transformaciÓn de laplace · 2019-12-03 · transformada de laplace y la transformada del...
TRANSCRIPT
TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE
Señales y Circuitos: Bloque
2. Tema 2
Profesor: Fernando Rivas Peña
Departamento de Ingeniería de Telecomunicación Teoría de la Señal y Comunicaciones
Universidad de Jaén
1
Contenidos 1. Transformación de Laplace. Propiedades 2. Pares básicos de transformadas 3. Polos y ceros de las transformadas de Laplace 4. Teoremas del valor inicial y del valor final 5. Transformada inversa de Laplace
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS) 2
Objetivos específicos
• Que el alumno conozca la fórmula integral que define la transformación de Laplace unilateral y las principales propiedades de dicha transformación integral. • Que el alumno sepa calcular la transfomada de Laplace unilateral de las señales más habituales en el estudio de circuitos y sistemas. • Que el alumno sea capaz de representar de forma esquemática el módulo de la transformada de Laplace cuando esta es una función racional en s a partir del comportamiento de esta función en sus polos y ceros. • Que el alumno sepa determinar el diagrama p/z de una transformada cuando esta es una función racional de s. • Que el alumno sepa la relación existente entre el diagrama p/z de una transformada y la forma de onda de la señal correspondiente. • Que el alumno sepa, a partir de su desarrollo en fracciones simples, determinar la anti-transformada de funciones racionales en s del tipo que aparecen en el estudio de señales y circuitos.
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS) 3
Transformación de Laplace. Propiedades (I)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• Una transformación es una operación consistente en cambiar la forma
de los datos utilizando una regla matemática.
• En esta asignatura veremos una transformación integral, llamada
transformación de Laplace unilateral que “cambia” señales y sistemas
causales descritos en el dominio del tiempo (t) caracterizándolos en el
dominio de las frecuencias complejas (s). En el dominio s, la señal es
representada mediante su transformada.
Pierre Simon Laplace (1749-1827)
4
•La transformada de Laplace es pues
simplemente: UNA herramienta
Transformación de Laplace. Propiedades (I)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su transformada de Laplace se
define mediante la expresión:
0{ ( )} ( ) ( ) stL x t X s x t e dt
∞ −= = ∫( ) ( )x t X s→L
donde s es una variable compleja
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral
converge.
s jσ ω= +
( ) ( )0
t j tX j x t e e dtα ωα ω−
∞− −+ = ⋅ ⋅∫
5
La transformada de Laplace convierte un problema en el dominio del
tiempo en un problema equivalente en el dominio s.
Transformación de Laplace. Propiedades (I)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• Primer ejemplo de utilidad: Resolver ecuaciones diferenciales. Si tienes tu ecuacion integro-diferencial en dominio del tiempo y quieres despejar una variable no puedes porque en unos terminos esta como derivada de cualquier orden y en otros esta si derivar al transformarla y en otros integrada…
( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 0y tx t y t y t dt y t tdt
∂= + + = =∫
¿ Cómo despejo y(t)?
Se demostrará que… ( )( ) ( ) ( ) Y sX s Y s sY ss
= + +
Ec. Algebraica
Con lo que es sencillo determinar la transformada de Laplace de la señal y(t) en términos de la transformada de Laplace de la señal x(t)
6 ( )2
( )( )1
s X sY ss s
=+ +
¿ Como obtener y(t) a partir de Y(s) ?
