definicion transformacion lineal

Definicion Transformacion Lineal

Definicion Transformacion Lineal

INTRODUCCIN

Para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales emplearemos dos herramientas matemticas que facilitar los clculos: las matrices y los determinantes.

Las matrices y los determinantes nos permiten expresar de una manera clara, concisa y elegante la condicin de compatibilidad de los sistemas de ecuaciones lineales (s.e.l.) - Teorema de Rouch-Frbenius -.

Cuando estudiamos un s.e.l. debemos preguntarnos: Tiene soluciones el sistema?, es decir, es compatible? Si tiene soluciones cuntas y cuales son? Visto esto, estudiar un sistema es:

DISCUTIR = Averiguar si un s.e.l. tiene solucin, y si tiene, ver si es nica o no.

RESOLVER = Hallar la solucin si es nica, o las soluciones si son infinitas. ESTUDIAR = DISCUTIR + RESOLVER

5.1 DEFINICIN TRANSFORMACIN LINEAL Y SUS PROPIEDADES

Se denomina transformacin lineal, funcin lineal o aplicacin lineal a toda aplicacin cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K y T una funcin de V en W . T es una transformacin lineal, si para cada par de vectores de u y v pertenecientes a V y para cada escalar k perteneciente a K, se satisface que:

1. T(u + v) = T(u) + T(v) 2. T(ku) = kT(u) donde k es un escalar. Transformacin lineal nula

Transformacin lineal identidad

Homotecias

Con

Si |k| 1 se denominan dilataciones Si |k| < 1 se denominan contraccionees

5.2 PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES 1.

Si T es una transformacin lineal , entonces

2. T(o)=0 Demostracin: Hiptesis: T es una transformacin lineal

Esto es una combinacin lineal!!

Extendiendo para n vectores: principio de superposicin (e.g. Si una seal de entrada es una combinacin lineal de sus seales de entradas, la respuesta del sistema es la misma combinacin lineal de Respuestas a las seales individuales)

**************************************************************************************/*3 Transfomaciones lineales

3.2 Transformaciones LinealesEn este captulo denotan espacios vectoriales sobre

Definition 91Sea una funcin. Se dice que es una transformacin lineal si y slo si satisface lo siguiente:

i) respeta la suma, es decir,

ii) respeta la multiplicacin por escalar

El conjunto de todas las transformaciones lineales de en se denota por es decir,

1'7Demostrar que la siguiente funcin

es una transformacin lineal.

Solucin: Veamos primero que respeta la suma. 1Sean cualesquiera en

T((x;y)+(x';y')) = T((x+x';y+y')) = (y+y';x+x') = (y;x)+(y';x') = T((x;y))+T((x';y'))

Ahora la multiplicacin por escalar. Sea cualesquiera en y en

T(a(x;y)) = T((ax;ay)) = (ay;ax) = a(y;x) = aT((x;y))

con lo cual hemos demostrado que es una transformacin lineal.

Ejemplo 1'8Demostrar que la siguiente funcin

es una transformacin lineal. Solucin: Veamos primero que respeta la suma. Sean cualesquiera en T((x;y)+(x';y')) = T((x+x';y+y')) = (2(x+x')+3(y+y');(x+x')-3(y+y')) = (2x+2x'+3y+3y';x+x'-3y-3y') = (2x+3y;x-3y')+(2x'+3y';x'-3y') = T((x;y))+T((x';y'))

Ahora la multiplicacin por escalar. Sea cualesquiera en y en T(a(x;y)) = T((ax;ay)) = (2ax+3ay;ax-3ay) = (a(2x+3y);a(x-3y)) = a(2x+3y;x-3y) = aT((x;y))

con lo cual hemos demostrado que es una transformacin lineal. Ejemplo 109Demostrar que la siguiente funcin

es una transformacin lineal. Solucin: Veamos primero que respeta la suma. Sean

INCLUDEPICTURE "http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap3/imagenes/swp00026.gif" \* MERGEFORMATINET cualesquiera en

T((ax2+bx+c)+(a'x2+b'x+c')) = T((a+a')x2+(b+b')x+(c+c')) = ((a+a')-(b+b');2(c+c')+(b+b')) = (a-b+a'-b';2c+b+2c'+b') = (a-b;2c+b)+(a'-b';2c'+b') = T(ax2+bx+c)+T(a'x2+b'x+c')


T(x-ax2+bx+cx) = T(xax2+xbx+xc) = (xa-xb;2xc+xb) = (x(a-b);x(2c+b)) = x(a-b;2c+b) = aT(ax2+bx+c)

con lo cual hemos demostrado que es una transformacin lineal.1'7Demostrar que la siguiente funcin

es una transformacin lineal.

Solucin: Veamos primero que respeta la suma. 1Sean cualesquiera en

T((x;y)+(x';y')) = T((x+x';y+y')) = (y+y';x+x') = (y;x)+(y';x') = T((x;y))+T((x';y'))


T(a(x;y)) = T((ax;ay)) = (ay;ax) = a(y;x) = aT((x;y))


Ejemplo 1'8Demostrar que la siguiente funcin

es una transformacin lineal. Solucin: Veamos primero que respeta la suma. Sean cualesquiera en T((x;y)+(x';y')) = T((x+x';y+y')) = (2(x+x')+3(y+y');(x+x')-3(y+y')) = (2x+2x'+3y+3y';x+x'-3y-3y') = (2x+3y;x-3y')+(2x'+3y';x'-3y') = T((x;y))+T((x';y'))

Ahora la multiplicacin por escalar. Sea cualesquiera en y en T(a(x;y)) = T((ax;ay)) = (2ax+3ay;ax-3ay) = (a(2x+3y);a(x-3y)) = a(2x+3y;x-3y) = aT((x;y))

con lo cual hemos demostrado que es una transformacin lineal. Ejemplo 109Demostrar que la siguiente funcin

es una transformacin lineal. Solucin: Veamos primero que respeta la suma. Sean

INCLUDEPICTURE "http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap3/imagenes/swp00026.gif" \* MERGEFORMATINET cualesquiera en

T((ax2+bx+c)+(a'x2+b'x+c')) = T((a+a')x2+(b+b')x+(c+c')) = ((a+a')-(b+b');2(c+c')+(b+b')) = (a-b+a'-b';2c+b+2c'+b') = (a-b;2c+b)+(a'-b';2c'+b') = T(ax2+bx+c)+T(a'x2+b'x+c')


T(x-ax2+bx+cx) = T(xax2+xbx+xc) = (xa-xb;2xc+xb) = (x(a-b);x(2c+b)) = x(a-b;2c+b) = aT(ax2+bx+c)


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Sistemas de ecuaciones, espacios vectoriales, transformaciones lineales y matrices

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ALGEBRA LINEAL I

UNIDAD I

MATRICES

-Sistemas de 3 ecuaciones con tres incgnitas.

EJERCICIO 1

3x +y + z = 6

x - y + 2z = 4

2x + y - z = 1

s = 3 1 1

1 -1 2 = (3+1+4+2-6+1)

2 1 -1

3 1 1

1 -1 2

X 6 1 1

4 -1 2

1 1 -1 = ( 6+4+2+4-12+1)

6 6 1

4 4 2

Y 3 6 1

1 4 2

2 1 -1 = (-12+1+24+6-6-8)

2 6 1

z 3 1 6

1 -1 4

2 1 1 =(-3+6+8-1-12+12)

3 1 6

1 -1 4

Sustituyendo los valores:

x = x = (5) = 1

s (5)

y = y = (5)

s (5)

z = z = (10)

s (5)

EJERCICIO 2

2x + y - z = 2

x +y +4z = 11

-5x + y + z = -1

s 2 1 -1

1 1 4 =(2-1-20-1-8-5)

-5 1 1

2 1 -1

1 1 4

x 2 1 -1

11 1 4

-1 1 4 =(2-11-4-11-8-1)

2 1 -1

11 1 4

y 2 2 -1

1 11 4

-5 -1 1 = (22+1-40-2+8-55)

2 2 -1

1 11 4

z 2 1 2

1 1 11

-5 1 -1 =(-2+2-55+1-22+10)

2 1 2

1 1 11

Sustituyendo valores:

x = x = (-33)

s (-33)

y (-66)

y= =

s (-33)

z (-66)

z= =

s (-33)

EJERCICIO 3

2x + 2y - z = 4

5x - 3y - 8z = -20

-x + 5y + 3z = 14

s 2 2 -1

5 -3 -8 = (-18-25+16-30+80+3)

-1 5 3

2 2 -1

5 -3 -8

x 4 2 -1

-20-3-8 = (-36+100-64+120+160-42)

14 5 3

4 2 -1

-20-3-8

y 2 4 -1

5-20-8 = (-120-70+32-60+224+20)

