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Transformaciòn a vectores espacialesPaul Santiago Saldaña Caldas

psaldana@est.ups.edu.ec

paul_ssc@hotmail.com

Abstract—Los vectores espaciales nos sirven para representarlas tensiones de lìnea , gracias a esto se puede interpretar el vectorespacial de tensión aplicado a partir de las tensiones línea a línea.Los resultados obtenidos al realizar las operaciones vectoriales ,son análogos a los obtenidos en régimen sinusoidal permanenteal pasar de tensiones de línea a tensiones de fase.

Index Terms—Fases, interruptor, tensión, línea, sinusoidal,inversor, trifásico, neutro, conmutación, coeficientes Fourier, pico.

I. INTRODUCCIÒN

Para los sistemas de potencia conectados en estrella o Deltacon neutro aislado, pueden ser despreciados los componentesde secuencia cero ,esto se debe a que para este caso son cero.para los sistemas simètricos las componentes de secuenciapositiva y negativa se comportan de igual forma, en especial ensistemas simétricos, para este caso la una es la compleja con-jugada de la otra. La transformación de vectores espaciales hasido utilizada mayormente en el control dinámico de máquinaseléctricas utilizadas en la industria . Tomando en cuenta loescrito anteriormente se puede definir a la transformación devectores espaciales de la siguiente manera:

~x =[1 ej 2π3 ej 4π3

] Xa(t)Xb(t)Xc(t)

= Xa(t)+jxβ(t) = x(t)ejξ(t)

El numero que se produce al realizar la siguiente operacion√2/3 se lo utiliza para conservar la variancion de potencia

entre el sistema de coordenadas primitivas y el de vectoresespaciales. El numero viene dado por la transformación her-mitiana de componentes simétricas

√1/3 y el coeficiente

√2

se lo usa para obtener en vectores espaciales una potenciaactiva igual e instantánea que el sistema original, esto seproduce por el efecto de la secuencia negativa en sistemas bal-anceados.Acontinuacion se puede apreciar una interpretacióngráfica del efecto que se produce al realizar la transformaciona vectores espaciales.

Figure 1. Interpretación gráfica de la transformación de vectores espaciales[1]

II. MODULACION DE VECTORES ESPACIALES

A continuacion puede apreciar en la figura 2 el inversortrifásico de tensión, este circuito convertidor se lo usa parael control exacto del flujo bidireccional de potencia entre loslados de continua y/o alterna. Las tecnicas mas utilizadaspara controlar este convertidor son: eliminación selectiva dearmónicas ,la modulación delta, las diferentes técnicas demodulación de ancho de pulso PWM convinadas, etc. Lasmas utilizadas han sido las técnicas basadas en PWM conportadoras triangulares.

Figure 2. Diagrama circuital del inversor de tensión trifásico[1]

Debido a la constante demanda de una potencia de proce-samiento cada vez msa alta, se ha creado tecnicas de controlde alto rendimiento que se caracterizan por la utilizacionde vectores espaciales y sus conceptos, esto ha dado lugara la abertura de nuevas posibilidades en el manejo de sis-temas dinámicos. La modulación PWM de vectores espaciales(SVPWM), ha mostardo ser un tema de constante investigaciónesto se lo ha hecho con el fin de mejorar los beneficios delcontrol dinámico.

2

III. PUENTE INVERSOR TRIFASICO

El puente inversor trifásico de la figura anterior, presenta43 = 64 estados posibles, de los cuales 33 = 27 sonpermitidos esto se debe a que estos son los unicos estadosque no producen cortocircuitos sobre la parte de corrientecontinua, cabe destacar que tan solo 23 = 8 muestran undispositivo encendido en cada uno de los ramales que formanparte del puente. Tenemos que tres estados pueden puedenser tomados como un conjunto de base para obtener medianteun analisis que realacionen a los otros cinco estados. En lafigura se puede observar tres vectores bases a0, a1 y a2,que forman parte de los estados (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1)correspondientemente. Para este caso la representación “1”tiene una relacion con el componente de potencia de la partesuperior de puente (QH) encendido mientras que el de la parteinferior (QL) se encuentra apagado, y “0” se puede realcionarcon el componente de potencia de la parte inferior (QL)encendido, mientras el superior (QH) se encuentra apagado.

