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PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN EN ELECTRICIDADPROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN EN ELECTRICIDADDEPARTAMENTO DE ELECTRICIDADDEPARTAMENTO DE ELECTRICIDAD

UNIDAD CURRICULAR ALGEBRA LINEALUNIDAD CURRICULAR ALGEBRA LINEAL

FACILITADOR:FACILITADOR: BACHILLERES: BACHILLERES:WILMER COLMENARESWILMER COLMENARES López kleider López kleider

C.I.23.552.053C.I.23.552.053 Kelvin RondonKelvin Rondon C.I: 19.535.904C.I: 19.535.904 Pérez ArturoPérez Arturo C.I: 21.261.673C.I: 21.261.673 Sección: T1- Ele-1MSección: T1- Ele-1M

Ciudad Bolívar, Julio del 2010Ciudad Bolívar, Julio del 2010

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VectoresVectores. .

DefiniciónDefinición:: Se puede definir como una herramienta geométrica Se puede definir como una herramienta geométrica utilizada generalmente para representar gráficamente una utilizada generalmente para representar gráficamente una magnitud, el cual posee un modulo y una direcciónmagnitud, el cual posee un modulo y una dirección..

Propiedades de la sumaPropiedades de la suma.. Propiedades de la multiplicaciónPropiedades de la multiplicación::• Conmutativa: Conmutativa: kk++oo==oo++kk Distribut.: k (o + u) = (k · o ) + (k · u).Distribut.: k (o + u) = (k · o ) + (k · u). • Asociativa: (Asociativa: (kk++oo)+)+qq==kk+(+(oo++qq)) ConmutativaConmutativa: : kk · · oo = = oo · · k.k. • Elemento Neutro: Elemento Neutro: kk++00==kk Elemento Neutro: 1 · k = k.Elemento Neutro: 1 · k = k. • Elemento Simétrico: Elemento Simétrico: kk+(-+(-kk)=)=kk--kk=0=0 Elemento Simétrico: -1 · Elemento Simétrico: -1 · kk = - = - k. k.

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Representación Grafica.Representación Grafica. Ejercicio resuelto (suma y Ejercicio resuelto (suma y multiplicación de vectores)multiplicación de vectores)

Representación grafica.

Dado el vector libre a= (8,2) y b= (-3,4) calcular las coordenadas del vector 2A+ 3b

Para su solución basta realizar las siguientes operaciones: 2A+3b = 2(8,2) + 3(-3,4) =

(16,4) +(-9,12)= (7,16).

7

16

a+b

f(x)=x

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

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Importancia de los Vectores en la Importancia de los Vectores en la ElectricidadElectricidad..

En la electricidad es importante en la (intensidad del campo eléctrico, fuerza En la electricidad es importante en la (intensidad del campo eléctrico, fuerza electrostática...), en electromagnetismo (vector de inducción magnética...), etc.electrostática...), en electromagnetismo (vector de inducción magnética...), etc.

Por otra parte es de vital importancia mencionar que gran parte del desarrollo Por otra parte es de vital importancia mencionar que gran parte del desarrollo matemático con señales eléctricas se hace con fasores y notación compleja. A matemático con señales eléctricas se hace con fasores y notación compleja. A efectos matemáticos un número complejo puede tratarse como un vector de dos efectos matemáticos un número complejo puede tratarse como un vector de dos dimensiones.dimensiones.

OH por decirlo de una manera mas técnica el mundo real es vectorial, y no se puede OH por decirlo de una manera mas técnica el mundo real es vectorial, y no se puede expresar de otra forma sino es con vectores, es decir, gran cantidad de expresar de otra forma sino es con vectores, es decir, gran cantidad de magnitudes del mundo son vectoriales, y como ya lo hemos dicho antes los magnitudes del mundo son vectoriales, y como ya lo hemos dicho antes los vectores son definitivamente necesarios para expresar matemáticamente la vectores son definitivamente necesarios para expresar matemáticamente la realidad.realidad.

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Ejercicios de Vectores Aplicado a Circuitos Eléctricos.

Se dispone de una carga eléctrica de 5*10^-4 coul. ¿ calcular el modulo de la intensidad del campo eléctrico a 15 cm de ella y hacer un diagrama que identifique el sentido de la intensidad del campo.