Ejemplo de una transformada
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• Como determinar la transformada de una señal exponencial decreciente:
( )t AA e u ts
α
α−⋅ ⋅ →
+L
( )( ) ( )
( )
0 0
0
s tt t st
s t
A e u t A e e dt A e dt
A Aes s
αα α
α
α α
∞ ∞− +− − −
∞− +
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =
= − =+ +
∫ ∫L
Demostración:
7
Exponencial de constante de tiempo 1τα
=
1τα
=
A
0.37A×
Transformación de Laplace. Propiedades (II)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• Propiedad de linealidad
( ) ( )
( ) ( )
1 1
2 2
x t X s
x t X s
→ →
L
L
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2c x t c x t c X s c X s⋅ + ⋅ → ⋅ + ⋅L
• Propiedad de la derivada temporal
( ) ( )x t X s→L ( ) ( ) ( )0dx t
s X s xdt
−→ ⋅ −L
Se demuestra fácilmente por propiedad de linealidad de la integral
Demostración:
( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( )0
00
Para Re suficientementegrande se anula el límite superior.El límite inferior vale: 0
0
st
s t st
s
x
dx t dx te dt
dt dt
x t e s x t e dt s X s xσ
−
−−
−
∞−
∞∞− ⋅ − −
=
= ⋅ =
= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ −
∫
∫
L
8
Transformación de Laplace. Propiedades (III)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• Propiedad de la traslación compleja:
( ) ( )x t X s→L( ) ( )0
0s tx t e X s s⋅ → −L
Demostración: ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
0
0
00
s t s t st
s s t
x t e x t e e dt
x t e dt X s s
∞⋅ ⋅ −
∞− −
⋅ = ⋅ ⋅ =
= ⋅ = −
∫
∫
L
9
• Propiedad de desplazamiento en el tiempo:
( ) ( )x t X s→L
( ) ( ) ( ) 00 0
s tx t t u t t X s e−− ⋅ − → ⋅L
Transformación de Laplace. Propiedades (y IV)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• Propiedad de la derivación compleja:
( ) ( )x t X s→L ( ) ( )dX st x t
ds⋅ →−L
Demostración:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0
·st stdX s d x t e dt t x t e dt t x tds ds
∞ ∞− −= ⋅ = − ⋅ = − ⋅∫ ∫ L
( )( ) ( )dX st x t
ds⋅ = −Lde donde:
10
Pares básicos de transformadas (I)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• Transformada de la exponencial decreciente:
( )t AA e u ts
α
α−⋅ ⋅ →
+L
( )( ) ( )
( )
0 0
0
s tt t st
s t
A e u t A e e dt A e dt
A Aes s
αα α
α
α α
∞ ∞− +− − −
∞− +
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =
= − =+ +
∫ ∫L
Demostración:
• Transformada del escalón:
( ) AA u ts
⋅ →L
Demostración:
( )( ) ( ){ }( )0 00
0
lim lim
lim
t t stA u t A e u t A e e dt
A As s
α α
α α
α α
∞− − −
→ →
→
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
= = +
∫L = L
( )Re 0s α+ >si
( )Re 0s >si 11
Pares básicos de transformadas (II)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
Demostración:
• Transformada del coseno:
( ) ( ) 2 2cos A sA t u ts
ββ⋅
⋅ ⋅ →+
L
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1cos2 2
j t j tA At u t e e u ts j s j
β βωβ β
− ⋅ = ⋅ + ⋅ → ⋅ + − +
L
( ) ( ) 2 2cos A st u ts
ββ⋅
⋅ ⋅ →+
L
• Transformada del seno:
Demostración:
( ) ( ) 2 2sin AA t u ts
βββ⋅
⋅ ⋅ →+
L
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1sin2 2
j t j tA At u t e e u tj j s j s j
β βββ β
− ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ → ⋅ − − +
L
( ) ( ) 2 2sin At u ts
βββ⋅
⋅ ⋅ →+
L
( )Re 0s >si
( )Re 0s >si
Pares básicos de transformadas (III)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• Transformada de la rampa:
( ) ( ) 2
AA r t A t u ts
⋅ = ⋅ ⋅ →L