-1 14 3

2 4 -1

5-20-8

z 2 2 4

5-20-8 = ( -84+100+40-140+200-12)

-1 14 3

2 4 -1

5-20-8


X = x (78)

=

s (26)

y = y (26)

=

s (26)

z = z (104)

=

s (26)

EJERCICIO 4

-4x + 3y - z = 9

3x - y + 3z = -2

x + y + 2z = 3

s -4 3-1

3 -1 3 = (8-3+9-18+12-1)

1 1 2

-4 3-1

3 -1 3

X 9 3 -1

-2 -1 3 =( -18+2+27+12-27-3)

3 1 2

9 3 -1

-2 -1 3

Y 4 9 -1

3 -2 3 =( -16-9+27+54-36-2)

1 3 2

4 9 -1

3 -2 3

z -4 3 9

3-1 -2 = (12+27-6-27-8+9)

1 1 3

-4 3 9

3 -1 -2


x (-7)

x = =

s (7)

y (14)

y = =

s (7)

z = z (7)

=

s (7)

EJERCICIO 5

4x + 3 y + z = -1

7x - 2y + 7 z = 20

2x + y + 4z = 1

s 4 3 1

7 -2 7 = (-32+7+42-84-28+4)

2 1 4

4 3 1

7 -2 7

x -1 3 1

7 -2 7 = ( 8+20+21-240+7+2)

1 1 4

4 3 1

7 -2 7

Y 4 -1 1

7 20 7 = ( 320+7-14+28-28-40)

2 1 4

4 -1 1

7 20 7

z 4 3 -1

7-2 20 = (-8-7+120-21-80-4)

2 1 1

4 3 -1

7-2 20


X = x (-182)

=

s (-91)

y (273)

y = =

s (-91)

z = z (0)

= (-91)

s

OPERACIONES MATRICES

Sumar las matrices A y B:

5 9 5 6 9 6 11 18

4 3 + 2 9 5 = 4 13 8

9 7 0 6 8 3 15 15

3A - B =

5 6 8 1 2 3 14 16 21

2 3 0 - 0 5 7 = 6 4 -7

1 2 6 3 6 5 0 0 13

Hacer la operacin de A*B:

1 -1 * 2 1 3 1 2 1

A = 1 2 1 -1 2 = 4 -1 7

UNIDAD II

METODO DE ELIMINACIN

Consiste en ir eliminando una de las tres variables en dos ecuaciones y luego de las otras dos ecuaciones de este modo despus se vuelve a eliminar otra variable de estas de las otra ecuaciones que se formaron con estas eliminaciones y as se llega al resultado de una de las variables, es por esto que se le llama METODOD DE ELININACIN.

EJERCICIO 1

2x - y + 3z = -4 (1)

3x - 2y + z = -2 (2)

-x -5y + 2z = 2 (3)

La (1) con la (3)

2x - 2y + 3z = -4 2x - y +3z = -2

(2)-x - 5y +2z = -2 + -2x - 10y -4z = -8

-11y - z = -8 (4)

La (2 ) con la (3)

3x - 2y +z = -2 3x - 2y + z

(3)-x - 5y + 2z = 2 + -3x - 30y + 6z = 6

-32y + 7z = 4 (5)

La (4) con la (5)

(7)11y - z = -8 -77y - 7z = -56

-32y + 7z = 4 + -32y + 7z = 4

-109y = -52

EJERCICIO 2

x + 2y + 2z = 6 (1)

2x + 2y + 2z = 6 (2)

3x + y + 4z = 10 (3)

La uno con la dos:

(-2)x + 2y + 2z = 6 -2x -4y - 4z = -18

2x + 2y + 2z = 6 2x + 2y +2z = 6

-2y - 2z = 6 (4)

La uno con la tres:

(-3)x + 2y + 2z = 6 -3x -6y -6z = -18

3x + y + 4z = 10 3x + y + 4z = 10

-5y -2z = -2 (5)

La cuatro con la cinco:

(-5)-2y -2z = 6 10y +10z = -30

(2)-5y -2z = -2 -10y - 4z = -4

6z = 34

z = 34/6

Sustituyendo z en la cuatro

-2y -2z = 6

-2y - 2(34/6) = 6

-2y -68/6 = 6

-2y = 6 + 68/6

y = (52/3) / (-2)

y = -26/3

Sustituyendo y & z en la uno

x + 2y + 2z = 6

x + 2(-26/3) + 2(34/6) = 6

x -52/3 + 68/6 = 6

x = 52/3 - 68/6 + 6

x = 12

EJERCICIO 3

-x + 2y = -10 (1)

2x - 2y = 32 (2)

La uno con la dos:

(2)-x + 2y = -10 -2x + 4y = -20

2x - 2y = 16 2x -2y =32

2y = 12

y = 12/2

y = 6

Sustituir y en la ecuacin uno

-x + 2y = -10

-x + 2(6) = -10

-x + 12 = -10

-x = -10 - 12

-x = -22

x = 22

EJERCICIO 4

x + 2y -4z = 6 (1)

-2x - 4y + 8z = 6 (2)

3x + 2y - 4z = 10 (3)

La uno con la dos:

(2)x + 4y - 8z = 4 2x +80y - 16z = 8

-2x - 4y + 8z = 8 -2x - 4y + 8z = -8

4y - 8z = 0 (4)

La uno con la tres:

(-3)x + 2y - 4z = 4 -3x -6y + 12z = -18

3x + 2y - 4z = 6 3x + 2y - 4z = 6

-4y +8z = -6 (5)

La cuatro con la cinco:

(-1)4y - 8 z = 0 -4y + 8z = 0

4y + 8z = -6 4y + 8z = -6

16z = -6

z = - 6/16

Sustituyendo z en la cuatro

4y -8z = 0

4y - 8(-3/8) = 0

4y + 3 = 0

4y = -3

y = -3/4

Sustituyendo y & z en la uno

x + 2y - 4z = 4

x + 2(-3/4) - 4(3/8) = 4

x - 6/4 - 12/8 = 4

x = 6/4 + 12/8 + 4

x = 7

EJERCICIO 5

x + y = 4 (1)

2x - 3y = 7 (2)

La uno con la dos:

(3)x + y = 4 3x + 3y = 12

2x - 3y = 7 2x - 3y = 7

5x = 19

x = 19/5

Sustituir x en la ecuacin uno:

x + y = 4

19/5 + y = 4

y = 4 - 19/5

y = 1/5

METODO DE ELIMINACIN DE GAUSS

Consiste en aplicar transformaciones elementales e ir logrando la eliminacin consecutiva de las incgnitas con el propsito de llegar a un sistema equivalente que tenga la forma escalonada.

EJERCICIO 1

2x + y + 3 z = 2

-x + 3y - z = 2

x + 2y + 3z = 1

2 1 3 2 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1

-1 3 -1 2 -1 3 -1 2 0 5 2 3 0 5 2 3

1 2 3 1 2 1 3 2 0 -3 -3 0 0 -1 -1 0

1 2 3 1

0 5 2 3

0 0 3 0 3z = 0

z = 0

5y +2z = 3

5y + 2(0)= 3

5y = 3

y= 3/5

x + 2y + 3z = 1

x + 2(3/5) + 3(0) = 1

x + 6/5 = 1

x = -6/5

EJERCICIO 2

3x - y +z = 5

2x + 2y + 3z =3

x + y + z = 1

3 -1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 3 3 3 -1 1 5 0 -4 -2 2

1 1 1 1 2 2 3 3 0 0 1 1

Z = 1

-4y - 2z = 2

-4y -2(1) = 2

-4y -2 = 2

-4y = 4

y = 4/-4

y = -1

x + y +z = 1

x + (-1) + (1) = 1

x -1 +1 = 1

x= 1+1-1

x = 2

EJERCICIO 3

4x + 3y + 2z = -9

-2x -2y - z = 5

x + 4y + 2z = -7

4 3 2 -9 1 4 2 -7 1 4 2 -7 1 4 2 -7

-2 -2 -1 5 -2-2-1 5 0 6 3 -9 0 6 3 -9

1 4 2 -7 4 3 2 -9 0-13 -6-37 0-1-6/13-37/13

1 4 2 -7

0 6 3 -9

0 042/13-339/13

42/13z = -339/13

z = (-339/13) / (42/13)

z = - 113/14

6y + 3z = -9

6y + 3(-113/14) = -9

6y - 339/14 = -9

6y = -9 + 339/14

6y = 213/14

y = 8213/14)/6

y = 71/28

x + 4y + 2z = -7

x + 4(71/18) + 2(-113/14) = -7

x + 284/18 - 226/14 = -7

x = -284/18 + 226/14 -7

x = -544/63

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES

Son una serie de transformaciones que no alteran la solucin del sistema ya que da como resultado un sistema equivalente que tendr la misma solucin que el sistema original. Las transformaciones elementales son las siguientes:

Intercambiar dos renglones entre s

Multiplicar una ecuacin por un nmero diferente de cero

Aplicar la transformacin anterior y sumar el resultado a otra ecuacin reemplazando dicha ecuacin por esta.

