t�0

δ (t) = lim∆(t)

U1(t+∆t) - U1(t)–––––––––––––

∆t 0

De modo que

0 t=/ 0�+�

-� δ(t) dt = {1 t=0

En realidad, desde el punto de vista mate-mático, no se trata de una función sino deuna distribución que asigna valores numéri-cos a la señal; no obstante, su compor ta-miento es válido en cuanto a componentede un integrando, como cuando intervienenen la Integral de Convolución.

Espectro de la Función de Dirac

Aplicando la Transformada directa de Fou-rier a la función de Dirac, se obtiene su es-pectro en frecuencias,

� [δ (t)] = ∆ (ƒ) = �+�-� δ (t) e-jwt dt = 1

es decir se trata de un espectro continuo deamplitud unidad (Figura 4-b).

Propiedad extractiva o selectiva de laFunción de Dirac

De la propia definición se deduce que δ(t-ti)corresponde a un desplazamiento del impulsode t=0 a t=ti, lo que le da su propiedad ex-tractiva como factor integrante: al multiplicarlapor una función, “extrae” el valor de esta fun-ción en el instante ti de aparición del impulso:

�+�-� δ (t-ti) x(t)dt = x(ti)

Obtención de la Respuesta Característicao Respuesta Impulsional, p(t)

Aplicando a un sistema físico un impulsounidad, cuyo espectro es continuo y de va-lor unidad en todas las frecuencias desde -�a +�, se obtiene una respuesta aditiva y ho-mogénea, consistente en modificar la ampli-tud y fase de las componentes de su espec-tro, incluso anulando aquellas a las que noresponde el sistema, pero sin introducir nialterar ninguna de las frecuencias en su “ban-da pasante”. Es decir, introduce una modifi-cación en cada una de las componentes delespectro, y como consecuencia obtiene a lasalida una función en el tiempo: un “impulsodeformado” (Figura 5), que constituye laRespuesta Impulsional del sistema, p(t).

Respuesta de un sistema físico auna señal de excitación a partir dela convolución de la señal con laRespuesta Impulsional, p(t), delSistema

Esto forma parte fundamental del objetivofinal de nuestro tema.

Para ello se parte, de la representación deuna función temporal en términos de funcio-nes impulsivas.


Figura 4. Función de Dirac: espacio temporal y espacio frecuencial

1

ƒt

a) Espacio temporal b) Espacio frecuencial

δ (t)


Una función x(t) definida en un intervalo(0-ti) representada en la Figura 6, puede ex-presarse como el límite de la suma de pulsosrectangulares ∆τi x(τi) cuando ∆τi 0. Esdecir, los rectángulos elementales tienden enel límite a impulsos kδ (τi)=δ (τi) x (τi), de am-plitud el valor de la función en los distintospuntos de aplicación,

x (t) = x(o) ∆τi + n∑i=l

δ (τi) x(τi)

Ahora bien, cómo obtener la repuesta delsistema a tal función. Haciendo uso de lapropiedad aditiva de los sistemas lineales,la respuesta del sistema a la señal en el ins-tante t, vendrá dada por la suma de los pro-ductos de todos los impulsos anteriores a tmultiplicados por una función de pondera-ción en cada instante: La Respuesta Impulsionalp(t -ti), a cada impulso sucesivo. Es decir :

y(t) = �+�-� dτ x(t) p(t-τi) = x(t) * p(t)

expresión que es precisamente la Integralde Convolución, en este caso, de la señal deentrada con la respuesta impulsional p(t) delsistema.

Esta es una propiedad fundamental de laintegral de convolución, que da directamentela respuesta y(t) de un sistema a una excita-ción temporal x(t) por medio de la convolu-ción de la señal de excitación con la respues-ta impulsional, p(t) de un sistema SILPAC. LaFigura 7 representa el esquema del ciclo ope-rativo.

Finalmente, para el cálculo de la Integral deConvolución, hacemos uso de su relación con laTransformación de Fourier, expuesta anterior-mente.

� [y(t)] = Y(ƒ) = � [x(t) * p(t)]= X(ƒ) P(ƒ)

Expresión que identifica la Función desco-nocida (caja negra) de Respuesta Frecuencialdel Sistema P(f), con la transformada directade Fourier de la Respuesta Impulsional p(t).

P(ƒ) = � [p(t)]

La respuesta pues de un sistema SILPAC auna excitación temporal x(t), del que se co-noce su respuesta impulsional, se obtienepor la convolución de ambas, operación deintegración, que se reduce matemáticamenteal producto de sus transformadas,

X(ƒ) P(ƒ)= Y(ƒ)

bastando hallar finalmente la transformadainversa de Y(f), para obtener la respuestabuscada y(t).