Nota : Se tiene que tener presente que es A el punto el cual esta a 15 cm de la carga…!

Datos: FormulaE=? E= k* q/d^2

Q= 5*10^-4 coul. +q A E

D = 15*10^-2 mK =9*10^9 new. m^2 15cm coul^2

++

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Continuación del ejercicio de Vectores en Circuitos Eléctricos.Continuación del ejercicio de Vectores en Circuitos Eléctricos.

• EE= = 9*10^9 9*10^9 new. m^2 new. m^2 * * 5*10^-4 coul5*10^-4 coul coul^2 (15*10^-2)^2coul^2 (15*10^-2)^2

EE= 9*10^9 = 9*10^9 new. m^2 new. m^2 * * 5*10^-4 coul5*10^-4 coul coul^2 0.15m^2coul^2 0.15m^2 EE= 3,0* 10 ^7 = 3,0* 10 ^7 newnew coulcoul

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Transformaciones LinealesTransformaciones Lineales..Definición:Definición: Es una aplicación lineal llamada también ( función lineal u operador Es una aplicación lineal llamada también ( función lineal u operador

lineal). El cual es aplicable entre dos espacios vectoriales, donde se lineal). El cual es aplicable entre dos espacios vectoriales, donde se emplean suma de vectores y producto escalar. O se define como una emplean suma de vectores y producto escalar. O se define como una función que se representa en el plano cartesiano como una línea recta.función que se representa en el plano cartesiano como una línea recta.

Propiedades de las Transformaciones Lineales.Propiedades de las Transformaciones Lineales.

Sean Sean PP y y Q Q espacios vectoriales sobre espacios vectoriales sobre K K (donde (donde K K representa el cuerpo) se representa el cuerpo) se satisface que: Si T: P Q es lineal, se define el núcleo y la satisface que: Si T: P Q es lineal, se define el núcleo y la imagenimagen de de TT de la siguiente manera de la siguiente manera: : el núcleo de una transformación lineal está el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen

por imagen al vector nulo del codominiopor imagen al vector nulo del codominio..Como también además hay q tener en cuenta que el núcleo de toda Como también además hay q tener en cuenta que el núcleo de toda

transformación lineal es un subespacio del dominiotransformación lineal es un subespacio del dominio::1- 0P pertenece a Ker (T) dado que T(0P)= 0Q1- 0P pertenece a Ker (T) dado que T(0P)= 0Q2-Dados x,y pertenece a Ker (T): T ( x+y)= T (x))+ T (Y)= 0Q + 0Q= 0Q=> x+y pertenece a Ker (T)2-Dados x,y pertenece a Ker (T): T ( x+y)= T (x))+ T (Y)= 0Q + 0Q= 0Q=> x+y pertenece a Ker (T)3- dados que x pertenece a Ker (T)^ K pertenece a 3- dados que x pertenece a Ker (T)^ K pertenece a R: R: T (Kx)= KT (X)^ T (Kx)= K0Q= 0Q => Kx T (Kx)= KT (X)^ T (Kx)= K0Q= 0Q => Kx

pertenece a Ker (T).pertenece a Ker (T).

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Ejercicio de Transformaciones Lineales.Ejercicio de Transformaciones Lineales.Hallar el conjunto de las preimágenes del vector nulo para la transformación Hallar el conjunto de las preimágenes del vector nulo para la transformación

lineallinealT^3 R^2T^3 R^2(X, Y, Z) > (2x+3y+z, x-3y-z)(X, Y, Z) > (2x+3y+z, x-3y-z)Para hallas su solución es necesario determinar los valores de (x, y, z) R^3 tales Para hallas su solución es necesario determinar los valores de (x, y, z) R^3 tales

que: T (x, y, z)= (0,0)que: T (x, y, z)= (0,0)Entonces nos queda que evaluando T seria: Entonces nos queda que evaluando T seria: ( 2x+3y+z, x-3y-z)=(0,0) es decir que: ( 2x+3y+z, x-3y-z)=(0,0) es decir que: 2x+3y+z=0, x-3y-z=0 y utilizando la matriz asociada al sistema, obtenemos 2 2x+3y+z=0, x-3y-z=0 y utilizando la matriz asociada al sistema, obtenemos 2