EJERCICIO 1

3x + 2y - z = 10 (R1)

2x + y + z = 0 (R2)

-x + 5y + 2z = 5 (R3)

-x + 5y + 2z = 5 -x + 5y + 2z = 5 -x + 5y + 2z = 5

2x + y + z = 0 0 + 11y + 5z = 0 0 + 11y + 5z = 0

3x + 2y - z = 10 0 + 17y + 5z = 10

6y + 0 = 10

6y = 10

y = 10/6 = 5/3

Sustituir y en:

11y + 5z = 0

11(5/3) + 5z = 0

55/3 + 5z = 0

5z = -55/3

z = (-55/3)/ 5

z = -40/3

Sustituir z & y en la siguiente ecuacin:

-x + 5y + 2z = 5

-x + 5(5/3) + 2(-40/3) = 5

-x + 25/3 - 83/3 = 5

-x = -25/3 + 83/3 + 5

-x = 73/3

x = -73/3

EJERCICIO 2

x + 2y + 3z = 5 (R1)

4x + y - z = -6 (R2)

2x - y + 3z = 4 (R3)

X + 2y + 3z = 5 x + 2y + 3z = 5

0 - 7y - 13z = -26 0 - 7y - 13z = -26

0 - 5y - 3z = -6 0 0 + 44z = -6

z = -3/44

Sustituir z en la siguiente ecuacin:

-7y - 13z = -26

-7y - 13(-3/22) = -26

-7y + 39/22 = -26

-7y = -26 - 39/22

-7y = -675/22

y = (-675/22) / 7

y = 675/154

Sustituir z & y en la siguiente ecuacin:

x + 2y + 3z = 5

x + 2(675/154) + 3(-3/22) = 5

x + 750/154 - 9/22 = 5

x = -750/154 + 9/22 + 5

x = 83/154

EJERCICIO 3

x + y - z = 0

4x - y + 5z = 0

6x + y + 3x = 0

X + y - z = 0 x + y - z = 0

0 - 5y + 9z = 0 0x - 5y + 9z = 0

0 - 5y + 9z = 0 0x + y + 0z

z = 0

Sustituir z en la siguiente ecuacin:

5y + 9z = 0

-5y + 9(0) = 0

-5y + 0 = 0

y = 0/-55

y = 0

Sustituir y & z en la siguiente ecuacin:

x + y -z = 0

x + 0 - 0 = 0

x = 0

METODO DE ELIMINACIN DE GAUSS JORDAN

Consiste en convertir en unos (1) los elementos de la diagonal principal de la matriz de coeficientes y en ceros (0) todos los dems elementos.

EJERCICIO 1

x1 + 2x2 + x3 = 3

4x1 + 3x2 +x3 = -1

-2x1 - 4x2 - x3 = 1

1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 1 3 4 A 1 1 1 -1 0 5 -3 -13 0 5 -3 -13 0 1 -3/5 3/5

-2 4 -1 1 0 8 1 7 0 0 29 139 0 0 1 139/29

1 2 0 -52/29 1 0 0 -68/29

0 1 0 8/29 0 1 0 8/29

0 0 1 139/29 0 0 1 139/29

EJERCICIO 2

X1 + 2X2 +X 3 = 8

+ X2 - X3 = -1

X1 + 3X2 - X3 = 4

1 2 1 8 1 2 1 8 1 2 1 8 1 2 1 8

0 1 -1 -1 0 1 -1 -1 0 1 -1 -1 0 1 -1 -1

1 3 -1 4 0 -1 -2 -4 0 0 -3 -5 0 0 -1 -3/5

1 2 0 37/5 1 2 0 37/5 1 0 0 41/5

0 1 -1 -1 0 1 0 -2/5 0 1 0 -2/5

0 0 1 3/5 0 0 1 3/5 0 0 1 3/5

EJERCICIO 3

2X1 + 4X2 + 6X3 = 18

4X1 + 5X2 + 6X3 = 24

3X1 + X2 - 2X3 = 4

2 4 6 18 1 2 3 9 1 2 3 9 1 2 3 9

4 5 6 24 4 5 6 24 0 -3 -6 -12 0 1 2 4

3 1 -2 4 3 1 -2 4 0 -5 -11 -23 0 -5 -11 -23

1 0 -1 1 1 0 -1 1 1 0 0 4

0 1 2 4 0 1 2 4 0 1 0 -2

0 0 -1 -3 0 0 1 3 0 0 1 3

SISTEMAS DEPENDIENTES Y SISTEMAS INCONSISTENTES

Un sistema de ecuaciones siempre ser dependiente si el nmero de ecuaciones es menor al nmero de incgnitas.

En los sistemas inconsistentes es cuando simple y sencillamente no hay solucin por que se da una valor que no puede ser.

Un ejemplo puede ser cuando sucede los siguiente:

Por ejemplo sistemas dependientes:

3X1 + 5X2 - X3 = 7

2X1 - 4X2 + 3X3 = 14

Otro ejemplo:

2X1 + 2X2 + 6X3 = 16

3X1 -3X2 + 3X3 = 12

X1 - X2 + X3 = 4

1 -1 1 4 1 -1 1 4 0 -1 1 4

2 2 6 16 0 4 4 8 0 4 4 8

3 -3 3 12 0 0 0 0

4x2 + 4 x3 = 8

x3 = (8 - 4x2) / (4)

x3 = 2 -x2

x1 - x2 + x3 4

x1 -x2 +(2 - x2)

x1 - x2 + 2 - x2 = 4

x1 = 4 + x2 - 2 + x2

x1 = 2 + 2x2

Solucin:

Sol = {(2+2, 2-a,)/ a E R }

Ejemplos de sistemas inconsistentes:

(0)X1 + (0)X2 - (0)X3 = 4

Esto no puede ser.

4 6 1 2 3 1 2 3

4 5 6 0 -3 -6 0 -3 -6

2 7 12 0 3 6 0 0 0

0 2 3 1 -2 5 1 -2 5

2 -6 7 2 -6 7 0 0 -3

1 -2 5 0 2 3 0 2 3

1 -2 5 1 0 8

0 2 3 0 1 3/2

8 0 -3 0 0 0

UNIDAD III DETERMINANTES

DEFINICION 3.1

Sea A una matriz de orden 2. El determinante de a representado como A = a11,a22- a21, a22

a11 a22 a13

A= a21 a22 a23

EJEMPLOS

2

A= 5 -3 = 6 ( -3) -(2) (5) = -18 -10 =28

7 5

A= 2 9 = 7 ( 9) -(5) (2) = 63-10=53

8 -7

A= -5 4 = 8 (4) -(-7 (-5) =32-35=-3

-7 -2

A= 4 3 = -7( 3) -(-2)(4) = -21+8=-13

-2 -1

A= -3 6 = (-2)(6) -(-1)(-3)= -12 -3 =-15

DEFINICION 3.2

Sea A una matriz de orden3. El determinante de A se calcula mediante la siguiente expresin:

a11 a22 a13 a22 a21 a31 a23 a21 a22

A= a21 a22 a23 a11 a32 a33 - a12 a31 a33 + a13 a31 a32

a31 a32 a33

EJEMPLOS

3 5 2

A = 1 -2 -1 3 (4+3) - 5 (-2) +2(3) =21 +10+6=37

0 3 -2

2 1 3

A = 5 -1 0 2(-1) - 1 (5) +3(-10+3)= -2-5-21=-28

3 -2 1

3 7 2

A = 4 5 -1 3 (-15+9) -7(-12+3)+2(36-15)= -18 + 63 +42= 87

3 9 -3

1 -2 3

A = 0 1 2 1 (2+2) - (-2) (-2) +3 (-1) = 4-4-3= -3

1 -1 2

4 -3 2

A = -2 -5 1 4 (5-1) - 3 (2+1)+ 2 (-2-5)= 16 + 9 - 14 = 11

-1 1 -1

DEFINICION 3.3

Sea A una matriz de orden n, y sea Mij la matriz de orden n-1 que se obtiene de A al eliminar el rengln i y la columna j.dicha matriz se conose como el menor ij de A

3 5 2 4 3

Ej Mij = 4 2 3 = M12 -1 4

-1 2 4

5 2

M32

2 3

DEFINICION 3.4

Sea A una matriz de orden n, el cofactor ijA. Representado como Aij esta definido como (-1)i+j Mij

