transformación lineal.

Por: Victor Hugo R.A.

DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL Y SUS PROPIEDADES.

Las transformaciones lineales desempeñan un papel muy importante en matemáticas, física, ingeniería, procesamiento de imágenes, graficas en computadora y muchas otras áreas de la ciencia y la vida diaria .Las transformaciones lineales son mapeos de importancia fundamental en el álgebra lineal y en sus aplicaciones. Son transformaciones entre espacios vectoriales que conservan la suma vectorial y la multiplicación por escalar. SeanV y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales.

Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función T: V → W* tal que para todos los vectoresu y v de V y cualquier escalar c:

a)T(u + v) = T(u) + T(v)

b) T(c u) =c T (u)

*Escribimos T: V →W para indicar que T transforma V en W

Ejemplo aplicación: Transformación de un vector de producción en un vector de materia prima.

Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere tres tipos de materiales. Si identifican los cuatro productos como p1 p2 p3 y p4 y a los materiales por R1 R2 Y R3. La tabla siguiente muestra el número de unidades de cada mataría prima que se requieren para fabricar 1 unidad de cada producto:

Surge una pregunta natural: si se produce cierto número de los cuatro productos, ¿Cuántas unidades de cada material se necesitan? Sea p1 p2 p3 y p4 el número de artículos fabricados de los cuatro productos y sean r1 r2 Y r3 el número de unidades necesario de los tres materiales.

Entonces se define:

Es fácil verificar que T es lineal. En términos geométricos, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje y.

Converso:

Toda transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita

se puede representar por una matriz.