Figure 3. Vectores y paralelogramos bases[1]

Se puede decir que cualquier vector espacial promedio,normalizado por ξV DC, que se encuentre inscrito en elespacio hexagonal de la figura aterior, puede ser obtenidoutilizando la transformación de Clarke como:

v = ξ(vaNa0 + vbNa

1 + vcNa2)

ξ por lo general toma valores de 1, 23 o√

23 . Normalizando

la expresión como en la ecuacion anterior por ξV DC, por loque se puede escribir el vector espacial de tensión en porunidad de la siguiente manera:

vpu = vx + jvy =ξ

ξVDC(vaNa

0 + vbNa1 + vcNa

2) =

=1

VDC[(va-vN ) + (vb − vN )a+ (vc-vN )]

= (Da +Dba+Dca2)

Los literales vaN , vbN y vcN se los relaciona con lastensiones de las fases correspondientes a la barra de tensiónnegativa de la fuente de corriente continua (VDC), a = ej

2p3

, y Da, Db y Dc se los relaciona con los ciclos de trabajo decada uno de los ramales del circuito inversor .

La magnitud instantánea del vector espacial de tensión enel inversor trifásico depende del valor de ξ y esta pude sercalculada de∣∣vamaxa0∣∣ =

∣∣vamaxa1∣∣ =∣∣vamaxa2∣∣ = ξV dc. Pero ,

la tensión promedio en cada parte del circuito puede ser

controlada en cada período de la señal portadora, con el usode la modulación por ancho de pulso.

La relación entre el tiempo empleado en el estado (0,0,0)en comparación con el tiempo empleado en el estado (1,1,1)cuando ambos vectores son utilizado para sintetizar el vectorde cero, en un período de PWM particular, se ha utilizadotradicionalmente como la base para los diferentes algoritmosgeneralizados de SVPWM.

A. Modulación en coordenadas vectoriales (x,y)

Las tecnicas de control actuales decriben el espacio vectorialusando un sistema de dos coordenadas ortogonales (x,y) yademas muestran a las variables de estado del sistema depotencia como la tensión, el flujo, la potencia y la corri-ente en el sistema mencionado. En los sistemas trifásicos ladescripción en vectores espaciales tiene la gran ventaja deminimizar la cantidad de las ecuaciones necesarias para unmodelo dinámico , para la realización de este control. Se sabeque los ciclos de trabajo, para obtener una tensión definida,requeridos por cada rama del puente inversor trifásico puedenobtenerse fácilmente mediante el uso de transformaciones dedos o tres ejes.

B. Definición de paralelogramos [1]:

El vector nulo se puede obtener utilizando sólo el estado~00 = (0, 0, 0) o el estado ~07 = (1, 1, 1). Cuándo el vector nuloes sintetizado utilizando únicamente el estado~00, el espaciohexagonal se divide en tres regiones descritas por los paralel-ogramos z0 = {0, 1, 2} que son mostrados en la siguientefigura. En este caso el vector espacial ~v es sintetizado con larama que no conmuta en estado “0”. Por otra parte, cuandose realiza la síntesis del vector nulo únicamente con el estado~07 el espacio hexagonal se divide en las tres zonas que formalos paralelogramo z1 = {0, 1, 2}, presentados en la figura b yel espacio vectorial se sintetiza con la rama que no conmutaen estado “1”. El espacio hexagonal puede ser dividido endiferentes zonas dependiendo del valor del operador z0 o z1,de forma general se pueden representar con el operador zn, conn = {0, 1}. Cada zona es identificada por el superíndice (zn)para cualquiera de los ejes bases azno−azn, este correspondeal vector en el el límite de la zona de paralelogramo paraun vector espacial ~v y se mueve en sentido antihorario. Engeneral cualquier zona zn = {0, 1, 2} puede ser rotada alparalelogramo base (zone z0 = 0) definida por los vectoresdirectores a0 y a1, utilizando rotación y suma vectorial.