DEFINICION 3.5

Sea A una matriz de orden n, el determinante de dicha matriz esta definido como

A =E K=1 n =

A = E aik Aik

EJEMPLOS

EJERCICIO 1

Se escoge el rengln 4

1 3 5 -1

2 -1 3 2 3 5 -1

5 2 -1 1 A41 (-1) -1 3 2 -3 (3+2) - 5 (-1-4)-1(1-6)=15+25-5=35

2 0 3 0 2 -1 1

1 3 -1

A42 (-1) 2 -1 2 1 (-1-4)-3(2-10)+1(4+5)=-5+24+9=28

5 2 1

A = 2(-35)+3(28)= -70 +84= 14

EJERCICIO 2

Se escoge el rengln 1

3 2 -5 4

7 3 -2 5 3 -2 5

4 -2 1 3 A11(-1) -2 1 3 3 (3+15) + 2 (-6-12)+5(10-4) = 54-36+30=48

2 4 -5 3 4 -5 3

7 -2 5

A12 (-1) 4 1 3 7 (3+15)+2(12-6)+5(-20-2)=126+12-110=(-1)(28) = -28

2 -5 3

7 3 5

A13 (-1) 4 -2 3 7 (-6-12)-3(12-6)+5(16+4) =-126-18+100 = -44

2 4 3

7 3 -2

A142 (-1) 4 -2 1 7 (10-4)-3(-20-2)+2(16+4)= 42+66+40= (-1)(148) =-148

2 4 -5

A = 3(48)+2(-28)-5(-44) +4(-148) = 144-56+220 -592 = -284

EJERCICIO 3 Se escoge el rengln 3

5 2 3 -1

7 2 9 3 2 3 -1

-1 0 1 2 A31(-1) 2 9 3 2 (27-6)-3(6+3)-1(6+3) = 42-27-9=6

1 -1 2 3 -1 2 3

5 2 -1

A33 (-1) 7 2 3 5(6+3)-2(21-3)-1(-7-2) = 45-36+9 = 18

1 -1 3

5 2 3

A34 (-1) 7 2 9 5 (4+9)-(2)(14-9)+2(-7-2) = 65-10-27 = (-1)28 = -28

1 -1 2

A = (-1)(6)+(1)(18)+2(-28)=-6+18-56=54


5 2 1 3

1 0 1 0 2 1 3

7 8 3 2 A21(-1) 8 3 2 2(-4)-1(-4)+3(8-6)=-8+4+6=2(-1)=-2

5 2 1 0 2 1 0

5 2 3

A23 (-1) 7 8 2 5 (-4)-2(-10)+3(14-40)=-20+20+162=162(-1)=-162

5 2 0

A = 1(-2)+1(162)=160


2 3 -1 0

4 3 -2 4 3 -2 4

3 1 0 -2 A11(-1) 1 0 -2 3 (10)+2(2+6)+4(-5)=30+16-20 = 26

1 3 -5 2 3 -5 2

4 -2 4

A12 (-1) 3 0 2 4 (10)+2(6-2)-4(-15) = 14+8+60 = 108(-1) = -108

1 -5 2

4 3 4

A13 (-1) 3 1 -2 4 (2+6)-3(6+2)+4(9-1) = 32-24+32 = 40

1 3 2

A = 2(26)+3(-108)-1(40) = 54-324-40=310

DEFINICION DE MATRIZ ADJUNTA

Sea A una matriz de orden n y sea B la matriz de sus cofactores.