3 1 1 0 03 1 1 0 01 -3 -11 -3 -1 0 1 1/3 0 1 1/3

Quedando queQuedando que: x=0 y +1/3z=0: x=0 y +1/3z=0Con lo CualCon lo Cual: x; y; z) = (0;-(1/3)z; z) lo que es igual a: z(0;-(1/3);1) y se : x; y; z) = (0;-(1/3)z; z) lo que es igual a: z(0;-(1/3);1) y se

representaría de la siguiente forma: (0, -1/3, 1)representaría de la siguiente forma: (0, -1/3, 1)

Nota:Nota: “cuando resolvemos un sistema de ecuación equivale encontramos las “cuando resolvemos un sistema de ecuación equivale encontramos las preimágenes de un vector para una transformación lineal dada”.preimágenes de un vector para una transformación lineal dada”.

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Aplicación de las Transformaciones Lineales Aplicación de las Transformaciones Lineales en Espacios vectoriales.en Espacios vectoriales.

De acuerdo a investigaciones realizadas las Transformaciones lineales De acuerdo a investigaciones realizadas las Transformaciones lineales aparecen frecuentemente en el álgebra lineal y otras ramas de la aparecen frecuentemente en el álgebra lineal y otras ramas de la matemática. Tales funciones cumplen ciertas propiedades y de ellas se matemática. Tales funciones cumplen ciertas propiedades y de ellas se obtienen numerosos resultados, tanto en las matemáticas como en otras obtienen numerosos resultados, tanto en las matemáticas como en otras áreas del saber. Por ejemplo en geometría se usan para definir áreas del saber. Por ejemplo en geometría se usan para definir homotecias, en finanzas para convertir un conjunto de activos a otro, en homotecias, en finanzas para convertir un conjunto de activos a otro, en dibujos o gráficas, para cambiar el punto de vista aplicando una rotación o dibujos o gráficas, para cambiar el punto de vista aplicando una rotación o una proyección.una proyección.

Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades de un espacio n- dimencional, debe tomarse en cuenta que propiedades de un espacio n- dimencional, debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la se puede usar cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espacio vectorial. cumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espacio vectorial.

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Ejercicios de Método Jacobi.Ejercicios de Método Jacobi.

Partiendo de (x = 1, y = 2) aplique dos iteraciones del método de Jacobi para resolver el sistema: 5 x + 2 y = 1

x − 4 y = 0Solución: Debemos primeramente despejar de la ecuación la incógnita

correspondiente. x = 0.20 + 0.00 x − 0.40 y y = 0.00 + 0.25 x + 0.00 y

Escrito de manera vectorial quedaría: x = 0.20 + 0.00 -0.40 x y 0.00 0.25 0.00 y

Aplicamos la primera iteración sabiendo que x0= 1.00 y y0= 2.00X1= 0.20 + 0.00(1.00) – 0.40 (2.00)= -0.60Y1= 0.00 + 0.25(1.00) + 0.00 (2.00)= 0.25Aplicamos la segunda iteración sabiendo que x1= -0.60 y y1= 0.25X2= 0.20 + 0.00 (-0.60) -0.40 (0.25)= 0.10Y2= 0.00 + 0.25 (-0.60) +0.00 (0.25)= -0.15

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Continuación del ejercicio JacobiContinuación del ejercicio Jacobi..

Aplicamos la siguiente iteración sabiendo queAplicamos la siguiente iteración sabiendo que x2= 0.10 y y2= -0.15x2= 0.10 y y2= -0.15X3= 0.20 + 0.00 (0.10) – 0.40 (-0.15)= 0.26X3= 0.20 + 0.00 (0.10) – 0.40 (-0.15)= 0.26

Y3= 0.00 + 0.25 (0.10) + 0.00 (-0.15)= 0.025Y3= 0.00 + 0.25 (0.10) + 0.00 (-0.15)= 0.025Aplicamos la siguiente iteración sabiendo queAplicamos la siguiente iteración sabiendo que x3= 0.26 y y3= 0.025x3= 0.26 y y3= 0.025