Demostración: Se demuestra fácilmente a partir de la propiedad de derivación compleja de la transformada de Laplace y la transformada del escalón. Se deja como ejercicio al alumno • Transformada de la rampa amortiguada:
( ) ( )( )2
t t AA e r t A e t u ts
α α
α− ⋅ − ⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ →
+L
Demostración:
Se demuestra fácilmente a partir de la propiedad de la translación compleja de la transformada de Laplace y de la transformada de la rampa. Se deja como ejercicio al alumno
13
Pares básicos de transformadas (IV)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• Transformada del coseno amortiguado:
( ) ( ) ( )( )2 2
cost A sA e t u t
sα α
βα β
− ⋅ ⋅ +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ →
+ +L
Demostración:
• Transformada del seno amortiguado:
( ) ( )( )2 2
sint AA e t u ts
α ββα β
− ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ →
+ +L
Demostración:
Se demuestra fácilmente a partir de la propiedad de la translación compleja de la transformada y de la transformada del coseno. Se deja como ejercicio al alumno
Se demuestra fácilmente a partir de la propiedad de la translación compleja de la transformada y de la transformada del seno. Se deja como ejercicio al alumno
14
Pares básicos de transformadas (y V)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• Transformada de la delta de Dirac:
( )A t Aδ⋅ →L
Demostración:
( )( ) ( ) 0
0
st sA t A t e dt A e Aδ δ−
∞− − ⋅⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =∫L = s∀
15
Polos y ceros de las transformadas (I)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• Las transformadas de las señales más frecuentes en el estudio de circuitos y sistemas son, como hemos visto anteriormente, funciones racionales. Podemos factorizar el polinomio numerador y el denominador:
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
11 1 0
11 1 0
1 2
1 2
m mm m
n nn n
m
n
N sb s b s b s bX sa s a s a s a D s
N s s z s z s zX s K
D s s p s p s p
−−
−−
+ + + += =
+ + + +
− ⋅ − ⋅ −= = ⋅
− ⋅ − ⋅ −
• Las raíces del polinomio numerador se denominan ceros de la transformada. En los ceros se hace nula la transformada. • Las raíces del polinomio denominador se denominan polos de la transformada. En los polos la transformada se hace infinita. • A los polos y ceros se les llama también puntos singulares. • En general los puntos singulares son números complejos. Es decir tienen la forma:
( ) 0N s =
( ) 0D s =
jα β± ±16
Polos y ceros de las transformadas (II)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• Representemos el módulo de la transformada de Laplace de: ( ) tx t e−=
( ) 11
X ss
=+ 1 1 es un polo y el único punto singularp = −
( )( )2 2
1 1 1 11 1 1 1
X ss s jσ ω σ ω
= = = =+ + + + + +
Fig. 1: Modulo de la transformada de ( ) ( )tx t e u t−= ⋅
-10-8
-6-4
-20 -10
-50
510
0
2
4
6
8
10
12
j·ωσ 17
Polos y ceros de las transformadas (III)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• Como hemos visto en los polos el módulo de X(s) tiende a ∞ • Si hubiésemos representado una transformada con ceros podríamos ver que en los ceros el módulo de la transformada contacta con el plano “s”. • Si el cero es simple la forma de contactar será cónica.
Fig.2 Los ceros simples contactan con el plano s con forma cónica
-5-4
-3-2
-10 -5
0
5
0
1
2
3
4
5
6
j·ωσ
( ) ( )2X s s= +
18
-5 -4 -3 -2 -1 0 -50
50
5
10
15
20
25
30
35
j·ωσ
Polos y ceros de las transformadas (IV)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• Si el cero es múltiple la forma de contactar será parabólica.