La matriz adjunta de A sera igual a la matriz transpuesta de B

EJERCICIOS

EJERRCICIO 1

3 2 1

5 2 3 3(4-9)-2(10-27)+1(15-18) = -15+34-3 = 16

9 3 2

2 3

A11 (-1) 4-9=-5

2 3

5 3

A12 (-1) 10-27=17

9 2

5 2

A13 (-1) 15-18= -3

9 3

Matriz Cofactores

2 1 -5 17 -3

A21(-1) 4-3= 1 1 -3 9

3 2 4 -4 -4

Matriz adjunta

3 1

A22(-1) 6-9=-3

9 2 -5/16 1/16 4/16

A 17/16 -3/16 -4/16

-3/16 9/16 -4/16

3 2

A23(-1) 9-18=9

9 3

2 1

A31(-1) 6-2=-4

2 3

3 1

A32(-1) 9-5=--4

5 3

3 2

A33(-1) 6-10=-4

5 2

EJERRCICIO 2

2 -1 -3

5 2 -1 2(-6+2)+(1)(-15+3)-3(-10-6)=-8-12+48=28

3 -2 -3

2 -1

A11 (-1) -6-2=-8

-2 -3

5 -1

A12 (-1) -15+3=12

3 -3

5 2

A13 (-1) -10-6= -16

4 -2

Matriz Cofactores

1 -3 -8 12 -16

A21(-1) -3+6=-3 -3 3 1

-2 -3 7 -13 9

Matriz adjunta

2 -3

A22(-1) -6+9=3

3 -3 -8/28 -3/28 7/28

A 12/28 3/28 -13/28

-16/28 1/28 9/28

2 -1

A23(-1) -4+3=1

3 -2

-1 -3

A31(-1) 1+6=7

2 -1

2 -3

A32(-1) -2+15=-13

5 -1

2 -1

A33(-1) 4+5=9

5 2

EJERRCICIO 3

1 2 3

-1 -2 -1 1(-6+1)-2(-3)+3(1) = -5+6+3 = 4

0 -1 3

-2 -1

A11 (-1) -6-1=-7

-1 3

-1 -1

A12 (-1) -3=3

0 3

-1 -2

A13 (-1) 1=1

0 -1

Matriz Cofactores

2 3 -7 3 1

A21(-1) 6+3= -9 -9 -3 1

-1 3 4 -2 0

Matriz adjunta

1 3

A22(-1) 3=3

0 3 -7/14 -9/14 4/14

A 3/14 3/14 -2/14

1/14 19/14 0/14

1 2

A23(-1) -1=1

0 -1

2 3

A31(-1) -2+6=4

-2 -1

1 3

A32(-1) -1+3=-2

-1 -1

1 2

A33(-1) -2+1=0

-1 -2

EJERRCICIO 4

-1 3 0

-2 1 -2 (-1)(-1+2)-3(2+6)0-1-24=25

3 1 -1

1 -2

A11 (-1) -1+2=1

1 -1

-2 -2

A12 (-1) 2+6=-8

3 -1

-2 1

A13 (-1) -2-3=-5

3 1

Matriz Cofactores

3 0 1 8 -5

A21(-1) 3=-3 -3 -1 10

1 -1 -6 -2 5

Matriz adjunta

1 0

A22(-1) -1=-1

3 -1 1/25 -3/55 -6/25

A -8/25 -1/25 -2/25

-5/25 10/25 5/25

-1 3

A23(-1) -1-9=10

3 1

3 0

A31(-1) -6=-64

1 -2

-1 0

A32(-1) 2=-2

-2 -2

-1 3

A33(-1) -1+6=5

-2 1

EJERRCICIO 5

2 1 3

1 -2 0 2(-4)-(1)(2)+3(-1)=-8-2-3=-13

0 -1 2

-2 0

A11 (-1) -4=-4

-1 2

1 0

A12 (-1) 2=-2

0 2

1 -2

A13 (-1) -1=-1

0 -1

Matriz Cofactores

1 3 -4 -2 -1

A21(-1) 2+3=-5 -5 4 2

-1 2 6 3 -5

Matriz adjunta

2 3

A22(-1) 4=4

0 2 -4/-13 -5/-13 6/-13

A - 2/-13 4/-13 3/-13

-1/-13 2/-13 -5/-13

2 1

A23(-1) -2=2

0 -1

1 3

A31(-1) 6=6

-2 0

2 3

A32(-1) -3=3

10 3

2 1

A33(-1) -4-1=-5

1 -2

REGLA DE CRAMER

Sea A la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales

EJEMPLOS

EJEMPLO 1

2X1+7X2-6X3=18

3X1+3X2+2X3=17

5X1-6X2+8X3=-11

2 7 -6

3 3 2 2(24+12)-7(24-10)-6(-18-15)=72-98+198=172

5 -6 8

18 7 -6

17 3 2 18(24+12)-7(136+22)-6(-102+33)=648-1106+414=-44

-11 -6 8 b1 = -44 = -0.2558139

A 172

2 18 -6

3 17 2 2(136+22)-18(24-10)-6(-33-85)=319-252+708=772

5 -11 8 b2 = 772 = 4.488372

A 172

2 7 18

3 3 17 2(-33+102)-7(-33-85)+18(-18-15)=138+826-594=370

5 -6 -11 b3 = 370 = 2.151162791

A 172

Demostracin

2(-0.2558139)+7(4.488372)-6(2.151162791)=18

EJEMPLO 2

X1+X2-3X3= 2

2X1-2X2-2X3=-4

-X1+2X2+4X3= 6

1 1 -3

2 -2 -1 1(-8+2)-1(8-1)-3(4-2)=-6-7-6=-19

-1 2 4

2 1 -3

-4 -2 -1 2(-8+2)-1(-16+6)-3(-8+12)=-12+10-12=-14

6 2 4 b1 = -14 = 0.736842105

A -19

1 2 -3

2 -4 -1 1(-16+6)-2(8-1)-3(12-4)=-10-14-24=-48

-1 6 4 b2 = -48 = 2.526315789

A 19

1 1 2

2 -2 -4 1(-12+8)-1(12-4)+2(4-2)=-4-8+4=-8

-1 2 6 b3 = -8 = 0.421052631

A -19

Demostracin

(0.736842105)+(2.526315789)-3(0.421052631)=2

EJEMPLO 3

2X1-3X2+X3=8

X1 + X2- X3 =6

-6X1+2X2+4X3=--1

2 -3 1

1 2 -1 2(8+2)+3(4-6)+1(2+12)=20-6+14=28

-6 2 4

8 -3 1

8 2 -1 8(8+2)+3(24-1)+1(12+2)=80+69+14=163

-1 2 4 b1 = 163 = 5.821428571

A 28

2 8 1

1 6 -1 2(24-1)-8(4-6)+1(-1+36)=46+16+35=97

-6 -1 4 b2 = 97 = 3.464285714

A 28

2 -3 8

1 2 6 2(-2-12)+3(-1+36)+8(2+12)=-28+105+112=189

-6 2 -1 b3 = 189 = 6.75

A 28

Demostracin

2(5.821428571)-3(3.464285714)+(6.75)=7.97

EJEMPLO 4

2X1-X2-3X3=-1

-2X1+3X2+3X3=-3

X1+2X2-X3= 2

2 -1 -3

-2 3 3 2(-3-6)+1(2-3)-3(-4-3)=-18-1+21=2

1 2 -1

-1 -1 -3

-3 3 3 (-1)(-3-6)+1(3-6)-3(-6-6)=9-3+36=42

2 2 -1 b1 = 42 = 21

A 2

2 -1 -3

-2 -3 3 2(3-6)+1(2-3)-3(-4+3)=-6-1+3=-4

1 2 -1 b2 = - 4 = -2

A 2

2 -1 -1

-2 3 -3 2(6+6)+1(-4+3)-1(-4-3)=24-1+7=30

1 2 2 b3 = 30 = 15

A 2

Demostracin

2(21)-(-2)-3(15)=-1

EJEMPLO 5

-2X1+3X2-X3= 2

X1-X2+3X3= 4

4X1+3X2-X3= -1

-2 3 -1

1 -1 3 (-2)(1-9)-3(-1-12)-1(3+4)=16+39-7=48

4 3 -1

2 3 -1

4 -1 3 2(1-9)-3(-4+3)-1(12-1)=-16+3-11=-24

-1 3 -1 b1 = -24 = -0.5

A 48

-2 2 -1

1 4 3 -2(-4+3)-2(-1-12)-1(-1-16)=2+26+17=45

4 -1 -1 b2 = 45 = 0.9375

A 48

-2 3 2

1 -1 4 -2(1-12)-3(1-16)+2(3+4)=22+51+14=87

4 3 -1 b3 = 87 = 1.8125

A 48

Demostracin

-2(-0.5)+3(0.9375)-(1.8125)=2

UNIDAD IV ESPACIOS VECTORIALES

DEFINICION 4.1

Un espacio vectorial V es un conjunto de elementos denominados vectores junto con las operaciones de adicin y multiplicacin por un escalar que cumple los siguientes axiomas

1.- a y b E V a + b E V

2.-a +b = b+a

3.- a +(b+c)=(a+b)+c

4.- 0 E V / a+0 =a

5.- -a E v / a+(-a)= 0

6.- K E R Ka E V

7.- K E R K(a+b) = Ka +Kb

8.- (k+l) a =Ka +la

9.- K (la)=(kl)*A

10.- 1 a = a

En caso de que uno de estos axiomas no se llegara a cumplir el conjunto no seria un espacio vectorial bajo las operaciones indicadas

EJERCICIOS

EJERCICIO 1

Sea V = [ 1] es decir V contiene solamente el numero 1 en este caso

Si 1 E V

a+b= E V

1+1 = 2 por lo tanto no cumple el axioma 1 por que dos no pertenece al conjunto V

por lo tanto no es un espacio vectorial

EJERCICIO 2

Sea V [(x,y): y=mx] donde m es un numero real fijo y x es un numero real arbitrario

Y=mx

1.-ax1+ax2 = a (x1+x2)

2.- a+b=(ax1+bx2, ay2+by2) =(bx1+ax1,bx2+ax2)

3.-a+b+c=(ax,ay)+(bx,by)+(cx,cy)

ax,ay+(bx+cx+by+cy)

(ax+bx+cx,ay+by+cy)

(ax+bx+cx,ay+by+cy)

=(a+b)+c

4.-0=(0,0) E v

5.- -a E V =a+(-a) =0

-a=(-ax,ay) / a+(-a) =(ax,ay)+(-ax,-ay)

=(-ax+(-ax),ay+(-ay) = (0,0)

6.-K(ax,ay)=(Kax,Kay)

7.-K(a*b)=k(ax+bx)(ay+by)

K(ax+bx),K(ay+by)

Kax+Kbx,Kay+kby

Ka+Kb

8.-(K+l) a= (k+l) (ax,ay)=(k+l)ax,(k+l)ay

=Kax+lax,Kay+lay

(Kax+Kay,lax+lay)

K(ax,ay)+l(ax,ay)= Ka +la

9.- K(la)= K(lax,lay)=K(lax),k(lay)

(Kl)ax,(Kl)ay

Kl(ax,ay)= Kl *a

10.- -1(ax,ay)=(ax,ay)= a

Por lo tanto es un espacio vectorial.

EJERCICIO 3

Sea V {(x,y,z): ax +by +cz=0] V es el conjunto de R3 que estn sobre el plano que pasa por el origen con vector normal (a,b,c)

1.-a+b+c=0 =(a1,b1,c1)+(a2,b2,c2)=(a1+a2,b1+b2,c1+c2)

=x(a1+a2)+y(b1+b2)+z(c1+c2)

=( xa1+yb1+zc1)+(xa2+yb2+zc2)

=0+0+0=0

2-. A+b+c= c+b+a (ax+bx+cx,ay+by+cy)=(cx+bx+ax,cy+by+ay)

=a+b+c=c+b+a

3.-a(b+c) = (a+b)+c = (ax,ay)+[(bx,by)+(cx,cy)]

=ax,ay+(bx+cx,by+cy)

=(ax+bx+cx,ay+by+cy)

=(a+b)+c

4.-0=(0,0) E V

a+0 =(ax,ay)+(0,0)=(ax,ay)

5.- -a=(-ax,-ay) / a+(-a)=(ax,ay) +(-ax, -ay)

=-ax+(-ax),ay(-ay) =(0,0)

6.- K(ax,ay)=(Kax,Kay)

7.- K(a*b)=K(ax+bx,ay+by)

=Kax+Kbx,Kay+Kby

=(Kax,Kay)+(Kbx+Kby =Ka+Kb

8.-(K+l) a= (k+l) (ax,ay)=(k+l)ax,(k+l)ay

=Kax+lax,Kay+lay

(Kax+Kay,lax+lay)

K(ax,ay)+l(ax,ay)= Ka +la

9.- K(la)= K(lax,lay)=K(lax),k(lay)

(Kl)ax,(Kl)ay

Kl(ax,ay)= Kl *a

10.- -1(ax,ay)=(ax,ay)= a

Por lo tanto es un espacio vectorial

EJERCICIO 4

Sea V[0] esto es v contiene solamente el numero cero

1.-a y b E V 0+0 E V

2.- a+b=b+a= 0+0

0+0

3.-a(b+c)=(a+b)+c= 0+(0+0)

=(0+0)+0

a+(b+c)=(a+b)+c

4.-a+0 = a = 0+0=0

5.- -a=(0) / a +(-a)=(0)

=0+0=0

6.-K(0)=K0

=0

7.-K(a*b)=k(0,0)

K0,K0

K0+K0=0

8.-(K+l) a= (k+l) (0)

=(K0+K0)+(l0+l0)

=K0+l0=K0+l0

9.- K(la)= K(l0)=K0

=(Kl)0

=Kl(0)=Kl*0

10.- -1(0)=(0)= a

Por lo tanto es un espacio vectorial

EJERCICIO 5

Es el conjunto de puntos en el plano que estan sobre la linea y=2x+1

V=[y:y=2x+1,x real]

1.- a y b E V

(2x1+1)+(2x2+1) = 2(x1+x2)+2

Por lo tanto no se cumple el primer axioma y no es un espacio vectorial.