Otras aplicaciones de laConvolución y Deconvolución

La Convolución y su relación con la Trans-formación de Fourier encuentra multitud deaplicaciones físicas, de lo más útil, en camposmuy diversos.

Por ejemplo, cuando se hace una medición,el propio instrumento de medida puede in-troducir deformación en la señal de medida.En este caso lo que se mide, y(t), es la convo-lución de la señal auténtica x(t), con la Res-puesta Impulsional p(t), del instrumento.

y(t) = x(t) * p(t) = X(ƒ) P(ƒ)

Para restituir la señal auténtica se procedea la Deconvolución de la medida, es decir ala transformación inversa de,

X(ƒ)=Y(ƒ)–––P(ƒ)

x(t) = �-1 [X(ƒ)]


Figura 5. Respuesta Impulsional p(t) de un sistema

Figura 6. Representación de una función en términos de impulsos

δ (t) p (t) t

x(o)

x(t)

∆τ1 ττ1=n∆τ1


En general, la distorsiones, ruido, reverbera-ción, etc que aparecen en las señales origina-les, se pueden resolver a base de “extraer” lasseñales originales del proceso de Convolución.

Otros campos como la espectrometría enQuímica, cuyos resultados van distorsiona-dos por el ancho de la rendija, es decir por laConvolución con la función rendija; o lasmúltiples señales de la medicina actual, enelectrofisiología, neumología, etc, plantean ca-sos de aplicación de los procesos descritossobre deconvolución.

Cuando se trata en Acústica de Recintos deaveriguar las condiciones de inteligibilidadde la palabra o de las condiciones de rever-beración para audiciones musicales, es co-mún el que un “experto” dé unas palmadaspara “calificar” el recinto. Es un simple ejem-plo de “oír” la respuesta impulsional. Actual-mente, existe instrumentación que permitecalcular la función de transferencia, la rever-beración y la inteligibilidad de recintos basa-dos en la respuesta impulsional y la transfor-mación rápida de Fourier, incluso a nivel dediseño. Esto no es de extrañar pues despuésde todo el proceso de audición conlleva unaTransformación de Fourier en el oído inter-no, lo que permite separar,“oír”, las sensacio-nes tonales incluidas en las ondas complejassonoras, ley de Ohm acústica (sí señor, el delos ohmios eléctricos).

En este mismo campo, una aplicación re-ciente del proceso de Convolución es elde “componer” virtualmente el sonido real dela palabra o de una pieza musical, en undeterminado recinto, a partir de la convolu-ción de la respuesta impulsional del mismo yun registro “seco” de las señales realizado encámara anecoica o en espacio abierto, es de-cir sin reflexiones.

La Integral de Convolución de ambas se-ñales proporciona la respuesta del sistema

(recinto), ponderando las distintas compo-nentes de las señales y dando el colorido,presencia, volumen, etc de la audición real.

Existen programas para ordenador queoperan a base de registros “secos” de com-posiciones elegidas, para “convolucionarlas”con la respuesta impulsional (a obtener encada caso) de diferentes recintos en ensayo.

En resumen, la Convolución aliada con laTransformada de Fourier, constituye unaherramienta matemática de primer orden enla resolución de problemas relacionados con ladinámica de sistemas físicos.

AgradecimientosA mis compañeros del Comité de Ense-

ñanza del IIE, profesores Amaya (Agrónomo),Fernández Cañada (Montes) y Sancho Lle-randy (Agrónomo), organizadores y alma delas Jornadas cuyos méritos sólo supera su ca-lidad personal, por su amable acogida a miparticipación, que me ha servido de estímuloy enriquecimiento en estos años maduros.También a los compañeros responsables dela revista de nuestra Asociación, por su celo ycolaboración, y no menor agradecimiento alProfesor de Física de Industriales de Valencia,José Romero, entusiasta y profundo acústico,con el que he departido tantas jornadas ve-raniegas en Gandía, aportando siempre valio-sa información actualizada.


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Convolución and Ri programs:

CATT Acoustic TM. Program Gratis Volverwww.echochamber.comwww.noisevault.com

Bibliografía

Figura 7. Esquema del ciclo operativo en la obtención de la respuesta de un sistema

δ(t) p(t) x(t) y(t)

X(ƒ) Y(ƒ)P(ƒ)

Y(t) = x(t) * P(t)

?


transformada de fourier

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