TRABAJO COLABORATIVO TRES

ECUACIONES DIFERENCIALES

Presentado por:

DIEGO ALEJANDRO CÁRDENAS SANDOVAL Código 79.692.657ANGEL FERIA DE HOYOS Código79.723.511

WILLINTON EDUARDO CALVO CódigoALFONSO ANDRADE Código

Tutor:JUAN JESUS CRUZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNADFACULTADES DE ECSA Y ECBTI

CURSO DE ERGONOMIA 256595-502012

ACTIVIDAD No. 1

1. Hallar el radio de convergencia de las siguientes series:

A. ∑n=1

∞xn

2n

El radio de convergencia se haya así:

Como Cn=1

2n y Cn+1=

1

2n+1

1R

=limn→∞ |Cn+1Cn |

1R

=limn→∞ | 12n+11

2n|=limn→∞| 2n2n+1|=limn→∞| 2n2n∗2|=12

Por tanto el radio de convergencia es de magnitud 2.El intervalo de convergencia entonces es: [−2≤x ≤2 ]

B. ∑n=1

∞ (−1)n

nxn

El radio de convergencia se haya así:

Como Cn=(−1)n

n y Cn+1=

(−1)n+1

n+1

1R

=limn→∞ |Cn+1Cn |

1R

=limn→∞ |(−1)

n+1

n+1(−1)n

n|=limn→∞| n (−1)n+1(n+1)(−1)n|=limn→∞| −n(−1)n

(n+1)(−1)n|=limn→∞| −n(n+1)|

1R

=limn→∞

n√|Cn|

1R

=limn→∞

n√|(−1)nn |;El valor absoluto asegura que la raíz sea real, entonces tomamos la parte positiva de Cn:

1R

=limn→∞

n√(−1)n

n=limn→∞

(1)n/n

n1 /n

Sabemosqueel limite cuandon tiendea infinitode n1/n es siempre1.Por tanto :

1R

=limn→∞

(1)n /n

n1 /n=1

Por tanto el radio de convergencia es de magnitud 1.El intervalo de convergencia entonces es: [−1≤x ≤1 ]

2. Mediante serie de potencias resolver la ecuación diferencial y escríbala

en forma de serie y=∑n=1

∞

Cn xn

A. y '+ y=0

y=∑n=0

∞

Cn xn

y '=∑n=1

∞

nCn xn−1

Entonces

y '+ y=0

∑n=1

∞

nCn xn−1+¿∑

n=0

∞

Cn xn=0¿

k=n−1k=nn=k+1

∑k=0

∞

(k+1 )Ck +1 xk+∑

k=0

∞

C k xk=0

∑k=0

∞

xk [ (k+1 )C k+1+C k ]=0

Despejando la parte interna del corchete tenemos(k+1 )C k+1+C k=0

C k+1=−C kk+1

k=0=C1=−C00+1

=−C0

k=1=C2=−C11+1

⇒−−(C0 )2

=C02

k=2=C3=−C22+1

⇒−

C023

=−C06

k=3=C4=−C33+1

⇒−

−C064

=C024

k=4=C4=−C44+1

⇒−

C0245

=−C0120

Puesto que el coeficiente C0, se deja indeterminado, sirve como constante arbitraria, proporcionando así la solución general de la ecuación, así:

y=C0−C0 x+C02x2−

C06x3+

C024x4−

C0120

x5

y=C0[1−x+ x22!− x3

3 !+ x

4

4 !− x

5

5 ! ]Respuesta y=C0∑

n=0

∞

¿¿¿

3. Encuentre los primero cuatro términos de las series de potencias sin x y cos x y realice la multiplicación, es decir: sin x∗cos x

sin x=∑n=0

∞ (−1)n xn+1

(2n+1 )!=x− 1

3!x3+ 1

5 !x5− 1

7 !x7…

cos x=∑n=0

∞ (−1)n xn

(2n )!=1− 1

2!x2+ 1

4 !x4− 1

6 !x6…

sin x∗cos x=(x− 13 !x3+ 1

5 !x5− 1

7 !x7…)∗(1− 1

2 !x2+ 1

4 !x4− 1

6 !x6…)

Para el primer término de sin x que multiplica a todo:

x− 12!x3+ 1

4 !x5− 1

6 !x7…

Para el segundo término de sin x que multiplica a todo:

−13 !x3+ 1

3 !x3∗12!

x2− 13 !x314 !x4+ 1

3!x316 !x6…

−13 !x3+ 1

3 !2 !x5− 1

3 !4 !x7+ 1

3 !6 !x9…

Para el tercer término de sin x que multiplica a todo:

15!x5− 1

5!x512 !x2+ 1

5 !x514 !x4− 1

5 !x516!x6…

15!x5− 1

5! 2!x7+ 1

5 !4 !x9− 1

5 !6 !x11…

Para el cuarto término de sin x que multiplica a todo:

−17 !x7+ 1

7 !x712!x2− 1

7 !x714 !x 4+ 1

7 !x716 !x6…

−17 !x7+ 1

7 !2 !x9− 1

7 ! 4 !x11+ 1

7 !6 !x13…

Ahora la suma total:

x− 12!x3+ 1

4 !x5− 1

6 !x7+ 1

3 !x3+ 1

3 !2!x5− 1

3 !4 !x7+ 1

3 !6 !x9+ 1

5 !x5− 1

5 !2 !x7+ 1

5! 4 !x9− 1

5 !6 !x11− 1

7 !x7+ 1

7 !2 !x9− 1

7 !4 !x11+ 1

7 !6 !x13…

Ordenando:

x− 12!x3+ 1

3 !x3+ 1

4 !x5+ 1

3!2 !x5+ 1

5 !x5− 1

6 !x7− 1

3 ! 4 !x7− 1

5 !2 !x7− 1

7 !x7+ 1

3 !6 !x9

15! 4 !

x9+ 17 !2 !

x9− 17 ! 4 !

x11− 15 !6 !

x11+ 17 ! 6!

x13

x+(−12! + 13 ! )x3+( 14 !+ 13 !2 !

+ 15! ) x5+¿

sin x∗cos x para los primeros cuatro términos de cada serie resulta en:

x+(−13 ) x3+( 120 ) x5+¿

BIBLIOGRAFIA

2012, RICARDO GÓMEZ NARVAEZ, (Director Nacional) – Módulo curso de ecuaciones diferenciales – Universidad nacional abierta y a Distancia UNAD. Acreditador Juan José Cruz