UNIDAD 5:

BASES Y DIMENSIONES

_

DEFINICIN 5.1 (COMBINACIN LINEAL) SE DICE QUE UN VECTOR W ES UNA COMBINACIN LINEAL DE LOS VECTORES V1, V2, V3,....Vn SI SE PUEDE EXPRESAR DE LA SIGUIENTE FORMA:

W = &1V1+&2V2+&3V3&Vn &1,&2,&3.R

EJERCICIOS 1

V1= (2,-1,1) V2=(3,2,2) W= 3V1 + 2V2

3(2,-1,1) + 2(3,2,2)= (6,-3,3) + (6,4,4)= W = (12,1,7)

w = ES UNA CONBINACION LINEAL DE V1 y V2

EJERCICIOS:

W2 = (1,3,1)

(1,3,1)= &1 (2,-1,1) + &2 (3,2,2)

(1,3,1)= 2&1+362, -1&1+2&2, &+2&2

1= 2&1+36

2= -1&1+2&2

3= &+2&2

&1 &2

2 3 1

-1 2 3

1 2 1

1 2 1

-1 2 3

1 2 1

1 2 1

0 1 1

0 -1 -1

1 2 1

0 1 1

0 0 0

1 0 -1

0 1 1

&1= -1

&2= 1

w = (7,8,9)

w = (7,8,9) =& (2,-1,1) + (&2 (3,2,2)

w = (7,8,9) = 2&+3&2, -&+2&2, &+2&2

7 = 2&+3&2

8 = -&+2&2

9 = &+2&2

2 3 7

-1 2 8

1 2 9

2 3 7

1 2 9

-1 2 8

1 2 9

2 3 7

0 4 8

1 2 9

0 -1 -11

0 4 8

1 2 9

0 -1 -11

0 0 -36

1 2 9

0 1 11

0 0 1

NO SE HIZO CERO PORLO TANTO ES INCONSISTENTE (NO ES UNA COMBINACIN INEAL DE V1+V2)

EJERCICIO 2

COMBINACION LINEAL EN R3

W= (2&1 - &2)

V1= -1

2

4

V2= 5

3

1

-1 5 -7

2 2 -1 3 = W = 7

4 1 7

W ES UNA COMBINACIN LINEAL DE V1+V2

EJERCICIO:

COMBINACIN LINEAL EN M23 = (3&+2&2)

V1= -1 0 4 V2= 0 1 -2

1 1 5 -2 3 -6

3 = -1 0 4 2 = 0 1 -2 = M23 = -3 2 8

1 1 5 -2 3 -6 -1 9 3

M23 ES UNA COMBINACIN LINEAL DE V1+V2

Definicin 5.1Independencia Lineal

Se dice que un vector W es una combinacin lineal de los vectores V1,V2,V3..Vn si puede ser expresado de la siguiente forma

W = & V1+ & V2 + & V3 + Vn &1, &2, &3,&n E IR

EJERCICIO 1

S= {1,0,2) (-4,2,0) (0,2,-4)

&{1,0,2) &2(-4,2,0) &3(0,2,-4)

(&-4&2, 2&2+2&3, 2&-4&3)

1 -4 0

0 2 2

-2 0 -4

1 -4 0

0 2 2

0 -8 -4

1 -4 0

0 2 2

0 0 -4

4&3 = 0 = >&3= 0

2&2 +2&3 = 0 =>&2= 0

&+4&2 = 0 => &= 0

EL CONJUNTO ES LINEALMENTE INDEPENDIENTE

EJERCICIO 2

S = { (-1,0,2) (0,-4,2) (2,0,-4) }

(-&+2&3, -4&2, 2&1+2&2-4&3)

-&+2&3 = 0

-4&2 = 0

2&1+2&2-4&3 = 0

-1 0 2

0 -4 0

2 2 -4

-1 0 2

2 2 -4

0 -4 0

1 0 2

0 2 0

0 0 0

1 0 -2

0 1 0

0 0 0

-&+2&3=0

-4&2=0

2&1+2&2-4&2=0

EL SISTEMA ES DEPENDIENTE

EJERCICIO 3:

Determine si los vectores 1 3 y 11 son linealmente dependientes o independientes

-1 0 -6

0 4 12

1 3 11

& -1 +&2 0 +&3 -6

0 4 12

&+3&2+11&3 = 0

-& -6&3 = 0

4&2+12&3 = 0

1 3 11 0

-3 0 -6 0

0 4 12 0

1 3 11 0

0 9 27 0

0 4 12 0

1 3 11 0

0 1 3 0

0 4 12 0

1 0 2 0

0 1 3 0

0 0 0 0

&+2&3 = 0 SI &3 = 1 ESTONSES &2 = -3 Y &= -2

&2+3&3 = 0

EL SISTEMA ES LINEALMENTE DEPENDIENTE

EJERCICIO 4

1 2 0

DETERMINE SI LOS VECTORES -2 -2 Y 1 SON DEPENDIENTES O INDEPENDIENTES 3 0 7

1 2 0 0

& -2 +&2 -2 +&3 1 = 0

3 0 7 0

&+2&2 = 0

-2&-2&2+ &3 = 0

3& 7&3 = 0

1 2 0 0

-2 -2 1 0

3 0 7 0

REDUCIDA EN LA FORMA ESCALONADA ES

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

&=0 &2 = 0 &3 = 0

POR LO TANTO EL SISTEMA ES LINEALMENTE INDEPENDIENTE

EJERCICIO 5:

S= { (1,7,6,8) (8,5,-7,3) (5,2,-1,0) (0,8,-4,1) (7,4,6,1)}

EL SITEMA ES DEPENDIENTE

PORQUE EL NUMERO DE VECTORES ES MAYOR QUE EL NUMERO DE COMPONENETES

CONJUNTO GENERADOR

EJERCICIO 1

G = { (-2,0,0) (0,1,0) (0,0,4) } DETERMINE SI ES UN GENERADOR DEL ESPACIO VECTORIAL EN R3.

&(-2,0,0)+&2 (0,1,0)+&3(0,0,4) = (X,Y,Z)

-2&= X & = -1/2&

&2= Y

&3 = Z &3 = 1/4Z

-1/2X(-2,0,0)+Y (0,1,0)+1/4Z(0,0,4) = (X,Y,Z)

(X,0,0)+ (0,Y,0)+(0,0,Z) = (X,Y,Z)

(X,Y,Z) = (X,Y,Z)

ES UN GENERADOR

EJERCICIO G = { (-2,0,0) (0,1,2) (0,0,1) (0,1,-1) }

&(-2,0,0) +&2 (0,1,2)+&3 (0,0,1) +&4 (0,1,-1) = (X,Y,Z)

X = -2&

Y = &2+&4

Z = 2&2-3&-&4

-2 0 0 0 X

0 1 0 1 Y

0 2 1 -1 Z

-2 0 0 0 X

0 1 0 1 Y

0 0 -1 -3 Z-2Y

-&3-3&4 = Z-2Y

-&3 = Z-2Y+3&4

&3 = -Z+2Y-3&4

Y = &2+64 &= -1/2X SI &4 = 1 &3=-Z+2Y-3(1)

Y = &2+1 &3 = 2Y-Z-3

-&2 = -Y+1

&2 = Y-1

-1/2X(-2,0,0) +(Y-1)(0,1,2)+(2Y-Z,-3)(0,0,1) + (0,1,-1) = (X,Y,Z)

(X,0,0) +(0,(Y-1),2Y-2)+ (0,0,-2Y+Z+3) + (0,1,-1) = (X,Y,Z)

(X,Y-1+1,2Y-2-2Y+Z+3-1) = (X,Y,Z)

(X,Y,Z) = (X,Y,Z)

ES UN GENERADOR

EJERCICIO 2 :

G: { (1,1,2) (1,0,1) (2,1,3) }

&(1,1,2)+&2 (1,0,1)+&3(2,1,3) = (X,Y,Z)

X = &+&2+&3

Y= &+&3

Z = 2&+&2+3&3

1 1 2 X

1 0 1 Y

2 1 3 Z

1 1 2 X

0 -1 -1 Y-2X

0 1 1 Z-Y+2X

1 1 2 X

0 -1 -1 Y-2X

0 0 0 Z-Y+2X+Y-2X

Z = 2&+&2

X= %+&2

-&2 = -X+&

&2 = X-Y

&= Y

Y(1,1,2)+(X-Y) (1,0,1)+0(2,1,3) = (X,Y,Z)

Y+X-Y,Y,2Y+X-Y= (X,Y,Z)

(X,Y,Y+X) =/= (X,Y,Z)

NO ES UN GENERADOR

EJERCICIO 3:

G:{ (2,-1,4) (4,1,6) }

&(2,-1,4)+&2 (4,1,6) = (X,Y,Z)

X = 2&+4&2

Y = -1&+ &2

Z = 4&+6&2

-1 1 Y

2 4 X

4 6 Z

1 -1 -Y

2 4 X

4 6 Z

1 -1 Y

1 6 X+2Y

0 10 Z+4Y

1 -1 -Y

0 1 (X+2Y)/6

0 10 Z+4Y

1 0 X/6-2Y/3

0 1 X/6+Y/3

0 0 -5X/3+2Y/3+Z

5X-2Y+ Z = 0

ENTONSES SI ES UN GENERADOR

EJERCICIO 4:

G = { (1,-1,2) (1,1,2) (0 ,0 ,1) }

&(1,-1,2)+&2 (1,1,2) +&3 (0 ,0 ,1) = (X,Y,Z)

X = &+&2

Y = -&+&2

Z = 2&+2&2+&3

1 1 0 X

-1 1 0 Y

2 2 1 Z

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MATRIZ DE TRANSFORMACIN

Como la matriz de rotacin 3 X 3 no nos da ninguna posibilidad para la traslacin y el escalado, se introduce una cuarta coordenada o componente al vector de posicin P = (px, py, pz)T es un espacio tridimensional que lo transforma en ^P = (wpx, wpy, wpz, w)T.