Fig. 3 Los ceros múltiples contactan con el plano s con forma parabólica
( ) ( )22X s s= +
19
Polos y ceros de las transformadas (V)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• El diagrama de polos – ceros permite expresar de manera más sencilla las características de una señal en el conjunto de definición de s. • Se representan los polos y ceros en un plano s complejo. Indicaremos cada polo por una pequeña aspa “x” y cada cero por un circulito “o”. • El diagrama de polos y ceros del ejemplo anterior es el de la figura adjunta:
-1.5 -1 -0.5 0 0.5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
σ = Re(s)
ω =
Im(s
)
Fig. 4: Diagrama p/z para ( ) ( )tx t e u t−= ⋅ 20
Polos y ceros de las transformadas (VI)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• Señal escalón
Fig. 5: Forma de onda y diagrama p/z para señal escalón
( ) ( )v t K u t= ⋅ ( ) KV ss
=
• Señal delta de Dirac
( ) ( )v t K tδ= ⋅
Fig. 6: Forma de onda y diagrama p/z para señal delta de Dirac
( )V s K=
21
Polos y ceros de las transformadas (VII)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• Señal rampa
Fig. 7: Forma de onda y diagrama p/z para señal rampa
( ) ( ) ( )v t K r t K t u t= ⋅ = ⋅ ⋅ ( ) 2
KV ss
=
• Señales exponenciales
( ) atv t K e−= ⋅
( ) atv t K e+= ⋅
Fig. 8: Forma de onda y diagrama p/z para señal exponencial decreciente
Fig. 9: Forma de onda y diagrama p/z para señal exponencial creciente
( ) KV ss a
=+
( ) KV ss a
=− 22
Polos y ceros de las transformadas (VIII)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• Señal rampa amortiguada
Fig. 10: Forma de onda y diagrama p/z para señal rampa amortiguada
( ) ( ) ( )at atv t K e r t K e t u t− −= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ( )( )2
KV ss a
=+
• Señales sinusoidales
( ) ( ) ( )cosv t K t u tβ= ⋅ ⋅ ( ) 2 2
sV s Ks β
=+
Fig. 11: Forma de onda y diagrama p/z para coseno
( ) 2 2V s Ksββ
=+
( ) ( ) ( )sinv t K t u tβ= ⋅ ⋅
Fig. 12: Forma de onda y diagrama p/z para seno 23
Polos y ceros de las transformadas (IX)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• Sinusoides amortiguadas
Fig. 13: Forma de onda y diagrama p/z para coseno amortiguado
( ) ( ) ( )costv t K e t u tα β−= ⋅ ⋅ ( ) ( )( )2 2
sV s K
sα
α β
+= ⋅
+ +
( ) ( ) ( )sintv t K e t u tα β−= ⋅ ⋅ ( )( )2 2
V s Ks
βα β
= ⋅+ +
Fig. 14: Forma de onda y diagrama p/z para seno amortiguado
• Sinusoides crecientes
( ) ( ) ( )costv t K e t u tα β+= ⋅ ⋅ ( ) ( )( )2 2
sV s K
sα
α β
−= ⋅
− +Fig. 15: Forma de onda y diagrama p/z para coseno creciente
24
Polos y ceros de las transformadas (y X)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• Nótese: • Que todas aquellas transformadas con polos en el semi-plano
derecho del plano “s” (σ > 0) se corresponden con ondas crecientes
• Aquellas transformadas con polos simples en el eje jω (σ = 0) se corresponde con ondas cuya amplitud se mantiene.
• Aquellas transformadas con polos en el semi-plano izquierdo del plano “s” (σ<0) se corresponden con ondas decrecientes.
• Si nos proporcionan el diagrama p/z se puede identificar la forma de onda de la señal sin necesidad de volver al dominio temporal. • Hasta ahora nos hemos ocupado del proceso de obtención de la transformada de una señal, en los siguiente apartados nos preocuparemos de la transformación inversa de Laplace y de cómo obtener los valores temporales de la señal a partir de la transformada definida en el dominio de las frecuencias complejas. A veces se habla de encontrar la anti-transformada de Laplace.
25
Teoremas del valor inicial y del valor final (I)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• Teorema del valor inicial: Permite determinar el valor inicial de la señal (en t=0+) a partir del valor de la transformada.