Figure 4. Espacio hexagonal normalizado definido por la salida del inversor[1]

3

En cualquier rama k, con k = {0, 1, 2}, la operación dela rama no conmutada en el estado n, permite normalizar lamagnitud de la tensión promedio y definirla igual al ciclo detrabajo Dk,n. Como se muestra en la figura anterior, el estadode la rama no conmutada del inversor Dn,zn+2 = n definela zona de operación con n = 0 (fig.a) y para n = 1 (fig.b).El algoritmo para la sintetización del vector espacial ~v utilizalas dos descripciones mostradas en la figuras anteriores. Estadescripción puede ser simplificada utilizando la informacióndel sector N, que se obtiene utilizando el ángulo θdel vectorespacial. [1]

N =

⌊3θ

π

⌋

θ(V x, V y) =

arctan( vyvx ) V x > 0π + arctan( vyvx ) vy ≥ 0, V x < 0−π + arctan( vyvx ) vy < 0, V x < 0

π2 vy > 0, V x = 0−π2 vy < 0, V x = 00 Vy = 0, Vx = 0

donde [x] = max {nεZn ≤ x}= floor(x) y θ(vx, y) =

atan2(Vx, Vy). Las zonas z0 y z1 son definidas utilizandola información del sector N utilizando aritmética de modulo3, mediante las siguientes expresiones:

z0 =

⌊N

2

⌋(mod 3), z1 =

⌊N + 3

2

⌋(mod 3)

IV. EQUIVALENCIA EN VECTORES ESPACIALES

Tomando en cuenta que los interruptores del mismo ramaloperan de manera complementaria entre si, esto lo hacen con elobjetivo de evitar cortocircuitos sobre la fuente que lo alimenta, para este caso es de corriente continua .

Sw4 = Sw1

Sw6 = Sw3

Sw2 = Sw5

Se pueden redefinir los interruptores de la figura 1, enfunción de las fases del sistema trifásico como:

Figure 5. Esquema del inversor trifásico con operación complementaria deinterruptores [1]

La equivalencia de Swx igual a "1" corresponde al encen-dido del interruptor superior de la rama "x" y "0" correspondeal encendido del interruptor inferior de la rama. Por lo que se

puede definir el vector espacial de tensión línea neutro de lasiguiente manera:

−−→vfn =

√2

3

[1 ej

2π3 ej

4π3

] va(t)vb(t)vc(t)

= va(t) + jvβ(t)

Toamdo la ecuacion anterior , se puede deducir el vectorespacial de tensión aplicado a partir de las tensiones línea alínea, como se muestra a continuacion:

−→vii =

√2

3

[1 ej

2π3 ej

4π3

] va(t)vb(t)vc(t)

=

√2

3

[1 ej

2π3 ej

4π3

] va(t)vb(t)vc(t)

− va(t)vb(t)vc(t)

−→vii =

(1− ej 4π

3

)−−→vfn Ec.1

−→vii =

√3ej

4π3−−→vfn Ec.2

Cabe mencionar que este ultimo resultado , es análogoal deducido en régimen sinusoidal permanente al pasar detensiones de línea a tensiones de fase.

A. Representacion vectores espaciales del InversorUtilizando la Ecuacion1 se puede calcular el vector espacial

de tensiones línea a línea del inversor en función de losinterruptores de las fases como:

−→vii =

√2

3

[(Swa + ej

2π3 Swb + ej

4π3 Swcwa)

]VDC

=

√2

3(1− ej 4π

3 )[(Swa) + ej

2π3 Swb + ej

4π3 Swc)

]Ec.3

Utilizando el resultado de la expresión 2 y la ecuación 3,se puede obtener el vector espacial de tensión aplicado porel inversor en función del estado del interruptor de cada fasecomo:

−−→vfn =

√2

3

[(Swa + ej

2π3 Swb + ej

4π3 Swc)

]VDC

En la tabla siguiente presentan los vectores espacialesobtenidos con el inversor trifásico para cada una de las posiblescombinaciones de los interruptores:

Swa Swb Swc−−→vfn

0 0 0 0

0 0 1 −√

23VDCej

π3

0 1 0 −√

23VDCej

π3

0 1 1 −√

23VDC

1 0 0√

23VDC

1 0 1√

23VDCe−j π

3

1 1 0√

23VDCej

π3

1 1 1 0

Table IVECTORES ESPACIALES EN EL INVERSOR [1]

4

Se puede calcular la tensión fase neutro aplicada por elinversor a la carga a partir del vector espacial como:

<e(−−→vfn) =√

2

3(va(t)−

1

2((va(t) + (vc(t)))

Como el sistema no posee neutro conectado, se tiene que:

va(t) + vb(t) + vc(t) = 0 Ec.4

va(t) = −(vb(t) + vc(t)) Ec.5

Sustituyendo el resultado de la expresión 5 en la ecuación4, se obtiene:

va(t) =

√2

3<e(−−→vfn)

Si rotamos el vector espacial de la expresión 5 en ej4π3

, y aplicando un procedimiento análogo al utilizado para laexpresión anterior, se obtiene:

−−→vfn =

√2

3

[ej

4π3 1 ej

2π3

] va(t)vb(t)vc(t)

=

vb(t) =

√2

3<e(−−→vfnej 4π

3 ))

De la ecuación 4, se obtiene el valor de vc(t) como:

vc(t) = (va(t) + vb(t))

Figure 6. Tensión espacial del inversor trifásico [1]

En la figura 7, se presentan la tensión fase neutro generadapor el inversor para la opción de conmutación .

