Enseñanza media

Guía número 1 Matematica

III° Medio

Nombre de alumno/a: ……………………………………………………………………….. Curso: …………..……..

Asignatura: Matemática. Nivel: Tercero medio.

Unidad: Números y función cuadrática. Contenido: Raíces, logaritmos y función cuadrática.

OA2: Mostrar que comprenden las relaciones entre potencias, raíces enésimas y logaritmos.

OA 3: Mostrar que comprenden la función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐; 𝑎 ≠ 0

Transformación de Potencia a Raíz

Primero, recordemos el cálculo de una raíz:

➢ √25 = 5

➢ √83

= 2

➢ √15

= 1

➢ √273

=

➢ √81=

➢ √164

=

➢ √13

=

➢ √36=

❖ Toda potencia que posee un exponente fraccionario o decimal, se puede transformar en

una raíz, de la siguiente forma.

𝑎𝑥

𝑦 = √𝑎𝑥𝑦 Ejemplo1: 7

2

3 = √723 √49

3

Ejemplo2: 53

2 = √532 √125

Ahora, toda raíz se puede transformar en una potencia, en donde su exponente será un número

fraccionario o decimal.

√𝑎𝑥𝑦

= 𝑎𝑥

𝑦 Por ejemplo: √827= 8

2

7

Ejercicios:

1. Transformar a raíz las siguientes potencias (en caso de tener raíz exacta, calcular).

i. 53

2 = _______

ii. 67

2 = _______

iii. 21

4 = _______

iv. 42

3 = _______

v. 81

3= _______

vi. 22

5= _______

vii. 491

2=_______

2. Transformar a potencia las siguientes raíces.

i. √5=_______

ii. √153

=_______

iii. √657=_______

iv. √104=_______

v. √1265=_______

vi. √1576=_______

vii. √3155=_______

Transformación

de potencia a logaritmo y de logaritmo a potencia.

Los logaritmos conocidos también como anti-potencias son unas de las funciones más utilizadas en matemáticas y otras ciencias. Esta función está directamente relacionada con todas las potencias, tanto de exponente entero como racional (fraccionario).

Se lee Logaritmo en base b de a es igual a c

Por ejemplo:

1) 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟗 = 𝟐 expresado como potencia 𝟑𝟐 = 𝟗 2) 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟏𝟐𝟓 = 𝟑 expresado como potencia 𝟓𝟑 = 𝟏𝟐𝟓

Actividades:

1. Expresar como potencia los siguientes logaritmos.

I. log2 4 = 2

II. log3 27 = 3

III. log5 25 = 2

IV. log4 32 = 3

V. log2 32 = 5

2. Identificar el valor faltante en los siguientes logaritmos.

I. log2 = 3

II. log9 = 2

III. log 100 = 2

IV. log7 49 = ____

V. log 216 = 3

3. Expresar como logaritmos las siguientes potencias.

I. 103 = 1000

II. 43 = 64

III. 34 = ______

IV. 17 = ______

V. 25 = ______

Propiedades de los logaritmos

• Logaritmo de un producto:

El logaritmo de un producto de factores es la suma de los logaritmos de los

factores:

Ejemplo: log5(5 ∙ 4) log5 5 + log5 4 1 + log5 3

• Logaritmo de un cociente:

El logaritmo de un cociente es el logaritmo del numerador menos el logaritmo del

denominador.

Ejemplo: log6 (13

6) log6 13 − log6 6 log6 13 − 1

• Logaritmo de una potencia:

El logaritmo de una potencia es el logaritmo de la base de la potencia

multiplicado por el exponente.

Ejemplo: log3 27 log3 33 3 ∙ log3 3

Ejercicios. Utilizar las propiedades del logaritmo:

I. log7(7 ∙ 5)=

II. log4(6 ∙ 3)=

III. log9 (7

9)=

IV. log15 (6

11)=

V. log8 85=

VI. log2 16=

VII. log3 27=

Función cuadrática.

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la

forma: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde a y b son términos dependientes y c es el

termino independiente. Importante destacar que a≠ 0.

Por ejemplo:

𝑓(𝑥) = 5𝑥2 + 8𝑥 − 4 Completa; tiene los 3 términos.

Coeficientes 𝑎 = 5 𝑏 = 8 𝑐 = −4

𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 6𝑥 Incompleta; tiene 2 términos.

Coeficientes 𝑎 = 4 𝑏 = −6 𝑐 = 0

𝑓(𝑥) = −6𝑥2 + 7 Incompleta; tiene2 términos.

Coeficientes 𝑎 = −6 𝑏 = 0 𝑐 = 7

• Representación gráfica de una función cuadrática:

•

• Orientación o concavidad

Puntos de cortes con el eje 𝒙 (soluciones)

Punto de corte con el eje 𝒚

Vértice

Puntos de cortes con el 𝒙

Ejemplo: Calcular los cortes con el eje 𝑥 de la siguiente función.

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 3

𝑥1 =−2 + √22 − 4 ∙ 1 ∙ −3

2 ∙ 1

𝑥2 =−2 − √22 − 4 ∙ 1 ∙ −3

2 ∙ 1

𝑥1 =−2 + √4 + 12

2

𝑥2 =−2 − √4 + 12

2

𝑥1 =−2 + √16

2

𝑥2 =−2 − √16

2

𝑥1 =−2 + 4

2

𝑥2 =−2 − 4

2

𝑥1 =2

2

𝑥2 =−6

2

𝑥1 = 1

𝑥2 = −3

Actividades:

I. Determinar los valores de 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 de las siguientes funciones:

𝑓(𝑥) = 8𝑥2 + 4𝑥 + 1 a= b= c=

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 41 a= b= c=

𝑓(𝑥) = −4𝑥2 − 3𝑥 a= b= c=

𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 7 a= b= c=

𝑓(𝑥) = 6𝑥2 + 3𝑥 a= b= c=

𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 5𝑥 − 17 a= b= c=

II. Usando fórmula general calcular el corte con el eje x de las siguientes

funciones:

1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 4

2) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 − 2

3) 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 𝑥 + 4

4) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 − 10

5) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 6

III. Determinar el corte con el eje 𝑦 de las siguientes funciones:

Función Corte con el eje 𝑦

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 − 2

𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 17

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 − 14

𝑓(𝑥) = 10𝑥2 − 𝑥

IV. Calcular el vértice de las siguientes funciones cuadráticas:

1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 + 2

2) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 4𝑥 + 3

3) 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 𝑥 + 2

4) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 5

V. Determinar que tipo de concavidad tienen las siguientes funciones

cuadráticas. Cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo.

𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 4𝑥 + 3

𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 𝑥 − 3

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 7

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 3

𝑓(𝑥) = 5𝑥2 + 8𝑥 + +15

𝑓(𝑥) = −9𝑥2 + 7𝑥 − 10