Demostración:
( ) ( ) ( )0
0 lim lim ( )st
x x t s X s+
+
→∞→= = ⋅
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
de esta El límite integral vale cero
00
0 0 0
0 0
lim lim lim
0 0 lim 0
s
st t st
s s s
x x
s
dx t dx t dx t dx te dt e dt e dt
dt dt dt dt
x x s X s x
+
− − +
+ −
→∞
∞ ∞− − −
→∞ →∞ →∞
−
+ − −
→∞
= ⋅ = ⋅ + ⋅
− = ⋅ −
∫ ∫ ∫
L
( ) ( ) ( )0
0 lim lim ( )st
x x t s X s+
+
→∞→= = ⋅de donde:
Para poder aplicar el teorema del valor inicial tanto la señal como su derivada tienen que tener transformada
26
Teoremas del valor inicial y del valor final (I)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
( ) ( ) ( ) ( )( )20
100 5000 lim lim ( ) lim 100
500 20000s st
sx x t s X s s
s+
+
→∞ →∞→
+= = ⋅ = ⋅ =
+ +
27
( ) ( )( )2
100 500500 20000
sX s
s+
=+ +
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• Teorema del valor final: Permite determinar el valor final de la señal si existe, es decir su valor cuando el tiempo tiende a infinito, a partir de su transformada:
Demostración:
( ) ( ) ( )0
lim lim ( )t s
x x t s X s→∞ →
∞ = = ⋅
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
0 0 00
00 0
lim lim lim 0
lim 0
st
s s s
st
s
dx t dx te dt s X s x
dt dt
dx t dx te dt dt x x
dt dt
−
− −
∞− −
→ → →
∞ ∞− −
→
= ⋅ = ⋅ − ⋅ = = ∞ −
∫
∫ ∫
L
( ) ( ) ( )0
lim lim ( )t s
x x t s X s→∞ →
∞ = = ⋅de donde:
Teoremas del valor inicial y del valor final (y II)
Para poder aplicar el teorema del valor final la señal y su derivada tienen que tener Transformada, pero además tiene que existir un valor final de x(t), es decir el límite ha de converger, lo que significa que los polos de deben tener parte real estrictamente negativa.
( )limt
x t→∞ ( )s V s⋅
28
Resumen de lo visto (I)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS) 29
0{ ( )} ( ) ( ) stL x t X s x t e dt
∞ −= = ∫( ) ( )x t X s→L
( ) ( )( )
11 1 0
11 1 0
m mm m
n nn n
N sb s b s b s bX sa s a s a s a D s
−−
−−
+ + + += =
+ + + +
•Ejemplos de pares transformados
( )t AA e u ts
α
α−⋅ ⋅ →
+L ( ) ( ) 2 2cos A sA t u t
sβ
β⋅
⋅ ⋅ →+
L
•Se representan los ceros y polos de la transformada en el plano complejo
( ) ( ) ( )costv t K e t u tα β+= ⋅ ⋅ ( ) ( )( )2 2
sV s K
sα
α β
−= ⋅
− +
Resumen de lo visto (II)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• Teorema del valor inicial y final : Permiten determinar el valor inicial y final de la señal (en t=0+) a partir del valor de la transformada.
( ) ( ) ( )0
0 lim lim ( )st
x x t s X s+
+
→∞→= = ⋅
( ) ( ) ( )0
lim lim ( )t s
x x t s X s→∞ →
∞ = = ⋅
Ejemplos de transformadas
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
•Calcular la transformadas de Laplace de las siguientes funciones
[ ]2( ) ( ) 4 ( ) ( )tf t e u t u t u t−= + ⋅ −
1 4 1 4( )( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
F ss s s s
= + − =+ + + +
[ ]( ) cos ( )f t A t sen t u tβ β= +
2 2 2 2 2 2( ) s sF s A As s s
β ββ β β
+= + = + + +
( )20 40( ) 4 ( ) 20 40 ( )t tf t t e e u tδ − −= + ⋅ + ⋅
1 1 4 100 40( ) 4 20 4020 40 20 40
sF ss s s s
+= + ⋅ + ⋅ = +
+ + + +
Transformada inversa de Laplace (I)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• Las transformadas que hemos visto hasta ahora son funciones racionales de s. • Para determinar la transformada inversa de Laplace (o antitransformada) podemos identificar la señal que corresponde en la tabla siguiente:
Tabla 1: Pares de transformadas de Laplace 32
Transformada inversa de Laplace (II)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• ¿Cómo calculamos la antitransformada de una función racional como la anterior que no aparece en la tabla? Descompondremos la transformada como combinación lineal de términos (descomposición en fracciones simples), cada uno de los cuales aparezca en la tabla 1.