Coeficientes de Fourier de la tensión fase neutro de la figura3.

vn,1−n =

∣∣∣∣2VDC3nπ(2 + cos(

nπ

3)− cos(

nπ

3))

∣∣∣∣n = 1, 5, 7, 11, 13, ....

Figure 7. Tensiones fase neutro del inversor trifásico [1]

Figure 9. Estrella[1]

B. Carga

En la figura 4, se presenta el modelo trifásico equilibradode una carga activa y/o pasiva conectada en delta y estrellaen bornes del inversor. El modelo en vectores espaciales delinversor y la carga se puede expresar como:

−−→vfn = k−→e + [Z(p)−M(p)]

−→i Ec.5

donde:

−−→vfn =

√2

3

[1 ej

2π3 ej

4π3

] [Swa Swb Swc

]t−→e =

√2

3

[1 ej

2π3 ej

4π3

] [v1(t) v2(t) v3(t)

]tp =

d

dt

Figure 8. Delta [1]

En la tabla 2, se muestran los valores de la impedanciaoperacional Z(p) y M(p) de la expresión 5 para los elementosresistivos, inductivos y capacitivos.

5

Elemento ky Zy(p) My(p) k4 Z4(p) M4(p)

Resistencia 1 R 0 e−j π

6√3

R3

0

Inductancia 1 Lp Mp e−j π

6√3

L3p M

3p

Capacitancia 1 1cp

0 e−j π

6√3

13Cp

0

Table IIIMPEDANCIAS OPERACIONALES EN CONEXIÓN ESTRELLA Y DELTA[1]

En la figura 6, se presenta el vector espacial de tensióny corriente en porcentaje de su valor pico, para una cargaresistiva inductiva conecta en estrella de 60W y 223mH,alimentada desde una fuente de corriente continua de 100V.

Figure 10. Vector espacial de tensión y corriente en la carga RL[1]

Figure 11. Tensión y corriente en la fase "a" de la carga RL[1]

En la figura 8, se presenta el espectro armónico de la tensióny corriente de la fase "a" en porcentaje de la componentefundamental.

Figure 12. Espectro armónico de tensión y corriente en la fase "a" de lacarga RL[1]

V. CONCLUCIONES

Para este caso se ha utilizado la representacion de vectoresespaciales para un circuito inversor trifásico de tensión, esteconvertidor es utilizado en las mayorías de las aplicacionesen la industria hoy en dia , estos requieren un control precisodel flujo bidireccional de potencia entre los lados de alternay/o continua. Lo que se trata de hacer con estas tecnicases desarrollar formas eficientes de control, de este puente,con una disminución de la carga computacional del micro-procesador, baja inyección de contenido armónico al sistema,reducción de las pérdidas de conmutación y de la interferenciaelectromagnética y una alta flexibilidad en la selección de laestrategia de modulación utilizando en hardware tradicional decontrol.

En este articulo los fundamentos de la modulacion porvector espacial , y varios esquemas de suicheo efectuando uncompendio del desempeño de los mismos ante contenidos dearmonicos ,perdidas de suicheo y rizado de corriente . Deigual modo se mostrò algunos de los requerimientos para laimplementacion de los esquemas de suicheo . Los resultadosundican que para aplicacion a baja frecuencia y alta potencia ,como lo es tipicamente en el caso de convertidores de potenciaconectados a empresas de suministros .

VI. BIBLIOGRAFÌA

• [1] Texto virtual : ELECTRÓNICA DEPOTENCIA.-Aspectos Generales y ConvertidoresElectrónicos. Alexander Bueno Montillahttp://prof.usb.ve/bueno/E_Potencia/Guia/Electronica_Potencia.pdf

• [2] http://www.multilingualarchive.com/ma/enwiki/es/Vector.• [3] http://www.fglongatt.org.ve/Reportes/RPT2004-

04.pdf• [4] http://www.geoan.com/analitica/vectores/vectores_espacio