X4= 0.20 + 0.00 (0.26) – 0.40 (0.025)= 0.190X4= 0.20 + 0.00 (0.26) – 0.40 (0.025)= 0.190Y4= 0.00 + 0.25 (0.26) + 0.00 (0.025)= 0.065Y4= 0.00 + 0.25 (0.26) + 0.00 (0.025)= 0.065

Aplicamos la siguiente iteración sabiendo queAplicamos la siguiente iteración sabiendo que x4= 0.190 y y4= 0.065x4= 0.190 y y4= 0.065X5= 0.20 + 0.00 (0.19) – 0.40 (0.065)= 0.174X5= 0.20 + 0.00 (0.19) – 0.40 (0.065)= 0.174

Y6= 0.00 + 0.25 (0.19) + 0.00 (0.065)= 0.0475Y6= 0.00 + 0.25 (0.19) + 0.00 (0.065)= 0.0475Aplicamos la siguiente iteración sabiendo queAplicamos la siguiente iteración sabiendo que x5= 0.174 y y5= 0.0475x5= 0.174 y y5= 0.0475

X6= 0.20 + 0.00 (0.174) – 0.40 (0.0475)= 0.181X6= 0.20 + 0.00 (0.174) – 0.40 (0.0475)= 0.181Y6= 0.00 + 0.25 (0.174) + 0.00 ( 0.0475)= 0.0435Y6= 0.00 + 0.25 (0.174) + 0.00 ( 0.0475)= 0.0435

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Ejercicio del Método Gauss-SeidelEjercicio del Método Gauss-Seidel

Lo haremos muy sencillo si partimos de (x=1, y=2) aplicamos dos iteraciones del Lo haremos muy sencillo si partimos de (x=1, y=2) aplicamos dos iteraciones del Método Seidel para resolver el siguiente sistema de ecuaciones:Método Seidel para resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

5x + 2y= 15x + 2y= 1 x - 4y= 0 x - 4y= 0 Su solución seria la siguienteSu solución seria la siguiente::X= 0.20 + 0.00x – 0.40yX= 0.20 + 0.00x – 0.40yY= 0.00 + 0.25x + 0.00yY= 0.00 + 0.25x + 0.00yAplicamos la primera iteración sabiendo queAplicamos la primera iteración sabiendo que x0= 1.00 y y0= 2.00x0= 1.00 y y0= 2.00X1= 0.20 + 0.00 (1.00) – 0.40 (2.00)= -0.600X1= 0.20 + 0.00 (1.00) – 0.40 (2.00)= -0.600Y1=Y1= 0.00 + 0.25 (1.00) + 0.00 (2.00)= -0.150.00 + 0.25 (1.00) + 0.00 (2.00)= -0.15Aplicamos la segunda iteración sabiendo queAplicamos la segunda iteración sabiendo que x1= -0.600 y y1= -0.15 x1= -0.600 y y1= -0.15X2= 0.20 + 0.00 (-0.600) – 0.40 (-0.15)= 0.26X2= 0.20 + 0.00 (-0.600) – 0.40 (-0.15)= 0.26Y2= 0.00 + 0.25 (-0.600) + 0.00 (-0.15)= 0.065Y2= 0.00 + 0.25 (-0.600) + 0.00 (-0.15)= 0.065Aplicamos la tercera iteración sabiendo queAplicamos la tercera iteración sabiendo que x2= 0.26 y y2=0.065x2= 0.26 y y2=0.065X3= 0.20 + 0.00 (0.26) – 0.40 (0.065)= 0.174X3= 0.20 + 0.00 (0.26) – 0.40 (0.065)= 0.174X4= 0.00 + 0.25 (0.26) + 0.00 (0.065)= 0.0435X4= 0.00 + 0.25 (0.26) + 0.00 (0.065)= 0.0435

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Bibliografía.

www.wikipedia.com

www.rincondelvago.com

García J: Algebra Lineal y Geométrica. Editorial Marfil, 1989

Ejercicios de algebra Lineal, Serrano, ML., Fernández, Z., Arias de Velasco, L., Los autores, 1999

Algebra Lineal y sus Aplicaciones, Lay, D.C.., Addison Wesley, 1999