Decimos que el vector de posicin del ^P se expresa en coordenadas homogneas. El concepto de una representacin en coordenadas homogneas en un espacio eucldeo tridimensional es til para desarrollar transformaciones tridimensionales que incluyan rotacin, translacin, escalado, transformacin de perspectiva. En general, la representacin de un vector de posicin de N componentes por un vector de (N+ 1) componentes se llama representacin en coordenadas homogneas, la representacin de un vector N-dimensional se efecta en el espacio (N+1)-dimensional y el vector fsico N-dimensional se obtiene dividiendo las coordenadas homogneas por la coordenada N+1 que es W. As, en el espacio tridimensional, un vector de posicin P = (px, py, pz)T se representa por un vector ampliado (wpx, wpy, wpz, w)Tes la representacin de coordenadas homogneas, las representaciones fsicas se relacionan a las coordenadas homogneas como sigue:

Px = wpx, Py = wpy, Pz = wpz. W W W

La matriz de transformacin homognea es una matriz 4 X 4 que transforma un vector de posicin expresado en coordenadas homogneas desde un sistema de coordenadas hasta otra sistema de coordenadas. Una matriz de transformacin homognea se puede considerar que consiste en cuatro submatrices:

R (3 X 3)| P (3 X 1)matriz devector de rotacinposicin T =----------|----------=---- f (1 X 3)1 X 1transformacinescalado de perspectiva

Donde:

La submatriz R (3 X 3) ==> Es la matriz de rotacin. La submatriz P (3 X 1) ==> Es el vector de posicin del origen del sistema de coordenada rotado con respecto al sistema de referencia. La submatriz f (1 X 3) ==> Transformacin de perspectiva. La submatriz 1 X 1 ==> El factor de escala global.

La submatriz P (3 X 1) de la matriz de transformacin homognea tiene el efecto de trasladar el sistema de coordenadas OUVW que tiene ejes paralelos al sistema de coordenadas de referencia OXYZ, pero cuyo origen esta en (dx, dy, dz) del sistema de coordenadas de referencia:

1 0 0 dx 0 1 0 dy Ttrans = 0 0 1 dz 0 0 0 1

Esta matriz de transformacin 4 X 4 se llama matriz de traslacin homognea bsica.

La submatriz f (1 X 3) representa la transformacin de perspectiva, que es til para visin por computadora y la calibracin de modelos de cmara.

Los elementos de la diagonal principal de una matriz de transformacin homognea producen escalado local y global. Los tres primeros elementos diagonales producen un alargamiento o escalado local, como el siguiente:

a 0 0 0 x ax 0 b 0 0 y by Ttrans = 0 0 c 0 z = cz 0 0 0 1 1 1

Los valores de las coordenadas se alargan mediante los escalares a, b y c, respectivamente.

Matrices como transformaciones lineales

Definicin 2.1.1 Dados espacios vectoriales sobre una transformacin lineal entre y es una funcin

Que satisface la siguiente condicin, para todo , :

Ejercicio 1 : Si es lineal, entonces , y .

Ejercicio 2: Si satisface , , entonces es una transformacin lineal.

Definicin 2.1.2 Dada , definimos a como la funcin ``multiplicacin por '', es decir,

con

Un hecho fundamental es que es una transformacin lineal entre los espacios y (se deja como ejercicio).

Teorema 2.1.3 Sea una matriz, y su transformacin lineal asociadada Entonces: 1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Teorema 2.1.4 Sea una matriz de dimensin , y sea su transformacin lineal asociada. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. .

2. .

3. es invertible (es decir, existe una matriz de dim. tal que ).

4. La forma escalonada reducida por filas de tiene pivotes.

5. es equivalente mediante operaciones elementales a la matriz identidad .

6. El conjunto de filas de es linealmente independiente.

7. El conjunto de columnas de es linealmente independiente.

8. La nica solucin al sistema homogneo es la solucin trivial .

9. Existe un tal que el sistema tiene nica solucin (es decir, para algn ).

10. Para todo , el sistema tiene nica solucin (es decir, para algn ).

11. (es decir, la nica preimagen bajo del vector cero es el vector cero).

12. .

13. .

14. .

15. es sobreyectiva (es decir, .

16. es una base para .

17. es inyectiva, esto es, si , entonces .

18. es un isomorfismo (esto es, una transformacin lineal inyectiva y sobreyectiva).

Adems, si todas las anteriores condiciones se cumplen (para lo cual basta que una se cumpla), entonces tiene como inversa a la transformacin lineal , es decir, .Verdadero o falso:

1. Si la ecuacin tiene nica solucin, entonces es invertible.

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lgebra Lineal: Transformaciones lineales simples (Solucin de la tarea)

Andrs ForeroDate: Agosto de 2004

1. Dado , sea la funcin dada por . Por ejemplo, , , y .

1. Qu condiciones debe cumplir para que sea una funcin 1-1?

Solucin: Si , entonces es la funcin constante , esto es, para todo real . Esta funcin no es 1-1 pues , pero . Otra manera de ver que no es inyectiva es aplicando el ``test de la lnea horizontal''.

Ahora supongamos que , y demostremos que es inyectiva. Sean tales que . Entonces y como no es cero, podemos dividir a ambos lados por , obteniendo .

Concluimos que si y slo si es 1-1.

2. Muestre que si es inyectiva, entonces es sobreyectiva.

Solucin: Supongamos que es inyectiva. Entonces necesariamente por el numeral anterior, . Debemos mostrar que es sobreyectiva: sea y queremos encontrar un real tal que , es decir, . Entonces si tomamos , tenemos: , y as es una preimagen de , esto es, la funcin transforma a en . As, es sobre.

Nota: Cabe observar que la imagen de la funcin es el conjunto , y as no es sobreyectiva, pues su imagen no son todos los reales.

2. Diremos que una funcin es una transformacin lineal si , , y . Sea el conjunto de todas las transformaciones li-neales, esto es, es una transformacin lineal .

Muestre que .

Solucin Nos han pedido demostrar que los conjuntos y son iguales, o en otras palabras, que poseen exactamente los mismos elementos. Para esto debemos demostrar dos cosas por separado:

1. , es decir, es un subconjunto de , es decir, todo elemento de pertenece tambin a , y

2. , es decir, es un subconjunto de , es decir, (en castellano, para todo que pertenece a , pertenece a ).

Pues bien, demostremos las dos anteriores ``inclusiones'' o ``contenencias'':

3. Debemos demostrar que todo elemento de es elemento de . Sea . Como es el conjunto de los , entonces para algn nmero real . Como queremos ver que tambin pertenence a , debemos comprobar que es una transformacin lineal, es decir, satisface , y . La comprobacin se escribe as:

En la primera comprobacin utilizamos la distributividad de los reales, y en la segunda la conmutatividad de los mismos. As, , como queramos.

4. Ya hemos demostrado que toda funcin es una transformacin lineal. En principio podra ocurrir que existieran transformaciones lineales que no fueran de la forma , o en otras palabras, que el conjunto de transformaciones lineales fuera realmente ms grande que . Hagamos aqu un parntesis y consideremos un caso anlogo en el clculo:

Sea el conjunto de las funciones polinmicas, esto es, de las funciones de la forma , y sea el conjunto de las funciones continuas . Es un hecho conocido que todo polinomio es continuo (de hecho es derivable), o en otras palabras, es un subconjunto de ( ). Si embargo en este caso el conjunto es mucho ms grande (tiene muchos ms elementos) que , pues por ejemplo las funciones exponenciales y trigonomtricas son continuas pero no son polinomios. Dicho de otro modo, el conjunto de los polinomios es un subconjunto propio (es decir, no igual) del conjunto de las funciones continuas.