( ) 1 2
1 2
n
n
kk kX ss p s p s p
= + + +− − −
• En el caso de n>m (función racional propia) y siendo los n polos simples, la descomposición que se puede hacer es de la forma:
siendo k1, k2, … kn los residuos asociados a cada polo. De esta forma reconocemos cada término como la transformada de una señal exponencial:
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
11 1 0
11 1 0
1 2
1 2
m mm m
n nn n
m
n
N sb s b s b s bX sa s a s a s a D s
N s s z s z s zX s K
D s s p s p s p
−−
−−
+ + + += =
+ + + +
− ⋅ − ⋅ −= = ⋅
− ⋅ − ⋅ −
( ) ( )( ) { } ( )1 211 2
np tp t p tnx t X s k e k e k e u t⋅⋅ ⋅−= = ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅L
33
Transformada inversa de Laplace (III)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• El residuo ki se puede hallar siguiendo el siguiente algoritmo:
Si el polo es complejo irá acompañado de un polo complejo conjugado
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2
1 2
i i i i n ii
i n
k s p k s p k s p k s pX s s p
s p s p s p s p⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ −
⋅ − = + + + + +− − − −
1. Multiplicando X(s) por (s-pi)
2. Evaluando lo anterior en s = pi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2
1 2i
i i i i n i ii is p
i i i n
k p p k p p k p pX s s p k
p p p p p p=
⋅ − ⋅ − ⋅ −⋅ − = + + + + +
− − −
p *p
residuo asociado al polo
residuo asociado al polo
j
j
k e p j
k e p j
θ
θ
α β
α β−
→ = +
→ = −
( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 cos
j t j t j t j tj j t
t
k e e k e e k e e e
k e t
α β α β β θ β θθ θ α
α β θ
+ ⋅ − ⋅ + − +− ⋅
⋅
⋅ + ⋅ = ⋅ + =
= ⋅ ⋅ +
El residuo de estos polos será también complejo conjugado. Las antitransformadas de estos dos polos se combinan generando una sinusoide amortiguada.
34
Transformada inversa de Laplace (IV)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
( ) ( )( ) ( )2
20 31 2 5
sX s
s s s+
=+ ⋅ + +
• Ejemplo 1 (I): Determine la antitransformada de
• La señal tiene un cero en s = -3 • Un polo simple en s = -1 • Un par de polos complejos situados en: s = -1 + 2j y s = -1 -2j
( )*
1 2 2
1 1 2 1 2k k kX s
s s j s j= + +
+ + − + +
La descomposición en fracciones simples tendrá la forma siguiente:
Aplicando el algoritmo visto para el cálculo de los residuos:
( ) ( ) ( )( )1 21
20 3 401 1042 5s
sk s X s
s s=−
+= + ⋅ = = =
+ +
( ) ( ) ( )( )( ) ( )2 1 2
20 3 40 40 40 401 21 1 2 2 4 8s j
s j jk s j X ss s j j j=− +
+ + += + − ⋅ = = = −
+ + + ⋅5 225º4
240 40 5 5 5 2 5 2
8j jjk j e eπ+
= − = − − = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
* 225º2 5 2 jk e−= ⋅ ⋅
35
Transformada inversa de Laplace (V)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
( )2
2
4 63 2
s sX ss s+ +
=+ +
• Ejemplo 1 (y II): Determine la antitransformada de
Determinados los residuos es casi inmediato poner que:
( ) ( ){ } ( )10 10 2 cos 2 225ºt tx t e e t u t− −= ⋅ + ⋅ ⋅ +
• Si n=m (la transformada es una función racional impropia con el mismo número de polos que de ceros) antes de descomponer en fracciones simples haremos la división:
( )( )
( )( )
N s R sC
D s D s= +
• Ejemplo 2: Determine la antitransformada de
( ) ( )( ) ( )2
20 31 2 5
sX s
s s s+
=+ ⋅ + +
Haciendo la división y calculando los residuos:
( ) ( ) ( )1 2
2
4 44 4 3 22 11 1 1 1
3 2 2 1 1 2 1 2s s
s ss s s sX s
s s s s s s s s=− =−
+ ++ + −+ +
= + = + = + + = + ++ + + ⋅ + + + + +
( ) ( ) 23 2t tx t t e eδ − −= + ⋅ − 36
Transformada inversa de Laplace (VI)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• El caso n<m (función racional impropia con menos polos que ceros) conduce tras la división a términos en s, s2, s3… que se suman a la función racional propia con n>m. Estas potencias de “s” corresponden a funciones singulares derivadas de la delta de Dirac de primer orden, segundo orden, etc, que se llaman dobletes, tripletes, etc. Aun cuando son teóricamente posibles, en los circuitos reales no aparecen estas formas de onda. • El caso n>m con algún polo múltiple. Lo vamos a explicar con el siguiente ejemplo:
( )( ) ( )
12
1 2
s zX s Ks p s p
−=
− ⋅ −
( )( )
1 21 222
1 2 2
k k kX ss p s p s p
= + +− − −
En este caso la descomposición en fracciones simples es de la forma:
Los residuos k1 y k22 son muy sencillos de obtener de forma similar a como hemos presentado anteriormente.
( ) ( )1
1 1 s pk X s s p
== ⋅ − ( ) ( )
2
222 2
s pk X s s p
== ⋅ − 37
Transformada inversa de Laplace (VII)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
El residuo k21 se obtiene derivando respecto “s” y después evaluando en s = p2 . En efecto:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2
2
2 2 22 1 2 21 2 22 2
2 21 2 2
22 1 2
2 21 2 221
22 2 1 2
2 1 2121
2
s p s p
k s p k s p k s pX s s p
s p s p s p
k s pX s s p k s p k
s p
s p s p s pd X s s p k kds s p=
=
− − −⋅ − = + +
− − −
−⋅ − = + − +
−
⋅ − − − −⋅ − = +
−
( ) ( )22X s s p⋅ −
( ) ( ){ }2
221 2
s p
dk X s s pds =
= ⋅ −
En general para un polo pi de orden r se puede demostrar que podemos calcular el residuo kij mediante derivación a partir de la expresión:
( )( )
( ) ( ) ( ){ }1! i
r jr
ij ir js p
dk X s s pr j ds
−
−=
= ⋅ −− 38
Transformada inversa de Laplace (y VIII)
SEÑ
AL
ES Y
CIR
CU
ITOS (SE
ÑA
LE
S Y SIST
EM
AS)
• Ejemplo 3: Determine la antitransformada de ( ) ( )( )2
4 32
sX s
s s+
=⋅ +
( )( )
1 21 2222 2
k k kX ss s s
= + ++ +
( )( )1 2
0
4 33
2s
sk
s=
+= =
+
La descomposición en fracciones simples de la transformada será de la forma:
Los residuos son calculados de acuerdo a lo indicado como:
( )22
2
4 32
s
sk
s=−
+= = −
( )21 2
22
4 3 12 3ss
sdkds s s =−=−
+ −= = = −
( ) { } ( )2 23 3 2t tx t e t e u t− −= − ⋅ − ⋅ ⋅
Regresando al dominio del tiempo se tiene que:
39