Cerremos el parntesis y volvamos a nuestra discusin de y . Uno podra pensar que hay muchas transformaciones lineales que no son de la forma . SIN EMBARGO, ESTE NO ES EL CASO, veamos a continuacin la razn:

: Sea . Entonces es una transformacin lineal, y debemos encontrar un nmero real tal que sea la funcin , o en otras palabras, para todo . Como , sabemos que . Definimos , que puede ser cualquier real. Ahora, para cualquier calculamos as:

(la primera igualdad vale porque , y la segunda igualdad vale porque es transformacin lineal). Pero entonces , o en otras palabras, . As, .

3. Considere el sistema ( ). Halle condiciones para que .

Solucin:

1. Si y , el sistema tiene infinitas soluciones ( ), y .

2. Si y , el sistema es inconsistente () y , el conjunto vaco.

3. Si (sin importar quin sea ), el sistema tiene nica solucin , y .

NOTA: ESTOS RESULTADOS SE GENERALIZARN DURANTE EL CURSO A #MATH59#: YA NO SER UN NMERO (O MATRIZ DE 1X1 ) SINO UNA MATRIZ DE , QUE PODR VERSE COMO UNA FUNCIN #MATH60#, QUE SER 1-1 SI Y SLO SI SU DETERMINANTE (QUE S ES UN NMERO REAL) ES DISTINTO DE 0, Y YA NO SERN NMEROS SINO VECTORES COLUMNA DE LONGITUD .

Ejercicios:

1. Sea una matriz , y sea la funcin . Muestre que es transformacin lineal, esto es, para y (un escalar), , y .

2. D un ejemplo de una matriz de 3x3 (distinta de la identidad ) tal que sea invertible, y diga quin es su inversa.

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Andrs Forero Cuervo 2004-08-10

Definicin Se denomina transformacin lineal a toda funcin, T, cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

1. T(u + v) = T(u) + T(v)

2. T(ku) = kT(u) donde k es un escalar.

[escribe] Transformacin lineal nula

INCLUDEPICTURE "http://enciclopedia.us.es/images/math/e/3/3/e33496067755d4349f91d1ac89ca38bd.png" \* MERGEFORMATINET [escribe] Transformacin lineal identidad

INCLUDEPICTURE "http://enciclopedia.us.es/images/math/e/3/3/e33496067755d4349f91d1ac89ca38bd.png" \* MERGEFORMATINET [escribe] Homoteciascon Si |k| > 1 se denominan dilataciones

Si |k| < 1 se denominan contracciones

Ver artculo sobre Homotecias

[escribe] Propiedades de las transformaciones lineales1. [escribe] Ncleo (kernel) e imagen Si es lineal, se define el ncleo y la imagen de T de la siguiente manera:

Es decir que el ncleo de una transformacin lineal est formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

El ncleo de toda transformacin lineal es un subespacio del dominio:

1. dado que T(0V) = 0W

2. Dados 3. Dados Se denomina nulidad a la dimensin del ncleo. Nulidad(T) = dim(Nu(T))

O sea que la imagen de una transformacin lineal est formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imgenes de al menos algn vector del dominio.

La imagen de toda transformacin lineal es un subespacio del codominio.

El rango de una transformacin lineal es la dimensin de la imagen.

rg(T) = dim(Im(T))

[escribe] Teorema de las dimensionesdim(Nu(T)) + dim(Im(T)) = dim(V)

[escribe] Teorema fundamental de las transformaciones lineales Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn n} un conjunto de vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una nica transformacin lineal Para todo [escribe] Clasificacin de las transformaciones lineales1. Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si el nico elemento del ncleo es el vector nulo. Nu(T) = 0V

2. Epimorfismo: Si es sobreyectiva.

3. Isomorfismo: Si es biyectiva.

4. Endomorfismo: Si o sea si el dominio es igual al codominio.

5. Automorfismo: Si es endomorfismo e isomorfismo a la vez.

[escribe] Matriz asociada a una transformacin lineal Sea una transformacin lineal es posible encontrar una matriz asociada a una transformacin lineal ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////

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Juan Carlos Sandoval Avendao & Adan Flores Opazo.Copyright 2002 [Universidad de Concepcin]. Todos los derechos reservados.Revisado: .

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Comenzamos definiendo una tranformacin lineal. Ejemplos tpicos son la derivada y la integral, al igual que las proyecciones. Definimos el kernel y rango de una transformacin lineal T : V W y los denotamos por N(T) y R(T) respectivamente. Es un ejercicio verificar que N(T) V y R(T) W. Definimos nulidad(T) = dim(N(T)) y rango(T) = dim(R(T)).

TEOREMA 2.1 Si T : V W es una transformacin lineal, entonces V es dimensionalmente finito si y slo si N(T) y R(T) son dimensionalmente finitos, y en este caso,

dim(V) = nulidad(T) + rango(T).

Demostracin Dados dos espacios vectoriales V y W sobre un campo F, definimos

L(V, W) = {T : V W | T es una transformacin lineal}.

Si T, U L(V, W) y a F, definimos aT + U : V W como (aT + U)(x) = aT(x) + U(x) para toda x F. Es un ejercicio verificar que aT + U es una transformacin lineal y que L(V, W), junto con estas operaciones de suma y de multiplicacin por escalares, es un espacio vectorial sobre F.

Definimos el que una funcin fuera inyectiva,

HYPERLINK "http://www.matem.unam.mx/%7Ergomez/algebra/seccion_2.html" sobre y biyectiva. Es un ejercicio demostrar que para una transformacin lineal T : V W, las siguientes condiciones son equivalentes:

T es inyectiva

N(T) = {0} (es decir, nulidad(T) = 0)

Para todo S V, S es linealmente independiente si y slo si T(S) W es linealmente independiente

Tambin se deja como ejercicio el verificar que si V y W son dos espacios vectoriales con la misma dimensin (finita) y T : V W es una transformacin lineal, entonces T es inyectiva o sobre si y slo si es biyectiva.

Una transformacin lineal es una funcin que preserva la estructura algebraica de espacio vectorial, por lo que no toda funcin entre espacios vectoriales es una transformacin lineal. De hecho, es sencillo encontrar funciones inyectivas, sobre, y biyectivas que no son transformaciones lineales. Esto motiva las definiciones de monomorfismo,

HYPERLINK "http://www.matem.unam.mx/%7Ergomez/algebra/seccion_2.html" epimorfismo e isomorfismo. LEMA 2.2 Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo F. Supongamos que V es dimensionalmente finito y que = {x1, ..., xn} es una base de V. Entonces para todo {y1, ..., yn} W, existe una unica transformacin lineal T : V W tal que T(xi) = yi para toda i = 1, ..., n.

Demostracin TEOREMA 2.3 En la categora de los espacios vectoriales dimensionalmente finitos, la dimensin es un invariante completo de isomorfismo. Es decir, para cualesquiera dos espacios vectoriales dimensionalmente finitos V y W sobre un campo F, existe un isomorfismo entre V y W si y slo si dim(V) = dim(W).

Demostracin Sea V un espacio vectorial dimensionalmente finito sobre un campo F y sea = (x1, ..., xm) una base ordenada de V. Para cada x V, existen escalares nicos a1, ..., am F tales que x = a1x1 + ... + amxm. Definimos al vector coordenado de x relativo a como

[ x ] =(a1:

am

),

Es fcil ver que el mapeo x | [ x ] constituye un isomorfismo : V Mn x 1(F).

Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F, = {x1, ..., xm} una base ordenada de V y = {y1, ..., xn} una base ordenada de W. Para cada T L(V, W), definimos la matriz asociada a T con respecto a las bases ordenadas y como

[T]

=([T(x1)] ... [T(xm)]).

Por otro lado, dada una matriz A Mn x m(F), la funcin LA : Fm Fn definida por LA(x) = Ax, es una transformacin lineal (ejercicio).

TEOREMA 2.4 Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F, = {x1, ..., xm} una base ordenada de V y = {y1, ..., yn} una base ordenada de W. Entonces el mapeo T | [T] constituye un isomorfismo : L(V, W) Mn x m(F). Ms an, para toda A Mn x m(F), se tiene que -1(A) L(V, W) es tal que [-1(A)] = A.

Demostracin Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo F. Si T L(V, W), entonces existe una matriz asociada a T por cada par de bases ordenadas y de V y W respectivamente. El siguiente teorema (cambio de coordenadas) establece la relacin entre estas matrices.

TEOREMA 2.5 Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F. Si , ' son dos bases ordenadas de V y ' son dos bases ordenadas de W, entonces existe una matriz invertible Q tal que . Entonces el mapeo T | [T] constituye un isomorfismo : L(V, W) Mn x m(F). Ms an, para toda A Mn x m(F), se tiene que -1(A) L(V, W) es tal que [-1(A)] = A.

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definicion transformacion lineal

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